第十章 稳恒磁场

磁场 磁感应强度 基本磁现象1、通有电流的导线周围，小磁针会发生偏转。

2、磁铁附近的载流导线及载流线圈会受到力的作用。

3、载流导线之间或载流线圈之间有相互作用力。

4、电子射线束在磁场中路径发生偏转。

一切磁现象的根源是电流。

任何物质的分子中都存在有圆形电流，称为分子电流．分子电流相当于一个基元磁铁。

当物体不显示磁性时，各分子电流作无规则的排列， 它们对外界所产生的磁效应互相抵消。

在外磁场的作用下，与分子电流相当的基元磁铁将趋向于沿外磁场方向取向，从而使整个物体对外显示磁性。

磁感应强度磁现象中，电流与电流之间，电流与磁铁之间以及磁铁与磁铁之间的相互作用是通过一种叫磁场的特殊物质来传递的。

磁场对外的重要表现：1、磁场对进入场中的运动电荷或载流导体有磁力的作用；2、载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力将对载流导体作功，表明磁场具有能量。

引入磁感应强度矢量B 来描述磁场的强弱和方向。

试验线圈（线度必须小，其引入不影响原有磁场的性质）的面积为 S ∆，线圈中电流为0I ，则定义试验线圈的磁矩为 n S I P m ∆0= 磁矩是矢量，其方向与线圈的法线方向一致，n 表示沿法线方向的单位矢量，法线与电流流向成右螺旋系。

（附图）线圈受到磁场作用的力矩(称为磁力矩)使试验线圈转到一定的位置而稳定平衡。

此时，线圈所受的磁力矩为零，此时线圈正法线所指的方向，定义为线圈所在处的磁场方向。

如果转动试验线圈，只要线圈稍偏离平衡位置，线圈所受磁力矩就不为零。

当试验线圈从平衡位置转过090时，线圈所受磁力矩为最大。

在磁场中给定点处，比值m P M max 仅与试验线圈所在位置有关，即只与试验线圈所在处的磁场性质有关。

规定磁感应强度矢量B 大小为m P M B max =磁场中某点处磁感应强度的方向与该点处试验线圈在稳定平衡位置时的法线方向相同；磁感应强度的量值等于具有单位磁矩的试验线圈所受到的最大磁力矩。

单位：磁感应强度的国际单位为特斯拉，简称特。

班级学号 第十次 稳恒磁场 得分 姓名 基本内容和主要公式1. 电流强度和电流密度电流强度：单位时间内通过导体截面的电荷量 （电流强度是标量，可正可负） 电流密度：电流密度是矢量，其方向决定于该点的场强E的方向（正电荷流动的方向），其大小等于通过该点并垂直于电流的单位截面的电流强度d QI d t = ， dI j e dS=， ⎰⎰⋅=SS d j I2. 电流的连续性方程和恒定电流条件电流的连续性方程：流出闭合曲面的电流等于单位时间闭合曲面内电量增量的负值（其实质是电荷守恒定律） dt dq S d j -=⋅⎰⎰ ， （ tj ∂∂-=⋅∇ρ ）恒定电流条件： 0=⋅⎰⎰S d j， （ 0=⋅∇j）3. 欧姆定律和焦耳定律及其微分形式U I R=， j E σ=， 2Q A I Rt == ， 2p E σ=4. 电动势的定义：单位正电荷沿闭合电路运行一周非静电力所作的功⎰+-⋅==l d K qAε， K dlε=⎰5. 磁感应强度：是描述磁场的物理量，是矢量，其大小为0sin F B q v θ=，式中F 是运动电荷0q 所受洛伦兹力，其方向由 0F q v B =⨯决定磁感应线：为了形象地表示磁场在空间的分布，引入一族曲线，曲线的切向表示磁场的方向，密度是磁感应强度的大小磁通量：sB dS φ=⎰⎰（可形象地看成是穿过曲面磁感应线的条数）6．毕奥一萨伐尔定律：034Idl r dB r μπ⨯=34LIdl rB rμπ⨯=⎰7．磁场的高斯定理和安培环路定理磁场的高斯定理：0SB dS =⎰⎰、 （ 0B ∇=） （表明磁场是无源场） 安培环路定理： 0i LiB dl I μ=∑⎰、 LSB dl j dS =⎰⎰⎰、(0B j μ∇⨯=)（安培环路定理表明磁场是有旋场）8．安培定律： dF Idl B =⨯、LF Idl B =⨯⎰磁场对载流线圈的作用: M m B =⨯ (m 是载流线圈的磁矩 m IS =)9．洛伦兹力：运动电荷所受磁场的作用力称为洛伦兹力 f qv B =⨯带电粒子在匀强磁场中的运动：运动电荷在匀强磁场中作螺旋运动，运动半径为m v R qB⊥=周期为 2m T qBπ=、螺距为 2m v h v T qBπ==霍尔效应 ： 12H IB V V K h-= 式中H K 称为霍尔系数，可正可负，为正时表明正电荷导电，为负时表明负电荷导电 1H K nq=10．磁化强度 磁场强度 磁化电流 磁介质中的安培环路定理m M τ∑=∆ 、 L LM dl I =∑⎰ ，内 、 n i M e =⨯ ， 0BH M μ=-、 m M H χ= 、 00m r B H H μχμμμ== （1+）H= 0i LiH dl I =∑⎰、 LSH dl j dS =⎰⎰⎰练习题一．选择题1.如图所示电路，已知电流流向，则A 、B 两点电热关系为 ［ C ］ A ． A U 一定大于BUB ． A U 一定小于B UC ．不确定，要由ε，I ，R ，r 等值决定D ． A U 等于BU2.把截面相同的直铜丝和钨丝串联接在一直流电路中，铜、钨的电流密度和电场强度的大小分别为j 1、j 2和E 1、E 2，则有： ［ A ］A ． 21j j =，21E E <B ． 21j j =，21E E =C ． 21j j =，21E E >D ． 21j j >，21E E > E ． 21j j <，21E E < 3．一电流元位于直角坐标系原点，电流沿z 轴正向，空间一点),,(z y x P 的磁感应强度沿x 轴的分量是 [ B ]A ．02224()yIdlx y z μπ-++ B ．0322224()yIdlx y z μπ-++C ．0322224()xIdlx y z μπ-++ D ． 04．四条相互平行的载流长直导线电流强度均为I ，分布在边长为a 2的正方形四个顶点上，电流方向如图-1所示，则中心O 点处的磁感应强度大小为 [ D ]A ． 02IB aμπ=B．0IB aπ=C ．0=BD ．aI B πμ0=5．电流强度为I 的无限长载流导线弯成如图-2所示形状，其中四分之三圆周的圆心在O 点，半径为R 。

第九章稳恒磁场静止电荷在周围只产生电场——静电场，而同一电荷在运动时周围既产生电场又产生磁场。

由于运动和静止是相对的，所以关于电场和磁场的这种现象说明电场和磁场有相对性联系。

磁场的性质用磁感应强度这一物理量来描述，磁感应强度通常随时间而改变，若磁感应强度不随时间而改变，则称为稳恒磁场。

本章将研究稳恒电流产生的磁场，导出磁场中的高斯定理和安培环路定理，从而得到稳恒磁场的场方程，并阐明稳恒磁场的基本规律。

最后，研究磁场对电流和带电粒子的作用以及磁场及磁介质的相互作用及影响。

一、教学目标1、熟练掌握毕奥- 萨伐尔定律2、掌握安培环路定律3、掌握磁场叠加原理4、理解洛仑兹力和安培力的公式，了解磁矩的概念二、教学重点安培环路定律的应用三、教学难点毕奥- 萨伐尔定律的应用四、教学方法讲授法、公式法、图象法、类比法五、教学过程§ 9.1 磁场磁感应强度一、基本磁现象磁现象：1、天然磁体周围有磁场；2、通电导线周围有磁场；3、电子束周围有磁场。

（这三条表现为磁场使小磁针发生偏转）4、 通电线能使小磁针偏转；5、 磁体的磁场能给通电线以力的作用；6、 通电导线之间有力的作用；7、 磁体的磁场能给通电线圈以力矩作用； 8通电线圈之间有力的作用；9、天然磁体能使电子束偏转。

（后面这几条表现为相互吸引、排斥、偏 转等）1820年，奥斯特发现了电流的磁效应。

安培指出：天然磁性的产生 也是由于磁体内部有电流流动，每个磁性分子内部，都自然地包含一环 形电流，称为分子电流，每个分子电流相当于一个极小的磁体，称为分 子磁距。

电荷的运动是一切磁现象的根源，一方面，运动的电荷在其周 围激发磁场；另一方面，运动电荷在空间除了受到电场力的作用外，还 受到磁场力的作用。

二、磁感应强度1、 磁场1） 磁力的传递者是磁场 2） 磁场对外的重要表现磁场对进入场中的运动电荷或载流导体有磁力的作用载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力对载流导体作功，表明磁场 具有能量 磁场与电场一样、是客观存在的特殊形态的物质。

第十章 稳恒磁场问题10-1 你能说出一些有关电流元d I l 激发磁场d B 与电荷元d q 激发电场d E 有何异同吗？解 电流元激发的磁场与电荷元激发的电场是两个基元场. 由毕奥—萨伐尔定律定律得电流元d I l 激发的磁场为 0r2d d 4I rμ⨯=πl e B由电荷元电场强度公式得电荷元d q 激发的电场为20d d 4qr ε=πE相同点： 这两个场的大小都与场点到“元”（电流元、电荷元）的距离平方成反比； 这两个场都是矢量场，满足叠加原理.相异点： 电荷元产生的电场呈球对称，其方向与r 的方向相同或相反；电流元产生的磁场不具有球对称性，其方向垂直于d l 与r 组成的平面，遵从右手螺旋法则. 另外，d E 的大小与电荷元的电量d q 成正比，而d B 的大小不仅与d I l 的大小成正比，还与其方向有关.10-2 在球面上铅直和水平的两个圆中通以相等的电流，电流流向如图所示.问球心O 处磁感强度的方向是怎样?解 由右手螺旋法则可知，铅直的圆中电流在O 处产生的磁场方向垂直于铅直面向里；水平圆中电流在O 处产生的磁场方向垂直于水平面向下；并且这两个圆产生的磁感应强度大小相等。

所以球心处总的磁感应强度斜向里，与竖直向上方向的夹角为135.10-3 电流分布如图所示,图中有三个环路1、2和3. 磁感强度沿其中每一个环路的线积分各为多少？解 由安培环路定理0i id lI μ⋅=∑⎰B l 可知环路1 101d l I μ⋅=⎰B l 环路2 202d l I μ⋅=⎰B l 环路3()3012d 2l I I μ⋅=-⎰B lOII10-4 “无限长”载流直导线的磁感强度02IB dμ=π可从毕奥-萨伐尔定律求得.你能否用安培环路定律来求得呢? 如果可以,需要作哪些假设条件呢?解 “无限长”载流直导线周围的磁场分布呈轴对称，距离导线相等处的场点磁感强度大小相等. 取以直导线为中轴线、半径为d 的同心圆为积分路径，积分方向与直导线中电流方向遵从右手螺旋定则. 由安培环路定律可得2ld B d I μ=π=⎰B l ⋅02IB dμ=π在此解法中需要场点距直导线的距离d 为有限.10-5 如图所示,在一个圆形电流的平面内取一个同心的圆形闭合回路,并使这两个圆同轴,且互相平行.由于此闭合回路内不包含电流,所以把安培环路定理用于上述闭合回路可得d 0l⋅=⎰B l由此结果能否说在闭合回路上各点的磁感强度为零?解 不能，d 0l⋅=⎰B l 不仅与磁感强度的大小有关，还与磁感强度与积分路径的夹角θ有关. 当90θ=时，d 0l⋅=⎰B l 也成立.10-6 如图所示,设在水平面内有许多根长直载流导线彼此紧挨着排成一行,每根导线中的电流相同. 你能求出邻近平面中部A 、B 两点的磁感强度吗？A 、B 两点附近的磁场可看作均匀磁场吗？解 由于导线数目甚多，且电流分布均匀，相当于一个无限大带电平面. 由对称性可知，在平面中部附近各点的磁感强度大小相等. 设各导线中的电流为I ，单位长度的导线数目为n . 如图所示，取长为L 的矩形回路abcd ，回路内所包含的电流为nIL ，且使ab 、cd 边与磁场平行，bc 、da 边与磁场垂直，所以由安培环路定律可知0d d d labcdnIL μ=+=⎰⎰⎰B l B l B l ⋅⋅⋅012B nI μ=可见当导线电流、导线分布密度一定时，在平面中部附近的场强可以视为均匀磁场.O I10-7 如果一个电子在通过空间某一区域时，电子运动的路径不发生偏转，我们能否说这个区域没有磁场？解 由洛仑兹力e =-⨯F v B 可知，电子进入磁场是否受力偏转与电子进入磁场时的速度方向有关，若电子进入磁场时初始速度方向与磁场方向平行，即sin 00vB ⨯==v B此时虽然磁感强度不为零，但电子运动路径不会发生偏转.10-8 方程q =⨯F v B 中的三个矢量，哪些矢量始终是正交的？哪些矢量之间可以有任意角度？解 由右手螺旋法则可知 q =⨯F v B 中 ，力F 与粒子速度v ，F 与磁感强度B 始终正交，v 与B 可以有任意角度.10-9 气泡室是借助于小气泡显示在室内通过的带电粒子径迹的装置，如图是气泡室中所摄照片的描绘图，磁感强度B 的方向垂直平面向外，在照片的点P 处有两条曲线，试判断哪一条径迹是电子形成的？哪一条是正电子形成的？解 由q =⨯F v B 可知向右偏离的径迹是正电子形成的, 向左下偏离的径迹是电子形成的.10-10 在磁场中，若穿过某一闭合曲面的磁通量为零，那么，穿过另一非闭合曲面的磁通量是否也为零呢？解 不一定. 磁场为有旋无源场，由磁场中的高斯定理可知，穿过任一闭合曲面的磁通量必为零，即d 0SΦ=⋅=⎰B S ；而穿过一非闭和曲面的磁通量不一定为零，例如处于均匀磁场中的半球面S ，磁感强度的方向与半球面中轴线平行，则穿过此半球面的磁通量为2d 2SR B Φ=⋅=π⎰B S .10-11 安培定律d d I =⨯F l B 中的三个矢量，哪两个矢量始终是哪些矢量始终是正交的？哪些矢量之间可以有任意角度？解 由右手螺旋法则可知d d I =⨯F l B 中, 安培力d F 与d I l 、安培力d F 与磁感强度B 始终是正交的, d I l 与B 之间可以有任意角度.10-12 如图，把一载流线圈放入一永久磁铁的磁场中，在磁场的作用下线圈将发生转动.（1）图（a ）中的线圈怎样转动？（2）图（b ）中的线圈由上往下看是顺时针在转动，问磁铁哪一边是N 极，哪一边是S 极？（3）图（c ）中的线圈由上往下看是反时针在转动，问线圈中电流的流向怎样？解 (1) 图（a ）中的线圈由上往下看是反时针转动. （2）图（b ）中左边磁铁是N 极,右边磁铁是S 极. （3）图（c ）中线圈电流是顺时针.10-13 如均匀磁场的方向铅直向下，一矩形导线回路的平面与水平面一致，试问这个回路上的电流沿哪个方向流动时，它才处于稳定平衡状态？解 载流回路在磁场中会受到磁场的作用. 要矩形导线回路处于平衡状态，则要求整个导线回路所受合力及磁力矩都为零. 由于回路为矩形，无论电流流向如何，它所受合外力均为零. 同时要使回路所受磁力矩也为零，由n IS =⨯M e B 可知，载流线圈的n e 方向必须与磁感强度的方向相同，回路所受的磁力矩才为零，即电流方向与磁感强度方向应遵从右手螺旋定则.10-14 如图所示，有两个圆电流A 和B 平行放置，这两个圆电流间是吸引还是排斥?解 圆电流A 产生的磁场与B 产生的磁场方向相反, 它们之间相互排斥.10-15 若在上题两圆电流A 和B 之间放置一平行的圆电流C （如图），这个圆电流如何运动？解 由各圆电流产生的磁场方向可知,圆电流A和C 相互吸引, 圆电流C 与B 相互排斥,所以圆电流C 向A 移动.INSIS N(a)(b)(c)A1I 2I 3I BC1I 2I AB习题10-1 如图所示，两根长直导线互相平行的放置，导线内电流大小相等均为10A I =，方向相同，求图中M 、N 两点的磁感强度B 的大小和方向（图中00.020m r =）.解 由无限长带电直导线在距离其r 处的磁感强度大小为02IB rμ=π可知，两导线在M 点产生的磁感强度大小相等为12002M M IB B r μ==π由右手螺旋法则可知它们的方向相反，由磁场的叠加可得M 点的磁感强度0M B =同理N 点的磁感强度为120000()cos()4N N N II B B B r r π=+=+4π4π 4001.010T Ir μ-==⨯2π其方向沿水平向左.10-2 已知地球北极地磁场磁感强度B 的大小为56.010T -⨯. 如图所示,如设想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发, 此电流有多大? 流向如何?解 设赤道圆电流为I ，地球半径为66.3710m R =⨯。

授课章节第10章稳恒磁场教学目的掌握运用毕奥-萨伐尔定律计算磁感应强度的方法．理解磁场的高斯定理．掌握安培环路定理及求解磁场分布的方法．熟练使用安培定律计算载流导线或载流回路所受的磁力和磁力矩．掌握洛仑兹力公式，并能用此求解运动问题．了解顺磁质、抗磁质和铁磁质的特点及磁化机理．掌握有磁介质时的安培环路定理，并能用其求解磁场分布．教学重点、难点毕奥-萨伐尔定律；安培环路定理；洛仑兹力；顺磁质、抗磁质的磁化机理；教学内容备注§10.1磁场磁感应强度一、基本磁现象磁体有不可分割两个磁极，N极和S极;1820年丹麦物理学家奥斯特发现电流的磁效应。

磁场和电场一样具有能量、动量和质量，是一种特殊的物质，叫场物质。

二、磁感应强度磁场对外的重要表现是：(1)磁场对进入场中的运动电荷或载流导体有磁力的作用；(2)载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力将对载流导体作功，表明磁场具有能量。

1.磁矩设线圈的面积为ΔS，线圈中电流为I，则线圈的磁矩定义为mP=IΔS n磁矩mP是矢量,电流I 的方向与n的方向成右手螺旋系.线圈的磁矩是表征线圈本身特性的物理量。

2.试验线圈在磁场中受到的磁力矩：当线圈转到一定位置时、线圈受到的磁力矩为零，这个位置叫平衡位置； 线圈从平衡位置转过90°时线圈受到的磁力矩最大；m P M ∝max在磁场中的一定点、比值m P M m ax 不变；在磁场中的不同点比值mP M m ax不同。

3.磁感应强度矢量B大小为 B=mP M m ax； B 的单位 特斯拉， (T)．三、磁通量 磁场中的高斯定理 1.磁力线 磁场中作一系列曲线，曲线上每一点的切线方向为磁场B方向，垂直于该点B 矢量的单位面积的磁力线条数，为该点B矢量的量值．(1)磁力线都是环绕电流的闭合曲线，磁场是涡旋场．(2)任何两条磁力线在空间不相交．(3)磁力线的环绕方向与电流方向用右手定则．2.磁通量穿过磁场中某一曲面的磁力线总数，称为穿过该曲面的磁通量，用符号m Φ表示．m d Φ=S d B⋅ 而通过曲面S 的磁通量为m Φ=⎰⋅SS d B磁通量的单位： 韦伯(Wb )，1Wb =12m T ⋅。

152 第十章 稳恒电流的磁场基 本 要 求一、理解磁感应强杜、磁通量、磁矩等概念。

二、掌握反映稳恒电流磁场特性的两个基本定律，即高斯定理和安培环路定理。

三、掌握运用毕奥—萨伐尔定律和安培环路定理求载流导体周围磁场的基本方法。

四、掌握洛仑兹公式和安培定律，并能运用它们计算运动电荷和载流导线在磁场中所受的力以及载流线圈在磁场中所受的磁力矩。

五、掌握载流导线和载流线圈在磁场中运动时，磁力做功的计算方法。

内 容 提 要一、磁感应强度B磁感应强度可以用磁场力的三个公式（运动电荷所受的磁场力公式、电流所受的磁场力公式、载流线圈所受的磁力矩公式）定义。

例如从安培力的角度，B 定义为单位电流元在该处所受的最大安培力。

()IdldF B max安=二、磁力线 磁通量磁力线的特征 1. 闭合曲线；2. 与电流相互套连；3. 方向与电流的方向服从右手螺旋定则。

153磁通量的定义式S B d d Φm ⋅=⎰⋅=Sm d ΦS B三、磁场的基本规律 1、毕−萨定律24r πId d r l B ⨯=真空磁导率 m/A T 10470⋅⨯=-πμ 磁介质的相对磁导率 r μ磁介质的绝对磁导率（简称磁导率） r μμμ0= 2、叠加原理∑=ii B B ， ⎰=B B d利用毕−萨定律和叠加原理，原则上可以求任意电流的磁场分布。

3、B 的高斯定理 (磁通连续方程)⎰=⋅Sd 0S B4、安培环路定理真空中∑⎰=⋅内Id Lμl B有磁介质时∑⎰=⋅I d Ll H154 H B μ=四、几种典型电流的磁感应强度一段载流直导线 ()210c o s c o s 4φφ-=rπIμB 无限长载流直导线 rπIμB 20=无限长均匀载流薄圆筒 rπIμB B 2,00==外内 无限长载流密绕直螺线管，细螺绕环 0,0==外内B nI μB 圆电流圈的圆心和轴线上 ()23220轴线022/x R πISμB R I μB +==，中心五、磁力公式1、运动电荷所受的磁场力(洛仑兹力) B v f ⨯=q 洛2、电流所受的磁场力（安培力）电流元所受的磁场力 B l F ⨯=Id d 电流L 所受的磁场力 ⎰⨯=LId B l F3、载流线圈的磁矩和载流线圈受受的磁力矩载流线圈的磁矩 S p I m = 载流线圈受的磁力矩 B p M ⨯=m155解题方法与例题分析一、运用毕−萨定律和叠加原理，求磁感应强度B解题思路：先将载流导线分割成电流元，任一电流元在空间某点产生的磁感应强度用B d 表示,根据场的叠加原理求得整个导线的磁感应强度⎰=B B d 。