初中数学思维训练 129页

2020-2021巴中中学数学七思维训练试卷（含答案）下载第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．12-的相反数是（）(A) 12(B)12- (C)2 (D) 2-2、如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（）A B C D3．．．．．50．．．．+50．．．．．．30．．．( )A．+30．B．．30．C．+80．D．．80．4．某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查．你认为抽样比较合理的是（）．A、在公园调查了1000名老年人的健康状况B、在医院调查了1000名老年人的健康状况C、调查了10名老年邻居的健康状况D、利用派出所的户籍网随机调查了该地区10％的老年人的健康状况5．若|a|＝7，|b|＝5，a＋b＞0，那么a－b的值是( ) A．2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．－2或126.把图1绕虚线旋转一周形成一个几何体，与它相似的物体是（）．A．课桌 B．灯泡 C．篮球 D．水桶7．已知2是关于x的方程3x+a=0的解．那么a的值是( )A．-6 B．-3 C．-4 D．-58．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“．”．．．．………………． ．A．． B．． C．． D．．9．．．．．．．．．．．． ．A．．2．a+b．=．2a+b B．．2．a+b．=．2a．b 2 C．．2．a+b．=．2a．2bD．．2．a+b．=．2a+2b10 下列一组是按一定规律排列的数:1,2,4,8,16,……,则第2016个数是 ( )A 、B 、C 、D 、4032 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．若-a ＝5，则a ＝ ，若a 2＝9 ，则a ＝ .12．计算：17254'︒⨯= ．13．去年，中央财政安排资金8 200 000 000元，免除城市义务教育学生学杂费，支持进城务工人员随迁子女公平接受义务教育，这个数据用科学记数法可表示为 元.14．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠DOF ＝90°，OF 平分∠AOE ，若∠BOD ＝25°，则∠EOF 的度数为 °．15．下边横排有12个方格，每个方格都有一个数字，若任何相邻三个数字的和都是20，则x＝ .5A B C D E F x G H I 10三、解答题 （本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．．1．．．．．．+．．×|．24|．2．．．．．13．．1．0.5．××[2．．．3．2]．(第8祝你 考 试 顺 利17．化简：(本题每小题3分，满分6分)①x2+5y－4x2－3y－1 ②－(2a－3b)－(4a－5b)18．已知代数式9－6y－4y2=7，求2y2＋3y＋7的值．19．你能在3，4，5，6，7，8，9，10的前面添加“+”或“—”号，使它们的和为0吗？若能，请写出三个式子；若不能，请说明理由.20.小甲虫从某点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为：（单位：厘米）（1）小甲虫最后是否回到出发点O呢？（4分）（2）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励三粒芝麻，那么小甲虫一共得到多少粒芝麻？（4分）21．“金九银十”，此时正是楼市销售旺季，某楼盘开盘均价为10000元/m2．为了加快资金回笼，房地产开发商决定将价格下调10%对外销售，并在此基础上再给予以下三种优惠方案以供客户选择：①一次性付款可以再打9.5折销售；②一次性付款，不享受折上折，但可送两年物业管理费(物业管理费是每平方米每月3元)，再一次性送10000元装修费；③如果先付总房款的一半，可送一年的物业管理费，再一次性送10000元装修费，但是一年后必须一次性付清余下的房款．已知该年银行的年利率3%．⑴若所购房屋面积为a m2，分别用含a的代数式表示这三种方案的买房费用．⑵某客户准备购买其中一套100 m2的房子，如果该客户有能力一次性付清所有房费，请问他该选择哪种付款方案更优惠？22．图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是-2，已知点A、B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．(1)如果点A表示数-3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是；(2)如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离为；(3)如果点A表示数-4，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动25个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是；(4)一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示什么数?A、B两点间的距离为多少?23.探索规律：将连续的偶2，4，6，8，…，排成如下表：2 4 6 8 1012 14 16 18 2022 24 26 28 3032 34 36 38 40……（3）若将十字框上下左右移动，可框住五位数，设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和，（4）若将十字框上下左右移动，可框住五位数的和能等于2010吗？如能，写出这五位数，如不能，说明理由。

八年级下期数学培优思维训练
一、二次根式
（一）知识梳理：
（二）方法归纳：
（三）范例精讲：
1.（1）已知，求的值.
（2）若，求的值.
2.（1）化简.
（2）计算. （3）化简.
3. 已知，求证：.
4. 化简：（1）（2）（3）
5.（1）若，化简.
（2）化简.
6. 设，，求的值.
7. 化简.
8. 化简.
9. 设，求的值.
（四）思维训练：
1.若式子化简的结果为，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
2.若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.或
3.将二次根式的根号外面的因式移到根号内是___________.
4.把根号外面的因式移到根号内为_____________.
5.实数的算术平方根等于___________.
6.已知，求的值.
7.已知的整数部分为，小数部分为，求的值.
8.化简.
9.先化简，再求值：，其中.
10.先化简，再求值，其中.
11.已知，求代数式的值.
12.已知，求的值.
13.已知，求的值.
14.已知，，求的值.
15.已知，为实数，且．求的值.
16.已知，，求的值.
17.已知，求的值.
18.已知，求的值.
19.化简：.
20.若，化简.
21.已知，，求的值.
22.化简：.。

数与代数 1．数形结合话数轴问题解决 例1 （1）（《时代学习报》数学文化节试题）已知a b 、为有理数，且a ＞0，b ＜0，a b +＜0，将四个数a b a b --、、、按由小到大的顺序排列是_______． （2）（广西竞赛题）已知数轴上有A B 、两点，A B 、之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是_______． 【答案】 （1）（江苏省竞赛题）b ＜a -＜a ＜b - （2）4或2或2-或4-例2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D 、、、对应的数分别是整数a b c d 、、、，且210d a -=，那么数轴的原点应是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点 【答案】 B 由图知7d a -=，又210d a -=，得3a =-． 例3 已知两数a b 、，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小．【答案】 当点B 在原点的右边时，0＜b ＜a ，则||a ＞||b ；当点A 在原点的左边时，b ＜a ＜0，则||a ＜||b ；当点A B 、分别在原点的右、左两侧时，b ＜0＜a ，这时无法比较||a 与||b 的大小关系；当点A 正好在原点位置时，b ＜a =0，则||b ＞||a ；当点B 正好在原点位置时，0=b ＜a ，则||a ＞||b ．例4 （“希望杯”邀请赛试题）电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．【答案】 30.06- 设0K 点表示的有理数为x ，则12100K K K 、、、点所表示的有理数分别为112123123499100x x x x --+-+--+-+-+，，，，，由题意得1234x -+-+9910019.94-+=．例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边． （1）求A B 、两点所对应的数．（2）数轴上点A 以每秒1个单位长度出发向左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．（3）已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P （O 为原点），在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 分析与解 对于（3），设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用t 的式子表示． （1）A B 、两点所对应的数分别为820-，；（2）C 点对应的数为22-； （3）202102tAM t OP t +===+，（为什么？），则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变． 生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成1122；变成1；等等）．那么在线段AB 上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和．B A分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点． 解1121421210(1, )18( , , )7883851443( )( )3441583887( , , )8100(1, )8141831850(1)8178()38)(1434)(拉长后对折后拉长后对折后原图21()4341()83)(87180(1)12581121238141878345812381481AB 0故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144+=．数学冲浪知识技能广场1．数轴上有A B 、两点，若点A 对应的数量2-，且A B 、两点的距离为3，则点B 对应的数是_______. 【答案】5-或12．（“《时代学习报》数学文化节”试题）电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A B 、站台分别位于21--，处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“_______站台”． 【答案】113-3．已知点A B P 、、在数轴上，点B 表示的数为6，85AB AP ==，，那么点P 表示的数是_______．A NB M【答案】3或7- 4．（江西省中考题）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周1、2、0、1…所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． （1）圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =_______；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_______（用含n 的代数式表示）. 【答案】（1）2；（2）31n + 5．（2012年湖南省常德市中考题）有理数a b 、在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是（ ）A ．0a b +＞B ．0ab ＞C ．0a b +＜D ．0a b -＞ 【答案】A6．文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处．小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在（ ）A ．文具店B ．玩具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东60-米 【答案】A 7．（浙江省绍兴市中考题）将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”、“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则（ ）．A ．910x ＜＜B ．1011x ＜＜C ．1112x ＜＜D ．1213x ＜＜ 【答案】C8．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）．A ．1998B ．1999C ．2000D ．2001 【答案】C 9．（江苏省无锡市中考题）一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）． 【答案】12349910050-+-++-=-，落点处与O 点距离为50个单位长． 10．（北京市“迎春杯”竞赛题）已知数轴上有A B 、两点，A B 、之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和． 【答案】12 思维方法天地11．在数轴上，点A B 、分别表示13-和15，则线段AB 的中点所表示的数是_______.【答案】115- AB 中点所表示的数是11123515⎛⎫-+÷=- ⎪⎝⎭12．在数轴上，表示数22a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点M 与表示数33a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点N 关于原点对称，则a 的值为_______. 【答案】6- 13．（《时代学习报》数学文化节试题）数形相伴（1）如图所示AB ，点A B 、所代表的数分别为12-，，在数轴上画出与A B 、两点的距离和为5的点（并标上字母）.（2）若数轴上点A B 、所代表的数分别为a b 、，则A B 、两点之间的距离可表示为AB = a b -，那么，当127x x ++-=时，x =________；当125x x ++-＞时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在_______． 【答案】（1）如图所示，点C D 、两点即为所求．（2）3x =-或4；点C 的左边或点D 的右边．14．（江苏省竞赛题）点A B 、分别是数132--、在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为AB ''，且线段AB ''的中点对应的数是3，则点A '对应的数是_______，点A 移动的距离是_______．【答案】71944； AB 长为15(3)22⎛⎫---= ⎪⎝⎭，A '对应数为31573224-⨯=，点A 移动的距离为719(3)44--=． 15．（福建省泉州市中考题）点123n A A A A 、、、、（n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11AO =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，……，依照上述规律，点20082009A A 、所表示的数分别为（ ）．A ．20082009-，B ．20082009-，C ．10041005-，D ．10041004-， 【答案】C 16．如图：，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D 、、、对应的数分别是整数a b c d 、、、，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点 【答案】C17．有理数a b c 、、在数轴上的位置如图，式子a b a b b c ++++-化简结果为（ ）．A ．23a b c +-B ．3b c -C ．b c +D ．c b - 【答案】C 18．（“希望杯”邀请赛题）不相等的有理数a b c 、、在数轴上对应点分别为A B C 、、，若a b b c a c -+-=-，那么点B （ ）．A ．在A C 、点右边B ．在AC 、点左边 C ．在A C 、点之间D ．以上均有可能【答案】C 19．（“CASIO 杯”河南省竞赛题）在数轴上，N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少？ 【答案】24与4020．已知数轴上有A B C 、、三点，分别代表241010--、、，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A C 、两点同时相向而行．甲的速度为4个单位/秒． （1）问多少秒后甲到A B C 、、的距离和为40个单位？（2）若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A C 、两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ （3）在（1）、（2）的条件下，当甲到A B C 、、的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． 【答案】（1）设x 秒后甲到A B C 、、距离和为4010(24)1410(10)20---=-=． ①当甲在A B 、之间时 4(144)(14420)40x x x +-+-+=，得2x =．②当甲在B C 、之间时 4(414)(20414)40x x x +-+-+=，得5x =，即2秒或5秒后． （2）设x 秒后相遇 (46)10(24)x +=-- 1034 3.4.x x ==24 3.4410.4-+⨯=-，即在10.4-处相遇．（3）①设甲向C 走2秒后掉头返回x 秒与乙相遇 2442410266x x -+⨯-=-⨯-，解得7x =． 10266106(2)106944x x ∴-⨯-=-+=-⨯=-． ②设甲向C 走5秒后掉头返回y 秒与乙相遇 2445410566y y -+⨯-=-⨯-，解得8y =-．∴不合题意，舍去．即甲、乙能在44-所表示的点处相遇． 应用探究乐园 21．（2012年北京市中考题）操作与探究对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '．点A B ，在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段AB ''，其中，点A B，的对应点分别为A '，B '.如图所示，若点A 表示的数是3-，则点A '表示的数是_______；若点B '表示的数是2，则点B 表示的数是_______；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是_______．【答案】0；3；32．设E 点表示的数为x ，则E '点表示的数为113x +，由113x x =+得32x =．22．一动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数（如456454x x x ===，，），求2011x 所对应的数.【答案】因20118251322513505=⨯+⨯+=，，故2011x 所对应的数为505．2．聚焦绝对值问题解决例 1 （“CASIO 杯”河南省竞赛题）已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x ＜＜，≤≤，那么y 的最小值为_______．【答案】20 [(20)][(20)]202040y x b x x b x b x x b x =-+--+---=--+-++=-，当20x =时，y 的值最小为20．例2 式子a b aba b ab ++的所有可能的值有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个A B'【答案】A 分00;00;00;00a b a b a b a b >><<><<>，，，，四种情况讨论． 例3 （1）（“华罗庚杯”香港中学竞赛题）已知220ab a -+-=， 求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b ++++++++1(2006)(2006)a b ++的值．（2）（“希望杯”邀请赛试题）设a b c 、、为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值. 【答案】（1）由2020ab a -=-=，，得21a b ==，． 原式=111111111111223342007200822320072008++++=-+-++-=-⨯⨯⨯⨯12008= 20072008． （2）因a b c 、、为整数，且||||1a b c a -+-=，故||||a b c a --与一个为0，一个为1，从而||()()|1b c b a a c --+-=所以，原式=1+1+0=2． 例4 阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道(0)0(0)(0).xx x x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩＞，，＜现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值）．在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）1x -＜；（2）12x -＜≤；（3）2x ≥．从而化简代数式12x x ++-可分以下3种情况：（1）当1x -＜时，原式(1)(2)21x x x =-+--=-+； （2）当12x -＜≤时，原式1(2)3x x =+--=； （3）当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-． 综上讨论，原式21(1)3(12)21(2).x x x x x -+-⎧⎪=-⎨⎪-⎩＜，＜，≤≥ 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出2x +和4x -的零点值； （2）化简代数式24x x ++-.【答案】（1）分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4|2|x x =∴+，和|4|x -的零点值分别为2x =-和4x =．（2）当2x <-时，原式=(2)(4)2422;x x x x x -+--=---+=-+当24x -<≤时，原式=2(4)6x x +--=；当4x ≥时，原式=2422x x x ++-=-． ∴综上讨论，原式=22(2)6(24)22(4).x x x x x -+<-⎧⎪-<⎨⎪-⎩，，≤≥ 例5 （1）当x 取何值时，3x -有最小值？这个最小值是多少？ （2）当x 取何值时，52x -+有最大值？这个最大值是多少？ （3）求45x x -+-的最小值． （4）求789x x x -+-+-的最小值．分析 对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值；也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x 的点，使之到表示45、的点（或表示7、8、9的点）的距离和最小.解 （1）当3x =时，原式有最小值，最小值为0． （2）当2x =-时，原式有最大值，最大值为5． （3）当45x ≤≤时，原式有最小值，最小值为1． （4）当8x =时，原式有最小值，最小值为2． 对于（3），给出另一种解法：当4x ≤时，原式(4)(5)92x x x =----=-，最小值为1； 当45x ＜≤时，原式4(5)1x x =---=，最小值为1；当5x ＞时，原式4529x x x =-+-=-，最小值为1． 综上所述，原式有最小值等于1． 以退求进例6 少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输入整数2x 后则显示12x x -的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算．现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为P ，试求出P 的最大值，并说明理由．分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P 的最大值． 解 由于输入的数都是非负数，当1200x x ，≥≥时，12x x -不超过12x x 、中最大的数，对123000x x x ，，≥≥≥，则123x x x --不超过123x x x 、、中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是121991x x x ，，，．相当于计算：12319901991x x x x x P ----=，因此P的值1991≤.另外从运算奇偶性分析，12x x 、为整数，12x x -与12x x +奇偶性相同，因此P 与12x x +++1991x 的奇偶性相同．但121991121991x x x +++=+++=偶数．于是断定1990P ≤．我们证明P 可以取到1990.对1，2，3，4，按如下次序：13420---=，(41)(43)(44)(42)0k k k k +-+-+-+=，对于012k =，，，均成立．因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0，而后1989199019911990--=，故P 的最大值为1990.数学冲浪知识技能广场1．数a 在数轴上的位置如图所示 ，且12a +=，则37a +=_______. 【答案】22．已知53a b ==，，且a b b a -=-，那么a b +=_______. 【答案】2-或8- 3．（北京市竞赛题）化简111111200420032003200220022001-+-+--1120012004-= _______． 【答案】04．已知有理数a b c 、、在数轴上的对应位置如图所示： 则1c a c a b -+-+-化简后的结果是_______． 【答案】12-c b +5．（2012年江苏省盐城市中考题）已知整数1234a a a a ，，，，满足下列条件：121324012a a a a a a ==-+=-+=，，， 33a -+，，依次类推，则2012a 的值为（ ）．A ．1005-B ．1006-C ．1007-D ．2012-【答案】B 12345678a a a a a a a a ，，，，，，，对应的数分别为0，-1，-1，-2，-2，-3，-3，-4． 6．已知a a =-，化简12a a ---所得的结果是（ ）．A ．1-B ．1C ．23a -D ．32a - 【答案】A7．若m 是有理数，则m m -一定是（ ）．A ．零B ．非负数C ．正数D ．负数 【答案】B 8．（“希望杯”邀请赛试题）有理数a b c 、、的大小关系如图： ，c 0则下列式子中一定成立的是（ ）．A ．0a b c ++＞B ．a b c +＜C ．a c a c -=+D ．b c c a --＞ 【答案】C 9．化简 （1）3x -； （2）12x x +++.【答案】（1）原式=3(3)3(3)x x x x -<⎧⎨-⎩≥（2）原式=23(2)1(21)23(1)x x x x x --<-⎧⎪-<-⎨⎪+-⎩≤≥ 10．（南京市中考题）阅读下面材料并回答问题．B B A B A 图④图①图②图③B O O O点A B 、在数轴上分别表示实数a b A B 、，、两点之间的距离表示为AB ．当A B 、两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①，AB OB b a b ===-；当A B 、两点都不在原点时，（1）如图②，点A B 、都在原点的右边，AB OB OA b a =-=-=b a a b -=-；（2）如图③，点A B 、都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-； （3）如图④，点A B 、在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-. 综上，数轴上A B 、两点之间的距离AB a b =-．请回答：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是_______；②数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是_______，如果2AB =，那么x 为_______； ③当代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是_______．【答案】①3；3；4 ②|1|;1x +或-3 ③12x -≤≤ 思维方法天地11．（北京市“迎春杯”竞赛题）已知123a b c ===，，，且a b c ＞＞，那么a b c +-=_______．【答案】2或012．（“五羊杯”竞赛题）在数轴上，点A 表示的数是3x +，点B 表示的数是3x -，且A B 、两点的距离为8，则x =_______． 【答案】413．（北京市“迎春杯”竞赛题）已知51x y ==，，那么x y x y --+=_______． 【答案】2 分x y ，同号、x y ，异号两种情形讨论14．（1）（“希望杯”邀请赛试题）11x x ++-的最小值为_______．（2）（北京市“迎春杯”竞赛题）111213x x x ++-++的最小值为_______．【答案】（1）2 （2）25 15．（“希望杯”邀请赛试题）有理数a b 、在数轴上对应的位置如图所示： 则代数式11a ab aa a a b+--+-+-11b b --的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】D16．（北京市中考题）若22(1)0m n ++-=，则2m n +的值为（ ）．A ．4-B ．1-C ．0D ．4 【答案】C17．如图，已知数轴上点A B C 、、所对应的数a b c 、、都不为0，且C 是AB 的中点．C B A 如果2220a b a c b c a b c +--+--+-=，那么原点O 的位置在（ ）．A ．线段AC 上B ．线段CA 的延长线上C ．线段BC 上D ．线段CB 的延长线上 （江苏省竞赛题） 【答案】A 提示：2a bc +=原式化为||||||a b b a +=- 18．（重庆市竞赛题）设1m x x =+-，则m 的最小值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．1- D ．2 【答案】B19．已知点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且24(1)0a b ++-=，A B 、之0a间的距离记作AB ． （1）求线段AB 的长AB ；（2）设点P 在数轴上对应的数为x ，当2PA PB -=时，求x 的值；（3）若点P 在A 的左侧，M N 、分别是PA PB 、的中点，当点P 在A 的左侧移动时，式子PN PM -的值是否发生改变？若不变，请求其值；若发生变化，请说明理由．【答案】（1）||5;AB =（2）12x =-；（3）5||||2PN PM -=，值不变． 20．（“华罗庚杯”香港中学竞赛题）已知a b c abcx a b c abc=+++，且a b c 、、都不等于0，求x 的所有可能值． 【答案】4或0或4- 应用探究乐园 21．（“希望杯”邀请赛试题）绝对值性质（1）设a b 、为有理数，比较a b +与a b +的大小．（2）已知a b cd 、、、是有理数，916a b c d --，≤≤，且a b c d --+=25，求b a d c ---的值．【答案】（1）||||||a b a b ++≤，当且仅当a b 、同号或a b 、至少有一为0时等号成立．（2）因||9||a bc d --，，≤≤故||||91625a b c d -+-+=≤，又因为25|||()()||a b c d a b d c a b d c =--+=-+--+-，≤≤所以||9||16a b c d -=-=，，故原式9167=-=-．22．已知数轴上两点A B 、对应的数分别为13-，，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ． （1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数．（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．（3）当点P 以每分钟1个单位长的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长的速度向左运动，点B 以每分钟20个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等？【答案】（1）1；（2）3.5或-1.5；（3）B 未追上A 时，223t =；b 追上A 时，415t =．3．有理数的运算问题解决例1 （1）（成都市中考题）已知21(123)(1)n a n n ==+，，，，记112(1)b a =-，2b =122(1)(1)a a --，，122(1)(1)(1)n n b a a a =---，则通过计算推测n b 的表达式n b =_______．（用含n 的代数式表示） （2）（“希望杯”邀请赛试题）若a b 、是互为相反数，c d 、是互为倒数，x 的绝对值等于2，则42x cdx a b +--的值是_______． 【答案】（1）21n n ++ （2）20例 2 （江苏省竞赛题）已知整数a b c d 、、、满足25abcd =，且a b c d ＞＞＞，那么a b c d +++等于（ ）． A ．0 B ．10 C ．2 D ．12【答案】D 51(1)(5)5115abcd a b c d =⨯⨯-⨯-===-=-，，，，． 例3 计算 （1）（广西竞赛题）1121231259233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）（“祖冲之杯”邀请赛试题）111112123123100+++++++++++； （3）（“五羊杯”竞赛题）77371217381727111385271739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）885 设原式=S ,又12132159581233444606060S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，两式相加得2123591770S =++++=，所以885;S = （2）200112112;201123(1)12nn n n n ⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭ （3）2 原式34247616261022272739A A ⎛⎫=+-÷=÷= ⎪⎝⎭，其中1712388135272739A =+-．例4 （辽宁省大连市中考题）在数学活动中，小明为了求2341111122222n+++++的值（结果用n 表示），设计了如图所示的几何图形．图①图②（1）请你用这个几何图形求2341111122222n +++++的值； （2）请你用图②，再设计一个能求2341111122222n+++++的值的几何图形． 【答案】（1）原式=112n -；（2）略． 例5 在1，2，…，2002前面任意添上正号和负号，求其非负和的最小值．分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明这个下限可以达到即可．整数的和差仍是整数，而最小的非负整数是0．代数和的最小值能是0吗？能是1吗？由于任意添“+”号或“-”号，形式多样，因此，不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质入手．因a b +与a b -的奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与1+2+3+…+2001+2002=2002(12002)2⨯+=10012003⨯的奇偶性相同，即为奇数．因此，所求非负代数和不会小于1． 又∵(12)(3456)(78910)(11121314)(199920002001-++--++--++--+++--+ 2002)1=，∴所求非负代数和的最小值为1．类比类比是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 例6 观察下面的计算过程 111111111111141122334451223344555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 问：（1）从上面的解题方法中，你发现了什么？用字母表示这一规律． （2）“学问”，既要学会解答，又要学会发问．爱因斯坦曾说：“提出问题比解决问题更重要”． 请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题．分析与解 （1）111(1)1n n n n =-++．（2）从连续自然数到连续偶数，从2个到3个，从分数到整数，类比可提出下列计算问题： ①111244620122014+++⨯⨯⨯；②111123234201220132014+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯；③12233420122013⨯+⨯+⨯++⨯； ④22221232012++++．数学冲浪知识技能广场 1．（2012年潍坊市中考题）如图，每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1357+++++(21)n -=_______．（用n 表示，n 是正整数）．【答案】2n 2．（2012年河北省中考题）某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报111⎛⎫+ ⎪⎝⎭，第2位同学报112⎛⎫+ ⎪⎝⎭，第3位同学报113⎛⎫+ ⎪⎝⎭，……这样得到的20个数的积为_______．【答案】21 3．计算：（第1题）n2n-1n1234（1）（“希望杯”邀请赛试题）211(455)365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=_______． （2）（广西桂林市中考题）23181920222222-----+=_______． 【答案】（1）154000；（2）6 21n +-22n n = 4．（2012年湖北省黄石市中考题）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考，在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：123S =+++…+98+99+100 ① S =100+99+98+…+3+2+1 ②①+②有2(1100)1005050S S =+⨯=，． 请类比以上做法，回答下列问题：若n 为正整数，3+5+7+…+（21n +）=168，则n =_______． 【答案】12 由(321)1682n n ++=，得(21214n n +=⨯ 5．（“希望杯”邀请赛试题）设0a ＜，在代数式20092010a a a aa --，，，，，22a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，中负数的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 6．（2012年四川省竞赛题）我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量为470克，则他应付邮资（ ）元．A ．2.3B ．2.6C ．3D ．3.5 【答案】A 470100310070=+⨯+7．（湖北省鄂州市中考题）为了求232012222+++++的值，可令23200812222S =+++++，则2222S =++342009222+++，因此2009221S S -=-，所以23200820091222221+++++=-．仿照上面推理计算出23200915555+++++的值是（ ）．A ．200951- B ．201051- C ．2009514- D ．2010514-【答案】D8．（江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）． A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数【答案】A 提示：第n 个数为1122n -+，把第10、11、12、13个数分别求出． 9．（2012年益阳市中考题）观察图形，解答问题： ⑤④③②-33-9-5-817-4-5-1①xy 11-2-325517-1（1（2【答案】（1）略（2）图④：5(8)(9)3605(8)(9)12360(12)30;y ⨯-⨯-=+-+-=-=÷-=-，，图⑤：13313x x ⋅⋅=-++，解得2x =-．10．（2012年广东省中考题）观察下列等式：第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第2个等式：2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第3个等式：3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第4个等式：4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； ……请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：5a =_______=_______；（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：n a =_______=________（n 为正整数）； （3）求1234100a a a a a +++++的值．【答案】（1）51111;9112911a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭（2）1111;(21)(21)22121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪--=+⎝⎭（3）原式100201=思维方法天地 11．计算：（1）（“华罗庚杯”邀请赛试题）1111111113243546⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111979998100⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭_______． （2）（“希望杯”邀请赛试题）1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+=_______．（3）（江苏省竞赛题）555111139139993311993311⎛⎫⎛⎫++÷++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______．【答案】（1）1.98；（2）9110；（3）1.04 12．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1a b a +，，的形式，又可分别表示为0abb ，，的形式，则20042001a b +=_______．【答案】2 这两个三数组在适当的顺序下对应相等，于是可以断定，a b +与a 中有一个为0，ba与b 中有一个为1，可推得11a b =-=，． 13．（“五羊杯”竞赛题）已知31x x =+，则22005(64489)x x ++=_______．【答案】114．（四川省竞赛题）已知a b c 、、满足()()()0a b b c c a +++=且0abc ＜，则代数式a b ca b c ++的值是______． 【答案】115．（北京市竞赛题）11111161111161621212626313136+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值是（ ）． A ．118 B ．136 C ．133 D ．166 【答案】B16．如果4个不同的正整数m n p q 、、、满足(7)(7)(7)(7)4m n p q ----=，那么m n ++ p q +等于（ ）． A ．10 B ．21 C ．24 D ．26 E ．28 【答案】E 42(2)1(1)=⨯-⨯⨯- 17．（河北省竞赛题）如果3121231t t tt t t ++=，那么123123t t t t t t 的值为（ ）． A ．1- B ．1 C ．1± D ．不确定【答案】A 18．（济南市中考题）观察下列各式： （1）211=；（2）22343++=；（3）2345675++++=；（4）2456789107++++++=；……请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）． A ．210051006100730162011++++= B ．210051006100730172011++++= C ．210061007100830162011++++= D ．210071008100930172011++++= 【答案】C 19．（“希望杯”邀请赛试题）观察下面的等式： 224224⨯=+=，；313134342222⨯=+=，； 414145453333⨯=+=，； 515156564444⨯=+=，． （1）小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？（2）请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想． 【答案】（1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例，如131 3.⨯≠+ （2）将第一组等式变形为22242411⨯=+=，，得出如下猜想：“若n 是正整数，则11(1)(1)n n n n n n ++⨯+=++”．证明：左边=111(1)(1)n n n n n +⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭右边． 20．（四川省内江市中考题）同学们，我们曾经研究过n n ⨯的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为2222123n ++++．但n 为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来研究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道1011223(1)3n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=(1)(1)n n +-时，我们可以这样做：（1）观察并猜想：2222212(10)1(11)2101212(12)(0112)123(10)1+=+⨯++⨯=+⨯++⨯=++⨯+⨯++=+⨯+，(11)2(12)3101212323(123)(011223)+⨯++⨯=+⨯++⨯++⨯=+++⨯+⨯+⨯，22221234(10)1(11)2(12)3_______101212323_______+++=+⨯++⨯++⨯+=+⨯++⨯++⨯+(1234)(_______)=++++；……（2）归纳结论：[]2222123(10)1(11)2(12)31(1)n n n ++++=+⨯++⨯++⨯+++-101212323(1)n n n =+⨯++⨯++⨯+++-⨯(_______)(__________)=+ ______________=+1_______6=；（3）实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是______．【答案】（1）(13)4;434;01122334;+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯（2）123;n++++0⨯1+1⨯2+2⨯3+…+(1)n n-；12n(1);n+13(1)(1);n n n+-(1)(21)n n n++；（3）338350．应用探究乐园21．（山东省青岛市中考题）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．例如，求1234n+++++的值，其中n是正整数．对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1234n+++++的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为123n，，，，个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1234n+++++的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有(1)n+个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为(1)n n+个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为(1)2n n+，即(1)12342n nn++++++=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙n∙∙∙∙∙∙n43211234（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1357(21)n+++++-的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1357(21)n+++++-的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）【答案】原式=2n，构造平行四边形或正方形．22．（四川省竞赛题）在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”、“-”号，如果可以使其代数和为n，就称数n是“可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为12345++--++6789--+是1的一种可被表出的方法）．（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；（2）求25可被表出的不同方法的种数．【答案】（1）1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，无论怎样填“+”、“-”号，代数和一定是奇数，又1234567897--++-+-+=，故7是可被表出的数，而8是不可被表出的数．（2）设填“+”号的数字和为x ，填“-”号的数字和为y ，则25x y -=，又45x y +=，解得3510x y ==，，因910123410<+++=，，故填“-”号的数字至少有2个至多有4个，由此知填“-”号的数之和为10，只要计算出从1到9中选出若干个其和为10的数字的不同方法，就得到25可表出的不同方法，经讨论知有4+4+1=9种．4．信息技术中的数学问题问题解决例1 （广西竞赛题）给出下列程序x k b →→⨯→+→入立方出输输，且已知当输入的x 值为1时，输出值为1；输入的x 值为1-时，输出值为3-，则当输入的x 值为12时，输出值为_______．【答案】由条件得13k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，得2k b ==-，1，故当12x =时，33132(1)24kx b ⎛⎫+=⨯+-=- ⎪⎝⎭．例2 （湖北省荆门市中考题）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个2n 数的和，依次写出1或0即可．如4321()(2)19162112020212110011=++=⨯+⨯+⨯+⨯+=十．为二进制下的5倍数，则十进数2004是二进制下的（ ）．A ．10位数B ．11位数C ．12位数D ．13位数 【答案】 B 2004=1024+980=1⨯102+980．例3 （第17届“希望杯”邀请赛试题）一条信息可通过如图所示的网络线由上（A 点）往下向各站点传送．例如信息到2b 点可由径1a 的站点送达，也可由经2a 的站点送达，共有两条途径传送，那么信息由A 点到达3d 的不同途径共有多少条．【答案】画出路线图：b 2c 3c 3c 2c 2d 3d 3d 3d 3d 3b 2b 3c 2a 1b 1a 2d 3c 3A故有6条不同途径． 例 4 （《时间学习报》数学文化节试题）你觉得手机很神奇吗？它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信号，据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的54321。

中考复习—思维训练题一．试题（共17题）1．已知a ，b 是方程2350x x −−=的两根，则代数式3222671a a b b −+++的值是( ) A ．25−B ．24−C ．35D ．362．已知方程2230x x +−=的解是11x =，23x =−，则给出另一个方程2(23)2(23)30x x +++−=，它的解是( )A ．1−或3B ．1或3C ．1−或3−D ．1或3−3．平面直角坐标系中，函数0)y x x =−<与4y x =+的图象交于点(,)P a b ，则代数式11a b−的值是( )A ．BC ．D 4．著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程2324x x x−=−的根的情况是( ) A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根5．华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程2124x x x+=−+的根的情况是( ) A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根6．判断方程3|2|2x x =−−的根的情况是( ) A ．有四个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan15︒时，如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得15D ∠=︒，所以tan152AC CD ︒====−tan 22.5︒的值为( )A1 BC1 D ．128．已知1x 、2x 、3x 为方程323940x x x +−−=的三个实数根，则下列结论一定正确的是( )A ．1230x x x <B ．1230x x x +−>C ．1230x x x −−>D ．1230x x x ++<9．如图是一些有规律的图案，它们由一些线段组成．图1中有3条线段，图2中有7条线段，图3中有15条线段，⋯，以此类推，第6个图中有( )条线段．A ．63B ．65C ．127D ．25510．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有(1)n n >个点，每个图形总共的点数是S ，当8n =时，S 的值是( )A ．18B ．21C ．24D ．2711．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，⋯；若用n a 表示图n 的弹珠数，其中1n =，2，3，⋯，则12320231111(a a a a +++⋯+= )A ．40442023B ．40422023C ．20211011D ．2023101212．关于x 的方程(2)(3)x x m −−=有两个不相等的实数根1x ，212()x x x <，则下列结论一定正确的是( )A ．14m >−B ．12522x x += C ．当0m >时，1223x x <<< D ．当0m >时，1223x x <<<13．已知2x =−，代数式244x x ++的值为 ．14．若x =3231x x x +++的值为 ． 15．已知实数a ，b 满足2222(21)(21)80a b a b +++−=，试求222a b +的值． 解：设222a b m +=．原方程可化为(1)(1)80m m +−=，即281m =，解得9m =±．2220a b +， 2229a b ∴+=．上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题．已知实数x ，y 满足2222(221)()3x y x y +−+=，则22332x y +−的值为 ． 16．若21m n +=，则2366m mn n ++的值为 ．17．当代数式235x x ++的值为7时，代数式23911x x +−的值为 ．思维2024参考答案与试题解析一．试题（共17题）1．已知a ，b 是方程2350x x −−=的两根，则代数式3222671a a b b −+++的值是( ) A ．25−B ．24−C ．35D ．36【解答】解：a ，b 是方程2350x x −−=的两根， 2350a a ∴−−=，2350b b −−=，3a b +=, 235a a ∴−=，235b b =+， 3222671a a b b ∴−+++22(3)3571a a a b b =−++++10106a b =++ 10()6a b =++1036=⨯+ 36=． 故选：D ．2．已知方程2230x x +−=的解是11x =，23x =−，则给出另一个方程2(23)2(23)30x x +++−=，它的解是( )A ．1−或3B ．1或3C ．1−或3−D ．1或3−【解答】解：方程2230x x +−=的解是11x =，23x =−， ∴方程2(23)2(23)30x x +++−=，231x +=，233x +=−， 22x =−，26x =−，11x =−，23x =−， 故选：C ．3．平面直角坐标系中，函数0)y x =<与4y x =+的图象交于点(,)P a b ，则代数式11a b−的值是( )A ．BC ． D【解答】解：把点(,)P a b 分别代入0)y x =<与4y x =+中，得b =，4b a =+，即ab =，4b a −=，∴11b a a b ab −−===故选：A ．4．著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程2324x x x−=−的根的情况是( ) A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根【解答】解：画出函数3y x=和函数242y x x =−+的图象如图，观察图象，函数3y x=和函数242y x x =−+的图象有一个交点， 所以，方程2324x x x−=−有一个实数根， 故选：C ．5．华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程2124x x x+=−+的根的情况是( ) A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根【解答】解：方程变形为2142x x x=−+−， ∴21(2)2x x=−−+，把解方程理解为求反比例函数1y x=图象与抛物线2(2)2y x =−−+的交点的横坐标， 反比例函数图象分布在第一、三象限，在第一象限，抛物线的顶点(2,2)在反比例函数图象上方，且抛物线的开口向下，如图， ∴反比例函数1y x=图象与抛物线2(2)2y x =−−+有3个交点， ∴原方程有3个实数解．故选：A ．6．判断方程3|2|2x x =−−的根的情况是( ) A ．有四个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根【解答】解：3|2|2x x =−−， 20x ∴−>，2(2)3x ∴−=，2x ∴−解得2x =，经检验，2x =+是原方程的解． 故方程3|2|2x x =−−的根的情况是有一个实数根．故选：C ．7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan15︒时，如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得15D ∠=︒，所以tan152AC CD ︒====−tan 22.5︒的值为( )A 1BC 1D ．12【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45ABC ∠=︒，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得22.5D ∠=︒，设1AC BC ==，则AB BD =，tan 22.51AC CD ∴︒===， 故选：C ．8．已知1x 、2x 、3x 为方程323940x x x +−−=的三个实数根，则下列结论一定正确的是( )A ．1230x x x <B ．1230x x x +−>C ．1230x x x −−>D ．1230x x x ++<【解答】解：323940x x x +−−=，当0x =时，40−≠，24390x x x∴+−−=， 1x ∴、2x 、3x 可以看作是抛物线239y x x =+−与反比例函数4y x=的三个交点的横坐标，由函数图象可知1230x x x>，1230x x x++<，根据已知条件无法判定1230x x x+−>，1230x x x−−>，故选：D．9．如图是一些有规律的图案，它们由一些线段组成．图1中有3条线段，图2中有7条线段，图3中有15条线段，⋯，以此类推，第6个图中有()条线段．A．63B．65C．127D．255【解答】解：由图可知，图1中有3条线段，图2中有7条线段，734=+，图3中有15条线段：15724=+⨯，图4中有31条线段：311544=+⨯，图5中有63条线段：633184=+⨯，则第6个图中有线段：63164127+⨯=（条)，故选：C．10．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有(1)n n>个点，每个图形总共的点数是S，当8n=时，S的值是()A ．18B ．21C ．24D ．27【解答】解：根据题意分析可得：2n =时，3S =， 3n =时，6S =， 4n =时，9S =， 5n =时，12S =，..．此后，n 每增加1，S 就增加3个． 故当8n =时，(81)321S =−⨯=． 故选：B ．11．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，⋯；若用n a 表示图n 的弹珠数，其中1n =，2，3，⋯，则12320231111(a a a a +++⋯+= )A ．40442023B ．40422023C ．20211011D ．20231012【解答】解：当1n =时，11212a ⨯==， 当2n =时，22(12)231222a +⨯=+==， 当3n =时，33(13)3412322a +⨯=++==， 当4n =时，44(14)45123422a +⨯=+++==， ⋯当2023n =时：20232023(12023)202320241234202322a +⨯=+++++==；12320231111a a a a +++⋅⋅⋅+222221223344520232024=+++++⨯⨯⨯⨯⨯111112()1223344520232024=+++++⨯⨯⨯⨯⨯1111111112(1)223344520232024=−+−+−+−++− 12(1)2024=− 20231012=； 故选：D ．12．关于x 的方程(2)(3)x x m −−=有两个不相等的实数根1x ，212()x x x <，则下列结论一定正确的是( ) A ．14m >−B ．12522x x += C ．当0m >时，1223x x <<< D ．当0m >时，1223x x <<<【解答】解：由(2)(3)x x m −−=得2560x x m −+−=，1x ∴，2x 为2560x x m −+−=的两个不相等的实数根， ∴△2(5)4(6)0m =−−−>，解得14m >−，选项A 正确；抛物线256y x x m =−+−的对称轴为直线5522x −=−=， ∴12522x x +=，选项B 正确； 当0m >时，抛物线(2)(3)y x x =−−与直线y m =交点在x 轴上方， 抛物线开口向上，1212x x ∴<<<，选项D 正确． 故选：ABD ．13．已知2x =−，代数式244x x ++的值为 3 ． 【解答】解：原式2(2)x =+．当2x =−时，原式222)3=+=， 故答案为3．14．若x =3231x x x +++的值为 3 ． 【解答】解：322231(1)1x x x x x x +++=+++，当x =时，原式2211213=++=+=+=． 故答案为：3．15．已知实数a ，b 满足2222(21)(21)80a b a b +++−=，试求222a b +的值．解：设222a b m +=．原方程可化为(1)(1)80m m +−=，即281m =，解得9m =±．2220a b +，2229a b ∴+=．上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题．已知实数x ，y 满足2222(221)()3x y x y +−+=，则22332x y +−的值为52． 【解答】解：设22x y m +=，原方程可化为(21)3m m −=，即2230m m −−=，解得11m =−，232m =， 220x y +， ∴2232x y +=， 22332x y ∴+−3322=⨯− 52=， 故答案为：52．16．若21m n +=，则2366m mn n ++的值为 3 ．【解答】解：21m n +=，2366m mn n ∴++3(2)6m m n n =++316m n =⨯+36m n =+3(2)m n =+31=⨯3=,故答案为：3．17．当代数式235x x ++的值为7时，代数式23911x x +−的值为 5− ．【解答】解：由题意得，2357x x ++=， 232x x ∴+=，23911x x ∴+−23(3)11x x =+−3211=⨯−611=−5=−，故答案为：5−．。

初中一年级思维逻辑训练数学题300道附答案1.一束鲜花原价8元，经过打折后只需支付6元。

打了多少折扣？答案：打了25%的折扣。

2.如果3个苹果等于2个橘子，而4个橘子等于5个香蕉，那么6个苹果等于多少个香蕉？答案：6个苹果等于10个香蕉。

3.小明的生日是星期二。

他从那一天开始数，第10天是星期几？答案：第10天是星期五。

4.在一个矩形花坛中，有12株玫瑰和8株郁金香。

如果从中随机选取一株花，那么选到玫瑰的概率是多少？答案：选到玫瑰的概率是12/20或3/5。

5.如果一个数的1/4等于12，那么这个数是多少？答案：这个数是48。

6.如果一本书的原价是40元，现在打了20%的折扣，打折后的价格是多少？答案：打折后的价格是32元。

7.一个三角形的三个内角分别是60度、70度和50度，这个三角形的最大内角是多少度？答案：这个三角形的最大内角是70度。

8.一个正方形的周长是32厘米，那么它的边长是多少厘米？答案：这个正方形的边长是8厘米。

9.如果6个苹果的重量等于4个橘子的重量，而3个橘子的重量等于2个香蕉的重量，那么6个苹果的重量等于多少个香蕉的重量？答案：6个苹果的重量等于6个香蕉的重量。

10.如果一个长方形的宽度是5厘米，面积是15平方厘米，那么它的长度是多少厘米？答案：这个长方形的长度是3厘米。

11.一个数加上8等于20，那么这个数是多少？答案：这个数是12。

12.将一个正方形分成四个小正方形，每个小正方形的边长为2cm。

如果将每个小正方形的一个角剪掉，剩下的部分拼接在一起能否组成一个等腰直角三角形？答案：不能。

剪去一个角后，剩下的部分的三个内角和为270度，而等腰直角三角形的三个内角和为180度。

13.某数的三倍减去2的结果是14，求这个数。

答案：设这个数为x，根据题意可列方程：3x - 2 = 14，解得x = 5。

14.一个矩形的长度是宽度的3倍，如果周长为32cm，求矩形的面积。

答案：设矩形的宽度为x，则长度为3x，根据题意可列方程：2(x + 3x) = 32，解得x = 4。

图4 七（下）数学思维拓展训练时间：45分钟 分值：100分一、选择题（每小题5分，共25分）1.若n 为正整数，且x 2n =3，则(3x 3n )2－4(x 2)2n 的值为( ) （A ）207 （B ）36 （C ）45 （D ）217 2．一个长方形的长是2x 厘米，宽比长的一半少4厘米，若将长方形的长和宽都增加3厘米，则该长方形的面积增加为（ ）(A)9 （B ）2x 2+x －3 （C ）－7x －3 （D ）9x －3 3．若(x-5)·A= x 2+x+B ，则（ ）（A ）A=x+6，B=－30 （B ）A=x －6，B=30 （C ）A=x+4，B=－20 （D ）A=x －4，B=204.已知6141319,27,81===c b a ，则a ，b ，c 大小关系是（ ）（A ）a>c>b （B ）a>b>c （C ）a<b<c （D ）b>c>a5.如图1，直线MN//PQ ，OA ⊥OB ，∠BOQ=30︒.若以点O 为旋转中心，将射线OA 顺时针旋转60︒后，这时图中30︒的角的个数是 （ ）(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个二、填空题（每小题5分，共25分）6.用如图2所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为a+b 的正方形，需要B 类卡片_______张.7.如图3，AB ∥CD ，M 、N 分别在AB ，CD 上，P 为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3= ︒.8.如图4，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E 、D 、B 、F 在同一条直线上，若∠ADE ＝125︒, 则∠DBC= ︒.9.三个同学对问题“若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 10. 数学家发明了一个魔术盒，当任意数对()b a ,进入其中时，会得到一个新的数：图1O N M A B P Qa b图2 3 2 C P D 1B N A M 图3()()21--b a .现将数对()1,m 放入其中得到数n ，再将数对()m n ,放入其中后，如果最后得到的数是 .（结果要化简） 三、解答题（每小题10分，共50分）11.计算：(1+2+3+…+2013)(2+3+4+…+2012)－(1+2+3+…+2012) (2+3+4+…+2013)．12.图5是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n ． （1）将方程组1的解填入图中；（2）请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n 和它的解直接填入集合图中； （3）若方程组⎩⎨⎧-=+1my x y x 的解是⎨⎧=10x ，求m 的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？13.如图6，已知两组直线分别互相平行． （1）若∠1=115º，求∠2，∠3的度数；（2）题（1）中隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，试用文字表述出来； （3）利用（2）中的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的大小．方程组图514.下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2－4x=y．原式=(y+2) (y +6)+4 ①=y2+8y+16 ②=( y+4)2 ③=(x2－4x+4)2 ④回答下列问题：（1）该同学②到③运用了因式分解的_______.（A）提取公因式（B）平方差公式（C）两数和的完全平方公式（D）两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．（3）请模仿以上方法对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解．15．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图7中是一个五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= º．（2）图7中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？如图8，说明你的结论的正确性．（3）把图8中的点C向上移到BD上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE +∠D+∠E）有参考答案 1~5.ADABA6.27.3608.559. 510x y =⎧⎨=⎩ 10. －m 2+2m11.设1+2+3+…+2012=a ，2+3+4+…+2012=b ，则a= b+1．(1+2+3+…+2013)(2+3+4+…+2012)－(1+2+3+…+2012) (2+3+4+…+2013)= (a+2013)b －a(b+2013)=ab+2013b －ab －2013a=2013b －2013a=2013b －2013(b+1)= 2013b －2013 b －2013=－2013．12.（1）直接消元可求出⎩⎨⎧==01y x ；（2）观察第一个方程都是x+y=1，第二个方程x 前面的系数都是1，而y 前面的系数应是－n ，常数项应是n 2，这样第二个方程应是x －ny= n 2，所以第n 个方程组为⎩⎨⎧=-=+21n ny x y x ．其解的规律是x 从1开始依次增1，y 从0开始依次减1，这样第n 个方程组的解为⎩⎨⎧-==n y n x 1；（3）把⎩⎨⎧-==9y 10x 代入方程x －my=16，得m=32．显然不符合(2)中的规律．13.（1）因为两组直线分别互相平行，所以由平行线的性质可得∠2=∠1=115º，∠3+∠2=180º，则∠3=180º－115º=65º；（2）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；（3）设其中的一个角为xº，则另一个角为2xº．因为xº+2xº=180º，所以x=60º．故这两个角分别为60º和120º． 14.（1）C（2）不彻底，( x －2)4（3）设x 2－2x=y ．原式=y (y +2)+1= y 2+2y+1=( y+1)2=(x 2－2x+1)2=( x －1)4 ． 15．（1）180º．（2）无变化．因为∠BAC=∠C+∠E ，∠EAD=∠B+∠D ，所以∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠EAD=180º．（3）无变化．因为∠ACB=∠CAD+∠D ，∠ECD=∠B+∠E ，所以∠CAD+∠B+∠ACE +∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180º．。

25.1随机事件与概率25.1.1随机事件一、教学目标【知识与技能】1.理解必然发生的事件，不可能发生的事件，随机事件的概念，掌握判断随机事件的方法.2.了解随机事件发生的可能性有大有小，并会对随机事件发生的可能性大小做出判断.【过程与方法】通过本节课的学习，会根据经验判断一个简单事件是属于必然事件，不可能事件还是随机事件.【情感态度与价值观】感受数学与现实生活的联系，积极参与对数学问题的探讨，利用数学的思维方式解决现实问题.二、课型新授课三、课时1课时。

四、教学重难点【教学重点】随机事件的特点，会判断现实生活中的随机事件.【教学难点】判断现实生活中哪些事件是随机事件.五、课前准备课件、图片等.六、教学过程（一）导入新课你能确定明天是什么天气吗？（出示课件2）解决这个问题要研究随机事件．（板书课题）（二）探索新知探究一必然事件、不可能事件和随机事件出示课件4，5：活动1掷骰子掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.请思考以下问题：掷一次骰子，则骰子向上的一面：教师问：可能出现哪些点数？学生答：1点、2点、3点、4点、5点、6点.教师问：出现的点数是7，可能发生吗？学生答：不可能发生.教师问：出现的点数大于0，可能发生吗？学生答：一定会发生.教师问：出现的点数是4，可能发生吗？学生答：可能发生，也可能不发生.出示课件6-8：活动2摸球游戏教师问：小明从盒中任意摸出一球，一定能摸到红球吗？学生答：不一定.教师问：小麦从盒中摸出的球一定是白球吗？学生答：一定.教师问：小米从盒中摸出的球一定是红球吗？学生答：一定.教师问：三人每次都能摸到红球吗？学生答：小明不一定；小麦一定不能；小米一定能.出示课件9：“从如下一堆牌中任意抽一张牌,可以事先知道抽到红牌的发生情况”吗?学生交流，回答问题：第一组一定会发生；第二组一定不会发生；第三组有可能发生，也可能不发生.教师归纳：（出示课件10，11）在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件.有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件.在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件.教师强调：事件一般用大写字母A，B，C···表示.出示课件12：例判断下列事件是必然事件、不可能事件和随机事件：(1)乘公交车到十字路口，遇到红灯；(2)把铁块扔进水中，铁块浮起；(3)任选13人，至少有两人的出生月份相同；(4)从上海到北京的D314次动车明天正点到达北京.学生思考交流后，教师抽查学生口答：⑴随机事件；⑵不可能事件；⑶必然事件；⑷随机事件.巩固练习:（出示课件13）下列现象哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的？学生独立思考后口答：必然事件；必然事件；不可能事件；不可能事件；必然事件；必然事件；不可能事件；不可能事件.探究二随机事件发生的可能性大小出示课件15-17：活动3：摸球袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球.教师问：这个球是白球还是黑球？学生答：可能是白球也可能是黑球.教师问：如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？学生答：摸出黑球的可能性大.由于两种球的数量不等，所以“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性的大小是不一样的，且“摸出黑球”的可能性大于“摸出白球”的可能性.教师问：能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性大小相同？学生答：可以.白球个数不变，拿出两个黑球或黑球个数不变，加入2个白球.出示课件18：教师归纳：随机事件的特点：一般地，⑴随机事件发生的可能性是有大小的；⑵不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.出示课件19:例1有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色．估计各事件的可能性大小，完成下列问题：（1）可能性最大的事件是_____,可能性最小的事件是_____（填写序号）;（2）将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列：____________.学生观察交流后，师生共同解答.⑴④；②；⑵②＜③＜①＜④.巩固练习：（出示课件20，21）1.随意从一副扑克牌中抽到Q和K的可能性大小是()A.抽到Q的可能性大B.抽到K的可能性大C.抽到Q和K的可能性一样大D.无法确定2.如果一件事情不发生的可能性为99.99%，那么它()A.必然发生B.不可能发生C.很有可能发生D.不太可能发生学生思考后独立解答：1.C解析：因为在一副扑克牌中,Q和K的数量相同,所以它们的可能性相同.2.D解析：一件事情不发生的可能性为99.99%,说明这个事件是随机事件,这个事件发生的可能性不大,即不太可能发生.出示课件22：例2一个不透明的口袋中有7个红球，5个黄球，4个绿球，这些球除颜色外没有其他区别，现从中任意摸出一球，如果要使摸到绿球的可能性最大，需要在这个口袋中至少再放入多少个绿球？请简要说明理由．师生共同解答.解：至少再放入4个绿球.理由：袋中有绿球4个，再至少放入4个绿球后，袋中有不少于8个绿球，即绿球的数量最多，这样摸到绿球的可能性最大．巩固练习：（出示课件23,24）甲口袋中放着22个红球和8个黑球,乙口袋中则放着200个红球、8个黑球和2个白球,这三种球除了颜色以外没有任何区别,两袋中的球都各自搅匀,蒙上眼睛从口袋中取一个球,如果你想取一个红球,你选哪个口袋成功的机会大?小红认为选甲较好,因为里面的球较少,容易摸到红球；小明认为选乙较好,因为里面的球较多,成功的机会越大；小亮认为都一样,因为只摸一次,谁也无法预测会取出什么颜色的球.你觉得他们说的有道理吗?学生交流后口答.解：他们的说法都没有道理.因为摸到一个红球的可能性的大小和袋子中球的总数量没关系,而是取决于红球占总数量的比例.在甲口袋中取一个红球的可能性为2230,在乙口袋中取一个红球的可能性为200 210,即2021,因为2021>2230,所以在乙口袋中取一个红球的可能性大.（三）课堂练习（出示课件25-30）1.下列说法正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件2.下列事件中，是必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定会下雨3.下列事件是必然事件，不可能事件还是随机事件?（1）太阳从东边升起.（2）篮球明星林书豪投10次篮球，次次命中.（3）打开电视正在播中国新航母舰载机训练的新闻片.（4）一个三角形的内角和为181度.4.如果袋子中有4个黑球和x个白球，从袋子中随机摸出一个，“摸出白球”与“摸出黑球”的可能性相同，则x=______.5.已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”发生的可能性（）“落在陆地上”的可能性.A.大于B.等于C.小于D.三种情况都有可能6.桌上扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃.从中随机抽取1张扑克牌.（1）能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？（2）你认为抽到哪种花色扑克牌的可能性大？（3）能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使“抽到黑桃”和“抽到红桃”的可能性大小相同？7.你能说出几个与必然事件、随机事件、不可能事件相联系的成语吗？数量不限．参考答案：1.C2.B3.解:⑴必然事件；⑵随机事件；⑶随机事件；⑷不可能事件.4.45.A6.解：⑴不能确定；⑵黑桃；⑶可以，去掉一张黑桃或增加一张红桃.7.解：必然事件：种瓜得瓜，种豆得豆；黑白分明.随机事件：海市蜃楼，守株待兔.不可能事件：海枯石烂，画饼充饥，拔苗助长.（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（24.2.2第1课时）的相关内容.七、课后作业1.教材129页练习1,2.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：通过这些生动的、有趣的实例，自然地引出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性.。

第3章图形的初步认识3．1生活中的立体图形1．能从现实背景中抽象出立体图形；2．认识现实背景中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球；3．认识立体图形中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们得到某种特征．重点1．感受图形世界的丰富多彩；2．认识现实背景中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球．难点认识立体图形中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们得到某种特征．一、导入新课一幅幅精美的图片带领同学们一起神游大地，去领略祖国的美景．出示图片：北京天坛、故宫、鸟巢、水立方．千姿百态的建筑物美化了我们的生活，展示了建筑师的聪明才智，在这些实物中有没有大家熟悉的立体图形？二、探究新知1．我们生活中的很多物体都是立体的，而这些物体中有一部分是较有规则的，如：生活物体苹果、球天坛顶端塔顶粉笔盒笔筒类似图形球体圆锥棱锥棱柱圆柱2.常见的立体图形如下图：在上面的图形中：(1)图1所表示的立体图形是柱体(圆柱体)；(2)图2所表示的立体图形是柱体(棱柱体)；(3)图3所表示的立体图形是锥体(圆锥体)；(4)图4所表示的立体图形是球体；(5)图5所表示的立体图形是锥体(棱锥体).3．多面体的概念：观察上图2，5与图1，3，4，它们有什么区别？小结：如上图2，5，围成立体图形的每一个面都是平的，像这样的立体图形又称为多面体．4．归纳总结：你能将这些立体图形进行分类吗？简单立体图形分类：立体图形{柱体{圆柱棱柱球体锥体{圆锥棱锥5．另外，棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥……三、课堂练习1．在下面四个物体中，最接近圆柱的是()2．下列图形中上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与上面立体图形对应的实物．四、课堂小结1．简单立体图形分类：立体图形{柱体{圆柱棱柱球体锥体{圆锥棱锥2．多面体的概念：围成立体图形的每一个面都是平的，像这样的立体图形又称为多面体．五、课后作业教材习题4.1第1～3题．本节课的教学应从具体的图像入手，引导学生从中抽象出立体图形，使学生经历从具体到抽象的思维过程．初步培养学生的抽象思维能力，通过对简单立体图形的分类，渗透分类思想，提高学生的识图能力，通过比较掌握图形的特征．3．2立体图形的视图3．2.1 由立体图形到视图1. 经历“从不同方向观察物体”的活动过程，发展空间观念与空间想象能力；2. 在观察的过程中，初步体会从不同方向观察同一个物体可能看到不一样的结果．重点1. 仔细观察物体，确定好物体的主视，左视，俯视方向；2. 如何确定物体的三视图．难点1. 根据立体图形和视图方向，画出立体图形的视图；2. 根据具体的立体图形分析图形的组成等．一、导入新课课件展示《题西林壁》：横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不识庐山真面目，只缘身在此山中. 苏东坡给我们描绘了一段庐山瑰丽的风景图．问题：1.从诗中可以看出，苏东坡从不同角度对庐山进行了观察，那他都从哪些角度对庐山进行了观察呢？2．诗中蕴含着什么道理，对我们有什么启发？【设计意图】通过诗词描述的形式展示一段风景，通过跨学科的方式，以苏东坡的一首《题西林壁》把同学们带入到一段如诗如画的境界中来，再从诗句中提炼出数学知识．这样，不但增强了学生的人文意识，还让学生感受到了数学中的“美”．二、探究新知(一)从不同方向观察立体图形有一个长方体如图：长方体有6个面，如果我们从上，下，左，右，前，后六个方向去观察，肯定可以确定它的形状和大小，而实际上从正面看与从后面看得到的是同一种图形．请同学们说说，你看到到的是什么图形，边长各是多少？(二)判断由立体图形得到的视图13. ( 2024·江汉区模拟)已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是()A B C D9. ( 2024·二道区校级四模)下列几何体中，其主视图和俯视图完全相同的是()A B C D三、课堂练习1．2024年2月17日，全球首架大型客机从上海起飞参加第九届新加坡国际航空航天与防务展．商飞是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具备自主知识产权的喷气式中程干线客机．如图是大型客机的实物图，其俯视图是( A )A BC D2．四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是( B )A B C D3．( 2019秋·镇平县期末)一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看这个几何体得到的形状图是()A B C D四、课堂小结从不同方向观察同一个物体，所看到的结果是不同的，从正面看到的图形成为主视图，从左面看到的图形成为左视图，从上面看到的图形成为俯视图五、课后作业教材第129页习题4.2本节课对学生的抽象思维能力发展比较重要，是学生由形象思维到抽象思维的过度．通过由立体图形到试图的学习过程，是学生明确从不同方向看物体，可能会得到不同的图形，通过观察与归纳能画出不同方向看到的图形，发展观察思维能力3．2.2 由视图到立体图形1. 能画出简单立体图形的三视图；2. 使学生能利用三视图来描述出实际的立体图形．重点1. 仔细观察物体的主视，左视，俯视图，根据三视图描述出立体图形；2. 如何确定物体的三视图．难点1. 如何根据三视图，画出正确的立体图形；2. 根据三视图对立体图形做相关计算(面积，体积，个数等).一、导入新课健康饮水从“凉白开”开始，同学们用来烧开水的水壶是啥样子的呢，请同学们描述一下．下面看看老是找到几种常见的电热水壶的样子，看看跟同学们加的是否一样呢？二、探求新知(一)通过从不同方向观察物体，抽象出具体的物体形象．是不是各种形状的都有呀，请同学们观察下面的电水壶的三种视图，试着想象一下这个电水壶是什么样子的？请同学们分别描述一下你看到的样子：________．(二)通过观察三视图，确定物体具体形象．三、课堂练习1. 如图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形是()A B C D2．如图为某几何体的三种视图，这个几何体可以是()A B C D3．下面两幅图是由5个小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则搭成这个几何体的左视图为()A B C D4．用若干个相同的小正方体组成的几何体的俯视圈和左视图如困所示，则组成该几何体所用的正方体最少是()A.5个B．6个C．7个D．8个四、课堂小结通过观察物体的三视图(包括三视图所标注的数据等)，抽象出具体的立体图形并描述出来．.能通过分析三视图，对立体图形进行相关计算．五、课后作业教材第129页习题4.2本节课让然关注学生的抽象思维能力发展，是学生由形象思维到抽象思维的过度．通过由观察三个方向的视图，来确定立体图形是本节课的重点，开始可以由简单的，学生熟悉的图形入手，让学生通过观察和想象，描述具体的立体图形，亦可以让学生通过实物演示得出结论，然后总结规律和方法，逐步过渡到能直接抽象出立体图形．3．3立体图形的表面展开图1．让学生通过直观感知、操作等实践活动，丰富立体图形的认知和感受，进一步认识立体图形与平面图形的关系；2．会判断所给定的平面图形能否折成立体图形；3．给出一些立体图形的展开图，能说出相应立体图形的名称；4．会判断给定的平面图形是否为某立体图形的展开图，并会把一个简单的立体图形展开成平面图形．重点根据立体图形研究其展开图和根据展开图判别立体图形．难点研究一个简单立体图形展开图．一、导入新课1．观察生活的周围，就会发现物体的形状千姿百态……，这其中蕴含着许多图形的知识．2．当我们进行包装时，它们的展开图是怎样的呢？下面让我们一起来探究．二、探究新知1．圆柱体是我们所熟悉的图形，那么圆柱体的侧面展开图是什么图形呢？请你画出来．2．“折一折”：如下图是多面体的展开图，你能说出这些多面体的名称吗？3．正方体有哪几种展开图，你能画出来吗？学生以小组为单位展开探究，将结果画在黑板上，教师及时予以总结．正方体展开图如下图：根据图形做出归纳小结：第一行是1－4－1组合；第二行第1～3个是2－3－1组合；第二行最后两个分别是2－2－2和3－3组合．三、课堂练习1．如图，()不是正方体的展开图．2．如图，下列图形是某些立体图形的平面展开图，说出这些立体图形的名称．3．在图中添加一个小正方形，使该图形经过折叠后能围成一个四棱柱，不同的添法共有()A.7种B.4种C.3种D.2种四、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑惑？五、课后作业教材第131～132页练习第1，2，3题．本节课主要内容是立体图形的平面展开图，学习本节课内容需要学生有一定的空间想象能力，所以在实际教学中，应多从具体的实物入手，让学生通过动手操作来发现规律并及时进行总结，然后再通过抽象的想象来解决问题，给学生一个适应的过程．3．4平面图形1．知识目标：让学生经历观察——画图——认知——设计的过程，了解生活中的圆和多边形；通过画图——分析——归纳，了解多边形与三角形之间的关系，将一个多边形分割成三角形．2．能力目标：从具体图形中，通过抽象、概括，画出它的表面形状，把一个多边形进行分割转化成三角形，从中渗透数学转化思想，并锻炼学生的动手操作能力．重点让学生发现生活中的圆、多边形及其给生活带来的美和享受，进而认识多边形，会将一个多边形分割成三角形．难点多边形分割成三角形的方法．一、导入新课1．观察下面所示的各物体，你能画出它们表面轮廓线的形状吗？2．虽然我们所处的世界是一个立体的世界，是一个三维的世界，但通过前面的学习，我们也知道，立体图形是由平面图形所组成的，我们也知道，其实有时我们观察物体，都是从其表面开始的：生活物体硬币镜框塔的横截面三角旗扇子表面图形圆长方形六边形三角形扇形二、探究新知1．其实，生活中的物体，它们的表面都是有一定形状的平面图形，如：2．观察这些图形，你能发现它们是怎样构成的吗？概括：(1)圆是由曲线围成的封闭图形；(2)多边形是由线段围成的封闭图形．按照组成多边形的边数，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形……另外，多边形也可分为凹多边形与凸多边形．3．我们都知道，每个多边形都可以看成是由三角形组成的，即三角形是最基本的图形，每一个多边形都可以分割成若干个三角形．如：从上图中，可以发现三角形的个数刚好与边数有一定的规律：三角形的个数＝边数－2三、课堂练习1．下列图形中，是四边形的是()A．①③B．②③④C．③④D．①②④⑤2．如图，每一个多边形都可以按如图的方法分割成若干个三角形．按如图所示的方法，十五边形可以分成________个三角形．四、课堂小结1．(1)圆是由曲线围成的封闭图形；(2)多边形是由线段围成的封闭图形．2．在多边形中，三角形是最基本的图形，每一个多边形都可以分割成若干个三角形．五、课后作业教材第136页练习第1，2题．1．在本节课的教学中，从数学的具体图形入手，让学生通过观察与思考，得出结论．将多边形分割成若干个三角形是本节课教学的难点，教师要引导学生动手操作，总结出规律，应该鼓励学生采用不同的分割方法．2．本节课能抓住学生的爱好和心理需求，在轻松、愉快的气氛中让学生学到数学知识，并能把数学知识同生活实际联系起来．3．本节课是在学生认识多边形和圆，并认识到它们可以组成各种优美的图案的基础上发散学生的思维能力，培养学生大胆想象的能力、创新能力和动手能力．让学生真正参与了教学，同时学生也得到了展示自己的机会和舞台．3．5最基本的图形——点和线3．5.1点和线1．使学生理解任何图形都是由点和线组成的，体会线段、射线、直线的形象，正确区分这三个图形，掌握它们的表示方法．2．感受、体会、理解“两点之间，线段最短”以及“两点确定一条直线”，掌握两点间距离的概念．重点线段、射线、直线的定义以及表示方法，熟悉简单的几何语言．难点线段、射线、直线的区别与联系．一、导入新课1．如果你站在一座足够高的楼上，望着楼底下的某一个人，那么你将能见到什么？2．黑夜中用聚光灯照射远处的墙壁，我们会看到什么？3．如果你把一条两头都打结的绳子拉直了，你将能发现什么？二、探究新知1．从情景中，我们可以知道，你能看到的将是一个点，而这个点就表示着这个人或聚光灯照射处的位置，因此，可以概括：点通常表示一个物体的位置．点图形：·A表示：点A(A点).2．日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象．线段图形：表示：线段AB线段d3．利用线段的形象，我们顺利地引出了射线与直线．概括：把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线；把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线．射线图形：表示：射线AB射线d直线图形：表示：直线AB直线d4．小结：对于线段、射线、直线，应该进行综合的比较：线段射线直线图形表示线段AB 射线AB 直线AB几个端点2个1个0个能否延伸不能向一边无限延伸向两边无限延伸能否度量能不能不能5.试一试．(1)线段公理观察下图，从A地到B地有三条路径，你会选择哪一条？从上边的图中，我们很容易发现：如果从A地到B地，走直路的路程是最短的，即在这些把A，B连结起来的线中，线段AB是最短的．概括：两点之间，线段最短．连结两点间的线段的长度叫做两点间的距离．(2)直线的公理我们要把一根木条钉紧，只用一个钉子，行吗？那么至少需要钉几个钉子才能将木条钉紧？由生活中的经验，我们都知道，一个是不够的，至少需要两个钉子才能将木条钉紧．概括：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线．三、课堂练习1．四条直线两两相交，其交点个数最多有()A．3个B．4个C．5个D．6个2．如图所示，共有线段________条；共有射线________条；共有直线________条．3．用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明______________________；用两个钉子把细木条钉在木板上，就能固定细木条，这说明________________________.四、课堂小结1．线段、射线、直线之间的区别．2．两点之间，线段最短．连结两点间的线段的长度叫做两点间的距离．3．经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线．五、课后作业教材习题4.5第1，2题．本节课是学生学习几何的入门课，培养学生的几何意识对于本节课来讲就很重要，教师可以从具体形象的实际例子入手，使学生经历从具体到抽象的思维过程，从而培养学生的几何意识．抽象是数学的一种基本思想和基本方法，让学生从实际生活的物体、图形中抽象得到点、线、面、体等数学概念．概括事物的数学属性，引导学生从数学的角度去看待实际物体，提高学生的抽象思维能力，引导学生的思维习惯．3．5.2线段的长短比较1．使学生分别掌握测量与重叠来比较线段大小的方法；2．使学生充分理解两条线段大小比较所隐含的意义，能从“量”与“形”上进行转化；3．线段中点的性质及其简单运算．重点线段大小比较的方法及其原理．难点如何引导学生从“数量”的角度引入到从“形”的角度来分析两条线段的大小比较．一、导入新课1．如果有两个同学在比较高矮，你们一般是怎么做的？解决方法：让两个人站在一起来比较；分别量出这两个同学的身高．2．如何比较数学书长和宽的长度大小？你能够想到什么方法？ 解决办法：可以拿两本相同的数学书，将长和宽重叠进行比较；分别测量长和宽的长度；用圆规截取书本的宽度，再和长相比较．二、探究新知1．从上面的探究总结，怎样比较下图中两条线段的长短？小结：从上面的引例，我们很容易知道，比较两条线段的长短有两种方法： (1)用刻度尺度量；(2)利用圆规进行移动．如图有线段AB 与线段CD ，且进行了以上的有关比较方法．如果通过比较可知：线段AB 比线段CD 短，则表示为： AB<CD(或CD>AB)2．如图，MN 是已知线段，你能用直尺和圆规准确地画一条与MN 相等的线段吗？ 小结：我们可以先画射线AB ，然后用圆规量出线段MN 的长，再在射线AB 上截取AC ＝MN ，那么，AC 就是所要画的线段．3．在一张半透明纸上画一条线段AB ，将线段AB 折叠，使点A 和点B 重合，折痕与线段AB 的交点为C ，测量AC 、BC 和AB 的长度，你有什么发现？小结：AC ＝CB ＝12AB ，AC ＋CB ＝AB归纳：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点． 如上图，点C 是线段AB 的中点． 三、课堂练习1．如图①，AD ＝AB －________＝AC ＋________.2．如图②，下列说法不能判断点C 是线段的中点的是( )A ．AC ＝CB B ．AB ＝2AC C ．AC ＋CB ＝ABD ．CB ＝12AB3．在直线m 上顺次取A ，B ，C 三点，使AB ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，如果O 是线段AC 的中点，求线段OB 的长．四、课堂小结1．比较两条线段的长短有两种方法： (1)用刻度尺度量；(2)利用圆规进行移动．2．把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点． 如下图，点C 是线段AB 的中点．则AC ＝CB ＝12AB ，AC ＋CB ＝AB.五、课后作业教材习题4.5第4，5题．在本节课的安排上应逐渐在几何中渗透几何语言的描述，并应注意到其语言的规范性．在知识上应对本节课内容上有所拓展，而不能局限于教材，要引导学生来发现问题，并学会找到解决问题的方法．3．6角3．6.1角1．使学生通过实际生活中对角的认识，建立起几何中角的概念，并能掌握角的两个定义；2．使学生掌握角的各种表示方法；3．使学生掌握平角、周角和直角的概念；4．掌握角的单位换算，会进行计算；5．会用角准确地表示方向．重点角的概念及两个定义和角的表示方法．难点角的单位换算和用角准确地表示方向．一、导入新课观察下面的图形，你发现有什么共同的特点吗？这些图形都给了我们角的形象．二、探究新知1．根据你对上面角的观察，你能说说什么样的图形叫做角？小结：角的定义：(1)角是由两条有公共端点的射线组成的图形．(2)从运动变化的角度来看，角可以看成是有一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．2．如何表示一个角呢？小结：角的表示方法：有以下几种表示方法(如图所示)：3．平角和周角在上面的旋转过程中，有两种特殊的情况：第一种是绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角；第二种是绕着端点旋转到终边和始边重合，这时所成的角叫做周角．4．角的度量如何使用量角器测量角的大小？从量角器中我们已经知道如果把周角分成360等份，每一份就是一度，记作1°，但是一个角并不正好是整数度数，与长度单位一样，考虑用更小一些的单位．把一度分成60等份，每一份就是1分，记作1′；而把一分再分成60等份，每一份就是1秒，记作1″.这样，角的度量单位度、分、秒有如下关系：1周角＝360°1平角＝180°1°＝60′1′＝60″5．方位角还记得下图的八个方向吗？但在日常生活中，八个方向是不够用的，这只是一种大致的方向．如果要准确地表示方向，那就要借用角度的表示方式．三、课堂练习1．计算：(1)180°－(35°18′5″＋62°56′15″)；(2)180°－79°36′20″；(3)73°45′55″＋61°41′37″.2．写出图中所有小于平角的角．四、课堂小结1．角的定义(1)角是由两条有公共端点的射线组成的图形．(2)从运动变化的角度来看，角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．2．一条射线绕着端点旋转到角的终边和始边成一条直线，这时所成的角叫做平角；绕着端点旋转到终边和始边重合，这时所成的角叫做周角．3．角的单位换算1周角＝360°1平角＝180°1°＝60′1′＝60″4．我们可以借用角来表示方向．五、课后作业教材第148页练习第1，2题．本节课的教学应该从学生所熟悉的图形入手，结合学生小学已经掌握的关于角的知识来逐步引入本节课内容，然后从静态和动态两个角度给角下定义．在讲解时，可利用相关的教具进行直观的演示，以利于学生理解．角的表示方法是本节课的重点，教师一定要讲清楚每种方法怎样表示以及应该注意的问题，使学生能够熟练掌握．角的度量单位的换算是本节课的难点，教师可提醒学生仿照时间的换算来进行记忆．在进行换算时，教师要先进行示范讲解，将每一步的过程演示清楚，然后可适当补充练习，使学生掌握．3．6.2角的比较和运算1．了解角的大小比较的方法；2．掌握角的度数的运算和角的运算；3．掌握角的平分线及其应用；4．会用圆规和直尺画一个角等于已知角．重点1．角的度数的运算和角的运算；2．角的平分线及其应用．难点1．角的度数的运算；2．角的平分线的应用．一、导入新课1．比较两条线段的长短有哪些方法？小结：测量法；叠合法．2．我们如何比较两个角的大小呢？二、探究新知1．角的大小比较(1)出示教具，探索讨论：观察以下三个角，你能说出它们的大小吗？(2)学生提出方法，教师小结： ①叠合法(课件)把一个角放到另一个角上，使它们的顶点重合，其中一边也重合，并使两个角的另一边都在这一条边的同侧．②度量法用量角器分别量出角的度数，再加以比较． 2．角的和差关系(1)观察下图中有哪几个角，把它写下来：________________________________________．(2)根据上图中角之间的关系填空： ∠AOB ＝________＝________； ∠BOC ＝________＝________； ∠AOC ＝＝________＝________. 3．作一个角等于已知角在前面的学习中，我们已经知道如何作一条线段等于已知线段，同样，我们也可以利用圆规来作一个角等于已知角．4．角平分线(1)请同学们把一个角的两边对折，让两边互相重合．这时，我们将看到这个角的中间有一条射线，请你测量所分成的两个角的大小，你有什么发现？(2)小结：这条射线将这个角分成两个相等的角，这时，我们把这条射线称为这个角的角平分线．归纳：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图，已知OC 平分∠AOB ，则有：∠AOC ＝∠BOC ＝12 ∠AOB ，∠AOB ＝2∠AOC＝2∠BOC.三、课堂练习。

初中数学思维训练题典【初中数学思维训练】第1题——值得拥有的超级无敌大法【初中数学思维训练】第2题——枚举法与方程思想【初中数学思维训练】第3题——作差法与作商法比较大小【初中数学思维训练】第4题——有理数运算的那点事儿【初中数学思维训练】第5题——用字母表示数【初中数学思维训练】第6题——直接与间接，算术与方程【初中数学思维训练】第7题——比较大小的常用方法【初中数学思维训练】第8题——速算的秘密【初中数学思维训练】第9题——假糊涂，真聪明【初中数学思维训练】第10题——学最好的他人，做最好的自己【初中数学思维训练】第11题——数学解题的要义在于主动求变【初中数学思维训练】第12题——绝妙的降次化简之法【初中数学思维训练】第13题——品味计算之美【初中数学思维训练】第14题——“造”的艺术【初中数学思维训练】第15题——降次之术【初中数学思维训练】第16题——心中有目标，未来有预见【初中数学思维训练】第17题——最值问题【初中数学思维训练】第18题——简单而巧妙的派生公式【初中数学思维训练】第19题——1的妙用【初中数学思维训练】第20题——见连等设K【初中数学思维训练】第21题——整体思想在分式化简求值中的运用【初中数学思维训练】第22题——变形金刚【初中数学思维训练】第23题——面积与相似，谁与争锋【初中数学思维训练】第24题——折叠与面积【初中数学思维训练】第25题——消元的智慧【初中数学思维训练】第26题——只有一个公共点【初中数学思维训练】第27题——眼前一亮的感觉【初中数学思维训练】第28题——数学上的“慢生活”【初中数学思维训练】第29题——初中几何的两大精神支柱【初中数学思维训练】第30题——消元法与整体思想【初中数学思维训练】第31题——全等与隐藏圆【初中数学思维训练】第32题——全等是初中几何的根基【初中数学思维训练】第33题——容易被人忽视的倒数法【初中数学思维训练】第34题——二次函数的最值【初中数学思维训练】第35题——不等式组的解集【初中数学思维训练】第36题——消常数法解方程组【初中数学思维训练】第37题——巧用乘法分配律【初中数学思维训练】第38题——巧解一元一次方程【初中数学思维训练】第39题——比较大小的巧妙方法【初中数学思维训练】第40题——利用整体巧求面积【初中数学思维训练】第41题——用平方差公式解题【初中数学思维训练】第42题——降次的妙用【初中数学思维训练】第43题——凑整【初中数学思维训练】第44题——乘法公式在计算中的运用【初中数学思维训练】第45题——整体思想（换元法）【初中数学思维训练】第46题——整体代换，巧妙求值【初中数学思维训练】第47题——巧解绝对值求值【初中数学思维训练】第48题——绝对值的几何意义【初中数学思维训练】第49题——把握整体，灵活解题【初中数学思维训练】第50题——设而不求【初中数学思维训练】第51题——倒数法的妙用【初中数学思维训练】第52题——变量多，巧相加【初中数学思维训练】第53题——对称式【初中数学思维训练】第54题——多边形内角和定理【初中数学思维训练】第55题——外角和定理【初中数学思维训练】第56题——三线八角【初中数学思维训练】第57题——用配方法因式分解【初中数学思维训练】第58题——用主元法分解因式【初中数学思维训练】第59题——用换元法分解因式【初中数学思维训练】第60题——用待定系数法分解因式【初中数学思维训练】第61题——双十字相乘法【初中数学思维训练】第62题——二次根式巧求值【初中数学思维训练】第63题——逐项通分【初中数学思维训练】第64题——拆项法【初中数学思维训练】第65题——换元法【初中数学思维训练】第66题——一个特殊的完全平方公式【初中数学思维训练】第67题——见连等设k【初中数学思维训练】第68题——二次根式的整数部分【初中数学思维训练】第69题——分子有理化【初中数学思维训练】第70题——换元法在二次根式化简中的运用【初中数学思维训练】第71题——和差代换法【初中数学思维训练】第72题——一元二次方程与整体思想【初中数学思维训练】第73题——对偶式的运用【初中数学思维训练】第74题——数形结合思想【初中数学思维训练】第75题——面积法【初中数学思维训练】第76题——三角形的中位线【初中数学思维训练】第77题——等边三角形的构造【初中数学思维训练】第78题——从熟悉的问题入手【初中数学思维训练】第79题——旋转引辅助线法【初中数学思维训练】第80题——轴对称引辅助线法【初中数学思维训练】第81题——多边形的外角和【初中数学思维训练】第82题——平行四边形的判定【初中数学思维训练】第83题——构造平行四边形证明【初中数学思维训练】第84题——造全等【初中数学思维训练】第85题——旋转型造全等【初中数学思维训练】第86题——面积的比【初中数学思维训练】第87题——基本图形的运用【初中数学思维训练】第88题——梅氏定理【初中数学思维训练】第89题——用换元法解高次方程【初中数学思维训练】第90题——变换主元法【初中数学思维训练】第91题——倒数方程【初中数学思维训练】第92题——配方法【初中数学思维训练】第93题——求作新方程【初中数学思维训练】第94题——构造法【初中数学思维训练】第95题——“1”的发现【初中数学思维训练】第96题——根的定义【初中数学思维训练】第97题——配偶式【初中数学思维训练】第98题——适当变形，巧解方程【初中数学思维训练】第99题——别开生面的换元法【初中数学思维训练】第100题——巧解方程组【初中数学思维训练】第101题——解直角三角形与平面直角坐标系【初中数学思维训练】第102题——用待定系数法求二次函数的解析式【初中数学思维训练】第103题——判别式的妙用【初中数学思维训练】第104题——方程与函数图象【初中数学思维训练】第105题——数形结合【初中数学思维训练】第106题——函数与几何【初中数学思维训练】第107题——见中点，巧添平行线【初中数学思维训练】第108题——巧添垂线【初中数学思维训练】第109题——补全图形【初中数学思维训练】第110题——辅助圆【初中数学思维训练】第111题——圆的定义【初中数学思维训练】第112题——弦心距【初中数学思维训练】第113题——巧用直径【初中数学思维训练】第114题——四点共圆【初中数学思维训练】第115题——补形【初中数学思维训练】第116题——高斯求和与裂项相消【初中数学思维训练】第117题——不易被察觉的裂项相消【初中数学思维训练】第118题——一个经典公式的反复【初中数学思维训练】第119题——比较大小之各路方法云集【初中数学思维训练】第120题——比较大小之平方法【初中数学思维训练】第121题——比较大小之归一法【初中数学思维训练】第122题——比较大小之分子有理化法【初中数学思维训练】第123题——见连等式设k【初中数学思维训练】第124题——实数的估算【初中数学思维训练】第125题——整体思想与化简求值【初中数学思维训练】第126题——咬定目标不放松【初中数学思维训练】第127题——不能强攻，只能智取【初中数学思维训练】第128题——换元法的妙用【初中数学思维训练】第129题——无理数的整数部分与小数部分【初中数学思维训练】第130题——幂的运算性质【初中数学思维训练】第131题——循环规律【初中数学思维训练】第132题——归一法比大小【初中数学思维训练】第133题——公式的逆用【初中数学思维训练】第134题——常值代换法【初中数学思维训练】第135题——活用公式贵在恰当变形【初中数学思维训练】第136题——关于分式的一个有效而简捷的方法【初中数学思维训练】第137题——选择题中不可轻视的特殊值法【初中数学思维训练】第138题——熟能生巧的运算能力。

八年级数学思维训练答案篇1：八年级数学思维训练答案发散思维是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式，比较常见，它表现为思维视野广阔，思维呈现出多维发散状。

发散思维又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维。

八年级数学思维训练(一)1、有两个桶，一个三斤，一个五斤，水无限，如何得出精确的四斤水。

2、夜晚过一桥，甲过需要一分钟，乙两分钟，丙五分钟，丁十分钟。

桥一次最多只能承受两人，过桥必须使用手电筒，现在只有一只手电筒。

请问4人如何在17分钟内全部过桥。

3、小赵的店里来了一位顾客，挑了20元的货，顾客拿出50元，小赵没零钱找不开，就到隔壁小韩的店里把这50元换成零钱，回来给顾客找了30元零钱。

过一会，小韩来找小赵，说刚才的是假钱，小赵马上给小李换了张真钱。

问：在这一过程中小赵赔了多少钱?4、鸡妈妈领着自己的孩子出去觅食，为了防止小鸡丢失，她总是数着，从后向前数到自己是8，从前向后数，数到她是9。

鸡妈妈最后数出来她有17个孩子，可是鸡妈妈明明知道自己没有这么多孩子。

那么这只糊涂的鸡妈妈到底有几个孩子呢?鸡妈妈为什么会数错?5、用水果刀平整地去切一个大西瓜，一共切10刀，最多能将西瓜切成多少块?最少能切多少块?6、小李有40元钱，他想用他们买饮料，老板告诉他，2元钱可以买一瓶饮料，4个饮料瓶可以换一瓶饮料。

那么，小李可以买到多少瓶饮料?7、有一口深4米的井，井壁非常光滑。

井底有只青蛙总是往井外跳，但是，这只青蛙每次最多能跳3米，你觉得这只青蛙几次能跳到井外去吗?为什么?8、小红和小丽一块到新华书店去买书，两个人都想买《综合习题》这本书，但钱都不够，小红缺少4.9元，小丽缺少0.1元，用两个人合起来的钱买一本，但是钱仍然不够，那么，这本书的价格是多少呢?9、明明牵着一只狗和两只小羊回家，路上遇到一条河，没有桥，只有一条小船，并且船很小，他每次只能带狗或一只小羊过河。

你能帮他想想办法，把狗和羊都带过河去，又不让狗咬到小羊。

初中数学思维训练在初中阶段，数学学习对于很多同学来说是一个不小的挑战。

要想在数学学习中取得优异的成绩，单纯地依靠死记硬背公式和定理是远远不够的，更重要的是培养良好的数学思维。

那么，什么是数学思维呢？简单来说，数学思维就是用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。

一、数学思维的重要性拥有良好的数学思维能力，能够帮助我们更轻松地理解和掌握数学知识。

当我们面对一个复杂的数学问题时，如果能够运用数学思维进行分析和推理，就能够找到问题的关键所在，从而迅速找到解决问题的方法。

数学思维还能够提高我们解决实际问题的能力。

在日常生活中，我们经常会遇到各种各样需要运用数学知识来解决的问题，比如购物时的折扣计算、装修时的面积测量等等。

如果我们具备较强的数学思维，就能快速准确地解决这些实际问题，让生活更加便捷。

此外，培养数学思维对于我们未来的学习和职业发展也具有重要意义。

在高中、大学以及更高层次的学术研究中，数学的应用越来越广泛。

拥有扎实的数学思维基础，能够为我们今后的学习和工作打下坚实的基础。

二、初中数学思维的主要类型1、逻辑思维逻辑思维是数学思维中最基础也是最重要的一种。

它要求我们能够清晰地理解和运用数学概念、定理和公式，通过合理的推理和论证来解决问题。

在初中数学中，很多证明题都需要我们运用逻辑思维进行分析和解答。

例如，在证明三角形全等的问题时，我们需要根据已知条件，运用全等三角形的判定定理，逐步推导出结论。

这就需要我们具备严谨的逻辑思维，确保每一步推理都是正确的。

2、形象思维形象思维是指通过直观的图形、图像等方式来理解和解决数学问题。

在初中数学中，几何部分的学习就充分体现了形象思维的重要性。

比如，在学习三角形的内角和定理时，我们可以通过剪纸、拼图等方式，直观地看到三角形的三个内角拼成一个平角，从而更加深刻地理解内角和为 180 度的结论。

3、创新思维创新思维是指能够突破传统的思维模式，提出新的想法和方法来解决问题。

初中数学练习题1.一个矩形的长是宽的5倍，如果它的周长是48cm，那么这个矩形的长和宽各是多少？设矩形的宽为x，则矩形的长为5x。

根据周长的公式：周长=2(长+宽)，可以得出等式：48=2(5x+x)。

化简后得：48=12x解方程可得：x=4因此，矩形的长为5x=5×4=20，宽为x=4，答案：长20cm，宽4cm。

2.小明花了250元买了一些苹果和橙子，已知每个苹果的价格是3元，每个橙子的价格是5元。

如果小明一共买了60个水果，那么他买了几个苹果和几个橙子？设小明买了x个苹果，买了y个橙子。

根据题意可得以下两个等式： x + y = 60 （1）（因为小明共买了60个水果）3x + 5y = 250 （2）（因为花了250元）为了解方程组（1）和（2），我们可以采用消元法。

首先，将方程（1）乘以3，得到3x + 3y = 180 （3）然后，将方程（2）减去方程（3），得到2y = 70 解方程可得：y = 35 将y的值代入方程（1），得到x + 35 = 60 解方程可得：x = 25因此，小明买了25个苹果和35个橙子。

3.角度计算问题已知直角三角形中的两条边分别为3cm和4cm，请计算斜边的长度。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。

即：斜边长度= √（3² + 4²）= √(9 + 16) = √25 = 5因此，直角三角形的斜边长度为5cm。

4.等差数列问题已知一个等差数列的首项为2，公差为3，求该等差数列的第5项的值。

等差数列的公式为：an = a1 + (n-1)d 其中，an 表示第n项，a1 表示首项，d表示公差。

带入已知条件，可得第5项的值为：a5 = 2 + (5-1)×3 = 2 + 12 = 14因此，该等差数列的第5项的值为14。

5.几何问题已知三角形ABC，其中∠B = 90°，AB = 3cm，BC = 4cm，求∠C的大小。

级上册思维训练试题第Ⅰ卷 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．已知是关于x 的一元一次方程,则（ ）A ．m=2B ．m=3C ．m=±3D ．m=12．若一个棱柱有10个顶点，则下列说法正确的是( ) A ．这个棱柱有4个侧面 B ．这个棱柱有5个侧面 C ．这个棱柱的底面是十边形 D ．这个棱柱是一个十棱柱3．把弯曲的河道改成直的，可以缩短航程，其理由是（ ） A ．经过两点有且只有一条直线 B ．两点之间，线段最短 C ．两点之间，直线最短 D ．线段可以比较大小4.如图，数轴的单位长度为1，如果点表示的数的绝对值相等，那么点表示的数是（ ）A.B.C.0D.45.16的平方根是（ ）A ．4B ．±4C ．8D ．±86．把弯曲的道路改直，能够缩短行程，其道理用数学知识解释应是 ……………( )A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．线段可以大小比较D ．两点之间，线段最短BA7．如图，数轴上每相邻两点之间相距1个单位长度，点A 对应的数为a ，B 对应的数为b ，且b －2a ＝7，那么数轴上原点的位置在…………………………………………（ ） A.点A B .点B C.点C D.点D8.一个数的平方是49, 这个数是( )A.7B.-7C.+7或—7D.+9或—99、下列各数中互为相反数的有（ ）. A 、+（-5.2）与-5.2； B 、+（+5.2）与-5.2； C 、-（-5.2）与5.2；D 、5.2与1/5.210．若x 的相反数是3，|y|＝5，则x ＋y 的值为（ ）A ．－8B ．2C ．8或－2D ．－8或2第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. －8的绝对值是 ，－8的倒数是 .12. 与原点的距离为8个单位的点所表示的有理数是_ ___。