第五章 代数系统(1/3)
• 二元运算
1. 定义:设S为集合,函数f：S×S→S称为S上 的二元运算,简称为二元运算. 2. 判断要点: (1) S中任何两个元素都可以进行这种运算, 且运算的结果是唯一的. (2) S中任何两个元素的运算结果都属于S, 即S对该运算是封闭的.
3.例: (1)自然数集合N上的加法和乘法是N上的二 元运算,但减法 和除法不是.
3.Klein 四元群 设G={a,b,c,e},· 为G上的二元运算,它由下表给出,不难 证明G是一个群.由表中可以看出G的运算具有以下 的特点：e为G中的单位元；运算是可交换的；G中 任何元素的逆元就是它自己；在a,b,c三个元素中,任 何两个元素运算的结果都等于另一个元素.称这个群 为Klein四元群,简称四元群.
4.群的术语 (1)若群G是有穷集,则称G是有限群,否则称为 无限群.群G的基数称为群G的阶,有限群G的 阶记作|G|. 如:<Z,+>,<R,+>是无限群,<Zn,+> 是有限群,也是n阶群.Klein四元群是4阶群 (2)只含单位元的群称为平凡群.如:<{0},+>是 平凡群. (3)若群G中的二元运算是可交换的,则称G为 交换群或阿贝尔(Abel)群.
4.例:设V=<Z,+,0>,令 nZ={nz|z∈Z},n为自然数, 则nZ是V的子代数. 证：任取nZ中的两个元素 nz1,nz2(z1,z2∈Z), 则有 nz1+nz2=n(z1+z2)∈nZ 即 nZ对+运算是封闭的.又0=n· 0∈nZ 所以nZ是V的子代数
• 典型代数系统
一.半群 1.定义:设V=<S,* >是代数系统, *为二元运算, 如果 * 运算是可结合的,则称V为半群. 2.特殊半群: 1)交换半群:半群V=<S,* >的二元运算*是可 交换的,则称V为交换半群; 2)含幺半群—独异点:半群V=<S,* >的二元运 算*含有幺元,则称V为含幺半群或独异点. 3.实例
• 二元运算的性质
1.算律: 设 为S上的二元运算, (1)如果对于任意的x,y∈S,有x y=y x, 则称运算在S上满足交换律.
(2)如果对于任意的x,y,z∈S有 (x y) z=x (y z),则称运算在S上满足结 合律. (3)如果对于任意的x∈S有x x=x,则称 运算在S上满足幂等律.
(4). 设G是群,a∈G,n∈Z,则a的n次幂.
如:<Z,+>中有 3-5=(3-1)5=(-3)5=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-15.
(5).设G是群,a∈G,使得等式 ak=e成立的最小 正整数k称为a的阶,记作|a|=k,这时也称a为k 阶元.若不存在这样的正整数k,则称a为无限 阶元. 如:<Z6,+ >中,2和4是3阶元,3是2阶元,而1和5是 6阶元,0是1阶元. <Z,+>中,0是1阶元,其它的整数都是无限阶元. Klein四元群中e为1阶元,其它元素都是2阶元.
设 和 为S上两个不同的二元运算,
(1)如果对于任意的x,y,z∈S有(x y) z= (x z) (y z)和z (x y)=(z x) (z y),则称 运 算对 运算满足分配律.
(2)如果 和 都可交换,并且对于任意的 x,y∈S有x (x y)=x和x (x y)=x,则称 和 运算满足吸收律.
4.群的性质 (1)群的幂运算规则 设G为群,则G中的幂运算满足： 1) a∈G,(a-1)-1=a. 2) a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1. 3) a∈G,anam=an+m,n,m∈Z. 4) a∈G,(an)m=anm,n,m∈Z. 5)若G为交换群,则(ab)n=anbn.
(3)例: a) 设R为实数集合,如下定义R上的二元 运算*： 任意x,y∈R,x*y=x.计算 3*4, (-5)*0.2,0* 1/2.
解：3*4=3,(-5)*0.2=-5,0*1/2 =0
b)设S={1,2},给出P(S)上的运算~和 的运算 表,其中全集为S.
解：所求的运算表如下.
• 思考:n元运算如何定义?
• 二元与一元运算的表示
1.算符:
用 , , , , 等符号表示一元运算，称之为 算符。 对于二元运算 ，如果x与y运算得z，则记为
x yz
对于一元运算 ，x的运算结果记为x
2.表示方法---解析公式和运算表 (1)解析公式就是使用算符和表达式给出 参与运算的元素和运算结果之间的映 射规则. (2)有穷集S上的二元和一元运算也可以 使用运算表表示.
(4)<Zn, >为半群,也是独异点,其中Zn={0,1,…,n1}, 为模n加法.也为交换半群. (5)<AA, >为半群,也是独异点,其中 为函数的复 合运算. (6)<R*, >为半群,其中R*为非零实数集合, 运 x,y∈R*,x y=y 算定义如下：
二.群 1.定义:设<G, *>是代数系统, *为二元运算. 如果* 运算是可结合的,存在单位元e∈G, 并且对G中的任何元素x都有x-1∈G,则称 G为群. 2.实例
3.真子代数 任何代数系统V=<S,f1,f2,…,fk>,其子代数一定 存在. 最大的子代数就是V本身. 如果令V中所有代数常数构成的集合是B,且 B对V中所有的运算都是封闭的,则B就构成 了V的最小的子代数. 这种最大和最小的子代数称为V的平凡的子 代数. 若B是S的真子集,则B构成的子代数称为V的 真子代数.
例:说明*运算是否满足交换律,结合律,幂等律 并求出单位元,零元和所有可逆元的逆元. 设Q是有理数集合,*运算定义如下: 任意x,y ∈S,x*y=x+y-xy. 解:满足交换律,结合律,不满足幂等律.单位元0, 零元1, x不为1时可逆,逆元x-1=x/(x-1).
• 代数系统
1. 定义:非空集合S和S上k个一元或二元运算 f1,f2,…fk组成的系统称为一个代数系统,简 称代数,记做< S, f1, f2,…, fk >.
• 子代数系统 定义: 设V=< S,f1,f2,…,fk >是代数系统,B是S的非 空子集,如果B对f1, f2,…fk 都是封闭的,且B和 S含有相同的代数常数,则称< B,f1,f2,…fk >是 V的子代数系统,简称子代数.有时将子代数 系统简记为B. 1. 实例:N是<Z,＋>的子代数,因为N对加法运 算＋是封闭的.N也是<Z,＋,0>的子代数,因 为N对加法运算＋是封闭的,且N中含有代数 常数0.N-{0}是<Z,＋>的子代数,但不是<Z, ＋,0>的子代数,因为<Z,＋,0>的代数常数0 不属于 N－{0}.
<P(S),∪,∩,~>也是代数系统,其中含有两个二元运 算∪和∩以及一个一元运算~.
3. 特异元素或代数常数 –单位元,零元
例如: <Z,+>中的+运算有单位元0,为了强调0 的存在,可以将<Z,＋>记做<Z,＋,0>. 又如<P(S),∪,∩,~>中的∪和∩运算存在单位 元 和S,当规定 和S是该系统的代数常数时, 也可将它记为<P(S),∪,∩, ~ , , S>. 当然,在不发生混淆的情况下为了叙述的简便 也常用集合的名字来标记代数系统,例如上述 代数系统可以简记为Z和P(S).
(5) S为任意集合,则∪、∩、－、 为S 的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级 并和初级交.
(6) S为集合, SS为S上的所有函数的集合, 则函数的集合运算 为SS上的二元运算.
• 一元运算
1. 定义: 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一 个一元运算,简称为一元运算. 2. 例: (1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集 合Q和实数集合R上的一元运算. (2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非 零实数集合R*上的一元运算.
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(2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z 上的二元运算,而除法不是. (3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上 的二元运算,而加法和减法不是,因为两个非 零实数相加或相减可能得0.
(4) 设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的 集合,即
则矩阵加法和乘法都是 Mn(R)上的二元 运算.
2. 实例: <N,＋>,<Z,＋,· >,<R,＋,· >都是代数系 统,其中+和· 分别表示普通加法和乘法.
<Mn(R),＋, · >是代数系统,其中＋和 · 分别表示n阶 (n≥2)实矩阵的加法和乘法. <Zn, , >是代数系统,其中Zn＝{0,1,…,n-1}, 和 分别表示模n的加法和乘法,任意 x,y∈Zn, x y=(x＋y)modn, x y=(xy)modn；
• 例: 下表给出了某些常见代数运算的性质,其 中Z、Q、R分别代表整数集、有理数集、实 数集,Mn(R)表示n(n≥2)阶实矩阵的集合,AA是 所有从A到A的函数的集合.
2.特异元素：单位元、零元和逆元 设*为S上的二元运算, (1) 如果存在el（或er）∈S,使得对任意 x∈S都有el * x=x (或x * er =x),则称el (或er )是 S中关于 * 运算的左(或右)单位元.若e∈S关于 运算既是左单位元又是右单位元,则称e为S上 关于 运算的单位元.单位元也叫做幺元. (2) 如果存在θl（或θr）∈S,使得对任意 x∈S都有θl * x= θl (或x *θr = θr ),则称θl (或 θr )是S中关于 运算的左(或右)零元.若S关于* 运算既是左零元又是右零元,则称θ为S上关于 运算 的零元.
(3) 求一个复数的共轭复数是复数集合C上的 一元运算. (4) 在幂集合P(S)上,如果规定全集为S,则求集合 的绝对补运算~是P(S)上的一元运算. (5) 设S为集合,令A为S上所有双射函数的集合, S A S ,则求一个双射函数的反函数为A上的 一元运算. (6) 在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上,求一个 矩阵的转置矩阵是Mn(R)上的一元运算.
所以el=er,将这个单位元记作e.假设e＇也是S 中的单位元,则有e＇=e * e＇=e.唯一性得证.
定理5.2 设*为S上可结合的二元运算,e为该运 算的单位元,对于x∈S如果存在左逆元yl和右 逆元yr,则有yl = yr= y，且y是x的唯一的逆元. 证： 由 yl* x = e 和 x * yr = e 得 yl = yl * e = yl * (x*yr) = ( y l * x )* y r = e * y r = y r 令yl = yr = y,则y是x的逆元.假若y' ∈S也是x的 逆元,则 y'= y' * e = y' * (x * y) = (y' * x)* y = e * y = y 所以y是x唯一的逆元.
例: (1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半 群,+是普通加法.这些半群中除<Z+,+>外都是独异 点.也都是交换半群. (2)设n是大于1的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),· > 都是半群,也都是独异点,其中+和· 分别表示矩阵加 法和矩阵乘法.前者为交换半群. (3)<P(B), >为半群,也是独异点,其中 为集 合的对称差运算.也为交换半群.
(1)<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群,而<Z+,+>和 <N,+>不是群.
(2)< Mn(R),+>是群,而<Mn(R),· >不是群.因为 并非所有的n阶实矩阵都有逆阵. (3)中的<P(B), >是群,因为对任何B的子集 A,A的逆元就是A自身. (4)中的<Zn, >也是群.0是Zn中的单位 元. x∈Zn,若x=0,x的逆元就是0；若x≠0,则 n-x是x的逆元
(3) 令e为S中关于运算* 的单位元.对于x∈S,如果 存在yl（或yr）∈S使得yl * x=e（或x * yr =e）, 则称yl (或yr )是x的左逆元(或右逆元).若y∈S既 是x的左逆元又是x的右逆元,则称y为x的逆元.如 果x的逆元存在,就称x是可逆的.
例:
性质:
定理5.1 设 * 为S上的二元运算,el和er分别为S 中关于运算的左和右单位元,则el=er=e为S上 关于 运算的唯一的单位元. 证： el = el* er e l* e r = e r (er为右单位元) (el为左单位元)
