高中数学人教A版选修2-2习题 第1章 导数及其应用1.4 Word版含答案
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选修 第一章
一、选择题
．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则高为( )
[答案]
[解析] 设圆锥的高为，则底面半径为，
其体积为＝π(－) (＜＜)，
′＝π(－)，令′＝，解得＝.
当＜＜时，′＞；当＜＜时，′＜，
所以当＝时，取最大值．
．如果圆柱轴截面的周长为定值，则体积的最大值为( )
．()π ．()π
．()π()π
[答案]
[解析] 设圆柱的底面半径为，高为，体积为，则＋＝，
∴＝，
＝π＝π－π(<<)．
′＝π－π，
令′＝，得＝或＝，而>，
∴＝是其唯一的极值点．
∴当＝时，取得最大值，最大值为()π.
．用总长为的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为，那么容器容积最大时，高为( )
． ．
． ．
[答案]
[解析] 设容器底面相邻两边长分别为、，则高为＝()，容积＝··＝－，′＝－，
由′＝得＝或＝(舍去)．∈时，′>，∈时，′<，所以在＝处，有最大值，此时高为.
．内接于半径为的球且体积最大的圆锥的高为( )
． ．
[答案] [解析] 设圆锥高为，底面半径为，则＝(－)＋，∴＝－，
∴＝π＝(－)＝π－，
′＝π－π.令′＝得＝.
当<<时，′>；当<<时，′<.
因此当＝时，圆锥体积最大．故应选.
．设圆柱的体积为，那么其表面积最小时，底面半径为( )
[答案]
[解析]设底面圆半径为，高为，则＝π，
∴＝.∴表＝底＋侧＝π＋π·＝π＋π·＝π＋.
∴表′＝π－，令表′＝得，＝，
又当∈(，)时，表′<；当∈(，)时，表′>，∴当＝时，表面积最小．
．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第小时时，原油温度(单位：℃)为()＝－＋(≤≤)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
．
．－ ．－
[答案]
[解析] 瞬时变化率即为′()＝－为二次函数，且′()＝(－)－，又∈[]，
故＝时，′()＝－.
二、填空题
．用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，该长方体的最大体积是
[答案]
[解析] 设长方体的宽为，则长为，高为－ (<<)，故体积为＝＝－＋，
′＝－＋，令′＝得，＝或，
∵<<，∴＝.
∴该长方体的长、宽、高各为、、时，体积最大，最大体积＝.
．某厂生产某种产品件的总成本：()＝＋，又产品单价的平方与产品件数成反比，生产件这样的产品的单价为元，总利润最大时，产量应定为件
[答案]
[解析] 设产品单价为元，又产品单价的平方与产品件数成反比，即＝，
由题知＝.总利润＝－－(>)，′＝－，
由′＝，得＝，∈()时，′>，∈(，＋∞)时，′<，所以＝时，取最大值．
.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，
