2017中考题型四反比例函数与一次函数综合题

反比例函数和一次函数结合的题型
题目：
一条直线贯穿着反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 和一次函数
$y=mx+n$ 的图象，交点坐标为 $(2,3)$，求这两个函数的解析式。

解答：
设直线的解析式为 $y=ax+b$，则由于交点坐标为 $(2,3)$，所以有：
$$\begin{cases}3=2a+b \\ \dfrac{k}{2}=3a+b\end{cases}$$
解以上方程组可以得到 $a=-\dfrac{3}{4},b=\dfrac{15}{4}$。

因此，直线的解析式为 $y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{15}{4}$。

将其与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 和一次函数 $y=mx+n$ 分别相交可以得到：
$$\begin{cases}\dfrac{k}{2}=-\dfrac{3}{4}\cdot
2+\dfrac{15}{4}\\\dfrac{k}{4}=-\dfrac{3}{4}\cdot
4+\dfrac{15}{4}\end{cases}$$
解以上方程组得到 $k=12$，因此反比例函数的解析式为
$y=\dfrac{12}{x}$。

将直线与一次函数相交可以得到：
$$\begin{cases}n=3-\dfrac{3}{4}\cdot
2\\\dfrac{15}{4}=2m+n\end{cases}$$
解以上方程组得到 $m=\dfrac{13}{8},n=\dfrac{9}{4}$，因此一次函数的解析式为 $y=\dfrac{13}{8}x+\dfrac{9}{4}$。

反比例函数与一次函数的综合应用1．已知一次函数y1＝kx﹣b与反比例函数y2＝，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当kx＜+b时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜3B．﹣1＜x＜0或x＞3C．﹣3＜x＜0或x＞1D．x＞32．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是（3，6），且AB＝BC．（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出当x取何值时，k1x+b＜．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于A（2，m）和B（6，2）．（1）求直线AB的表达式；（2）△AOB的面积是；（3）点A到OB的距离AH的长度是．4．如图，一次函数y1＝﹣2x+b的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，交反比例函数y2＝图象于A（﹣1，6），B（m，﹣2）两点．（1）求k，b的值；（2）点E是y轴上点C下方一点，若S＝，求E点的坐标；△AEB（3）当y1＞y2时，x的取值范围是．5．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；（3）若点P在线段AB上，且S：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．△AOP参考答案与试题解析1．已知一次函数y1＝kx﹣b与反比例函数y2＝，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当kx＜+b时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜3B．﹣1＜x＜0或x＞3C．﹣3＜x＜0或x＞1D．x＞3【解答】解：根据题意得：当y1＜y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞3，∴当kx＜+b时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞3．故选：B．2．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是（3，6），且AB＝BC．（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出当x取何值时，k1x+b＜．【解答】解：（1）∵点C（3，6）在反比例函数y＝的图象上，∴k2＝3×6＝18，∴反比例函数的解析式为y＝；如图，作CE⊥x轴于E，∵C（3，6），AB＝BC，∴B（0，3），∵B、C在y＝k1x+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+3；（2）由，解得或，∴D（﹣6，﹣3），＝S△BOC+S△BOD＝×3×3+×3×6＝；∴S△COD（3）由图象可得，当0＜x＜3或x＜﹣6时，k1x+b＜．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于A（2，m）和B（6，2）．（1）求直线AB的表达式；（2）△AOB的面积是16；（3）点A到OB的距离AH的长度是．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，由题意可知：k＝6×2＝12，∴y＝，∵A（2，m）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝＝6，∴A（2，6），∵A（2，6）、B（6，2）在一次函数y＝ax+b的图象上，∴，解得，∴直线AB的表达式为y＝﹣x+8；（2）设直线AB与x轴的交点为C，令y＝0，则﹣x+8＝0，解得x＝8，∴C（8，0），＝S△AOC﹣S△BOC＝﹣＝16，∴S△AOB故答案为：16；（3）∵B（6，2），∴OB＝＝2，∵S＝OB•AH＝16，△AOB∴AH＝＝，故答案为：．4．如图，一次函数y1＝﹣2x+b的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，交反比例函数y2＝图象于A（﹣1，6），B（m，﹣2）两点．（1）求k，b的值；＝，求E点的坐标；（2）点E是y轴上点C下方一点，若S△AEB（3）当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3．【解答】解：（1）将A（﹣1，6）代入一次函数y＝﹣2x+b，得b＝4；将A（﹣1，6）代入，得k＝﹣6．（2）设E（a，0），将B（m，﹣2）代入，得m＝3，∴B（3，﹣2）∴）＝2CE＝2（4﹣a）＝，∴E（0，）；（3）观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3，故答案为：x＜﹣1或0＜x＜3．5．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．（3）若点P在线段AB上，且S△AOP【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过A（1，2），∴k2＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵B（﹣2，n）在比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1，∴B（﹣2，﹣1），∵直线y＝k1x+b经过A（1，2），B（﹣2，﹣1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）观察图象，k1x+b＞的x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1；（3）设P（x，x+1），：S△BOP＝1：4，∵S△AOP∴AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，∴（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，解得x1＝，x2＝2（舍去），∴P点坐标为（，）．。

题型四　反比例函数与一次函数综合题针对演练1. 如图，一次函数y＝kx＋1(k≠0)与反比例函数y＝(m≠0)的图象有公共点A(1，2)，直线l⊥x轴于点N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点B，C，连接AC.(1)求k和m的值；(2)求点B的坐标；(3)求△ABC的面积．第1题图2. 已知正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点P，已知△OAP的面积为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)有一点B的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x轴上是否存在一点M，使得MA＋MB最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. 如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D.(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数，当y＜－1时，写出x的取值范围；(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图4. (2016巴中10分)已知，如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴，垂足为D.若OB＝2OA ＝3OD＝6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx＋b≤的解集．第4题图5. 如图，点A(－2，n)，B(1，－2)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；(3)若C是x轴上一动点，设t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．第5题图6. 如图，直线y1＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y2＝(x>0)的图象交于点P，过点P作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC.(1)求点P的坐标和反比例函数y2的解析式；(2)请直接写出y1>y2时，x的取值范围；(3)反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．第6题图7. 如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝(x＜0)交于点A(－1，n)．(1)求直线与双曲线的解析式；(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．第7题图8. (2016金华8分)如图，直线y＝x－与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝(k＞0)图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.(1)求点A的坐标；(2)若AE＝AC.①求k的值；②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．第8题图9. 如图，已知双曲线y＝经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.(1)求k的值；(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．第9题图10. 如图，点B为双曲线y＝(x＞0)上一点，直线AB平行于y轴，交直线y＝x于点A，交x轴于点D，双曲线y＝与直线y＝x交于点C，若OB2－AB2＝4.(1)求k的值；(2)点B的横坐标为4时，求△ABC的面积；(3)双曲线上是否存在点P，使△APC∽△AOD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第10题图【答案】1．解：(1)∵点A(1，2)是一次函数y＝kx＋1与反比例函数y＝的公共点，∴k＋1＝2，＝2，∴k＝1，m＝2；(2)∵直线l⊥x轴于点N(3，0)，且与一次函数的图象交于点B，∴点B的横坐标为3，将x＝3代入y＝x＋1，得y＝3＋1＝4，∴点B的坐标为(3，4)；(3)如解图，过点A作AD⊥直线l，垂足为点D，由题意得，点C的横坐标为3，∵点C在反比例函数图象上，∴y＝＝，∴C点坐标为(3，)，∴BC＝BN－CN＝4－＝，又∵AD＝3－1＝2，∴S△ABC＝BC·AD＝××2＝.第1题解图2．解：(1)设A点的坐标为(x，y)，则OP＝x，PA＝y，∵△OAP的面积为1，∴xy＝1，∴xy＝2，即k＝2，∴反比例函数的解析式为；(2)存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小，∵点B的横坐标为2，∴点B的纵坐标为y＝＝1，即点B的坐标为（2,1）.又∵两个函数图象在第一象限交于A点，∴，解得x1＝1，x2＝－1(舍去)．∴y＝2，∴点A的坐标为(1，2)，∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得，∴直线A′B的解析式为y＝3x－5，令y＝0，得x＝，∴直线y＝3x－5与x轴的交点为(，0)，即点M的坐标为(，0)．第2题解图3．解：(1)∵反比例函数y＝图象上的点A、B的横坐标分别为1、－2，∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(－2，－1)，∵点A(1，2)、B(－2，－1)在一次函数y＝kx＋b的图象上，∴∴一次函数的解析式为y＝x＋1；(2)由图象知，对于反比例函数，当y＜－1时，x的取值范围是－2＜x＜0；(3)存在．对于y＝x＋1，当y＝0时，x＝－1，当x＝0时，y＝1，∴点D的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，1)，设点P(m，n)，∵S△ODP＝2S△OCA，∴×1×(－n)＝2××1×1，∴n＝－2，∵点P(m，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝，∴m＝－1，∴点P的坐标为(－1，－2)．4．解：(1)∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OA＝3，OD＝2.∴A(3，0)，B(0，6)，D(－2，0)．将点A(3，0)和B(0，6)代入y＝kx＋b得，∴一次函数的解析式为y＝－2x＋6. ……………………(3分)将x＝－2代入y＝－2x＋6，得y＝－2×(－2)＋6＝10，∴点C的坐标为(－2，10)．将点C(－2，10)代入y＝，得10＝，解得n＝－20，∴反比例函数的解析式为；………………………(5分)(2)将两个函数解析式组成方程组，得解得x1＝－2，x2＝5. ………………………………………(7分)将x＝5代入∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分)(3)－2≤x＜0或x≥5. …………………………………… (10分)【解法提示】不等式kx＋b≤的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x的取值范围，也就是－2≤x＜0或x≥5.5．解：(1)∵点A(－2，n)，B(1，－2)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，∴m＝－2，∴反比例函数解析式为，∴n＝1，∴点A(－2，1)，将点A(－2，1)，B(1，－2)代入y＝kx＋b，得∴一次函数的解析式为y＝－x－1；(2)结合图象知：当－2＜x＜0或x＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′延长交x轴于点C，则点C即为所求，∵A(－2，1)，∴A′(－2，－1)，设直线A′B的解析式为y＝mx＋n，∴y＝－x－，令y＝0，得x＝－5，则C点坐标为(－5，0)，∴t的最大值为A′B＝＝.第5题解图6．解：(1)∵一次函数y1＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴A(－4，0)，C(0，1)，又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴点P的坐标为(4，2)，将点P(4，2)代入y2＝，得m＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝；(2)x>4；【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x＞4.(3)存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC与PB交于点E，∵四边形BCPD为菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，∴D点的坐标为(8，1)，将D(8，1)代入反比例函数，D点坐标满足函数关系式，即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)．第6题解图7．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4，∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，将A(－1，－5)代入y＝(x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为；(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4，∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴在△OMB中，sin45°＝＝，∴OM＝2，∵AO＝＝，∴在△AOM中，sin∠OAB＝＝＝；第7题解图(3)存在．如解图，过点A作AN⊥y轴于点N，则AN＝1，BN＝1，∴AB＝＝，∵OB＝OC＝4，∴BC＝＝4，又∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠OBA＝∠BCD＝135°，∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，∴＝或＝，即＝或＝，∴CD＝2或CD＝16，∵点C(4，0)，∴点D的坐标是(6，0)或(20，0)．8．解：(1)当y＝0时，得0＝x－，解得x＝3.∴点A的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分) (2)①如解图，过点C作CF⊥x轴于点F.设AE＝AC＝t, 点E的坐标是(3，t).在Rt△AOB中， tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°.在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，∴CF＝t，AF＝AC·cos30°＝t，∴点C的坐标是(3＋t，t)．∵点C、E在y＝的图象上，∴(3＋t)×t＝3t，解得t1＝0(舍去)，t2＝2，∴k＝3t＝6； …………………………………………… (5分)②点E与点D关于原点O成中心对称，理由如下：由①知，点E的坐标为(3，2)，设点D的坐标是(x，x－)，∴x(x－)＝6，解得x1＝6(舍去)，x2＝－3，∴点D的坐标是(－3，－2)，∴点E与点D关于原点O成中心对称．…………………(8分)第8题解图9．解：(1)∵双曲线y＝经过点D(6，1)，∴＝1，解得k＝6；(2)设点C到BD的距离为h，∵点D的坐标为(6，1)，DB⊥y轴，∴BD＝6，∴S△BCD＝×6×h＝12，解得h＝4，∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1－4＝－3，∴＝－3，解得x＝－2，∴点C的坐标为(－2，－3)，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则∴直线CD的解析式为y＝x－2；(3)AB∥CD.理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点D的坐标为(6，1)，设点C的坐标为(c，)，∴点A、B的坐标分别为A(c，0)，B(0，1)，设直线AB的解析式为y＝mx＋n，则∴直线AB的解析式为y＝－＋1，设直线CD的解析式为y＝ex＋f，则∴直线CD的解析式为y＝－＋，∵AB、CD的解析式中k都等于，∴AB与CD的位置关系是AB∥CD.10．解：(1)设D点坐标为(a，0)，∵AB∥y轴，点A在直线y＝x上，B为双曲线y＝(x＞0)上一点，∴A点坐标为(a，a)，B点坐标为(a，)，∴AB＝a－，BD＝，在Rt△OBD中，OB2＝BD2＋OD2＝()2＋a2，∵OB2－AB2＝4，∴()2＋a2－(a－)2＝4，∴k＝2；(2)如解图，过点C作CM⊥AB于点M，∴C点坐标为(，)，∵点B的横坐标为4，∴A点坐标为(4，4)，B点坐标为(4，)，∴AB＝4－＝，CM＝4－，∴S△ABC＝CM·AB＝×(4－)×＝7－；第10题解图(3)不存在，理由如下：若△APC∽△AOD，∵△AOD为等腰直角三角形，∴△APC为等腰直角三角形，∠ACP＝90°，∴CM＝AP，设P点坐标为(a，)，则A点坐标为(a，a)，∴AP＝|a－|，∵C点坐标为(，)，∴CM＝|a－|，∴|a－|＝|a－|，∴(a－)2＝×，即(a－)2＝×，∴4a2－(a＋)2＝0，解得a＝或a＝－(舍去)，∴P点坐标为(，)，则此时点C与点P重合，所以不能构成三角形，故不存在．。

一次函数与反比例函数的综合四边形1，如图12，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)my x x=>的图象经过点D ，点P 是一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象与该反比例函数图象的一个公共点.（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过点C ；（3）对于一次函数33(0)y kx k k =+-≠，当y x 随的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. 2，看图说故事。

请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x 、y 满足图示的函数关系式，要求：①指出x 和y 的含义；②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中需设计“速度”这个量3，如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，点E （4，n ）在边AB 上，反比例函数（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D 、E ，且tan ∠BOA=．（1）求边AB 的长；（2）求反比例函数的解析式和n 的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，将矩形折叠，使点O 与点F 重合，折痕分别与x 、y 轴正半轴交于点H 、G ，求线段OG 的长．4．如图5，双曲线)0(>=k xky 与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ．5，如图9，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x +b (b ≥0)的位置随b 的不同取值而变化． (1)已知⊙M 的圆心坐标为(4，2)，半径为2．当b = 时，直线l ：y =－2x +b (b ≥0)经过圆心M ： 当b = 时，直线l ：y = －2x +b (b ≥0)与OM 相切：(2)若把⊙M 换成矩形ABCD ，其三个顶点坐标分别为：A (2，0)、BC 6，O )、C (6，2). 设直线l 扫过矩形ABCD 的面积为S ，当b 由小到大变化时，请求出S 与b 的函数关系式，6，如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，∠A ＝90°，AB ＝AC ，A （－2，0）、B （0，1）、C （d ，2）。

一次函数与反比例函数综合题类型一 反比例函数与一次函数综合1. (2017湘潭)已知反比例函数y ＝kx 的图象过点A (3，1)． (1)求反比例函数的解析式；(2) 若一次函数y ＝ax ＋6(a ≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．2. (2017武汉)如图，直线y ＝2x ＋4与反比例函数y ＝kx 的图象相交于A (－3，a )和B 两点． (1)求k 的值；(2)直线y ＝m (m >0)与直线AB 相交于点M ，与反比例函数y ＝kx 的图象相交于点N .若MN ＝4，求m 的值．第2题图3. (2017泸州二诊)如图，已知A (－4，n )，B (2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 和反比例函数y ＝mx 的图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出方程kx ＋b －mx ＝0的解．第3题图4. (2017资阳模拟)如图，已知直线y ＝kx 与双曲线y ＝4x (x >0)相交于点A (2，m )，将直线y ＝kx 向下平移2个单位长度后与y 轴相交于点B ，与双曲线交于点C ，连接AB 、AC .第4题图(1)求直线BC 的函数表达式； (2)求△ABC 的面积．类型二 反比例函数与几何图形综合5. 如图，已知，A (0，4)，B (－3，0)，C (2，0)，D 为B 点关于AC 的对称点，反比例函数y ＝kx 的图象经过D 点． (1)证明四边形ABCD 为菱形； (2)求此反比例函数的解析式；(3)已知在y ＝kx 的图象(x >0)上有一点N ，y 轴正半轴上有一点M ，且四边形ABMN 是平行四边形，求M 点的坐标．第5题图6. (2017泰安)如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的斜边OA 在x轴的正半轴上，∠OBA ＝90°，且tan ∠AOB ＝12，OB ＝25，反比例函数y ＝kx 的图象经过点B . (1)求反比例函数的表达式；(2)若△AMB 与△AOB 关于直线AB 对称，一次函数y ＝mx ＋n 的图象过点M 、A ，求一次函数的表达式．第6题图类型三 反比例函数与一次函数、几何图形综合7. 如图，双曲线y ＝kx (x >0)经过△OAB 的顶点A 和OB 的中点C ，AB ∥x 轴，点A 的坐标为(4，6)，连接AC 交x 轴于D ，连接BD . (1)确定k 的值； (2)求直线AC 的解析式；(3)判断四边形OABD 的形状，并说明理由；(4)求△OAC 的面积．第7题图8. (2017绵阳模拟)如图，直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx 的图象相交于A (1，4)，B 两点，延长AO 交反比例函数图象于点C ，连接OB .(1)求k 和b 的值；(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围； (3)在y 轴上是否存在一点P ，使S △PAC ＝25S △AOB ？若存在，请求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．第8题图答案1. 解：(1)将点A (3，1)代入反比例函数解析式中， 得1＝k 3， ∴k ＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝3x ； (2)对于一次函数y ＝ax ＋6(a ≠0)，联立两解析式得⎩⎨⎧y ＝3x y ＝ax ＋6，消去y 得3x ＝ax ＋6，去分母得ax 2＋6x －3＝0 ①，∵一次函数与反比例函数图象只有一个交点， ∴①式中Δ＝62－4a ×(－3)＝0， 解得a ＝－3≠0，∴一次函数解析式为y ＝－3x ＋6.2. 解：(1) ∵直线y ＝2x ＋4与反比例函数y ＝kx 的图象相交于A (－3，a )，∴a ＝2×(－3)＋4＝－2， ∴点A 坐标为(－3，－2)， k ＝xy ＝(－3)×(－2)＝6； (2) ∵M 在直线y ＝2x ＋4上， ∴设M (m －42，m )，∵N 在反比例函数y ＝6x 上， ∴设N (6m ，m )，∴MN ＝x M －x N ＝m －42－6m ＝4或MN ＝x N －x M ＝6m －m －42＝4， ∵m ＞0，∴解得m ＝6＋43或m ＝2.3. 解：(1)∵点B (2，－4)在函数y ＝mx 的图象上， ∴m ＝－8，∴反比例函数的解析式为y ＝－8x ； 又∵点A (－4，n )在函数y ＝－8x 的图象上， ∴n ＝2， ∴A (－4，2)，∵y ＝kx ＋b 经过A (－4，2)，B (2，－4)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝22k ＋b ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝－2，∴一次函数的解析式为y ＝－x －2； (2)如解图，设直线AB 与x 轴交于点C ，第3题解图当y ＝0时，x ＝－2， ∴点C (－2，0)，即OC ＝2，∴S △AOB ＝S △ACO ＋S △BCO ＝12×2×2＋12×2×4＝6； (3)方程kx ＋b －mx ＝0的解为x 1＝－4，x 2＝2. 4. 解：(1)∵点A (2，m )在y ＝4x 的图象上， ∴m ＝2，A 点坐标为(2，2)， ∵点A 在y ＝kx 上， ∴k ＝1，∴直线BC 的解析式为y ＝x －2；(2)如解图，过点A 作AD ∥y 轴交BC 于点D ，第4题解图把x ＝2代入y ＝x －2中得，y ＝0， ∴D (2，0)， ∴AD ＝2，∵点C 为直线BC 与反比例函数的交点，∴⎩⎨⎧y ＝4x y ＝x －2， 解得x ＝1±5， ∴C (1＋5，5－1)，∴S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ＝12×2×2＋12×2×(1＋5－2)＝1＋ 5. 5. (1)证明：∵A (0，4)，B (－3，0)，C (2，0)， ∴OA ＝4，OB ＝3，OC ＝2， ∴AB ＝OA 2＋OB 2＝5，BC ＝5， ∴AB ＝BC ，∵D 为B 点关于AC 的对称点， ∴AB ＝AD ，CB ＝CD ， ∴AB ＝AD ＝CD ＝CB ， ∴四边形ABCD 为菱形； (2)解：∵四边形ABCD 为菱形， ∴D 点的坐标为(5，4)，∵反比例函数y ＝kx 的图象经过D 点， ∴4＝k 5， ∴k ＝20，∴反比例函数的解析式为y ＝20x ； (3)解：∵四边形ABMN 是平行四边形， ∴AN ∥BM ，AN ＝BM ，∴AN 是BM 经过平移得到的， ∴首先BM 向右平移了3个单位长度， ∴N 点的横坐标为3， 代入y ＝20x ，得y ＝203， ∴M 点的纵坐标为203－4＝83， ∴M 点的坐标为(0，83)．6. 解：(1)如解图，过点B 作BD ⊥OA ，垂足为点D ，设BD ＝a ， ∵tan ∠AOB ＝BD OD ＝12， ∴OD ＝2BD ＝2a ，∵∠ODB ＝90°，OB ＝25， ∴a 2＋(2a )2＝(25)2， 解得a ＝±2(－2舍去)， ∴a ＝2，∴BD ＝2，OD ＝4， ∴B (4，2)，∵反比例函数y ＝kx 的图象经过点B ， ∴k ＝4×2＝8，∴反比例函数表达式为y ＝8x ；第6题解图(2)∵tan ∠AOB ＝12，∴AB ＝12OB ＝5，∴OA ＝OB 2＋AB 2＝（25）2＋（5）2＝5，∴点A 的坐标为(5，0)，又∵OM ＝2OB ，B (4，2)，∴M(8，4)，把点M 、A 的坐标代入y ＝mx ＋n 中得：⎩⎪⎨⎪⎧0＝5m ＋n 4＝8m ＋n， 解得m ＝43，n ＝－203， ∴一次函数的表达式为y ＝43x －203.7. 解：(1)将A (4，6)代入解析式y ＝k x 得：k ＝24；(2)∵AB ∥x 轴，B 的纵坐标是6，C 为OB 中点，∴把y ＝3代入反比例函数解析式y ＝24x 得x ＝8，即C 点坐标为(8，3)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将A (4，6)，C (8，3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝68k ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－34b ＝9，∴直线AC 的解析式为y ＝－34x ＋9；(3)四边形OABD 为平行四边形．理由如下：∵点C 的坐标为(8，3)，点A 的坐标为(4，6)，∴点B 的坐标为(16，6)，∴AB ＝16－4＝12，把y ＝0代入y ＝－34x ＋9中得：x ＝12，即D (12，0)，∴OD ＝12，∴AB ＝OD ，又∵AB ∥OD ，∴四边形OABD 为平行四边形；(4)S ▱OABD ＝12×6＝72，根据平行四边形的性质可知，S △OAC ＝14S ▱OABD ＝18.8. 解：(1)将A (1，4)分别代入y ＝－x ＋b 和y ＝k x 得：4＝－1＋b ，4＝k 1，解得：b ＝5，k ＝4；(2)x >4或x <0<1；【解法提示】联立两解析式⎩⎨⎧y ＝－x ＋5y ＝4x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y 2＝1， ∴B 点坐标为(4，1)，∴一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围为x ＞4或0＜x ＜1；第8题解图(3)存在．理由如下：如解图，过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ， 由(2)知，B 点坐标为(4，1)，∴S △AOB ＝S 四边形ANMB ＝12(AN ＋BM )×MN ＝12×(4＋1)×3＝152，∵S △P AC ＝25S △AOB ，∴S △P AC ＝25×152＝3，如解图，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，设P (0，t )，∴S△PAC＝12OP·CD＋12OP·AE＝12OP·(CD＋AE)＝12|t|×2＝|t|＝3，解得：t＝3或－3，∴P(0，3)或(0，－3)．。

反比例函数与一次函数综合题针对演练1. 已知正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝k x(k ≠0)在第一象限内的图象交于点A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点P ，已知△OAP 的面积为1. (1)求反比例函数的解析式；(2)有一点B 的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图，反比例函数2y x=的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D . (1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，写出x 的取值范围；(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. 已知，如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝nx(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点⊥x轴，垂足为D.若OB＝2OA＝3OD＝6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx＋b≤nx的解集．4. 如图，点A (－2，n )，B(1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y＝mx的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围；(3)若C 是x 轴上一动点，设t ＝CB －CA ，求t 的最大值，并求出此时点C 的坐标．第4题图5. 如图，直线y 1＝14x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝m x (x >0)的图象交于点P ，过点P 作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC . (1)求点P 的坐标和反比例函数y 2的解析式； (2)请直接写出y 1>y 2时，x 的取值范围；(3)反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．第5题图6. 如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝mx(x＜0)交于点A(－1，n)．(1)求直线与双曲线的解析式；(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．第6题图7. 如图，直线y＝33x－3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝kx(k＞0)图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.(1)求点A的坐标；(2)若AE＝AC.①求k的值；②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称并说明理由．第7题图8. 如图，已知双曲线y＝kx经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.(1)求k的值；(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．第8题图9. 如图，点B 为双曲线y ＝kx(x ＞0)上一点，直线AB 平行于y 轴，交直线y ＝x于点A ，交x 轴于点D ，双曲线y ＝k x与直线y ＝x 交于点C ，若OB 2－AB 2＝4.(1)求k 的值；(2)点B 的横坐标为4时，求△ABC 的面积；(3)双曲线上是否存在点P ，使△APC ∽△AOD 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图答案1．解：(1)设A点的坐标为(x，y)，则OP＝x，PA＝y，∵△OAP的面积为1，∴12xy＝1，∴xy＝2，即k＝2，∴反比例函数的解析式为2yx；(2)存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小，∵点B的横坐标为2，∴点B的纵坐标为y＝22＝1，即点B的坐标为（2,1）.又∵两个函数图象在第一象限交于A点，∴2 2xx=，解得x1＝1，x2＝－1(舍去)．∴y＝2，∴点A的坐标为(1，2)，∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得，23,215k b kk b b+=-=⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得，∴直线A′B的解析式为y＝3x－5，令y＝0，得x＝53，∴直线y＝3x－5与x轴的交点为(53，0)，即点M的坐标为(53，0)．第1题解图2．解：(1)∵反比例函数y＝2x图象上的点A、B的横坐标分别为1、－2，∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(－2，－1)，∵点A (1，2)、B (－2，－1)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴21,211k b k k b b +==⎧⎧⎨⎨-+=-=⎩⎩解得，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1；(2)由图象知，对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，x 的取值范围是－2＜x＜0；(3)存在．对于y ＝x ＋1，当y ＝0时，x ＝－1，当x ＝0时，y ＝1， ∴点D 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，1)， 设点P (m ，n )，∵S △ODP ＝2S △OCA ，∴12×1×(－n )＝2×12×1×1，∴n ＝－2，∵点P (m ，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝ 2m， ∴m ＝－1，∴点P 的坐标为(－1，－2)． 3．解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OA ＝3，OD ＝2.∴A (3，0)，B (0，6)，D (－2，0)．将点A (3，0)和B (0，6)代入y ＝kx ＋b 得，302,66k b k b b +==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋6. ……………………(3分) 将x ＝－2代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×(－2)＋6＝10， ∴点C 的坐标为(－2，10)．将点C (－2，10)代入y ＝nx ，得10＝2n -，解得n ＝－20，∴反比例函数的解析式为20y x=-；………………………(5分) (2)将两个函数解析式组成方程组，得26,20y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得x 1＝－2，x 2＝5. ………………………………………(7分)将x ＝5代入204,y x=-=- ∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分) (3)－2≤x＜0或x≥5. …………………………………… (10分)【解法提示】不等式kx ＋b ≤nx的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x 的取值范围，也就是－2≤x ＜0或x ≥5.4．解：(1)∵点A (－2，n )，B (1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点，∴m ＝－2，∴反比例函数解析式为2y x=-，∴n ＝1，∴点A (－2，1)，将点A (－2，1)，B (1，－2)代入y ＝kx ＋b ，得211,21k b k k b b -+==-⎧⎧⎨⎨+=-=-⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1；(2)结合图象知：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′延长交x 轴于点C ，则点C 即为所求，∵A (－2，1)， ∴A ′(－2，－1)，设直线A ′B 的解析式为y ＝mx ＋n ，1123,253m m n m n n ⎧=-⎪-=-+⎧⎪⎨⎨-=+⎩⎪=-⎪⎩解得， ∴y ＝－13x －53，令y＝0，得x＝－5，则C点坐标为(－5，0)，∴t的最大值为A′B＝（－2－1）2＋（－1＋2）2＝10.第4题解图5．解：(1)∵一次函数y1＝14x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴A(－4，0)，C(0，1)，又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴点P的坐标为(4，2)，将点P(4，2)代入y2＝mx，得m＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝8 x；(2)x>4；【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x＞4.(3)存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC 与PB交于点E，∵四边形BCPD为菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，∴D点的坐标为(8，1)，将D(8，1)代入反比例函数8yx=，D点坐标满足函数关系式，即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)．第5题解图6．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4，∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，将A(－1，－5)代入y＝mx(x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为5yx=；(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4，∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴在△OMB中，sin45°＝OMOB＝4OM，∴OM＝22，∵AO＝12＋52＝26，∴在△AOM中，sin∠OAB＝OMOA＝2226＝21313；第6题解图(3)存在．如解图，过点A作AN⊥y轴于点N，则AN＝1，BN＝1，∴AB＝12＋12＝2，∵OB＝OC＝4，∴BC＝42＋42＝42，又∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠OBA＝∠BCD＝135°，∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，∴OBBC＝BACD或OBDC＝BABC，即442＝2CD或4DC＝242，∴CD＝2或CD＝16，∵点C(4，0)，∴点D的坐标是(6，0)或(20，0)．7．解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3.∴点A 的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分) (2)①如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F . 设AE ＝AC ＝t , 点E 的坐标是(3，t ).在Rt △AOB 中， tan ∠OAB ＝OB OA ＝33，∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°，∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是(3＋32t ，12t )．∵点C 、E 在y ＝kx 的图象上，∴(3＋32t )×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝23，∴k ＝3t ＝63； …………………………………………… (5分) ②点E 与点D 关于原点O 成中心对称，理由如下： 由①知，点E 的坐标为(3，23)， 设点D 的坐标是(x ，33x －3)，∴x (33x －3)＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是(－3，－23)，∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．…………………(8分)第7题解图8．解：(1)∵双曲线y ＝kx 经过点D (6，1)，∴6k ＝1，解得k ＝6；(2)设点C 到BD 的距离为h ，∵点D 的坐标为(6，1)，DB ⊥y 轴， ∴BD ＝6，∴S △BCD ＝12×6×h ＝12，解得h ＝4，∵点C 是双曲线第三象限上的动点，点D 的纵坐标为1，∴点C 的纵坐标为1－4＝－3，∴6x＝－3，解得x ＝－2，∴点C 的坐标为(－2，－3)，设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则123,2612k b k k b b ⎧-+=-=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得，∴直线CD 的解析式为y ＝12x －2； (3)AB ∥CD .理由如下：∵CA ⊥x 轴，DB ⊥y 轴，点D 的坐标为(6，1)，设点C 的坐标为(c ，6c)，∴点A 、B 的坐标分别为A (c ，0)，B (0，1)， 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，则10,11mc n m c n n ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解得，∴直线AB 的解析式为y ＝－1x c＋1，设直线CD 的解析式为y ＝ex ＋f ，则16,661e ec f cc c e f f c ⎧=-⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨+⎪⎪+==⎩⎪⎩解得， ∴直线CD 的解析式为y ＝－1x c ＋6c c +，∵AB 、CD 的解析式中k 都等于1c-，∴AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD . 9．解：(1)设D 点坐标为(a ，0)，∵AB ∥y 轴，点A 在直线y ＝x 上，B 为双曲线y ＝kx(x ＞0)上一点，∴A 点坐标为(a ，a )，B 点坐标为(a ，k a)，∴AB ＝a －k a ，BD ＝k a ，在Rt △OBD 中，OB 2＝BD 2＋OD 2＝(k a)2＋a 2，∵OB 2－AB 2＝4，∴(k a )2＋a 2－(a －k a)2＝4，∴k ＝2；(2)如解图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，,2y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩联立2222x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩解得（舍去），∴C 点坐标为(2，2)， 第9题解图∵点B 的横坐标为4，∴A 点坐标为(4，4)，B 点坐标为(4，12)，∴AB ＝4－12＝72，CM ＝4－2，∴S △ABC ＝12CM ·AB ＝12×(4－2)×72 ＝7－724；(3)不存在，理由如下：若△APC ∽△AOD ，∵△AOD 为等腰直角三角形，∴△APC 为等腰直角三角形，∠ACP ＝90°，∴CM ＝12AP ，设P 点坐标为(a ，2a )，则A 点坐标为(a ，a )，∴AP ＝|a －2a|，∵C 点坐标为(2，2)，∴CM ＝|a －2|，∴|a －2|＝12|a －2a|，∴(a －2)2＝14×222(2)a a -，即(a －2)2＝14×222((a a a +⨯-，∴4a 2－(a ＋2)2＝0，解得a ＝2或a ＝－23(舍去)，∴P 点坐标为(2，2)，则此时点C 与点P 重合，所以不能构成三角形，故不存在．。

题型四反比率函数与一次函数综合题
针对操练
m
1. 如图，一次函数 y＝kx＋1(k≠0)与反比率函数 y＝x(m≠0)的图象有公共点A(1，
2)，直线 l ⊥x 轴于点 N(3，0)，与一次函数和反比率函数的图象分别订交于点B，C，连结 AC.
(1)求 k 和 m 的值；
(2)求点 B 的坐标；
(3)求△ ABC 的面积．
第1题图
k
2.已知正比率函数 y＝2x 的图象与反比率函数 y＝x(k≠0)在第一象限内的图象交
于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点P，已知△ OAP 的面积为 1.
(1)求反比率函数的分析式；
(2)有一点 B 的横坐标为 2，且在反比率函数图象上，则在x 轴上能否存在一点M，使得 MA ＋MB 最小？若存在，恳求出点M 的坐标；若不存在，请说明原因．
第2题图
3. 如图，反比率函数y 2
的图象与一次函数 y＝kx＋b 的图象交于点 A、B，点 A、x
B 的横坐标分别为1、－ 2，一次函数图象与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D.
(1) 求一次函数的分析式；
(2) 关于反比率函数y 2
，当 y＜－ 1 时，写出 x 的取值范围；
x
(3)在第三象限的反比率函数图象上能否存在一点P，使得 S△ODP＝2S△OCA？若存在，恳求出点P 的坐标；若不存在，请说明原因．
第 3题图。

第一部分：一次函数考点归纳：一次函数：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。

☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0)直线位置与k ，b 的关系：（1）k ＞0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为锐角； （2）k ＜0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为钝角； （3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方； （4）b ＝0直线过原点；（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方；平移1，直线x y 31=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。

2， 直线143+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________方法：直线y=kx+b ，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。

直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。

练习：直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；函数图形的性质例题：1．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）A．y=2x-1 B．y=3xC．y=2x2 D．y=-2x+12，一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．二、三、四C．一、二、四 D．一、三、四3，若函数y=（2m+1）x2+（1-2m）x（m为常数）是正比例函数，则m的值为（）A．m>12B．m=12C．m<12D．m=-124、直线y kx b=+经过一、二、四象限，则直线y bx k=-的图象只能是图4中的（）5，若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）A．k>3 B．0<k≤3 C．0≤k<3 D．0<k<36，已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-17，已知关于x的一次函数27y mx m=+-在15x-≤≤上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A．7m>B．1m>C．17m≤≤D．都不对8、如图，两直线1y kx b=+和2y bx k=+在同一坐标系内图象的位置可能是（）9，一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的图象可能是（）xyo xyoxyoxyoA B C D10，,已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？函数解析式的求法：正比例函数设解析式为： ,一个点的坐标带入求k. 一次函数设解析式为： ；两点带入求k,b1，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB（1） 求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；第二部分：二次函数（待讲）课前小测：1，抛物线3)2x (y 2-+=的对称轴是（ ）。

中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专项训练题(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，在平面直角坐标系中，直线33y x =-与反比例函数k y x=的图象在第一象限交于点()2,A n ，在第三象限交于点B ，过点B 作BC x ⊥轴于C ，连接AC ．(1)求反比例函数解析式；(2)求ABC 的面积；2．如图，一次函数y ax b =+与反比例函数k y x =()0k ≠的图象交于()23A -，，()1B m ，两点．(1)试求m 的值和一次函数的解析式；(2)求AOB 的面积．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于()2,1A -、()1,B n -两点，与x 轴交于点C ．(1)求2k ，n 的值；(2)请直接写出不等式21k k x b x+<的解集； (3)连接OA 、OB ，求AOB 的面积．4．一次函数2y x b =+的图象与反比例函数()60y x x=>的图象交于点()16A ，，与x 轴交于点B ．(1)求一次函数的表达式；(2)过点A 作AC x ⊥轴于点C ，求ABC 的面积．5．如图，在平面直角坐标系中，直线y x =与双曲线k y x =相交于()2,A m ，B 两点BC x ⊥轴，垂足为C ．(1)求双曲线k y x=的解析式，并直接写出点B 的坐标． (2)求ABC 的面积．6．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x=的图象交于第一象限C D ，两点，与坐标轴交于A 、 B 两点，连接(OC OD O ，是坐标原点)．(1)求反比例函数的表达式及m 的值；(2)根据函数图象，直接写出不等式k ax b x +≥的解集为 ．7．如图，已知一次函数y ax b =+与反比例函数(0)m y x x=<的图象交于(2,4)A -，(4,2)B -两点，且与x 轴和y 轴分别交于点C 、点D ．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出不等式m ax b x<+的解集； (3)点P 在y 轴上，且13AOP AOB S S =△△，请求出点P 的坐标．8．如图，反比例函数m y x=的图象与一次函数y kx b =+的图象交于A 、B 两点，点A 的坐标为()23，，点B 的坐标为()1n ，．(1)求反比例函数与一次函数表达式；(2)结合图象，直接写出不等式m kx b x<+的解集．9．如图，一次函数2y kx =+的图象与x 轴交于点(4,0)A -，与反比例函数m y x =的图象交于点B ，C （-6，c ）．(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)当m kx b x+≥时，直接写出x 的取值范围； (3)在双曲线m y x=上是否存在点P ，使ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数()0m y x x=>的图象交于点()2P n ，，与x 轴交于点()40A -，，与y 轴交于点C ，PB x ⊥轴于点B ，且AC BC =．(1)求一次函数、反比例函数的解析式；(2)在平面内找一点D ，使以B ，C ，P ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求出点D 的坐标．11．如图，反比例函数1k y x =图象与一次函数2112y x =--的图象交于点()4,A a -与点B ．(1)求a 的值与反比例函数关系式；(2)连接OA ，OB ，求AOB S ；(3)若12y y >，请结合图象直接写出x 的取值范围．12．如图，一次函数()110y k x b k =+≠与反比例函数()220k y k x=≠的图象交于点()12A -,，(1),B m -．(1)求这两个函数的表达式；(2)在x 轴上是否存在点(0)(0),P n n >，使ABP 为等腰三角形？若存在，求n 的值，若不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，点()2,2A -，()6,6B -为Rt ABC △的顶点90BAC ∠=︒，点C 在x 轴上．将ABC 沿x 轴水平向右平移a 个单位得到A B C '''，A ，B 两点的对应点A '，B '恰好落在反比例函数()0k y x x=>的图象上．(1)求a 和k 的值；(2)作直线l 平行于A C ''且与A B ''，B C ''分别交于M ，N ，若B MN '△与四边形MA C N ''的面积比为4:21，求直线l 的函数表达式；(3)在（2）问的条件下，是否存在x 轴上的点P 和直线l 上的点Q ，使得以P A Q '，，，B '四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知直线1y x m =-++与反比例函数()0,0m y x m x =>>的图象分别交于点A 和点B ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．(1)如图1，当点A 坐标为()1,3时 ①求直线AB 的解析式：①若点P 是反比例函数在第一象限直线AB 上方一点，当ABP 面积为2时，求点P 的坐标；(2)将直线CD 向上平移2个单位得到直线EF ，将双曲线位于CD 下方部分沿直线CD 翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线EF 有且只有一个公共点，求m 的值．15．已知在直角坐标平面内，直线l 经过点()0,4A -，且与x 轴正半轴交于点B ，25cos 5BAO ∠=，反比例函数()0k y x x =>的图像与直线l 交于点()3,C m ．(1)求k 的值；(2)点P 在上述反比例函数的图像上，联结BP 、PC ①过点P 作PD x 轴，交直线l 于点D ，若PD 平分BPC ∠，求PD 的长； ①作直线PC 交y 轴于点E ，联结BE ，若3PBE PBC S S =△△，请直接写出点P 的坐标．参考答案：1．(1)6y x=； (2)92．(1)16,42m y x =-=+ (2)83．(1)22k =-，n=2(2)2x >或10x -<<(3)324．(1)一次函数的表达式为24y x =+；(2)ABC 的面积为9．5．(1)4y x =；()2,2B -- (2)46．(1)4y x=；1m = (2)14x ≤≤7．(1)8y x=- 6y x =+ (2)42x -<<-(3)(0,2)P 或(0,2)-8．(1)6y x = 142y x =-+； (2)26x <<或0x <．9．(1)反比例函数得表达式为：6y x=()2,3B (2)60x -≤<或2x ≥(3)存在 1(1,6)P -- 2(3,2)P --10．(1)114y x =+ 8y x = (2)()01-，、()03，和()81，11．(1)1a = 4y x=- (2)3(3)40x -<<或2x >12．(1)2y x=- 1y x =-+； (2)114n =-+或217n =+13．(1)8a = 12k =(2)45y x (3)存在，点P 、Q 的坐标分别为4360855⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，或1405⎛⎫- ⎪⎝⎭，、625⎛⎫ ⎪⎝⎭，或36,85⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1645⎛⎫ ⎪⎝⎭，14．(1)①4y x =-+；①()3636P +-，或()3636-+， (2)322m =+15．(1)6k =．(2)①125PD =；①94,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或98,43P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．。

中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》经典题型讲解【经典母题】如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．【解析】利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式．解：设反比例函数的表达式为y＝k x ，∵一个端点B的坐标为(80，10)，∴k＝80×10＝800，∴反比例函数的表达式为y＝800x.∵端点A的纵坐标为80，∴80＝800x，x＝10，∴点A的横坐标为10，∴自变量的取值范围为10≤x≤80.【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝kx，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可．【中考变形】1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝bx的图象有一个公共点A(1，2)．(1)求这两个函数的表达式；图Z6－1(2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．图Z6－2中考变形1答图解：(1)把A (1，2)代入y ＝ax ，得2＝a ， 即y ＝2x ；把A (1，2)代入y ＝b x ，得b ＝2，即y ＝2x ； (2)画草图如答图所示．由图象可知，当x ＞1或－1＜x ＜0时，正比例函数值大于反比例函数值． 2．如图Z6－3，已知一次函数y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x 的图象交于第一象限内P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，m )两点，与x 轴交于A 点．(1)分别求出这两个函数的表达式； (2)写出点P 关于原点的对称点P ′的坐标； (3)求∠P ′AO 的正弦值．图Z6－3【解析】①将P 点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q 点代入反比例函数关系式，即可求出m 的值；将P ，Q 两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式．②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P ′的坐标；③过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D ，可构造出′AD ，又∵点A 在一次函数的图象上，∴可求出点A 坐标，得到OA 长度，利用P ′ 点坐标，可以求出P ′D ，P ′A ，即可得到∠P ′AO 的正弦值． 解：(1)∵点P 在反比例函数的图象上，∴把点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8代入y ＝k 2x ，得k 2＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ，∴Q 点坐标为(4，1)．把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，1)分别代入y ＝k 1x ＋b 中，得⎩⎨⎧8＝12k 1＋b ，1＝4k 1＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－2，b ＝9.∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋9； (2)P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8；(3)如答图，过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D . ∵P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8，中考变形2答图∴OD ＝12，P ′D ＝8.∵点A 在y ＝－2x ＋9的图象上，∴点A 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0，即OA ＝92，∴DA ＝5，∴P ′A ＝P ′D 2＋DA 2＝89. ∴sin ∠P ′AD ＝P ′D P ′A ＝889＝88989.∴sin ∠P ′AO ＝88989.3．[2017·成都]如图Z6－4，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝12x与反比例函数y ＝kx 的图象交于A (a ，－2)，B 两点． (1)求反比例函数表达式和点B 的坐标；(2)P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连结PO ，若△POC 的面积为3，求点P 的坐标．图Z6－4 中考变形3答图解：(1)∵点A (a ，－2)在正比例函数y ＝12x 图象上， ∴－2＝12a ，∴a ＝－4， ∴点A 坐标为(－4，－2)．又∵点A 在反比例函数y ＝kx 的图象上， ∴k ＝xy ＝－4×(－2)＝8， ∴反比例函数的表达式为y ＝8x .∵A ，B 既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上， ∴A ，B 两点关于原点O 中心对称， ∴点B 的坐标为(4，2)；(2)如答图，设点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，8a (a ＞0)，∵PC ∥y 轴，点C 在直线y ＝12x 上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12a ，∴PC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12a －8a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ， ∴S △POC ＝12PC ·a ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ·a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－164＝3， 当a 2－164＝3时，解得a ＝28＝27， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫27，477. 当a 2－164＝－3时，解得a ＝2，∴P (2，4)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫27，477，(2，4)． 4．如图Z6－5，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝mx 的图象交于A (1，4)，B (4，n )两点．(1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式；(3)P 是x 轴上的一个动点，试确定点P 并求出它的坐标，使得P A ＋PB 最小．图Z6－5解：(1)∵点A (1，4)在函数y ＝mx 上， ∴m ＝xy ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ； (2)把B (4，n )代入y ＝4x ，4＝xy ＝4n ，得n ＝1， ∴B (4，1)，∵直线y ＝kx ＋b 经过A ，B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝k ＋b ，1＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝5， ∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋5； (3)点B 关于x 轴的对称点为B ′(4，－1)， 设直线AB ′的表达式为y ＝ax ＋q ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a ＋q ，－1＝4a ＋q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－53，q ＝173，∴直线AB ′的表达式为y ＝－53x ＋173， 令y ＝0，解得x ＝175，∴当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫175，0时，P A ＋PB 最小．5．[2017·广安]如图Z6－6，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，图Z6－6且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx 和y ＝kx ＋b 的表达式．(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C .在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.解：(1)∵点A (4，2)在反比例函数y ＝mx 的图象上， ∴m ＝4×2＝8，∴反比例函数的表达式为y ＝8x . ∵点B 在y 轴的负半轴上，且OB ＝6， ∴点B 的坐标为(0，－6)，把点A (4，2)和点B (0，－6)代入y ＝kx ＋b 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝2，b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6. ∴一次函数的表达式为y ＝2x －6； (2)设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，8n (n ＞0)．在直线y ＝2x －6上，当y ＝0时，x ＝3， ∴点C 的坐标为(3，0)，即OC ＝3， ∴S △POC ＝12×3×8n ＝9，解得n ＝43. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，6.6．[2017·黄冈]如图Z6－7，一次函数y ＝－2x ＋1与反比例函数y ＝kx 的图象有两个交点A (－1，m )和B ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ；过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，且点D 的坐标为(0，－2)，连结DE . (1)求k 的值；(2)求四边形AEDB 的面积．图Z6－7 中考变形6答图解：(1)将点A (－1，m )代入一次函数y ＝－2x ＋1， 得－2×(－1)＋1＝m ，解得m ＝3.∴A 点的坐标为(－1，3)．将A (－1，3)代入y ＝kx ，得k ＝(－1)×3＝－3；(2)如答图，设直线AB 与y 轴相交于点M ，则点M 的坐标为(0，1)， ∵D (0，－2)，则点B 的纵坐标为－2，代入反比例函数，得DB ＝32， ∴MD ＝3.又∵A (－1，3)，AE ∥y 轴， ∴E (－1，0)，AE ＝3. ∴AE ∥MD ，AE ＝MD .∴四边形AEDM 为平行四边形． ∴S 四边形AEDB ＝S ▱AEDM ＋S △MDB ＝3×1＋12×32×3＝214.7．[2016·金华]如图Z6－8，直线y ＝33x －3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于点C ，D ，过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点E . (1)求点A 的坐标；(2)若AE ＝AC ，①求k 的值；②试判断点E 与点D 是否关于原点O 成中心对称？并说明理由．图Z6－8中考变形7答图解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3. ∴点A 的坐标为(3，0)；(2)①如答图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .设AE ＝AC ＝t ，点E 的坐标是(3，t )，则反比例函数y ＝k x 可表示为y ＝3tx . ∵直线y ＝33x －3交y 轴于点B ， ∴B (0，－3)．在Rt △AOB 中，tan ∠OAB ＝OB OA ＝33， ∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°， ∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ，12t .∴⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝2 3. ∴k ＝3t ＝6 3.②点E 的坐标为()3，23，设点D 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x －3，∴x ⎝ ⎛⎭⎪⎫33x －3＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是()－3，－23， ∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称． 【中考预测】如图Z6－9，一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝nx (n 为常数且n ≠0)的图象在第二象限交于点C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB ＝2OA ＝3OD ＝6. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求两函数图象的另一个交点的坐标；(3)直接写出不等式kx ＋b ≤nx 的解集．图Z6－9解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OB ＝6，OA ＝3，OD ＝2， ∵CD ⊥DA ，∴DC ∥OB ， ∴OB DC ＝AO AD ，∴6DC ＝35， ∴DC ＝10，∴C (－2，10)，B (0，6)，A (3，0)， 代入一次函数y ＝kx ＋b ， 得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝6， ∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋6. ∵反比例函数y ＝nx 经过点C (－2，10)， ∴n ＝－20，∴反比例函数的表达式为y ＝－20x ；(2)由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋6，y ＝－20x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4， ∴另一个交点坐标为(5，－4)；(3)由图象可知kx ＋b ≤nx 的解集为－2≤x ＜0或x ≥5.。

y x 0反比例函数与一次函数综合练习题1.如图是反比例函数 y=m+2x 的图象的一支，根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限?常数m 的取值范围是什么? (2)已知点（－3，y 1）, （－1，y 2）, （2，y 3）, 则函数值y 1、y 2、y 3的大小关系怎样？2.已知：如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．OB ＝10 ，tan ∠DOB ＝13． ⑴求反比例函数的解析式：⑵设点A 的横坐标为m ，△ABO 的面积为S ，求S 与m的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；3.如图所示，已知反比例函数y= k x的图象经过点A （－ 3 ，b ），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为 3 。

⑴求k 、b 的值；⑵若一次函数y=ax+1的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点M ，求AO ∶AM ； ⑶如果以AM 为一边的正三角形AMP 的顶点P 在二次函数y=－x 2+ 3 mx+m －9的图象上，求m 的值。

4.如图，已知C 、D 是双曲线y= m x 在第一像限内的分支上的两点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，设C 、D 的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，连结OC 、OD 。

⑴求证：y 1<OC<y 1+ 1y m ； ⑵若∠BOC=∠AOD=α，tan α=13，OC=10 ，求直线CD 的解析式； ⑶在⑵的条件下，双曲线上是否存在一点P ，使得S △POC =S △POD ？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由。

5.已知一次函数y=mx+b 与反比例函数y= m x(m ≠0) ⑴k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy 中的图象有两个公共点？⑵设⑴中的两个公共点为A ，B ，试判断∠AOB 是锐角还是钝角？6.已知A （m ，2）是直线l 与双曲线y= 3x的交点。

《一次函数和反比例函数》中考题1、已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A (－2，0），与反比例函数在第一象限内的图象交于点B （2，n ），连结BO ，若4=AOB S △。

(1）求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式；（2）若直线AB 与y 轴的交点为C ，求△OCB 的面积.【思路分析】（1)先由A （﹣2，0)，得OA=2,点B （2，n ），S △AOB =4，得OA•n=4，n=4，则点B 的坐标是（2，4），把点B （2，4)代入反比例函数的解析式为y=，可得反比例函数的解析式为：y=;再把A （﹣2，0)、B （2，4）代入直线AB 的解析式为y=kx+b 可得直线AB 的解析式为y=x+2．（2）把x=0代入直线AB 的解析式y=x+2得y=2,即OC=2,可得S △OCB =OC×2=×2×2=2．【解】（1)由A (－2，0）,得OA =2.∵点B （2，n ）在第一象限内，4=AOB S △。

∴21OA ×n=4,∴n=4。

∴点B 的坐标为（2,4）………………（2分）设反比例函数的解析式为y=x8（a ≠0） 将点B 的坐标代入，得4=2a ，∴a=8。

∴反比例函数的解析式为y=x 8………………（4分） 设直线AB 的解析式为y=kx+b(k ≠0）将点A 、B 的坐标分别代入,得⎩⎨⎧=+=+-.42,02b k b k解得⎩⎨⎧==.2,1b k ∴直线AB 的解析式为y=x+2. ………………（6分）（2）在y=x+2中，；令x =0，得y=2。

∴点C 的坐标是（0，2）,∴OC =2。

∴2222121=⨯⨯=⨯=B OCB x OC S △.………………(10分） 2、如图11,在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(2,2），反比例函数xk y =（x ＞0，k ≠0）的图像经过线段BC 的中点D 。

反比例函数与一次函数综合一、单选题．．．．．反比例函数()10y mx=的图象与一次函数2y x b =-+的图象交于A 、B 两点，其中)，当12y y >时，的取值范围是()．1x <B 12x <<．2x >D ．01x <<或2>A ．18-B ．4．如图，双曲线my x=与直线的纵坐标为1-．根据图象信息可得关于A ．1x =C ．11x =-，21x =6．如图，一次函数2y x =-+与反比例函数(),1B n -，不等式2kx x-+>的解集为（A ．1x <-或0x <<C ．13x -<<7．直线2y x =+与双曲线A ．78．如图，已知一次函数A ．33二、填空题9．考察函数4y x=-10．如图，已知一次函数11．如图，直线2y x =与双曲线单位后，直线与双曲线交于点12．已知直线y x =与反比例函数C 为反比例函数图象第一象限上任意一点，连接点C 的坐标为．13．如图，直线3y x =-+与坐标轴分别相交于x14．如图，曲线l 是由函数y 到的，过点()42,42A -，B 面积是46，则k 的值为15．如图，一次函数y 点，则不等式1kx b x+-16．如图，点A 在双曲线y 0b >）上，A 与B 关于x 轴对称，直线有以下结论：①(),3A b b ②当三、解答题(1)请求出一次函数和反比例函数解析式：(2)连接OC，OD，求出(1)求反比例函数的关系式与(2)根据图象直接写出不等式(3)若动点P在x轴上，求PA(1)求反比例函数和一次函数的解析式；的面积；(2)求ABO(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，连接点C的坐标．参考答案：3．A【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，直角三角形的性质，设点4,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求出OA ，根据点角形的性质得到OC OA =程，解方程即可求解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的令23y x =-中0x =，代入∴()0,3B -，∴3OB =，令23y x =-中0y =，得：由图象可知，反比例函数上，第二象限内的一支符合题意，即第四象限内，与直线交点及交点上方的图象符合题意，联立两函数解析式：41y x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩解得：41x y =⎧⎨=-⎩即4x ≥，当0y =时，1042x =+，解得，8x =-，∴()80C -，，则D的坐标为2,22a a⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，直线2y x=向右平移3个单位后，直线与双曲线交于点∴B的坐标为23,22a a⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭．将0y =代入直线3y x =-+得解得3x =，②当2b =时，点A 的坐标为：∴23243k =⨯=，故②正确；③∵()3,Ab b ，A 与B 关于()3,B b b -∵28y x =+，∴令0x =，则8y =；令∴()()4,0,0,8A B -DOC AOB AOD BOC S S S S =-- 18．(1)反比例函数解析式为【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求∠=∠=∠=ABO BOE AEO90。

2023年数学专练——反比例函数与一次函数的综合一、综合题1．如图，已知反比例函数kyx=与一次函数y x m=+的图象交于点B和点(14)A k-+，，一次函数的图象与x轴交于点C .（1）求出两个函数的表达式.（2）求AOB的面积.（3）直接写出kx mx+≥的解集.2．已知：如图，函数kyx=与28y x=-+的图象交于点A(1，a)、B(b，2)．（1）求函数kyx=的解析式以及点A、B的坐标;（2）观察图象，直接写出不等式k28xx≥-+的解集；（3）若点P是x轴上的动点，当AP+BP取得最小值时，直接写出出点P的坐标．3．如图，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝kx交于A，B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标为6，点B的坐标为（﹣3，﹣2）.（1）求直线和双曲线的解析式；（2）根据图象直接写出ax+b﹣kx＞0中x的取值范围.4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x m=-+的图象与反比例函数(0)ky xx=>的图象交于A、B两点，已知()2,4A，(),2B n .（1）求反比例函数的表达式；（2）当 0x > 时，求不等式kx m x>-+ 的解集. 5．已知图中的曲线是函数 5m y x-=(m 为常数)图象的一支.（1）求常数m 的取值范围；（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x 图象在第一象限的交点为 A （2，n ），求点A 的坐标及反比例函数的解析式.6．如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝ 的图象在第一象限交于点A （4，2），与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6，（1）求函数y ＝ 和y ＝kx+b 的解析式.（2）已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝ 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.7．如图，直线 y kx b =+ y kx b =+ 与反比例函数 12y x=相交于 A(2)m -， 、 B(n 3)，．（1）连接 OA 、 OB ，求 AOB 的面积； （2）根据（1）中的图象信息，请直接写出不等式12kx b x>+ 的解集． 8．如图，一次函数 1y kx b =+ 的图象与反比例函数 2my x=的图象交于点A （-3， 8m + ），B （ n ，-6）两点.（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求 AOB 的面积；（3）直接写出 12y y > 时，x 的取值范围.9．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点.已知反比例函数 ky x=（ 0k > ）的图象经过点A （2，m ），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为12.（1）求k 和m 的值；（2）点C （x ，y ）在反比例函数 ky x=的图象上，求当1≤x≤3时，函数值y 的取值范围. 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ()0y kx b k =+≠ 与反比例函数 ()0my m x=≠ 的图像交于点 ()3,1A ，且过点 ()1,3B -- ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图像直接写出当 mkx b x+>时， x 的取值范围． 11．如图，已知反比例函数y 1＝1k x与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A （1，8），B （﹣4，m ）两点.（1）求k 1，k 2，b 的值； （2）求△AOB 的面积；（3）请直接写出不等式1k x≤ 2k x+b 的解. 12．如图所示，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于A(1，t+1)，B(t-5，-1)两点.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点(c ，p)和(n ，q)是反比例函数y ＝mx图象上任意两点，且满足c ＝n+1时，求 q p pq - 的值.（3）若点M(x 1，y 1)和N(x 2，y 2)在直线AB(不与A 、B 重合)上，过M 、N 两点分别作y 轴的平行线交双曲线于E 、F ，已知x 1＜-3，0＜x 2＜1，当x 1x 2＝-3时，判断四边形NFEM 的形状.并说明理由.13．如图，反比例函数 8y x=-与一次函数 2y x =-+ 的图象交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积． （3）当x 为何值时 8y x=-的函数值大于 2y x =-+ 的函数值，直接写出x 的取值范围14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x +2与函数y ＝kx（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（1，m ）．（1）求k ，m 的值；（2）直接写出关于x 的不等式2x +2＞kx的解集； （3）若Q 在x 轴上，△ABQ 的面积是6，求Q 点坐标．15．如图，一次函数 1y kx =+ 的图象与反比例函数 my x=的图象交于点 A 、 B ，点 A 在第一象限，过点 A 作 AC x ⊥ 轴于点 C ， AD y ⊥ 轴于点 D ，点 B 的纵坐标为－2，一次函数的图象分别交 x 轴、 y 轴于点 E 、 F ，连接 DB 、 DE .已知 4ADFS= ， 3AC OF = .（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求 DBE 的面积；（3）直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围.16．如图，已知直线 5l y x =-+：（1）当反比例函数 (0,0)ky k x x=>> 的图象与直线 l 在第一象限内至少有一个交点时，求k 的取值范围 （2）若反比例函数 (0,0)ky k x x=>> 的图象与直线 l 在第一象限内相交于点 11(,)A x y 、 22(,)B x y ，当 213x x -= 时，求k 的值并根据图象写出此时关的不等式 5kx x-+< 的解集17．如图，过直线 12y kx =+上一点 P 作 PD x ⊥ 轴于点D ，线段 PD 交函数 (0)my x x=> 的图像于点C ，点C 为线段 PD 的中点，点C 关于直线 y x = 的对称点 C ' 的坐标为 (13)，．（1）求k 、m 的值；（2）求直线 12y kx =+与函数 (0)my x x=> 图像的交点坐标；（3）直接写出不等式1(0)2m kx x x >+> 的解集． 18．如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象相交于点A(3，1)，B(﹣1，n)两点.（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足k 1x+b≥2k x的x 的取值范围； （3）连接BO 并延长交双曲线于点C ，连接AC ，求△ABC 的面积.19．如图，双曲线 ()0ky k x=> 经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D.设点B 的坐标为（m ，n ）.（1）直接写出点E 的坐标，并求出点D 的坐标；（用含m ，n 的代数式表示） （2）若梯形ODBC 的面积为，求双曲线的函数解析式.20．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为BC 边上的点，反比例函数y=k x（k≠0）在第一象限内的图象经过点D （m ，2）和AB 边上的点E （3，23）．（1）求反比例函数的表达式和m 的值；（2）将矩形OABC 的进行折叠，使点O 于点D 重合，折痕分别与x 轴、y 轴正半轴交于点F ，G ，求折痕FG 所在直线的函数关系式．答案解析部分1．【答案】（1）解：将点 (14)A k -+， 代入 ky x= ， 得 4k k -+= 解得 2k =∴ 反比例函数表达式为 2y x=， (12)A ， 将点 (12)A ， 代入 y x m =+ 得 21m =+1m ∴=∴ 一次函数的表达式为 1y x =+（2）解：由一次函数 1y x =+ 的图象与 x 轴交于点 C .令 0y = ，解得 1x =- ，则 (10)C -， 则 1OC =联立 21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1121x y =-⎧⎨=-⎩ ， 2212x y =⎧⎨=⎩ ()21B ∴--，()113=121222AOBA B SOC y y ∴=⋅⋅-⨯⨯--= （3）解：一次函数 1y x =+ 与反比例函数 2y x=交于点 (12)A ， ， ()21B --， 根据函数图象可得 kx m x+≥的解集为： 1x ≥ 或 20x -≤< 【解析】【分析】（1）将A （1，-k+4）代入y=kx中可得k 的值，进而可得反比例函数的解析式；将A （1，2）代入y=x+m 中求出m ，进而可得一次函数的解析式；（2）易得C （-1，0），则OC=1，联立反比例函数与一次函数的解析式求出x 、y ，可得B （-2，-1），接下来根据三角形的面积公式进行计算；（3）根据图象，找出一次函数在反比例函数图象上方部分所对应的x 的范围即可.2．【答案】（1）解：将A （1，a ），B （b ，2）代入y ＝﹣2x+8中得：a=6，b=3∴A （1，6），B （3，2）， 把A （1，6）代入y ＝kx中，可得k ＝6 ∴反比例函数解析式为y ＝6x，A 、B 两点坐标分别为A （1，6）、B （3，2）； （2）解：由图象得：不等式6x＜﹣2x+8的解集为1＜x ＜3或x ＜0； （3）（52，0） 【解析】【解答】解：（3）如图，作点A 关于x 轴的对称点A′（1，-6），连结A′B 交x 轴于点P ，则点P 即为所求，此时AP+BP 的值最小．设直线A′B 的解析式为y ＝mx+n ， ∵B （3，2），A′（1，-6），∴326m n m n +=⎧⎨+=-⎩ ，解得 410m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线A′B 的解析式为y ＝4x-10， 当y ＝0时，y ＝52， ∴点P 的坐标为（52，0）．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式求解a 、b ，再将点A 坐标代入反比例函数表达式求解k 即可；（2）结合图像，函数值大的图像在上方的原则直接写出答案即可；（3）利用“将军饮马”的方法，先作对称轴，再求解即可。

一次函数与反比例函数综合题典型例题解析（1）【1】. 如图已知一次函数Y ＝kX ＋b 的函数图象与反比例函数Y ＝－8x的图象相交于A ，B 两点，其中A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为2。

①求一次函数的解析式；②求△AOB 的面积；③在坐标轴上是否存在点P 使△OAP 为等腰三角形，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

【2】.如图已知：直角三角形△ABC 的顶点A 是一次函数Y ＝X ＋m 和反比例函数Y ＝mx的图象在第一象限的交点，且△AOB 的面积为3， ①求两个函数的解析式；②如果线段AC 的延长线与反比例函数的图象的另一个分支交于D 点，过D 作DE ⊥X 轴于E 点，则△ODE 的面积和△AOB 的面积大小关系能否确定； ③ 试判断△AOD 的形状。

【3】. 两个反比例函数x k y =和x y 1=在第一象限内的图象如图所示，点P 在x ky =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交x y 1=的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交xy 1=的图象于点B ，当点P 在xky =的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 ____________（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．642-2-4-55BAOY Xf x () =-8x42-2-4-6-55C E DBO A h x () =6xk y x=1y x=【4】. 已知如图：点（1，3）在反比例函数Y ＝kx（x ＞0）的图象上长方形ABCD 的边BC 在X 轴上，E 为对角线BD 的中点，反比例函数Y ＝kx（x ＞0）的图象又经过A ，E 两点，若E 点的横坐标为m.①求反比例函数的解析式；②求点C 的横坐标；③当∠ABD ＝450时，求m 的值。

反比例函数与一次函数综合题针对演练1. 已知正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限的图象交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点P，已知△OAP的面积为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)有一点B的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x轴上是否存在一点M，使得MA＋MB 最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图，反比例函数2yx=的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D.(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数2yx=，当y＜－1时，写出x的取值围；(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. 已知，如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝nx(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴，垂足为D.若OB＝2OA＝3OD＝6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx＋b≤nx的解集．4. 如图，点A(－2，n)，B(1，－2)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝mx的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值围；(3)若C是x轴上一动点，设t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．第4题图5. 如图，直线y1＝14x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y2＝mx(x>0)的图象交于点P，过点P作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC.(1)求点P的坐标和反比例函数y2的解析式；(2)请直接写出y1>y2时，x的取值围；(3)反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．第5题图6. 如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝mx(x＜0)交于点A(－1，n)．(1)求直线与双曲线的解析式；(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似？若存在求出D 点的坐标，若不存在，请说明理由．第6题图7. 如图，直线y＝33x－3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝kx(k＞0)图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.(1)求点A的坐标；(2)若AE＝AC.①求k的值；②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．第7题图8. 如图，已知双曲线y＝kx经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.(1)求k的值；(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．第8题图9. 如图，点B为双曲线y＝kx(x＞0)上一点，直线AB平行于y轴，交直线y＝x于点A，交x轴于点D，双曲线y＝kx与直线y＝x交于点C，若OB2－AB2＝4.(1)求k的值；(2)点B的横坐标为4时，求△ABC的面积；(3)双曲线上是否存在点P，使△APC∽△AOD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图答案1．解：(1)设A 点的坐标为(x ，y )，则OP ＝x ，PA ＝y ， ∵△OAP 的面积为1，∴12xy ＝1，∴xy ＝2，即k ＝2，∴反比例函数的解析式为2y x=；(2)存在，如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接A ′B ，交x 轴于点M ，此时MA ＋MB 最小，∵点B 的横坐标为2，∴点B 的纵坐标为y ＝22＝1，即点B 的坐标为（2,1）.又∵两个函数图象在第一象限交于A 点，∴22x x=， 解得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．∴y ＝2，∴点A 的坐标为(1，2)， ∴点A 关于x 轴的对称点A ′(1，－2)，设直线A ′B 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入A ′(1，－2)，B (2，1)得，23,215k b k k b b +=-=⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得， ∴直线A ′B 的解析式为y ＝3x －5，令y ＝0，得x ＝53，∴直线y ＝3x －5与x 轴的交点为(53，0)，即点M 的坐标为(53，0)．第1题解图2．解：(1)∵反比例函数y ＝2x图象上的点A 、B 的横坐标分别为1、－2，∴点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(－2，－1)， ∵点A (1，2)、B (－2，－1)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴21,211k b k k b b +==⎧⎧⎨⎨-+=-=⎩⎩解得，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1；(2)由图象知，对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，x 的取值围是－2＜x ＜0； (3)存在．对于y ＝x ＋1，当y ＝0时，x ＝－1，当x ＝0时，y ＝1， ∴点D 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，1)， 设点P (m ，n )，∵S △ODP ＝2S △OCA ，∴12×1×(－n )＝2×12×1×1，∴n ＝－2，∵点P (m ，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝ 2m， ∴m ＝－1，∴点P 的坐标为(－1，－2)． 3．解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OA ＝3，OD ＝2.∴A (3，0)，B (0，6)，D (－2，0)． 将点A (3，0)和B (0，6)代入y ＝kx ＋b 得，302,66k b k b b +==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋6. ……………………(3分) 将x ＝－2代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×(－2)＋6＝10， ∴点C 的坐标为(－2，10)．将点C (－2，10)代入y ＝nx ，得10＝2n -，解得n ＝－20，∴反比例函数的解析式为20y x=-；………………………(5分) (2)将两个函数解析式组成方程组，得26,20y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得x 1＝－2，x 2＝5. ………………………………………(7分) 将x ＝5代入204,y x=-=- ∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分) (3)－2≤x＜0或x≥5. …………………………………… (10分)【解法提示】不等式kx ＋b ≤n x的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x 的取值围，也就是－2≤x ＜0或x ≥5.4．解：(1)∵点A (－2，n )，B (1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m x的图象的两个交点，∴m ＝－2，∴反比例函数解析式为2y x =-，∴n ＝1，∴点A (－2，1)，将点A (－2，1)，B (1，－2)代入y ＝kx ＋b ，得211,21k b k k b b -+==-⎧⎧⎨⎨+=-=-⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1；(2)结合图象知：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′延长交x 轴于点C ，则点C 即为所求， ∵A (－2，1)， ∴A ′(－2，－1)，设直线A ′B 的解析式为y ＝mx ＋n ，1123,253m m n m n n ⎧=-⎪-=-+⎧⎪⎨⎨-=+⎩⎪=-⎪⎩解得， ∴y ＝－13x －53，令y ＝0，得x ＝－5， 则C 点坐标为(－5，0)，∴t 的最大值为A ′B ＝（－2－1）2＋（－1＋2）2＝10.第4题解图5．解：(1)∵一次函数y 1＝14x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，∴A (－4，0)，C (0，1)，又∵AC ＝BC ，CO ⊥AB ， ∴O 为AB 的中点，即OA ＝OB ＝4，且BP ＝2OC ＝2，∴点P 的坐标为(4，2)，将点P (4，2)代入y 2＝m x，得m ＝8，∴反比例函数的解析式为y 2＝8x；(2)x >4；【解法提示】由图象可知，当y 1＞y 2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x 的取值围是x ＞4.(3)存在．假设存在这样的D 点，使四边形BCPD 为菱形，如解图，连接DC 与PB 交于点E ， ∵四边形BCPD 为菱形，∴CE ＝DE ＝4，∴CD ＝8，∴D 点的坐标为(8，1)，将D (8，1)代入反比例函数8y x=，D 点坐标满足函数关系式，即反比例函数图象上存在点D ，使四边形BCPD 为菱形，此时D 点坐标为(8，1)．第5题解图6．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4，∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，将A(－1，－5)代入y＝mx(x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为5yx；(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4，∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴在△OMB中，sin45°＝OMOB＝4OM，∴OM＝22，∵AO＝12＋52＝26，∴在△AOM中，sin∠OAB＝OMOA＝2226＝21313；第6题解图(3)存在．如解图，过点A 作AN ⊥y 轴于点N ，则AN ＝1，BN ＝1，∴AB ＝12＋12＝2，∵OB ＝OC ＝4，∴BC ＝42＋42＝42，又∵∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠OBA ＝∠BCD ＝135°，∴△OBA ∽△BCD 或△OBA ∽△DCB ，∴OB BC ＝BA CD 或OB DC ＝BA BC ，即442＝CD 或4DC ＝242， ∴CD ＝2或CD ＝16，∵点C (4，0)，∴点D 的坐标是(6，0)或(20，0)．7．解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3. ∴点A 的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分)(2)①如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .设AE ＝AC ＝t , 点E 的坐标是(3，t ).在Rt △AOB 中， tan ∠OAB ＝OB OA ＝33，∴∠OAB ＝30°. 在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°，∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ， ∴点C 的坐标是(3＋32t ，12t )．∵点C 、E 在y ＝k x的图象上， ∴(3＋32t )×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝23，∴k ＝3t ＝63； …………………………………………… (5分)②点E 与点D 关于原点O 成中心对称，理由如下：由①知，点E 的坐标为(3，23)，设点D 的坐标是(x ，33x －3)， ∴x (33x －3)＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是(－3，－23)，∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．…………………(8分)第7题解图8．解：(1)∵双曲线y ＝k x 经过点D (6，1)，∴6k ＝1，解得k ＝6； (2)设点C 到BD 的距离为h ，∵点D 的坐标为(6，1)，DB ⊥y 轴，∴BD ＝6，∴S △BCD ＝12×6×h ＝12，解得h ＝4， ∵点C 是双曲线第三象限上的动点，点D 的纵坐标为1，∴点C 的纵坐标为1－4＝－3，∴6x＝－3，解得x ＝－2， ∴点C 的坐标为(－2，－3)，设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则123,2612k b k k b b ⎧-+=-=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得，∴直线CD 的解析式为y ＝12x －2； (3)AB ∥CD .理由如下：∵CA ⊥x 轴，DB ⊥y 轴，点D 的坐标为(6，1)，设点C 的坐标为(c ，6c)， ∴点A 、B 的坐标分别为A (c ，0)，B (0，1)，设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，则10,11mc n m c n n ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解得， ∴直线AB 的解析式为y ＝－1x c＋1， 设直线CD 的解析式为y ＝ex ＋f ，则16,661e ec f c c c e f f c ⎧=-⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨+⎪⎪+==⎩⎪⎩解得， ∴直线CD 的解析式为y ＝－1x c ＋6c c+， ∵AB 、CD 的解析式中k 都等于1c-， ∴AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD .9．解：(1)设D 点坐标为(a ，0)，∵AB ∥y 轴，点A 在直线y ＝x 上，B 为双曲线y ＝k x(x ＞0)上一点， ∴A 点坐标为(a ，a )，B 点坐标为(a ，k a)， ∴AB ＝a －k a ，BD ＝k a ，在Rt △OBD 中，OB 2＝BD 2＋OD 2＝(k a)2＋a 2， ∵OB 2－AB 2＝4，∴(k a )2＋a 2－(a －k a)2＝4，∴k ＝2；(2)如解图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，,2y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩联立 2222x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩解得（舍去）， ∴C 点坐标为(2，2)， 第9题解图 ∵点B 的横坐标为4，∴A 点坐标为(4，4)，B 点坐标为(4，12)，∴AB ＝4－12＝72，CM ＝4－2， ∴S △ABC ＝12CM ·AB ＝12×(4－2)×72 ＝7－724； (3)不存在，理由如下：若△APC ∽△AOD ，∵△AOD 为等腰直角三角形，∴△APC 为等腰直角三角形，∠ACP ＝90°，∴CM ＝12AP ，设P 点坐标为(a ，2a )，则A 点坐标为(a ，a )，∴AP ＝|a －2a|， ∵C 点坐标为(2，2)，∴CM ＝|a －2|，∴|a －2|＝12|a －2a|， ∴(a －2)2＝14×222(2)a a -，即(a －2)2＝14×222(2)(2)a a a +⨯-， ∴4a 2－(a ＋2)2＝0，解得a ＝2或a ＝－23(舍去)， ∴P 点坐标为(2，2)，则此时点C 与点P 重合，所以不能构成三角形，故不存在．。

反比例函数与一次函数的综合题例1. 已知正比例函数y kx =与反比例函数y x=3的图象都过A m ()，1，求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。

例2. 如图1所示，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线。

直线AB 与双曲线的一个交点为C ，CD 垂直x 轴于点D ，OD OB OA ===244。

求一次函数和反比例函数的解析式。

图1例4. 有一个Rt △ABC ，∠A=90°，∠B=60°，AC AB ==31，。

将它放在直角坐标系中，使斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在反比例函数y x=3的图象上，求点C 的坐标。

例3. 如图2所示，反比例函数y kx=的图象经过点()A b -3，，过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，△AOB 的面积为3。

（1）求k 和b 的值；（2）若一次函数y ax =+1的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点M ，求AB ：OM 的值。

图2例5 如图5所示，反比例函数y x=-8与一次函数y x =-+2的图象交于A 、B 两点。

（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积。

反比例函数与一次函数的综合题答案例1 解：因y x =3图象过A m ()，1，即13=m，故m =3，即A （3，1） 将A （3，1）代入y kx =，得k =13 所以正比例函数解析式为y x =13联立方程组得y x y xx y x y ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪==⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩31331311122，解得或 ∴另一交点坐标为（--31，）例2 解：由已知OD OB OA ===244，得()()()A B D 012040，、，、，--- 设一次函数解析式为y kx b =+ 点A 、B 在一次函数图象上∴，即b k b k b =--+=⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎪⎩⎪120121则一次函数解析式是y x =--121 点C 在一次函数图象上 当x =-4时，y=1，即C()-41， 设反比例函数解析式为y m x =，点C 在反比例函数图象上 则14=-m，得m =-4故反比例函数解析式是y x=-4例3 解：（1）∵AB ⊥BO ，A 点坐标为()-3，b∴·即·∴又∵点在双曲线上∴△S AB BO b b A y k xk AOB ==-====⨯-=-123123322323||()（2）∵点A 在直线y ax =+1上 ∴231=-+a ∴a =-33∴y x =-+331 当y=0时，x =3 所以M 点的坐标为()30， ∴：：AB OM =23例4 解：本题共有4种情况。