2016年福建省漳州市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．33．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．35．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P==．故选：C．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．3【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣）+]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题．7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，+b n+1=nb n．（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1即3b n=b n．+1即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S=×2××2×2=．△PEF【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n=19时，y==（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．则n≥19∴n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用=，求；（Ⅱ）直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程为y=x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH=，∴直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。

2016 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题第Ⅰ卷一、选择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合 A= {1,3,5,7} ，B= {x|2 ≤x ≤ 5}，则A ∩B= () A ．{1,3} B ．{3,5} C ．{5,7} D ．{1,7}2．设 (1+2i)(a+i )的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a= ()A ．-3B ．-2C ．2D ． 33．为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是() A ． 1B ． 1C ． 2D ． 532362 ， 4． ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a 5,c2,cos A 则 b=( ) 3A ． 2B ． 3C ．2D ．35．直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1，则该椭圆的离心率为 () 4 A ． 1B ． 1C ． 2D ． 332346．若将函数 y=2sin (2x+ )的图像向右平移 1 个周期后，所得图像对应的函数为( ) 6 4A ．y=2sin(2x + )B ．y=2sin(2x +) C ．y=2sin(2x – ) D ． y=2sin(2x –) 4 3 4 37．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 .若该几何体的体积是 28 ，则它的表面积是 () 3 A ． 17πB ．18πC ．20πD ．28π8．若 a>b>0，0<c<1，则() c c a bab c c A ． log c<log c B ． log a<log b C ．a <b D ．c >c9．函数 y=2x 2 –e |x|在[ –2,2]的图像大致为 ()yyy y1 111 -2O2 x -2O 2 x -2 O 2 x -2O2 x10．执行右面的程序框图，如果输入的 x=0，y=1，n=1，开始A(B C D则输出 x， y 的值满足)输入 x,y,nA ．y=2x B．y=3xn1C．y=4x D．y=5xn=n+ 1x x, y ny211．平面α过正方体 ABCD-A1B1 C1 D1 的顶点A，否2 21 1，α∩平面ABCD=m，x +y ≥36? α//平面 CBD是第1 页共 1 页输出 x,y结束α∩平面 ABB1 1，则 ， 所成角的正弦值为( )A =n m n A ． 3B ． 2C ． 3D ． 1 223312．若函数 f (x) x- 1sin2x asin x 在 (-∞ ,+ ∞)单调递增，则 a 的取值范围是 () 3A ．[-1,1]B ．[-1, 1 ]C ．[- 1 , 1 ]D ． [-1,- 1 ]33 33第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分 .第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题 ~第 24 题为选考题，考生根据要求作答 .二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在横线上． 13．设向量 a=(x ， x+1)，b=(1，2)，且 a ⊥b ，则 x= . 14．已知 θ是第四象限角，且 sin(θ+ π)= 3 ，则 tan(θ- π)=.4 5 415．设直线 y=x+2a 与圆 C ：x 2+y 2-2ay-2=0 相交于 A ， B 两点，若 |AB|= 2 3 ，则圆 C 的面积为 .16．某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料 .生产一件产品 A 需要甲材料1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元 .该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为元 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做 6 题，共 70 分. 17.（本题满分 12 分）已知 { an 是公差为 3 的等差数列，数列 n 满足 1 2 1 ，an n+1 n+1n} { b } b =1， b =3 b +b =nb. (Ⅰ)求{ a } 的通项公式； (Ⅱ )求{ b } 的前 n 项和 .n n18.（本题满分 12 分）如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形， PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D ，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E ，P 连接 PE 并延长交 AB 于点 G.(Ⅰ)证明 G 是 AB 的中点；A E C (Ⅱ)在答题卡第（ 18）题图中作出点 E 在平面 PAC内的正投影 F(说明作法及理由 )，并求四面体 PDEF 的体积．G DB19.（本小题满分 12 分）第 2 页共 2 页某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元 . 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若 n=19，求 y 与 x 的函数解析式；(Ⅱ)若要求―需更换的易损零件数不大于n‖的频率不小于 0.5，求 n 的最小值；(Ⅲ)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件，或每台都购买20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？20.（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xoy 中，直线 l ：y=t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y2=2px(p>0)于点 P，M关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H.(Ⅰ)求OH； (Ⅱ)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由.ON21.（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)=(x -2)e x+a(x -1)2.(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性；(Ⅱ)若有两个零点，求 a 的取值范围 .第 3 页共 3 页请考生在22、 23、 24 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 ,做答时请写清题号22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，OAB 是等腰三角形，∠ AOB=120°. 以 O 为圆心，1 OA 为半径作圆 .2(Ⅰ)证明：直线 AB 与⊙ O 相切；(Ⅱ)点 C,D 在⊙ O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明： AB∥CD.23.（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程x a costxoy 中，曲线 C1 的参数方程为（t 为参数， a>0） .在以坐标原 y 1 a sint 点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明 C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线 C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足 tanα0=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在C3 上，求 a.第 4 页共 4 页24.（本小题满分 10 分），选修 4— 5：不等式选讲已知函数 f(x)=| x+1| -|2x-3|.(Ⅰ)在答题卡第 24 题图中画出 y=f(x)的图像；(Ⅱ)求不等式 | f(x)|>1 的解集 .2016 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题参考答案一、选择题，本大题共12 小题，每小题5 分，共 60分．1B 2A 3C 4D 5B 6D 7A8B 9D 10C 11A 12C二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．214．415． 4π16． 2160003 3 .只做 6 题，共 70分.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．解：1 2 21， b1 ，21，解得a1=2⋯2分(Ⅰ)依题 a b +b =b =1 b =3通项公式为 an=2+3(n-1)=3n-1是公比为1⋯ 6 分n+ 1n，bn+1 1n，所以{ bn 的等比数列(Ⅱ)由(Ⅰ)知 3nb =nb = b }331 ( 1)n3 1 P所以{ bn 的前n 3⋯12分F} n 项和 S=11 2 2 3n 13 EA18． (Ⅰ)证明： PD⊥平面 ABC，∴ PD⊥AB．G D.⋯9 分C又 DE⊥平面 PAB，∴ DE⊥AB．∴ AB⊥平面 PDE．⋯3 分 B又PG 平面 PDE，∴ AB⊥PG．依题 PA=PB ，∴ G 是 AB 的中点．⋯ 6 分(Ⅱ)解：在平面 PAB 内作 EF⊥PA（或 EF// PB）垂足为 F，则 F 是点 E 在平面 PAC 内的正投影 . ⋯ 7 分理由如下：∵ PC⊥ PA，PC⊥PB，∴ PC⊥平面 PAB．∴EF ⊥PC作EF⊥PA，∴ EF⊥平面 PAC．即 F 是点 E 在平面 PAC 内的正投影 .⋯ 9分连接 CG，依题 D 是正 ABC 的重心，∴ D 在中线 CG 上，且 CD=2DG．易知 DE// PC，PC=PB=PA= 6，∴ DE=2， PE= 2PG 2 3 2 2 2 ．3 3则在等腰直角 PEF 中， PF=EF= 2，∴ΔPEF 的面积 S=2．所以四面体 PDEF 的体积 V 1 S DE 4 . ⋯12 分3 319．解： (Ⅰ)当 x≤19 时， y=3800；当 x>19 时， y=3800+500(x-19)=500x-5700.所以 y 与 x 的函数解析式为 y 3800,x 19⋯ 3 分500x5700,x(x N*)19(Ⅱ)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18 为 0.46，不大于 19 为 0.7，所以 n 的最小值为 19. ⋯ 6 分第 5 页共 5 页(Ⅲ)若每台机器都购买 19 个易损零件，则有70 台的费用为 3800， 20 台的费用为 4300，10 台的费用为 4800，所以 100 台机器购买易损零件费用的平均数为 1 (3800×70+4300×20+4800×10)=4000. ⋯ 9 分10若每台机器都购买 20 个易损零件，则有 90 台的费用为 4000，10 台的费用为 4500，所以100 台机器购买易损零件费用的平均数为 1 (4000×90+4500×10)=4050. ⋯11 分100 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件 .⋯ 12 分比较两个平均数可知，购买 20．解： (Ⅰ)依题 M(0, t)，P( t2 , t). 所以 N( t2 , t)， ON 的方程为 y px . 2p p t联立 y 2 =2px ，消去 x 整理得 y 2=2ty. 解得 y1 =0，y2=2t. ⋯4 分所以 H( 2t 2 OH,2t). 所以 N 是 OH 的中点，所以⋯6 分 =2.p ON(Ⅱ)直线 MH 的方程为 y tp x ，联立 y 2=2px ，消去 x 整理得 y 2-4ty+4t 2=0. 解得 y12 即直线 与 2t 只有一个交点 MH C H. =y=2t.所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其它公共点 . ⋯12 分21．解： (Ⅰ) f '(x)=(x -1)e x +a(2x -2)=(x -1)(e x +2a). x ∈ R ⋯ 2 分(1)当 a ≥0 时，在 (-∞,1)上， f '(x)<0，f(x)单调递减；在(1,+∞)上， f '(x)>0，f(x)单调递增 .⋯ 3 分 (2)当 a<0 时，令 f '(x)=0，解得 x =1 或 x=ln(-2 a).①若 a= e ， ， ≥ 恒成立，所以 f(x) 在 (-∞ ∞ 上单调递增. 2 ln(-2a) =1 f '(x) 0 ,+ )②若 a> e ， ，在 (ln(-2a),1) 上， f '(x)<0 ， f(x) 单调递减；2 ln(-2a)<1在 (-∞, ln(-2a))与 (1,+∞)上， f '(x)>0，f(x)单调递增 .③若 a< e ， ，在 (1,ln(-2a)) 上， f '(x)<0 ， f(x) 单调递减；2 ln(-2a)>1在 (-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上， f '(x)>0， f(x)单调递增 .⋯7 分(Ⅱ) (1)当 a=0 时， f(x)=(x -2)e x只有一个零点，不合要求 . ⋯8 分(2)当 a>0 时，由 (Ⅰ)知 f(x)在(-∞,1)上单调递减；在 (1,+∞)上单调递增 .最小值 f(1)=-e<0，又 f(2)= a>0，若取 b<0 且 b<ln a，e b< a .2 2从而 f(b)> a (b 2) a(b 1)2a(b23 b) 0 ，所以 f(x)有两个零点 . ⋯10 分2 2(3)当 a<0 时，在 (-∞,1]上，f(x)<0 恒成立；若 a≥e，由(Ⅰ )知 f(x)在(1,+∞)上单调递增，不2存在两个零点 .若 a< e ，f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减；在(ln(-2a),+∞ 上单调递增，也不存在两2)个零点 .综上 a 的取值范围是 (0,1). ⋯12 分22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲第 6 页共 6 页如图， OAB 是等腰三角形，∠ AOB=120°. 以 O 为圆心，1OA 为半径作圆 . (Ⅰ)证明：直线 AB 与⊙ O 相切；2(Ⅱ)点 C,D 在⊙ O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明： AB ∥CD. 证明： (Ⅰ)设 E 是 AB 的中点，连接 OE ，因为 OA=OB ， ∠AOB=120°. 所以 OE ⊥AB ，∠AOE=60°. ⋯3 分在 Rt AOE 中， OE= 1OA. 即圆心 O 到直线 AB 的2距离等打半径，所以直线 AB 与⊙ O 相切 . ⋯5 分(Ⅱ)因为 OD= 1 OA ，所以 O 不是 A,B,C,D 四点共圆的圆心， 故设其圆心为 O'，则 O'在 AB2的垂直平分线上 .又 O 在 AB 的垂直平分线上，作直线 O O'，所以 O O'⊥AB.⋯ 8 分同理可证 O O'⊥ CD.所以 AB ∥ CD. ⋯10 分23.（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程x a cost xoy 中，曲线 C 1 的参数方程为 （t 为参数， a>0） .在以坐标原 y 1 a sint点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=4cos θ.(Ⅰ)说明 C 1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；1 与 C2 的公共点都在 C3(Ⅱ)直线 C 3 的极坐标方程为 θ=α0，其中 α0满足 tan α0 ，若曲线 C =2上，求 a.的普通方程 x 2+(y-1)2=a 2. 解： (Ⅰ)消去参数 t 得到 C1所以 C1 是以 (0,1)为圆心 a 为半径的圆 .⋯ 3 分 将 x= cos ，y= sin 代入可得 C1 的极坐标方程为 2-2 sin +1-a 2=0. ⋯5 分 (Ⅱ)联立 2-2 sin +1-a 2=0 与 ρ=4cos θ消去 ρ得16cos 2-8sin cos +1-a 2=0， 由 tan θ=2 可得 16cos 2 -8sin cos = 0. 从而 2 ，解得 a=1. ⋯ 8分 1-a =0当 a=1 时，极点也是 C1 与 C2 的公共点，且在 C3 上，综上 a=1. ⋯10 分24.（本小题满分 10 分），选修 4— 5：不等式选讲已知函数 f(x)=| x+1| -|2x-3|.(Ⅰ)在答题卡第 24 题图中画出 y=f(x)的图像；(Ⅱ)求不等式 | f(x)|>1 的解集 .x 4, x 1解： (Ⅰ) f (x) 3x2, 1 x 32x 4, x32y=f(x)的图像如图所示 . ⋯ 5 分(Ⅱ)由 f(x)的图像和表达式知，当f(x)=1 时，解得 x=1 或 x=3.当 f(x)=-1 时，解得 x= 1或x=5. ⋯ 8 分3结合 f(x)的图像可得 | f(x)|>1 的解集为 { x|x< 1或 1< x<3 或x>5}. ⋯10 分3第7 页共7 页小题详解1．解：取 A ，B 中共有的元素是 {3,5} ，故选 B2．解： (1+2i)(a+i )= a-2+(1+2a)i ，依题 a-2=1+2a ，解得 a=-3，故选 A3．解：设红、黄、白、紫 4 种颜色的花分别用 1,2,3,4 来表示，则所有基本事件有 (12,34)，(13,24)， (14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)，共 6 个，其中 1 和 4 不在同一花坛的事件有 4 个， 其概 4 2 率为 P= 63，故选 C．解：由余弦定理得： 5=4+b 2 2 ， 则 3b 2 ，解得 ，故选D 4-4b × -8b-3=0 b=33 1 c 1．解：由直角三角形的面积关系得 2b b 2c 2 ebc = 4 ，解得 a 2 ，故选 B51 6．解：对应的函数为 y=2sin[ 2(x- 4)+ 6 ] ，即 y=2sin(2x –3 )，故选 D7．解：依图可知该几何体是球构成截去了八分之一，其体积V 4 R 3 7 28 ，解得 R=2，表面积 S 4 22 7 + 3 22 17 ，故选 B 3 8 3 8 4 8．解：取特值 a=1，b=0.5，c=0.5，可排除 A ，C ，D ，故选 B9．解：当 0≤x ≤2时， y'=4x –e x，函数先减后增，且 y'|x=0.5>0，最小值在 (0,0.5)内。

2016年福建高考文科数学试题及答案(Word版)2016年福建高考文科数学试题及答案本份试卷共分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷是选择题，共12小题，每小题5分。

1.设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则AB=？解：AB={x|x∈A且x∈B}={3,5}，选项B。

2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=？解：(1+2i)(a+i)=a+2ai+i+2i^2=(a+2)+(2a-1)i，实部与虚部相等，即a+2=2a-1，解得a=3，选项D。

3.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是？解：共有C(4,2)=6种选法，红色和紫色的花不在同一花坛中的选法有2种：红黄在一个花坛，白紫在另一个花坛；或者XXX在一个花坛，XXX在另一个花坛。

所以概率为2/6=1/3，选项A。

4.已知三角形ABC，a=2，b=3，c=2√2，c=2，cosA=1/4，求b=？解：由余弦定理，b^2=a^2+c^2-2accosB，代入已知数据得b=3，选项B。

5.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的4，则该椭圆的离心率为？解：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则椭圆中心到焦点的距离为c=√(a^2-b^2)，根据题意得c=4b，解得a=4√5，b=√5，所以离心率为c/a=√(5/80)=1/4，选项A。

6.将函数y=2sin(2x+π/4)的图像向右平移1个周期后，所得图像对应的函数为？解：y=2sin(2(x-π/8))，向右平移1个周期等价于将x-π/8替换为x+2π-π/8=2π+x-π/8，即y=2sin(2(x+15π/8))，选项D。

7.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。

若该几何体的体积是1/2π，则它的表面积是？解：设圆的半径为r，则几何体的高为2r，底面积为πr^2，所以体积为V=1/2π=1/2(πr^2)(2r)=πr^3，解得r=1/∛(2π)，所以表面积为S=3πr^2=3π(1/∛(2π))^2，化简得S=28π，选项D。

2016年福建省漳州市高考数学一模试卷(文科)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x｜x（1﹣x）＞0｝，B=｛0,1，2},则A∩B=（）A．∅B．｛0，1｝C．{1,2}D．{0，1,2｝2．复数z•(1+i)=|1+|，则z=（）A．2﹣2iB．1﹣iC．2+2iD．1+i3．命题p：若=（1，﹣2）,=（﹣2，4)，则∥；命题q:若=（1，﹣3),=（4,﹣2）,λ+与垂直，则λ=1，则下列命题中真命题是(）A．p∨qB．p∧qC．（￢p)∧（￢q)D．（￢p)∨q4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2xB．y=x2﹣cosxC．y=2x+D．y=x2+sinx5．若sinα=﹣,α是第三象限的角,则cos(α+）=（）A．B．C．D．6．设函数则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1)∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞)D．（﹣∞,﹣3)∪(1,3）7．已知曲线f（x)=sin(wx)+cos（wx）(w＞0)的两条相邻的对称轴之间的距离为，且曲线关于点（x0，0）成中心对称，若x0∈［0，]，则x0=（）A．B．C．D．8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π9．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M(1,m）（m＞0）到其焦点的距离为5,双曲线G：=1（a＞0)的左顶点为A，若双曲线G的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为(）A．B．C．D．10．函数y=a|x｜与y=x+a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围为（) A．（1，+∞)B．（﹣1,1)C．（﹣∞，﹣1]∪［1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）11．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1,BC=，则球O的体积等于（）A．B．C．D．12．如图，已知矩形ABCD中,AB=2，BC=1，O为线段AB的中点,动点P从B出发，沿矩形ABCD的边逆时针运动,运动至A点时终止．设∠BOP=x，OP=d，将d表示为x的函数d=f（x)．则下列命题中：①f（x）有最小值1；②f(x)有最大值；③f（x)有3个极值点；④f(x）有4个单调区间．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．①②③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2cos 3A =2016年福建高考文科数学试题及答案(满分150分，时间120分钟)第Ⅰ卷一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则AB =（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} (2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 （B ）12（C ）13 （D ）56 （4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，则b=（A 2 （B 3 （C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的 14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（6）将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3)（C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c<log b c （B ）log c a<log c b （C ）a c<b c（D ）c a >c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为（A ） （B ）（C ） （D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二.填空题(本大题共4小题，每小题5分)（13）设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x=_________. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=_________. （15）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若|AB|=23，则圆C 的面积为________。

2016年福建省漳州市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，若M=P ∩Q ，则M 的子集个数为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．22．已知复数（1+i ）z=3+i ，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设命题p ：函数f （x ）=e x 在R 上为增函数；命题q ：函数f （x ）=cos2x 为奇函数，则下列命题中真命题是（ ） A ．p ∧q B ．（￢p ）∨q C ．（￢p ）∧（￢q ） D ．p ∧（￢q ）4．两向量，则在方向上的投影为（ ）A ．（﹣1，﹣15）B ．（﹣20，36）C ．D ．5．已知函数f （x ）=2sinxcosx ﹣2sin 2x ，x ∈R ，则函数f （x ）的单调递增区间是（ ）A ．[k π﹣，k π+]，k ∈ZB ．[k π﹣，k π+]，k ∈ZC ．[2k π﹣，2k π+]，k ∈ZD ．[2k π﹣，2k π+]，k ∈Z6．已知函数f （x ）满足f （2x ）=x ，则f （3）=（ ） A ．log 23 B ．log 32 C ．ln2 D ．ln37．执行如图的程序框图，若输入n=4，则输出的结果是（ ）A．30 B．62 C．126 D．2548．定长为6的线段MN的两端点在抛物线y2=4x上移动，设点P为线段MN的中点，则P 到y轴距离的最小值为（）A．6 B．5 C．3 D．29．三棱锥S﹣ABC中，SB⊥平面ABC，SB=，△ABC是边长为的正三角形，则该三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为（）A．3πB．5πC．9πD．12π10．若实数x，y满足，则x2+y2的最小值为（）A．B．C．D．511．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A． +πB． +πC． +πD．2+3π12．已知函数f （x）=x2﹣x|x﹣a|﹣3a，a≥3．若函数f （x）恰有两个不同的零点x1，x2，则|﹣|的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（，+∞）C．（，1]D．（，]二、填空题：本大题共4小题。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( ) A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=( ) A.-3B.-2C.2D.33.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12C.23D.564.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b=( )A.√2B.√3C.2D.35.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.346.将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4)B.y=2sin (2x +π3)C.y=2sin (2x -π4)D.y=2sin (2x -π3)7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π8.若a>b>0,0<c<1,则( ) A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c <b cD.c a >c b9.函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )10.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x11.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.√32B.√22C.√33D.1312.若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1]B.[-1,13]C.[-13,13]D.[-1,-13]第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .14.已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ-π4)= .15.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=13,a n b n+1+b n+1=nb n.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{b n}的前n项和.18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D 在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.19.(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.;(Ⅰ)求|OH||ON|(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (Ⅰ)证明:直线AB 与☉O 相切;(Ⅱ)点C,D 在☉O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB ∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (Ⅰ)画出y=f(x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.B ∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.2.A ∵(1+2i)(a+i)=(a -2)+(2a+1)i, ∴a -2=2a+1,解得a=-3,故选A.3.C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=46=23,故选C.4.D 由余弦定理得5=22+b 2-2×2bcos A,∵cos A=23,∴3b 2-8b-3=0,∴b=3(b =-13舍去).故选5.B 如图,|OB|为椭圆中心到l 的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·b2,所以e=c a =12.故选B.6.D 该函数的周期为π,将其图象向右平移π4个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin [2(x -π4)+π6]=2sin (2x -π3),故选D.7.A 由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则78×43πR 3=28π3,故R=2,从而它的表面积S=78×4πR 2+34×πR 2=17π.故选A.8.B ∵0<c<1,∴当a>b>1时,log a c>log b c,A 项错误; ∵0<c<1,∴y=log c x 在(0,+∞)上单调递减,又a>b>0, ∴log c a<log c b,B 项正确;∵0<c<1,∴函数y=x c在(0,+∞)上单调递增, 又∵a>b>0,∴a c>b c,C 项错误;∵0<c<1,∴y=c x 在(0,+∞)上单调递减, 又∵a>b>0,∴c a<c b ,D 项错误.故选B.9.D 当x=2时,y=8-e 2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x 2-e |x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x 2-e x ,求导得y'=4x-e x,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x 0∈(0,2),使得y'=0,故选D.10.C 执行程序框图:当n=1时,x=0,y=1,此时02+12≥36不成立;当n=2时,x=12,y=2,此时(12)2+22≥36不成立;当n=3时,x=32,y=6,此时(32)2+62≥36成立,结束循环,输出x 的值为32,y 的值为6,满足y=4x,故选C.11.A 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a.将正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1补成棱长为2a 的正方体,如图所示.正六边形EFGPQR 所在的平面即为平面α.点A 为这个大正方体的中心,直线GR 为m,直线EP 为n.显然m 与n 所成的角为60°.所以m,n 所成角的正弦值为√32.故选A.12.C f '(x)=1-23cos 2x+acos x=1-23(2cos 2x-1)+acos x=-43cos 2x+acos x+53, f(x)在R 上单调递增,则f '(x)≥0在R 上恒成立,令cos x=t,t∈[-1,1],则-43t 2+at+53≥0在[-1,1]上恒成立,即4t 2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t 2-3at-5,则{g (1)=4-3a -5≤0,g (-1)=4+3a -5≤0,解得-13≤a≤13,故选C.二、填空题 13.答案 -23解析 因为a ⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.14.答案-43 解析 解法一:∵sin (θ+π4)=√22×(sin θ+cos θ)=35, ∴sin θ+cos θ=3√25①, ∴2sin θcos θ=-725. ∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,∴sin θ-cos θ=-√1-2sinθcosθ=-4√25②, 由①②得sin θ=-√210,cos θ=7√210,∴tan θ=-17, ∴tan (θ-π4)=tanθ-11+tanθ=-43.解法二:∵(θ+π4)+(π4-θ)=π2,∴sin (θ+π4)=cos (π4-θ)=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k ∈Z, ∴cos (θ+π4)=45,∴sin (π4-θ)=45, ∴tan (π4-θ)=sin(π4-θ)cos(π4-θ)=43, ∴tan (θ-π4)=-tan (π4-θ)=-43. 15.答案 4π解析 把圆C 的方程化为x 2+(y-a)2=2+a 2,则圆心为(0,a),半径r=√a 2+2.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=√2.由r 2=d 2+(|AB |2)2,得a 2+2=a 22+3,解得a 2=2,则r 2=4,所以圆的面积S=πr 2=4π. 16.答案 216 000解析 设生产产品A x 件,生产产品B y 件,利润之和为z 元,则z=2 100x+900y.根据题意得{ 1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,即{ 3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,作出可行域(如图).由{10x +3y =900,5x +3y =600得{x =60,y =100. 当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z 取得最大值,z max =2 100×60+900×100=216 000. 故所求的最大值为216 000元.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2,(3分) 所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n 得b n+1=bn 3,(7分) 因此{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.(9分)记{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1-(13)n1-13=32-12×3n -1.(12分)18.解析 (Ⅰ)证明:因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以AB ⊥PD.因为D 在平面PAB 内的正投影为E,所以AB ⊥DE.(2分)又PD∩DE=D,所以AB ⊥平面PED,故AB ⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G 是AB 的中点.(4分)(Ⅱ)在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F,F 即为E 在平面PAC 内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PB ⊥PA,PB ⊥PC,又EF ∥PB,所以EF ⊥PA,EF ⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF ⊥平面PAC,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.(7分)连结CG,因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以D 是正三角形ABC 的中心,由(Ⅰ)知,G 是AB的中点,所以D 在CG 上,故CD=23CG.(9分)由题设可得PC ⊥平面PAB,DE ⊥平面PAB,所以DE ∥PC,因此PE=23PG,DE=13PC. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2√2.在等腰直角三角形EFP 中,可得EF=PF=2,(11分)所以四面体PDEF 的体积V=13×12×2×2×2=43.(12分)19.解析 (Ⅰ)当x≤19时,y=3 800;当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,所以y 与x 的函数解析式为y={3 800, x ≤19,500x -5 700,x >19(x ∈N).(4分) (Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(5分)(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).(7分)若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).(10分)比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)20.解析 (Ⅰ)由已知得M(0,t),P (t 22p ,t).(1分)又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t),ON 的方程为y=p t x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x1=0,x2=2t 2p.因此H(2t 2p,2t).(4分)所以N为OH的中点,即|OH||ON|=2.(6分)(Ⅱ)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分) 理由如下:直线MH的方程为y-t=p2t x,即x=2tp(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)21.解析(Ⅰ)f '(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).(i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(2分)(ii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e2,则f '(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.②若a>-e2,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.(4分)③若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.(6分)(Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知, f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)>0,所以f(x)有两个零点.(8分)(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.(9分)(iii)设a<0,若a≥-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;(10分)若a<-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.(11分)综上,a 的取值范围为(0,+∞).(12分)22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE ⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt △AOE 中,OE=12AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O 不是A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO'.(7分)由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB. 同理可证,OO'⊥CD.所以AB ∥CD.(10分)23.解析 (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程:x 2+(y-1)2=a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.(2分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(4分)(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组{ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.(6分) 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,(8分)由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)={x-4,x≤-1,3x-2,-1<x≤32,-x+4,x>32,(4分)y=f(x)的图象如图所示.(6分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(8分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1的解集为{x|x<13或x>5}.(9分)所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}.(10分)。

2016年漳州市高三毕业班模拟(一)数学(文科) 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{|(1)0}A x x x =->，{0,1,2}B =，则A B =（A ）φ （B ）{0,1} （C ）{1,2} （D ）{0,1,2}（2）复数(1)1z i ?=+，则z =(A)22i - (B)1i-(C)22i +(D)1i +（3）命题:p 若(1,2),(2,4)=-=-a b ，则//a b ；命题:q 若(1,3),(4,2)=-=-a b ，l +a b 与a 垂直，则1l =，则下列命题中真命题是 (A)p q Ú (B)p q Ù(C) ()()p q 刭? (D)()p q 刳（4）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(A)sin 2y x x =+ (B)2cos y x x =- (C)122x xy =+(D)2sin y x x =+ （5）若3sin 5a =-，a 是第三象限的角，则cos()4pa +=(A)-(C)-（6）设函数246,0,()6,0,x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩则不等式)1()(f x f >的解集是(A)),3()1,3(+∞⋃- (B)),2()1,3(+∞⋃- (C)),3()1,1(+∞⋃-(D))3,1()3,(⋃--∞（7）已知曲线()sin (0)f x x x w w w =+>的两条相邻的对称轴之间的距离为2p，且曲线关于点0(,0)x 成中心对称，若0[0,]2x pÎ，则0x =(A)12p (B)6p (C)3p (D)512p（8）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 (A)3p (B)4p (C)5p (D)6p（9）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线:G 2221(0)x y a a -=>的左顶点为A ，若双曲线G的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为(A)13 (B)12 (D)2（10）函数y ax =与y x a =+的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围为 (A)(1,)+? (B)(1,1)- (C)(,1][1,)-?+? (D)(,1)(1,)-?+?（11）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥， 1SA AB ==,BC =O 的体积等于(B)43p (D)6p（12）如图，已知矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，O 为线段AB 的中点，动点P 从B 出发，沿矩形ABCD的边逆时针运动，运动至A 点时终止．设BOPx ?，OP d =，将d 表示为x 的函数()d f x =．则下列命题中：①()f x 有最小值1；②()f x ()f x 有3个极值点；④()f x 有4个单调区间，正确的是(A)①② (B)②③ (C)①②④ (D)①②③④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考2015-2016学年上学期第一次月考高三数学（文科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）命题人：华安一中 李秀玲 审题人：华安一中 唐泽生第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.=( )A.2B.2C. 1D.2.设sin =a 145°，cos =b 52°，tan =c 47°，则c b a ,,的大小关系是A.c b a <<B.a b c <<C.c a b <<D.b c a << 3. 函数()2x f x e x =+-的零点所在的区间是( 2.71828e ≈)（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ． ()1,2D ．()2,34、下列命题中的假命题是( ) A. 1,20x x R -∀∈>B. ()2*,10x N x ∀∈->C. ,ln 1x R x ∃∈<D. ,tan 2x R x ∃∈=5.已知集合A=,B={x|≤2,x ∈Z},则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A.1B.2C.4D.86.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ）A. 2B. 4C.152D. 1727.已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+ 与a垂直，则λ是（ ）A. －1B. 1C. －2D. 2 8.已知cos -sin α=,则sin的值是( )A.-B.-C.D.9.设数列{}n a 是以3为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则4321a a a ab b b b +++=A ．15B ．72C ．63D ． 6010、设函数=)(x f21,3421,22≥-<+-x x a x x x 的最小值为-1，则实数a 的取值范围是A.2-≥aB.2->aC.41-≥a D.41->a11．已知ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c 。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 若集合}65432{，，，，=P ，}753{，，=Q ，若Q P M =，则M 的子集个数为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由题意{3,5}M =，其子集有4个．故选B ． 考点：集合的运算，集合的包含关系．2. 已知复数i z i +=+3)1(，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D考点：复数的运算与几何意义．3. 设命题p ：函数xe xf =)(在R 上为增函数；命题q ：函数x xg 2cos )(=为奇函数，则下列命题中真命题是（ ）A ．q p ∧B ．q p ∨⌝)(C ．)()(q p ⌝∧⌝D ．)(q p ⌝∧ 【答案】D 【解析】试题分析：命题p 是真命题，命题q 是假命题，因此只有()p q ∧⌝是真命题，故选D ． 考点：复合命题的真假．4. 两向量)3,4(-=，)12,5(--=，则在CD 方向上的投影为（ ） A ．)15,1(-- B ．)36,20(- C ．1316 D ．516【答案】C考点：向量数量积的几何意义．5. 已知函数x x x x f 2sin 2cos sin 32)(-=，R x ∈，则函数)(x f 的单调递增区间是（ ） A ．Z k k k ∈+-],6,3[ππππ B ．Z k k k ∈+-],3,6[ππππC ．Z k k k ∈+-],62,32[ππππ D ．Z k k k ∈+-],32,62[ππππ【答案】A考点：二倍角公式，两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性． 6. 已知函数)(x f 满足x f x=)2(，则=)3(f （ ） A ．3log 2 B ．2log 3 C ．2ln D ．3ln 【答案】A 【解析】试题分析：令23x =，则2log 3x =，所以2(3)log 3f =．故选A ． 考点：函数的概念．7. 执行如图的程序框图，若输入4=n ，则输出的结果是（ ） A ．30 B ．62 C ．126 D ．254【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图，知该程序的算法是1234522222S =++++62=．故选B ． 考点：程序框图．8. 定长为6的线段MN 的两端点在抛物线x y 42=上移动，设点P 为线段MN 的中点，则点P 到y 轴距离的最小值为（ ）A ．6B ．5C ．3D ．2 【答案】D考点：抛物线的定义．9. 三棱锥ABC S -中，⊥SB 平面ABC ，5=SB ，ABC ∆是边长为3的正三角形，则三棱锥ABC S -的外接球的表面积为（ ）A ．π3B ．π5C ．π9D ．π12 【答案】C考点：三棱锥与外接球，球的面积．【名师点睛】(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 中P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．(3)一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，则球心必在此垂线上．10. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+0530103y x y x y x ，则22y x +的最小值为（ ）A ．223 B ．29C ．5D ．5 【答案】B考点：简单的线性规划的非线性运用．11. 一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为（ ）A ．π2232+ B ．π222+ C ．π2232+ D ．π2322+ 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，圆锥底面半径为r =，高为h ==弓形面积为2313211422S ππ=⨯⨯+⨯⨯=+，113(1)332V Sh π==⨯+=+A ． 考点：三视图，几何体的体积．【名师点睛】柱体（不仅是棱柱和圆柱）体积：V Sh =，锥体（不仅是棱锥和圆锥）体积：13V Sh =． 12. 已知函数3,3||)(2≥---=a a a x x x x f .若函数)(x f 恰有两个不同的零点21,x x ，则|11|21x x -的取值范围是（ ）A ．)(1,+∞B ．),31(+∞C ．]1,31(D ．]31,21( 【答案】C考点：分段函数，函数的零点．【名师点睛】本题考查函数零点，双又是分段函数，因此要分段讨论，正好在x a >时，函数无零点，因此问题转化为二次函数2()23f x x ax a =--在(,]a -∞上有两个零点，为此转化为二次方程问题，这由韦达定理就很容易把1211x x -用a 表示出来，从而求得范围．解题时要注意分类讨论，否则过程不完整． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知等比数列}{n a 中，0>n a ，32=a ，126=a ，则=4a . 【答案】6 【解析】试题分析：由题意242636a a a ==，因为0n a >，所以46a =．考点：等比数列的性质．14. 已知双曲线)0(122>=-m y m x 的离心率为332，则m 的值为 .【答案】3考点：双曲线的几何性质．15. 为推广漳州“三宝”，某商场推出“砸金蛋”促销活动，单笔购满50元可以玩一次“砸金蛋”游戏，每次游戏可以砸两个金蛋，每砸一个金蛋可以等可能地得到“水仙花卡片”，“片仔癀卡片”和“八宝印泥卡片”中的一张.如果一次游戏中可以得到相同的卡片，那么该商场赠送一份奖品，则玩一次游戏可以获赠一份奖品的概率是 . 【答案】31【解析】试题分析：由题意31333P ==⨯． 考点：古典概型．【名师点睛】1．计算古典概型事件的概率可分三步第一步：算出基本事件的总个数n ;第二步：求出事件A 所包含的基本事件个数m ；第三步：代入公式求出概率P .2．古典概型中基本事件的探求方法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识． 16. 已知数列}{n a 中，11-=a ，且)(2)(11*++∈-=-N n a a a n n n n ，现给出下列4个结论： ①数列}{n a 是递增数列； ②数列}{n a 是递减数列；③存在*∈N n ，使得2016)2()2()2(21>-++-+-n a a a ； ④存在*∈N n ，使得2016)2()2()2(22221>-++-+-n a a a . 其中正确的结论的序号是 （请写出所有正确结论的序号）. 【答案】①③考点：数列的递推公式，数列的单调性，放缩法．【名师点睛】已知数列递推公式)(2)(11*++∈-=-N n a a a n n n n ，可采用消常数法，即用1n +代换n 后得212(1)()2n n n n a a a ++++-=-，然后两式相减可得211()2n n n n na a a a n +++-=-+，这样我们可以通过累乘法求得1n n a a +-，两用连加法可得通项．本题不需要求得通项公式n a ，由递推式211()2n n n n na a a a n +++-=-+可得数列的单调性，在判断命题③④时，用了不等式的放缩法，从而估计出和是否有界．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,，向量)sin ,(cos B A -=，)sin ,(cos A B =,满足C n cos m =⋅. （1）求证：ABC ∆是直角三角形； （2）若3=AC ，6=BC ， P 是ABC ∆内的一点，且 120=∠=∠BPC APC ，设α=∠PAC ，求αtan .【答案】（1）证明见解析；（2．（2）在PAC ∆中，3=AC ，α=∠PAC ， 120=∠APC ，由正弦定理，有120sin 3sin =αPC ，① 在PBC ∆中，6=BC ， 120=∠BPC ，αα+=--=∠-=∠30)60(9090PCA PCB ，αα-=+-=∠ 30)30(60PBC ，由正弦定理，有120sin 6)30sin(=-αPC ，②①÷②，得63sin )30sin(=-αα，∴63sin sin 23cos 21=-ααα，∴αααsin 3sin 33cos 3=-即ααcos 3sin 34=，∴43tan =α.考点：向量的数量积，两角和与差的正弦（余弦）公式，正弦定理．18. 某高校进行自主招生考试，报考学生有500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们测试的分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成4组：[70,90),[90,110), [110,130),[130,150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图可以估计女生测试成绩的平均值为103.5分，请你估计男生测试成绩的平均值，由此推断男、女生测试成绩的平均水平的高低；（2）若规定分数不小于110分的学生为“优秀生”，请你根据已知条件完成22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“优秀生与性别有关”?【答案】（1）可以推断女生测试成绩的平均水平略高于男生；（2）列联表见解析，没有90%的把握认为“优秀生与性别有关”.（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生有60500300100=⨯（人），测试成绩优秀的男生有1520)0025.00100.0(06=⨯+⨯（人）；女生有40500200100=⨯（人），测试成绩优秀的男生有1520)00250.001625.0(04=⨯+⨯（人）.据此可得22⨯列联表如下：∴79.11411114257030406015)4525100(15))()()(()(222≈==⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K ∵100.0)706.2(,706.279.12=≥<K P ，∴没有90%的把握认为“优秀生与性别有关”.考点：频率分布直方图，分层抽样，列联表，独立性检验．19. 四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，BCD ∆是边长为3的等边三角形，2=AD ，1=AB ，点F 在线段AP 上.（1）求证：⊥CD 平面PAD ；（2）若//BF 平面PCD ，PAD ∆是等边三角形，求点F 到平面PCD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）433.考点：线面垂直的判断，面面垂直的性质，点到平面的距离．【名师点睛】本题点到平面的距离可以用体积法求解，首先由//BF 平面PCD ，知F 到平面PCD 的距离等于B 到平面PCD 的距离，下面只要求得四面体PBCD 的体积即可（实际上用不同的方法计算），由已知可证等边三角形PAD 的中线PN 与底面ABCD 垂直，从而13PBCD BCD V PN S ∆=⋅（PN =BCD S ∆=），另一方面，12PCD S CD PD ∆=⋅，如果设B 到平面PCD 的距离为h ，则13PBCD PCD V hS ∆=，由此易求得h ．20. 已知定点)0,1(A ，动点P 在圆B ：16)1(22=++y x 上，线段PA 的中垂线为直线l ，直线l 交直线PB 于点Q ，动点Q 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）若点P 在第二象限，且相应的直线l 与曲线E 和抛物线C ：2321x y -=都相切，求点P 的坐标. 【答案】（1）13422=+y x ；（2）)4,1(-P .（2）∵直线l 与椭圆E 和抛物线C 都相切，∴直线l 斜率一定存在，设l ：mkx y += ①， ①代入13422=+y x ，得0)3(48)34(222=-+++m kmx x k ，由0)3(4)34(4)8(2221=-⨯+-=∆m k km ，得03422=+-m k ②. 有把①代入2321x y -=，得03212=++m kx x ， 由0321422=⨯⨯-=∆m k ，得28k m = ③.由② ③解得⎪⎩⎪⎨⎧=±=221m k设),(00y x P ，∵P 在第二象限，∴0,000><y x ，注意A 与P 关于直线l 对称，0<AP k ，∴0>k ，∴21=k ，∴l ：221+=x y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯-++⨯=12112212120000x y x y ，解得⎩⎨⎧=-=4100y x ，经检验)4,1(-P 在圆B 上，故所求点P 的坐标为)4,1(-P . 考点：椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，点关于直线对称问题．21. 已知函数1)(--=x a e x f x ，函数)(x f 的图象在点))2(,2(f 处的切线与直线e x ey +-=1垂直，其中实数a 是常数，e 是自然对数的底数.（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的不等式t e f x≤+)1(有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）a e =；（2）),(+∞e.考点：导数的几何意义，不等式有解问题．【名师点睛】不等式()f x t ≤有解问题的两种常用解法，一种是分离参数法，只要求得()f x 的最小值m ，则t m ≥；一种是把不等式()f x t ≤变形为()0g x ≤有解，然后求得()g x 的最小值0()g x ，有解的条件是0()0g x ≤，本题中由于(1)0g =，因此只要存在01x >，()g x 在0(1,)x 上递减即可．：。