第三讲 圆(3) 三角形的五种心参考答案

[A 组 基础练]1．(2021·沈阳监测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc ．(1)求角A 的大小；(2)若sin A ＝2sin B cos C ，试判断△ABC 的形状并给出证明．解析：(1)由b 2＋c 2＝a 2＋bc ，可知b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 根据余弦定理可知，cos A ＝12， 又A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3. (2)法一：△ABC 为等边三角形．证明如下：由三角形内角和定理得，A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )，根据已知条件，可得sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝0，所以sin(B －C )＝0.又B －C ∈(－π，π)，所以B ＝C ，又由(1)知A ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 法二：△ABC 为等边三角形．证明如下：由正弦定理和余弦定理及已知条件，得a ＝2b ×a 2＋b 2－c 22ab， 整理得b 2＝c 2，即b ＝C ．又由(1)知A ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 2．(2021·辽宁五校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )，且sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＋2sin A sin B ＝0.(1)求证：a ，b,2a 成等比数列；(2)若△ABC 的面积是2，求c ．解析：(1)证明：∵A ＋B ＋C ＝π，sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )，∴sin B ＝－2sin A cos C ．在△ABC 中，由正弦定理得，b ＝－2a cos C ，∵sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＋2sin A sin B ＝0，∴由正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22，∴C ＝3π4， ∴b ＝2a ，则b 2＝2a 2＝a ·2a ，∴a ，b,2a 成等比数列．(2)△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝24ab ＝2， 则ab ＝42，由(1)知，b ＝2a ，联立两式，解得a ＝2，b ＝22，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－2×2×22×⎝⎛⎭⎫－22＝20， ∴c ＝2 5.3．(2021·湖北八校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．(1)若23cos 2A ＋cos 2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值；(2)若a ＝3，A ＝π3，求b ＋c 的取值范围． 解析：(1)∵23cos 2A ＋cos 2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， ∴cos 2A ＝125，又A 为锐角，∴cos A ＝15. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2－125b －13＝0， 解得b ＝5(负值已舍去)，∴b ＝5.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得b 2＋c 2－3＝bc ，即(b ＋c )2－3＝3bc ≤34(b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号， ∴b ＋c ≤23，又由两边之和大于第三边可得b ＋c >3， ∴b ＋c ∈(3，23]．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B －cos 2C ＝sin 2A －3sin A sinB ．(1)求角C ；(2)若A ＝π6，△ABC 的面积为43，M 为AB 的中点，求CM 的长． 解析：(1)根据cos 2B ＋sin 2B ＝1，cos 2C ＋sin 2C ＝1，知cos 2B －cos 2C ＝sin 2C －sin 2B ＝sin 2A －3sin A sin B ，根据正弦定理可化为c 2－b 2＝a 2－3ab ，即3ab ＝a 2＋b 2－c 2.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32.因为0＜C ＜π，所以C ＝π6. (2)因为A ＝C ＝π6，所以△ABC 为等腰三角形，且顶角B ＝2π3， 故S △ABC ＝12a 2sin B ＝34a 2＝43，所以a ＝4. 在△MBC 中，由余弦定理得，CM 2＝MB 2＋BC 2－2·MB ·BC cos B ＝4＋16＋2×2×4×12＝28，解得CM ＝27.[B 组 创新练]1．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，cos B ＝34. (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值． 解析：(1)由cos B ＝34，0<B <π得sin B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫342＝74，∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝aC ．由正弦定理，可得sin 2B ＝sin A sin C ，于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C＝sin (A ＋C )sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca cos B ＝32， 而cos B ＝34，∴b 2＝ac ＝2， 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2＋c 2＝5，∴(a ＋c )2＝5＋2ac ＝9，∴a ＋c ＝3.2．(2021·黄冈模拟)已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，点D 为边BC 的中点，△ABC 的面积为AD 22sin B. (1)求sin ∠BAD ·sin ∠BDA 的值；(2)若BD ＝2AB ，AD ＝3，求B ．解析：(1)由△ABC 的面积为AD 22sin B 且D 为BC 的中点可得，△ABD 的面积为AD 24sin B ，由三角形的面积公式可知12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝AD 24sin B ，可得sin ∠BAD ＝AD 2AB ·sin B.在△ABD 中，由正弦定理可得sin ∠BDA ＝AB ·sin B AD ，所以sin ∠BAD ·sin ∠BDA ＝12. (2)因为BD ＝2AB ，所以在△ABD 中，由正弦定理可得BD sin ∠BAD ＝AB sin ∠BDA ，所以sin ∠BAD ＝2sin ∠BDA ．由(1)可知sin ∠BAD ·sin ∠BDA ＝12，所以sin ∠BAD ＝1，sin ∠BDA ＝12.又因为∠BAD ∈(0，π)，所以∠BAD ＝π2.在Rt △ABD 中，AD ＝3，sin ∠BDA ＝12，所以BD ＝2，AB ＝c ＝1，cos B ＝12.又因为BC ＝2BD ，所以BC ＝a ＝4.在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝16＋1－2×4×1×12＝13，解得b ＝13. 3．设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 依次成等差数列．(1)若sin 2B ＝sin A sin C ，求角A ；(2)若△ABC 为钝角三角形，且a ＞c ，求3sin A 2cos A 2－cos 2C 2＋12的取值范围． 解析：(1)∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴2B ＝A ＋C ＝π－B ，∴B ＝π3. ∵sin 2B ＝sin A sin C ，∴根据正弦定理，得b 2＝ac ．又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ．∴△ABC 为等边三角形，∴A ＝π3. (2)由(1)知A ＋C ＝2π3，再由二倍角公式得， 3sin A 2cos A 2－cos 2C 2＋12＝32sin A －1＋cos C 2＋12 ＝32sin A －12cos ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32sin A ＋14cos A －34sin A ＝34sin A ＋14cos A ＝12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵a ＞c 且△ABC 为钝角三角形，∴π2＜A ＜2π3，∴2π3＜A＋π6＜5π6，∴12＜sin⎝⎛⎭⎫A＋π6＜32，∴14＜12sin⎝⎛⎭⎫A＋π6＜34.∴3sin A2cosA2－cos2C2＋12的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，34.。

（AAS），正确；B 选项：∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C， ∠DFB＝∠DEC＝90°∴DF＝DE 故点 D 在∠BAC 的平分线上，正确；C 选项： ∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴ △BDF≌△CDE（AAS），正确.
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）
（2）一个锐角和斜边对应相等；
（）
（3）两直角边对应相等；
（）
（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）
【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SA根据全等三角形的判定来判断.
4、【答案】A 【解析】解：∵OM=ON，CM=CN，OC 为公共边， ∴△MOC≌△NOC（SSS）．∴∠MOC=∠NOC 故选：A．
5【答案】AH=CB； 【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E， ∴∠BEC=∠AEC=90°， 在 Rt△AEH 中，∠EAH=90°﹣∠AHE， 又∵∠EAH=∠BAD， ∴∠BAD=90°﹣∠AHE， 在 Rt△AEH 和 Rt△CDH 中，∠CHD=∠AHE， ∴∠EAH=∠DCH， ∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE， 所以根据 AAS 添加 AH=CB 或 EH=EB； 根据 ASA 添加 AE=CE． 可证△AEH≌△CEB．
【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有 5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.
例 3、如图，AB⊥AC 于 A，BD⊥CD 于 D，若 AC=DB，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠A=∠D B．∠ABC=∠DCB C．OB=OD D．OA=OD 【答案与解析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要结合 已知条件与全等的判定方法逐一验证． 解：∵AB⊥AC 于 A，BD⊥CD 于 D ∴∠A=∠D=90°（A 正确） 又∵AC=DB，BC=BC ∴△ABC≌△DCB(HL) ∴∠ABC=∠DCB（B 正确） ∴AB=CD 又∵∠AOB=∠C ∴△AOB≌△DOC(AAS) ∴OA=OD（D 正确） C 中 OD、OB 不是对应边，不相等． 故选 C． 【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全 等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

第一讲 圆 (3) 三角形的五种心一. 三角形五种心的性质: 1. 外心(点O ): (1) OA =OB =OC =Aa sin 2 (2) ∠A 为锐角，则∠BOC ＝2∠A∠A 为钝角，则∠BOC ＝360o-2∠A 2. 内心(点I ): (1) S ⊿ABC =21(a +b +c )r [a 、b 、c 为三边长 (2) ∠BIC =21∠A+90O(3) DC ACBD AB =3. 重心(点G ):(1) S ⊿BDG = S ⊿CDG =S ⊿CEG = S ⊿AEG = S ⊿AFG = S ⊿BFG(2) FGCG GE BG GD AG ===24. 垂心(点H ):(1) H 为⊿EFG 的内心 (2) ∠BHC ＝180o -∠A∠AHC ＝180o -∠B ∠BHA ＝180o -∠C(3) ⊙⊿BHC =⊙⊿AHC =⊙⊿BHA =⊙⊿ABC(各三角形外接圆半径相等)5. 旁心(点O 1、O 2、O 3):⊿O 1O 2O 3的垂心为⊿ABC 的内心注: (1) 试证明以上各条性质; (2) 各结论可直接使用.二. 重要结论和例题:例1. (欧拉线) 任一个三角形中, 外心、垂心、重心共线, 且垂心到重心距离2倍于外心到重心距离.证明：（如图）设⊿ABC 垂心为H ， M 、N 分别为高之垂足，连OE 、AM 设AE 与OH 交于点G ，三边长分别为 则OE ⊥BC, ∴EO//AM ∴AHOEHG OG = RT ⊿OEC 中 ∠EOC ＝21∠BOC ＝∠ ∴OE=OC •cosA=RcosA ∵∠AHN=∠C 且 AH=C A c C AN sin cos sin ⋅==2R ） ∴ 2OG =GH 同法可证点G 与B 及AC 中点三点共线,点G 与C 及AB 中点三点共线∴ G 为⊿ABC 重心 ∴原命题得证练习1. 任一个三角形中, 三边中点、三边上高的垂足、垂心与三顶点连线段中点，九点共圆.练习2. 锐角△ABC 中,H 为垂心, a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边 求证： HA 2+a 2=HB 2+b 2=HC 2+c 2例2．已知：（如图）AB=BC=AC=AD ，AH ⊥CD 于H ，KC ⊥BC 交AH 于K.求证: S △ABC =43AK•BD 证明： 先证⊿AKC ∽⊿BCD显然∠ACB ＝∠BAC ＝∠ABC ＝60O且∠ACK ＝30O , ∠CAH=21∠CAD ∵AB =AC=AD ∴A 点为⊿BCD 的外心∴∠BDC=21∠BAC=30O =∠ACK同理: ∠DBC=21∠CAD=30O =∠CAK ∴ ⊿AKC ∽⊿BCD 设⊿ABC 边长为a , ∴BDACBC AK = ∴ AK•BD=BC•AC=a 2 S ⊿ABC =243a =43AK•BD练习3. △ABC 中, AB=AC, 在BC 边上取点Q, 作QM//AC 交AB 于M, QN//AB 交AC 于N,又作Q 关于直线MN 的对称点P.求证: (1)QC BQPC PB(2) △PBC ∽△ANM例3. (如图) 设I 为△ABC 的内心,延长AI 、BI 、CI各交△ABC 的外接圆于D 、E 、F. 求证: AD+BE+CF>AB+BC+CA 证明: 连接BD 、CD则BD=CD , ∠DBC=∠DCB=21∠A , ∠BDI=∠IBA+∠BAI=21(∠A+∠B)= ∠IBC+∠DBC=∠DBI∴ BD=ID 同法可证 DI=DC⊿BIC 与⊿BDC 中 BD+DC>BC , BI+IC>BC ∴ BD+DC+BI+IC>2BC 即 2DI+BI+CI>2BC ① 同法可证: 2EI+AI+CI>2AC ②, 2FI+AI+BI>2AB ③ 三式相加: 2(AD+BE+CF)>2(AB+AC+BC) 即 AD+BE+CF>AB+BC+CA练习4: 试证: 任何三角形中, 其内心与旁心连线段均被其外接圆圆周平分.。

小学数学四年级第三讲三角形(1).三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形(2).三角形有三个顶点，三条边和三个角。

从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

为了表达方便，用字母A,B,C分别表示三角形的三个顶点，这个三角形可以表示成三角形ABC。

(3).三角形具有稳定的特性，这一特性在生活中有着广泛的应用(4).三角形边的关系：三角形任意两边的和大于第三边，如果用a,b,c表示三角形三条边的长度，则有：a+b＞c;a+c＞b;b+c＞a。

(5).认识几种三角形锐角三角形：三个角都是锐角的三角形直角三角形：有一个角是直角的三角形钝角三角形：有一个角是钝角的三角形(6).三角形的分类：（1）按角分有：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形。

（2）按边分有：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中还包括三条边都相等的等边三角形。

(7).等腰三角形各部分的名称;在等腰三角形里，相等的两条边叫做腰；另一条边叫做底；两腰的夹角叫做顶角；底边上的两个角叫做底角。

等腰三角形的两个底角相等。

(8).三角形的内角和：任何三角形三个内角的和都是180度。

一个三角形，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180度”求出第三个角的度数。

(9).用三角形拼四边形两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形；两个完全相同的直角三角形可以拼成一个长方形；两个完全相同的等腰直角三角形可以拼成一个正方形；三个完全相同的三角形可以拼成一个梯形。

一：三角形内角和定理的应用。

二：三角形三边关系的应用，及画钝角三角形高。

1．两个椭圆圈重合的部分应是什么三角形?答案：等腰直角三角形2．在能组成的三角形的三个角后面画“√”。

1．900500400()√2．500500500()3．1200300300()√4．1000320190()5．600600600()√3．在能组成三角形的三条线段后面画“√”。