图形在坐标中的平移(基础)知识讲解

坐标平面内图形的轴对称和平移（基础）【学习目标】1.能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.2.掌握左右、上下平移点的坐标规律.【要点梳理】要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.要点二、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、用坐标表示轴对称1．已知点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），则b a的值为_______. 【思路点拨】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a＋b＝－3，1－b＝－1，再解方程可得a、b的值，进而算出b a的值．【答案】25【解析】解：∵点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），∴a＋b＝－3，1－b＝－1，解得：b＝2，a＝－5，ba＝25，【总结升华】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．举一反三：【变式】点（3，2）关于x轴的对称点为（）A．（3，－2）B．（－3，2）C．（－3，－2）D．（2，－3）【答案】A．2.已知点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求点B的坐标．【思路点拨】由“点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标相同，∴ x＝－3．∵点B到x轴的距离为3，∴ y＝3或y＝－3．∴点B的坐标是(－3，3)或(－3，－3)．【总结升华】在点B的横坐标为－3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）【答案】B.【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：（1）点P1（a ,－b)在第象限；（2）点P2（－a ,b)在第象限；（3）点P3（－a ,－b)在第象限；（4）点P4（ b ,a )在第象限.【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.类型二、用坐标表示平移3.（2015•海安县校级二模）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，则点B的坐标是．【思路点拨】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解．【答案】（0，﹣3）．【解析】解：∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．故答案为：（0，﹣3）．【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．举一反三：【变式1】已知：两点A（－4，2）、B（－2，－6），(1)线段AB的中点C坐标是；(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是．(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是 ,B2点的坐标是．【答案】（1）(－3, －2)； (2)(1,2),(3,－6)； (3)(－4,－1),(－2,－9).【变式2】点P（－2，5）向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，变为P′（0，1）．【答案】2、4．4.（2016春•江西期末）如图中，A、B两点的坐标分别为（2，3）、（4，1），（1）求△ABO的面积．（2）把△ABO向下平移3个单位后得到一个新三角形△O′A′B′，求△O′A′B′的3个顶点的坐标．【思路点拨】（1）把△ABO放在一个矩形里面，用矩形COED的面积﹣△ACO的面积﹣△ABD的面积﹣△BEO的面积即可算出△ABO的面积；（2）根据点的坐标平移的规律，用A、B、O的坐标的纵坐标分别减去3即可．【答案与解析】解：（1）如图所示：S△ABO=3×4﹣×3×2﹣×4×1﹣×2×2=5；（2）A′（2，0），B′（4，﹣2），O′（0，﹣3）．【总结升华】此题主要考查了点的平移，以及求三角形的面积，当计算一个三角形的面积时，可以把它放在一个矩形里，然后用矩形的面积减去周围三角形的面积．举一反三：【变式】（2014秋•宣汉县期末）如图所示，△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（4，3），C（3，1）．把△A1B1C1向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到△ABC，试写出△A1B1C1三个顶点的坐标．【答案】解：A1（﹣3，5），B1（0，6），C1（﹣1，4）．。

直角坐标系中的形平移平移是指将图形沿着指定的方向和距离移动的操作。

在直角坐标系中，平移可以通过增加或减少图形的坐标值来实现。

本文将介绍直角坐标系中的形平移，并讨论与坐标变化相关的数学概念。

一、平移的定义和特点平移是指将一个图形在平面上沿着指定的方向和距离不改变其形状和大小地移动。

在直角坐标系中，平移可以通过改变图形的坐标值来实现。

平移的特点如下：1. 形状保持不变：平移不改变图形的形状，只是将图形整体移动到新的位置。

2. 大小保持不变：平移不改变图形的大小，只是改变图形的位置。

3. 方向和距离确定：平移的方向由指定的向量决定，平移的距离由向量的模长决定。

二、平移的数学表示在直角坐标系中，平移可以通过改变图形的坐标值来实现。

设图形的原始坐标为(x, y)，平移向量为(a, b)，则平移后图形的新坐标为(x + a, y + b)。

三、平移的示例为了更好地理解平移的概念，我们来看一个简单的示例。

假设有一个三角形，其顶点坐标分别为A(2, 3)，B(4, 5)，C(6, 3)，现在需要将这个三角形向右平移3个单位，向上平移2个单位。

根据平移的数学表示，我们可以计算得到新的顶点坐标为：A' = (2 + 3, 3 - 2) = (5, 1)B' = (4 + 3, 5 - 2) = (7, 3)C' = (6 + 3, 3 - 2) = (9, 1)通过计算可知，原始的三角形ABC经过平移变为新的三角形A'B'C'，其各顶点的坐标分别为A'(5, 1)，B'(7, 3)，C'(9, 1)。

可以看出，新的三角形与原始三角形相比，保持了相同的形状和大小，只是整体移动到了新的位置。

四、形平移与坐标变化形平移是指将图形沿着指定的方向和距离平移的操作。

在直角坐标系中，形平移可以通过修改图形的坐标值来实现。

形平移的步骤如下：1. 确定平移向量：根据平移的指定方向和距离，确定平移向量的值。

平移知识点总结平移是中学数学中一个非常重要的概念，它是几何变换中的一种。

在数学课堂上，学生需要掌握平移的基本概念、性质、方法和应用等知识点，以便能够解决各种几何问题。

在本文中，我们将对平移的相关知识进行总结，并分析其重要性和实际应用。

一、平移的基本概念平移是指将一个图形沿着直线方向上移动一定的距离，使其保持形状、大小和方向不变。

平移是一种基本的几何变换，也是一种基本的运动变换。

平移的基本概念包括：平移距离、平移向量、平移向量的表示方法、平移变换的性质等。

1. 平移距离平移距离指的是图形沿着直线方向上移动的距离，通常用正数表示。

如果平移距离为正数，则表示将图形向右移动；如果平移距离为负数，则表示将图形向左移动。

2. 平移向量平移向量是指将一个向量作为平移的方向和距离，从而确定平移的方式。

平移向量的表达式是一个二维向量，其中第一项表示水平方向上的平移距离，第二项表示垂直方向上的平移距离。

如果平移向量的二维向量表示为(a,b)，则表示将图形向右移动a个单位，向上移动b个单位。

3. 平移向量的表示方法平移向量可以通过坐标系中两个点的坐标差来表示。

假设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)分别表示图形的初始位置和平移后的位置，则平移向量的坐标表示为(x2-x1,y2-y1)。

4. 平移变换的性质平移变换具有以下性质：(1) 保形性：平移变换不改变图形的形状。

(2) 保角性：平移变换不改变图形的内角度数。

(3) 保距性：平移变换保持图形上任何两点之间的距离不变。

(4) 可逆性：平移变换是可逆的，即可以通过对称平移变回原来的位置。

二、平移的方法和应用平移变换的方法和应用非常广泛，可用于解决各种几何问题，如图形的位置关系、重心的位置、对称点的位置、垂足的位置等。

1. 平移的方法平移的方法有以下两种：(1) 点法平移法：通过将平移向量作为一个点来确定图形的位置。

(2) 向量法平移法：通过将平移向量作为向量来确定图形的位置。

平移知识点总结平移是数学中的一个基础概念，是指在坐标平面上将所有点沿着指定的方向和距离进行移动的操作。

在平移中，所有的点都按照相同的方式进行移动，保持它们之间的相对位置不变。

下面将对平移的相关知识点进行总结。

一、平移的定义和性质平移是指在平面上将所有点沿着指定的方向和距离进行移动的操作。

具体来说，对于平面上的一个点P，设平移向量为u，平移操作可以表示为P' = P + u，其中P'为P经过平移后的点。

平移具有以下性质：1. 平移不改变图形的大小和形状，只是改变了它们的位置。

2. 平移保持图形之间的相对位置不变，即直线上的点平移后仍保持直线上。

3. 平移操作是可逆的，即可以通过向相反的方向平移来恢复原始图形的位置。

二、平移的向量表示和运算在平移中，我们使用向量来表示平移的方向和距离。

平移向量通常用u表示，它有两个分量，即水平分量和垂直分量。

设平移向量为u = (a, b)，表示向右平移a个单位，向上平移b个单位。

那么平移点P(x, y)变为P'(x+a, y+b)。

在向量表示下，平移的运算可以转化为向量加法的形式，即P' = P+ u。

三、平移的坐标变换规律平移操作可以通过坐标变换规律来表示和计算。

设P(x, y)为初始点，P'(x', y')为平移后的点，则有以下坐标变换规律：1. x' = x + a，表示点的横坐标加上平移向量的水平分量。

2. y' = y + b，表示点的纵坐标加上平移向量的垂直分量。

根据这些坐标变换规律，我们可以快速计算出平移后的点的坐标。

四、平移的应用场景平移在几何学和数学中有广泛的应用，特别是在图形的移动和变换方面。

在平面几何中，平移可以用于平面图形的制作和变换。

将一个基础图形进行平移后，可以得到一些特定的图形，如正方形、长方形、菱形等。

在向量学中，平移被广泛应用于向量的运算和变换。

平移向量可以表示位移和速度等物理概念，并且用于解决向量方程和平衡力问题。

坐标平移的知识点总结一、坐标平移的定义在数学中，我们通常使用笛卡尔坐标系来表示平面上的点，其中x轴和y轴分别是水平方向和垂直方向。

对于平面上的任意一点P(x,y)，我们可以将它的坐标表示为一个有序数对(x,y)，其中x表示点P在x轴上的投影距离，y表示点P在y轴上的投影距离。

坐标平移是指将平面上的所有点按照相同的向量进行移动，即将点P(x,y)平移至P'(x',y')，其中x' = x + a，y' = y + b，(a,b)为平移向量。

通过坐标平移，所有的点都将按照相同的方向和距离进行移动，从而改变它们的位置。

坐标平移可以通过向量的加法来实现，即将每个点的坐标向量加上平移向量，从而得到平移后的新坐标。

二、坐标平移的性质1. 平移不改变点之间的距离和方向。

即经过平移变换后的点之间的距离和方向关系不变。

2. 平移不改变点的相对位置关系。

即对于平面上的任意两个点A和B，它们之间的距离、倾斜角等关系在进行平移变换后不改变。

3. 平移是可逆的。

即对于任意一个点P(x,y)，经过平移变换得到P'(x',y')，那么可以通过反向平移变换将P'(x',y')还原为P(x,y)。

4. 平移满足向量加法的性质。

即平移变换可以通过向量的加法来表示，满足结合律、交换律、单位元等性质。

5. 平移不改变点的轨迹。

即平面上的曲线、图形经过平移变换后，它们的轨迹关系不改变。

三、坐标平移的表示方法1. 向量表示法在向量表示法中，我们可以用向量来表示平移变换。

即平移向量(a,b)可以表示为一个有向线段，它的起点为原点O(0,0)，终点为点T(a,b)。

这样，对于任意一个点P(x,y)，它的平移后的新坐标可以表示为P'(x',y') = P(x,y) + (a,b)。

2. 矩阵表示法在矩阵表示法中，我们可以用矩阵来表示平移变换。

平移知识点总结一、平移的定义与基本概念平移是指在平面内，将一个图形按照指定方向和距离移动到另一个位置上，而不改变该图形的形状和大小。

平移可以由一个向量来表示，这个向量称为平移向量，它包括了平移的方向和距离。

二、平移的性质1. 平移不改变图形的形状和大小，仅仅是改变其位置。

2. 平移是向量运算，平移向量和图形上的点相加即可得到平移后的点坐标。

3. 平移是可逆的，即进行相反方向的平移即可回到原来位置。

4. 平移操作保持了图形的对称性，即对称图形的平移后仍然是对称图形。

三、平移的步骤1. 确定平移向量，包括方向和距离。

2. 将图形上的点与平移向量相加，得到平移后的点坐标。

3. 重绘平移后的图形。

四、平移的应用1. 平面几何中，平移常用于构造相似图形和证明几何定理。

2. 平移也常被用于计算机图形学、计算机游戏等领域，通过平移操作可以实现图形的移动效果。

3. 平移在日常生活中也有广泛应用，比如我们常见的公交车站牌、路标等都是通过平移来制作的。

五、平移与其他几何变换的区别1. 旋转：旋转是围绕某个中心点进行的，而平移是沿着指定方向和距离进行的。

2. 缩放：缩放是改变图形的大小，而平移不改变图形的大小，仅改变位置。

3. 翻转：翻转是将图形按照某个轴进行对称，而平移仅改变图形的位置。

六、平移的练习题与解答1. 将点A(-2, 5)进行平移，平移向量为(3, -4)。

平移后的点坐标为：A'(-2+3, 5-4) = A'(1, 1)。

2. 平移一个三角形ABC，平移向量为(-1, 2)。

平移后的三角形坐标为：A'(-1-1, 2+2)，B'(-1-1, 2+4)，C'(-1-3,2+2)。

七、总结平移是几何学中常用的一种变换方式，通过平移可以实现图形的移动而不改变其形状和大小。

掌握了平移的基本概念、性质和步骤，我们可以更好地理解和运用平移知识，应用于解题和实际问题中。

无论是在数学学习中，还是在日常生活中，平移都具有重要的应用价值。

平移知识点总结一、概念介绍平移是几何学中的一种基本变换，也称为平移变换或平动。

它是指通过移动物体上的每一点，使其按照同一方向、同一距离进行移动，从而将整个物体移动到新的位置，且保持物体内部的所有形状、大小、方向、角度等性质不变。

二、平移的基本性质1. 平移是一种刚体变换，保持物体的刚性特征不变。

2. 平移可以改变物体的位置，但不会改变物体的形状和大小。

3. 平移变换是在笛卡尔坐标系上进行的，通过确定平移方向和平移距离来确定新的位置。

三、平移的表示方法1. 向量表示法：平移可以使用向量来表示。

设平移矢量为→T，作用在点A上，则点A经过平移后的新位置B可以表示为：B = A + →T。

2. 坐标表示法：平移也可以使用坐标来表示。

设平移矢量为(Δx,Δy)，作用在点A(x, y)上，则点A经过平移后的新位置B可以表示为：B(x+Δx, y+Δy)。

四、平移的性质和运算规律1. 平移可以用于构造等距几何图形。

2. 两个平移可以交换次序，即T₁(T₂(A)) = T₂(T₁(A))。

3. 平移与自身的逆平移互为逆变换，即T(T(A)) = A。

4. 平移保持向量之间的距离和向量之间的夹角不变。

5. 平移变换满足封闭性，即平移变换的结果仍然是一条平行于初始位置的平行线。

五、平移的应用1. 平移广泛应用于计算机图形学、机器人技术、地图制作等领域。

2. 在计算机图形学中，平移被用于实现物体的移动和动画效果的制作。

3. 在机器人技术中，平移被用于控制机器人的运动和导航。

4. 在地图制作中，平移被用于绘制不同位置点之间的线段或方向。

5. 此外，平移还在日常生活中的导航、交通规划等方面有着广泛的应用。

六、总结平移是一种基本的几何变换，通过移动物体上的每一点，将整个物体移至新的位置。

它保持物体的形状、大小、方向和角度不变，具有重要的几何性质和运算规律。

平移在计算机图形学、机器人技术、地图制作等领域有着广泛的应用，对于理解和应用平移变换具有重要意义。

平移知识点总结在几何学中，平移是一种基本的图形变换操作，它将一个图形沿着特定方向和距离移动，而不改变其形状或大小。

平移操作常常用于解决几何问题和构建各种图形。

一、基础概念平移操作基于以下几个基础概念：1. 平移向量：平移向量是一个有大小和方向的向量，表示平移操作中的位移。

平移向量通常用箭头符号来表示，例如“→”。

2. 平移距离：平移距离指的是图形在平移操作中移动的距离，可以用长度单位表示，例如“2个单位”。

3. 平移方向：平移方向是指图形在平移操作中移动的方向，可以用箭头符号表示，例如“↑”表示向上平移。

二、平移规则平移操作遵循一些基本的规则：1. 平移向量和平移距离的关系：平移向量的大小和平移距离相等，但方向相反。

例如，如果平移向量是“→”，则平移距离为正数；如果平移向量是“←”，则平移距离为负数。

2. 平移方向与坐标轴的关系：平移方向与坐标轴之间存在一定的关系。

例如，在二维平面坐标系中，向右平移与正X轴方向平行，向上平移与正Y轴方向平行。

3. 平移次序：多个平移操作可以按照任意次序进行。

无论平移操作的次序如何，最终的结果都是相同的。

三、平移性质平移操作具有一些重要的性质：1. 保持平行性：平移操作不改变图形内部各点之间的相对位置关系，也就是说，平行的线段在平移后仍然保持平行。

2. 保持距离：平移操作不改变图形中任意两点之间的距离。

3. 保持形状和大小：平移操作不改变图形的形状和大小。

通过平移操作，图形可以在二维平面中任意位置移动，但仍然保持原始的形状和大小。

四、平移的应用平移操作广泛应用于几何学和图形构建中。

以下是一些常见的平移应用：1. 图形旋转和缩放：通过平移操作，可以将图形移动到指定的位置，然后进行旋转和缩放操作，从而构建各种复杂的图形。

2. 图形对称性：平移操作可以用于判断图形的对称性。

如果一个图形可以通过平移操作与自身重合，则说明该图形具有平移对称性。

3. 几何问题解决：平移操作可以用于解决各种几何问题，例如构建平行线段、判断线段是否相交等。

平移知识点总结平移是二维几何变换中的一种重要方式，它保持图形的大小和形状不变，只是位置发生了移动。

下面将对平移的基本概念、性质以及应用进行总结。

1. 基本概念平移是指在二维平面上，将一个图形沿着某个方向移动一定距离而不改变其形状和大小的变换。

平移由两个要素确定：平移方向（直线）和平移距离（长度）。

2. 平移的表示平移可以用向量表示。

设平移向量为（a, b），其中a表示平移在x轴方向上的位移，b表示平移在y轴方向上的位移。

若点P(x, y)经过平移变换后得到点P'(x+a, y+b)，则向量PP'即为平移向量。

3. 平移的性质（1）平移是保形变换，即图形的大小和形状不发生改变。

（2）平移是保角变换，即平移前后的两个角度大小保持不变。

（3）平移满足可逆性，即平移后再进行逆向平移，可恢复原图形。

4. 平移的性质证明（1）保形性证明：设平移前有线段AB和平行线l，进行平移后，线段A'B'与线段AB平行，且长度相等，平行线l'与直线l仍平行。

故平移保持图形的大小和形状不变。

（2）保角性证明：设平移前有两个角度∠ABC和∠DEF，进行平移后，有∠A'B'C'≌∠DEF。

故平移保持角度的大小不变。

（3）可逆性证明：设平移前有点P和平移向量（a，b），进行平移后得到P'，再进行以向量（-a，-b）的平移，可将P'恢复为原点P。

故平移满足可逆性。

5. 平移的应用（1）地图导航：在地图导航软件中，通过平移操作可以在地图上任意移动，实现地图的整体平移。

（2）图像处理：在图像处理软件中，平移操作可以将图像在画布上的位置进行调整，达到移动图像的效果。

（3）建筑设计：在建筑设计中，平移操作可以实现建筑物在平面图上的位置调整，方便对房间、门窗等元素进行布局。

总结：平移是二维几何变换中的一种重要方式，通过保持图形的大小和形状不变，只改变位置来实现。