2011级数值分析(A)试卷

11级（12/07/03）
一、基础题(40分)
(一)、单项选择(2×5=10分)
1、求解常微分方程的预估—校正法的局部截断误差为( )。

2、过
3
4
5、
(二)
1、是一日插值基函数在节点上的取值是______________。

2、设分段多项式，
，
是以0，2，3为节点的三次样条
函数。

则a =____________，b =____________， c =____________。

3、设，则关于节点，，的二阶向前差分为_________。

4、5个节点的牛顿—科特斯求积公式的代数精度为________，5个节点的求积公式最高代数精度为________。

5、设，则a的取值范围为________A可分解为A = LL T，且当L满足________，分解是唯一的。

6、设是切比雪夫正交多项式系，则的正交区间为________，它的权
7迭8。

1
2
(1)
(2)
3、用二步法求解一阶常微分方程初值问题
，
，问：如何选择、的值，才能使该方法的阶数尽可能高？写出此时的局部截断误差主项。

三、计算题(15×2=30分)
1、(1)设，，是区间[-1，1]上权函数为的最高项系数为1的正交多项式组，其中，，求。

(2)利用，，求函数在[-1，1]上的二次最佳平方逼近多项式。

2、已知求解方程组Ax = b的分量迭代格式：，
，，，；，，，
(1)试求出矩阵格式及迭代矩阵。

(2)证明当A为严格对角占优矩阵，时，该迭代格式收敛。

数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。

答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。

答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。

答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。

答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。

武汉大学2011工程硕士数值分析考试复习题预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制1、设()0f x =有根，且'0(),m f x M x <≤≤-∞<<+∞，试证明由1()k k k x x f x λ+=-产生的序列{}k x 对任意的0x 和02M λ<<均收敛。

2、对3*(),0()x x x x x φφ=+=为的一个不动点，验证10()0k k x x x φ+=≠对不收敛，但改用steffen 方法却收敛。

3、设*x 是()0f x =的根，且()()'''*0,f x f x x ≠在领域上连续，试证明：Newton 迭代序列{}n x 满足''*12'*12()lim ()2()k k k k k x x f x x x f x -→∞---=-4、给定方程组的雅可比迭代矩阵为022101220J B =----??，试证明雅可比迭代收敛而高斯迭代不收敛。

5、设二阶方程组为12630321x x = ? ? ?-????，取(0)00x ??= （1）用最快速下降法迭代两次求近似解(2)x ；（2）用共轭梯度法迭代两次求近似解(2)x ；（3）与精确解进行比较分析。

6、设方程组AX=B 系数矩阵A 非奇异，条件数cond （A ），设A 有扰动A δ，且11A A δ-<，分析解的扰动X δ的相对变化XX δ。

7、设2()[,],()()0f x c a b f a f b ?==且，试证明：2''()max ()max ()8a xb a x b b a f x f x ≤≤≤≤-≤8、试证明两点三次Hermite 插值余项(4)2231()()()()4!k k f R x x x x x ξ+=--，并求此分段三次Hermite 插值的误差限。

武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸课程名称：数值计算（A ） 任课教师 ：一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 1.将227和355113作为 3.14159265358979π=L 的近似值，它们各有几位有效数字， 绝对误差和相对误差分别是多少3分）2分）2.已知()8532f x x x =+-，求0183,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L ，0193,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L .(5分）3.确定求积公式10120()(0)(1)(0)f x dx A f A f A f '≈++⎰中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。

解：要使其代数精度尽可能的高，只需令()1,,,m f x x x =L L 使积分公式对尽可能大的正整数m 准确成立。

由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即2m =。

由()1f x =数值积分准确成立得：011A A += 由()f x x =数值积分准确成立得：121/2A A += 由2()f x x =数值积分准确成立得：11/3A =解得1201/3,1/6,2/3.A A A === (3分）此时，取3()f x x =积分准确值为1/4,而数值积分为11/31/4,A =≠所以该求积公式的最高代数精度为2次。

(2分）4.求矩阵101010202A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱半径。

解 ()()101011322I A λλλλλλλ--=-=---矩阵A 的特征值为1230,1,3λλλ=== 所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ== (5分）5. 设10099,9998A ⎛⎫= ⎪⎝⎭计算A 的条件数()(),2,p cond A P =∞.解：**19899-98999910099-100A A A A --⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭矩阵A 的较大特征值为，较小的特征值为，则1222()198.00505035/0.0050503539206cond A A A -=⨯==(2分）1()199********cond A A A -∞∞∞=⨯=⨯= (3分）22001130101011010220100110110()(12)()(12)()()()()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x x x ----=-+-------''+-+---(5分）并依条件1(0)1,(0),(1)2,(1) 2.2H H H H ''====，得2222331()(12)(1)2(32)(1)2(1)211122H x x x x x x x x x x x =+-+-+-+-=++ (5分）2.已知()()()12,11,21f f f -===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。

期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。

（ ）2. 为了减少误差,进行计算。

（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。

5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。

期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。

n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。

( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高，数值解越精确。

( )5. 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有 次的代数精度。

5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产 生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。

2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷A(总分：28.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知x 1 =0．724，x 2 =1．25均为有效数，则｜e r (x 1 x 2 )｜≤______｜e(x 1／x 2 )｜≤_______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：0．469×10 -2，0．272×10 -2)解析：3.设∞ =______，cond(A) 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.超定方程组x 1 =______.x 2 =_______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：-0．8333或-0．6667)解析：5.用Simpson______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1.4757)解析：6.0，1，2为节点的三次样条函数，则a=_____，b=_____．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：3，-3)解析：二、计算题(总题数：3，分数：6.00)7.给定方程e x，分析此方程有几个实根，并用迭代法求此方程的正根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设当x=ln0．5时，f"(x)=0；当x∈(-∞，ln0．5)时，f"(x)＜0；当x∈(ln0．5，+∞)时，f"(x)＞0．再注意到f(-4)＞0，f(-3)＜0，f(1)＜0，f(2)＞0，则该方程存在两个实根，分别在[-4，-3]和[1，2]内．构造迭代格式x *∈[1，2]，取x 0 =1．5，计算得x 1 =1．0651，x 2 =0．9116，x 3 =0．8953，x )解析：8.用列主元Guass（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =-2，x 2 =1，x 3 =-1．)解析：9.给定求解线性方程组Ax=b的迭代格式Bx (k+1) +ωCx k =b，其中ω的值使上述迭代格式收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方法1：由Bx (k+1) +ωCx (k) =b得x (k+1) =-ωB -1 Cx (k) +B -1 b 上述格式收敛的充要条件为ρ(-ωB -1 C)＜1．迭代矩阵-ωB -1 C的特征方程为｜λI+ωB -1 C｜=0，可变形为｜B -1｜｜λB+ωC｜=0，即展开得16λ2—8λω)解析：三、综合题(总题数：5，分数：10.00)10.作一个3次多项式H(x)，使得H(a)=b 3，H(b)=a 3，H"(a)=6b，H"(b)=6a．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方法1：根据H"(a)=6b，H"(6)=6a可知(x-a)=6b—6(x-a)，两边积分得H(x)=6b(x—a)-3(x-a) 2 +c，H(x)=3b(x-a) 2 -(x—a) 3 +c(x—a)+d．由H(a)=b 3得d=b 3，再由H(b)=a 3有c=-3b 2，所以H(x)=-(x-a) 3 +3b(x-a) )解析：11.求函数y(x)=x 4在区间[0，1]上的一次最佳一致逼近多项式p(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设p(x)=a+bx．由f"(x)=4x 3，f"(x)=12x 2知，当x∈(0，1)时，f"(x)恒大于零．则f(x)-p(x)在[0，1]上有三个交错偏差点：0，x 1，1，且满足即求解得所以)解析：12.已知函数f(x)∈C 4[a，b]，I(f)=∫ a b f（x）dx 1)写出以a，b为二重节点所建立的f(x)的3次Hermite 插值多琐式H(x)及插值余项； 2)根据f(x)≈H(x)建立一个求解I(f)的数值求积公式I H (x)，并分析该公式的截断误差和代数精度．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)由条件H(a)=f(a)，H"(a)=f"(a)，H(b)=f(b)，H"(b)=f"(b)，作差商表：所以2)根据题意，有I(f)≈∫ a b H(x)dx，下面求代数精度．由插值余项知，当f(x)=1，x，x 2，x 3时，插值余项为零，I H (f)精确求积；当f(x)=x 4时此时b 5系数为I H) 解析：13.给定常微分方程初值问题n，并记h=(b—a)／n，x i=a+ih，0≤i≤n．试确定参数A，B，C，使求解公式y i+1 =Ay i +(1-A)y i-1 +h[Bf(x i+1，y i+1 )+Cf(x i，y i )]的局部截断误差R i+1的阶数达到最高，指出所达剑的最高阶数并给出局部截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：局部截断误差为R i+1=y(x i+1)-Ay(x i)-(1-A)y(x i-1)-h[By"(x i+1)+Cy"(x i)]=y(xi )+hy"(x 1 )+ y"(x i )+ y""(x i y (4) (xi )+O(h5)解析：14.给定如下抛物方程初边值问题：取步长用古典隐格式计算u(x，t)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：求解该问题的古典隐格式为记则差分格式可写为(1+2r)u i k-r(u i+1k +ui-1k )=uik-1 +τ(3—3xi )，用方程组表示为k=1．2．因为所以，当k=1时，方程为或解得u 11 =0．7870，u 2<) 解析：。

数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。

A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。

A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。

A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。

A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。

A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。

A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。

A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。

合肥工业大学2011级硕士研究生《数值分析》试卷(A)班级 姓名 学号 成绩一、判断题 (下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√ ”，错误的打“×”，每题2分，共10分) 1. 设函数f 具有5阶导数，则(5)[0,1,2,3,4,5]()f f ξ=，其中ξ介于0,1,2,3,4,5之间,[0,1,2,3,4,5]f 是()f x 关于节点0,1,2,3,4,5的5阶差商。

( )2. 若方阵A 是严格对角占优的，则可用Gauss 消去法直接求解方程组=Ax b ，无须选主元素。

( )3. 若()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间(,)a b 内至少有一个根。

( )4. 若函数()f x 是多项式，则它的Lagrange 插值多项式()()p x f x ≡. ( )5. 解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta 方法的局部截断误差是5()O h ，其中h 是步长。

( )二、填空题 (每空2分，共10分)1. 近似数*3.200x =关于准确值 3.200678x =有 位有效数字。

2. 设2435A =⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1Cond()A = . 3. 设函数(2.6)13.4673,(2.7)14.8797,(2.8)16.4446f f f ===, 用三点数值微分公式计算(2.7)f '= 14.8865 .4. 设函数sin 2()x f x =, 2()p x 是()f x 的以1,2,3为节点的二次Lagrange 插值多项式，则余项2()()f x p x -= .5. 二元函数(,)f x y 在区域D 上关于y 满足Lipschitz 条件是：.三 (本题满分12分) 对下列方程组1231231235212,4220,23103x x x x x x x x x ++=-⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 建立Jacobi 迭代格式(4分)和Gauss –Seidel 迭代格式(4分)，写出Jacobi 迭代格式的迭代矩阵，并用迭代矩阵的范数判断所建立的Jacobi 迭代格式是否收敛(4分)。

一、填空题(本题16分，每空 2 分)1. 若S (x )332, 011(1)(1)(1),132x x x a x b x c x ⎧≤≤⎪=⎨-+-+-+≤≤⎪⎩是三次样条函数，则a =3 ，b =3 ，c =1．2. 求积公式10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。

3.设1-2-34A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则()A ρ=5 5.372+≈，cond ∞(A )=21 4. 矩阵111122123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的LU 分解为100111110011111001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5. 求方程cos x x =根的牛顿迭代格式是1cos 1sin n nn n nx x x x x +-=-+。

二、(12分)求不超过4次的多项式()P x ，使它满足插值条件(0)(0)0,(1)(1)1,(2) 2.P P P P P ''=====若上述数据来源于f (x )，给出误差估计。

解法1： 因为(0)(0)0,(1)(1)1,P P P P ''====则先构造两点三次埃M 特插值，2232100()12(1)011010(2)x x x H x x x x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=- …………………………………………………………….8分又设223()()(1)P x H x Ax x =+-，代入(2)2,P =得A=1/2,222223221()()(1)(2)(1)21(45)2P x H x Ax x x x x x x x x =+-=-+-=-+余项为 R(x)=(5)22()(1)(2)5!f x x x ξ--……………………………12分 解法2：构造带重节点的Newton 差商表 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 -12 2 1 0 0 1/2………………………8分2222221()00(0)1(0)1(0)(1)(0)(1)21(45)2N x x x x x x x x x x =+-+----+--=-+…………………12分三、 (12分) 求()xf x e -= 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近2次多项式.(用勒让德正交多项式20121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-) 解：用勒让德多项式20121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-,2(,)21i i P P i =+ …………………………………………………………………………………..3分计算：11101(,)( 2.3504）x f P e dx e e ---==-≈⎰,1111(,)20.7358x f P xe dx e---==-≈-⎰ 121211(,)(31)70.143132x f P x e dx e e ---=-=-≈⎰…………………………………………………………………………………..8分111101010011(,)(,)2* 1.1752,*3 1.1036(,)2(,)2/3 f P f P e e e a a e P P P P ----==≈==-=-≈-12222(,)7*0.3578(,)2/5f P e e a P P --==≈故最优平方逼近函数为：11112225351()3(31)22211.1752 1.10360.3758(31)20.5367 1.10360.9963e e e e p x e x x x x x x -----=-+⋅-≈-+⋅-=-+。

湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 数值分析 （A 卷） 专业年级： 2011级各专业 考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120分钟……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

一、填空题(每空3分，共30分)（1）利用4位浮点数计算，31.97+（2.457+0135。

2）=（ ）。

(2) 设1||<<x ，为了使计算更准确，应将计算公式xx y 21111---=等价转化为（ ）。

（3）用二分法求1)(3-+=x x x f 在区间[0,1]内的唯一根，迭代二步后根所在的区间为（ ）。

（4）求1)(23--=x x x f 在区间（1,2）内的根，用迭代格式111-=+k k x x ，该迭代格式是收敛还是发散？ （ ）。

（5）用高斯消元法求解n 阶线性方程组，乘除的运算量为（ ）。

（6）T x )0,1,2,8(-=，则向量x 的1-范数2||||x =（ ）。

（7）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=8100212322A ，则矩阵A 的无穷范数1||||A =（ ）。

（8）设x 为n 维列向量，G 为n 阶矩阵，则迭代格式f Gx xk k +=+)()1(收敛的充分必要条件为（ ）。

（9）已知2)1(1)(x x f +=在 1.2 1.1, ,0.1 三点的函数值分别为0.2066 0.2268, ,25.0，利用三点数值微分公式近似计算f(x) 在1.1处的导数值)1.1('f ≈（ ）。

（10） 设5228)(257+++=x x x x f ，则差商=]2,,,2,2[821 f （ ）。

二、(10分) 当2,1,0,1-=x时，函数值分别为17,4,3,2)(=x f 求f(x)的三次插值多项式。

三、((10分) 求函数x x f ln )(=在区间[1, 3]的最佳平方逼近一次多项式。

装订线年 级 学 号 姓 名 专 业一、填空题（本题40分, 每空4分）1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则=)(i j x l 1,0,1,,0i j i j n i j=⎧=⎨≠⎩ 。

2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 0 。

3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 1/8 。

4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 ()1B ρ< 。

5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 3 。

6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm才能使其面积误差不超过12cm 。

（结果保留小数）7.要使求积公式)()0(41)(111x f A f dx x f +≈⎰具有2次代数精确度，则 =1x23 ， =1A 34。

8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LUA =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1359 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 189A 其中，则=L 10002100121023113⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭=U 918927091890281540009-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭。

二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。

2011级数值分析 试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分年 级2011级研究生 份 数 拟题人 王吉波 审核人装 订线年级 学 号 姓 名 专 业三、计算题（15分）试导出计算)0(1>a a的Newton迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。

装 订 线 年 级学 号姓 名专 业一、填空题（本题40分, 每空4分） 1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则=)(i j x l 。

2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 。

3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 。

4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 。

5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 。

6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 cm 才能使其面积误差不超过12cm 。

（结果保留小数） 7.要使求积公式)()0(41)(1110x f A f dx x f +≈⎰具有2次代数精确度，则 =1x ， =1A 。

8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LU A =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=135 9 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 18 9A 其中，则=L =U 。

二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。

2011级数值分析 试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 年 级2011级研究生份 数拟题人 王吉波审核人装 订 线 年 级学 号姓 名专 业三、计算题（15分）试导出计算)0(1>a a 的Newton 迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。

四、计算题（15分）已知43,21,41210===x x x 。

（1）推导出以这3个点作为求积节点在[0，1]上的插值型求积公式； （2）指明求积公式所具有的代数精确度；（3）用所求公式计算⎰102dx x 。