北京市人大附中2017-2018学年高考数学模拟试卷 Word版含解析

2017-2018学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞03．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B． C．﹣+D．﹣﹣﹣4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为05．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=06．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．107．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x= D．x=﹣8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．11．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= ，||PF2|= ．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为．14．已知点A（0，2），点B（0，﹣2），直线MA、MB的斜率之积为﹣4，记点M的轨迹为C （I）曲线C的方程为；（II）设QP，为曲线C上的两点，满足OP⊥OQ（O为原点），则△OPQ面积的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量=（2，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣4）．（1）计算2﹣3和|2﹣3|；（2）求＜，＞16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= ．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞0【考点】的否定．【分析】直接利用全称的否定是特称，写出结果即可．【解答】解：因为全称的否定是特称，所以，p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x∈R，2x≤0．故选：B．3．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．【解答】解：由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =，=，可知： =+， =，==，=﹣+．故选：C．4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为0【考点】四种间的逆否关系．【分析】根据四种之间的关系，分别写出原的逆、否、逆否，再写出原的否定即可得出结论．【解答】解：原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，所以逆是：“若a、b全为0，则a2+b2=0”，选项A正确；否是：“若a2+b2≠0，则a、b不全为0”，选项B错误；逆否是：“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，选项C错误；否定是：“若a2+b2=0，则a、b不全为0”，选项D错误．故选：A．5．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的离心率，求出a，b的比值，然后求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由已知，双曲线﹣=1的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y=，即： x±y=0．故选：C6．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．10【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出△PF1F2的面积．【解答】解：由题意得 a=2，b=，c=3，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+2•|PF|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|，1∴36=4×4+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=10，∴△PF1F2面积为•|PF1|•|PF2|=5，故选：C．7．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=D．x=﹣【考点】抛物线的标准方程．【分析】求出A，B的坐标，利用两点间的距离公式结合弦长公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（1，），B（，﹣），∴|AB|==，∴=1++p，∴p=1，∴抛物线的准线方程为x=﹣．故选：D．8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】轨迹方程．【分析】根据距离相等列出方程化简求出y关于x的函数，作出图象即可得出结论．【解答】解：曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=，两边平方得：2|xy|=﹣2x﹣2y+2，即|xy|+x+y=1，①若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，∴y=，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支，②若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1=0，即（x﹣1）（y﹣1）=0，∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．作出图象如图所示：∴曲线W关于直线y=x对称；故选A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意设双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入题中的点的坐标，即可得到λ=4，将方程化成标准形式，即可得到该双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得故答案为：10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列出方程求出x的值．【解答】解：∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣411．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= 2.5 ，||PF2|= 1.5 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，结合|PF1|﹣|PF2|=1，可得结论．【解答】解：椭圆+=1中，a=2，∵P是椭圆+=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，∵|PF1|﹣|PF2|=1，∴|PF1|=2.5，||PF2|=1.5．故答案为：2.5，1.5．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．【考点】空间中的点的坐标．【分析】=（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =（1﹣λ，2λ，0）．有⊥，可得•=0，解得λ，即可得出．【解答】解： =（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =+λ=（1﹣λ，2λ，0）．∴=（1﹣λ，2λ，﹣1）．∵⊥，∴•=﹣（1﹣λ）+4λ=0，解得：λ=，∴=．故答案为：．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为（1，2]∪∪，∴＜，＞=．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明AC，CB，CC1两两垂直，以C为原点建立坐标系，求出，的坐标，计算其数量积为0得出AB1⊥C1B；（2）求出平面ABB1A1的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O．∵CC1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，∴AC，CB，CC1两两垂直，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC=3，BC=CC1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，4），=（0，﹣4，4），∴=﹣3•0+4•（﹣4）+4•4=0，∴AB1⊥BC1．（2）解：∵A1（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，0），=（0，0，4），=（0，4，﹣4）．设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，∴．令x=4得=（4，3，0）．∴cos＜＞===．∴直线C1B与平面ABB1A1所成角的正弦值为．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设出抛物线的方程，求出p的值，从而求出抛物线的标准方程即可；（2）通过讨论直线l的斜率，求出|AB|的表达式，求出k的值，从而求出|AB|即可．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），由其焦点为F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，故所求抛物线C的标准方程为y2=4x；（2）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：|AB|=4，此时△AOB的面积为S△AOB=|OF|•|AB|=×1×4=2，不符合题意，故舍去．②当直线l斜率存在时，可设其为k（k≠0），则此时直线l的方程为y=k（x﹣1），将其与抛物线C的方程：y2=4x联立化简整理可得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，（k≠0），设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由弦长公式可得：|AB|=x1+x2+p=2++2=+4，由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为d=，故△AOB的面积为S△AOB=|AB|d=2（+|k|）==4，==16，解得：k=±，k2=，又|AB|=+4=12+4=16，因此，当△AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，即可求出当|PA|最小时，点P的坐标；（II）由圆的方程为求得圆心C（3，0）、半径r为：1，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小，利用距离公式，结合配方法，即可得出结论．．【解答】解：（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，∴x=2时，|PA|最小，此时y=±2，∴点P的坐标为（2，±2）；（II）圆C：（x﹣3）2+y2=1圆心C（3，0）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．由（I），|PA|最小为，∴四边形PMAN的面积的最小值为2×=故答案为：（2，2）或（2，﹣2）；．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= 3 ．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（I）利用重心的坐标计算公式即可得出．（II）利用重心的坐标计算公式可得M坐标，可得，，再利用模的计算公式即可得出．【解答】解：（I）x G==1，y G==，z G==1，∴重心G的坐标为．（II）M，即M．=， =，∴==3．故答案分别为：；3．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知： =k+2， +=1，×k=﹣1，联立解出即可得出．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解得：c=，a=2，b=1．所求椭圆C的方程为=1．（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．则线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知：点D在直线l上，故有=k+2，①点O在椭圆C上，故有+=1，②线段OO′与直线l垂直，故有×k=﹣1，③由①③可得：x0=﹣，，将其代入②可得：k=．故所求直线l的方程为：y=x+2．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）取AB中点M，连结CM，DM，则∠CMD为所求二面角的平面角，计算出△CDM的边长，利用余弦定理求出∠CMD；（2）利用在余弦定理求出∠BCD，则B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD；（3）以A为原点建立空间直角坐标系，设，B到平面ACD的距离为h，求出，计算是否为0即可得出结论．【解答】解：（1）在图（1）中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=．当D为AB边的中点时，AD=BD=CD==，且CD⊥AB．在图（2）中取AB的中点M，连结DM，CM．∵CA=CB=1，AD=BD=，AB=1，∴DM=，CM=，且CM⊥AB，DM⊥AB．∴∠CMD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．在△CDM中，由余弦定理得cos∠CMD===．∴二面角C﹣AB﹣D的大小为arccos．（2）在图（1）中，当AD=2BD时，BD=AB=，在△BCD中，由余弦定理得：CD==．由正弦定理得：，∴sin∠BCD==．在图（2）中，∵二面角B﹣CD﹣A是直二面角，∴∠BCD为BC与平面ACD所成的角，∴点B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD=．（3）设=λ（λ＞0），则AD=，BD=．在平面ACD中过A作AC的垂线Ay，过A作平面ACD的垂线Az，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：设B到平面ACD的距离为h，则A（0，0，0），C（1，0，0），D（，，0），B（，，h）．设AB的中点为M，则M（，，），∴=（，，），=（，，0）．∵CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB，假设二面角C﹣AB﹣D是直二面角，则CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD．∵=•++0=≠0．与CM⊥AD矛盾．∴不存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角．2016年10月28日。

2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x0∈R，≤0”的否定是（）A．∃x0∈R，＞0 B．∃x0∉R，≤0C．∀x∈R，2x＞0 D．∀x∈R，2x≤02．下列求导运算正确的是（）A．（x3）'=x2 B．C．（e x）'=xe x﹣1D．（cosx）'=sinx3．如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）4．“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x6．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A．B．3 C．4 D．57．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为______．10．已知函数f（x）=sinx，则f′（）=______．11．已知椭圆+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，若弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为______．12．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是______．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=______．14．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f（x）的极值点；②1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M（3，﹣6）在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求抛物线C的方程；（2）求线段AB的长．16．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．17．已知椭圆D： +=1的半焦距c=1，且a=b．（1）求椭圆D的标准方程；（2）过点M（0，m）且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A 在曲线C上，∠F1AF2的平分线交x轴于点M（I）若点M的坐标为（2，0），则|AF2|=______；（II）若|AF1|+|AF2|=24，则△F1AF2的面积为______．19．（I）设函数f（x）=x（x+1）（x+2），则f′（0）=______；（II）设函数f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），则f′（0）=______．（只需列出式子即可）二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x0∈R，≤0”的否定是（）A．∃x0∈R，＞0 B．∃x0∉R，≤0C．∀x∈R，2x＞0 D．∀x∈R，2x≤0【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，2x＞0，故选：C2．下列求导运算正确的是（）A．（x3）'=x2 B．C．（e x）'=xe x﹣1D．（cosx）'=sinx【考点】导数的运算．【分析】直接利用求导公式判断选项的正误．【解答】解：A．（x3）'=3x2故A错误；B．（lgx）'=故B正确；C．（e x）'=e x故C错误；D．（cosx）'=﹣sinx 故D错误；故选B3．如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的定义求解．【解答】解：∵x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，把x2+ky2=2转化为椭圆的标准方程，得，∴，解得0＜k＜1．∴实数k的取值范围是（0，1）．故选：A．4．“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据同向不等式两边可相加，由a＞b，c＞d能得到a+c＞b+d，而a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d的情况，所以a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．【解答】解：由a＞b，c＞d便得到a+c＞b+d，即a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分条件；而由a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d，满足a+c＞b+d，但不满足a＞b，即a ＞b，c＞d不是a+c＞b+d的充分条件；∴a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．故选B．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的几何量，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），可得a=1，c=，所以b=．双曲线的渐近线方程为：y=．故选：A．6．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A．B．3 C．4 D．5【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由图得到f（4）=5，进一步得到直线l所经过的两点，由两点求斜率得到l的斜率，即曲线y=f（x）在x=4处的导数值．【解答】解：由图可知，f（4）=5，又直线过（0，3），（4，5），∴，即f′（4）=．故选：A．7．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．1【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】令f′（x）=0，可得x=0 或x=6，根据导数在x=0和x=6两侧的符号，判断故f （0）为极大值，从而得到f（0）=a=6．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣3x2+a，导数f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）=0，可得x=0 或x=1，导数在x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）=a=6．导数在x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故选：C．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意椭圆的焦点在x轴上，a=2且c=1，进而求得b=，由此能求出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知椭圆的焦点在x轴上，∵椭圆经过点（2，0），焦点为（1，0），∴a=2，c=1，可得b=．因此，椭圆的标准方程为．故答案为：．10．已知函数f（x）=sinx，则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：f（x）=sinx，则f′（x）=cosx，则f′（）=cos=，故答案为：11．已知椭圆+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，若弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为12．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程为+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，知长半轴a=3，利用椭圆的定义知，△ABF2的周长为4a，从而可得答案．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，∴=∴a=3，又过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2，则△ABF2的周长l=|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=12．故答案为：1212．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（2，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f（x）=（x﹣3）e x求导，可得f′（x）=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得x＞2．故答案为：（2，+∞）．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=8．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故答案为8．14．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f（x）的极值点；②1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是①④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【解答】解：根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0则函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，故y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增正确，即④正确而在x=﹣2处左侧单调递减，右侧单调递增，则﹣2是函数y=f（x）的极小值点，故①正确∵函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增∴当x=﹣2处函数取最小值，1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f（x）在x=0处的导数大于0∴y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零，故③不正确故答案为：①④三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M（3，﹣6）在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求抛物线C的方程；（2）求线段AB的长．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线C的方程；（2）将直线l：y=2x+1与抛物线C的方程y2=12x联立化简整理可得：4x2﹣8x+1=0，即可求线段AB的长．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C的方程为y2=2px（p＞0）由点M（3，﹣6）在抛物线C上可得：（﹣6）2=2p×3=6p，∴p=6．故所求抛物线C的方程为y2=12x；（2）将直线l：y=2x+1与抛物线C的方程y2=12x联立化简整理可得：4x2﹣8x+1=0∴x=1±由弦长公式可得：|AB|=•=．16．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，通过求导得出f′（x）＜0，解出即可；（Ⅱ）f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，求出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2∴f′（x）=﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（Ⅱ）∵f（﹣2）=8+12﹣18﹣2=0，f（2）=﹣8+12+18﹣2=20，∴f（2）＞f（﹣2）．∵x∈（﹣1，3）时，f′（x）＞0，∴f（x）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．于是有f（x）max=20，f（x）min=﹣7．17．已知椭圆D： +=1的半焦距c=1，且a=b．（1）求椭圆D的标准方程；（2）过点M（0，m）且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：c=1，且a=b＞0，又a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆D的标准方程．（2）由题意易知：直线l的方程为y=x+m．与椭圆方程联立可得：5x2+4mx+2（m2﹣1）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由以PQ为直径的圆经过原点O可得：•=0，即x1x2+y1y2=0．利用根与系数的关系代入即可解出．【解答】解：（1）由题意可知：c=1，且a=b＞0，又a2=b2+c2，联立解得c=1，b=1，a=所求椭圆D的标准方程为： +y2=1．（2）由题意易知：直线l的方程为y=x+m．联立，化简整理可得：5x2+4mx+2（m2﹣1）=0，由△=﹣4×5×2（m2﹣1）=40﹣8m2＞0，可得：＜m＜．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．∴x1+x2=，x1x2=．由以PQ为直径的圆经过原点O可得：OP⊥OQ．从而•=0，∴x1x2+y1y2=0．∴x1x2+y1y2=x1x2+=3x1x2+（x1+x2）+m2=3×+m×（﹣）+m2=﹣=0，解得：m=，满足△＞0．故所求实数m的值为．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A 在曲线C上，∠F1AF2的平分线交x轴于点M（I）若点M的坐标为（2，0），则|AF2|=6；（II）若|AF1|+|AF2|=24，则△F1AF2的面积为54．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（I）求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理可得==，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=6，进而可得所求；（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，运用双曲线的定义和直角三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（I）双曲线C：﹣=1的a=3，b=3，c==6，则F1（﹣6，0），F2（6，0），∠F1AF2的平分线交x轴于点M，可得===，可得A在右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a=6，解得|AF2|=6；（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，可得|AF1|﹣|AF2|=6，且|AF1|+|AF2|=24，解得|AF1|=15，|AF2|=9，又|F1F2|=12，由92+122=152，可得AF2⊥F1F2，则△F1AF2的面积为×9×12=54．故答案为：6，54．19．（I）设函数f（x）=x（x+1）（x+2），则f′（0）=2；（II）设函数f（x）=x（x+1）（x+2）...（x+100），则f′（0）=1×2×3× (100)（只需列出式子即可）【考点】导数的运算．【分析】（Ⅰ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可；（Ⅱ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）（0+2）=2，（Ⅱ）g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）×（0+2）×...×（0+100）=1×2×3× (100)二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解出即可得出椭圆G的方程．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段AB中点N的坐标，再利用线段垂直平分线的性质、斜率计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解得a=，c=1，b2=2．所求椭圆G的方程为：=1．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立：，化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1•x2=．设线段AB中点N的坐标为（x0，y0）．则x0==，y0=kx0+1=．设x轴上M点坐标为（m，0），使得|AM|=|BM|，依题意可得：AB⊥MN．①当k=0时，直线l平行于x轴，易知：此时M点与坐标原点重合，其坐标为（0，0）；②当k≠0时，有k MN=﹣，∴===﹣，从而m=﹣=﹣，而≥2（k＞0），或≤﹣2（0＞k），故≤m＜0或0＜m≤．综上所述：实数m的取值范围是．即点M的横坐标的横坐标的取值范围是．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），，根据函数的定义域，确定f′（x）＞0和f′（x）＞0的范围，进而得到函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，则f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，进而对任意x∈（0，1]恒成立，进而将问题转化为函数的最值问题后，可得实数a的取值范围；（Ⅲ）设出切点坐标，利用导数法求出切线斜率（切点处的导函数值），进而利用点斜式方程结合切线过原点求出切线方程，通过证明t=1是方程t2+lnt﹣1=0的唯一的解，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），∴，又∵，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）∵又∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min=g（1）=﹣1．∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，∴过M点的切线方程为：y﹣f（t）=f′（t）（x﹣t），即又切线过原点，所以，，即t2+lnt﹣1=0，显然t=1是方程t2+lnt﹣1=0的解，设φ（t）=t2+lnt﹣1，则φ′（t）=2t+＞0恒成立，φ（t）在（0，+∞）单调递增，且φ（1）=0，∴方程t2+lnt﹣1=0有唯一解1．∴过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．2018年9月28日。

2016-2017学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或33．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣B．C．﹣D．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣15．函数y=log2的大致图象是（）A． B．C．D．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD的长为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）二、填空题9．抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a=．10．极坐标系中，直线ρsin（﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为（只需写出一个即可）11．点P是直线l：x﹣y+4=0上一动点，PA与PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB的最小面积为．12．已知双曲线C的渐进线方程为y=±x，则双曲线C的离心率为．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有个，从中任意选出2个不同的子集A和B，若A?B且B?A，则不同的选法共有种．14．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的最值及相应x的取值．16．已知递减等差数列{a n}满足：a1=2，a2?a3=40．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若递减等比数列{b n}满足：b2=a2，b4=a4，求数列{b n}的通项公式．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N*）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）．（Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？18．已知函数f（x）=axe x，其中常数a≠0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），离心率e=，已知点P（0，）到椭圆C的右焦点F的距离是．设经过点P且斜率存在的直线与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中垂线与x轴相交于一点Q．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求点Q的横坐标x0的取值范围．20．对于序列A0：a0，a1，a2，…，a n（n∈N*），实施变换T得序列A1：a1+a2，a2+a3，…，a n﹣1+a n，记作A1=T（A0）：对A1继续实施变换T得序列A2=T（A1）=T（T（A0）），记作A2=T2（A0）；…；A n﹣1=T n﹣1（A0）．最后得到的序列A n﹣1只有一个数，记作S（A0）．（Ⅰ）若序列A0为1，2，3，求S（A0）；（Ⅱ）若序列A0为1，2，…，n，求S（A0）；（Ⅲ）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作A=B，若序列B为序列A0：1，2，…，n的一个排列，请问：B=A0是S（B）=S（A0）的什么条件？请说明理由．2016-2017学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．【解答】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或3【考点】交集及其运算．【分析】根据A，B，以及两集合的交集为B，得到B为A的子集，确定出实数m的值即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，m}，且A∩B=B，∴B?A，则实数m的值为2或3，故选：D．3．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】直接利用诱导公式化简求解函数值即可．【解答】解：sin（π﹣A）=，可得sinA=，cos（﹣A）=sinA=，故选：B．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由⊥，可得=0，解出即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=3+x（2﹣x）=0，化为x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或﹣1．故选：D．5．函数y=log2的大致图象是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】分析出函数的定义域和单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：函数y=log2的定义域为（1，+∞），故排除C，D；函数y=log2为增函数，故排除B，故选：A．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD的长为（）A．B．C．D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】在△OAC中，运用余弦定理可得AC，cos∠ACO，延长CO交圆于E，再由圆的相交弦定理，可得AC?CD=BC?CE，求得CD，再在△BCD中，运用余弦定理可得BD的长．【解答】解：在△OAC中，OA=2，OC=1，∠AOC=120°，可得AC2=OA2+OC2﹣2OA?OC?cos∠AOC=4+1﹣2?2?1?cos120°=5+2=7，即AC=，cos∠ACO===，延长CO交圆于E，由圆的相交弦定理，可得AC?CD=BC?CE，即CD===，在△BCD中，BD2=BC2+DC2﹣2BC?DC?cos∠BCD=1+﹣2?1??=．可得BD=．故选：C．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），∴函数的f′（x）=x﹣=，由f′（x）＞0解得x＞1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0解得0＜x＜1，此时函数单调递减，故x=1时，函数取得极小值．①当k=1时，（k﹣1，k+1）为（0，2），函数在（0，1）上单调减，在（1，2）上单调增，此时函数在（0，2）上不是单调函数，满足题意；②当k＞1时，∵函数f（x）在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴x=1在（k﹣1，k+1）内，即，即，即0＜k＜2，此时1＜k＜2，综上1≤k＜2，故选：B．二、填空题9．抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a=‐8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】依题意可求得抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，而抛物线x2=ay的准线方程是y=2，从而可求a．【解答】解：∵抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，又抛物线x2=ay的准线方程是y=2，∴﹣=2，∴a=﹣8．故答案为：﹣8．10．极坐标系中，直线ρsin（﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为（2，π）（只需写出一个即可）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】令θ=π，可得： +1=0，解得ρ即可得出．【解答】解：令θ=π，可得： +1=0，解得ρ=2，可得交点（2，π）．故答案为：（2，π）．11．点P是直线l：x﹣y+4=0上一动点，PA与PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB的最小面积为4．【考点】圆的切线方程．【分析】利用切线与圆心的连线垂直，可得S PACB=2S ACP．，要求四边形PACB的最小面积，即直线上的动点到圆心的距离最短，利用二次函数的配方求解最小值，得到三角形的边长最小值，可以求四边形PACB的最小面积．【解答】解：根据题意：圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，圆心为（1，1），半径r=2，∵点P在直线x﹣y+4=0上，设P（t，t+4），切线与圆心的连线垂直，直线上的动点到圆心的距离d2=（t﹣1）2+（t+4﹣1）2，化简：d2=2（t2+2t+5）=2（t+1）2+8，∴，那么：，则|PA|min=2，三角形PAC的最小面积为：=2，可得：S PACB=2S ACP=4，所以：四边形PACB的最小面积S PABC=4，故答案为：4．12．已知双曲线C的渐进线方程为y=±x，则双曲线C的离心率为或．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线为y=±x，可得=或3，利用e==，可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线为y=±x，∴=或3，∴e===或．故答案为：或．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有8个，从中任意选出2个不同的子集A和B，若A?B且B?A，则不同的选法共有9种．【考点】子集与真子集．【分析】根据含有n个元素的集合，其子集个数为2n个，即可得到子集个数．从中任意选出2，A?B且B?A．先去掉{1，2，3}和?，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A?B且B?A，即可得到答案．【解答】解：集合U={1，2，3}含有3个元素，其子集个数为23=8个．从中任意选出2个不同的子集A和B，A?B且B?A．先去掉{1，2，3}和?，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A?B且B?A，有①{1}，{2}、②{1}，{3}、③{1}，{2，3}、④{2}，{3}、⑤{2}，{1，3}、⑥{3}，{1，2}、⑦{1，2}，{1，3}、⑧{1，2}，{2，3}、⑨}{1，3}，{2，3}，则有9种．故答案为：8，9．14．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为{1，2，4} ；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为2m+1﹣1．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】由题意可得，a p+a q=a k，其中p、q、k∈N*，利用等差数列的通项公式可得d与a1的关系，然后根据d的取值范围进行求解．【解答】解：由题意可得，a p+a q=a k，其中p、q、k∈N*，由等差数列的通向公式可得a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=a1+（k﹣1），整理得d=，（1）若a1=4，则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，故d的取值集合为{1，2，4}；（2）若a1=2m（m∈N*），则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，…，2m，∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m==2m+1﹣1，故答案为（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的最值及相应x的取值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数f（x），再由正弦函数的周期和单调增区间，解不等式即可得到．（Ⅱ）由x的范围，可得2x﹣2x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，则kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则有函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，则有sin（2x+）∈[﹣1，1]，则当x=时，f（x）取得最小值，且为1，当x=时，f（x）取得最大值，且为+2．16．已知递减等差数列{a n}满足：a1=2，a2?a3=40．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若递减等比数列{b n}满足：b2=a2，b4=a4，求数列{b n}的通项公式．【考点】数列的求和．【分析】（I）格局等差数列的通项公式列方程组解出公差，得出通项公式，代入求和公式计算S n；（II）根据等比数列的通项公式列方程组解出首项和公比即可得出通项公式．【解答】解：（I）设{a n}的公差为d，则a2=2+d，a3=2+2d，∴（2+d）（2+2d）=40，解得：d=3或d=﹣6．∵{a n}为递减数列，∴d=﹣6．∴a n=2﹣6（n﹣1）=8﹣6n，S n=?n=﹣3n2+5n．（II）由（I）可知a2=﹣4，a4=﹣16．设等比数列{b n}的公比为q，则，解得或．∵{b n}为递减数列，∴．∴b n=﹣2?2n﹣1=﹣2n．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N *）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）．（Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）利用利润是收入与成本之差，求利润函数P（x），利用MP（x）=P（x+1）﹣P（x），求其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，x∈[1，100]，且x∈N*P（x）=R（x）﹣C（x）=30x﹣0.2x 2﹣（5x+40）=﹣0.2x2+25x﹣40，MP（x）=P（x+1）﹣P（x）=﹣0.2（x+1）2+25（x+1）﹣40﹣[﹣0.2x2+25x﹣40]=24.8﹣0.4x，（Ⅱ）∵MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，∴当x=1时，MP（x）的最大值为24.40（万元）18．已知函数f（x）=axe x，其中常数a≠0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，根据函数极值和导数之间的关系即可求函数f（x）的极值；（Ⅲ）设出切点坐标为（m，ame m），求出切线斜率和方程，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=a（e x+xe x）=a（1+x）e x，若a＞0，由f′（x）＞0得x＞﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），由f′（x）＜0，得x＜﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），若a＜0，由f′（x）＞0得x＜﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），由f′（x）＜0，得x＞﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣1，+∞）；（Ⅱ）当a=1时，由（1）得函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值为f（﹣1）=﹣，无极小值；（Ⅲ）设切点为（m，ame m），则对应的切线斜率k=f′（m）=a（1+m）e m，则切线方程为y﹣ame m=a（1+m）e m（x﹣m），即y=a（1+m）e m（x﹣m）+ame m=a（1+m）e m x﹣ma（1+m）e m+ame m=a（1+m）e m x﹣m2ae m，∵y=e（x﹣）=y=ex﹣e，∴∴，即若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，则实数a的值是．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），离心率e=，已知点P（0，）到椭圆C的右焦点F的距离是．设经过点P且斜率存在的直线与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中垂线与x轴相交于一点Q．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求点Q的横坐标x0的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）由题意可得：e==，=，又a2+b2=c2．联立解出即可得出．（II）设直线AB的方程为：y=kx+，（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x3，y3），直线AB的方程与题意方程联立化为：（1+4k2）x2+12kx﹣7=0，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得可得中点M的坐标，可得线段AB的中垂线方程，令y=0，可得x0，通过对k分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（I）由题意可得：e==，=，又a2+b2=c2．联立解得：c2=12，a=4，b=2．∴椭圆C的标准方程为：=1．（II）设直线AB的方程为：y=kx+，（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x3，y3），线段AB的中垂线方程为：y﹣y3=﹣（x﹣x3）．联立，化为：（1+4k2）x2+12kx﹣7=0，△＞0，∴x1+x2=﹣，∴x3==﹣．y3=kx3+=．∴线段AB的中垂线方程为：y﹣=﹣（x+）．令y=0，可得x0==，k＞0时，0＞x0≥．k＜0时，0＜x0≤．k=0时，x0=0也满足条件．综上可得：点Q的横坐标x0的取值范围是．20．对于序列A0：a0，a1，a2，…，a n（n∈N*），实施变换T得序列A1：a1+a2，a2+a3，…，a n﹣1+a n，记作A1=T（A0）：对A1继续实施变换T得序列A2=T（A1）=T（T（A0）），记作A2=T2（A0）；…；A n﹣1=T n﹣1（A0）．最后得到的序列A n﹣1只有一个数，记作S（A0）．（Ⅰ）若序列A0为1，2，3，求S（A0）；（Ⅱ）若序列A0为1，2，…，n，求S（A0）；（Ⅲ）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作A=B，若序列B为序列A0：1，2，…，n的一个排列，请问：B=A0是S（B）=S（A0）的什么条件？请说明理由．【考点】数列与函数的综合．【分析】（I）序列A0为1，2，3，A1：1+2，2+3，A2：1+2+2+3，即可得出S（A0）．（II）n=1时，S（A0）=1+2=3；n=2时，S（A0）=1+2+2+3=1+2×2+3；n=3时，S（A0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，…；取n时，S（A0）=?1+?2+?3+…+?n+?（n+1）；利用倒序相加法和二项式定理的性质，即可求得结果．（III）序列B为序列A0：1，2，…，n的一个排列，B=A0?S（B）=S（A0）．而反之不成立．例如取序列B为：n，n﹣1，…，2，1．满足S（B）=S（A0）．即可得出．【解答】解：（I）序列A0为1，2，3，A1：1+2，2+3，A2：1+2+2+3，即8，∴S（A0）=8．（II）n=1时，S（A0）=1+2=3．n=2时，S（A0）=1+2+2+3=1+2×2+3=8，n=3时，S（A0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，…，取n﹣1时，S（A0）=?1+?2+?3+…+（n﹣1）+?n，取n时，S（A0）=?1+?2+?3+…+?n+?（n+1），利用倒序相加可得：S（A0）=×2n=（n+2）?2n﹣1．由序列A0为1，2，…，n，可得S（A0）=（n+2）?2n﹣1．（III）序列B为序列A0：1，2，…，n的一个排列，B=A0?S（B）=S（A0）．而反之不成立．例如取序列B为：n，n﹣1，…，2，1．满足S（B）=S（A0）．因此B=A0是S（B）=S（A0）的充分不必要条件．2016年11月6日。

高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

绝密★本科目考试启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A ={x |–2x1}，B={x |x–1或x3}，则AB =（A ）{x |–2x –1} （B ）{x |–2x 3} （C ）{x |–1x1} （D ）{x |1x3}【答案】A【解析】{}21A Bx x =-<<-I ，故选A.（2）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1） （C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞） 【答案】B【解析】()()()()111z i a i a a i =-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩ ，解得：1a <-，故选B.（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53（D ）85【答案】C【解析】0k =时，03<成立，第一次进入循环111,21k s +===，13<成立，第二次进入循环，2132,22k s +===，23<成立，第三次进入循环31523,332k s +===，33< 否，输出53s =，故选C.（4）若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 【答案】D【解析】如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.（5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xx xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.（6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使m n λ=r r，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<r r r rr r，反过来，若0m n ⋅<r r，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A.（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2 【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，22222223l =++=选B.（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 【答案】D【解析】设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京中国人民大学附属中学2018年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在R上的函数满足，时，，则（）A. 6B. 4C. 2D. 0参考答案：D【分析】根据题意，分析可得，即是周期为的周期函数，结合函数的解析式求出的值，分析可得的值，进而可得，又由，分析可得答案．【详解】根据题意，函数满足，则，即是周期为的周期函数，当时，，则，，又由，则，，所以，所以.故选：D．【点睛】本题考查函数的周期性的应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．2. 若变量满足约束条件的最小值为A. B.0 C.1 D.4参考答案：A3. i为虚数单位，复数=（）复数的分子、分母同乘分母的共轭复数1﹣i ，化简为a+bi（a，b∈R）的形式即可．解：因为===2﹣i故选B．4. 在直角坐标平面上的点集，，那么的面积是（）A． B． C． D．参考答案：C略5. 已知命题p:；q:；r:∥平面，则直线；s:同时抛掷两枚硬币，出现一正一反的概率为，则下列复合命题中正确的是A、p且qB、r或sC、非rD、 q或s参考答案：B略6. 己知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：?x∈R，e x＜lnx，则（）A．￢p∨q为真命题B．p∧￢q为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题参考答案：D【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：“a＞b”?“2a＞2b”，即可判断出真假．q：令f（x）=e x﹣lnx，x∈（0，1]时，f（x）＞0；x＞1时，f′（x）=，因此x＞1时，f（x）单调递增，可得f（x）＞0．即可判断出真假．【解答】解：命题p：“a＞b”?“2a＞2b”，是真命题．q：令f（x）=e x﹣lnx，f′（x）=．x∈（0，1]时，f（x）＞0；x＞1时，f（x）单调递增，∴f（x）＞f（1）=e＞0．∴不存在x∈R，e x＜lnx，是假命题．∴只有p∨q为真命题．故选：D．7. 函数(其中)的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度参考答案：C8. 下列命题为真命题的是（）（A）若为真命题，则为真命题（B）“”是“”的充分不必要条件（C）命题“若，则”的否命题为“若，则”（D）若命题：，使，则：，使参考答案：B9. 设集合，则（）A． B．C． D．参考答案：D考点：1、集合的表示；2、集合的并集及补集.10. 在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为( )A．（﹣2，﹣9）B．（0，﹣5）C．（2，﹣9）D．（1，6）参考答案：A【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标．【解答】解：两点坐标为（﹣4，11﹣4a）；（2，2a﹣1），两点连线的斜率k=，对于y=x2+ax﹣5，y′=2x+a，∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1，在抛物线上的切点为（﹣1，﹣a﹣4），切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0，该切线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，解得a=4或0（0舍去），抛物线方程为y=x2+4x﹣5顶点坐标为（﹣2，﹣9）．故选A．【点评】本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则的值为．参考答案：112. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点，则＝．（用数值表示）参考答案：试题分析：由已知得，从而由三角函数的定义可知，从而＝．故答案为：．考点：1．三角函数的定义；2．二倍角公式．13. （5分）在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，若=+m（0＜m＜1），则?的取值范围是．参考答案：[﹣，﹣1）考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；函数的性质及应用；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义可得，?=4，运用向量的三角形法则，化简?=4m2﹣2m﹣3，再由二次函数在闭区间上的最值求法，即可得到范围．解答：?=||?||?cos60°=4×=4，若=+m（0＜m＜1），则?=?=（+m）?（﹣）=（+m）?（m﹣）=m2﹣﹣m=4m2﹣2m﹣3=4（m﹣）2﹣，由于0＜m＜1，则m=，取得最小值﹣，又m=0，4m2﹣2m﹣3=﹣3；m=1，4m2﹣2m﹣3=﹣1．则有?的取值范围为[﹣，﹣1）．故答案为：[﹣，﹣1）．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查二次函数的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．14. 有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为参考答案：15. 若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值与最小值的差为．参考答案：4【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得目标函数的最值，作差得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），联立，解得B（1，3），化目标函数z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=分别过点A、B时，直线y=在y轴上的截距取最小、最大值．分别为：3、7．∴z=x+2y的最大值与最小值的差为7﹣3=4．故答案为：4．16. 将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，则的最大值为________参考答案：17. 在平行四边形ABCD中，，边AB，AD的边长分别为2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是．参考答案：[2,5]以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B，C（，），D．令，则∴∵，∴．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共8道小题，每道小题5分，共40分.请将正确答案填涂在答题卡上.）1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4} 2．（5分）设复数z＝i⋅（1+i）（其中i是虚数单位），则复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A．y＝e x+e﹣x B．y＝ln（|x|+1）C．D．5．（5分）命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数6．（5分）已知lga+lgb＝0，则lg（a+b）的最小值为（）A．lg 2B．2 C．﹣lg 2D．27．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知函数f（x）＝﹣k（+lnx），若x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．[0，e]C．（﹣∞，e）D．[0，e）二、填空题（共6道小题，每道小题5分，共30分.请将正确答案填在答题卡上.）9．（5分）若函数f（x）满足f（）＝log2x，则f（2）＝．10．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x+2）；且当0≤x＜1时，f（x）＝2x﹣1，则＝．11．（5分）若实数x，y满足约束条件，则x﹣2y的最大值为．12．（5分）若f（x）＝x sin x+cos x，则f（﹣3），f（），f（2）的大小关系为．13．（5分）已知，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是．14．（5分）设函数f（x）＝a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）＝0．三、解答题（共6道小题，共80分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x＞1}．（Ⅰ）求A∩B，A∪B；（Ⅱ）已知非空集合C＝{x|1＜x≤a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．16．（12分）设t∈R，已知命题p：函数f（x）＝x2﹣2tx+1有零点；命题q：∀x∈[1，+∞），．（1）当t＝1时，判断命题q的真假；（2）若p∨q为假命题，求t的取值范围．17．（13分）已知函数f（x）＝，x∈R，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）（x∈（﹣2，0））的图象与直线y＝a有两个不同交点，求a的取值范围．18．（13分）某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）＝；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）＝a﹣b（a，b为实常数）．（1）求函数q（x）的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．19．（15分）已知函数f（x）＝e x﹣mx（m为常数）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））的切线斜率为﹣1，求实数m的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：当x＞0时，e x＞x2．20．（15分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）＝，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数F（x）＝x2⋅g（x）﹣f（x）﹣lnx+a，①求函数F（x）在区间[1，e]上的最大值；②求证：a＞1是函数F（x）有两个零点的充分条件．2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8道小题，每道小题5分，共40分.请将正确答案填涂在答题卡上.）1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4}【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，∴A∪B＝{1，2，3，4}故选：A．2．（5分）设复数z＝i⋅（1+i）（其中i是虚数单位），则复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数Z＝i（1+i）＝i+i2＝﹣1+i，在复平面内对应点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：若输入的a值为1，则k＝0，b＝1，a＝，不满足退出循环的条件，故k ＝1；a＝﹣2，不满足退出循环的条件，故k＝2；a＝1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B．4．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A．y＝e x+e﹣x B．y＝ln（|x|+1）C．D．【解答】解：对于A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在（0，+∞）上不是单调递增函数．故选：D．5．（5分）命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数【解答】解：若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数”故选：C．6．（5分）已知lga+lgb＝0，则lg（a+b）的最小值为（）A．lg 2B．2 C．﹣lg 2D．2【解答】解：由lg a+lg b＝0，可知a＞0，b＞0，则lg（ab）＝0，即ab＝1．所以a+b≥2 ＝2，当且仅当a＝b＝1 时取等号，所以lg（a+b）≥lg 2．故lg（a+b）的最小值为lg 2．故选：A．7．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B＝∅”；若“A∩B＝∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分必要的条件．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝﹣k（+lnx），若x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．[0，e]C．（﹣∞，e）D．[0，e）【解答】解：∵函数f（x）＝﹣k（+lnx），∴函数f（x）的定义域是（0，+∞）∴f′（x）＝﹣k（﹣+）＝∵x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点∴x＝2是导函数f′（x）＝0的唯一根．∴e x﹣kx＝0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）＝e x﹣kxg′（x）＝e x﹣k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）＝1，g（x）＝0无解②k＞0时，g′（x）＝0有解为：x＝lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为g（lnk）＝k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y＝e x和y＝ex图象，它们切于（1，e），综上所述，k≤e．故选：A．二、填空题（共6道小题，每道小题5分，共30分.请将正确答案填在答题卡上.）9．（5分）若函数f（x）满足f（）＝log2x，则f（2）＝0．【解答】解：∵函数f（x）满足f（）＝log2x，∴令x＝1，得：f（2）＝log21＝0．故答案为：0．10．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x+2）；且当0≤x＜1时，f（x）＝2x﹣1，则＝0．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），当0≤x＜1时，f（x）＝2x﹣1，∴＝2×＝0．故答案为：0．11．（5分）若实数x，y满足约束条件，则x﹣2y的最大值为﹣1．【解答】解：画出可行域如图中阴影部分所示，令z＝x﹣2y，由，解得A（1，1）．可知z＝x﹣2y在点A（1，1）处取得最大值﹣1．故答案为：﹣1．12．（5分）若f（x）＝x sin x+cos x，则f（﹣3），f（），f（2）的大小关系为f（）＞f（2）＞f（﹣3）．．【解答】解：由f（﹣x）＝f（x）知，函数f（x）为偶函数，因此f（﹣3）＝f（3）．又f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x＝x cos x，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，π）时，f′（x）＜0，∴f（x）在区间（，π）上是减函数，∴f（）＞f（2）＞f（3）＝f（﹣3），故答案为：f（）＞f（2）＞f（﹣3）．13．（5分）已知，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是m．【解答】解：若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立成立只需f（x）min≥g（x）min，∵x1∈[0，2]，f（x）＝x2∈[0，4]，即f（x）min＝0x2∈[1，2]，g（x）＝∈[，]∴g（x）min＝∴0∴m故答案为：m14．（5分）设函数f（x）＝a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）＝0．【解答】解：①∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＝a x+b x﹣c x＝，∴①正确．②令a＝2，b＝3，c＝4，则a．b．c可以构成三角形，但a2＝4，b2＝9，c2＝16却不能构成三角形，∴②正确．③∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC为钝角三角形，∴a2+b2﹣c2＜0，∵f（1）＝a+b﹣c＞0，f（2）＝a2+b2﹣c2＜0，∴根据根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即∃x∈（1，2），使f（x）＝0，∴③正确．故答案为：①②③．三、解答题（共6道小题，共80分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x＞1}．（Ⅰ）求A∩B，A∪B；（Ⅱ）已知非空集合C＝{x|1＜x≤a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）集合A＝{x|3≤3x≤27}＝{x|1≤x≤3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）B＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴A∩B＝{x|2＜x≤3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）A∪B＝{x|x≥1}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）∵非空集合C＝{x|1＜x≤a}，∴a＞1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）又C⊆A＝{x|1≤x≤3}，所以a≤3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）综上得a的取值范围是1＜a≤3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）16．（12分）设t∈R，已知命题p：函数f（x）＝x2﹣2tx+1有零点；命题q：∀x∈[1，+∞），．（1）当t＝1时，判断命题q的真假；（2）若p∨q为假命题，求t的取值范围．【解答】解：（1）当t＝1时，，在[1，+∞）上恒成立，∴命题q为真命题．（2）若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．当p为假命题时，△＝（﹣2t）2﹣4＜0，解得﹣1＜t＜1；当q为真命题时，，即4t2﹣1≥0，解得t≤﹣或，由此得到，当q 为假命题时，，∴t 的取值范围是．17．（13分）已知函数f（x ）＝，x∈R，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）（x∈（﹣2，0））的图象与直线y＝a有两个不同交点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝x2+（1﹣a）x﹣a＝（x+1）（x﹣a）．……………………1′由f′（x）＝0，得x1＝﹣1，x2＝a＞0．……………………2′当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：……………………3′故函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（a，+∞）；单调递减区间是（﹣1，a）．……………………6′（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣a，x∈（﹣2，0），则函数g（x）在区间（﹣2，0）内有两个不同的零点，……………………8′由（Ⅰ）知g（x）在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在区间（﹣1，0）内单调递减，从而……………………11′解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）……………………13′18．（13分）某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）＝；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）＝a﹣b（a，b为实常数）．（1）求函数q（x）的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．【解答】解：（1）由x＝20和x＝180时可以解得a，b∴a＝90，b＝3∴q（x）＝（2）设总利润为W（x）则W（x）＝①当x∈（0，20]时，W（x）＝1260﹣为单调递增，最大值为1200，此时x＝20②当x∈[20，180]时，W（x）＝90x﹣3x，（W（x））′＝90﹣此时x∈[20，80]时，W（x）单调递增．x∈[80，180]时，W（x）单调递减∴在x＝80时取得最大为2400综上所述：x＝80时，总利润最大为2400元．19．（15分）已知函数f（x）＝e x﹣mx（m为常数）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））的切线斜率为﹣1，求实数m的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：当x＞0时，e x＞x2．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝e x﹣mx（m为常数），∴f′（x）＝e x﹣m，（m∈R），∴f′（0）＝1﹣m，∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0））的切线斜率为﹣1，∴f′（0）＝1﹣m＝﹣1，解得m＝2．（Ⅱ）∵f′（x）＝e x﹣m，（m∈R），函数f（x）定义域为（﹣∞，+∞），当m≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，此时没有极值；当m＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lnm，则随着x的变化，f′（x），f（x）变化如下表：由上表知函数f（x）在（lnm，+∞）上单调递增，在（﹣∞，lnm）上单调递减，则在x＝lnm处取得极小值f（lnm）＝e lnm﹣mlnm＝m（1﹣lnm），无极大值．证明：（Ⅲ）设函数g（x）＝e x﹣x2，则g′（x）＝e x﹣2x，由（Ⅱ）知m＝2时，g′（x）＝f（x）≥f（ln2），∵f（ln2）＝2（1﹣ln2）＞0，∴g′（x）＞0恒成立，即函数g（x）在R上递增，∵g（0）＝1，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，∴e x＞x2．20．（15分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）＝，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数F（x）＝x2⋅g（x）﹣f（x）﹣lnx+a，①求函数F（x）在区间[1，e]上的最大值；②求证：a＞1是函数F（x）有两个零点的充分条件．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x﹣lnx，f′（x）＝1﹣……………………1′∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．∴f（x）的单调增区间为（1，e），单调减区间为（0，1）．……………………3′（Ⅱ）F（x）＝xlnx﹣ax+a，①F′（x）＝lnx+1﹣a，令F′（x）＝0，得x＝e a﹣1，……………………5′所以在区间（0，e a﹣1）上，F′（x）＜0，F（x）单调递减，在区间（e a﹣1，+∞）上，F′（x）＞0，F（x）单调递增．（ⅰ）当e a﹣1≤1，即0＜a≤1时，在区间[1，e]上，F（x）单调递增，所以F（x）最大值为F（e）＝e+a﹣ae；……………………6′（ⅱ）当e a﹣1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，F（x）单调递减，所以F（x）最大值为F（1）＝0．……………………7′（ⅲ）当1＜e a﹣1＜e，即1＜a＜2时，F（x）的最大值为F（e）和F（1）中较大者：令F（e）﹣F（1）＝e+a﹣ae＞0，解得a＜，所以当1＜a＜时，F（x）最大值为F（e）＝e+a﹣ae，当≤a＜2时，F（x）最大值为F（1）＝0，综上所述，当0＜a＜时，F（x）最大值为F（e）＝e+a﹣ae，当a≥时，F（x）最大值为F（1）＝0．……………………10′②“函数F（x）有两个零点”等价于“方程xlnx﹣ax+a＝0两个根”，由于x＞0，也等价于“函数G（x）＝有两个零点”．…11′则G′（x）＝，0时，令G′（x）＞0得x＞a，令G′（x）＜0得x＜a，即函数G（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a），因此，G（x）min＝G（a）＝lna﹣a+1≤0..……………………13′又G（1）＝0，当a＞1时，由于G（a）＜0，G（ea）＝＞0，故函数G（x）有两个零点所以a＞1是函数F（x）有两个零点的充分条件．……………………14′。

北京市人大附中2017-2018学年高考数学适应性试卷（文科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∪B=（）A．{x|x≥﹣1} B．{x|x≤2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|﹣1≤x≤2} 2．（5分）函数f（x）=sin（x+）图象的一个对称中心为（）A．（，0）B．（0，1）C．（0，0）D．（﹣，0）3．（5分）若a＞0且a≠1，函数y=a x﹣3+1的反函数图象一定过点A，则A的坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（2，3）D．（3，2）4．（5分）已知A，B，C三点不重合，则“”是“A，B，C三点共线”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则α∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b6．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0B．1C．D．97．（5分）若曲线y2=2px（p＞0）上有且只有一个点到其焦点的距离为1，则p的值为（）A．1B．2C．3D．48．（5分）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y=f（x），一种是平均价格曲线y=g（x）（如f（2）=3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g（2）=4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元）．下面所给出的四个图象中，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中可能正确的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）函数f（x）=的定义域是．10．（5分）的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是．11．（5分）在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长度是．12．（5分）已知圆C：x2+y2+6x﹣8y=0内有一点A（﹣5，0），直线l过点A交圆C于P，Q两点，若A为PQ中点，则|PQ|=；若|PQ|=10，则l的方程为．13．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为S n（n∈N*）．若a1＞1，a4＞3，S3≤9，则通项公式a n=．14．（5分）定义一个对应法则f：P（m，n）→P′（，），（m≥0，n≥0）．现有点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M′．若点M坐标为（4，4），则对应点M′的坐标为；当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求f （）的值；（Ⅱ）设α∈（0，π），f（）=，求cos2α的值．16．（13分）在一次百米比赛中，甲，乙等6名同学采用随机抽签的方式决定各自的跑道，跑道编号为1至6，每人一条跑道（Ⅰ）求甲在1或2跑道且乙不在5或6跑道的概率；（Ⅱ）求甲乙之间恰好间隔两人的概率．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=CA=，AD=CD=AA1=1，平面AA1C1C⊥平面ABCD，E为线段BC的中点，（Ⅰ）求证：BD⊥AA1；（Ⅱ）求证：A1E∥平面DCC1D1（Ⅲ）若AA1⊥AC，求A1E与面ACC1A1所成角大小．18．（14分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n}的各项为正，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．（Ⅲ）设c∈，在（2）的条件下，设g（n）=T n﹣cn，求g（n）的最小值．19．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1和F2，离心率e=，点F2到右准线l的距离为．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）设M、N是右准线l上两动点，满足=0．当|MN|取最小值时，求证：M，N两点关于x轴对称．20．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极大值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若方程f（x）=﹣恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式；（Ⅲ）对于（2）中的函数f（x），若对于任意实数α和β恒有不等式|f（2sinα）﹣f（2sinβ）|≤m成立，求m的最小值．北京市人大附中2015届高考数学适应性试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∪B=（）A．{x|x≥﹣1} B．{x|x≤2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|﹣1≤x≤2}考点：并集及其运算．分析：根据并集的求法，做出数轴，求解即可．解答：解：根据题意，作图可得，则A∪B={x|x≥﹣1}，故选A．点评：本题考查集合的运算，要结合数轴发现集合间的关系，进而求解．2．（5分）函数f（x）=sin（x+）图象的一个对称中心为（）A．（，0）B．（0，1）C．（0，0）D．（﹣，0）考点：正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用正弦函数的图象的对称中心求得函数f（x）=sin（x+）图象的一个对称中心．解答：解：对于函数f（x）=sin（x+），令x+=kπ，k∈z，求得x=kπ﹣，k∈z，可得它的图象的对称中心为（kπ﹣，0），故选：A．点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称中心，属于基础题．3．（5分）若a＞0且a≠1，函数y=a x﹣3+1的反函数图象一定过点A，则A的坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（2，3）D．（3，2）考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由指数函数的性质可得原函数图象过的定点，再由反函数的性质可得．解答：解：当x=3时，y=a3﹣3+1=2，∴函数y=a x﹣3+1的图象一定过点（2，3），∴函数y=a x﹣3+1的反函数图象一定过点A（3，2）故选：C点评：本题考查指数函数的性质和反函数，属基础题．4．（5分）已知A，B，C三点不重合，则“”是“A，B，C三点共线”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：根据三点共线的向量关系，根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：A，B，C三点不重合，若A，B，C三点共线”，则“=λ，λ≠0，λ为常数”故“”能推出“A，B，C三点共线”，但是“A，B，C三点共线”，λ为不等于0的常数，故A，B，C三点不重合，则“”是“A，B，C三点共线”成立的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三点关共线的等价条件是解决本题的关键．5．（5分）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则α∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断．B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．D、由a⊥α，α⊥β，可得到a⊂β或a∥β，再由b⊥β得到结论．解答：解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；B、用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b，不正确；C、可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α∥β，不正确；D、∵a⊥α，α⊥β，∴a⊂β或a∥β又∵b⊥β∴a⊥b故选D点评：本题主要考查空间内两直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，综合性强，方法灵活，属中档题．6．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0B．1C．D．9考点：简单线性规划的应用．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．解答：解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Z min=3x+2y=30=1故选B点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．7．（5分）若曲线y2=2px（p＞0）上有且只有一个点到其焦点的距离为1，则p的值为（）A．1B．2C．3D．4考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用曲线y2=2px（p＞0）上有且只有一个点到其焦点的距离为1，可得=1，即可得出结论．解答：解：因为曲线y2=2px（p＞0）上有且只有一个点到其焦点的距离为1，所以=1，所以p=2．故选：B．点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．8．（5分）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y=f（x），一种是平均价格曲线y=g（x）（如f（2）=3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g（2）=4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元）．下面所给出的四个图象中，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中可能正确的是（）A．B．C．D．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题；压轴题．分析：由股票买卖过程以及股票买卖的规律性，依次分析可得答案．解答：解：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B、D均错误．答案：C．点评：本题考查函数及其图象的基本思想和方法，考查学生看图识图及理论联系实际的能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）函数f（x）=的定义域是（﹣∞，3）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件即可求函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则3﹣x＞0，即x＜3，故函数的定义域为（﹣∞，3），故答案为：（﹣∞，3）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．10．（5分）的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是8．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1项，令x的指数为0得到常数项，列出方程求出n值．解答：解：展开式的通项为T r+1==（﹣1）r C n r x n﹣2r展开式中的第5项为常数项，故n﹣8=0，解得n=8，故答案为：8．点评：本题考查二项展开式的通项公式，是解决二项展开式的特定项问题的工具．11．（5分）在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长度是．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：根据∠A和∠C求得∠B，进而根据正弦定理求得求得BC．解答：解：∠B=180°﹣45°﹣75°=60°由正弦定理可知CsinB=BCsinA∴BC==故答案为点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．12．（5分）已知圆C：x2+y2+6x﹣8y=0内有一点A（﹣5，0），直线l过点A交圆C于P，Q两点，若A为PQ中点，则|PQ|=2；若|PQ|=10，则l的方程为y=2x+10．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，若A为PQ中点，则CA⊥PQ，利用弦长公式求得|PQ|；若PQ=10为直径，则直线PQ经过圆心C，由两点式求得PQ的方程．解答：解：圆C：x2+y2+6x﹣8y=0 即圆C：（x+3）2+（y﹣4）2 =25，表示以C（﹣3，4）为圆心、半径等于5的圆．若A为PQ中点，则CA⊥PQ，|PQ|=2=2=2．若PQ=10为直径，故直线PQ经过圆心C（﹣3，4），由两点式求得PQ的方程为=，即y=2x+10，故答案为：；y=2x+10．点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相交的性质，用两点式求直线的方程，弦长公式，属于基础题．13．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为S n（n∈N*）．若a1＞1，a4＞3，S3≤9，则通项公式a n=n+1．考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由已知可得a1+3d＞3，3a2≤9⇒d＞，a1+d≤3⇒a1≤3﹣d＜3﹣=，结合等差数首项a1及公差d都是整数可得a1=2，则＜d≤1⇒d=1，从而可得a n=2+1×（n﹣1），化简即得结果．解答：解：因为a1＞1，a4＞3，S3≤9，所以a1+3d＞3，3a2≤9，∴d＞，a1+d≤3，∴a1≤3﹣d＜3﹣==2．∵等差数列{a n}的首项a1及公差d都是整数，∴a1=2，则由以上可得＜d≤1，可得d=1．∴a n=2+1×（n﹣1）=n+1．故答案为n+1．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质、通项公式的应用，求出首项a1和公差d的值，是解题的关键，要注意方法的把握，属于基础题．14．（5分）定义一个对应法则f：P（m，n）→P′（，），（m≥0，n≥0）．现有点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M′．若点M坐标为（4，4），则对应点M′的坐标为（2，2）；当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为．考点：映射．专题：新定义．分析：本题以定义的一种新的变换为入手点，主要考查直线与圆的有关知识，解答本题的关键是弄懂定义的本质，由定义的新法则f：P（m，n）→P′（，），（m≥0，n≥0）．点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，而不难知道由变换得到点的轨迹是圆的一部分．然后根据弧长公式，易得答案解答：解：解：由题意知AB的方程为：x+y=8，设M（x，y），则M′（x2，y2），从而有x2+y2=8，易知A（2，6）→A′（，），B（6，2）→B′（，），不难得出∠A′OX=，∠B′OX=，则∠A′OB′=，点M的对应点M′所经过的路线长度为π．故答案为：（2，2），点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．弄懂定义的本质是解题关键；针对本题，通过阅读题意，不难知道由变换得到点的轨迹是圆的一部分三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求f （）的值；（Ⅱ）设α∈（0，π），f（）=，求cos2α的值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简解析式，然后代入自变量求值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的解析式得到f（）=，然后两边平方求出sin2α，根据平方关系以及角度范围求cos2α．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+cos2x，∴f（）=sin+cos=1（Ⅱ）∵f（）=sinα+cosα=，∴1+sin2α=，sin2α=，∴cos2α=，∵α∈（0，π）∴2α∈（π，π）∴cos2α＜0．故cos2α=．点评：本题考查了三角函数式的化简、求值．注意三角函数名称和范围．16．（13分）在一次百米比赛中，甲，乙等6名同学采用随机抽签的方式决定各自的跑道，跑道编号为1至6，每人一条跑道（Ⅰ）求甲在1或2跑道且乙不在5或6跑道的概率；（Ⅱ）求甲乙之间恰好间隔两人的概率．考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计；排列组合．分析：先求出没有限制条件的种数为720种，（Ⅰ）先安排甲，再安排乙，剩下的全排，根据概率公式计算即可，（Ⅱ）先选2人放在甲乙之间，并捆绑在一起，看作一个复合元素，再和剩下的2人全排，根据概率公式计算即可，解答：解：没有限制条件的种数为A66=720种，（Ⅰ）先安排甲，再安排乙，剩下的全排，故有C21C31A44=144种，根据概率公式，故甲在1或2跑道且乙不在5或6跑道的概率P==，（Ⅱ）先选2人放在甲乙之间，并捆绑在一起，看作一个复合元素，再和剩下的2人全排，故有A42A22A33=144种，根据概率公式，故甲乙之间恰好间隔两人的概率P==．点评：本题考查古典概型的概率问题，关键是根据排列组合求出相应的种数，属于中档题．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=CA=，AD=CD=AA1=1，平面AA1C1C⊥平面ABCD，E为线段BC的中点，（Ⅰ）求证：BD⊥AA1；（Ⅱ）求证：A1E∥平面DCC1D1（Ⅲ）若AA1⊥AC，求A1E与面ACC1A1所成角大小．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）利用垂直平分线的判定定理即可得到BD垂直平分AC，利用面面垂直的性质定理即可得到BD⊥平面AA1C1C，利用线面垂直的性质定理即可证明结论；（Ⅱ）利用△OCD的边角关系即可得到∠OCD=30°，从而得到∠BCD=90°，DC⊥BC，利用等边三角形的性质即可得到AE⊥BC，得到AE∥DC，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；（Ⅲ）过E作AC的垂线，设垂足为N，利用面ABCD⊥面AA1C1C，可得EN⊥面AA1C1C，连A1N，则A1N为A1E在面AA1C1C内的射影，∠EA1N为直线A1E与面AC1所成角，即可求A1E与面ACC1A1所成角大小．解答：（Ⅰ）证明：在四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AB=BC=CA，且AD=DC，取AC中点O，则BO⊥AC，DO⊥AC，∴B，O，D三点在一条直线上．又∵面AA1C1C⊥面ABCD，面AA1C1C∩面ABCD=AC，BD⊂面ABCD，BD⊥AC，∴BD⊥面AA1C1C，AA1⊂面AA1C1C，∴BD⊥AA1；…4分（Ⅱ）证明：连AE，在Rt△DCO中∠DCO=30°在正△BCA中，∠BCO=60°，∴DC⊥BC，又在正△BCA中，AE⊥BC，∴AE∥DC，又AE⊄面DCC1D1，DC⊂面DCC1D1，∴AE∥面DCC1D1，在四棱锥中，AA1∥DD1，AA1⊄面DCC1D1，DD1⊂面DCC1D1，∴AA1∥面DCC1D1，又AA1∩AE=A，∴面A1AE∥面DCC1D1，又A1E⊂面AA1E，故A1E∥面DCC1D1．（Ⅲ）解：过E作AC的垂线，设垂足为N，∵面ABCD⊥面AA1C1C，∴EN⊥面AA1C1C，连A1N，则A1N为A1E在面AA1C1C内的射影，∴∠EA1N为直线A1E与面AC1所成角，由已知得：，∴．点评：熟练掌握面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理是解题的关键．18．（14分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n}的各项为正，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．（Ⅲ）设c∈，在（2）的条件下，设g（n）=T n﹣cn，求g（n）的最小值．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）运用数列的通项和求和的关系，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}的公差为d，运用等差数列的通项和等比数列的性质，解方程可得d=2，再由等差数列的求和公式，即可得到所求；（Ⅲ）运用二次函数的对称轴和c∈，对c讨论，结合数列的单调性，即可得到所求最小值．解答：解：（Ⅰ）由a n+1=2S n+1可得a n=2S n﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1﹣a n=2a n，a n+1=3a n（n≥2）又a2=2S1+1=3，∴a2=3a1故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．∴；（Ⅱ）设{b n}的公差为d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，又a1=1，a2=3，a3=9，由题意可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2解得d1=2，d2=﹣10，∵等差数列{b n}的各项为正，∴d＞0，∴d=2，b1=3，∴；（Ⅲ）由已知得：g（n）=n2+2n﹣cn，对称轴，c∈，∴，①若c∈，此时g（n）最小值为g（2）=8﹣2c．点评：本题考查等比数列和等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查数列的通项和求和的关系，以及数列的单调性的运用：求最值，属于中档题．19．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1和F2，离心率e=，点F2到右准线l的距离为．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）设M、N是右准线l上两动点，满足=0．当|MN|取最小值时，求证：M，N两点关于x轴对称．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用离心率公式和准线方程，结合a，b，c的关系，可得a，b；（Ⅱ）求出椭圆的左右焦点坐标，求出右准线方程，设出M，N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，可得y1y2=﹣6，由基本不等式求出|MN|的最小值，即可得证．解答：解：（1）因为，F2到l的距离，所以由题设得，解得，．由．（Ⅱ）证明：由，a=2得．则l的方程为．故可设．=（2+，y1），=（2﹣，y2），由=0知，3×+y1y2=0，得y1y2=﹣6，所以y1y2≠0，，||=|y1﹣y2|=|y1+|=|y1|+，当且仅当时，上式取等号，此时y 1=﹣y2．即M，N两点关于x轴对称．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和准线方程的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示和基本不等式的运用，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极大值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若方程f（x）=﹣恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式；（Ⅲ）对于（2）中的函数f（x），若对于任意实数α和β恒有不等式|f（2sinα）﹣f（2sinβ）|≤m成立，求m的最小值．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求得f（x）的导数，f'（x）=3x2+2ax﹣（2a+3）=（x﹣1）（3x+2a+3），根据取得极大值点求得a的取值范围．（Ⅱ）将方程f（x）=﹣看作两个函数，利用导数得到函数f（x）的大体图象，而函数y=﹣为一条平行于x轴的直线，利用交点个数说明a的值（Ⅲ）依题意有：函数f（x）在区间上的最大值与最小值的差不大于m，转换思路，求最值．解答：解：（Ⅰ）f（0）=0⇒c=0，f'（x）=3x2+2ax+b，f'（1）=0⇒b=﹣2a﹣3，…2分∴f'（x）=3x2+2ax﹣（2a+3）=（x﹣1）（3x+2a+3），由f'（x）=0⇒x=1或因为当x=1时取得极大值，所以，所以a的取值范围是：（﹣∞，﹣3）；…4分（Ⅱ）由下表：x x＜1 x=1f'（x）+ 0 ﹣0 ﹣f（x）递增极大值﹣a﹣2 递减极小值递增…7分画出f（x）的简图：依题意得：，解得：a=﹣9，所以函数f（x）的解析式是：f（x）=x3﹣9x2+15x；…9分（Ⅲ）对任意的实数α，β都有﹣2≤2sinα≤2，﹣2≤2sinβ≤2，依题意有：函数f（x）在区间上的最大值与最小值的差不大于m，…10分在区间上有：f（﹣2）=﹣8﹣36﹣30=﹣74f（1）=7，f（2）=8﹣36+30=2f（x）的最大值是f（1）=7，f（x）的最小值是f（﹣2）=﹣8﹣36﹣30=﹣74，…13分所以m≥81即m的最小值是81．…14分．点评：本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，利用函数得极值画函数图象的能力，属于中档题，2015届高考经常涉及．。

人大附中2018届摸底考试数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 第I 卷1至2页.第II 卷3至9页.共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题共40分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ・B ）=P （A ）・P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k nP k(1－P)n －k.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合,},3|||{},02|{2R BA a x xB x xx A 若集合，则实数a 的取值范围是（A ）[1，2] （B ）（－1，2）（C ）[－1，2] （D ）（－2，1）2.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，有下面四个命题：①m l//；②m l //；③ml //；④//m l 其中正确的两个命题的序号是（A ）①与②（B ）③与④（C ）②与④（D ）①与③3.下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数x y2log 的图象重合的函数是（A ）xy 2（B ）xy21log （C ）xy 421（D ）21log 1y x4.如右图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为5.函数sin y x x ，,x 的大致图象是（）(A ) (B ) (C ) (D )6.设,0,0b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是（A ）4)11)((ba b a （B ）2332abba（C ）b ab a 22222（D ）ba b a ||7.设a 、b 是方程0coscot2x x的两个不相等的实数根，那么过点A（a,a 2）和B （b ，b 2）的直线与圆122yx 的位置关系是（A ）相交（B ）相切（C ）相离（D ）随θ的值变化而变化8.函数s i n 0f x M x，在区间,a b 上是增函数，且,f aM f bM ，则函数cosg xM x在区间,a b 上（A ）是增函数（B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－Mxy Oxy Oxy OxyO人大附中高三数学月考试卷班级____________姓名____________学号_____________第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上.9.若实数x 、y 满足y xzyx yx y x2,009382则的最大值为.10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0,若存在自然数3m ，使得a m =S m , 当n>m 时，S n 与a n 的大小关系为：n S _______n a ．（填“>”；“<”或“＝”）11.2018年10月15日，我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉卫星发射中心胜利升空，实现了中华民族千年的飞天梦，飞船进入的是椭圆轨道，已知该椭圆轨道与地球表面的最近距离约为200公里，最远距离约350公里（地球半径约为6370公里），则轨道椭圆的标准方程为（精确到公里）.（注：地球球心位于椭圆轨道的一个焦点，写出一个方程即可）12.某民航站共有1到4四个入口，每个入口处每次只能进一个人，一小组4个人进站的方案数为______________．13.设,,a b c 是任意非零的平面向量，且互不共线，给出下面的五个命题：（1）a b a b ；（2）b c a c a b 不与向量c 垂直．；（3）ab a b ；（4）若0a b ，则0a ，或者0b ；（5）a b cb c a ；（6）22323294ababab其中真命题的序号为_____________________________. 14.某纺织厂的一个车间有n （n>7，n ∈N ）台织布机，编号分别为1，2，3，……，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，……，n ．现定义记号ij a 如下：如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定ij a =1，否则ij a =0．若第7号织布机有且仅有一人操作，则747372717n a a a a a ；若2334333231na a a a a ，说明：______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos A .（1）求A CB 2cos 2sin 2的值；（2）若3a，求bc 的最大值.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（1）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（2）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天下午4：00～5：00同时开放健身房和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动．据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？某人居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.（例如：A →C →D 算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为15，路段CD 发生堵车事件的概率为18．（1）请你为其选择一条由A 到B 的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A →C →F →B 中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望.E 北西已知函数223)(x axx f 的最大值不大于61，又当.81)(,]21,41[x f x时（1）求a 的值；（2）设.11.),(,21011na N na f a a nn n证明2的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、已知抛物线xy4M，CD的中点分别为N（1）求证：直线MN必过定点，并求出定点坐标．（2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程．。

2018年北京市人大附中高考数学零模试卷（理科）一、选择题1．设全集U=R，集合A={x∈R|x2﹣2x＜0}，B={y|y=e x+1，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|x＞2} C．{x|x＞1} D．{x|1＜x＜2}2．设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a3．直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．4．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．B．C．D．5．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n．则“|q|=1”是“S4=2S2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（）A．B． C．D．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图，则（）A．﹣1 B．1 C．D．08．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④二、填空题9．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第象限．10．如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB=．11．一几何体的三视图如下：其体积为．12．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．则直线l的倾斜角为；设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l 的距离的最小值为．13．已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．14．已知A、B为函数y=f（x），x∈[a，b]图象的两个端点，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b，λ∈[0，1]，又已知向量=λ+（1﹣λ），若不等式||≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数f（x）=x﹣在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为．三、解答题.15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，=．（1）求角A的大小；（2）求函数y=sinB+sin（C﹣）的值域．16．如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1，PD=．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值．（Ⅲ）在PC上是否存在一点Q，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．17．小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔．受风力自然资源影响，项目投资存在一定调研结果是，未来一年内，位于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2．假设投资A项目的资金为x（x≥0）万元，投资B项目资金为y（y≥0）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目．（1）请根据公司投资限制条件，写出x，y满足的条件，并将它们表示在平面xOy内；（2）记投资A，B项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；（3）根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议．18．已知函数f（x）=﹣（1+2a）x+ln（2x+1），a＞0．（1）已知函数f（x）在x=2取得极小值，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）当a＞时，若存在x0∈（，+∞）使得f（x0）＜﹣2a2，求实数a的取值范围．19．已知F1（﹣1，0），F2（1，0），坐标平面上一点P满足：△PF1F2的周长为6，记点P 的轨迹为C1．抛物线C2以F2为焦点，顶点为坐标原点O．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）若过F2的直线l与抛物线C2交于A，B两点，问在C1上且在直线l外是否存在一点M，使直线MA，MF2，MB的斜率依次成等差数列，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．20．正整数数列{a n}满足：a1=1，（Ⅰ）写出数列{a n}的前5项；（Ⅱ）将数列{a n}中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列{n k}，试用n k表示n k（不必证明）；+1（Ⅲ）求最小的正整数n，使a n=2018．2018年北京市人大附中高考数学零模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．设全集U=R，集合A={x∈R|x2﹣2x＜0}，B={y|y=e x+1，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|x＞2} C．{x|x＞1} D．{x|1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的值域确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中的不等式解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的y=e x+1＞1，得到B={y|y＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故选：D．2．设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．【解答】解：∵0＜0.32＜1log20.3＜020.3＞1∴log20.3＜0.32＜20.3，即c＜b＜a故选B．3．直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．【考点】定积分．【分析】此类题目需先求出两曲线的交点，进而确定积分区间，再依据函数图象的上下位置确定出被积函数，最后依据微积分基本定理求出面积即可．【解答】解：由已知，联立直线与曲线方程得到解得或则围成图形的面积为====故答案为．4．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．B．C．D．【考点】选择结构．【分析】本题的框图是一个选择结构，其算法是找出即是奇函数存在零点的函数，由此规则对四个选项进行比对，即可得出正确选项．【解答】解：由框图知，其算法是输出出即是奇函数存在零点的函数，A中的函数不能输出，因为此函数没有零点；B中的函数可以输出，验证发现，函数是奇函数且当x=0时函数值为0，故B正确；C中的函数不能输出，因为不存在零点；D中的函数不能输出，因为它是偶函数，不是奇函数．故选B．5．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n．则“|q|=1”是“S4=2S2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的S4=2S2，把数列的前4项和与前两项的和用数列的通项表示出来，合并同类项整理得到第三项和第四项的和等于第一项和第二项的和，得到公比的平方是1，从而得到结果．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=2S2，∴a1+a2+a3+a4=2（a1+a2）∴a3+a4=a1+a2，∴q2=1，⇔“|q|=1”∴则“|q|=1”是“S4=2S2”的充要条件，故选：C．6．某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（）A．B． C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的总事件是从12名选手中选出4个优胜者，共有C124种结果，而满足条件的是选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手表示从6个省中选一个省，它的两名选手都获奖，同时从余下的10名选手中选一个，再从剩下的4个省中选一个，共有C61C101C41种选法．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的总事件是从12名选手中选出4个优胜者，共有C124种结果，而满足条件的是选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手表示从6个省中选一个省，它的两名选手都获奖，同时从余下的10名选手中选一个，再从剩下的4个省中选一个，共有C61C101C41种选法，∴P==，故选A．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图，则（）A．﹣1 B．1 C．D．0【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，再利用函数的周期性求得的值．【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象的周期性可得==﹣，解得ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），且函数的周期为π．∴f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（π）=1+﹣﹣1﹣+=0，∵2018=6×335+3，故=f（）+f（）+f（）=1+﹣=1，故选B．8．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD'B'．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．【解答】解：①连结BD，B'D'，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF ⊥平面BDD'B'，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．所以四个命题中③假命题．所以选C．二、填空题9．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第象限．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由图得到复数z1，z2，然后利用复数的除法运算把复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求．【解答】解：由图可知z1=﹣2﹣i，z2=i，则=．该复数对应的点为（﹣1，2），该点位于第二象限．故答案为二．10．如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB=．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【分析】利用题设条件，由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，故△ABD∽△ACB，，由此能求出结果．【解答】解：如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∵∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，∴由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，∴△ABD∽△ACB，∴，∴AB2=AC•AD=mn，即．故答案为：．11．一几何体的三视图如下：其体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知，该三棱锥的高和底面三角形的一边及此边上的高，进而可求该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该三棱锥的高为6，其底面三角形的一边及此边上的高分别为5与2.4，由棱锥的体积公式V=，则该几何体的体积为．故答案为12．12．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．则直线l的倾斜角为；设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l 的距离的最小值为．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【分析】化直线的参数方程为普通方程，求出直线的斜率，由直线倾斜角的范围和倾斜角的正切值等于斜率可求直线的倾斜角；化圆的参数方程为普通方程，求出圆的圆心和半径，由圆心到直线的距离减去圆的半径得到点Q到直线l的距离的最小值．【解答】解：由直线l的参数方程为（t为参数），得y=x+1，则直线l的斜率为k=，设l的倾斜角为α，由0≤α＜π，且tanα=，所以；由曲线C的参数方程为（θ为参数），则（x﹣2）2+y2=1．所以曲线C为以（2，0）为圆心，以1为半径的圆，则圆心C到直线l的距离为d=，所以曲线C上的一个动点Q到直线l的距离的最小值为．故答案为，．13．已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】分类讨论，设双曲线的方程，利用焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，求出几何量，即可得到双曲线的方程．【解答】解：焦点在x轴上时，设方程为（a＞0，b＞0），则∵焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴c=5，∴∴C的方程为；焦点在y轴上时，设方程为（a′＞0，b′＞0），则∵焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴c′=5，∴∴C的方程为故答案为或．14．已知A、B为函数y=f（x），x∈[a，b]图象的两个端点，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b，λ∈[0，1]，又已知向量=λ+（1﹣λ），若不等式||≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数f（x）=x﹣在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为．【考点】平面向量的综合题．【分析】先得出M、N横坐标相等，再将恒成立问题转化为求函数的最值问题．【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，恒成立，即，由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，），∴直线AB方程为y=（x﹣1）∴=y1﹣y2=﹣（x﹣1）=﹣（+）≤（当且仅当x=时，取等号）∵x∈[1，2]，∴x=时，∴故答案为：三、解答题.15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，=．（1）求角A的大小；（2）求函数y=sinB+sin（C﹣）的值域．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【分析】（I）由条件利用正弦定理求得cosA=，从而求得A=．（II）由A=，可得B+C=．化简函数y等于2sin（B+），再根据＜B+的范围求得函数的定义域．【解答】解：（I）△ABC中，∵，由正弦定理，得：，…即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，故2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，…∴cosA=，A=．…（II）∵A=，∴B+C=．…故函数y==sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB=2sin（B+）．…∵0＜B＜，∴＜B+＜，∴sin（B+）∈（，1]，…故函数的值域为（1，2]．…16．如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1，PD=．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值．（Ⅲ）在PC上是否存在一点Q，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）若M为PA中点，证明MN∥AC，利用线面平行的判定，即可证明AC∥平面MDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，确定面PBC的法向量，即可求直线PE与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）确定平面QAD的法向量，利用平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为，结合向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】（Ⅰ）证明：连结PC，交DE与N，连结MN，∵△PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点，∴MN∥AC…因为MN⊂面MDE，又AC⊄面MDE，所以AC∥平面MDE…（Ⅱ）解：∵∠ADC=90°，∴AD⊥DC，又AD⊂平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD，∴AD⊥平面PDCE，又PD⊂平面PDCE，∴AD⊥PD．…以D为空间坐标系的原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，…设面PBC的法向量=（x，y，1），应有即：解得：，所以…设PE与PBC所成角的大小为θ，∵∴，…（Ⅲ）解：设﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设平面QAD的法向量为=（x′，y′，1），即：…解得：，所以…∵面PBC的法向量，平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．∴，…∴所以，PC上存在点Q满足条件，Q与P重合，或…17．小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔．受风力自然资源影响，项目投资存在一定调研结果是，未来一年内，位于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2．假设投资A项目的资金为x（x≥0）万元，投资B项目资金为y（y≥0）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目．（1）请根据公司投资限制条件，写出x，y满足的条件，并将它们表示在平面xOy内；（2）记投资A，B项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；（3）根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目，公司要求对A项目的投资不得低于B项目，可得x，y满足的条件，从而可得平面区域；（2）利用未来一年内，位于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2，可得随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；（3）利用平面区域，即可求得一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目，公司要求对A项目的投资不得低于B项目可得，表示的区域如图所示；η（Ⅲ）z=Eξ+Eη=0.16x+0.19y，可得x=y=50根据图象，可得x=y=50时，估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值为17.5万元．18．已知函数f（x）=﹣（1+2a）x+ln（2x+1），a＞0．（1）已知函数f（x）在x=2取得极小值，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）当a＞时，若存在x0∈（，+∞）使得f（x0）＜﹣2a2，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求导，利用函数f（x）在x=2取得极小值，则f'（x）=0，解a．（Ⅱ）解导数不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0，判断函数的单调区间．（Ⅲ）将不等式转化为最值恒成立问题，利用导数求函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为，且f'（x）=x﹣（1+2a）+，…因为函数f（x）在x=2取得极小值，所以f'（2）=0，即f'（2）=2﹣（1+2a）+=0，．…解得a=1．…经检验：a=1时，函数f（x）在x=2取得极小值，所以a=1．…（Ⅱ）f'（x）=x﹣（1+2a）+==令f'（x）=0，则x=或x=2a…i、当2a＞，即a＞时，所以f（x）的增区间为（﹣，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）…ii、当2a=，即a=时，f'（x）=≥0在（，+∞）上恒成立，所以f（x）的增区间为（，+∞）…iii、当0＜2a＜，即0＜a＜时，，所以f（x）的增区间为（﹣，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）…综上所述：0＜a＜时，f（x）的增区间为（﹣，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）a=时，f（x）的增区间为（，+∞）a＞时，f（x）的增区间为（﹣，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）（Ⅲ）由题意，a＞时，存在x0∈（，+∞），f（x0）＜，即a＞时，f（x）在（，+∞）上的最小值小于．…由（Ⅱ）a＞时，f（x）在（，2a）上递减，在（2a，+∞）上递增，f（x）在（，+∞）上的最小值为f（2a），…所以f（2a）＜，即＜…化简得ln（4a+1）＜1，4a+1＜e，，又a＞，所以，所求实数a的取值范围为．…19．已知F1（﹣1，0），F2（1，0），坐标平面上一点P满足：△PF1F2的周长为6，记点P 的轨迹为C1．抛物线C2以F2为焦点，顶点为坐标原点O．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）若过F2的直线l与抛物线C2交于A，B两点，问在C1上且在直线l外是否存在一点M，使直线MA，MF2，MB的斜率依次成等差数列，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）利用△PF1F2的周长为6，结合椭圆的定义，可求C1的方程；利用抛物线C2以F2为焦点，顶点为坐标原点O，可得C2的方程；（Ⅱ）设出直线方程与抛物线方程，利用直线MA，MF2，MB的斜率依次成等差数列，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意可知，△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|，由于|F1F2|=2，故|PF1|+|PF2|=4，由于|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，故点P的轨迹为C1为以F1，F2为焦点的椭圆的一部分，且a=2，c=1，故，故C1的方程为：；C2的方程为：y2=4x．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线AB的方程为：x=my+1，，故，故，由，y2﹣4my﹣4=0，故y1+y2=4m，y1y2=﹣4，故m（x0+1）（x0﹣my0﹣1）=0，因为直线AB不经过点M，故x0﹣my0﹣1≠0，故m=0或x0+1=0，当m=0时，C1上除点外，均符合题意；当m ≠0时，则当x 0=﹣1时，椭圆上存在两点和都符合条件．20．正整数数列{a n }满足：a 1=1，（Ⅰ）写出数列{a n }的前5项；（Ⅱ）将数列{a n }中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列{n k }，试用n k 表示n k +1（不必证明）；（Ⅲ）求最小的正整数n ，使a n =2018． 【考点】数列递推式；数列的函数特性． 【分析】（Ⅰ）由数列{a n }满足递推公式，令n=1，2，3，4及a 1=1，我们易得到a 2，a 3，a 4，a 5，的值；（Ⅱ）由（1）和条件可归纳数列{n k }中每一项的值与序号的关系，由归纳推理出n k 的一个通项公式，再由（Ⅰ）归纳出数列{a n }中项之间的关系式，再得到项数之间的关系式； （Ⅲ）把（Ⅱ）的结论化为2n k +1+1=3（2n k +1），记2n k +1=x k ，转化为新的等比数列{x k }，利用此数列的通项公式进而求出n k 的表达式，把n k +1=3n k +1转化为不等式“a n ≤3n k +1=n k +1”，给k 具体值结合（Ⅱ）的结论，进行注意验证a n 与2018的大小关系，一直到n 8+2﹣m=2018，进而求出m 的值，代入对应的式子求出n 的值．【解答】解：（Ⅰ）令n=1代入得，a 2=a 1+1=2，令n=2代入得a 3=a 2+2=4；令n=3代入得a 4=a 3﹣3=1， 令n=4代入得a 5=a 4+4=5；∴a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=1，a 5=5；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知n 1=1，n 2=4，n 3=13，…，猜想使的下标n k 满足如下递推关系：n k +1=3n k +1，k=1，2，3，…．对k 归纳：k=1，2时已成立，设已有，则由（Ⅰ）归纳可得，，，，，…．归纳易得：，，故当m=n k +1时，=．因此n k +1=3n k +1，（k=1，2，3，…）成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，n k +1=3n k +1，则2n k +1=2（3n k +1）， 即2n k +1+1=3（2n k +1），记2n k +1=x k ，则x k +1=3x k ，x 1=3，故，因此，由n k+1=3n k+1，k=1，2，3，…可知，当n≤3n k=n k+1﹣1时，a n≤3n k+1=n k+1．因此，当n＜n7时，a n≤n7==1183；而当n7≤n＜n8时，要么有a n≤1184，要么有a n≥2×1184，即a n取不到2018，进而考虑n8≤n＜n9的情况，由（Ⅱ）得，，则n8+2﹣m=2018，解得m=1269，解得n8+2m﹣1=5817故．故使得a n=2018的最小n为5817．2018年10月13日。