高中物理 3.3万有引力定律的应用2学案 教科版必修2

用心 爱心 专心 1 高中物理 3.3万有引力定律的应用2学案 教科版必修2

学习目标

1． 了解万有引力定律在天文学上的应用

2． 会用万有引力定律计算天体的质量和密度

3． 掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法

知识梳理

1．若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于______对物体的________，即mg＝________，式中M是地球的质量，R是地球的半径，也就是物体到地心的距离．由此可得出地球的质量M＝________.

2．将行星绕太阳的运动近似看成____________运动，行星做圆周运动的向心力由__________________________提供，则有________________，式中M是______的质量，m是________的质量，r是________________________________，也就是行星和太阳中心的距离，T是________________________．由此可得出太阳的质量为：________________________.

3．同样的道理，如果已知卫星绕行星运动的________和卫星与行星之间的________，也可以计算出行星的质量．

4．太阳系中，观测行星的运动，可以计算________的质量；观测卫星的运动，可以计算________的质量．

5．18世纪，人们发现太阳系的第七个行星——天王星的运动轨道有些古怪：根据________________计算出的轨道与实际观测的结果总有一些偏差．据此，人们推测，在天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的________使其轨道产生了偏离．________________和________________________确立了万有引力定律的地位．

6．应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路是：(1)把天体(行星或卫星)的运动近似看成是____________运动，向心力由它们之间的____________提供，即F万＝F向，可以用来计算天体的质量，讨论行星(或卫星)的线速度、角速度、周期等问题．基本公式：________＝mv2r＝mrω2＝mr4π2T2.

(2)地面及其附近物体的重力近似等于物体与地球间的____________，即F万＝G＝mg，主要用于计算涉及重力加速度的问题．基本公式：mg＝________(m在M的表面上)，即GM＝gR2.

课堂探究

知识点一 计算天体的质量

例题1 利用下列数据，可以计算出地球质量的是( )

A．已知地球的半径R和地面的重力加速度g

B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期T

C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v

D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T

解析：设相对地面静止的某一物体的质量为m，则有GMmR2＝mg得M＝gR2G，所以A选项正确．设卫星质量为m，则万有引力提供向心力，GMmr2＝m4π2rT2得M＝4π2r3GT2，所以B选项正确．设卫星质量为m，由万有引力提供向心力，GMmr2＝mv2r，得M＝v2rG，所以C选项正确．设卫星质量为m，由万有引力提供向心力，GMmr2＝mω2r＝mvω＝mv2πT，由v＝rω＝r2πT，消去r得M＝v3T2πG，所以D选项正确． 用心 爱心 专心 2 变式练习1 已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球质量的数量级是( )

A．1018 kg B．1020 kg

C．1022 kg D．1024 kg

答案：D

点评 天体质量的计算仅适用于计算被环绕的中心天体的质量，无法计算围绕中心天体做圆周运动的天体的质量，常见的天体质量的计算有如下两种：

(1)已知行星的运动情况，计算太阳质量．

(2)已知卫星的运动情况，计算行星质量．

知识点二 天体密度的计算

例题2 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？

解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M.卫星贴近天体表面做匀速圆周运动时有

GMmR2＝m4π2T21R，则M＝4π2R3GT21

根据数学知识可知星球的体积V＝43πR3

故该星球密度ρ1＝MV＝4π2R3GT21·43πR3＝3πGT21

卫星距天体表面距离为h时有

GMmR＋h2＝m4π2T22(R＋h)

M＝4π2R＋h3GT22

ρ2＝MV＝4π2R＋h3GT22·43πR3＝3πR＋h3GT22R3

点评 利用公式M＝4π2r3GT2计算出天体的质量，再利用ρ＝M43πR3计算天体的密度，注意r指绕天体运动的轨道半径，而R指中心天体的半径，只有贴近中心天体运动时才有r＝R.

变式练习2 一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，若认为行星是密度均匀的球体，那么要确定该行星的密度，只需要测量( )

A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度

C．飞船的运行周期 D．行星的质量

答案：C 因为GMmR2＝m4π2T2R，所以M＝4π2R3GT2，又因为V＝43πR3，ρ＝MV，所以ρ＝3πGT2，选项C正确．

点评 利用飞船受到行星的万有引力提供飞船做圆周运动的向心力进行分析．

方法总结 解决天体问题的两条思路

(1)所有做圆周运动的天体，所需要的向心力都来自万有引力．因此，向心力等于万有引力是我们研究天体运动建立方程的基本关系式，即GMmr2＝ma，式中的a是向心加速度．

(2)物体在地球(天体)表面时受到的万有引力近似等于物体的重力，即：GMmR2＝mg，式中的R为地球(天体)的半径，g为地球(天体)表面物体的重力加速度．

课堂反馈 用心 爱心 专心 3 1．已知引力常量G和下列各组数据，能计算出地球质量的是( )

A．地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离

B．月球绕地球运行的周期及月球离地球的距离

C．人造地球卫星在地面附近绕行的速度及运行周期

D．若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速度

答案：BCD

2．下列说法正确的是( )

A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的

B．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的

C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的

D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨

道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星

答案：D

3．科学家们推测，太阳系的第九大行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息我们可以推知( )

A．这颗行星的公转周期与地球相等

B．这颗行星的自转周期与地球相等

C．这颗行星的质量与地球相等

D．这颗行星的密度与地球相等

答案：A

4．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2，设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则( )

A.g1g2＝(T1T2)4/3

B.g1g2＝(T2T1)4/3

C.g1g2＝(T1T2)2 D.g1g2＝(T2T1)2

答案：B

解析：卫星绕天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有GMmR2＝m(2πT)2R，可得T2R3＝K为常数，由重力等于万有引力有GMmR2＝mg，联立解得g＝GM3T4K2＝GMK23T43，则g与T43成反比．

5．已知地球半径R＝6.4×106 m，地面附近重力加速度g＝9.8 m/s2.计算在距离地面高为h＝2×106 m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T.

答案：6.9×103 m/s 7.6×103 s

解析 根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有

GMmR＋h2＝mv2R＋h

知v＝ GMR＋h①

由地球表面附近万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg得GM＝gR2②

由①②两式可得

v＝ gR2R＋h＝6.4×106× 9.86.4×106＋2×106 m/s

＝6.9×103 m/s 用心 爱心 专心 4 运动周期T＝2πR＋hv

＝2×3.14×6.4×106＋2×1066.9×103 s＝7.6×103 s