回溯法与分支界限法(精)

0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。

对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有0-1赋值。

例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。

物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。

问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,),xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。

0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。

否则，将右子树剪去。

设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。

当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。

计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。

例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。

这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。

以物品单位重量价值的递减序装入物品。

先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。

由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。

回溯法与分支限界法的分析与比较摘要：通过对回溯法与分支限界法的简要介绍，进一步分析和比较这两种算法在求解问题时的差异，并通过具体的应用来说明两种算法的应用场景及侧重点。

关键词：回溯法分支限界法n后问题布线问题1、引言1.1回溯法回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。

算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。

如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。

这种以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法。

1.2分支限界法分支限界法是以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树，在每一个活结点处，计算一个函数值，并根据函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解，这种方法称为分支限界法。

2、回溯法的基本思想用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间至少应包含问题的一个解。

之后还应将解空间很好的组织起来，使得能用回溯法方便的搜索整个解空间。

在组织解空间时常用到两种典型的解空间树，即子集树和排列树。

确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点出发，以深度优先方式搜索整个解空间。

这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。

在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。

这个新结点就成为新的活结点，并成为当前扩展结点。

如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。

此时，应往回移动至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。

回溯法以这种工作方式递归的在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。

3、分支限界法的基本思想用分支限界法解问题时，同样也应明确定义问题的解空间。

之后还应将解空间很好的组织起来。

分支限界法也有两种组织解空间的方法，即队列式分支限界法和优先队列式分支限界法。

0-1背包问题计科1班朱润华 32方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。

对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有0-1赋值。

例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。

物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。

问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。

0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。

否则，将右子树剪去。

设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。

当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。

计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。

例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。

这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。

以物品单位重量价值的递减序装入物品。

先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装的物品2。

由此得一个解为[1,,1,1]，其相应价值为22。

尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。

算法设计中的回溯与分支限界在算法设计中，回溯（backtracking）和分支限界（branch and bound）是两个重要的技术手段。

它们在解决一些求解最优化问题或搜索问题时具有广泛的应用。

本文将介绍回溯和分支限界的基本概念、原理和应用，并探讨它们在算法设计中的意义和作用。

一、回溯算法回溯算法是一种穷举搜索算法，通过遍历问题的解空间来求解问题。

其基本思想是从初始解开始，逐步地扩展解的空间，直到找到满足问题要求的解。

如果扩展到某一步时发现无法继续扩展，那么就回溯到上一步，并继续向其他可能的解空间进行扩展。

回溯算法通常使用递归的方式实现。

回溯算法的应用非常广泛，适用于求解组合优化、满足约束条件的问题，例如八皇后问题、0-1背包问题、图的哈密顿路径等。

回溯算法虽然简单直观，但由于其穷举搜索的性质，时间复杂度较高，因此在面对问题规模较大时不一定是最优的选择。

二、分支限界算法分支限界算法是一种在解空间中搜索最优解的算法。

它通过在搜索过程中设定上、下界限制来避免对无效解的搜索，从而提高搜索效率。

分支限界算法通常使用优先队列（priority queue）来存储待扩展的节点，并按照一定的优先级进行扩展，每次选择优先级最高的节点进行扩展。

在扩展过程中，通过修剪（pruning）无效解的策略，可以进一步提高搜索效率。

分支限界算法的应用范围广泛，适用于求解组合优化问题、图论问题等。

通过合理的界限设定和剪枝策略，分支限界算法能够大幅减少搜索空间，提高求解效率。

但需要注意的是，分支限界算法并不能保证一定能够找到最优解，只能保证找到满足要求的解。

三、回溯与分支限界的比较回溯算法和分支限界算法都是基于搜索的算法，二者都可以求解组合优化问题和搜索问题。

回溯算法在搜索过程中对解空间进行穷举，而分支限界算法通过设定界限和剪枝策略来减少搜索空间。

因此，相较于回溯算法，分支限界算法具有更高的搜索效率。

然而，回溯算法也有其优点。

回溯法与分支限界法
回溯法和分支限界法是两种常见的搜索算法，它们被广泛应用于解决优化问题、约束满足问题以及决策问题等。

1. 回溯法：
回溯法是一种基于试错的搜索算法。

它通过搜索解空间树来寻找问题的解。

在搜索过程中，回溯法会尝试不同的分支，也就是不同的可能解，直到找到解或者确定无解。

如果一条路径上无法得到解，回溯法就会回溯到上一步，尝试其他的分支。

回溯法的优点是它可以找到问题的所有解，而且对于一些问题，它能够找到最优解。

然而，它的缺点是如果问题的解空间树太大，那么回溯法可能会需要大量的时间和空间。

2. 分支限界法：
分支限界法是一种有约束的深度优先搜索算法。

它也是一种用于求解优化问题的算法。

在分支限界法中，搜索过程被分为两个阶段：扩展阶段和限界阶段。

在扩展阶段，算法会生成所有可能的候选解，并将它们加入到候选解集中。

在限界阶段，算法会根据一些启发式信息对候选解进行排序，并只考虑排在最前面的候选解。

这样可以大大减少搜索的时间和空间复杂度。

分支限界法的优点是它可以找到问题的最优解，而且它的时间复杂度是可以控制的。

然而，它的缺点是如果问题的解空间树太大，那么它可能需要大量的内存来存储候选解。

总的来说，回溯法和分支限界法都是非常重要的搜索算法，它们在不同的场景下都有各自的优势和适用性。

一、实验内容：分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。

注：0/1背包问题：给定种物品和一个容量为的背包，物品的重n C i 量是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装i w i v 入背包中的物品的总价值最大。

其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。

二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.蛮力法求解0/1背包问题：1）基本思想：对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。

在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。

2）代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100//最多可能物体数struct goods //物品结构体{int sign;//物品序号int w;//物品重量int p;//物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);}int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];/*蛮力法求解0/1背包问题*/int Force(int i){if(i>n-1){if(bestP<cp&&cw+a[i].w<=C){for (int k=0;k<n;k++)X[k]=cx[k];//存储最优路径bestP=cp;}return bestP;}cw=cw+a[i].w;cp=cp+a[i].p;cx[i]=1;//装入背包Force(i+1);cw=cw-a[i].w;cp=cp-a[i].p;cx[i]=0;//不装入背包Force(i+1);return bestP;}int KnapSack1(int n,goods a[],int C,int x[]){Force(0);return bestP;}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n);//输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C);//输入背包容量for (int i=0;i<n;i++)//输入物品i 的重量w 及其价值v {printf("物品%d 的重量w[%d]及其价值v[%d]:",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);//调用蛮力法求0/1背包问题printf("蛮力法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("]装入总价值%d\n",sum1);bestP=0,cp=0,cw=0;//恢复初始化}3）复杂度分析：蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为：。

回溯法和分支限界法是解决问题时常用的两种算法。

它们都是一种搜索算法，用于在问题空间中寻找问题的解。

虽然它们有着相似的目的，但它们在实现过程和特点上有着不同之处。

下面将对回溯法和分支限界法进行简要的比较，以便更好地理解它们的异同点。

一、回溯法回溯法，又称试探法，是一种通过深度优先搜索的方式来解决问题的算法。

其基本思想是从问题的解空间树根节点出发，按深度优先的方式搜索整个解空间树。

在搜索过程中，当发现到达某个节点时，如果这个节点不满足约束条件，那么就进行回溯，返回到上一层节点继续搜索。

回溯法在寻找解的过程中，常常使用递归进行实现。

回溯法的特点：1. 深度优先搜索：回溯法使用深度优先搜索的方式遍历解空间树，这意味着它会尽可能深地探索每一个节点，直到找到问题的解或者发现无解。

2. 适用范围广：回溯法可以解决非常多种类的问题，比如八皇后问题、0-1背包问题等等。

只要问题可以建模成解空间树的形式，就可以使用回溯法进行解决。

3. 隐式的剪枝：在回溯法的搜索过程中，由于采用了深度优先搜索的方式，所以会自带一定的隐式剪枝效果。

即在搜索到某一节点时，如果发现不满足约束条件，就会立即回溯，从而避免继续搜索无效的节点。

二、分支限界法分支限界法也是一种搜索算法，它与回溯法有相似之处，但在实现细节上有所不同。

分支限界法通过不断将解空间树中的节点分支并进行评估，然后根据当前状态的下界限定来减少搜索范围，从而达到快速寻找最优解的目的。

分支限界法的特点：1. 显式的剪枝：与回溯法不同，分支限界法会显式地在搜索过程中对节点进行剪枝。

这是因为分支限界法在每次分支后都会对节点进行评估，并根据评估结果进行剪枝操作，从而避免不必要的搜索。

2. 寻找最优解：相比于回溯法，分支限界法更适合寻找最优解。

由于它能够通过不断地削减搜索空间来加速搜索过程，因此更适合解决那些需要找到最优解的问题。

3. 需要维护优先队列：在分支限界法的实现过程中，通常需要维护一个优先队列，用于存储待扩展的节点，并根据评估函数的结果进行排序。