高中数学 第1章 三角函数 1.3.4 三角函数的应用学案 苏教版必修4

第十五课时 §1.3.4 三角函数的应用（1）【教学目标】 一、知识与技能：会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型 二、过程与方法从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用三、情感态度价值观：培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活 教学重点难点：建立三角函数的模型 【教学过程】 一．复习回顾1、 回顾课本 “三角函数的周期性”2、 求函数sin()y A x k ωϕ=++的解析式3、查阅物理中“单摆运动” 二．新课讲解：一定条件下，单摆运动是一种周期性的运动，从而引出对具有周期性现象的问题的研究，可用具有周期性规律的三角函数来描述。

实际上，三角函数能够描述、模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用。

三、例题分析： 例1、 （教材P42例1）点评：本题是简谐运动的问题，在利用三角函数描述问题时，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象用“待定系数法”求出sin()y A x k ωϕ=++。

例2、 （教材P43例2）点评：①本题是圆周运动的问题；②寻找变量间的关系是关键，结合图形建立恰当的直角坐标系，将几何问题代数化已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 例3、如图所示，求函数的一个解析式。

例4、已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4π，且图象经过点5(0,)2-，求这个函数的解析式。

例5、已知函数sin()y A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，||ϕπ<）的最大值为x3-3π 56π3O小值为23π，且图象过点(0,4-，求这个函数的解析式四、课堂小结：本课所学内容，重点应用了三角函数的什么性质？以后研究哪类问 题可以借助于三角函数模拟呢？ 五、作业：（补充）1．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）的周期是23π，最小值是2-，且图象过点5(,0)9π，求这个函数的解析式；2．函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的最小值是2-，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标的差是3π，又图象经过点(0,1)，求这个函数的解析式3．如图为函数sin()y A x ωϕ=+（||2πϕ<，x R ∈）的图象中的一段，根据图象求它的解析式。

图 2图1§1.3.4 三角函数的应用(一) 王建宏 课标重难点1.会用三角函数模型解决一些简单的具有周期性的实际问题．2.进一步掌握函数模型的应用，培养独立思考的能力，增强应用数学的意识，学会将实际问题抽象为数学问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力．3.体验三角函数也是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，感受三角函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用． 课前练习1. 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的 函数关系如图1所示．试写出该函数的解析式 .2.如图2，某地一天从6时至14时的温度变 化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++. 试写出该函数的解析式 .答案:图21.420cos 30,[0,)3y x x π=+∈+∞.2.310sin()20,[6,14]84y x x ππ=++∈.题型探究例1如图2，某地一天从6时至14时 的温度变化曲线近似满足函数 sin()y A x b ωϕ=++.（Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式. (Ⅲ) 如果一天24小时内的温度均 近似符合该函数关系式,求一天中温度不小于250C 的时间有多长?分析：根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象求出ϕ，ω,A ，关键是要确定已知的点对应的是函数图象上的哪些点．解析：（Ⅰ）由图2所示，这段时间的最大温差是301020-=℃ （Ⅱ）图2中从6时到14时的图象是函数sin()y A x b ωϕ=++的半个周期.∴614221-=⋅ωπ，解得8πω=. 由图2所示，10)1030(21=-=A ,20)3010(21=+=b这时，20)8sin(10++=ϕπx y将6,10x y ==代入上式，可取43πϕ=综上，所求的解析式为310sin()2084y x ππ=++（[6,14]x ∈）(Ⅲ) 310sin()202584x ππ++≥, 31sin()842x ππ+≥. 解之得3522,6846k x k k Z ππππππ+≤+≤+∈ (0x >) 取0k =, 1k =可得:35,(0)6846x x ππππ≤+≤≥或133176846x ππππ≤+≤,即203x ≤≤或345033x ≤≤,∴一天中温度超过250C 的时间为25034216(0)()33333-+-=+ 6=小时.图1练习1. 若钟摆的高度h(mm)与时间 t(s)之间的函数关系如图1所示． 求t ＝l0(s)时钟摆的高度．解法一：420cos 1030203y π=⨯+=mm. 解法二：由题意知2T ＝3，故23=T ,即函数的周期是23=T .)(20)1(1236)10(mm f f f ==⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=，故此时钟摆的高度为20mm.例2 在图3中,点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的图3 运动到距平衡位置最远处时开始计时.(1)求物体对平衡位置的位移()x cm 和时间()t s 之间的函数关系; (2)求该物体在5t s =时的位置.解析: (1)设x 和t 之间的函数关系为3sin() (0,02)x t ωϕωϕπ=+>≤<.则由23T πω==,可得23πω=.当0t =时,有3sin 3x ϕ==,即sin 1ϕ=.又02ϕπ≤<,故可得2πϕ=.所以所求函数关系为23sin(32x t ππ=+,即23cos 3x t π=. (2)令5t =,得23cos 3x t π= 1.5=-,故该物体在5t s =时的位置是在O 点的左侧且距O 点1.5处.练习2.在图3中, 点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向向右运动到平衡位置时开始计时.(1) 求物体对平衡位置的位移()x cm 和时间()t s 之间的函数关系;(2)求该物体在7.5t s =时的位置.答案:(1) 5sin 2x t π= ;(2)当7.5t=时,155sin7.55sin5sin(4)5sin 24442x πππππ=⨯==-=-=-即物体在平衡位置的左方,cm 处.例3 一半径为4m 的水轮如图4所示, 水轮圆心O 距水面2m,已水轮每分钟转动 5圈,如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中 点P 0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z(m)表示为 时间t(s)的函数;(2)点P 第一次到达最高点大约要多少时间?分析:本题可以利用物理背景(角速度)去求解,也可以利用数学模型从理论上求解.解法一 (1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转,如图2所示, 建立直角坐标系. 设角ϕ(0)2πϕ-<<是以O x 为始边,OP 0为终边的角.由OP 在ts 内所转过的角为52()606t t ππ⨯=,可知O x 为始边, OP 为终边的角为6t πϕ+,故P 点纵坐标为4sin()6t πϕ+, 则4sin()26y t πϕ=++. 当0t =时,0y =可得1sin 2ϕ=-.因为02πϕ-<<,所以6πϕ=-,故所求函数关系式为4sin()266y t ππ=-+.(2)令4sin()266y t ππ=-+=6,得sin()166t ππ-=.取2,662t k k Z ππππ-=+∈, 解得t 的最小值为4.故点P 第一次到达最高点需要4s .解法二(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转.设sin()y A t B ωϕ=++,ϕ∈()22ππϕ-<< . ∵水轮上点P 距离水平最大距离为6,最小距离为-2,∴426,4,22,A B A B A B +=+=⎧⇒==⎨-+=-⎩. 又水轮每分钟转动5圈,得12秒钟转动一周,即得周期为12秒,得 2126T ππωω==⇒=. ∴4sin()26y t πϕ=++.∵点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间. 即当时0t =时0y =,∴4sin 20ϕ+=,可得1sin 2ϕ=-. 因为22ππϕ-<<,所以6πϕ=-,故所求函数关系式为4sin()266y t ππ=-+.(2)令4sin()266y t ππ=-+=6,得sin()166t ππ-=.取2,662t k k Z ππππ-=+∈, 解得t 的最小值为4.O故点P 第一次到达最高点需要4s .小结 实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它．因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．练习3.如图5，游乐场中的摩天 轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟， 其中心O 距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你 与地面的距离将随时间的变化而变化， 以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答 下列问题：（Ⅰ）求出你与地面的距离y 与时间t 的函数关系式； （Ⅱ）当你第4次距离地面60.5米时，用了多少时间？ （Ⅲ）当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮 最低处登上摩天轮，问你的朋友登上摩天轮多少时间后，你距离地面的距离和你的朋友的距离地面的距离之差最大？并求出最大值.分析：在摩天轮运转的过程中,两个人的与地面的距离之差实质为一个函数()[40.540cos(2)](40.540cos)40[coscos(2)]6666g t t t t t ππππ=-+--=-+如何求此函数的最值?在第三章中将有介绍.本题中由于周期数据的特殊性,可直接得出该结论.解析：（Ⅰ）可以用余弦函数来表示该函数关系式,由已知可设40.540cos ,(0)y t t ω=-≥,由已知周期为12分钟可知当6t =时到达最高点,即函数取得最大值,知80.540.540cos6ω=-,即得cos 61,ω=-∴6ωπ=,即解得6πω=.∴)0(,6cos405.40≥-=t t y π.（Ⅱ）令40.540cos 60.56y t π=-=, 得1cos 62t π=-,∴263tπ=π或463tππ=,解得4t=或8t=, 故第四次距离地面60.5米时，用了12+8=20分钟.（Ⅲ）与地面的距离之差最大,此时你必须在你的朋友的正上方,或你的朋友在你的正上方,由周期性知,再过2分种后,你恰在你的朋友的正上方,再过半个周期时,恰相反,故过6k＋2 (k Z∈)分钟后距离之差最大，最大值为40米.课堂演练1.函数y=－x·cos x的部分图象是( )D 解析：函数y=－x cos x是奇函数，图象不可能是A和C，)时，y＜0.又当x∈(0,22.下列四个结论中正确的个数是①y=sin|x|的图象关于原点对称②y=sin（|x|+2）的图象是把y=sin|x|的图象向左平移2个单位得到的③y=sin（x+2）的图象是把y=sin x的图象向左平移2个单位而得到的④y=sin（|x|+2）的图象是由y=sin（x+2）（x≥0）的图象及y=－sin （x－2）（x<0）的图象组成的A.1B.2C.3D.4B解析:y=sin|x|是偶函数,其图象关于y轴对称,其向左平移两个单位可得y=sin|x+2|, 故 ① ② 不正确,而③ ④ 正确.故应选B.3.关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π)(x∈R)，有下列命题:①由f(1x )＝f(2x )＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y＝f(x)的表达式可以改写成y ＝4cos(2x －6π)；③y＝f(x)的图像关于点(－6π，0)对称；④y＝f(x)的图像关于直线x ＝－6π对称.其中正确的命题序号是_________.(注:把你认为正确的命题序号都填上)②③本题综合考查正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 的性质、图象特征及诱导公式等基本知识.①由)32sin(4)(π+=x x f 知.22ππ==T 而图象是每半个周期与x 轴相交一次，所以x 1–x 2必是2π的整数倍，此命题不正确.②因)62cos(4)62cos(4)]32(2cos[4)32sin(4)(πππππ-=+-=+-=+=x x x x x f此命题正确.③因x y 2sin =的图象关于原点对称，则)]6(2sin[π+=x y 的图象关于)0,6(π-对称，此命题正确.④)32sin(4)(π+=x x f 的对称轴为)32(21πππk x +-=即),(212Z ∈+=k kx ππ故6π-=x 不是对称轴，此命题不正确.4.估计某一天的白昼时间的小时数D （t ）可由下式计算：D （t ）=2k sinπ180（t －60）+12,其中t 表示某天的序号，t =0表示1月1日，依此类推，常数k 与某地所处的纬度有关.（1）如在波士顿，k =6，试画出函数当0≤t ≤360时的图象； （2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？（3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时？解析：（1）先用五点法画出f （t ）=3sin π180（t －60）的简图，由π180（t －60）=0及π（t －60）=2π,得t =60及t =420，列出下表：若t =0,f （0）=3sin π3=2.因为f （x ）的周期为360，∴f （360）将f （x ），t ∈［0,360］图象向上平移12个单位，得D （t ）的图象，如图所示.（2）白昼时间最长的一天即D （t ）取最大值的一天，此时t =150对应的是5月30日（闰年除外）.类似地，t =330时，D （t ）取最小值，即12月20日白昼最短. （3）D （t ）>10.5,即3sin π180（t －60）+12>10.5,3sinπ180（t－60）>－23,t∈［0,360］.∴ 270>t>30,270－30=240. 有240天的白昼时间超过10.5小时.图 2图 2图1§1.3.4 三角函数的应用(一) 王建宏课标重难点1.会用三角函数模型解决一些简单的具有周期性的实际问题．2.进一步掌握函数模型的应用，培养独立思考的能力，增强应用数学的意识，学会将实际问题抽象为数学问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力．3.体验三角函数也是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，感受三角函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．课前练习1. 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的 函数关系如图1所示．试写出该函数的解析式 .2.如图2，某地一天从6时至14时的温度变 化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++. 试写出该函数的解析式 . 答案:1. 420cos303y x π=+. 2. 310sin()2084y x ππ=++. 题型探究例1如图2，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++. （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式.(Ⅲ) 求一天中温度超过250C 的时间有多长? 分析：根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象求出ϕ，ω,A ，关键是要确定已知的点对应的是函数图象上的哪些点．解析：（Ⅰ）由图2所示，这段时间的最大温差是301020-=℃（Ⅱ）图2中从6时到14时的图象是函数sin()y A x b ωϕ=++的半个周期. ∴614221-=⋅ωπ，解得8πω=. 由图2所示，10)1030(21=-=A 20)3010(21=+=b 这时，20)8sin(10++=ϕπx y将6,10x y ==代入上式，可取43πϕ=综上，所求的解析式为310sin()2084y x ππ=++（[6,14]x ∈）图3 图1(Ⅲ) 310sin(202584x ππ++≥, 31sin()842x ππ+≥.解之得133176846x ππππ≤+≤,即345033x ≤≤, ∴一天中温度超过250C 的时间为503416333-=小时. 练习1. 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图1所示．求t ＝l0(s)时钟摆的高度．解法一：420cos1030203y π=⨯+=mm. 解法二：由题意知2T ＝3，故23=T ,即函数的周期是23=T .)(20)1(1236)10(mm f f f ==⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=，故此时钟摆的高度为20mm.例2 在图3中,点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3cm ,周期为3s ,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.(1)求物体对平衡位置的位移()x cm 和时间()t s 之间的函数关系;(2)求该物体在5t s =时的位置.解析: (1)设x 和t 之间的函数关系为3sin() (0,02)x t ωϕωϕπ=+>≤<.则由23T πω==,可得23πω=.当0t =时,有3sin 3x ϕ==,即sin 1ϕ=.又02ϕπ≤<,故可得2πϕ=.所以所求函数关系为23sin() 32x t ππ=+,即23cos 3x t π=. (2)令5t =,得23cos3x t π= 1.5=-,故该物体在5t s =时的位置是在O 点的左侧且距O 点1.5处.练习2.在图3中, 点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为5cm ,周期为4s ,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.(1) 求物体对平衡位置的位移()x cm 和时间()t s 之间的函数关系;(2)求该物体在7.5t s =时的位置. 答案:(1) 5sin2x t π= ;O(2)当7.5t =时,155sin7.55sin5sin(4)5sin 24442x πππππ=⨯==-=-=-即物体在平衡位置的左方,距平衡位置2cm 处.例3 一半径为4m 的水轮如图4所示,水轮圆心O 距水面2m,已水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P 从 水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数; (2)点P 第一次到达最高点大约要多少时间?解析 (1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转,如图2所示, 建立直角坐标系. 设角ϕ (0)2πϕ-<<是以O x 为始边,OP 0为终边的角.由OP 在ts 内所转过的角为52()606t t ππ⨯=,可知O x 为始边, OP 为终边的角为6t πϕ+,故P 点纵坐标为4sin()6t πϕ+,则4sin()6y t πϕ=+.当0t =时,2y =-可得1sin 2ϕ=-.因为02πϕ-<<,所以6πϕ=-,故所求函数关系式为4sin()66y t ππ=-. (2)令4sin()66y t ππ=-=45,得sin()166t ππ-=.取662t πππ-=,解得4t =.故点P 第一次到达最高点需要4s .小结 实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它．因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．练习3.如图5，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12 分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米.如果你 从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的 变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答 下列问题：（Ⅰ）求出你与地面的距离y 与时间t 的函数关系式； （Ⅱ）当你第4次距离地面60.5米时，用了多少时间？ （Ⅲ）当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮 最低处登上摩天轮，问你的朋友登上摩天轮多少 时间后，你和你的朋友的距离之差最大？ 并求出最大值.分析：在摩天轮运转的过程中,两个人的与地面的距离之差实质为一个函数()[40.540cos(2)](40.540cos)40[coscos(2)]6666g t t t t t ππππ=-+--=-+如何求此函数的最值?在第三章中将有介绍.本题中由于周期数据的特殊性,可直接得出该结论.解析：（Ⅰ）可以用余弦函数来表示该函数关系式,由已知可设40.540cos ,(0)y t t ω=-≥,由已知周期为12分钟可知当6t =时到达最高点,即函数取得最大值,知80.540.540cos6ω=-,即得cos 61,ω=-∴6ωπ=,即解得6πω=. ∴)0(,6cos405.40≥-=t t y π.（Ⅱ）令40.540cos 60.56y t π=-=, 得1cos 62t π=-,∴263t π=π或463t ππ=,解得4t =或8t =, 故第四次距离地面60.5米时，用了12+8=20分钟.（Ⅲ）你和你的朋友距离之差最大,此时你必须在你的朋友的正上方,或你的朋友在你的正上方,由周期性知,再过2分种后,你恰在你的朋友的正上方,再过半个周期时,恰相反,故过6k ＋2 (k Z ∈)分钟后距离之差最大，最大值为40米课堂演练1. 函数y =－x ·cos x 的部分图象是( )D 解析：函数y =－x cos x 是奇函数，图象不可能是A 和C ，又当x ∈(0,2π)时， y ＜0.2.下列四个结论中正确的个数是 ①y =sin|x |的图象关于原点对称②y =sin （|x |+2）的图象是把y =sin|x |的图象向左平移2个单位得到的 ③y =sin （x +2）的图象是把y =sin x 的图象向左平移2个单位而得到的 ④y =sin （|x |+2）的图象是由y =sin （x +2）（x ≥0）的图象及y =－sin （x －2）（x <0）的图象组成的 A.1 B.2 C.3 D.4B 解析: y =sin|x |是偶函数,其图象关于y 轴对称,其向左平移两个单位可得y =sin|x +2|, 故 ①②不正确,而③④正确.故应选B.3.关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π)(x∈R)，有下列命题:①由f(1x )＝f(2x )＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可以改写成y ＝4cos(2x －6π)； ③y＝f(x)的图像关于点(－6π，0)对称； ④y＝f(x)的图像关于直线x ＝－6π对称. 其中正确的命题序号是_________.(注:把你认为正确的命题序号都填上)②③本题综合考查正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 的性质、图象特征及诱导公式等基本知识. ①由)32sin(4)(π+=x x f 知.22ππ==T 而图象是每半个周期与x 轴相交一次，所以x 1–x 2必是2π的整数倍，此命题不正确. ②因)62cos(4)62cos(4)]32(2cos[4)32sin(4)(πππππ-=+-=+-=+=x x x x x f 此命题正确.③因x y 2sin =的图象关于原点对称，则)]6(2sin[π+=x y 的图象关于)0,6(π-对称，此命题正确. ④)32sin(4)(π+=x x f 的对称轴为)32(21πππk x +-=即),(212Z ∈+=k k x ππ故6π-=x 不是对称轴，此命题不正确.4.估计某一天的白昼时间的小时数D （t ）可由下式计算：D （t ）=2k sin π180（t －60）+12,其中t 表示某天的序号，t =0表示1月1日，依此类推，常数k 与某地所处的纬度有关.（1）如在波士顿，k =6，试画出函数当0≤t ≤360时的图象；（2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？（3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时？解析：（1）先用五点法画出f （t ）=3sin π180（t －60）的简图，由π180（t －60）=0及 π（t －60）=2π,得t =60及t =420，列出下表：若t =0,f （0）=3sin π3因为f （x ）的周期为360，∴f （360）将f （x ），t ∈［0,360］图象向上平移12个单位，得D（t）的图象，如图所示.（2）白昼时间最长的一天即D（t）取最大值的一天，此时t=150对应的是5月30日（闰年除外）.类似地，t=330时，D（t）取最小值，即12月20日白昼最短.（3）D（t）>10.5,即3sinπ180（t－60）+12>10.5, 3sinπ180（t－60）>－23,t∈［0,360］.∴ 270>t>30,270－30=240. 有240天的白昼时间超过10.5小时.。

浅谈高中数学建模核心素养的培养-----以“三角函数的应用”教学为例数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。

——恩格斯。

21世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化。

一方面，数学因其日益公理化、形式化而忽视与现实生活的密切联系。

另一方面，因数学应用的发展，数学几乎渗透到每一个学科领域及人们生活的方方面面。

割断数学与现实生活的联系的教学内容、教学方式，不仅会极大地降低学生数学学习的热情与动力，而且会造成学生对数学学科的错误理解，更无法让学生感受到数学在日常生活中的作用。

因此，必须沟通生活中的数学与教科书上的数学之间的联系，使数学与生活融为一体。

数学建模就很好的搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。

《普通高中数学课程标准2021年版》指出：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建构模型解决问题的过程。

数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。

数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。

数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。

从核心素养的角度认识数学建模，这中间有三层意思：一是对现实问题的数学抽象，二是用数学语言表达问题，三是用数学方法构建模型解决问题。

通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。

数学建模的学业质量被划分成递进的三个水平，一了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义。

知道数学建模的过程包括：提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型。

能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题。

第 14 课时： 1.3.4三角函数的应用（一）【三维目标】： 一、知识与技能1. 会由函数)sin(ϕω+=x A y 的图像讨论其性质；能解决一些综合性的问题。

2.会根据函数图象写出解析式；能根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．3.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力 二、过程与方法1. 通过具体例题和学生练习，使学生能根据函数图象写出解析式；能根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．2.并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。

三、情感、态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。

【教学重点与难点】：重点：待定系数法求三角函数解析式;难点：根据函数图象写解析式；根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ． 【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题复习：1.由函数sin y x =的图象到sin()y A x ωϕ=+的图象的变换方法：方法一：先移相位，再作周期变换，再作振幅变换； 方法二：先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换。

2.如何用五点法作)sin(ϕω+=x A y 的图象？ 3.ϕω、、A 对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响作用 二、研探新知函数[(,),0),sin(+∞∈+=x x A y ϕω其中)0,0>>ωA 的物理意义：函数表示一个振动量时：A ：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”T ：ωπ=2T 往复振动一次所需的时间，称为“周期” f：πω==21T f 单位时间内往返振动的次数，称为“频率”ϕ+ωx ：称为相位ϕ：x = 0时的相位，称为“初相”三、质疑答辩，排难解惑，发展思维1．根据函数图象求解析式例1 已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。

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3。

4 三角函数的应用的重要函数模型。

1．三角函数模型的应用（1）三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(2）函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)的最大值为A ,最小值是－A ，周期是错误!,频率为|ω|2π。

(3)三角函数模型的三种应用模式:一是给定具有周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题;二是给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数解析式(函数模型），再解决其他问题;三是收集一组实际问题的调查数据，根据数据作出散点图,通过拟合函数图象，求出可近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．预习交流在建模过程中,散点图的作用是什么？提示:利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误．2．应用三角函数模型解实际问题的步骤第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景;在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步：根据所给模型,列出函数关系式，根据已知条件和数量关系，建立函数关系式；在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步:再将所得结论转译成实际问题的解答．一、三角函数在物理学中的应用表示电流I 与时间t 的关系式I ＝A sin （ωt ＋φ)（A ＞0,ω＞0）在一个周期内的图象，如图所示．(1)根据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；（2)I ＝A sin(ωt ＋φ）中的t 在任意一段错误!秒的时间内都能使I 同时取到最大值｜A |和最小值－｜A |，那么正整数ω的最小值为多少？思路分析:（1）由一个周期内的图象可确定图象的五个关键点，据此可求出解析式．（2)画图分析得:要使任意一段1100秒的时间内I 能同时取到最大值和最小值，需要满足周期T ≤错误!。

三角函数阶段复习一、课题：三角函数阶段复习二、教学目标：1.复习巩固三角函数的定义、定义域；2.进一步理解三角函数的符号与角的终边所在位置的关系；3.进一步掌握三角函数的基本关系式〔五个〕，并能熟练应用关系式解题。

三、基础训练：1．角α的终边过点(,3)a a (0)a ≠，那么sin α= ，tan α= ． 2．假设α是第四象限角，那么πα-是第 象限角，2πα-是第 象限角。

3．假设23cos 4m m α-=-，且α为二、三象限角，那么m 的取值范围是 ． 4．sin cos 2θθ-=，那么44sin cos θθ+= ．5．集合2{|2,}3A k k Z πααπ==±∈，2{|4,}3B k k Z πββπ==±∈， 2{|,}3C k k Z πγγπ==±∈，那么这三个集合之间的关系为〔 〕()A A B C ⊆⊆ ()B B A C ⊆⊆ ()C C A B ⊆⊆()D B C A ⊆⊆四、例题分析：例1 求值：sin(1740)cos(1470)cos(660)sin750tan 405-⋅+-⋅⋅．例2 cos 0α>，且tan 0α<，求〔1〕角α的集合；〔2〕2α、3α终边所在的象限；〔3〕试判断cot2α，sin2α，cos2α的符号。

例3 化简：〔1〕sin (sin tan )tan (cos sin )1cos ααααααα+-++；〔202πα<<〕例4 证明：〔1〕cos sin 2(cos sin )1sin 1cos 1sin cos αααααααα--=++++；〔2〕22tan 2tan 1αβ=+，求证：22sin 2sin 1βα=-．五、课后作业：1．αcos α= ．2．假设α是三角形的内角，且3sin cos 4αα+=，那么此三角形一定是 〔〕()A 等边三角形 ()B 直角三角形 ()C 锐角三角形 ()D 钝角三角形3．假设sin cos 1αα=-，那么角α的取值范围是 ．求证：〔1〕1sec tan 1sin 1sec tan cos αααααα+++=+-；〔2〕22222(1sin )(sec 1)sin (csc cot )A A A A A --=-． 3sin 5m m θ-=+，42cos 5m m θ-=+，其中2πθπ<<，求满足条件的实数m 的取值的集合。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(50)必修4_01 三角函数的应用班级 姓名目标要求1. 掌握三角函数的图象与性质；2. 利用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型.重点难点：建立三角函数的模型.典例剖析例1 如图所示，某地一天从2时到14时的温度变化曲线近似满足函数()sin()p t y A x b ωϕ==++，（1）求这一天的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.例2 在图中，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.（1） 求物体对平衡位置的位移x （cm ）和时间t （s ）之间的函数关系；（2） 求该物体在t=5s 时的位置.例3 一半径为4m 的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟按逆时针转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P）开始计算时间.（1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？4 课堂练习1．图中是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式________________________.2．甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为45，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为__________________________.课堂小结1．三角函数能够模拟现实中的许多周期现象，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数模型，利用三角函数性质解决；2．解决三角函数应用问题主要分三步：第一步把实际问题化归为数学问题；第二步解决数学问题；第三步把数学问题还原成实际问题.江苏省泰兴中学高一数学作业(50)班级 姓名 得分1、如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s （单位 cm ）和时间t （单位s ）的函数关系式为6sin(2)6s t ππ=+，那么单摆来回摆动 一次所需的时间为 __________s2、 如图中，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向.若已知振幅为5cm ，周期为4s ，且物体向右运动到平衡位置时开始计时，（1）求物体对平O衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系；（2）求该物体在t=7.5s时的位置.3、心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值 .设某人的血压满足函数式()11525sin(160)p t为血压（mmHg）,t为时间（ min）, 试回答下=+，其中()p t tπ列问题：（1）求函数()p t的周期；（2）此人每分钟心跳的次数；（3）画出函数()p t的草图；（4）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值比较.4、一个大风车的半径为8 m，12min旋转一周，它的最低点离地面2m（如图所示），求风车翼片的一个端点P离地面距离h(m) 与时间t(min)之间的函数关系，其中点P的起始位置在最低点处.5、如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地.现一开发商想在平地上建一个有边落在BC与CD 上的矩形停车场PQCR，写出矩形停车场面积S关于 的函数关系式..。

2019-2020年高中数学 1.3.4《三角函数的应用》教案苏教版必修4一、教学目标：1.掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；2.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力；3.能用计算机处理有关的近似计算问题.二、重点难点：重点是待定系数法求三角函数解析式;难点是选择合理数学模型解决实际问题.三、教学过程：【创设情境】三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用.【自主学习探索研究】1．学生自学完成P42例1点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.（1）求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系；（2）求该物体在t=5s时的位置.（教师进行适当的评析.并回答下列问题：据物理常识，应选择怎样的函数式模拟物体的运动；怎样求和初相位θ；第二问中的“t=5s时的位置”与函数式有何关系？）2．讲解p43例2(题目加已改变)2．讲析P44例3海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮是返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的近似数值.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？问题：（1）选择怎样的数学模型反映该实际问题？（2）图表中的最大值与三角函数的哪个量有关？（3）函数的周期为多少？（4）“吃水深度”对应函数中的哪个字母？3．学生完成课本P45的练习1，3并评析.【提炼总结】从以上问题可以发现三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用，而待定系数法是三角函数中确定函数解析式最重要的方法.三角函数知识作为数学工具之一，在以后的学习中将经常有所涉及.学数学是为了用数学，通过学习我们逐步提高自己分析问题解决问题的能力.四、布置作业：P46 习题1.3第14、15题2019-2020年高中数学 1.3.4三角函数的应用练习（含解析）苏教版必修4情景：如图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m，风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．思考：你能求出函数h＝f(t)的关系式吗？你能画出它的图象吗？1．已知函数类型求解析式的方法是________．答案：待定系数法2．在y＝A sin(ωx＋φ)的解析式确定中最关键是确定________，可通过________来确定．答案：ω周期3．三角函数平移变换改变图象的________，伸缩变换改变图象的________．答案：位置形状4．函数y ＝f (x )与y ＝f (|x |)图象关系是___________________________________________________________ __________________________________________________________.答案：y ＝f (x )在y 轴右侧的图象关于y 轴对称的图象，连同y ＝f (x )在y 轴右侧的图象在一起，即是y ＝f (|x |)的图象(也包括与y 轴的交点)5．函数y ＝f (x )与y ＝|f (x )|图象关系是___________________________________________________________ __________________________________________________________.答案：y ＝f (x )在x 轴下方的图象关于x 轴对称的图象，连同y ＝f (x )在x 轴上方的图象在一起，即是y ＝|f (x )|的图象(包括图象与x 轴交点)6．三角函数可以作为描述现实世界中________现象的一种数学模型． 答案：周期7．y ＝|sin x |是以________为周期的波浪型曲线． 答案：π8．在三角函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，(A ＞0，ω＞0)中，f (x )的最大值为M ，最小值为m ，则A ＝________，b ＝________，周期T ＝________，φ的值要利用________求得．答案：M －m 2M ＋m 2 2πω代点法9．用数学知识研究生活中的数学问题，应首先采集________，然后根据数据作出________，通过计算归纳函数关系式，再去研究它的性质，解决实际问题时最容易忽视的是__________________________________________________________．答案：数据 分析 实际问题中自变量的取值范围10．解三角函数的应用问题的基本步骤是________________________________________________________、 ______________、______________．答案：阅读理解，审清题意 收集整理数据，建立数学模型依据模型解答，求出结果 将所得结果转化成实际问题三角函数模型的应用三角函数的应用主要是其性质的应用，特别是三角函数周期性的应用，一些物理现象如单摆、匀速圆周运动等均用到三角函数的知识．建模的一般步骤数学应用题一般文字叙述较长，反映的事件背景新颖，知识涉及面广，这就要求有较强的阅读理解能力、捕捉信息的能力、归纳抽象的能力．解决此类函数应用题的基本步骤是：第一步，阅读理解，审清题意，读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步，根据所给模型，列出函数关系式．根据已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步，利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．第四步，再将所得结论转译成原有问题的解答．基础巩固1．如果音叉发出的声波可用f(x)＝0.002sin 520πt描述，那么音叉声波的频率是________．答案：2602．已知函数y ＝2sin ωx (ω＞0)的图象与直线y ＋2＝0的相邻两个公共点之间的距离为2π3，则ω的值为________． 答案：33．y ＝|sin 2x |的最小正周期是________． 答案：π24．下图是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象，则ω＝________，φ＝________．答案：2 π65．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为________．答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π66．若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的初相为π4，且f (x )的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，A ，则函数f (x )的最小正周期的最大值为________．答案：8π37．(xx·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解析：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．能力升级8．关于x 的方程sin ωx ＝cos ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ，b ＋πω上解的个数判断正确的是( )A ．只有一个解B ．至少有一个解C ．至少有两个解D ．不一定有解解析：本题考查y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象．由于y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx 的周期是2πω，而区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ，b ＋πω是半个周期的长度．y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx在半个周期内至少有一个交点，最多有两个交点．∴sin ωx ＝cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ，πω＋b 内至少有一个解．答案：B9．方程sin x ＝k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π上有两个不同解，则实数k 的取值范围是________．解析：作出y ＝sin x 和y ＝k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π上的图象，若两图象有两个交点，数形结合知12≤k ＜1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，110．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．解析：y ＝f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈（π，2π].在同一平面直角坐标系内画y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图．由图可知，当y ＝f (x )与y ＝k 的图象有且仅有两个不同交点时，k 的取值范围为1＜k ＜3.答案：(1，3)11．试结合图象判断方程sin x ＝lg x 的实根的个数．解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝sin x 与函数y ＝lg x 的图象，如图所示，要求方程sin x ＝lg x 的实根个数，只需求函数y ＝sin x 与函数y ＝lg x 的图象的交点个数．由于函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，且x >10时有y >1，所以交点只可能在区间(0，10)内．从图象可以看出，这时它们有3个交点，即方程sin x ＝lg x 有3个实根．12．函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()解析：∵y ＝xsin x 是偶函数，∴A 可排除；∵当x ＝2时，y ＝2sin 2>2，∴D 可排除；又∵当x ＝π6时，y ＝π6sinπ6＝π3>1，∴B 可排除．故选C.答案：C13．如下图所示，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动，求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求点的运动周期和频率．答案：y ＝r sin(ωt ＋φ)(t ≥0)，T ＝2πω，f ＝ω2π14．下图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ度角到OB ，设B 点与地面距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 间的函数解析式．解析：(1)如图，过点O 作地面的平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于点M .当θ＞π2时，∠BOM ＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2.当0≤θ≤π2时，上述关系式也适合． ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2. (2)点A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是π30rad/s. ∴t 秒转过的弧度数为π30t . ∴h ＝4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2＋5.6，t ∈[0，＋∞)．15．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价为8千元，7月份达到最低价为4千元，该商品每件的售价为g (x )(x 为月份)，且满足g (x )＝f (x －2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f (x )，售价函数g (x )的解析式；(2)问哪几个月能盈利？解析：(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意，可得A ＝2，B ＝6，ω＝π4，φ＝－π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6，1≤x ≤12且x ∈N *， g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －34π＋8，1≤x ≤12且x ∈N *. (2)由g (x )>f (x )，得sin π4x <22. 2k π＋34π<π4x <2k π＋94π，k ∈Z ， ∴8k ＋3<x <8k ＋9，k ∈Z.∵1≤x ≤12，k ∈Z ，∴当k ＝0时，3<x <9.∴x ＝4，5，6，7，8.当k ＝1时，11<x <17，∴x ＝12.∴x ＝4，5，6，7，8，12，故4，5，6，7，8，12月份能盈利．16．以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元；而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元．假设某商店每月购进这种商品m 件且当月能售完，请估计哪个月盈利最大，并说明理由．解析：设x 为月份，则由条件可得出厂价格函数为y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6，x ∈[1，12]且x ∈N *， 销售价格函数为y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －3π4＋8， 则利润函数 y ＝m (y 2－y 1)＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －3π4＋8－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4－6 ＝m ⎝⎛⎭⎪⎫2－22sin π4x ， 所以，当x ＝6时，y ＝(2＋22)m ，即6月份盈利最大．。

第一章三角函数本章复习整体设计知识网络1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得来了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．2．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂．《三角函数》一章知识网络图三维目标1．通过全章复习，让学生切实掌握三角函数的基本性质，会判定三角函数的奇偶性，确定单调区间及求周期的方法．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及六组诱导公式，弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图，掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明．3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想，激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于创新以及应用数学解决实际问题的能力．重点难点教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)了解一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用，并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用．由此展开全章的系统复习．思路2.(问题导入)你现在已经会求任意角的三角函数值，会画三角函数的图象，会用三角函数模型来解释现实生活中具有周期性变换规律的一些现象．你是如何学习到这些知识的？又是如何提高自己能力的？由此引导学生回顾全章知识的形成过程，进而展开全面复习．推进新课知识巩固①我们是怎样推广任意角的？又是怎样得到任意角的三角函数定义的？②本章学习了哪些同角三角函数的基本关系式？怎样推导的？③本章都学习了哪些诱导公式？各有什么用途？怎样记忆？④你是如何得到正弦曲线、余弦曲线和正切曲线的？⑤你能从图象上说出三角函数的哪些性质？活动：问题①，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居高临下地来掌握全章知识．问题②，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关系式的推导，并回忆这些公式的作用和应用方法技巧．利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，也就是要就角所在象限进行分类讨论．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义．sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.问题③，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式．以前学习的都是孤立的、零碎的，现在是放在一起记忆提高．幻灯片如下：问题④，三角函数性质是通过图象来研究的，而且画图、识图、用图也是对学生的基本要求．教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升．让学生明了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点)．这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数〔特别是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)〕的简图．教师同时打出幻灯(如图1、图2、图3)：图1图2图3问题⑤，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性等方面叙述．教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质非常重要，要牢固掌握，但不要死记硬背．讨论结果：①～⑤略．应用示例例1已知角α终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4(且均不为零)，求2sinα＋cosα的值．活动：本例属于较为简单的题目，目的是要学生熟悉任意角的三角函数定义，也要明确解题中的一种很重要的方法是回归定义．教师引导学生思考距离与坐标的不同、是否需要对点的坐标进行分类讨论，然后让学生独立完成此题．解：由题意，需对角α终边的位置进行讨论：①若角α终边过点P(4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋45＝2；②若角α终边过点P(－4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋－45＝25；③若角α终边过点P(－4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋－45＝－2；④若角α终边过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋45＝－25.点拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题．要指导学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点P 在角的终边上的位置无关.例2已知sin α＋3cos α＝0，求： (1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2的值．活动：教师引导学生观察本题的条件与结论，关键是求sin α与cos α的值，由sin α＋3cos α＝0及sin 2α＋cos 2α＝1联立方程组即得sin α与cos α的值．教师进一步点拨：根据同角三角函数的基本关系，不直接求sin α与cos α的值，需作怎样的变形即可？对看出本题由已知可得tan α＝－3的同学教师给予鼓励并作进一步探究，对看不出这一步的学生再给予进一步引导，直至其独立解出此题．解：(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α＝3－tan α3＋tan α＝3＋33－3＝－2－ 3.(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2＝4sin 2α－3sin αcos α＋2cos 2α＝cos 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋tan 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋－2(4×9＋3×3＋2)＝4710.点拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值．对于只含有正弦、余弦函数的齐次式，在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为“1”的代换，在今后的学习中经常用到，应要求学生仔细体会并熟悉掌握.变式训练1．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，求tan α的值．解：由sin α＋cos α＝15平方整理，得sin αcos α＝－1225<0.∵α为三角形的内角，∴0<α<π，sin α>0，cos α<0. ∴sin α－cos α>0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，∴sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.点拨：本题主要考查同角三角函数的基本关系式．对于三角求值题目，一定要注意角的范围，有时要根据所给三角函数值的大小，适当缩小所给角的范围，才能求出准确的值．教师要抓住时机就此进一步挖掘，以激起学生的探究兴趣．2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，π2<θ<π，则m 的取值范围是… ( )A ．3≤m≤9B ．m≤－5或m≥3C ．m ＝0或m ＝8D ．m ＝8 答案：D例3已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22)，与x 轴正半轴的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．活动：本例是一道经典例题，主要考查三角函数模型的应用及训练学生的分析思维能力，对数形结合的思维要求也较高．教师可引导学生展开思考讨论，怎样根据题目中给出的条件找到思维的切入点．题目中虽然没有直接给出图象，实质是已知图象求解析式问题．指导学生画出草图，利用数形结合来深化题意的理解，事实上，学生很容易看出A 的值．如果学生没找出周期问题，教师可进一步点拨：题目中告诉的x 轴的横坐标2与6表示图象的哪段．根据题意，知道点M 、N 恰是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)在对应于包含0的周期的那段图象的五个关键点中的两个．由此可知A 、T ，但要注意指导φ的求法．解：方法一：根据题意，可知T4＝6－2＝4，所以T ＝16.于是ω＝2πT ＝π8.又A ＝22，将点M 的坐标(2,22)代入y ＝22sin(π8x ＋φ)，得22＝22sin(π8×2＋φ)，即sin(π4＋φ)＝1.所以满足π4＋φ＝π2的φ为最小正数解．所以φ＝π4.从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R .方法二：由题意可得A ＝22，将两个点M(2,22)，N(6,0)的坐标分别代入y ＝22sin(ωx ＋φ)并化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ω＋φ＝1，ω＋φ＝0，故在长度为一个周期且包含原点的闭区间上， 有⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R .点拨：由三角函数图象求解析式确定φ时，答案可能不只一个，这里可提醒学生注意，习惯上一般取离x 轴最近的一个，这样的解析式简洁．本例对学生有着很高的训练价值，特别是数形结合思想、转化与化归思想的运用．数形结合是数学中重要的思想方法，对各类函数的研究都离不开图象，在中学阶段，几乎所有函数的性质都是通过观察图象而得到的.log(sinx－cosx)．例4已知函数f(x)＝12(1)求它的定义域；(2)判断它的奇偶性；(3)判断它的周期性．图4活动：这是一组知识性很强的基础题，要求学生全面掌握有关三角函数的定义和性质．教师可先让学生自己动手操作，必要的时候给予点拨帮助．本题的关键是熟悉三角函数线或三角函数图象，利用数形结合直观性训练学生快速解题．如图4、图5.图5解：(1)x 必须满足sinx －cosx>0，利用图4或图5，知2k π＋π4<x<2k π＋5π4(k∈Z )，∴函数定义域为(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k∈Z .(2)∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称， ∴f(x)不具备奇偶性．(3)函数f(x)的最小正周期为T ＝2π.点评：利用单位圆中的三角函数线或正、余弦线可知：以第Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx －cosx 的符号；以第Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx ＋cosx 的符号．要让学生在深刻理解的基础上记忆这点，因函数的定义域是函数的核心，故研究函数的性质都必须以函数的定义域为前提. 变式训练1．如图6，⊙O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在⊙O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为(45，－35)，∠AOC＝α(α为锐角)．图6(1)求⊙O 的半径，并用α的三角函数表示C 点的坐标； (2)若|BC|＝2，求tan α的值． 解：(1)⊙O 的半径r ＝452＋－352＝1，点C(cos α，sin α)．(2)在△BOC 中，由于|OB|＝|OC|＝1，|BC|＝2， ∴∠COB 是直角． 由三角函数的定义，知cos(α－90°)＝sin α＝45，且α为锐角，故cos α＝35，tan α＝43.2.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点(π3，0)对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称答案：A知能训练教科书复习题1～18.课堂小结提出问题让学生回顾总结，通过本节复习，系统掌握三角函数有关知识，你对三角函数有什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函数式的化简、求值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起归纳总结，共同完成本节小结．作业已知函数f(x)＝sin πx 图象的一部分如图7(1)，则图7(2)的函数图象所对应的函数解析式可以为( )图7A ．y ＝f(2x －12) B ．y ＝f(2x －1)C ．y ＝f(12x －1)D ．y ＝f(12x －12)答案：B设计感想1．本章复习课只安排了1课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处、在思维的提高上给予指导、点拨．建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳的方法直接告诉学生．2．加强学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供在可见的未来使用，或可供你终身受用．现在需要的最重要的技能是如何学习”．因此数学课的学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程．也就是说，学习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程．在本章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题．3．复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验．备课资料一、备用习题1．已知集合A ＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z }，B ＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z }，C ＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z }，那么集合A ，B ，C 之间的关系是( )A ．B AC B ．A B C C ．B C AD ．C B A2．若α是第四象限角，则π－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．一扇形的半径与弧长之比是3∶π，则该扇形所含弓形的面积与该扇形的面积之比是A ．(2π－33)∶2πB ．(6π－33)∶6πC ．(4π－33)∶4πD ．(8π－33)∶8π4．把函数y ＝4cos(x ＋π3)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．如果|x|≤π4，设函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最大值为M ，最小值为m ，则M m的值为… ( )A ．－54B ．－3－2 2C ．3＋2 2D ．－52＋526．已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的周期为1，最大值与最小值之差是3，且函数图象过点(18，34)，则函数表达式为( )A ．y ＝3sin(2x ＋7π12)B ．y ＝3sin(2x －π12) C ．y ＝32sin(2πx ＋π12) D ．y ＝32sin(2πx －π12) 7．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段的长为π4，则f(π4)＝__________.8．已知α、β∈(0，π2)，且α＋β>π2，求证：对于x∈(0，π)，有f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 参考答案：1．A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.08．由α＋β>π2，知α>π2－β. 又由α、β∈(0，π2)，知π2－β∈(0，π2)． ∵y＝sinx 在(0，π2)内为增函数，y ＝cosx 在(0，π2)内为减函数， ∴sin α>sin(π2－β)＝cos β，cos α<cos(π2－β)＝sin β.∴0<cos βsin α<1,0<cos αsin β<1. 又∵x∈(0，π)，∴(cos βsin α)x ＜1，(cos αsin β)x ＜1.∴f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 二、三角函数的拓展1．关于三角函数的发展史三角函数亦称圆函数，是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的总称．在平面直角坐标系xOy 中，在与x 轴正向夹角为α的动径上取点P ，P 的坐标是(x ，y)，OP ＝r ，则正弦函数sin α＝y r ，余弦函数cos α＝x r ，正切函数tan α＝y x ，余切函数cot α＝x y，正割函数sec α＝r x ，余割函数csc α＝r y. 这6种函数在1631年徐光启等人编译的《大测》中已齐备．正弦最早被看作圆内圆心角所对的弦长，公元前2世纪古希腊天文学家希帕霍斯就制造过这种正弦表，公元2世纪托勒密又制造了0°～90°每隔半度的正弦表．公元5世纪时印度最早引入正弦概念，还给出正弦函数表，记载于《苏利耶历数书》(约400年)中．该书中还出现了正矢函数，现在已很少使用它了．约510年印度数学家阿那波多考虑了余弦概念，传到欧洲后有多种名称，17世纪后才统一．正切和余切函数是由日影的测量而引起的，9世纪的阿拉伯计算家哈巴什首次编制了一个正切、余切表.10世纪的艾布·瓦法又单独编制了第一个正切表．哈巴什还首先提出正割和余割概念，艾布·瓦法正式使用．到1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中收入正弦、余弦、正切、余切、正割、余割6种函数，并附有正割表．他还首次用直角三角形的边长之比定义三角函数.1748年欧拉第一次以函数线与半径的比值定义三角函数，令圆半径为1，并创用许多三角函数符号．至此现代形式的三角函数开始通行，并不断发展至今．现在的许多教辅资料中，有关三角函数的运算都是6种函数的综合运算．2．关于三角函数的定义法三角函数定义是三角函数的核心内容．关于三角函数定义法，总的说来就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”，这两种方法本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的问题．因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确的．由上述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”，所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程．在老师们熟悉的“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值(如果有的话)都不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变等，对于确定的角α，上面三个比值都是惟一确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．”这恰恰说明了“以角α的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的．另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了．3．关于《新课程》中的三角函数种类《高中数学课程标准(实验)》只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是非常正确的．进一步地，三角函数中正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两个函数的运算(相除、取倒数等)而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的，因此教师在教学中没有必要对其他的三角函数再作补充．。