人教版-数学-九年级上册-22.3 实际问题与二次函数(1) 教案

初中-数学-打印版

初中-数学-打印版 22.3.2实际问题与二次函数

一、教学目标

（一）学习目标

1.初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题；

2.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型，发展合情推理．

3.能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．

（二）学习重点

学会用二次函数知识解决实际问题, 把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．

（三）学习难点

1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．

2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．

二、教学设计

（一）课前设计

预习任务

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是24,24bacbaa，对称轴是x= 2ba；二次函数的图象是一条抛物线，当a＞0时，图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下；

2.抛物线2(0)yaxbxca的最值问题：（1）若a>0，则当x=2ba时，y最小值=244acba；（2）若a<0，则当x=2ba时，y最大值=244acba.

预习自测

1.已知二次函数221yxx，当x=______时，取得最_______值为_______；

【知识点】二次函数求最值

【解题过程】配方，得2(1)2yx，∴当x=1时，取得最大值为2.

【思路点拨】将二次函数的一般式转化成顶点式来求二次函数最值

【答案】1、大、2.

2.已知二次函数221yxx，2≤x≦5，则当x=______时，取得最大值为_______；x=______时，取得最小值为_______。

【知识点】二次函数区间求最值

【解题过程】配方，得2)1(2xy，∵2≤x≤5 在对称轴的右边,且抛物线开口向下，∴当2≤x≤5时，y随x的增大而减小，∴当x=2时，取得最大值为1；当x=5时，取得最小值为-14. 初中-数学-打印版

初中-数学-打印版 【思路点拨】将二次函数的一般式转化成顶点式，再根据x的取值范围并结合图象，求二次函数的区间最值

【答案】2，1；5，-14.

3.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件售价应为____元．

【知识点】二次函数的应用．

【思路点拨】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．

【解题过程】解：设最大利润为w元，则

w=（x﹣20）（30﹣x）=2x2525-（﹣），

∵20≤x≤30，

∴当x=25时，二次函数有最大值25，

【答案】25

4.某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？

【知识点】销售问题中的数量关系，二次函数求最值

【解题过程】解：(1)y＝－10x2＋1400x－40000(50

(2)由题意得：－10x2＋1400x－40000＝8000，

化简得x2－140x＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.

∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．

【思路点拨】关键是先将实际问题抽象成数学问题，即先建立二次函数关系，然后再利用二次函数的图象及性质进行解答．

(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）营销问题的基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．

（2）抛物线2(0)yaxbxca的最值问题：①若a>0，则当x=2ba时，y最小值=244acba；②若a<0，则当x=2ba时，y最大值=244acba.

2.问题探究

探究一 销售问题中的利润最大问题（★▲）

●活动1 回顾旧知，回忆销售问题中常见概念和公式. 初中-数学-打印版

初中-数学-打印版 师问：销售问题中一般都会涉及哪些名词？它们之间的数量关系是什么？

学生抢答： 成本价；定价；售价；利润；销量；利润率；定价；

利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．

【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.

●活动2 整合旧知，探究利润最大问题

创设情景，激发学生学习兴趣，引入新课.

师问：在讲课之前，我对咱班的学生先做一个小小的调查。你们的父母中有做生意的举手示意一下（师清点人数），在外务工的举手示意一下，（好的，谢谢！）。那么我想问一下，务工也好，做生意也好，目的都是干什么？生答：“挣钱”.师：“不仅挣钱而且都想挣更多的钱，一是靠我们辛勤的劳动，二是靠我们的智慧和科学文化知识”.我们班的小红的爸爸数学不好，他有一个问题想请大家帮帮忙.（引出例1）

例1.小红的爸爸出售一批衬衣，这批衬衣现在的售价是60元每件，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

师问：1.问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？

2．如果你是老板，你会怎样定价？

3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．

(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为_______元，每件利润为_______________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以利润y=___________________________；

(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为__________元，每件利润为___________元，每星期多卖_________件，实际卖出____________件．所以利润y=_________________________，

（3）何时有最大利润，最大利润为多少元？

生答：（1）60+x，6040x,10x，30010x，604030010yxx；

60x，6040x，20x，30020x，604030020yxx；

根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．

解：（1）组604030010yxx

2101006000xx

当x=5时，取得最大值为6250元。

（2）组604030020yxx

2201006000xx

当x=2.5时，取得最大值为6125元

得出结论，当涨价5元时，取得的最大值为6250元. 初中-数学-打印版

初中-数学-打印版 练习．小红的爸爸是个服装店老板，将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为( )

学生举手抢答.

A．150元 B．160元 C．170元 D．180元

【知识点】总利润=单件利润数量，单件利润=售价-进价

【解题过程】最大利润y=(x－100) (200－x)=-(x-150)2+2500, 当x=150时，取得最大值

【思路点拨】列出最大利润的关系式是本题关键.

【答案】A

【设计意图】从最简单的题让学生清楚利润最大问题最常用的等量关系。

●活动3 探究复杂问题中的利润最大问题

例2．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．

(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．

(2)每件商品的售价定为多少元时，所获月利润最大，最大月利润是多少元？

(3)每件商品的售价定为多少元时，月利润恰好是2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，月利润不低于2200元？

【知识点】销售利润最大问题

【解题过程】解：（1）y=（210-10x)（50+x-40）=-10x2+110x+2100（0

（2）y=-10（x-5.5）2+2402.5，

∵a=-10<0，

∴当x=5.5时，y有最大值2402.5，

∵0

当x=5时，50+x=55，y=2400（元），

当x=6时，50+x=56，y=2400（元），

∴当售价定为每件55或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；

（3）当y=2200时，-10x2+110x+2100=2200，解得x1=1，x2=10，

∴当x=1时，50+x=51，

当x=10时，50+x=60，

∴当售价定为每件51或60元时，每个月的利润为2200元，

当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元。

【思路点拨】（1）根据利润=每件利润×销售量，列出表达式；（2）求二次函数最值，注意自变量取整数；（3）列方程求解. 初中-数学-打印版

初中-数学-打印版 【答案】（1）y=-10x2+110x+2100（0

（2）当售价定为每件55或56元时，最大的月利润是2400元；

（3）当售价定为每件51或60元时，每个月的利润为2200元；当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元.

【设计意图】让学生学习利润范围问题.

练习：将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为 元，每日的销售量为__ 件，每日的利润y＝ ，所以每件降价____元时，每日获得的利润最大为____元．

【知识点】单件利润=售价-进价；总利润=单件利润数量；数量=20+x

【答案】(30-x); (20+x); (20+x)( 30-x);5;625.

【思路点拨】能用未知数表示清楚销售问题中的各种关系.

【设计意图】从最简单的题让学生清楚利润最大问题最常用的等量关系

探究二 销售问题中的利润最大问题综合训练

●活动1 基础性例题

例1．某经销店代销一种材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．

(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；