3-1矩阵及其运算

§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个 矩阵 和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与 的和 A B 记作 规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵 （交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为 的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设 是一个 矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个 矩阵， n s ⨯规定矩阵 与 的乘积是一个 的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律； 若 ，则称矩阵 与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律） （左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同； 可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2=m 假设 时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二 利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质 定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵， 求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做 的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵， 定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注 性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴 对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注 对任意矩阵 A,和 均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若 则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足 则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以 为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以 为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系 其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解 例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示： 初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。

１－３ 矩阵的运算一、矩阵的加法，数与矩阵的乘法［Ｐ１３－１５］ １、加法：()()n m ij nm ij b a ⨯⨯+＝()nm ijij b a ⨯+相加条件 加法法则性质：对任意ｍ⨯ｎ矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ，有（１） 交换律：Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ； （２） 结合律：（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）； （３） 零矩阵０：Ａ＋０＝０＋Ａ＝Ａ；（４） 称()nm ija ⨯-为()nm ija ⨯的负矩阵，显然Ａ＋（－Ａ）＝０；规定：Ａ－Ｂ＝Ａ＋（－Ｂ）；显然：Ａ＝Ｂ⇔Ａ－Ｂ＝０ 移项法则成立２、数与矩阵的乘法：任意数ｋ，任意矩阵Ａ＝（ａｉｊ）ｍ⨯ｎ，规定ｋＡ＝ｋ（ａｉｊ）ｍ⨯ｎ＝()nm ijka ⨯＝Ａｋ。

性质：对任意ｍ⨯ｎ矩阵Ａ，Ｂ，任意数ｋ，ｌ有（１） １·Ａ＝Ａ（２） 结合律：ｋ（ｌＡ）＝（ｋｌ）Ａ （３） 分配律：（ｋ＋ｌ）Ａ＝ｋＡ＋ｌＡ （４） 分配律：ｋ（Ａ＋Ｂ）＝ｋＡ＋ｋＢ例１．３［Ｐ１５］设矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ满足等式３（Ａ＋Ｃ）＝２（Ｂ－Ｃ），其中Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-531632，Ｂ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-531423，求矩阵Ｃ。

解：因为３（Ａ＋Ｃ）＝２（Ｂ－Ｃ），所以去括号，得３Ａ＋３Ｃ＝２Ｂ－２Ｃ，移项，合并，得 ５Ｃ＝２Ｂ－３Ａ 两端同乘51，得Ｃ＝51（２Ｂ－３Ａ）＝51⎥⎦⎤⎢⎣⎡----51551050＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡----131210。

作业：Ｐ７１ ３（常用结论，记住）二、矩阵乘法引入：某印刷厂印两种书，工人分三个班工作，当天班组经济核算统计如下：书１ 书２ 单位售价 单位利润产量矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡90180150250100200班班班321，单位售价与单位利润矩阵Ｂ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡251321书书， 当天各班组总产值与总利润矩阵为：总产值 总利润ＡＢ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯2901180590318021501250515032502100120051003200班班班321 １、定义１．７［Ｐ１６］n m n S S m C B A ⨯⨯⨯=。

Ch3 矩阵的秩与线性方程组第一节矩阵的秩一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的计算21 ,,m n A k k k m k n k A k A k ×≤≤定义在矩阵中任取行列（），位于这些行列交叉处的个元素不改变它们在中所处的位置次序而得的阶行列式，称为矩阵的阶子式一、矩阵秩的概念2010()()A r D r D A r A rank r A A +定义设在矩阵中（1）不等于的阶子式，（2）阶子式（如果存在）全等于， 则被称为矩阵的最高阶非零子式， 数称为矩阵的，记有一个所或有秩作。

().m n A r A A ×矩阵的秩是中非零子式的最高阶数()0.A O r A =⇔=规定，对于T A )1().()(A r A r T=显然有注意：).,min()()2(n m A r n m ≤×.)()3(k A r k A ≥阶子式不为零，则有一个若.)(1)4(k A r k A ≤+阶子式均为零，则的所有若50()(0()(A r A n A r A n ≠⇒==⇒<（）若满秩阵）若降秩阵）例1.174532321的秩求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=A 解中，二阶子式在A ，阶子式只有一个的又A A 3∵.03221≠，且0=A .2)(=∴A r二、矩阵秩的计算3定义矩阵为称满足以下两个条件的n m ×行阶梯形矩阵：(1)每行的非零元（如果有的话）前的零元个数比其上一行这种零元个数多；(2)00如果某行全为，则下面所有行也全为110若行阶梯形矩阵的非零行的首非零元均为，且这些所在的列的其它元素都是.行最简形矩阵0注：行阶梯形矩阵的秩即为它的非行的行数例2.00000340005213023012的秩求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=B 解行，”，其非零行有是一个“行阶梯形矩阵3B ∵.4阶子式全为零的所有B ∴,0400230312≠−−而.3)(=∴B r 取自非零行首非零元所在列说明.非零行的行数行阶梯形矩阵的秩即其1 ,m n A ×对于任何矩阵总可经过有限次初等行变换化为行定理阶梯形矩阵2、经过初等变换后，矩阵的秩是否改变?()()~, 2 A B r A r B =若则定理问题：1、任一个矩阵是否可化成行阶梯形矩阵初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.阶满秩矩阵，则必有阶、分别是矩阵，而是任一设n m Q P n m A ,×2定理的推论：1推论)()()(PAQ r AQ r PA r ==2m n A ×若已知任一矩阵的标准推论形分解为r I O A PNQ P Q O O ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.)(的阶数）（即单位矩阵则必有r I r A r =20314335427,()15201A r A ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦例、若求解：203143542715201A ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦13r 152013542720314⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦1213(3)(2)r r −−15201020224010112⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦2231()2(1)r r −1520101011200000⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122224,3336k A k k k −−⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦例、已知矩阵取何值时，问：k (1)()1;(2)()2;(3)() 3.r A r A r A ===解：~63334222211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=k k k k A ~)1(6)1(3)1(30)1(4)1(2)1(202112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−k k k k k k k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−−−−−0)1)(2(00)1(2)1()1(0211k k k k k k；时，即得，当1)(1==A r k ；时，当2)(2=−=A r k .3)(12=≠−≠A r k k 时，且当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−−−−−0)1)(2(00)1(2)1()1(0211~k k k k k k A 由Ch3 矩阵的秩与线性方程组第二节齐次线性方程组一、线性方程组有解的判定二、线性方程组的解法一、齐次线性方程组有解的判定条件的解．组的秩，讨论线性方程如何利用系数矩阵0=Ax A 问题：引例求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−+=+++0340222022432143214321x x x x x x x x x x x x解⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=341122121221A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−463046301221施行的初等行变换：同时记录对系数矩阵A )1()2(1312−−r r ⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−+=+++0340222022432143214321x x x x x x x x x x x x ①②③②-①2×，③-①，得⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−−=+++046304630224324324321x x x x x x x x x x ①④⑤消元法来解此方程组，利用Gauss⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−463046301221⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−−=+++046304630224324324321x x x x x x x x x x ①④⑤⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛0000342101221)31()1(223−−r r ⑤-④，④得)31(−×⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++034210224324321x x x x x x x ①⑥说明第3个方程是多余的！说明什么问题？⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛0000342101221)2(21−r ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−00003421035201⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=−−03420352432431x x x x x x ①⑥得，2×−行最简形矩阵⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++034210224324321x x x x x x x ①⑥即得与原方程组同解的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=−−,0342,0352432431x x x x x x 移项即得⎪⎩⎪⎨⎧−−=+=,342,352432431x x x x x x ).,(43x x 称自由未知量⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−−=+=,342,352212211c c x c c x 形式，把它写成通常的参数令2413,c x c x ==.1034350122214321⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛c c x x x x 即原方程组的解为),(21可取任意实数参数c c ,01213c c x +=,10214c c x +=()0.().m n n A x r A n n r A ×=⇔<−元齐次线性方程组有非零解系数矩阵的秩且通解中含有 个参数定理1结论：求齐次线性方程组的解，只需将系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解00()Ax r A n=⇔=仅有解逆否命题：二、线性方程组的解法例1求解齐次方程组的通解⎪⎩⎪⎨⎧=+−−=−+−=+−−032030432143214321x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵A 进行初等变换⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=321131111111A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−210042001111~.000021001011~⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−(),32<=A r 由于故方程组有非零解，且有⎩⎨⎧=+=434212x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=⇔42442342242110200111x x x x x x x x x x x x ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−210042001111为什么选为非自由未知量？31,x x 选行最简形矩阵中非零行首非零元1所在列！.12010011424321⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛x x x x x x ),(42R x x ∈得方程组的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=42442342242110200111x x x x x x x x x x x x 由例2 设有齐次线性方程组1231231232203760480x x x x x x x x x λ+−=⎧⎪+−=⎨⎪++=⎩?,有非零解取何值时问λ解12237648A λ−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠122~010008λ−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠8,0λ∴=－有非解123123123402202030B x x x x x x x x x λ+−=⎧⎪−+=⎨⎪+−=⎩例、已知三阶非矩阵的每一列都是方程组的解.120B λ =（）求的值（）证明10解：（）有非解：12221311λ−∴−−12-2~0-54055λ+−12-2~0-55054λ−+12-2~0-551λ−10λ∴=当时有非解121(2)[,,]B βββ=B 0Ax =∵的每一列都是的解1230A A A βββ∴===121[,,]0A βββ∴=0AB =即0TTB A ∴=0T TA B x =即的每一列都是的解00TB x ∴=有非解B ∴=对齐次线性方程组0=Ax ()n A r =⇔;0只有零解=Ax ()n A r <⇔.0有非零解=Ax 三、小结Ch3 矩阵的秩与线性方程组第三节非齐次线性方程组一、非齐次线性方程组有解的判定二、非齐次线性方程组的解法一、非齐次线性方程组有解的判定条件()()m n A x b r A r A ×=⇔=有解定理1推论有解的充分必要条件是矩阵方程B AX =),()(B A r A r =定理1‘，元非齐次线性方程组对b x A n n m =×方程组有唯一解；⇔==n A r A r )()()1(方程组有无穷多解；⇔<=n A r A r )()()2(.)()()3(方程组无解⇔≠A r A r例1 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−++=−+−=−+−.3222,2353,132432143214321x x x x x x x x x x x x 解对增广矩阵进行初等变换，A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−104501045011321)1(23−r 200)2()3(1312−−r r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=322122351311321A结论：为求解非齐次线性方程组，只需将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，再将行阶梯形矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解。