(完整版)特殊四边形经典例题

《特殊平行四边形》典型例题例1:已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分．∴OA=OB．又∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形．∴矩形的对角线长AC=BD = 2O A=2×4=8（cm）．例2:已知：如图，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：x2+82=(x+4)2解得x=6．则 AD=6cm．（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE×DB＝AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．例3:已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：CE ＝EF．分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF ＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC．∴∠1=∠2．∵ DF⊥AE，∴∠AFD=90°．∴∠B=∠AFD．又 AD=AE，∴△ABE≌△DFA（AAS）．∴ AF=BE．∴ EF=EC．此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．例4:已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ CB=CD， CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，∴△BCE≌△COB（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC∴∠AFD=∠CBE．例5:已知：如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形.（提示：运用定义判定.）例6 （教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．例7:已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．证明：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．又DG⊥AE，∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．∴∠EAO=∠FDO．∴△AEO ≌△DFO．∴ OE=OF．例8:已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，∴ PN∥QM，∠PNM=90°．∵PQ∥NM，∴四边形PQMN是矩形．∵ 四边形ABCD 是正方形∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC （正方形的四条边都相等，四个角都是直角）． ∴ ∠1+∠2=90°．又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．∴ △ABM≌△DAN．∴ AM=DN． 同理 AN=DP ．∴ AM+AN=DN+DP即 MN=PN ．∴ 四边形PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．例4、如图是菱形花坛ABCD ，它的边长为20m ，∠ABC =60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m 和0.01m 2）.例5、如图，四边形ABCD是菱形. 对角线AC =8㎝，DB =6㎝，DH ⊥AB 与H .求DH 的长.【能力提高】1、如图A D 是⊿ABC 的角平分线，DE ∥AEDF 是菱形.2、已知如图，菱形ABCD 中，∠ADC （1）求BD 的长；（2）求菱形ABCD 的面积，（3）写出A 、B 、C 、D 的坐标.D C A B C C EA F D。

特殊平行四边形专题练习1、练习：①矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形对角线AC 长为______cm ．②．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，能判断它为矩形的题设是（ ）A ．AO=CO ，BO=DOB ．AO=BO=CO=DOC ．AB=BC ，AO=COD ．AO=CO ，BO=DO ，AC ⊥BD③．四边形ABCD 中，AD //BC ，则四边形ABCD 是 ___________，又对角线AC ，BD 交于点O ， 若∠1=∠2，则四边形ABCD 是_______________．2、练习：①．如图，BD 是菱形ABCD 的一条对角线，若∠ABD=65°，则∠A=_____．②． 一个菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则这个菱形的周长等于 cm,面积= cm 2③．若菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角的度数比为(三)正方形:3．练习：①正方形的面积为4，则它的边长为____，对角线长为_____．②已知正方形的对角线长是4，则它的边长是 ，面积是 。

③如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，连接DE ，EF ，要使四边形ADEF 是正方形，还需增加条件：_______．二、复习练习： （一）、选择题：1、矩形ABCD 的长AD=15cm ，宽AB=10cm ，∠ABC 的平分线分AD 边为AE 、ED两部分，这AE 、ED 的长分别为（ ）A ．11cm 和4cmB ．10cm 和5cmC ．9cm 和6cmD ．8cm 和7cm2、四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A ．AB=CD B ．AD=BC C ．AB=BC D ．AC=BD3、如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，则∠AEBO （ ） A. 10° B ．15° C ．20° D ．12.5°4、如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD 的周长是（ ） A. 4 B ．8 C ．12 D ．16ABDECABCDEEF（二）、填空题5、已知正方形ABCD 对角线AC ，BD 相交于点O ，•且AC=•16cm ，•则DO=•_____cm ， •BO=____cm ，∠OCD=____度．6、在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°， 且点A 的坐标为（0，2）,则点B 坐标（ ）， 点C 坐标为（ ），点D 坐标为（ ）。

特殊的平行四边形练习题（50题）菱形、矩形、正方形一、单选题（共18题；共36分）1.下列条件中，能判定一个四边形为矩形的条件是( )A. 对角线互相平分的四边形B. 对角线相等且平分的四边形C. 对角线相等的四边形D. 对角线相等且互相垂直的四边形【答案】B【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故B符合题意；C、对角线相等的四边形不是矩形，故C不符合题意；D、对角线相等且互相垂直的四边形不是矩形，故D不符合题意.故答案为：B.【分析】根据矩形的判定方法，逐项进行判断，即可求解2.如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH= c ，则下列各式中正确的是（）A. a > b > cB. a =b =cC. c > a > bD. b > c > a【答案】B【解析】【解答】解：连接OA、OD、OM，如图所示：则OA=OD=OM，∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，∴OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，∴a=b=c；故答案为：B.【分析】连接OA、OD、OM，则OA=OD=OM，由矩形的对角线相等得出OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，再由同圆的半径相等即可得出a=b=c.3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是( )A. 1B. 2C.D.【答案】 D【解析】【解答】解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∵AE=BE=AB=1，∴DE⊥AB，在Rt△ADE中，DE=，∴ PE+PB的最小值是.故答案为：D.【分析】连接DE交AC于P，连接BD，BP，根据菱形的性质得出B、D关于AC对称，得出DE就是PE+PB 的最小值，根据等边三角形的判定与性质得出DE⊥AB，再根据勾股定理求出DE的长，即可求解.4.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（）A. 4B. 2C.D.【答案】B【解析】【解答】解：设正方形的边长为xcm，根据题意得：x2+x2=22，∴x2=2，∴正方形的面积=x2=2（cm2）.故答案为：B.【分析】设正方形的边长为xcm，利用勾股定理列出方程，求出x2=2，即可求出正方形的面积为2.5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A. 72B. 24C. 48D. 96【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=4，∴BD=8，∵OA=6，∴AC=12，∴菱形ABCD的面积= AC•BD＝×12×8＝48．故答案为：C．【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．6.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC等于( )A. 73°B. 56°C. 68°D. 146°【答案】A【解析】【解答】如图，∵∠CBD=34°，∴∠CBE=180°﹣∠CBD=146°，由折叠的性质可得∠ABC=∠ABE= ∠CBE=73°.故答案为：A【分析】根据补角的知识可求出∠CBE，从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE= ∠CBE，可得出∠ABC的度数.7.如图，已知矩形AOBC的顶点O(0，0)，A（0，3），B(4，0)，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为（）A. (4，1)B. (4，)C. (4，)D. (4，)【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），∴OB＝4，OA＝BC＝3，∠OBC＝90°，∴OC＝＝5，作GH⊥OC于H，如图，由题意可知：OG平分∠BOC，∵GB⊥OB，GH⊥OC，∴GB＝GH，设GB＝GH＝x，由S△OBC＝×3×4＝×5×x+ ×4×x，解得：x＝，∴G（4，）.故答案为：B.【分析】根据勾股定理可得OC的长，作GH⊥OC于H，根据角平分线的性质可得GB＝GH，然后利用面积法求出GB即可.8.如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝6时，PQ的值是( )A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【解答】解：由图象可知：AE＝3，BE＝4，在Rt ABE中，∠AEB＝90°AB= =5当x＝6时，点P在BE上，如图,此时PE=4-(7-x)=x-3=6-3=3∵∠AEB＝90°, PQ⊥CD∴∠AEB=∠PQE=90°,在矩形ABCD中，AB//CD∴∠QEP=∠ABE∴PQE BAE, ∴=∴=∴PQ=故答案为：B.【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5,当x＝6时，点P在BE上，先求出PE的长，再根据△ PQE ∽△ BAE，求出PQ的长.9.如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位B. 向左平移个单位，再向上平移1个单位C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位【答案】 D【解析】【解答】解：因为B（1,1）由勾股定理可得OB=,所以OA=OB，而AB<OA.故以AB为对角线，OB//AC，由O（0,0）移到点B（1,1）需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，由平移的性质可得由A（,0）移到点C需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，故选D.【分析】根据平移的性质可得OB//AC，平移A到C，有两种平移的方法可使O，A，B，C四点构成的四边形是平行四边形；而OA=OB>AB，故当OA，OB为边时O，A，B，C四点构成的四边形是菱形，故点A平移到C的运动与点O平移到B的相同.10.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠AEF的度数等于（）A. 25ºB. 50ºC. 100ºD. 115º【答案】 D【解析】解析:∵把矩形ABCD沿EF对折，∴AD∥BC，∠BFE=∠2，∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，∴∠BFE==65°，∵∠AEF+∠BFE=180°，∴∠AEF=115°．故选D11.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A. ②③B. ③④C. ①②④D. ②③④【答案】 D【解析】【解答】∵AB＝1，AD＝，∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1．∴△OAB，△OCD为正三角形．AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．∴BF＝AB＝1，BF＝BO＝1．∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，∴∠CAH＝45°﹣30°＝15°．∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性质）∴∠AHC＝15°，∴CA＝CH由正三角形上的高的性质可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，∴BE＝3ED．所以正确的是②③④.故选D．【分析】这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质．12.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB 上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A. （3，1）B. （3，）C. （3，）D. （3，2）【答案】B【解析】【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y= ，∴点E坐标（3，）故选：B．【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．13.如图，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）．A. 3B. 4C. 5D.【答案】C【解析】【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM==5，故DN+MN的最小值是5．故选C．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．14.将矩形OABC如图放置，O为原点．若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（）A. （4，2）B. （2，4）C. （，3）D. （3，）【答案】 D【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，∵∠EAO+∠AOE=90°,∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO，∴∠AEO∽△COM，∴=，∵∠BAN+∠OAN=90°,∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中∴△ABN≌△OCM(AAS)，∴BN=CM，∵点A(−1,2),点B的纵坐标是，∴BN= ，∴CM= ，∴MO==2CM=3，∴点C的坐标是：(3, ).故选：D.【分析】次题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.15.如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 D【解析】【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠C=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB= FB•FG= S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选：D．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB= FB•FG= S四边形CEFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M 为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（）A. 5B.C.D.【答案】B【解析】【解答】设BE=x，则CE=6-x，∵四边形ABCD矩形，AB=4，∴AB=CD=4，∠C=∠B=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，又∵F是AB的中点，∴BF=2，又∵EF⊥ED，∴∠FED=90°，∴∠FEB+∠DEC=90°，∴∠FEB=∠CDE，∴△BFE∽△CED，∴=，∴=，∴（x-2）（x-4）=0，∴x=2，或x=4，①当x=2时，∴EF=2，DE=4，DF=2，∴AM=ME=，∴AE===2,②当x=4时，∴EF=2，DE=2，DF=2，∴AM=ME=，∴AE==2,AE==4,∴x=4不合题意，舍去故答案为：B.【分析】设BE=x，则CE=6-x，由矩形性质得出AB=CD=4，∠C=∠B=90°，又由EF⊥ED，根据同角的余角相等可得出∠FEB=∠CDE；由相似三角形的判定得出△BFE∽△CED，再根据相似三角形的性质得出=，由此列出方程从而求出x=2或x=4，分情况讨论：①当x=2时，由勾股定理算出AE===2,②当x=4时，由勾股定理算出AE==2,AE==4,故x=4不合题意，舍去.17.如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．18.如图,P是正方形ABCD内一点，∠APB=135，BP=1，AP=，求PC的值（）A. B. 3 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解.如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′，点C的对应点C′与点A重合.根据旋转的性质可得AP′=PC，BP′=BP，△PBP′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，然后由∠APB=135,可得出∠APP′=90°，再利用勾股定理列式计算求出.故选B.二、填空题（共15题；共16分）19.如图所示，△ABC为边长为4的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边的正方形ADEF的面积为________。

特殊平行四边形1、如图，四边形OABC 与四边形ODEF 都是正方形。

（1）当正方形ODEF 绕点O 在平面内旋转时，AD 与CF 有怎样的数量和位置关系?证明你的结论；（2）若ODEF 绕点O 旋转,当点D 转到直线OA 上时,DCO 恰好是30°,当点D 转到直线OA或直线OC 上时，求AD 的长。

（本小题只写出结论，不必写出过程)FEDCBAO2、如图，在正方形ABCD 中,点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除外),连接DP ，分别过点C 、A 作直线DP 的垂线,垂足为点E 、F.（1）当点P 在BC 的延长线上时，那么线段AF 、CE 、EF 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； （2）当点P 在BC 边上时，正方形的边长为2,AF 、CE 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； （3）在（2）的条件下，当CE=1时，求EF 的长.P FEDCB A DCBA3、菱形ABCD 中,点E 、F 分别在BC 、CD 边上，且B EAF ∠=∠。

（1）如果B ∠=60°，求证：AE=AF ； （2）如果）（︒<<︒=∠900ααB ，(1）中的结论：AE=AF 是否依然成立,请说明理由。

（3）如果AB 长为5,菱形ABCD 面积为20，BE=a ，求AF 的长。

(用含a 的式子表示）FED CBA4、如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合）.过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G 。

（1）BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系?证明你的结论.（2）连接DF ，如果正方形的边长为2,设AE=a ，求△DFG 的面积。

（用含a 的式子表示)（3）如果正方形的边长为2,FG 的长为25,求点C 到直线DE 的距离。

GFEDCBA5、已知,在矩形ABCD 中，AB=10，BC=20，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE=2。

《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型【知识梳理】 总体解题思路和方法：①直接证明：不一定按顺序，哪个结论最好证就先证哪个； ②已证明的结论可以作为题目的已知条件；③假设法：遇到不好证的，可以假设它成立，倒过去反推，若推出的结论与题目已知条件相符，说明假设成立，即结论也成立，反之，结论错误；④涉及几何计算时，常用解题技巧是：特殊值法或字母参数法【典型例题】例1.如图，在平行四边形ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③；④∠CFE=3∠DEF ；其中正确结论的个数有（ D ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：多结论题型，几何综合题型，压轴题（1）数学典型模型：“等腰△+平行线=角平分线”，∵FC=BC ，FC//AB ， ∴∠CFB=∠ABF=∠CBF ，∴∠ABC=2∠ABF ，①正确；（2）数学典型模型：“中线倍长”；延长BC 交EF 的延长线于点G ，由AAS 易证△DEF ≌△CGF ，则EF=FG ，∵AD//BC ，∴∠AEB=∠EBC=90°，则BF 是Rt △EBG 斜边上的中线，∴BF=EF=FG ，②正确； （3）由△DEF ≌△CGF 可得，由BF 是中线，可得， ∴，③正确；CBADEFGFEDABC（4）依几何图形的审题技巧：想办法拉近∠CFE与∠DEF的位置距离，由AD//BG，可得∠DEF=∠G，由BF=FG可得∠G=∠FBG，由CF=CB可得∠FBG=∠CFB，∴∠DEF=∠CFB，由外角定理可得∠EFB=∠G+∠FBC=2∠FBC=2∠CFB，∴∠CFE=3∠CFB=3∠DEF，④正确，故选D.例2.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD 是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论是___________解析：多结论题型，压轴题。

初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（）A．10B．12C．15D．20【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长=3AB=15．2.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（）A．20B．24C．28D．40【答案】A【解析】据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．3.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2【答案】B【解析】设菱形的对角线分别为8x和6x，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知（4x）2+（3x）2=25，解得x=1，故菱形的对角线分别为8cm和6cm，所以菱形的面积=×8×6=24cm2．4.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（）A．16 B．12 C．24 D．20【答案】B【解析】根据矩形性质求出AO=BO=4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．5.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】∵AC=2AB，∴∠BAC=60°，OA=OB，∴△OAB是正三角形，∴∠AOB的大小是60°．故选C．6.如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】利用角平分线的性质定理可得AC边上的高．进而求得所求三角形的面积．7.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【解析】先根据正方形的四边相等即对角线相等且互相平分的性质，可得AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，再根据等腰三角形的定义即可得出图中的等腰三角形的个数．8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）A．BE=AF B．∠DAF=∠BEC C．∠AFB+∠BEC="90°" D．AG⊥BE【答案】C【解析】∵ABCD是正方形，∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC．∵BF=CE，∴△ABF≌△BCE．∴AF=BE（第一个正确）．∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC（第三个错误）．∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°，∴∠DAF=∠BEC（第二个正确）．∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°．∴∠CBE+∠AFB=90°．∴AG⊥BE（第四个正确）．所以不正确的是C，故选C．9.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形【答案】C【解析】A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误；B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到，四边形ABCD是菱形，故此选项错误；C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两条对角线AC与BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误．10.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B【解析】由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．11.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形【答案】C【解析】由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠ADF，∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确．12.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_______度．【答案】65【解析】因为AB=AD，∠BAD=80°，可求∠ABD=50°；又BE=BO，所以∠BEO=∠BOE，根据三角形内角和定理求解．13.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是______．【答案】12【解析】易知四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则S△POF=S△AOE．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．14.如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABCnOn的面积为_______．【答案】【解析】后面的每一个平行四边形都与第一个矩形ABCD同底不同高，而第n个平行四边形的高是矩形ABCD的，所以平行四边形ABCn On的面积为．15.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_______．【答案】AC=BD或AB⊥BC【解析】∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件_______时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）【答案】AC=BC【解析】由已知可得四边形的四个角都为直角，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可知添加条件为AC=BC时，能说明CE=CF，即此四边形是正方形．17.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．计算：∠PBA=∠PCQ=30°．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形．∴∠ABC=∠BCD=90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形．∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°．∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°．∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°．∴∠PBA=∠PCQ=30°．【解析】因为矩形的内角是直角，等边三角形的内角是60∘，所以根据这两个特殊角可以计算角的度数．18.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【解析】若要证明四边形BEDF是菱形，只需要证明四边形BEDF是平行四边形即可，而DE∥BF，只需要证明DE=BF即可判定四边形BEDF是平行四边形，证明DE=BF可通过证明△OED≌△OFB．19.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．(1) 证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2) 若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3) 在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由．【答案】解：(1) ∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC．∴∠BAC =∠DAC．∵ AB=AD，∠BAF =∠DAF，AF=AF．∴△ABF≌△ADF．∴∠AFB=∠AFD．又∵∠CFE =∠AFB，∴∠AFD=∠CFE．∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．(2) ∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD．又∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD．∴∠DAC=∠ACD．∴AD=CD，∵AB="AD" ， CB=CD，∴AB=CB=CD=AD．∴四边形ABCD是菱形．(3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD．理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF．又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF．∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC =∠DEF=90°．∴∠EFD =∠BCD．【解析】(1)利用已知条件和公共边，证得△ABC≌△ADC，即可证明∠BAC=∠DAC；再证明△ABF≌△ADF，得到∠AFB=∠AFD，再利用对顶角相等，易知结论；(2)有平行线的性质和(1)中结论，易知∠DAC=∠ACD，所以AD=CD，进而证得AB=CB=CD=AD，即可证明结论；(3)当BE⊥CD时，有(2)可知BC="CD" ，∠BCF=∠DCF，利用△BCF≌△DCF证得∠CBF=∠CDF，再利用等角的余角相等即可证明结论∠EFD =∠BCD．20.已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．【答案】解：（1）答：四边形ABCD是菱形．证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，∴两个矩形全等，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AD=AB=BC=CD=5，∵BE=3，∴AE=4，∴DE=5+4=9，∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．【解析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC=CD得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．。

一、参考例题［例1］如下图，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F .(1)求证：EO =FO(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并说明你的结论.分析：(1)要证明OE =OF ，可借助第三条线段OC ，即证：OE =OC ，OF =OC ，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证△OEC 、△OCF 是等腰三角形，由已知条件即可证明.(2)假设四边形AECF 是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角. 由已知可得到：∠ECF =90°，由(1)可证得OE =OF ，所以要使四边形AECF 是矩形,只需OA =OC .证明：(1)∵CE 、CF 分别是∠ACB 、∠ACD 的平分线. ∴∠ACE =∠BCE ，∠ACF =∠DCF∵MN ∥BC ∴∠OEC =∠ECB ，∠OFC =∠FCD ∴∠ACE =∠OEC ，∠ACF =∠OFC ∴OE =OC ，OF =OC ∴OE =OF(2)当点O 运动到AC 的中点时，即OA =OC 又由(1)证得OE =OF∴四边形AECF 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) 由(1)知：∠ECA +∠ACF =21∠ACB +21∠ACD =21 (∠ACB +∠ACD )=90° 即∠ECF =90° ∴四边形AECF 是矩形.因此：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形.［例2］如下图，已知矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，OF ⊥AD 于F ，OF =3 cm ，AE ⊥BD 于E ，且BE ∶ED =1∶3，求AC 的长.分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE，进而得出AB=AO，即得出BE=OF=3 cm，求出BD 的长，即AC的长.解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD,OB=OD=OA=OC又∵BE∶ED=1∶3 ∴BE∶BO=1∶2 ∴BE=EO又∵AE⊥BO∴△ABE≌△ADE∴AB=OA即AB=AO=OB∴∠BAE=∠EAO=30°，∠F AO=30°∴△ABE≌△AOF∴BE=OF=3 cm,∴BD=12 cm ∴AC=BD=12 cm二、参考练习1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长.解：连结BD、BE、DF由折叠的意义可知：EF⊥BD，EF平分BD.∴BE=ED,BF=FD∵四边形ABCD为矩形∴AB=CD，AD=BC，∠C=90°，AD∥BC∴∠EDO=∠FBO∵点B和D重合∴BO=DO，∠BOF=∠DOE∴△BOF≌△DOE∴ED=BF，∴ED=BF=FD=BE∴四边形BFDE是菱形S菱形=21×BD×EF=BF×CD∵BF=DF，∴可设BF=DF=x则FC=8－x在Rt△FCD中，根据勾股定理得：x2=(8－x)2+62x =425 ∴6425682122⨯=⨯+⨯EF EF =7.5因此，折痕EF 的长为7.5 cm.2.当平行四边形ABCD 满足条件_________时，它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可).答案：∠BAC =90°或AC =BD 或OA =OB 或∠ABC +∠ADC =180°或∠BAD +∠BCD = 180°等条件中的任一个即可.典型例题例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且，求：（1）的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积．分析 （1）由E 为AB 的中点，，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴是AB 的中点，且，∴∴是等边三角形，∴也是等边三角形．∴（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分，∴∴，∴（3）菱形ABCD的面积说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．例2 已知：如图，在菱形ABCD中，于于F．求证：分析要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论．证明∵四边形ABCD是菱形，∴，且，∴，∴，，∴，∴例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，，，求的度数.解答：连结AC. ∵四边形ABCD为菱形，∴，.∴与为等边三角形. ∴∵，∴∴∴∵，∴为等边三角形. ∴∵，∴∴说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证.例4 如图，已知四边形和四边形都是矩形，且．求证：垂直平分．分析由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分．证明：∵四边形、都是矩形∴，，，∴四边形是平行四边形∵，∴在△和△中∴△≌△∴，∵四边形是平行四边形∴四边形是菱形∴平分∴平分∵∴垂直平分．例5 如图，中，，、在直线上，且．求证：．分析要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．证明∵四边形是平行四边形∴，，，∴∵，∴在△和△中∴△≌△∴∵∴同理：∴∵∴四边形是平行四边形∵∴四边形是菱形∴．典型例题例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数．解设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得，解得，∴∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°．例2 已知：如图，的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长比的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长．分析由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半＝30cm，又由的周长比的周长多8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长．解∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴∴答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm．说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．例 3 已知：如图，在中，交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．分析观察图形，，从而可说明证明在中，交于O，∴，∴，∴，∴例4 已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且，垂足为F。

1、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点. （1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1，则当时，求四边形EGFH的面积.2、在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，•用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图所示1．仿照上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示． .（1）在△ABC中，增加条件：_________，沿着_______一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置上． .（2）在△ABC中，增加条件：_________，沿着_______一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置上． .（3）在△ABC中，增加条件：_________，沿着_______一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置上． .（4）在△ABC中（AB≠AC），一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，•其操作过程（剪切线的作法）是：___________，然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示5的位置上．（10分）3、如图，已知正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H.求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE.（2）当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由.4、如图，在△中，∠，的垂直平分线交于，交于，在上，且． .⑴求证：四边形ACEF是平行四边形；⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由． .5、已知：如图，正方形ABCD中，点E是BA延长线上一点，连接DE，点F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G. DH平分∠ADE交CF于点H，连接BH.（1）若DG=2，求DH的长；（2）求证：BH+DH=CH.6、如图,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C．(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．(3)若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．7、如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，BG⊥CE，垂足为点O,交AC于点F，交AD于点G。

初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1. (2011福建莆田)如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．(1)求证：DB＝CF；(2)如果AC＝BC，试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．【答案】见解析【解析】(1)证明：∵CF∥AB，∴∠DAE＝∠CFE．又∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF．∵AD＝DB，∴DB＝CF．(2)四边形BDCF是矩形．证明：由(1)知DB＝CF，又DB∥CF，∴四边形BDCF为平行四边形．∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB．∴四边形BDCF是矩形．2.矩形ABCD中，点O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为20cm，则AB的长为()A．1cmB．2cmC．cmD．cm【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC．又∵O是BC的中点，∴BO＝CO，∴△ABO≌△DCO，∴AO＝DO．∵∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∴∠BAO＝∠AOB＝45°，∴AB＝OB．设AB＝xcm，则BC＝2xcm，∴2(x＋2x)＝20，解得，故选D．3. (2014重庆)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】在矩形ABCD中，OA＝OB＝OC＝OD，所以∠OBC＝∠OCB＝30°，所以∠AOB＝∠OCB＋∠OBC＝60°．4.(2014四川巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF．(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是________，并证明；(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．【答案】见解析【解析】(1)添加条件：BE∥CF(答案不唯一)．证明：如图，∵BE∥CF，∴∠1＝∠2．∵点H是边BC的中点，∴BH＝CH．又∵∠3＝∠4，∴△BEH≌△CFH．(2)当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形，理由如下：连接BF，CE．∵△BEH≌△CFH．∴EH＝FH，又BH＝CH，∴四边形BFCE是平行四边形．又∵BH＝EH，∴EF＝BC，∴四边形BFCE是矩形．5.已知在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为矩形，添加的条件可以是________．(只填一个即可)【答案】∠A＝90°(答案不唯一)【解析】由可知，该四边形是平行四边形，根据矩形的定义，只要加上条件“一个角是直角”即可，故填∠A＝90°，或∠B＝90°，或∠C＝90°，或∠D＝90°．6.如图所示，在□ABCD中，点E，F分别为BC边上的点，且BE＝CF，AF＝DE求证：□ABCD是矩形．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．∵BE＝CF，∴BF＝CE．又∵AF＝DE，∴△ABF≌△DCE．∴∠B＝∠C．又∵∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°．∴□ABCD是矩形．【解析】已知四边形ABCD是平行四边形，欲证它是矩形，只需证一角是直角即可，由题意易知△ABF≌△DCE，而∠B＋∠C＝180°，因此有∠B＝∠C＝90°，问题迎刃而解．7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点B与顶点D重合，折痕为EF．若，AD＝3，则△DEF的周长为________．【答案】6【解析】∵沿EF折叠后，点B与点D重合，点A在点A′的位置，∴A′E＝AE，，BF＝DF．∵四边形ABCD为矩形，∴，BC＝AD＝3，∠C＝∠A＝90°．在Rt△DCF中，设CF＝x，则DF＝BF＝3－x，由勾股定理得，解得x＝1，∴DF＝3－x＝3－1＝2．同理，DE＝2．连接BD，交EF于点O，则点B与点D关于EF称，∴，BD⊥EF．在Rt△EDO中，，由DE＝DF，BD⊥EF，得EO＝OF＝1，∴EF＝2，∴△DEF的周长为DE＋DF＋EF＝2＋2＋2＝6．8.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD、BC于点E、F，AB＝2，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】矩形ABCD的面积＝AB·BC＝2×4＝8，图中阴影部分面积的和等于矩形面积的一半，故选C．9.如图，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF＝15°，求∠DOC与∠COF的度数．【答案】75°【解析】解：∵DF平分∠ADC，∴∠FDC＝45°．又∵∠BDF＝15°，∴∠BDC＝45°＋15°＝60°．又∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC＝BO＝OD，∴△DOC是等边三角形．∴∠DOC＝60°．在Rt△DCF中，∠FDC＝45°，∴CF＝CD＝OC，∴∠COF＝∠CFO．又∵∠OCF＝90°－∠OCD＝90°－60°＝30°，∴∠COF＝75°．10.（2013湖南邵阳）如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件________，使四边形ABCD为矩形．【答案】∠B＝90°（答案不唯一）【解析】∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，∴AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．当∠B＝90°时，平行四边形ABCD为矩形，∴添加的条件为∠B＝90°．11.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()A．AB＝CDB．AD＝BCC．∠AOB＝45°D．∠ABC＝90°【答案】D【解析】因为四边形ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD为平行四边形，A、B两选项为平行四边形具有的性质，C选项添加后也不是矩形，根据矩形的定义知D正确．故选D．12.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A．对角相等B．对角线互相平分C．一组对边平行另一组对边相等D．对角线相等【答案】D【解析】矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．13.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．(1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由：(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．(提示：旋转前后，图形中对应的角和对应的边分别相等)【答案】见解析【解析】(1)DE⊥FG，理由如下：由题意得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°．∴∠BDE＋∠BED＝90°．∴∠GFE＋∠BED＝90°．∴∠FHE＝90°．∴DE⊥FG．(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE，∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°．∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE．∴四边形CBEG是正方形．14.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( )A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【解析】在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，所以等腰三角形有△ABC，△ADC，△ABD，△CBD，△OAB，△OBC，△OCD，△OAD．15.下列命题错误的是( )A．有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形D ．有一个角是直角的菱形是正方形【答案】A【解析】由定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，A 不正确，故选A ．16. 如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 也是正方形A′B′C′O 的一个顶点，两个正方形的边长都等于1，当正方形A′B′C′O 绕顶点O 转动时，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？并说明理由．【答案】两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终为．理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°． ∵四边形A′B′C′O 是正方形， ∴∠EOF ＝90°，∴∠BOC ＝∠EOF ． ∴∠BOC －∠BOF ＝∠EOF －∠BOF ，即∠COF ＝∠BOE ．∴△BOE ≌△COF(ASA)，∴S △BOE ＝S △COF ．∴重叠部分面积等于S △BOC ．∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1，∴，即两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终为．【解析】正方形的两条对角线分正方形为四个全等的等腰直角三角形．通过证△BOE ≌△COF ，得．17. 如图，将矩形ABCD 中的△AOB 沿着BC 的方向平移线段AD 长的距离．（1）画出△AOB 平移后的图形．（2）设（1）中O 点平移后的对应点为E ，试判断四边形CODE 的形状，并说明理由．（3）当四边形ABCD 是什么四边形时，（2）中的四边形CODE 是正方形？并说明你的理由．【答案】（1）平移后的图形如图．（2）四边形CODE 是菱形．理由如下：∵△AOB 平移后得到△DEC ， ∴DE ∥AC ，CE ∥BD ． ∵四边形ABCD 是矩形，∴，，且AC＝BD，∵OC＝OD，∴四边形CODE是菱形．（3）当四边形ABCD是正方形时，（2）中的四边形CODE是正方形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∴菱形CODE是正方形．【解析】在图形移动过程中，图形的大小、形状不变，可得四边形CODE是菱形．当AC⊥BD 时，四边形CODE是正方形，此时四边形ABCD是正方形．18.（2013江苏南京）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD 上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB．（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°．又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN．∴四边形MPND是正方形．19.（2013济宁）如图中图（1），在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF＝BE．（2）如图中图（2），在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．【答案】（1）证明：如图（1），在正方形ABCD中，AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴BE＝AF．（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图（2），过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则BE＝NQ，AF＝MP．只需证BE＝AF即可．与（1）的情况完全相同．【解析】（1）根据正方形的性质可得AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，再根据同角的余角相等求∠ABE＝∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的性质证明即可；（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后解法与（1）相同．20.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下面能判断这个四边形是正方形的是（）A．AD⊥CD，AC＝BDB．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【解析】对角线相等、互相平分且垂直的四边形是正方形．21.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A、C作l的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为________．【答案】【解析】由题意，知△BFC≌△AEB，∴CF＝BE，∴．22. 已知，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A ．∠D ＝90°B ．AB ＝CDC ．AD ＝BCD ．BC ＝CD【答案】D【解析】由∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°可判定为矩形，根据正方形的定义，再添加条件“一组邻边相等”即可判定为正方形，故选D ．23. (2014福建福州)如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为( )A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】由已知得AB ＝AE ，∠BAE ＝150°，∴∠ABF ＝15°，∴∠BFC ＝∠ABF ＋∠BAF ＝15°＋45°＝60°．24. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是________．【答案】1【解析】由题意可知△DEO ≌△BFO ，∴S △DEO ＝S △BFO ，∴．25. 如图所示，在菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，AB ＝4cm ．那么，菱形ABCD的面积是________，对角线BD的长是________．【答案】cm2；cm【解析】在菱形ABCD中，由AE垂直平分BC可知△ABC是正三角形，故BC＝AC＝4cm，由勾股定理可知cm，∴菱形ABCD的面积是(cm2)，同时菱形的面积还等于两条对角线乘积的一半，∴对角线BD的长为(cm)．26.如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，并且BD＝4，AC＝6，．(1)AC与BD有什么位置关系？为什么？(2)四边形ABCD是菱形吗？为什么？【答案】见解析【解析】(1)AC⊥BD，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，．在△OBC中，OC2＋OB2＝9＋4＝13＝BC2，∴△OBC为直角三角形，即OC⊥OB，∴AC⊥BD．(2)四边形ABCD是菱形，理由如下：∵AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形．27.(2012山西)如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )A．cmB．cmC．cmD．cm【答案】D【解析】由菱形的性质知菱形边长为(cm)，所以，得cm，故选D．28. (2013山东潍坊)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)【答案】本题答案不唯一，如OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC等【解析】根据对角线互相垂直平分可添加OA＝OC；或添加AD＝BC或AB＝DC或AD∥BC或AB∥DC或AB＝BC或AD＝DC，由三角形全等得到AO＝CO，再由对角线互相垂直平分得到四边形ABCD是菱形．29.如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，求证：四边形AFCE是菱形．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠CAE＝∠ACF又∵∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∴△AOE≌△COF．∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵EF⊥AC．∴四边形AFCE是菱形．【解析】要证四边形AFCE是菱形，首先要证四边形AFCE是平行四边形．30.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝10．(1)求∠ABC的度数；(2)求对角线AC的长度；(3)求菱形ABCD的面积．【答案】(1)连接BD，交AC于点O，如图．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．∵E是AB的中点，且DE⊥AB，∴AD＝BD．∴△ABD是等边三角形．∴∠ABD＝60°．∴∠ABC＝60°×2＝120°．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分．∴．∴在Rt△AOB中，，∴．(3)．【解析】(1)连接BD，与AC相交于点O，可证△ABD是等边三角形，所以∠ABD＝60°，可得∠ABC的度数；(2)在Rt△OAB中，由勾股定理可求出OA的长，则AC＝2OA；(3)根据菱形的面积公式可求其面积．。