八年级数学上册第七章平行线的证明4平行线的性质教案(新版)北师大版

平行四边形的性质（1）说课稿1、说教材一、教材分析四边形是日常生活中常见的一种图形。

它与其它他众多的几何图形一起构成了多姿多彩的世界。

平行四边形作为最基本的几何图形，作为“空间与图形”领域中研究的主要对象，它在实际生产和生活中有着广泛的应用，这不仅表现在日常生活中有很多平行四边形的图案，还包括其性质在生产生活各领域的实际应用。

平行四边形的性质和定义是研究线段和角相等的一种重要工具，它为探究其它特殊四边形的性质奠定了基础，学生已经学习过三角形、平移与旋转及全等的相关知识，为本节课的学习奠定了基础。

本节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础，在教材中起着承上启下的作用，平行四边形的性质还为证明两条线段相等、两角相等、两直线平行提供了新的方法和依据，拓宽了学生的解题思路。

本节课的主要内容是平行四边形的概念和性质，平行四边形是一种特殊的四边形，特殊在两组对边分别平行。

由于这个特殊性导致它具有一般四边形不具有的特殊性质：这些特殊的性质有助于我们解决许多实际生活中的问题，要利用这些特殊的性质的前题是判定这个四边形是个特殊的四边形，因此研究平行四边形的三个切入点是：定义、性质、判定二、教学目标1、知识与技能目标：（1）掌握平行四边形的定义及相关概念.（2）掌握平行四边形的对边平行且相等、对角相等，邻角互补，对角线互相平分的性质，初步运用这些性质进行有关论证和计算。

2、过程与方法目标：（1）引导学生通过实践操作、探究发现平行四边形的性质，学会在实践中思考、观察、发现，培养学生的动手实践能力。

（2）知道解决平行四边形问题的基本思想是转化为三角形问题来解决，渗透转化思想。

（3）通过探索平行四边形的性质，培养学生简单的推理能力和逻辑思维能力。

3、情感、态度与价值观目标：1）通过活动探究、合作交流培养学生严谨科学的学习态度和勇于探索、勇于创新的精神，增强合作交流的意识。

4平行线的性质●复习导入问题：上节课我们通过推理证得了平行线的判定定理，要证明两条直线平行，有哪些方法？一个基本事实是__同位角相等__，两直线平行；两个定理分别是__内错角相等__，两直线平行；__同旁内角互补__，两直线平行．通过平行线判定的基本事实和判定定理，我们知道它们的条件是角的大小关系，结论是两直线平行．如果我们把它们的条件和结论互换，那么得到的命题是真命题吗？这节课我们就来研究“平行线的性质”．【教学与建议】教学：教师提出问题，复习回顾上节课的重点内容，迅速将学生的注意力集中于课堂．建议：让学生回顾知识，为本节课的学习做好铺垫．●悬念激趣在数学课上，好玩的张明同学不小心把一把长方形直尺折断了，善于思考的同桌想考考张明就拼成如图所示的图形．点E，D，B，F在同一条直线上，若∠ADF＝55°，则∠DBC的度数为多少？∠F呢？你能帮张明同学解决这些问题吗？这些问题与我们将要学习的知识有关，这节课我们就来研究“如果两条直线平行，那么角之间会有什么关系”这一问题．【教学与建议】教学：通过趣题导入，引出“两条直线平行，内错角、同旁内角分别有怎样的大小关系”，激发学生探究知识的欲望．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析．命题角度1利用平行线的性质解决与三角尺、直尺有关的问题解决此类问题的关键是从图形中找准“三线八角”中对应的同位角、内错角和同旁内角．【例1】(1)如图，把一块含有45°角的直角三角尺两个顶点放在直尺的对边上，若∠1＝20°，则∠2的度数是(C)A．15°B．20°C．25°D．30°[第（1）题图][第（2）题图](2)将一把直尺和一块含30°和60°角的三角尺ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为__10°__．命题角度2利用平行线的性质解决折叠问题解决折叠问题的关键是找折叠前后的对应元素，然后利用对应元素的相等关系解决问题．【例2】将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是(D)A．45°B．55°C．65°D．75°命题角度3平行线性质与判定的综合运用以平行线为背景的角度等量关系判定，关键是要抓住“三线八角”中角之间的数量关系，进而由角的数量关系判断直线的关系．【例3】(1)如图，直线a∥b，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3等于(B)A．100°B．105°C．110°D．115°[第（1）题图][第（2）题图](2)如图，因为DF∥AC(已知)，所以∠D＋__∠CBD__＝180°(两直线平行，同旁内角互补).因为∠C ＝∠D(已知)，所以∠C＋__∠CBD__＝180°(等量变换)，所以DB∥EC(同旁内角互补，两直线平行).高效课堂教学设计1．结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论．2．总结归纳出证明的一般步骤．▲重点平行线的性质的探索及应用．▲难点运用平行线的性质和判定来解决问题．◆活动1创设情境导入新课(课件)现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补判定两条直线平行这三种方法．在这一节课里，大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？这是本节课我们将要学习的内容．◆活动2实践探究交流新知【探究1】证明：两直线平行，同位角相等．已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角．求证：∠1＝∠2.【思考】若直接用基本事实能否证明出来？证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2，如图所示．根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD.又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线__CD__平行．这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾．这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1＝∠2.【探究2】证明：两直线平行，内错角相等．(1)多媒体展示图形；(2)如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角．求证：∠1＝∠2.证明：∵l1∥l2(已知)，∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．又∵∠2＝∠3(对顶角相等)，∴∠1＝∠2(等量代换)．【探究3】证明：两直线平行，同旁内角互补．(1)多媒体展示图形；(2)已知：如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角．求证：∠1＋∠2＝180°.证明：∵a∥b(已知)，∴∠3＝∠2(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＋∠3＝180°(平角的定义)，∴∠1＋∠2＝180°(等量代换)．【归纳】证明文字叙述类命题的一般步骤：第一步：先根据命题的条件即已知事项画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步：根据条件、结论、结合图形，写出已知、求证．第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．◆活动3开放训练应用举例【例1】(教材P176例题)已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角．求证：b∥c.【方法指导】平行线的性质．证明：∵b∥a(已知)，∴∠1＝__∠2__(两直线平行，__同位角__相等)．∵c∥a(已知)，∴∠3＝__∠1__(两直线平行，__同位角__相等)．∴∠2＝∠3(等量代换)∴b∥c(__同位角__相等，两直线__平行__).【例2】如图，已知∠ABC＋∠C＝180°，BD平分∠ABC.∠CBD与∠D相等吗？请说明理由．【方法指导】由∠ABC＋∠C＝180°得到AB∥CD，再根据AB∥CD得到∠D＝∠ABD.最后由角平分线得到结果．解：相等，理由：∵∠ABC＋∠C＝180°，∴AB∥CD.∴∠D＝∠ABD.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∴∠CBD＝∠D.◆活动4随堂练习1．如图，已知直线DE经过点A，∠1＝∠B，∠2＝52°，则∠3的度数为(A)A．52°B．38°C．130°D．80°（第1题图）（第2题图）2．如图，已知直线a⊥c，b⊥c，∠1＝140°，那么∠2的度数是(A)A．40°B．50°C．60°D．140°3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝120°，∠DCA＝20°，求∠BCA和∠DAC的度数．解：∠BCA＝40°，∠DAC＝40°.◆活动5课堂小结与作业学生活动：这节课学习了两条直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．教学说明：对这节课所学内容，学以致用．作业：课本P177习题7.5中的T1、T2、T4.通过生活中的事例，让学生感受数学来源于生活，通过问题的设置，训练学生语言表达的准确性和简洁性，为学生提供充分参与数学活动和探索的机会，让学生在轻松愉快的学习中掌握证明的步骤和格式．。

7.4平行线的性质(教案〕教学目标知识与技能：会根据“两直线平行,同位角相等〞证明“两直线平行,内错角相等〞和“两直线平行,同旁内角互补〞,并能简单地应用这些结论.过程与方法：了解性质定理与判定定理的联系,初步感受互逆的思维过程.情感态度与价值观：进一步理解证明的步骤、格式和方法,开展演绎推理能力.教学重难点【重点】理解和简单应用平行线的性质定理.【难点】运用公理、定理进行简单的推理,以及用几何语言进行表述.教学准备【教师准备】问题探索和例题的教学用图.【学生准备】复习平行线的判定定理.教学过程一、导入新课导入一:师:同学们,上课前,老师在纸上画了一个∠A,准备用量角器测量它的度数时,因不小心将纸片撕破,只剩下如下图的一局部,如果不能同时反向延长CD,EF的话,你能否利用所学的数学知识测出∠A的度数?(多媒体展示)(学生思考,互相交流解决方法)生1:根据两直线平行,同位角相等的知识,可以过C点作FE的平行线,构造∠A的同位角,那么可以测出∠A的度数.生2:根据两直线平行,内错角相等的知识,也可以过C点作FE的平行线,构造∠A的内错角.师:同学们利用平行线的性质解决这个问题的想法太棒了!那么,你知道这些性质是如何证明的吗?这节课就让我们来探究这个问题.(板书课题:4平行线的性质)[设计意图]通过趣味题导入,激发学生的探究知识的欲望,点燃学生思维的火花,使其进入最正确的学习状态.导入二:如下图,工人在修一条高速公路时在前方遇到一座高山,为了降低施工难度,工程师决定绕过这座山,如果第一个弯是左拐30°,那么第二个弯应朝什么方向,才能不改变原来的方向?[处理方式]先给学生2分钟的时间自己探究,得出结论后小组讨论,最后选代表发言.学生观察,小组讨论,交流问题并发表见解,教师进一步引导学生分析,引导学生将这个问题如何转化成数学问题.在学生探究讨论的过程中,少局部学生可能对题意理解不透彻,此时教师可以结合实际问题加以引导,引导性语言如下:(1)不改变方向,在数学中的理解应是什么;(2)在这个问题中包含了什么问题;(3)如何将它转化为数学问题.[设计意图]通过实例,让学生从具体的实例中发现数学问题,进而寻求解决问题的方法,使学生懂得数学来源于现实生活,效劳于现实生活,同时也调动了学生的积极性,提高了学生的兴趣.二、新知构建[过渡语]上节课我们通过推理证得了平行线的判定定理,知道它们的条件是角的大小关系,其结论是两直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换,那么得到的命题是真命题吗?(1)、两直线平行,同位角相等思路一活动内容:画出直线a的平行线b,结合画图过程思考:画出的平行线被第三条直线c所截的同位角的关系是怎样的?[处理方式]本节证明平行线的性质定理,将性质定理“两直线平行,同位角相等〞的证明作为选学内容,因此,第一局部以自学阅读的形式呈现,自学教材第175页内容(包括证明过程),学有余力的学生可以思考探究:应用平行线的性质定理“两直线平行,同位角相等〞可以得出什么?[设计意图]学生在自学的过程中,理解平行线的性质,并明确两直线平行的性质定理“两直线平行,同位角相等〞是推理论证后面两个性质定理的根底;“同位角相等〞是在“两直线平行〞的前提下才成立的,是平行线特有的性质.要防止一提到同位角就以为其相等的错误.思路二师:我们先来证明定理:两直线平行,同位角相等.你能否发现定理的条件是什么?生:两条平行直线被第三条直线所截.师:结论是什么?生:同位角相等.师:证明命题,要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意,可以把这个文字证明题转化为以下形式.【课件展示】:如下图,直线a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的同位角.求证:∠1=∠2.请同学们自主学习教材第175页“两直线平行,同位角相等〞的证明过程.(学生阅读思考,互相交流心得)师:利用这个定理,你能证明哪些熟悉的结论?思路三【问题】:如下图,直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角.求证:∠1=∠2.【思考】(1)∠1和∠2在数量关系上有哪两种情况?(2)过直线外一点有几条直线与这条直线平行?[设计意图]为接下来用反证法证明上述定理作准备.证明:假设∠1≠∠2,那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2,如下图.根据“同位角相等,两直线平行〞,可知GH∥CD.又因为AB∥CD,所以此时经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与根本领实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行〞相矛盾.这说明∠1≠∠2的假设不成立,所以∠1=∠2.【思考】为什么不能按如下方法证明上述定理?∵AB∥CD,∴∠2=∠AMN.又∵∠1=∠AMN,∴∠1=∠2.(2)、两直线平行,内错角相等;同旁内角互补(多媒体出示)根据同位角相等可以判定两直线平行,反过来,如果两直线平行,同位角之间有什么关系呢?内错角、同旁内角之间又有什么关系呢?1.两条平行直线被第三条直线所截,同位角是相等的,那么内错角、同旁内角之间有什么关系呢?∵a∥b(),∴∠1=∠2(两条直线平行,同位角相等).∵∠1=∠3(对顶角相等),∴∠2=∠3(等量代换).师:由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢?【学生活动】同学们积极举手答复以下问题.教师根据学生表达,给出板书:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.2.下面请同学们自己推导同旁内角是互补的,并归纳总结出平行线的第三条性质.请一名同学到黑板上板演,其他同学在练习本上完成.师生共同订正推导过程并写出第三条性质,形成正确板书.∵a∥b(),∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).∵∠1+∠4=180°(邻补角的定义),∴∠2+∠4=180°(等量代换),即两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补,简单说成“两直线平行,同旁内角互补〞.师:我们知道了平行线的性质,在今后我们经常要用它们去解决、论述一些问题,所需要知道的条件是两条直线平行,才有同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,即它们的符号语言分别为:∵a∥b(),∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).∵a∥b(),∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等).∵a∥b(),∴∠2+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补).(板书在三条性质的对应位置上)[处理方式]在完成“两直线平行,同位角相等〞的证明后,要求学生自主证明“两直线平行,内错角相等〞“两直线平行,同旁内角互补〞,然后将学生的证明过程整理出来,与教材中的进行比照,感受证明的过程和标准格式.通过对平行线性质的探索,使学生对证明的步骤、格式有更进一步的认识,认识证明的必要性.引导学生使用符号语言,充分调动学生的主动性和积极性,开展学生的符号感.[设计意图]在前面复习引入的根底上,通过学生的观察、分析、讨论,此时学生已能够进行推理,在这里教师不必包办代替,而应充分调动学生的主动性和积极性,进而培养学生分析问题的能力,在学生有成就感的同时也鼓励了学生的学习兴趣. (3)、两类定理的比拟两条直线被第三条直线所截.平行线的判定平行线的性质条件结论条件结论同位角相等两直线平行两直线平行同位角相等内错角相等两直线平行两直线平行内错角相等同旁内角互补两直线平行两直线平行同旁内角互补[处理方式]引导学生分组探究,并明确平行线的性质定理和判定定理的条件和结论正好相反.性质是由条件“平行〞得到结论“角的关系〞;判定是由条件“角的关系〞得到结论“平行〞.[设计意图]初步建立平行线的性质定理和判定定理之间的联系,初步感受互逆的思维过程.具体为:在判定中,把角相等或互补作为判断两直线是否平行的前提,角相等或互补是,结论是两直线平行,那么判定是由“角相等或互补〞推理论证“两直线平行〞.在性质中,两直线平行是条件,结论是角相等或互补,性质是用来说明两个角相等或互补的,即由“两直线平行〞推理论证“角相等或互补〞.四、平行线的传递性如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.:直线a,b,c被直线d所截,且a∥b,c∥b.求证:a∥c.[处理方式]学生自行尝试解答,小组合作探究后,比照不同的解法,并推荐一人答复以下问题,这样的气氛,激发了学生强烈的学习兴趣.[设计意图]对学生中出现的不同解法给予肯定,培养学生的解题能力.议一议:完成一个定理的证明,需要哪些环节?与同伴进行交流.[处理方式]引导学生回忆证明过程,梳理证明活动中的经验,小组尝试整理证明的步骤.教师强调:(1)证明的一般步骤:①理解题意;②根据题意正确画出图形;③结合图形,写出“〞和“求证〞;④分析题意,探索证明的思路;⑤依据寻求的思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;⑥检查表达过程是否正确、完善.(2)证明的思路:①可以从求证出发向追溯,也可以由向结论探索,还可以从和结论两个方向同时出发,互相接近.②对于用文字表达的命题的证明,要先分清命题的条件和结论,然后根据题意画出图形,写出和求证,证明即可.[设计意图]使学生明确证明的步骤与思路,能更好地完成几何证明题.[知识拓展]该定理的主要作用是判断两个角相等,即由两条直线之间的“位置关系〞转化为两角之间的“数量关系〞,能正确找到内错角是证明该定理的重点.如下图,AB∥CD,∠CDE=140°,那么∠A的度数为()A.140°B.60°C.50°D.40°〔解析〕∵∠CDE=140°,∴∠ADC=180°-140°=40°,∵AB∥CD(),∴∠A=∠ADC=40°(两直线平行,内错角相等).应选D.三、课堂总结四、课堂练习1.平行线的性质定理有:,,.答案:两直线平行,同位角相等两直线平行,内错角相等两直线平行,同旁内角互补2.如下图,∠4=∠C,∠1=∠2,求证BD平分∠ABC.证明:∵∠4=∠C,∴AD∥BC,∴∠2=∠3.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,即BD平分∠ABC.3.如下图,CD∥OB,EF∥AO,求证∠1=∠O.证明:∵CD∥OB,∴∠1=∠2,又∵EF∥AO,∴∠2=∠O,∴∠1=∠O.五、板书设计4平行线的性质探索1两直线平行,同位角相等探索2两直线平行,内错角相等探索3两直线平行,同旁内角互补探索4平行于同一条直线的两条直线平行六、布置作业(1)、教材作业【必做题】教材随堂练习.【选做题】教材习题7.5第4题.(2)、课后作业【根底稳固】1.如下图,由AB∥CD能得到∠1=∠2的是()2.如下图,AB∥CD,E是AB上一点,ED平分∠BEC交CD于D,∠BEC=100°,那么∠D的度数是()A.100°B.80°C.60°D.50°3.如下图,AB∥CD,DB⊥BC于B,∠2=50°,那么∠1的度数()A.40°B.50°C.60°D.140°4.如下图,AB∥CD,EF分别交AB,CD于M,N,∠EMB=50°,MG平分∠BMF,MG交CD于G,那么∠1等于()A.65°B.50°C.115°D.120°5.如下图,AB∥EF∥DC,EG∥BD,那么图中与∠1相等的角(∠1除外)有()A.6个B.5个C.4个D.2个【能力提升】6.如下图,∠1与∠2互补,∠3=100°,求∠4的度数.7.如下图,直线AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于P.求证∠P=90°.8.如下图,C,P,D在一条直线上,∠BAP与∠APD互补,∠1=∠2.求证∠E=∠F.【拓展探究】9.如下图,AB∥ED,∠CAB=135°,∠ACD=80°.求∠CDE的度数.【答案与解析】1.B2.D(解析:根据角平分线的定义可得∠BED=50°,再根据平行线的性质可得∠D=∠BED=50°.)3.A4.A(解析:综合运用平行线的性质和三角形内角和定理求出∠1的度数.)5.B6.解:∵∠1+∠2=180°,∠2=∠5,∴∠1+∠5=180°,∴a∥b,∴∠3=∠4,∴∠4=100°.7.证明:∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.又∵EP,FP分别平分∠BEF,∠DFE,∴∠BEF=2∠PEF,∠DFE=2∠PFE.∴∠PEF+∠PFE=90°,∴∠P=90°.8.证明:∵∠BAP+∠APD=180°,∴AB∥CD.∴∠BAP=∠CPA.∵∠1=∠2,∴∠EAP=∠FPA,∴AE∥FP,∴∠E=∠F.9.解:如下图,过点C作CF∥AB,∵CF∥AB,∴∠A+∠ACF=180°(两直线平行,同旁内角互补).而∠A=135°,那么∠ACF=45°,∴∠FCD=∠ACD-∠ACF=80°-45°=35°.又∵CF∥AB,AB∥ED,∴CF∥DE,∴∠FCD=∠CDE(两直线平行,内错角相等),∴∠CDE=35°.。

北师大版数学八年级上册第七章平行线的证明7.4《平行线的性质》教学设计一、教学内容解析平行线的性质是平面几何的一个重要内容，它是研究几何图形位置关系与数量关系的基础，它不但为三角形内角和定理的证明提供了转化的方法,也为今后学习三角形、四边形、平移变换等知识奠定基础.图形的性质是研究图形构成要素之间的关系，它和图形的判定是几何中研究的两个重要方面.平行线的性质是学生对图形性质的第一次系统研究，对今后学习其他图形性质有“示范”的作用.本节还处于证明的起始阶段，从合情推理到演绎推理的过渡要有一个坡度，逐渐让学生掌握证明的要求和格式，认识到证明的严谨性，做到步步有据，发展学生的推理能力。

二、学生学情分析授课班级数学基础较好，在初一年级已经学习了解过平行线的判定和性质。

但是，学生对于平行线的性质的研究过程和研究方法都是陌生的,所以,本节课学生需要在老师的引导下来构建平行线性质的研究过程。

三、教学目标设置1.教学目标知识与技能：掌握平行线的性质定理，会证明“两直线平行，内错角相等（或同旁内角互补）”；了解平行于同一直线的两条直线平行；了解性质定理与判定定理的联系，初步感受互逆的思维过程；过程与方法：经历从合情推理到演绎推理的过渡，进一步理解证明的格式、方法。

情感态度与价值观：了解与平行线有关的数学史内容，在体验像古人那样追根溯源的同时，增强对几何的了解和热爱，丰富数学文化内容。

2.教学重难点教学重点：掌握平行线的性质定理.教学难点:进一步理解证明的步骤、格式和方法，发展演绎推理能力。

重难点的突破：由平行线的判定引入对平行线性质的研究，既渗透了图形的判定和性质之间的互逆关系，又体现了知识的连贯性。

本节课采用数学史引入数学教育的发生教学法（华东师大，汪晓勤），让学生通过实验操作探究得出性质1，与数学家做了相同的探索，让学生产生情感共鸣，从而在理解的基础上掌握性质1。

然后在性质1的基础上经过进一步推理得到性质2和性质3，实现了由合情推理到演绎推理的过渡。

第七章平行线的证明7.1 为什么要证明 (1)7.2 定义与命题 (4)第1课时定义与命题 (4)第2课时定理与证明 (7)7.3平行线的判定 (10)7.4平行线的性质 (14)7.5 三角形内角和定理 (17)第1课时三角形内角和定理的证明 (17)第2课时与三角形外角有关的定理 (21)第七章归纳总结 (25)7.1 为什么要证明【知识与技能】1.经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性.2.发展学生的推理意识.【过程与方法】通过观察、猜想、验证、归纳等方法让学生多角度思考问题、解决问题.【情感态度】让学生明白仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明，培养学生科学严谨的学习态度.【教学重点】体会观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性.【教学难点】感受证明的必要性.一、创设情境，导入新课教材第162页“做一做”上方的问题.【教学说明】让学生通过观察、实验、归纳等方法初步体会得到的结论是否正确.二、思考探究，获取新知验证结论的正确性.做一做：教材第162页“做一做”.【教学说明】（1）中让学生体会数学教学中从特殊到一般的思想方法；（2）中利用先猜想再验证的方法；培养学生从不同的角度来用不同的数学方法解决实际问题.【归纳结论】实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.三、运用新知，深化理解1.最近有很长一段时间没有下雨了.并且今天是艳阳高照，那么晚上不会下雨，这个判断是的.（填“正确”或“不正确”）2.下列说法不正确的是（）A.若∠1=∠2，则∠1与∠2是对顶角.B.若∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠2.C.若直线a∥b,a⊥c,则b⊥c.D.若∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，则∠1=∠2.3.如图，甲沿着ACB由A到B，乙沿着ADEFB由A到B，同时出发，速度相等，则（）A.甲先到B.乙先到C.甲乙同时到D.不确定4.在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，连结EF,EF与AD和BC有怎样的位置关系和数量关系？你的结论对所有的梯形都成立吗？5.当a=1,b=2时，12+22>2×1×2;当a=-1,b=3时，（-1）2+32>2×（-1）×3；当a=-12,b=-3时，（-12）2+（-3）2>2×(-12)×(-3).于是猜想：对于任意实数总有a2+b2>2ab成立.这个结论正确吗？说明理由.【教学说明】让学生独立完成，检查学生对于所学知识的掌握程度，根据反馈的情况适当查漏补缺，有困难的学生采用互相交流的形式得出结论.【答案】1.不正确； 2.A; 3.C4.EF∥AD∥BC.EF=12(AD+BC).这个结论对所有的梯形都成立.证明：连结AF并延长交BC的延长线于点G.∵AD∥BC,∴∠D=∠FCG,∠DAF=∠G,又∵F是CD的中点，∴DF=CF,∴△ADF≌△GCF(AAS),∴AD=CG,AF=GF.又∵E是AB的中点，∴AE=BE,∴EF=12BG=12(BC+CG)=12(BC+AD).5.解：不正确.当a=b时，a2+b2=2ab,找得到实数a、b，如a=b=1,使得a2+b2=2ab 成立，因为对于任意的实数a、b都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0成立，所以a2+b2≥2ab 成立，而不是a2+b2>2ab.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确？说说你的经验与困惑，与同学交流.【教学说明】让学生大胆发言，进行知识的提炼和归纳总结，与同学交换意见相互补充，利于共同提高.1.布置作业：习题7.1中的第1、2、3题.2.完成练习册中本课时相应练习.学生的直观判断、实验操作得出的结论可能带有极大的片面性.数学是一门科学，讲究的是周密的计算和合乎逻辑的推理证明，不能想当然，让学生在学习过程中不断去体会.7.2 定义与命题第1课时定义与命题【知识与技能】1.了解定义、命题的概念.2.能分清命题的组成，会判断一个命题的真假，学会用反例说明一个命题是假命题.【过程与方法】通过讨论、探究、交流等形式，使学生在辩论中获得知识体验.【情感态度】在学习过程中培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质.【教学重点】命题的概念及真假的判断.【教学难点】对于命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果……那么……”形式.一、创设情境，导入新课（1）阅读新华社酒泉2013年6月11日这篇报导：神舟十号载人飞船于6月11日上午发射，……神舟十号飞船搭乘两名航天员，执行多天飞行任务.按计划，飞船将从中国酒泉卫星发射中心发射升空，运行在轨道倾角42.4°，近地点高度为200千米，远地点高度为347千米的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343千米的圆轨道.要读懂这段报道，你认为要知道哪些名称和术语的含义？（2）什么叫做平行线？（在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线）.什么叫做物质的密度？（单位体积内所含某一物质的质量叫做密度）.【教学说明】用熟悉的背景和提出的两个问题引入，为下面给出定义的概念得以顺理成章.二、思考探究，获取新知1.定义问题1：从以上两个问题中，你能得出什么是定义吗？并举例说明.【教学说明】通过思考、归纳得出定义的概念，并利用学生举例的形成加深对概念的理解与掌握.【归纳结论】证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.2.命题问题2：下面的语句中，哪些语句对事情做了判断？哪些没有？与同学们交流.（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；（2）对顶角相等；（3）无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数；（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（5）你喜欢数学吗？（6）作线段AB=CD.【教学说明】通过讨论、交流让学生对命题形成初步认识，安排了不是命题的问题参入，让学生逐步体会一个句子是不是命题的关键是对一件事情是否作出判断.【归纳结论】判断一件事情的句子叫做命题.如果一个句子没有对某件事情作出任何判断，那么它就不是命题.问题3：观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的特征？与同学们交流.（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；（2）如果a=b，那么a2=b2;（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.【教学说明】学生通过观察、思考得出命题是由两部分组成的，并掌握它们各自的概念，进一步加深了命题的理解.【归纳结论】一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.问题4：指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？与同学们交流.（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a≠b,b≠c,那么a≠c;（3）全等三角形的面积相等；（4）如果室外气温低于0℃,那么地面上的水一定会结冰.【教学说明】进一步加深对命题组成的理解，同时学会利用自己学的知识对命题做出正确的判断.【归纳结论】正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.三、运用新知，深化理解1.命题：“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是，结论是 .2.若a2=b2,则a=b.这个命题是命题（填“真”或“假”）.3.下列语句不是命题的有（）个①相等的角是直角；②两点之间线段最短；③煤球是白色的；④连线A、B 两点.A.0B.1C.2D.34.下列句子哪些是命题？是命题的判断真假.①对顶角相等；②画一个角等于已知角；③两直线平行，同位角相等；④a，b两直线平行吗？⑤鸟是动物；⑥若a2=4，求a的值；⑦若｜a｜=｜b｜，则a=b.【教学说明】由学生自主完成，通过练习，使学生对知识的理解由浅入深，从感性上升到理性，及时反馈，便于发现问题、解决问题、提高课堂效率.提高45分钟的质量.【答案】1.两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行；2.假；3.B;4.命题有：①③⑤⑦；真命题有：①③⑤；假命题有：⑦.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾定义、命题、条件、结论、真命题、假命题和反例的概念等知识点.2.谈谈你对本节课的收获.【教学说明】使学生对本节课的知识有一个完整的认识，进一步形成知识网络.不断对知识进行提炼和归纳，有助于概念的理解.1.布置作业：习题7.2中的第1、2、3题.2.完成练习册中本课时相应练习.本节课概念比较多，千万不要死记硬背，在教学中要利用实例帮助理解记忆.对于命题中的条件和结论不很明显的改写成“如果……那么……”的形式有些困难，这方面有待今后不断强化提升.第2课时定理与证明【知识与技能】1.了解公理、定理、证明的含义.2.体验、理解证明的必要性.3.了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题.【过程与方法】通过书写完整的证明过程培养学生的逻辑思维能力和体验证明的方式方法.【情感态度】利用证明的过程培养学生科学严谨的学习习惯.【教学重点】证明的含义和表述格式.【教学难点】按规定格式表述证明的过程.一、创设情境，导入新课我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？【教学说明】提出一系列的问题启发思考，体会证明的必要性，让学生明白采用什么样的方式作为证实其他命题的出发点和依据.二、思考探究，获取新知1.公理、定理的概念问题1：什么是公理？什么是定理？问题2：我们已经学习了哪几条基本事实作为证明的出发点和依据？【教学说明】给出概念，直入主题.回顾所学知识，加深对概念的理解，同时也让学生明白如何区分公理和定理.【归纳结论】除了上面几条可以作为证明的依据外，数与式的运算律和运算法则.等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.2.证明问题3：什么叫证明？如何来证明一个命题或定理的正确性？【教学说明】让学生明白证明的概念，并且为后面书写证明过程有个心理准备.例已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC=∠BOD.由于证明过程是学生刚刚接触的，比较陌生，教师可以引导学生帮助分析，展示如下：证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）.∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角（外角的定义）.∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）定理：对顶角相等.注：对于符号“∵”“∴”表示的意思教师要作出解释；由于刚学证明，力求注明理由，证明过程要符合逻辑思维，不能因果不相匹配.三、运用新知，深化理解1.关于直线的公理的内容是.2.如果a=b，b=c，那么，这一结论的根据是.3.命题“无论a取任何实数，式子a2-4a+7的值都是正数”是真命题还是假命题？请说明理由.4.已知：如图∠AOB=∠COD.求证：∠1=∠2.5.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别是点D、E.求证：PD=PE.【教学说明】学生独立完成，加深对所学知识的理解和检查跟证明有关的掌握情况，特别是对于证明过程的表述教师要及时指导.【答案】1.两点确定一条直线；2.a=c，等量代换；3.是真命题.∵a2-4a+7=a2-4a+4+3=(a-2)2+3,无论a为任何实数，（a-2)2≥0,(a-2)2+3>0,即式子a2-4a+7的值是正数.4.证明：∵∠AOB=∠COD,∴∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB，即∠1=∠2.5.证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB（已知）.∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直定义）.∵OC平分∠AOB（已知）.∴∠AOC=∠BOC（角平分线定义）.又∵OP=OP（公共边）.∴△PDO≌△PEO（AAS).∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.四、师生互动，课堂小结1.师生共回顾公理、证明的概念和证明的步骤与格式.2.本节课你掌握了哪些知识？还存在什么疑问？与大家交流.【教学说明】通过回顾本课知识点，学生之间相互交流，对知识不断总结归纳，特别是对于几何证明要结合图形加以训练.1.布置作业：习题7.3中的第1、2题.2.完成练习册中本课时相应练习.本节课从已学的八条基本事实出发，利用这些结论进行有关几何问题的证明，培养学生逻辑思维能力和严密的推理能力，这是本节课教学的重点，也是难点.7.3平行线的判定【知识与技能】1.理解并掌握平行线的判定方法.2.经历探索直线平行的条件的过程，并能运用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”进行简单的证明.【过程与方法】经过观察、想象、推理、交流等活动，进一步加强学生空间观念、推理能力和有条理的表述能力.【情感态度】在活动中培养学生良好的习惯、与他人合作交流、主动参与的意识，在独立思考的同时也能够认同他人.【教学重点】探索两直线平行的条件.【教学难点】运用直线平行的判定方法解决问题.一、创设情境，导入新课前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试试看.【教学说明】通过复习旧知识的形式，为本节课进一步学习直线平行的条件做准备.两条直线被第三条直线所截，形成的角中，有同位角、内错角和同旁内角.同位角相等，两直线平行，那么利用内错角、同旁内角的关系，能否判定两直线平行？【教学说明】这个问题的提出，直截了当地切入本节课的中心内容，通过学生的猜想、讨论，引起学生的探究欲望.二、思考探究，获取新知1.内错角相等，两直线平行.问题1：如右图，∠1与∠2是什么位置关系？问题2：当∠1=∠2时，直线a、b有什么关系？为什么？【教学说明】通过观察、思考、讨论培养学生分析图形的能力，感受转化的思想.由未知转化为已知，把已知条件转化为以前学过的旧知识，从而达到解决问题的目的.为了给学生一个清晰的证明过程，教师展示如下：证明：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等）.∴∠3=∠2（等量代换）.∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.2.同旁内角互补，两直线平行.问题1：如右图，∠2与∠3是什么位置关系？问题2：当∠2+∠3=180°时，直线a、b有什么关系？为什么？【教学说明】让学生自己口述，培养学生的口语表达能力和推理论证的能力.在思考探究的过程中，体会判断两条直线平行的条件.这个证明的过程，教师可以引导学生自己书写.【归纳结论】已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论.三、运用新知，深化理解1.已知：如图，∠1=76°，要使a∥b,则∠3= .2.若a∥b,b∥c,则a c ;若a⊥b,a⊥c，则b c.3.如图，直线a、b被直线c所截，以下四个条件：①∠1=∠5；②∠1=∠7；③∠2+∠3=180°，④∠4=∠7，其中能判定a∥b的是（）A.①②B.①③C.①④D.③④4.如图，直线EF交AB、CD于N、M，且∠EMC=65°,∠MNB=115°,则下列结论正确的是（）A.AE∥DFB.AB∥CDC.∠A=∠DD.∠E=∠F.5.如图，填空.（1）由∠A+∠ADC=180°,可得∥ .（2）由∠DBC=∠BCE,可得∥ .（3）由∠A=∠CBE,可得∥ .【教学说明】学生自主完成，加深对所学两个定理的理解与记忆和检测学生对知识的掌握情况，有困难的学生教师及时给予点拨和强化指导.【答案】1.104°；2.∥，∥；3.A；4.B；5.（1）DC AE；（2）BD CE;（3）AD BC四、师生互动，课堂小结1.到目前为止，你有多少种判定两条直线平行的方法？与大家共享.2.学习过程中你有哪些疑惑？请与同学们交流.【教学说明】通过小结的形式让学生在大脑中对平行线的判定方法形成知识体系，培养学生归纳总结的能力和综合运用的能力.1.布置作业：习题7.4中的第1、2、3题.2.完成练习册中本课时相应练习.学生对于三线八角的掌握比较牢固.根据角之间的关系判断哪两条直线平行很准确.由于刚学书写证明过程，还有不少学生的逻辑推理能力不强，在今后的训练中不断完善.7.4平行线的性质【知识与技能】经历探索平行线的性质的过程，初步掌握平行线的性质，并能用性质进行简单的推理和计算.【过程与方法】在学习过程中进一步培养学生的推理能力.发展学生的空间观念.【情感态度】培养学生的唯物主义观点，使学生逐步养成言之有据的习惯.【教学重点】平行线性质的探索及性质的理解.【教学难点】运用平行线的性质和判定结合去解决问题.一、创设情境，导入新课现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，判定两条直线平行的三种方法.在这一节课里：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？【教学说明】了解学生的认知基础，让全体学生对前一节的内容进行回顾，并为新课程的学习做准备.二、思考探究，获取新知平行线的性质及其证明.问题1：我们已经探索过平行四边形的性质，两直线平行，同位角相等，那它如何证明呢？【教学说明】给学生留有充分的探索和交流的空间，鼓励学生利用多种方法探索，这对于发展学生的空间观念，理解平行线的性质是十分重要的.此题的证明可以让学生感受反证法.问题2：利用上面的定理，你能证明其他两条性质吗？试一试！【教学说明】培养学生的逻辑思维能力以及严谨的治学态度，逐步锻炼学生的推理能力，并进一步巩固对定理的理解及语言的规范，感受成功的喜悦，树立学习数学的信心.问题3：例已知：如图，b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a、b、c被直线d截出的同位角.求证：b∥c.【教学说明】利用平行线的性质进行有关的证明，逐步培养学生的推理论证能力.发展他们的数学思维和空间观念.【归纳结论】平行于同一条直线的两条直线平行.讨论：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？与同学们交流.【教学说明】通过学生交流、讨论，帮助他们形成知识体系，为以后的证明提供了很好的方法.三、运用新知，深化理解1.如图，已知∠1=100°,∠2=80°,∠3=105°,则∠4= .2.如图，AB∥CD∥EF，则∠A+∠ACE+∠E= .3.如图BD平分∠ABC，ED∥BC,则图中相等的角共有（）A.2对B.3对C.4对D.5对4.如图，已知AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，∠1=40°.求∠2的度数.5.如图，已知A、B、C同在一条直线上,D、E、F同在一条直线上，且∠A=∠F,∠C=∠D,判断AE与BF的位置关系，并说明理由.【教学说明】通过对练习的处理，培养学生的口语表达能力和逻辑推理能力.使学生逐步学会运用推理的方法去证明问题，在具体的问题情境中能自觉地运用转化的思想去解决问题.对学习有困难的学生教师及时给予指导和点拨.【答案】1.105°；2.360°；3.D.4.解：∵AB∥CD,∴∠BEF=180°-∠1=180°-40°=140°.又∵EG平分∠BEF,∴∠3=12∠BEF=12×140°=70°.∵AB∥CD,∴∠2=∠3=70°.5.AE∥BF.证明：∵∠C=∠D,∴DF∥AC.∴∠A=∠1,∵∠A=∠F,∴∠1=∠F.∴AE∥BF.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾平行四边形的三条判定性质以及由例题得出的一个结论.2.谈谈你对本节课的收获与不足.【教学说明】通过引导学生回顾平行线的判定与性质.加强它们之间的区别和联系，进一步体会综合运用过程中的方法思路.1.布置作业：习题7.5中的第1、2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.本节课主要是平行线性质定理的推理，重在培养学生的逻辑思维能力和规范的推理过程的表述.再到平行线的性质与判定的综合运用，加深对所学知识的认识，提高运用知识解决实际问题的能力.在证明的过程中，图形有着至关重要的辅助作用.7.5 三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理的证明【知识与技能】学会用逻辑推理的方法对三角形的内角和定理重新研究证明，并能利用三角形的内角和解决有关问题.【过程与方法】感受探索三角形内角和定理的证明过程，培养学生有条理地思考问题和合乎情理地表达问题的能力.通过渗透“化归”的数学思想，培养学生解决数学问题的基本方法.【情感态度】通过师生共同探究活动确认“三角形内角和是180°”，培养学生的概括、总结能力，激发学生探索问题的兴趣和体会学习数学的价值.【教学重点】三角形内角和定理的证明和利用三角形内角和进行有关的证明与计算.【教学难点】用不同的方法证明三角形内角和定理.一、创设情境，导入新课我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？【教学说明】通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次的验证，并不能对所有三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和是180°的方法，为后面的证明做准备.二、思考探究，获取新知三角形内角和定理的证明.思考：（1）如图，如果我们只把∠A移到了∠1的位置，你能证明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？(2)根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同学们交流.【教学说明】使学生从对三角形内角和的感性认识上升到理性认识，由于学生刚刚接触证明，并且还需添加辅助线，所以教师必须要有规范的示范，通过讲练结合，使学生逐步掌握推理的方法步骤.【归纳结论】三角形的内角和等于180°.思考：（1）你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？（2）如果把三角形三个角“凑”到A处，过点A作直线PQ∥BC（如图），他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？与同学们交流.【教学说明】让学生尝试模仿用另外的方法证明三角形内角和是180°，从而培养学生多角度分析问题和解决问题的能力，学生的推理能力和证明方法再次得到深化.运用所学的知识，你能解决下面的问题吗？例如图，在△ABC中，∠B=38°,∠C=62°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.【教学说明】通过例题，要让学生体会三角形内角和定理在角的求值问题中的应用.注意向学生分析解决问题的思路和方法.三、运用新知，深化理解1.在△ABC中，∠A=80°,∠B-∠C=40°,则∠C= .2.∠A=∠B+∠C,则这个三角形是 .3.直角三角形两锐角的平分线相交所成的角的度数为（）A.45°B.135°C.45°或135°D.都不对4.若△ABC的一个内角是另一个内角的23，也是第三个内角的45，则它的三个内角的度数为（）A.30°，60°，90°B.40°，60°，80°C.48°，52°，80°D.48°，72°，60°5.如图，AD、AE分别为△ABC的高线和角平分线，且∠B=35°，∠C=45°，求∠DAE的度数.【教学说明】让学生自主完成，加深对三角形内角和定理的理解和检验学生运用的情况，第5题教师可以引导，对有困难的学生及时帮助、纠正强化.【答案】1.30°；2.直角三角形；3.C；4.D.5.解：在△ABC中，∠B=35°,∠C=45°,∴∠BAC=180°-(35°+45°)=100°.又∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=12∠BAC=12×100°=50°.在△ACD中，∠ADC=90°,∠C=45°,∴∠CAD=90°-45°=45°.∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-45°=5°.四、师生互动，课堂小结你掌握了哪些证明三角形内角和定理的方法？在证明的过程中遇到了哪些困难？请与大家共同交流.【教学说明】帮助学生回顾本节课的证明方法、加深对三角形内角和定理的理解和掌握，便于灵活熟练的运用.1.布置作业：习题7.6中的第1、2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.。

第七章 平行线的证明 第1节 为什么要证明教学目标：经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识。

教学重点：判定一个结论正确与否需进行推理. 教学难点：理解数学推理的重要性. 教学过程：1个课时教学内容一、导入：P1621、比较线段a 、b 的长短2、图中是正方形吗？3、如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？二、做一做：P1621、某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n 2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n ， n 2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流． n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n 2-n+11 11 11 13 17 23 31 41 53 67 83 101 121 是否为质数 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 不是2、三角形中位线P162三、例：把立方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上 颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿 花的朵数 1 2 3 4 5 6方体，如图所示，那么此长方体的下底面有多少朵花？试写出你的结论并说出推理过程.四、议一议：P163要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.五、练习 六、作业： 1、"当n 是整数时，两个连续整数的平方差22(1)n n +-等于这两个连续整数的和." 这个判断正确吗？试着用你学过的知识说明理由。

第2节 定义与命题教学目标1、了解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义，会区分命题的条件和结论，了解判断命题真假的方法，通过实例感受证明的过程与格式。

2、初步感受公理化思想，并了解本套教科书所采用的基本事实。

第七章平行线的证明§7.1 为什么要证明【教学目标】知识与技能目标：1.经历观察、验证、归纳等过程，让学生初步了解猜测得到的结论不一定正确。

要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理，从而认识证明的必要性。

2. 了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等。

过程和方法目标：体会、检验数学结论常用的方法：实验验证、举反例验证、计算、推理等，发展学生推理能力。

情感与价值目标：通过积极参与，理解数学的严谨性；培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的自信心，让学生体会数学来源于生活又为生活服务的道理。

【教学重点】理解判断一个结论是否正确需要进行证明。

【教学难点】理解数学证明的重要性；验证某些问题的结论正确与否。

【教学方法】问题情境、观察猜想、交流讨论、验证总结【教学过程】一、创设情境，引入新课内容1.课件展示故事《知人不易》谈谈自己的感受.颜回是孔子最得意的门生。

有一次孔子周游列国，困于陈蔡之间七天没饭吃.颜回好不容易找到一点粮米，便赶紧埋锅造饭.米饭将熟之际，孔子闻香抬头，恰好看到颜回用手抓出一把米饭送入口中。

等到颜回请孔子吃饭，孔子假装说：「我刚刚梦到我父亲，想用这干净的白饭来祭拜他。

」颜回赶快说：「不行，不行，这饭不干净，刚刚烧饭时有些烟尘掉入锅中，弃之可惜，我便抓出来吃掉了.」孔子这才知道颜回并非偷吃饭，心中相当感慨，便对弟子们说：「所信者目也，而目犹不可信；所恃者心也，而心犹不足恃.弟子记之，知人固不易！」内容2.我们再来欣赏几组图片(多媒体展示)：上图中的线是直的吗?下图中中心的两个圆哪个大?【师】我们常说，“百闻不如一见”，“耳听为虚，眼见为实”，但“眼见真的全为实”吗？以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论。

那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?今天这节课我们就通过具体问题来探讨判断数学结论正确性的方法——引入新课，【设计意图】通过故事和精美的图片，使学生在愉快的氛围中激发起学习兴趣，燃起学习热情。

北师大版八年级上册第七章平行线的证明教学设计一、教学目标1.了解平行线的概念和性质；2.掌握使用平行线的性质来进行简单的证明；3.培养学生的证明能力和逻辑思维能力。

二、教学重难点1.平行线的概念和性质；2.平行线证明的基本方法。

三、教学内容及安排1. 平行线概念及性质讲解（20分钟）首先，要求学生先通过视觉、触觉等方式加深对平行线的概念的理解，在交流中引导学生自然地说出“两直线在平面内不相交，且在不同直线上任取一点，与这两点连线所成的两角相等，则这两直线平行”的概念。

接下来，教师通过PPT呈现平行线的多条性质，如平行线与被它们分割的两条直线所对应的内角互补、两平行线与一直线所对应的内角相等等。

2. 平行线的证明方法（30分钟）教师先讲解基本的平行线证明方法，如对顶角相等证明法、错切线证明法和夹角平分线证明法等。

通过讲解具体的证明案例，让学生理解证明方法的使用，理解证明过程中的推理和逻辑关系，培养证明的思维方式。

3. 讲解平行线证明中需要掌握的基本定理（20分钟）在讲解证明方法的同时，教师需要讲解平行线证明中需要掌握的基本定理，如等角定理、垂角定理和同旁内角互补定理等。

通过讲解这些定理，帮助学生掌握证明的有效思路和方法。

4. 实例演练（30分钟）在讲解完理论知识后，进行例题演练。

教师出示多个实例，通过让学生自己完成证明，检测学生对平行线证明的掌握程度。

对于有困难的学生，教师可以提供辅助思路或给出提示，引导学生完成证明。

四、教学方法1.讲授法：通过概念、定理和案例讲解来引导学生理解平行线证明的基本思路和方法。

2.演示法：通过展示具体的案例，让学生知道如何应用方法来解决问题。

3.互动问答法：通过与学生积极的互动，让学生表达自己的看法、提出自己的问题和解决方案，激发学生的学习热情。

五、教学资料和工具1.PPT教学展示；2.平行线证明练习题。

六、教学评估1.学生的课堂表现和参与度；2.学生完成的平行线证明案例及答案表现。

平行线的性质课题平行线的性质课时安排共（ 1 ）课时课程标准175-176学习目标1．初步掌握平行线的性质，并能用性质进行简单的推理和证明．2．进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．教学重点平行线的性质的探索及性质的应用．教学难点运用平行线的性质和判定去解决问题．教学方法合作交流法教学准备自学课本175页课前作业让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．教学过程教学环节课堂合作交流二次备课（修改人：）环节一师生合作共同完成教材第175页性质定理1的证明及探究过程．【说明】给学生留有充分的探索和交流的空间，鼓励学生利用多种方法探索，这对于发展学生的空间观念，理解平行线的性质是十分重要的．此题的证明可以让学生感受反证法．课中作业两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补环节二阅读教材第176页平行线性质定理2和性质定理3的内容及证明过程，然后自己完成定理的证明．培养学生逻辑思维能力以及严谨的治学态度，逐步锻炼学生的推理能力，并进一步巩固对定理的理解及语言的规范，感受成功的喜悦，树立学习数学的信心．课中作业环节三先阅读教材第176页例题及证明过程，然后完成下面的问题．例：已知：如图，b ∥a ，c ∥a ，∠1，∠2，∠3是直线a 、b 、c 被直线d 截出的同位角．求证：b ∥c.课中作业课后作业设计： 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．（修改人： ）板书设计：平行线的性质⎩⎪⎨⎪⎧两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补平行于同一条直线的两直线平行。

《平行线性质》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标：掌握平行线的性质，会用平行线的性质进行推理和计算．2、能力目标：经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，培养学生的观察分析能力、简单的逻辑推理能力及有条理的表达能力．3、情感、态度与价值观：1.通过学习平行线的性质与判定的联系与区别，让学生懂得事物是普遍联系又相互区别的辩证唯物主义思想2.体验数学与实际生活的密切联系4、品质素养目标：培养学生勤于思考、勇于探索、钻研的品质。

为实现以上教学目标，突出重点，解决难点，充分发挥现代教育技术的作用，制作多媒体课件，运用多媒体辅助教学，变静为动，融声、形、色为一体为学生提供生动、形象、直观的观察材料，激发学生学习的积极性和主动性。

二、教学重点和难点重点：平行线的三个性质以及综合运用平行线性质、判定等知识解题。

难点：区分性质和判定以及怎样综合运用解平行线性质、判定等知识题。

三、教材分析平行线是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见，它不仅是研究其他图形的基础，而且在实际中也有着广泛的应用。

因此，探索和掌握好它的有关知识，对学生更好的认识世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的。

教材设置了一个通过探索平行线性质的活动，在活动中，鼓励学生充分交流，运用多种方法进行探索，尽可能地发现有关事实，并能应用平行线性质解决一些问题，运用自己的语言说明理由，使学生的推理能力和语言表达能力得到提高。

为学生今后的学习打下了基础。

因此，无论在知识技能上，还是在学生能力的培养及感情教育等方面，这节课都起着十分重要的作用。

四、学生情况分析考虑本校处在城乡结合部，大部分学生的基础比较差，缺乏自学能力，动手能力比较差，所以，应该重视学生学习兴趣和态度的培养、重视学生的自主探索和合作交流以及新意识的培养。

利用七年级学生都有好胜、好强的特点，扭转学数学难、数学枯燥的这种局面。

形成一种勤动手、勤动脑，勤探索和肯合作交流的良好气氛五、学法引导1．教师教法：采用尝试指导、引导发现法，充分发挥学生的主体作用。

第七章平行线的证明1 为什么要证明1．使学生经历通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确的过程认识到证明的必要性．2．理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举出反例推理证明等，理解数学的严谨性．3．发展学生的探索意识以及合作交流的习惯；关注现实，培养学生进行深入思考的能力和质疑精神．重点理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实验进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法．难点体会数学推理的重要性和必要性．一、情境导入师：在以前的学习过程中，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论，那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？下面我们一起来学习第七章第一节的内容：为什么要证明．二、探究新知1．探究一：观察得到的结论正确吗？课件出示教材第162页“做一做”上面的题目．学生凭着自己的观察和直观感觉说出想法后，组织学生动手量一量、算一算，验证结论是否正确．然后引导学生回答下列问题．(1)由观察得到的结论正确吗？(2)你还能举出日常生活中的例子吗？2．探究二：归纳得到的结论正确吗？(1)听故事“公鸡归纳法”．某主妇养小鸡十只，公母各半．她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐．每天早晨她拿米喂鸡，到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃．”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了．师：第1天有米吃，第2天有米吃……第99天有米吃，一定能推出第100天有米吃吗？从这个故事中你明白了什么道理？同桌之间相互交流．(2)算一算验证“归纳法”．课件出示教材第162页“做一做”第(1)题．师：我们是不是可以由此得出结论：当n为任意自然数时，n2－n＋11的值一定是质数呢？让学生再多取几个数代入代数式中，验证结论是否正确．(不正确，比如当n＝11时，n2－n＋11＝121，结果是合数．)思考：由归纳得到的结论一定正确吗？(3)再次验证“归纳法”．课件出示教材第162页“做一做”第(2)题．DE与BC平行，且等于BC长度的一半；引导学生尝试猜想：连接三角形两条边的中点所得的线段平行第三条边，且是第三条边长度的一半；组织学生进行归纳并验证结论，发现这样的结论对所有的三角形都成立．小结：归纳得到的结论有的正确有的不正确．3．交流与发现．师：通过上述几类问题的分析，你有什么发现吗？师：通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确？怎样判断一个结论是否正确呢？总结：实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．三、举例分析1．课件出示教材第163页“随堂练习”第1题第(1)题．解：线段b与线段d在同一条直线上．2．课件出示教材第163“随堂练习”第1题第(2)题．分析：观察往往会产生错觉，得出的结论不一定正确，想要判断两条线段是否一样长，最科学、合理的方式是量一量，组织学生动手操作量一量．解：两条线段一样长．四、练习巩固观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？解：一样大．说明：实验、观察、归纳得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．五、小结1．通过本节课的学习，我们了解了实验、观察、归纳得到的结论不一定正确，从而明白证明的意义和必要性．2．让学生反思自己在本节课学习中的优缺点及改进的方法，并能积极地参与总结性的发言．六、课外作业教材第164页习题7.1第1～3题．本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感觉，并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面．不是一味地强调证明的必要性，而是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性，设计中突出体现了学生的主体地位．2 定义与命题第1课时定义与命题1．了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题；能找出命题的条件和结论．2．用数学的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征．3．通过对某些语句特征的判断，养成严谨的思考习惯．重点理解命题的概念，找出命题的条件和结论．难点正确找出命题的条件和结论．一、情境导入课件出示：小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》．小亮说：……小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”小亮说：“……”小刚说：“……”小亮说：“哈！这个黑客终于被逮住了．”……坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：一人说：“这黑客是个小偷吧？”另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼．”……一人说：“那因特网肯定是一张很大的网．”另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网．”……师：在这个故事中，你得到什么启示？(人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行．为此，我们需要给出它们的定义．)二、探究新知1．命题．课件出示教材第165页“议一议”．学生小组讨论，指名汇报，教师点评，并引出命题的概念．像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题．即：命题是判断一件事情的句子．例如，上面“议一议”中的(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断，都是命题．如果一个句子没有对某一事情做出任何判断，那么它就不是命题．例如，上面“议一议”中的(5)(6)都不是命题．师：大家能举出这样的例子吗？学生分小组讨论回答：任意一个三角形都有一个直角．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．全等三角形的对应角相等．……2．命题的条件和结论．阅读教材第166页“想一想”，完成下列小题．(1)这些命题都有________________的结构特征．(2)一般地，每个命题都由________和________两部分组成，________是已知的事项，________是由已知事项推断出的事项．命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“________”引出的部分是条件，“________”引出的部分是结论．3．完成教材第166页“做一做”．三、举例分析1．举出一些是命题的语句．教师引导学生回答问题．2．举出一些不是命题的语句．教师引导学生回答问题．四、练习巩固1．下列句子中哪些是命题？(1)画线段AB＝3 cm；(2)两条直线相交，有几个交点？(3)等于同一个角的两个角相等吗？(4)在射线OA上，任取两点B，C.2．指出下列命题的条件和结论．(1)若a＞0，b＞0，则ab＞0；(2)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；(3)同角的补角相等；(4)内错角相等，两直线平行．五、小结1．定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义．2．命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．六、课外作业教材第167页习题7.2第1～3题．教学中以学生自主探索为主，通过学生活动，了解定义的含义．通过学生的自主探索、合作交流、归纳出命题的题设和结论，加深了学生对命题结构的理解与记忆．整个教学过程中以学生讨论为主，极大地调动了学生的学习积极性，激发了学生学习的兴趣．在教学中教师要加强对已经学过的相关知识的梳理，加深对新知识的认识，逐渐形成对知识的迁移与应用．3 平行线的判定1．熟练掌握平行线的判定定理；能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．2．通过学生画图、讨论、推理等活动，体会证明的基本方法和过程，体验推理的严谨性和结论的确定性，同时给学生渗透化归思想和分类思想．重点掌握平行线的判定定理及灵活运用．难点平行线判定定理的应用．一、复习导入1．什么叫做平行线？(同一平面内，两条直线不相交，就叫做平行线)2．什么叫做同位角、内错角和同旁内角？3．前面我们探索过两条直线平行的哪些判别条件？师：通过前面的学习我们知道，判断一个数学结论是否正确还需要有根有据的证明，那么，利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明下列定理吗？我们一起来试一试．二、探究新知1．平行线的判定定理一．(1)定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行．(2)证明这个定理需要先把定理转化成几何语言，谁能说一说，怎么转化？(画出两条直线a，b，被第三条直线c所截，标出内错角∠1和∠2，表示如果∠1＝∠2，那么a∥b.)已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1＝∠2.求证：a∥b.(3)怎么证明呢？请写出完整的证明过程．证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)，∴∠3＝∠2(等量代换)．∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．2．平行线的判定定理二．(1)定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行．(2)让学生利用证明定理一的经验自主证明定理二．(3)讨论：要由同旁内角互补证明两直线平行，怎么证明？(我们知道有基本事实“同位角相等，两直线平行”，如果能由同旁内角互补推出同位角相等，那么根据已有的这个基本事实就能证明两直线平行)(4)学生板书证明过程．三、举例分析1．如图①所示，由∠DCE＝∠D，可判断哪两条直线平行？由∠1＝∠2，可判断哪两条直线平行？2．如图②，已知∠1＝45°，∠2＝135°，l1∥l2吗？为什么？学生思考后回答问题，教师点评．四、练习巩固1．同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是( ) A．a∥d B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c2．如图，∠B＝60°，∠1＝________时，DE∥BC，理由是________________．五、小结1．如何判断两条直线平行？2．通过这节课的学习你还有哪些收获？六、课外作业教材第173～174页习题7.4第1～4题．本节课学习了判定两条直线平行的三个方法，其中一条是判定公理，另外两个是判定定理．判定公理是我们证明两直线平行的原始依据，在具体证明过程中，应根据已知条件灵活地选择判定方法．很多时候往往不能直接运用判定定理，此时需要进行适当地转化，有时需要添加必要的辅助线．注意：作铺助线时应用虚线．4 平行线的性质1．掌握平行线的三条性质定理；能熟练运用这三条性质定理证明几何题；进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．2．经历观察、操作、推理、交流等学习活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力．重点掌握平行线的性质定理．难点平行线性质定理的应用．一、复习导入师：平行线的判定方法有哪些？师：在上一节课中，我们证明了有关平行线的判定定理，那么对于平行线的性质，又怎么证明呢？能运用上节课积累的方法进行证明吗？今天这节课我们一起再来试一试证明它们．二、探究新知1．平行线的性质定理一．证明：两直线平行，同位角相等．(1)你能用几何语言描述这样的证明题吗？已知：直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角．求证：∠1＝∠2.(2)如果直接进行证明的话，难以找到能够作为依据的相关事实、定理，该怎么办？(提示学生可以用反证法，假设结论错误，再从错误的结论出发推出与定理、事实相矛盾的地方，说明假设不成立，从而得证)(3)如果∠1≠∠2，那么是否存在另外一条直线，它被第三条直线所截的∠2的另一同位角∠1′，有∠1′＝∠2呢？(有)(4)如果有，是否意味着这条直线和CD平行？(是的，同位角相等，两直线平行)这条直线可以是任意一条，也就是说我们可以过M点(AB与EF相交于点M)作这样的一条直线，此时我们发现过M点有两条直线与CD平行，这可能吗？(不可能，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行)(5)这样看来假设不能成立，说明什么？(∠1＝∠2)(6)学生根据讨论、交流，板书证明过程．证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2，如图所示．根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD.又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行．这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾．这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1＝∠2.2．平行线的性质定理二．证明：两直线平行，内错角相等．(1) 你能用几何语言描述题目要求吗？已知：如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角．求证：∠1＝∠2.(2)我们已经证明了两直线平行，同位角相等，可以将这个作为基本的事实(定理)，你能尝试完成吗？证明：∵l1∥l2(已知)，∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．又∵∠2＝∠3(对顶角相等)，∴∠1＝∠2(等量代换)．3．平行线的性质定理三．师：你能按照上面的思路证明两直线平行，同旁内角互补吗？学生独立完成，指名板演，教师讲评．三、举例分析课件出示教材第176页例题．通过例题，得出定理：平行于同一条直线的两条直线平行．四、练习巩固1．请你对比这些平行线的性质与前面所学的平行线的判定，它们有什么不同？2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( ) A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补五、小结1．这节课你有什么收获？2．平行线的性质定理有哪些？3．完成一个命题的证明，需要哪些环节？六、课外作业教材第177页习题7.5第1～4题．本节课主要学习了平行线的三条性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的性质定理和判定定理中的条件和结论刚好相反，在具体应用时要注意，当知道两条直线平行时，要利用其性质得出相关的角相等或互补，当不知道两条直线是否平行时，要用相关的角相等或互补判定两直线平行．5 三角形内角和定理第1课时三角形的内角1．掌握三角形内角和定理的证明及简单应用；灵活运用三角形内角和定理解决相关问题．2．用多种方法证明三角形内角和定理，培养一题多解的能力．重点掌握三角形内角和定理的证明及简单应用．难点灵活运用三角形内角和定理解决相关问题．一、情境导入用折纸的方法验证三角形内角和定理．先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图①)，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合(图②、③)，最后得图④所示的结果．试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，还有其他折法吗？二、探究新知1．将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起．试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，如果只剪下一个角呢？2．用严谨的证明来论证三角形内角和定理．看哪个同学想的方法最多？方法一：过A点作DE∥BC.∵DE∥BC，∴ ________________(两直线平行，内错角相等)．∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，∴________________ (等量代换)．方法二：延长BC到D，过点C作射线CE∥BA.∵CE∥BA，∴∠B＝________________(两直线平行，同位角相等)．∠A＝________________(两直线平行，内错角相等)．∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝________________ (等量代换)．添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的．三、举例分析课件出示教材第179页例1.小组合作解决问题并完成证明．四、巩固练习教材第179页“随堂练习”第1～3题．五、小结1．通过本节课的学习，我们了解证明三角形内角和定理的几种方法，学会了作辅助线创造条件以达到证明的目的．2．让学生反思自己本节课学习中的优缺点及改进的方法．六、课外作业教材第180页习题7.6第1～4题．根据课程的特点，创设问题情境，以引导学生探索、运用为主线来展开．坚持以学生为本的原则，引导学生操作、探索、讨论、归纳．在教学过程中，引导学生去探索，使学生感受到添加辅助线的教学思想，更好地掌握三角形内角和定理的证明及简单的应用，从而实现教师是引导者和学生是主体的课堂教学理念．第2课时三角形的外角1．掌握三角形外角的两条性质；进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧；灵活运用三角形外角的两条性质解决相关问题．2．进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识．重点掌握三角形外角的两条性质．难点灵活运用三角形外角的两条性质解决相关问题．一、情境导入师：在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的边BC延长到D得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这个角命名，并且来研究它的性质．二、探究新知1．三角形外角的概念．三角形的外角：三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．(1)如下图，∠________是△ABC的一个外角．你还能作出△ABC其他的外角吗？(2)观察上图的外角，你能总结出三角形外角有哪些特征？①顶点在________________上；②一条边是三角形的____________；③另一条边是三角形某条边的______________．2．三角形内角和定理的推论．课件出示：如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？师：由上面的推导过程我们可以得到两个定理：定理1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．定理2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．推论：由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论．推论可以当做定理使用．三、举例分析1．课件出示教材第181页例2.(1)要证明AD∥BC，只需证明哪两个角相等？(2)如何利用题目中的条件？(3)你能说说自己的解题思路吗？(4)你还有其他的证明方法吗？(5)大家通过小组合作能解决问题并完成证明吗？证明：∵∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B＝∠C(已知)，∴2∠B＝∠EAC(等式的性质)．∵AD平分∠EAC(已知)，∴2∠DAE＝∠EAC(角平分线的定义)．∴∠DAE＝∠B(等量代换)．∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．2．课件出示教材第182页例3.引导学生用不同的方法证明．四、练习巩固教材第183页“随堂练习”第1，2题．五、小结1．这节课你有什么收获？2．三角形外角的两条定理是什么？六、课外作业教材第183页习题7.7第1～3题．本节课主要学习三角形外角的两个性质．因为这两个性质是由三角形内角和定理经过推理得来的，所以这两个性质也叫三角形的内角和定理的推论．当遇到证明角的不等关系时应自然想到用三角形的外角的性质．在解决实际问题时，根据题意构建几何模型是解题的关键．10。

第七章平行线的证明4．平行线的性质一、学生知识状况分析学生技能基础：在学习本课之前，学生对平行线的性质已经比较熟悉，也有了初步的逻辑推理能力，特别是上一节课的学习，使学生对简单的证明步骤有了更为清楚的认识，这为今天的学习奠定了一个良好的基础．活动经验基础：在以往的几何学习中，学生对动手操作、猜想、说理、讨论等活动形式比较熟悉，本节课主要采取学生分组交流、讨论等学习方式，学生已经具备必要的基础．二、教学任务分析在以前的几何学习中，主要是针对几何概念、运算以及几何的初步证明（说理），在学生的头脑中还没有形成一个比较系统的几何证明体系，上一节课安排的《为什么它们平行》和本节课安排的《如果两条直线平行》旨在让学生从简单的几何证明（平行线的判定与性质）入手，逐步形成一个更为清晰的证明思路，为此，本课时的教学目标是：1.认识平行线的三条性质。

2.能熟练运用这三条性质证明几何题。

3.进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．4.了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程．5. 进一步发展学生的合情推理能力，培养学生的逻辑思维能力。

三、教学过程分析本节课的设计分为四个环节：复习旧知——探究新知——反馈练习——反思与小结第一环节：复习旧知活动内容：在上图中你能找到我们以前学过的同位角、内错角、同旁内角吗？在变化后的图形中这些角的位置发生变化了吗？是什么发生了变化？（引导学生得出已学过的平行线的性质）教学效果：由于学生对平行线的性质比较熟悉，因此，在学生回忆起这些知识并不难，对将要学习的新知识非常有帮助。

第二环节：探究新知活动内容：1、平行公理：两直线平行同位角相等．2、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

（先把题目转换成数学语言）已知：如图，a∥b，∠3和∠5直线a、b被直线c所截所形成的内错角，求证：∠3=∠5证明：∵a∥b(已知)，∴∠1＝∠5(两条直线平行，同位角相等)∵∠1＝∠3(对顶角相等)，∴∠5=∠3(等量代换)．师：由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢？学生活动：同学们积极举手回答问题．教师根据学生叙述，给出板书：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．师：下面请同学们自己推导同旁内角是互补的．并归纳总结出平行线的第三条性质．请同学们在练习本上完成．师生共同订正推导过程并写出第三条性质．∵a∥b(已知)∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)∵∠1＋∠4=180°(邻补角定义)∴∠2+∠4＝180°(等量代换)即：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成，两直线平行，同旁内角互补问：怎样说明一个命题是真命题？学生分组讨论，教师巡视指导。

4 平行线的性质学习目标理解并掌握平行线性质定理的推导会用平行线的性质进行推理和计算。

教学重难点【重点】数学证明平行线的性质.【难点】运用严谨、科学的方法进行数学证明.教学过程一、复习引入师:,我们以前探究过的平行线的判定,平行线有哪些判定方法?生:1.同位角相等，两直线平行;2.内错角相等，两直线平行,3同旁内角互补，两直线平行2.新课引入.师:在上一节课中,我们证明了有关平行线的判定定理,那么对于平行线的性质,又怎么证明呢?能运用上节课积累的方法进行证明吗?今天这节课我们一起再来试一试证明它们.二、探索新知1.平行线的性质公理:两直线平行,同位角相等.(2)用几何语言描述直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角.∠1=∠2.2.证明:两直线平行,内错角相等.(1)已知:如图,直线l1∥l2,∠1和∠2是直线l1,l2被直线l截出的内错角.求证:∠1=∠2.(2)尝试证明.提示:我们已经证明了两直线平行,同位角相等,可以将这个作为基本的事实(定理),进行论证.在证明时,通过构建新角等方法,尽可能应用到已有的定理,从而进行论证.板书证明过程:证明:∵l1∥l2(已知),∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等).又∠2=∠3(对顶角相等),∴∠1=∠2(等量代换).3.证明:两直线平行,同旁内角互补.学生已有了相关证明的经验,放手让学生自我证明,再全班交流,集体订正.4.师:请你对比这些平行线的性质与前面所学的平行线的判定,它们有什么不同?请大家填写师生共同总结:两直线平行判定:角的关系⇒线的关系性质:线的关系⇒角的关系5.思考:完成一个命题的证明,需要哪些主要环节?(1)根据题意画出图形(若已给出图形,则可省略);(2)根据题设和结论,结合图形,写出已知和求证;(3)经过分析,找出已知得出求证的途径,写出证明过程;(4)检查证明过程是否正确完善.三、解决问题师:学会了平行线的性质,我们就利用性质解决一些问题.(投影出示)1.如图,AB∥CD,AC∥BD.分别找出与∠1相等或互补的角.生:画图,找出所有与∠1相等或互补的角.与∠1相等的角有7个,与∠1互补的角有8个,用性质说明它们相等或互补的理由.第1题图四、例题讲解【例1】已知:如图,b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a,b,c被直线d截出的同位角.求证b∥c. 【答案】∵b∥a(已知),∴∠2=∠1(两直线平行,同位角相等).∵c∥a(已知),∴∠3=∠1(两直线平行,同位角相等).∴∠2=∠3(等量代换).∴b∥c(同位角相等,两直线平行).例1题图【例2】如图,已知∠1=∠2,若直线b⊥m,则直线a⊥m.请说明理由.【答案】如图,已知∠1=∠2,根据“同位角相等,两直线平行”,得a∥b.由a∥b,再根据“两直线平行,同位角相等”,得∠3=∠4.又已知b⊥m,根据垂直的意义,得∠4=90°,∴∠3=90°,∴a⊥m.例3题图例4题图【例4】如图,已知AB∥CD,AD∥BC.判断∠1与∠2是否相等,并说明理由. 【答案】∠1=∠2.理由如下:已知AB∥CD,根据“两直线平行,同旁内角互补”,得∠1+∠BAD=180°.同理,可得∠BAD+∠2=180°,∴∠1=∠2.五、课堂小结这节课我们学习了哪些内容?你有什么收获?。