08-09-1学期-08《高等数学》试卷1答案

《高等数学（一）》作业参考答案一、求下列函数的定义域（1）[0，+∞]；（2）（-1，∞+）。

（3）(,1)(1,)-∞-∞ ；二、用区间表示变量的变化范围：（1）(],6-∞（2）[]2,0 （3）[]3,5-三、求下列极限(1）[]3313)1(lim )1(lim e x x x x x x x =+=+∞→∞→； (2)hh xh h x h x h h 202202lim )(lim +=-+→→ =x h x h 2)2(lim 0=+→(3)lim 1n n n →∞== (4）2211lim 1lim 2lim 12(lim x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→+-=+- =2 (5)0lim 1=∞→x x , 且2arctan π≤x , 0arctan lim =∴∞→xx x (6)xx x x x x x x sin 2sin 2lim sin 22cos 1lim 200→→=- =1sin lim 0=→xx x ; (7）)2)(1)(1(61lim 6)12)(2)(1(lim1213n n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ =;31(8)00sin 555lim lim ;sin 222x x x x x x →→== (9))45)(1()45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x +----=---→→ =2454lim 1=+-→x x x (10）31lim 3lim 13(lim 33=+=+∞→∞→∞→nn n n n ； (11);1lim sin )sin(lim 550550==→→xx x x x x (12)33lim 3tan lim 00==→→x x xx x x （13）32000sin 1cos sin 1lim lim lim 366x x x x x x x x x x →→→--=== （14）2222112211lim lim 134324x x x x x x x x x x →∞→∞+-+-==-+-+四、求下列函数的微分：（1）[])4sin(+=wt A d dy=)4sin(+wt Ad=)4()4cos(++wt d wt A=dt wt Aw )4cos(+(2)[])3cos(x e d dy x -=-=)3cos()3cos(x d e de x x x -+---=dx x e dx x e x x )3sin()3cos(-+----=[]dx x x e x )3cos()3sin(----五、求下列函数的导数 (1）463'2+-=x x y ；(2）x x x y 2sin cos sin 2'==；(3）)'ln 1(ln 11'2221x x y +⋅+⋅= =x x xx x x221ln 1ln ln 12ln 2+=+⋅(4)'1sin '(cos )tan ;cos cos x y x x x x-===- (5);ln 1ln )ln ('221'xx x x x x x y x -=-⋅== (6)'2')21()21(1)211('x x x y +⋅+-=+= =2)21(2x +-; (7)4)7(5'+=x y ;(8) 221212)'1('x x xe x e y ++=+⋅=;(9)3.013.13.13.1'x x y ==-; (10)22212)'1(11'x x x x y +=+⋅+=； (11)313)52(8)52()52(4'+=+⋅+=x x x y (12)x x x x y ln 1)'(ln ln 1'==六、求下列函数的二阶导数（1）x y +=11'， 2)1(1''x y +-=； （2）x x e x xe y 22222'+=x x x x e x xe xe e y 222224442''+++==)241(222x x e x ++（3）,cos 'x y = ;sin ''x y -=七、求下列不定积分(1）12x dx c-==⎰; (2)dx x xdx ⎰⎰+=22cos 1cos 2 =c x x ++2sin 4121; (3)c x x dx ++=+⎰1ln 1; (4)⎰⎰-=x xd xdx cos sin sin 23=x d x cos )cos 1(2⎰-- =⎰⎰-x d x xd cos cos cos 2 =c x x +-cos cos 313; (5)⎰⎰--=-14)14(4114x x d x dx =c x +-14ln 41; (6)⎰⎰⎰+=+x dx xdx dx x x822(8=28ln x x c ++; (7）dx x dx x x ⎰⎰+-=+)111(1222 =c x x +-arctan ; (8);21ln 2121)21(2121c x x x d x dx +--=---=-⎰⎰ (9);cos ln cos cos cos sin tan c x x x d dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰(10）⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 21ln 21ln 21ln 222 =⎰-xdx x x 21ln 212 =c x x x +-2241ln 21 (11) c x dx x xxdx +==⎰⎰3532353 （12）4222232223313(1)11(3)arctan 111x x x x dx dx x dx x x C x x x++++==+=+++++⎰⎰⎰ 八、求下列定积分：(1）[];2cos sin 00=-=⎰ππx xdx (2）[]11121arctan 1dx x x --=+⎰ =244)(πππ=--。

高等数学一考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10题）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L，意味着：A. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<εB. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-L|<εC. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当x≠a时，|f(x)-L|<εD. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当x>a时，|f(x)-L|<ε答案：B2. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：A4. 微分方程dy/dx = 2x的通解是：A. y = x^2 + CB. y = 2x^2 + CC. y = x + CD. y = 2x + C答案：A5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + 4 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... 答案：D6. 函数f(x) = e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. -e^(-x)答案：A7. 以下哪个函数在x=0处有极值？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x答案：B8. 以下哪个选项是二阶导数？A. f'(x)B. f''(x)C. f'''(x)D. f(x)答案：B9. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案：C10. 以下哪个函数是单调递增的？A. f(x) = -x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = e^(-x)D. f(x) = ln(x)答案：B二、填空题（每题3分，共5题）1. 函数f(x) = x^3在x=1处的导数是______。

2008～2009学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 已知向量a=(1,-1,4),b=(3,4,0),则以a,b为边的平行四边形的面积等于.⎛ππ1⎫2. 曲面z=sinxcosy在点 ,,⎪处⎝442⎭的切平面方程是x-y-2z+1=0.3. 交换积分次序⎰0dx⎰xf(x,y)dy=∞22⎰dy⎰f(x,y)dx002y. 14. 对于级数∑n（a＞0），当a满足条件n=1a 15. 函数y=展开成x的幂级数 2-xa>1时收敛.为∑xnn+12n=0∞(-2<x<2).二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 平面x-2z=0的位置是（ A ）（A）通过y轴（B）通过x轴（C）垂直于y轴（D）平行于xoz平面2. 函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数fx'(x0,y0)，fy'(x0,y0),是函数在该点可微分的（ C ）（A）充要条件（B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件 13. 设z=ex(cosy+xsiny)，则dzxy==10=（ B ）（A）e （B）e(dx+dy)（C）e-1(dx+dy) （D）ex(dx+dy)4. 若级数∑∞ann(x-1)在x=-1处收敛，n=1则此级数在x=2处（ D ）（A）敛散性不确定（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛5. 微分方程y'-xy=x的通解是（ D ）12（A）y=e2x-1 （B）y=-12x2e-112（C）y=Ce-12x2（D）y=Ce2x-1三、(本题满分8分)设平面通过点(3,1,-2)，而且通过直线x-45=y+32=z1，求该平面方程．解: 由于平面通过点A(3,1,-2)及直线上的点B(4,-3,0)，因而向量AB→=(1,-4,2)平行于该平面。

该平面的法向量为:n =(5,2,1)⨯(1,-4,2)=(8,-9,-22).则平面方程为: 8(x-4)-9(y+3)-22(z-0)=0. 或： 8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0. 2即： 8x-9y-22z-59=0.四、(本题满分8分)设z=f(x,y+x y其中f(u,v)，)具有二阶连续偏导数，试求∂z∂x和∂2z∂x∂y．解: ∂z∂x=f1y+f2,∂2z∂x∂y=∂∂y(f1y+f2)==(f11x+f1)2y+f1+f21x+f 2 =2 =xyf11+(x+y)f12+f1+f22五、(本题满分8分)计算三重积分y=⎰⎰⎰zdxdydz，Ω其中{(x,y,z)0≤x≤1,-1≤y≤1,1≤z≤2}．解:⎰⎰⎰22zdxdydz=⎰110dx⎰-1dyzdz=1 2zΩ⎰212=31六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分⎰L，其中L是圆周x2+y2=R2在第一象限的部分．解法一:⎰L==⎰RRRR0e=ReRarcsinxπRR=2Re解法二:⎰L==⎰RRRLeds=e L（L的弧长）=π2Re解法三: 令x=Rcoθs，y=Rsinθ，0≤θ≤π2，⎰L= π=⎰2R0eRdθ=π2ReR七、(本题满分9分) 计算曲面积分⎰⎰xdyd+zzd+z3dx，其中dxdy∑是柱面∑x2+y2=1与平面z=0和z=1所围成的边界曲面外侧．解: P=x,Q=z,R=3, 由高斯公式：⎰⎰xdyd+zzdz+3dxd= xdy∑=⎰⎰⎰⎛ ∂P∂Ω⎝∂x+Q∂y∂R⎫∂z⎪⎭dv=d=Ω⎰⎰⎰vπ八、(本题满分9分) 求幂级数∑∞nxn-1的收敛域及和函数．n=1解: 收敛半径：R=limann→∞a=1n+1易判断当x=±1时，原级数发散。

广州大学2008-2009学年第一学期考试卷课 程：高等数学（A 卷）（90学时） 考 试 形 式： 闭卷 考试一．填空题（每空2分，本大题满分16分）1．设⎩⎨⎧≤>=1,1,1)(2x x x x f ，则=-))2((f f . 2. 若函数 ⎩⎨⎧>≤-+=0,)arctan(0,2)(2x ax x b x x x f 在0=x 处可导，则=a ，=b .3．曲线xx x y 122sin -=有水平渐近线=y ______和铅直渐近线=x ______. 4．已知1)(0-='x f ，则=+--→hh x f h x f h )2()(lim000.5．设50()(1)xf t dt x C =++⎰，则常数=C ______，=)(x f ____________.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当0→x 时, )ln(21x +是x 的( )无穷小.(A) 高阶 (B) 低阶 (C) 同阶 (D) 等价学 院专 业班级姓名学号2. 函数12+=x y 在点(1,2)处的法线方程为 ( ).(A) 252--=x y (B) 2521+-=x y (C) 252-=x y (D) 2521--=x y3．2x x f =)(在闭区间],[10上满足拉格朗日中值定理，则定理中的=ξ( ).(A)31 (B) 21 (C) 22 (D) 21-4. 若函数)(x f 在点0x x =处取得极值, 且)(0x f '存在，则必有 ( ) . (A) 0)(0='x f (B) 00>')(x f (C) 0)(0>''x f (D) )(0x f '的值不确定5. x x f ln )(=在),(+∞0内是 ( ).(A) 周期函数 (B) 凹函数 (C) 凸函数 （D ）单减函数三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分30分）1．212xxy -=arctan ，求dy .2．=y )sin(12+x ，求n （N n ∈）阶导数)()(x y n .3．设曲线参数方程为⎩⎨⎧-=-=321t t y t x ，求dxdy.4．求xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim .5．求)sin (lim xx x 110-→.四．计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分）1．⎜⎠⎛++dx x x x )(132222.2．⎜⎠⎛+901dx xx.3．⎰∞+-02dx e x x .五．（本题满分7分）.)(所围平面图形的面积求椭圆012222>>=+b a by a x六．（本题满分7分）设0>>a b ，()x f 在[]b a ,连续，在()b a ,可导。

2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》参考答案 选择题部分一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。

1.B 解析: 因为()()()())(cos )1(cos 122x f x x x x x f =+=-+-=-，所以该函数是偶函数，因此选项B 正确。

2.D 解析: 1lim lim 0)0()(lim )0(000-=-==--='---→→→-xxx x x f x f f x x x 1lim lim 0)0()(lim )0(000===--='-++→→→+x x x x x f x f f x x x ，因此)(x f 在点0=x 处连续但不可导，因此选项D 正确。

3.C 解析: 由题意可知，因为022>dx f d ，所以dxdf 单调递增，根据拉格朗日中值定理可得，)(01)0()1(ξf f f '=--，()1,0∈ξ，所以01)0()1(==>->x x dx dff f dx df ，因此选项C 正确。

4.C 解析:根据定义，22y x z +=表示的曲面为圆锥面，因此选项C 正确。

5.A 解析:()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则由罗尔定理得：至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()0='ξf ，即：曲线()x f y =上平行于x 轴的切线至少有一条，因此选项A 正确。

非选择题部分二、填空题: 本大题共10小题，每小题 4分，共40分。

6. 21解析: 2121lim 2sin 1lim 00=⋅=→→x x x x x x7. 2 解析: ()()()()2)1(22121lim 2121lim00='=-+=-+→→f x f x f x f x f x x8.x1 解析: 因为()x x f ln 2=，所以令x t 2=，得()2ln ln )2ln(-==t tt f ，因此：()2ln ln -=x x f ，所以()x dx x df 1=9. )3,1(- 解析: 因为曲线为x x x y --=233，所以1632--='x x y ，66-=''x y ，令0=''y ，解得：1=x ，且当1<x 时，0<''y ，函数为凸函数；当1>x 时，0>''y ，函数为凹函数；因此拐点为：)3,1(-10. 211x+ 解析: 依题意可知：C x dx x f +=⎰arctan )(，两边求导后可得：211)(x x f +=11. )(x f - 解析: 根据变限积分函数求导公式可得：())(2x f dt t f dx d x-=⎰12.332π 解析:利用定积分计算的奇偶性性质可得：()ππππ03022322x dx x dx x x ==+⎰⎰-332π=13. ()22sin 2y x x +- 解析: )sin(22)sin(2222y x x x y x x z+-=⋅+-=∂∂14. ()⎰⎰110,ydx y x f dy解析: ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==11010),(),(),(yx dxy x f dy dxdy y x f dy y x f dx15. 0224=-+-z y x 解析: 平面∏的法向量为：=→n )2,1,4(-，由点法式可知，该平面方程为：0)1(2)0()1(4=++---z y x ，即：0224=-+-z y x三、计算题：本题共有10小题，每小题6分，共 60分。

西南财经大学2008——2009学年第一学期 《高等数学》期末闭卷考试题参考解答一. 填空题（请将正确答案填在题中的横线上，每小题2分，共20分）：1．设已知12(log )1,a f x x -=+则()f x ＝1log (1)(1)2a x x ->.2．0limx +→=3．若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.4．.函数21()(1)x e f x x x -=-的可去间断点是x 0 = 0 , 补充定义f (x 0) = – 2 ,则函数f (x )在x 0处连续.5．设函数)sin 1ln()(2x x f -=，则=)4('πf – 2 .6．设五次方程54320123450a x a x a x a x a x a +++++=有五个不同的实根，则方程4320123454320a x a x a x a x a ++++=最多有 4 个实根. 7．设函数()() ()1n xf x f x x=+、则＝1(1)(1)!(1)n n n x +-+-+ . 8．已知f (x )的一个原函数为ln 2 x ，则()xf x dx '=⎰ 2ln x - ln 2 x + C .9．300()(),10,()aaf x x f x dx a f x dx =-+≠=⎰⎰设 则44(1)a a +. 10．2lim ().a xt x x a te dt a x a-∞→+∞+==-⎰若,则常数52.二、单项选择题（每小题2分，共10分）：1．设函数y =的定义域是[-4，-π]∪[0，π]，则()g x =（ ① ）.① sin x ② cos x ③ tan x ④cot x2．“0()x x f x A →当时，－为无穷小量”是“0lim ()x x f x A →=”的( ③ ) .① 充分但非必要 ② 必要但非充分③ 充要条件 ④ 既非充分也非必要 3．设()x y f e -=, 则dy = ( ④ ) .① '()x x f e de --- ② '()()x f e d x --③'()x x f e e dx -- ④'()x x f e de -- 4．1()()()(01).1n f x n R x xθ==<<-的阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项 ①111(1)(1)n n x n x θ+++- ② 11(1)(1)(1)n n n x n x θ++-+- ③ 121(1)n n x x θ++- ④ 12(1)(1)n n n x x θ++-- 5．在开区间),(b a 内，)(x f 和)(x g 满足)()(''x g x f =，则一定有（ ④ ）① )()(x g x f =； ② 1)()(+=x g x f ； ③ ⎰⎰='')]([])([x g dx x f ； ④ ⎰⎰=)()(x dg x df .三、计算下列各题（每小题7分，共49分）：1．求极限01lim sin x x x e xe x x→-+.解：2001(1)lim lim sin ()x x x x x x e xe e xe x x x →→'-+-+='3分 0l i m 2x x xx e e x e x→-++= 6分 1.2= 7分2. 已知arccos ,0(),0x x f x ax b x ≥⎧⎪=⎨+>⎪⎩在x = 0处可导，求常数b a ,.解：因为f (x )在x = 0处可导必连续，所以00lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→== 2分 2b π=得 3分又因为f (x )在x = 0处可导，所以0()(0)limx f x f x→-存在 4分000arccos 2lim lim 1()2lim , 1(0).x x x x x ax b a a f xππ→→→-=-=-+-'=∴=-=＋＋－7分3.arctan'"y xe y x y y =确定是的函数,求与.解：arctan221'1()y xy x yey x x-=⋅⋅+ 2分arctan((')'y xx yy e y x y x yy x y+=-+∴=-化简得 4分22222(1')()()(1')2(')"()()2()'"()y x y x y y xy y y x y x y x y y y x y +--+--==--+=-又将代入上式化简得 7分4. dx t A dy t A t f y ex t f t f t f )()()(cos 0)()(2)(=⎪⎩⎪⎨⎧==≠'使试求若可微且设. 解：22()()sin ()2()'()2()sin ()()'() f t f t dy f t f t f t f t f t A t dx e f t e--==＝ 5分 2()2()sin ()f t f t f t dy dx e-∴= 7分5. 求⎰+dx x xx 2ln . 解： 22ln ln ln x x xdx x dx x x+=+⎰⎰ 2分 1ln ln x xd x -⎰＝ 4分2ln 1ln x x dx x x -+⎰＝ 6分 l n 1ln x x x x--＝＋C 7分 6. 22(),(1)();(2)()x t F x e dt F x y F x -==⎰设试求：的极值曲线的拐点的横坐标22444(1)'()[]'200"()2(14),"(0)200()()(0)0.x t x x F x e dt e x x F x x e F x F x F x F ---==⋅⇒==-=>∴==⎰解： 令是的极小值点,的极小值为 3分4412 (2)"()2(14)0 "()0,"()0,"()0,() x F x x e x x x F x x F x x F x y F x x -=-⇒==∞<<<<<><<+∞<∴==又令当-时, 当时, 当时,曲线拐点的横坐标为 7分7．计算2121sin ()1x xf x dx x -+=+⎰. 解：22112211sin 11()11x xx f x dx dx x x --++-==++⎰⎰ 3分 1211(1)1dx x-=-+⎰ 5分 1022arctan 22x π=-=-7分 四、应用题（每小题8分，共16分）：1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半园.截面的面积为5m2. 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解：设截面的周长为 l , 已知22xl x y π=++ 1分截面的面积为2()522x xy π+=,即 58xy x π=- 3分故10,()4x l x x xπ=++∈ 4分因为221020'1,"4l l x x π=+-=， 令'0l =得驻点x = 6分又因为"0l >，驻点唯一，故极小值点就是最小值点. 7分所以截面积的底宽为x =从而使建造时所用的材料最省. 8分2. 求抛物线243y x x =--及其在点(0,3)-和(3,0)处的切线所围成的图形的面积 .解：03'(42)4,'2 x x x y x y ====-==- 2分所以抛物线243y x x =--在点(0,3)-和(3,0)处的切线方程分别为43,26y x y x =-=-+ 2分且这两条切线的交点为3(,3)2，则所求图形的面积为332223029(4343)(2643)4S x x x dx x x x dx =--+++-+-++=⎰⎰ 8分五、证明题（5分）：证明：当x > 0时，xxx x +>+1ln )1ln(. 证明 令()ln f t t t =， 1分()f t 在区间]1,[x x +上满足拉格朗日中值定理，于是在)1,(x x +中存在至少一点ξ，使得 xx xx x x f -+-++=+=1ln )1ln()1(1ln )(ξξ即 1ln ln )1ln()1(+=-++ξx x x x 2分 而x x +<<<11ξ，又因为01ln >+ξ，所以x x x x ln )1ln()1(>++， 即 xxx x +>+1ln )1ln(.（ x > 0） 2分。

一.填空题(4分*7题=28分)1.设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导,则a = , b = . 答案: a =2 ; b =－1 . 2.设函数y =y (x )由xy =e x +y 确定,则dy = .答案: dy x xe e y y x y x d --=++或者dy x x xy xy y d --= 3.⎰10ln xdx = . 答案:－1 . 4.函数f (x )=xe x 的n 阶麦克劳林公式= .答案:132!)!1(1 !21++-+⋅⋅⋅+++=n x n x x n e x n x x x xe θ(0<θ<1), 或者余项为o ( x n ) . 5.求1+-=x xy 的n 阶导数)(n y = . 答案: n n x n n y )1(!)1()(+-=6.由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形,绕y 轴旋转所得旋转体的体积= . 答案:π564. 7.向量a =(2,2,2),b =(1,2,4)构成的平行四边形的面积= . 答案: 214二.选择题(4分*3题=12分) 1.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-,01),1ln(,0,)(11x x x e x f x 则x =0是f (x )的( ). A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点.答案: B.跳跃间断点.2.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x f ,则)(x f 在0=x 处( ). A 连续,不可导 ; B 不连续,可导; C 连续且可导; D 不连续,不可导 答案: C 连续且可导.3.星形线x =acos 3t , y =asin 3t 所围成图形的面积为( ). A.⎰'2033)cos (sin 2πdt t a t a ; B.⎰'0233)cos (sin 2πdt t a t a ; C.⎰'2033)cos (sin 4πdt t a t a ; D.⎰'0233)cos (sin4πdt t a t a答案: D.三.计算下列各题1.(6分)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→x x x 1)1ln(1lim 0x x x x x ln )1ln(lim 0+-=→ 20)1ln(lim x x x x +-=→ xx x 2111lim 0+-=→ 21)1(21lim 0=+=→x x . 2.(6分) 21)(cos lim x x x → 答案:原式1co s0lim x x x e -→=212lim 220--==→e e x x x3.(7分)设22,t t y te x t+==,求022|=t dx y d . 答案:2220=++==t t t te e t dx dy ，2)()2)(22()(20222-=+++-+==t t t t t t t te e te e t te e dx y d 4.(7分)确定函数f (x )=(x -1)(x +1)3的单调区间和极值.答案：y '=(x +1)3+3(x -1)(x +1)22)1)(21(4+-=x x . 当21<x 时, y '<0; 函数在]21 ,(-∞内单调减少, 当21>x 时, y '>0, 函数在) ,21[∞+内单调增加. f (1/2)=－27/16极小值，无极大值.四.(7分)求与两平面 x -4z =3和2x -y -5z =1的交线平行且过点(-3, 2, 5)的直线的方程. 解 平面x -4z =3和2x -y -5z =1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s ,)34(512 401 )52()4(k j i k j i k j i k i s ++-=---=--⨯-=, 所求直线的方程为 153243-=-=+z y x . 五.计算下列各题1.(7分)⎰+221x x dx解答：设t x tan =原式=⎰t t tdtsec tan sec 22⎰=t tdt2sin cosC t +-=sin 1C x x ++-=212.(6分)⎰10arctan xdx x答案:原式=⎰=102arctan 21xdxx d x x x x ⎰+⋅-=10221021121arctan 21x d x ⎰+--=10)111(218π10)arctan (218x x --=π.214)41(218-=--=πππ六.(7分)求抛物线y =1-x 2在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解: 设抛物线切点为)1,(2x x M -,则该点处的切线方程为 )(2)1(2x X x x Y --=--它与x,y 轴的交点分别为,)0,(212x xA +)1,0(2+xB 所指面积S(x)=x x 2)1(2122+⎰--102d )1(x x 324)1(22-=+x x=')(x S )13()1(22412-⋅+x x x ,,0)(='x S 令得[0,1]上的唯一驻点33=x 0)(,33<'<x S x , 0)(,33>'>x S x ,因此是在[0,1]上唯一极小点.且为最小点. 故所求切线为34332+-=x y .七.(7分)设)(x f 具有连续的导数,dt t f t x x F x )()()(022⎰'-=,当0→x 时， )(x F '与2x 是等价无穷小,求).0(f '解答:⎰⎰⎰'-'='-=x x xdt t f t dt t f x dt t f t x x F 0002222)()()()()( ⎰⎰'='-'+'='x xdt t f x x f x x f x dt t f x x F 0022)(2)()()(2)( 000)(2lim )(lim x dt t f x x x F x x x ⎰'='→→ )0(2)(lim 2)(lim 20"00"00f x f xdt t f x x x '='='=→→⎰ 当0→x 时，2)(x x F ～'， 21)0(,1)0(2='='∴f f .。

2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.函数()()x x x f cos 12+=是（ ）.()A 奇函数 ()B 偶函数 ()C 有界函数 ()D 周期函数2.设函数()x x f =，则函数在0=x 处是（）.()A 可导但不连续 ()B 不连续且不可导()C 连续且可导 ()D 连续但不可导3.设函数()x f 在[]1,0上,022>dxfd ，则成立（ ）. 报考学校：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号：()A ()()0101f f dx df dx dfx x ->>== ()B ()()0110==>->x x dx dff f dx df ()C ()()0101==>->x x dx df f f dx df()D ()()1001==>>-x x dx dfdx df f f 4.方程22y x z +=表示的二次曲面是（ ）. (超纲,去掉)()A 椭球面 ()B 柱面()C 圆锥面()D 抛物面5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）.()A 至少有一条 ()B 仅有一条().C 不一定存在 ().D 不存在二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)1.计算_________________2sin 1lim0=→xx x 2.设函数()x f 在1=x 可导, 且()10==x dx x df ,则()().__________121lim=-+→xf x f x . 3.设函数(),ln 2x x f =则().________________________=dxx df 4.曲线x x x y --=233的拐点坐标._____________________5.设x arctan 为()x f 的一个原函数,则()=x f ._____________________6.()._________________________2=⎰x dt t f dxd 7.定积分().________________________2=+⎰-ππdx x x8.设函数()22cos y x z +=,则._________________________=∂∂x z(超纲,去掉) 9. 交换二次积分次序().__________________________,010=⎰⎰xdy y x f dx (超纲,去掉)10. 设平面∏过点()1,0,1-且与平面0824=-+-z y x 平行，则平面∏的方程为._____________________三.计算题:(每小题6分,共60分)1.计算xe x x 1lim 0-→.2.设函数()()x x g e x f x cos ,==,且⎪⎭⎫⎝⎛=dx dg f y ,求dx dy.3.计算不定积分()⎰+.1x x dx4.计算广义积分⎰+∞-0dx xe x .5.设函数()⎩⎨⎧<≥=0,0,cos 4x x x x x f ,求()⎰-12dx x f .6. 设()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰+=12dt t f e x f x ，求()x f .7.求微分方程xe dx dy dxy d =+22的通解.8.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.__________________报考专业：______________________姓名 准考证号9.设函数()yx yx y x f +-=,,求函数()y x f ,在2,0==y x 的全微分. (超纲,去掉)10.计算二重积分,()⎰⎰+Ddxdy y x22，其中1:22≤+y x D . (超纲,去掉)四.综合题:(本题共30分,其中第1题12分，第2题12分，第3题6分) 1.设平面图形由曲线x e y =及直线0,==x e y 所围成,()1求此平面图形的面积;()2求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积.2.求函数1323--=x x y 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.3.求证:当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11.2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》参考答案一. 选择题:(每小题4分,共20分)二..填空题:(每小题4分,共40分) 1.21; 2. 2; 3. x 1; 4. )3,1(-; 5. 211x+; 6. ()x f -; 7. 332π; 8.()22sin 2y x x +-; (超纲,去掉) 9.()⎰⎰110,ydx y x f dy ; (超纲,去掉)10. 224=+-z y x .三．计算题(每小题6分,共60分)1.解法一.由洛必达法则,得到1lim 1lim 00xx x x e xe →→=- …………..4分1=. …………6分解法二.令t e x=-1, 则 ()t x +=1ln ……….. 2分于是, ()11ln lim 1lim 00=+=-→→t tx e t x x . …………6分2.解.x dxdgsin -=, ()x e x f dx dg f y sin sin -=-=⎪⎭⎫⎝⎛= …………3分 故 x e dxdyx cos sin --=. ………..6分3. 解法一.令t x =,,则2t x =, ………..2分()()⎰⎰⎰+=+=+=+.arctan 21212122C t tdtt t tdt x x dx……….5分 C x +=arctan 2. ……….6分解法二.()()⎰⎰=+=+21)(21x x d x x dx ……….4分C x +=arctan 2. ……….6分4.解.⎰⎰+∞-∞+-+∞-+-=0dx e xedx xe x x x……….3分10=-=+∞-xe . ………..6分5.解.()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=---1024100212cos xdx dx xdx x f dx x f dx x f ……….3分1sin 532sin 5110025+=+=-x x . ……….6分 6.解. 设()A dx x f =⎰10,两边对已给等式关于x 从0到1积分,得到()()⎰⎰⎰⎰+-=+=+=1101112122dx x f e A eAdx dx edx x f x x……….4分从而解得()e dx x f -=⎰11.. ………..5分代入原式得()()e e x f x -+=12. ……….6分7.解.特征方程为02=+k k ，得到特征根1,021-==k k ， ………..1分 故对应的齐次方程的通解为x e c c y -+=21， ………..3分 由观察法，可知非齐次方程的特解是xe y 21=*， ………..5分 因而，所求方程的通解为 x xe e c c y 2121++=-，其中21,c c 是任意常数. ……….6分8.解.因为()())11(114321ln 1432≤<-++-++-+-=++x n x x x x x x n n , ….3分 所以()221ln x x x =+())11432(1432 ++-++-+-+n x x x x x n n =())11(1143236543≤<-++-++-+-+x n x x x x x n n . ……..6分9解.()()222,2y x xy x y x y y f y x y y x y x x x f +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂, ……….2分(超纲,去掉) 从而()()0,12,02,0=∂∂=∂∂yf xf, ……….4分所以()()()()dx dy yf dx xf y x df =∂∂+∂∂=2,02,02,0,. ………6分10.解.采用极坐标变换,令θθsin ,cos r y r x == ,πθ20,10<≤≤<r , .2分(超纲,去掉)()⎰⎰⎰⎰=+132022dr r d dxdy y xDπθ ……….4分 2π=. ……..6分四.综合题:(每小题10分,共30分) 1.解法一(1).()⎰-=1dx e e S x……….4分()1110=+-=-=e e e ex x. ………..6分(2).()⎰-=122dx e eV x π………..9分()()12121212221022+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e e e e x e x πππ ………..12分解法二.(1)⎰-=1dx e e S x……….3分110=-=xe e . ………..6分(2).⎰-=122dx e e V xππ ……….9分()12221022+=-=ee e xπππ. …………12分2.解.定义域为),(+∞-∞,()23632-=-=x x x x dx dy ,令0=dx dy ,得到 2,021==x x (驻点), …….2分 (),1622-=x dx y d 由022=dx yd ,得到13=x , …….3分故 )0,(-∞),2(+∞为单调增加区间，（0，2）为单调减少区间; ……….10分 极大值为－1，极小值为－5, ……..11分)1,(-∞为凸区间，),1(+∞为凹区间 ………12分3.证明. 令()()],ln )1[ln(11ln x x x x x x F -+=⎪⎭⎫⎝⎛+= ()(),11ln 1ln 111ln 1ln +--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+=x x x x x x x x dx dF ……….2分 利用中值定理,()ξ1ln 1ln =-+x x ，其中1+<<x x ξ, …….4分所以0111>+-=x dx dF ξ,因此,当0>x 时，()x F 是单调增加的， ………5分 而e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→11lim , 所以当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11. ………..6分。

《高等数学（一）》练习题一参考答案一、是非题1——5对 错 对 错 错 2——6对 对 对 对 错 11——15错 对 对 错 对 16——20 错 对 错 错 错 21——25错 对 错 对 错 26——30 对 对 对 错 错二、选择题1——5 A B B B D 6——10 C A B A B 11——15 B D D D A 16——20 B B A B B 21——25 D B D B B 三、填空题1、2x； 2、充分； 3、1； 4、0； 5、2y x =-622x e --； 7、必要； 8、12-； 9、)1(21+=x y ； 10、0,1,2y x ==-11、1； 12、21dx x+； 13、2； 14、32y x =-； 15、充分性条件.16、22xxe； 17、dx ； 18、x = 19、1(1)2y x =-； 20、216x x+.21、6e -； 22、1y =； 23、11e --； 24、23； 25、cos 2x dx .三、解答题1、00021limlimlim.4x x x x→→→===2、因为函数()f x 在点0x =连续，故其左右极限都应存在且相等，即由20lim ()lim (1)2xx x f x e--→→=+=，sin 22sin 22lim ()lim lim 2x x x x x f x ax axa+++→→→===，推得 221a a=⇒=. 3、 /////2312()1,()(1)2f x f x f xx=+=-⇒=-.4、因为(2)3f '=，而由定义可知2()(2)(2)lim2x f x f f x →-'=-，故所求极限2()(2)lim32x f x f x →-=-。

5、由243lim ()21x x ax b x →+∞+++=-，而2224343()(1)lim ()lim11(4)()3lim21x x x x x ax b x ax b x x a x b a x b x →+∞→+∞→+∞++++-++=--++--+==-存在，于是必有40,2a b a +=-=，可解得常数,a b 的值分别为-4，-2。

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题 1．函数y =）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位 9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．3C D ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；CDE AB（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．参考答案1、C 由x(x-1)≥0,x ≥0得x ≥1或x=0；2、A 根据汽车加速行驶S=221at ，匀速行驶s=vt ，减速行驶s=221at -结合函数图象可知。