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16三角函数 三角变换 解三角形角 ： 正角 负角 零角 象限角 轴线角 终边相同的角（α+2k π）(求角在第几象限) 弧度：l=|α|²r任意角的三角函数：sin α cos α tan α cot α sec α csc α※1 sin(α+2k π)=sin α (终边相同的角的三角函数相同)※2 sin 2α+cos 2α=1 (已知sin α-cos α和α的范围，求sin α、cos α) ※3 tan α=sin α/cos α※4 sin(-α)= -sin α cos(-α)=cos α sin(90°-α)=cos α※5 π±α，90°±α角的三角函数(奇变偶不变，符号看象限)※6 三角函数图像和性质（标准三角函数,结合诱导公式进行理解）※7 y=A ²sin(ωx+ϕ)+t 的图像（周期、频率、相位、初相、最值、单调区间）（A ωϕt 对y=sinx 图像的影响）两角和差的三角函数※8 sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β用诱导公式，易得sin （α—β） cos(α±β) tan(α±β)※9 积化和差 sin αcos β=)]sin()[sin(21βαβα-++ 用诱导公式，易得 cos αsin β cos αcos β sin αsin β※10和差化积 sin α+sin β=2sin 2βα+cos 2βα-也可由积化和差演变而来；其他可由诱导公式得出。
※二倍角公式、半角公式反三角函数解三角形 正弦定理：三角形的边长与其对角正弦值的比为定值，等于其外接圆直径的长。
余弦定理：。
三角恒等变换与解三角形三角恒等变换（Trigonometric Identities）是数学中重要的基本概念之一，它们在解三角形等相关问题中发挥着重要的作用。
在本文中，我们将探讨三角恒等变换的基本概念以及如何利用它们解决三角形的问题。
1. 引言三角恒等变换是指在三角函数之间的相等关系。
通过运用这些恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而更容易解决与三角函数相关的问题。
2. 基本的三角恒等变换2.1 正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1对于任意角θ，有sin^2θ + cos^2θ = 1。
这个恒等变换被称为三角函数的基本恒等变换，它表明正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1。
2.2 余弦函数与正弦函数的互补关系对于任意角θ，有sin(π/2 - θ) = cosθ 和cos(π/2 - θ) = sinθ。
这表明余弦函数与正弦函数在π/2之间具有互补关系。
2.3 正切函数与余切函数的互补关系对于任意角θ，有tan(π/2 - θ) = cotθ 和cot(π/2 - θ) = tanθ。
这表明正切函数与余切函数在π/2之间具有互补关系。
3. 利用三角恒等变换解三角形利用三角恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而解决与三角形相关的问题。
以下是一些常用的例子：3.1 例子1：已知一个角的正弦值，求解这个角的余弦值和正切值。
假设已知角θ的正弦值为sinθ = 3/5。
根据正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1，我们可以得到cos^2θ = 1 - (sinθ)^2 = 1 - (3/5)^2 = 16/25。
因此，cosθ = ±4/5，取决于角θ的实际情况。
同样地，根据正切函数的定义，我们可以得到tanθ = sinθ/cosθ = (3/5)/ (±4/5) = 3/4。
3.2 例子2：已知一个角的余弦值，求解这个角的正弦值和余切值。
假设已知角θ的余弦值为cosθ = 4/5。
三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解决三角形相关问题中常用的工具。
通过利用三角函数之间的关系，可以在一些情况下简化问题的求解，或者将复杂的三角形相关问题转化为更简单的形式。
本文将介绍一些常见的三角恒等变换，并结合实例说明其在解三角形问题中的应用。
1. 正弦定理正弦定理是三角形中常用的定理之一，用于求解三角形的边或角。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，正弦定理的数学表达式为：```a/sinA = b/sinB = c/sinC```其中，等式两边都表示边与对应角的正弦值的比例关系。
举例：已知三角形的两边a、b和它们夹角C，求第三边c。
根据正弦定理可得```c/sinC = a/sinA = b/sinB```通过这个等式可以解出c的值，进而求得整个三角形的相关信息。
2. 余弦定理余弦定理也是解决三角形问题时常用的定理之一，可以用于求解三角形的边或角。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，余弦定理的数学表达式为：```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```其中，等式右侧表示边长和夹角的余弦值的比例关系。
举例：已知三角形的两边a、b和它们的夹角C，求第三边c。
根据余弦定理可得```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```通过解这个方程可以求得c的值。
3. 正切定理正切定理是利用正切函数关系来解决三角形问题的定理，可以用于求解三角形的边或角。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b，对应的内角为A、B，正切定理的数学表达式为：```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```其中，等式右侧表示两个边长度和夹角的正切值的比例关系。
举例：已知三角形的一边a和它的内角A，求另一边b。
根据正切定理可得```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```通过这个等式可以解出b的值。
三角恒等变换与解三角形综合问题1.三角恒等变换与解三角形的综合问题是高考的热门考点，涉及的公式多、性质繁，知识点较为综合，主要涉及三角恒等变换、解三角形及三角函数与解三角形的开放、探究问题。
2.三角恒等变换与解三角形综合问题的答题模板第一步 利用正弦定理、余弦定理对条件式进行边角互化第二步 由三角方程或条件式求角第三步 利用条件式或正、余弦定理构建方程求边长第四步 检验易错易混、规范解题步骤得出结论3.常用的几个二级结论（1）降幂扩角公式()()221cos =1+cos2,21sin =1cos2.2ααα−α⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（2）升幂缩角公式221+cos2=2cos ,1cos2=2sin .αα−αα⎧⎨⎩（3）正切恒等式tan tan tan tan tan tan ++=A B C A B C若△为斜三角形，则有tan tan tan tan tan tan ++=A B C A B C （正切恒等式）．（4）射影定理在ABC 中，cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+．【典例】(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A 1＋sin A ＝sin 2B 1＋cos 2B. (1)若C ＝2π3，求B ；[切入点：二倍角公式化简] (2)求a 2＋b 2c2的最小值．[关键点：找到角B 与角C ，A 的关系] 思路引导母题呈现三角恒等变换与解三角形综合问题的一般步骤方法总结1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =−.(1)求A ；(2)若2a =，ABC 的面积为3，求b ，c .2．（2023·安徽宿州·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()(sin sin )sin sin b c B C a A b C −−=−.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C +的取值范围.3．（2023·全国·模拟预测）在①33cos sin c a B b A =+，②()()()sin sin sin sin b a B A c B C +−=−，③221cos 2a b ac B bc −=−这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求A ；(2)若6a =，2BD DC =，求线段AD 长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．4．（2023·贵州毕节·统考一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cossin 2A B b c B +=． (1)求角C ；(2)若3c =，求BC 边上的高的取值范围．模拟训练5．（2023·全国·模拟预测）已知在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的三边，若222sin 6sin 3sin 63sin sin sin A B C A B C ++=(1)求∠C 的大小；(2)求233ab 的值．6．（2023·山东潍坊·统考一模）在①tan tan 3tan 13tan A C A C −=+；②()23cos 3cos c a B b A −=；③()3sin sin sin a c A c C b B −+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________. (1)求角B 的大小；(2)已知1c b =+，且角A 有两解，求b 的范围.7．（2023·全国·模拟预测）在①()cos 2cos 0c B b a C +−=，②cos 3sin +=+a b c B c B ，③()3cos cos cos sin C a B b A c C +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______．(1)求角C 的值；(2)若ABC 的面积()2238912S b c =−，试判断ABC 的形状．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①1cos 2a B cb =+， 条件②sin sin sin sin A C B C b a c−+=+， 条件③3sinsin 2B C b a B +=． 请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足________，(1)求A ；(2)若AD 是BAC ∠的角平分线，且1AD =，求2b c +的最小值．10．（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．(1)求C ；(2)若1c =，求ABC 面积的取值范围．1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =−.(1)求A ；(2)若2a =，ABC 的面积为3，求b ，c .【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得πsin 6A ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值，进而求得A ；（2）利用三角形面积公式求得bc 的值进而根据余弦定理求得22b c +的值，最后联立方程求得b 和c ．【详解】（1）解：因为3sin cos c a C c A =−，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：sin 3sin sin sin cos C A C C A =−，∴3sin cos 1A A −=，π2sin 16A ⎛⎫∴−= ⎪⎝⎭，π1sin 62A ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， ()0,πA ∈，ππ5π,666A ⎛⎫∴−∈− ⎪⎝⎭，ππ66A ∴−=， π3A ∴=. （2）解：113sin 3222ABC S bc A bc ==⋅=，4bc ∴=， 由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +−==，2244b c ∴+−=， 联立2284b c bc ⎧+=⎨=⎩，解得2,2b c ==. 2．（2023·安徽宿州·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()(sin sin )sin sin b c B C a A b C −−=−.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C +的取值范围.【分析】（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可.（2）由（1）可知，π3A =，则πsin sin 3sin 6B C B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭π3sin 6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可.模拟训练【详解】（1）由正弦定理可得()()b c b c a a bc −−=⋅−，即222b c a bc +−=，由余弦定理的变形得2221cos 22b c a A bc +−==， 又()0,πA ∈，所以π3A =.（2）由πA B C ++=得2π3C B =−，且2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以2πππsin sin sin πsin 333C B B B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以π33πsin sin sin sin sin cos 3sin 3226B C B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为20,π3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而ππ5,π666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，从而3sin sin ,32B C ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦. 即sin sin B C +的取值范围为3,32⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 3．（2023·全国·模拟预测）在①33cos sin c a B b A =+，②()()()sin sin sin sin b a B A c B C +−=−，③221cos 2a b ac B bc −=−这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求A ；(2)若6a =，2BD DC =，求线段AD 长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】（1）先选条件，并利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化，得到角A 的三角函数值，再结合角A 的取值范围即可求得角A 的大小；（2）先利用余弦定理建立关于,b c 的方程，再利用向量的线性运算将2BD DC =转化为AD 与AB ，AC 的关系，两边同时平方即可将2AD 用,b c 表示，最后利用ABC 是锐角三角形及换元法,利用基本不等式求AD 长的最大值即可．【详解】（1）方案一：选条件①．由正弦定理得()sin si 33sin 3sin s s i n n co C A A B B B A =+=+，∴3cos sin sin sin A B B A =，∵sin 0B >，∴sin 3cos A A =，即tan 3A =，∵02A π<<，∴3A π=．方案二：选条件②．由正弦定理得()()()b a b a c b c +−=−，即222b c a bc +−=，∴2221cos 22b c a A bc +−==，∵02A π<<，∴3A π=．方案三：选条件③．由余弦定理得22222122a c b a b ac bc ac +−−=⋅−，∴222b c a bc +−=，∴2221cos 22b c a A bc +−==，∵02A π<<，∴3A π=．（2）由2222cos a b c bc A =+−，得2236b c bc =+−，∵2BD DC =，∴22AD AB AC AD −=−，即32AD AB AC =+，两边同时平方得2222294442AD AB AC AB AC c b bc =++⋅=++，2236b c bc =+−∴()22222221424249b c bcAD b c bc b c bc ++=++=⨯+−．令b t c =，则0t >，()()2222424121411t t t AD t t t t +++==+−+−+，令1t u +=，则1u >，221212443333AD u u u u =+=+−++−，在锐角ABC 中2222222222222222222222222a b c b c bc b c b bca cb bc bc c b c bc b c a b c b c bc ⎧⎧+>+−+>⎧>⎪⎪+>⇒+−+>⇒⎨⎨⎨>⎩⎪⎪+>+>+−⎩⎩，∴122bc <<，∴31,32u b c ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，∴21241683233AD ≤+=+−，∴223AD ≤+，当且仅当3u =时取等号，∴线段AD 长的最大值为223+．4．（2023·贵州毕节·统考一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cossin 2A B b c B +=． (1)求角C ；(2)若3c =，求BC 边上的高的取值范围．【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦求解作答. （2）由（1）可得π(0,)3B ∈，再利用三角形面积公式计算作答.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理及A B C π+=−，得πsin cossin sin 2C B C B −=， 即有sin sin2sin cos sin 222C C C B B =，而(),0,A B π∈，0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即sin 0B ≠，sin 02C ≠， 因此1cos 22C =，π23C =，所以2π3C =． （2）令ABC 边BC 上的高为h ，由11sin 22ABC S ah ac B ==，得3sin h B =， 由（1）知，π(0,)3B ∈，即3sin (0,)2B ∈，则33sin (0,)2h B =∈， 所以BC 边上的高的取值范围是3(0,)2. 5．（2023·全国·模拟预测）已知在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的三边，若222sin 6sin 3sin 63sin sin sin A B C A B C ++=(1)求∠C 的大小；(2)求233a b的值． 【分析】（1）根据正弦定理化角为边，将2c 表示出来，再利用余弦定理化简，再结合三角函数的性质及基本不等式即可得出答案；（2）直接利用（1）中的结论即可得解.【详解】（1）因为222sin 6sin 3sin 63sin sin sin A B C A B C ++=，所以2226363sin a b c ab C ++=，则22223sin 23a c ab C b =−−， 又222224323sin 233cos 3sin 2232a b ab C a b c a b C C ab ab b a +−+−===+−， 所以233sin cos 32a b C C b a+=+，因为2323223232a b a b b a b a+≥⋅=，当且仅当2332a b b a =，即23a b =时，取等号， π3sin cos 2sin 26C C C ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当ππ62C +=，即π3C =时，取等号， 所以233sin cos 232a b C C b a +=+=，所以π3C =； （2）由（1）可得23a b =，所以2333a b=. 6．（2023·山东潍坊·统考一模）在①tan tan 3tan 13tan A C A C −=+；②()23cos 3cos c a B b A −=；③()3sin sin sin a c A c C b B −+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. 问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.(1)求角B 的大小；(2)已知1c b =+，且角A 有两解，求b 的范围.【分析】（1）若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角B 的大小；若选②，利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦定理代入化简即可得出答案. （2）将1c b =+代入正弦定理可得1sin 2b C b +=，要使角A 有两解，即1sin 12C <<，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）若选①：整理得()1tan tan 3tan tan A C A C −=−+，因为A B C π++=， 所以()tan tan 3tan tan 1tan tan 3A CB AC A C +=−+=−=−，因为()0,B π∈，所以6B π=； 若选②：因为()23cos 3cos c a B b A −=，由正弦定理得()2sin 3sin cos 3sin cos C A B B A −=，所以()2sin cos 3sin 3sin ,sin 0C B A B C C =+=>，所以3cos 2B =，因为()0,B π∈，所以6B π=； 若选③：由正弦定理整理得2223a c b ac +−=，所以222322a cb ac +−=， 即3cos 2B =，因为()0,B π∈，所以6B π=； （2）将1c b =+代入正弦定理sin sin b c B C =，得1sin sin b b B C +=，所以1sin 2b C b +=， 因为6B π=，角A 的解有两个，所以角C 的解也有两个，所以1sin 12C <<， 即11122b b+<<，又0b >，所以12b b b <+<，解得1b >. 7．（2023·全国·模拟预测）在①()cos 2cos 0c B b a C +−=，②cos 3sin +=+a b c B c B ，③()3cos cos cos sin C a B b A c C +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______．(1)求角C 的值；(2)若ABC 的面积()2238912S b c =−，试判断ABC 的形状． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】(1) 方案一：选条选①，根据正弦定理和两角和的正弦公式得到()sin 2sin cos 0B C A C +−=，再利用诱导公式和三角形内角和定理即可求解；方案二：选条选②，先利用正弦定理、诱导公式和三角形内角和定理得到sin cos sin 3sin sin B C B C B +=，再利用两角和的正弦公式即可求解；方案三：选条件③，利用正弦定理、诱导公式和两角和的正弦公式得出3cos sin C C =，然后利用同角三角函数的基本关系即可求解；(2)结合（1）的结论利用余弦定理和三角形面积可得3b a =，然后代入即可求解.【详解】（1）方案一：选条选①．由()cos 2cos 0c B b a C +−=，得sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C +−=，得()sin 2sin cos 0B C A C +−=，即sin 2sin cos 0A A C −=．∵0A π<<，∴sin 0A >，∴1cos 2C =，又0πC <<，∴π3C =． 方案二：选条件②．由cos 3sin +=+a b c B c B ，得sin sin sin cos 3sin sin +=+A B C B C B ，即()sin sin sin cos 3sin sin B C B C B C B ++=+，于是sin cos cos sin sin sin cos 3sin sin B C B C B C B C B ++=+，因此sin cos sin 3sin sin B C B C B +=，∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，∴3sin cos 1C C −=，即π1sin 62C ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， ∵()0,πC ∈，∴ππ5π,666C ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，∴ππ66C −=，故π3C =． 方案三：选条件③．由正弦定理，得()23cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=，即()23cos sin sin C A B C +=，∴23sin cos sin C C C =，又0πC <<，∴sin 0C ≠，∴3cos sin C C =，即tan 3C =，∴π3C =． （2）在ABC 中，π3C =，由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+−=+−， 又()223189sin 122S b c ab C =−=，∴()2223389124b a b ab ab ⎡⎤−+−=⎣⎦， 整理得22960a ab b −+=，得3b a =，此时227c a b ab a =+−=，∴2227cos 214a cb B ac +−==−，∴B 为钝角，故ABC 是钝角三角形． 【点睛】方法点睛：判断三角形形状的方法：（1）角化边，通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系，进行判断；（2）边化角，通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式等推出角与角之间的关系，进行判断．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项、提取公因式，否则会有遗漏一种情况的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求A 的大小；（2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得c 边，用面积公式计算面积.【详解】（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+=−−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，∴π31cos 22A ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭， 因为0πA <<，得ππ7π2333A <+<，所以π2π233A +=或4323ππA +=， 解得π6A =或π2A =，因为a c <，得π2A <，∴π6A =． （2）由（1）知，6A π=，sin sin 43sin a A c C B +=，由正弦定理，得224312a c b +==，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+−⋅，即223123232c c c −=+−⋅， 整理，得22390c c −−=，由0c >得3c =，所以11133sin 332224ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△． 9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①1cos 2a B cb =+， 条件②sin sin sin sin A C B C b a c−+=+， 条件③3sinsin 2B C b a B +=． 请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足________，(1)求A ；(2)若AD 是BAC ∠的角平分线，且1AD =，求2b c +的最小值．【分析】（1）选①，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；选②，利用正弦定理结合余弦定理可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；选③，利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出sin2A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值； （2）由已知ABC ABD ACD S S S =+结合三角形的面积公式可得出111b c+=，将2b c +与11b c +相乘，展开后利用基本不等式可求得2b c +的最小值.【详解】（1）解：选①：因为1cos 2a B c b =+，由正弦定理可得1sin cos sin sin 2A B C B =+， 即()11sin cos sin sin sin cos cos sin sin 22A B A B B A B A B B =++=++， 所以1cos sin sin 2A B B =−， 而()0,πB ∈，sin 0B ∴≠，故1cos 2A =−，因为()0,πA ∈，所以2π3A =； 选②：因为sin sin sin sin A C B C b a c −+=+，由正弦定理a c b c b a c −+=+， 即222b c a bc +−=−，由余弦定理2221cos 222b c a bc A bc bc +−−===−， 因为()0,πA ∈，所以2π3A =； 选③：因为3sin sin 2B C b a B +=， 正弦定理及三角形内角和定理可得π3sin sinsin sin 2A B A B −=， 即3sin cos 2sin cos sin 222A A A B B =，因为A 、()0,πB ∈，则π0,22A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，sin 0B ≠，cos 02A ≠， 所以3sin 22A =，所以π23A =，即2π3A =. （2）解：由题意可知，ABC ABD ACD S S S =+，由角平分线性质和三角形面积公式得12π1π1πsin 1sin 1sin 232323bc b c =⨯⨯+⨯⨯， 化简得bc b c =+，即111b c+=， 因此()112222332322c b c b b c b c b c b c b c ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭， 当且仅当221c b ==+时取等号，所以2b c +的最小值为322+．10．（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．(1)求C ；(2)若1c =，求ABC 面积的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简作答.（2）由（1）的结论，利用余弦定理结合均值不等式求出三角形面积范围作答.【详解】（1）在ABC 中，由已知及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即有()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而0πC <<，sin 0C >，则1cos 2C =， 所以π3C =． （2）在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+−得：221a b ab =+−，因此12ab ab ≥−，即01ab <≤，当且仅当a b =时取等号，又11333sin (0,]22244ABC S ab C ab ab ==⨯=∈△， 所以ABC 面积的取值范围是3(0,]4．。
第三讲 三角函数恒等变换与解三角形1、三角函数恒等变形的基本策略。
（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。
（2）角的配凑。
α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2βα-等。
（3）升幂与降幂。
主要用2倍角的余弦。
（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。
（5）引入辅助角。
asin θ＋bcos θ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab 确定。
2、解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
3、三角函数公式。
1．两角和与差的三角函数 2．二倍角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； αααcos sin 22sin =；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= 。
22tan tan 21tan ααα=-。
4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
2012二轮专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第二讲 三角变换与解三角形【 考纲透析】1． 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。
2． 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。
3． 能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
4． 能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。
5． 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
6． 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。
【 要点突破】要点考向1：三角变换及求值考情聚焦：1．利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。
2．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。
3．该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。
考向链接： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形 （1）21sin (sincos )22ααα±=±；（2）角的变换()βααβ=--；（3）sin cos )a b θθθϕ+=+。
2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型： （1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值； （2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值； （3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。
例1：已知向量)2,1(),cos ,(sin -==n A A m ,且0=⋅n m(Ⅰ)求tan A 的值； (Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域 解析：（Ⅰ）由题意得m ·n=sinA-2cosA=0,因为cosA ≠0,所以tanA=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x x x =+=-+=--+因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-.当1sin 2x =时，f(x)有最大值32，当sinx=-1时，f(x)有最小值-3所以所求函数f(x)的值域是33,.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 要点考向2：正、余弦定理的应用考情聚焦：1．利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近3年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。
三角函数三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象x 限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k或与角终边在同一条直线上的角的集合：；与角终边关于轴对称的角的集合：；x 与角终边关于轴对称的角的集合：；y 与角终边关于轴对称的角的集合：；x y②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“间的角”=；oo90~0“第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于的角”= ；o90（5）由的终边所在的象限，通过来判断所在的象限，通过2来判断所在的象限3（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆rl ||l 弧的长，为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
r （7）弧长公式：；半径公式：；xyOxyO扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取x 一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则；),(y x P P r sincos；；tan 如：角的终边上一点，则。
注意r>0)3,(a a sin2cos （2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；x yOa x y Oa xy Oa yOa比较，，，的大小关系：。
)2,0(xx sin x tan x （3）特殊角的三角函数值：643223sin costan三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
第3讲 三角变换和解三角形基本知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及逆用；2、二倍角的正弦、余弦、正切公式及逆用；3、正弦定理、余弦定理的灵活运用；4、面积公式：基础题演练1、已知32sin =α，则)2cos(απ-等于 。
2、在△ABC 中，则060,10,15===A b a ，则=B cos 。
3、若54cos )cos(sin )sin(=---ββαββα，且α是第二项限角，则)4tan(απ+等于 。
4、若x x f 2cos 3)(sin -=，则)(cos x f 等于 。
5、在△ABC 中，1,600==b A ，其面积为3，则等于CB A cb a sin sin sin ++++等于 。
考点、热点、难点突破题型一 三角函数综合试题【例1】（2010年湖北）已知函数412sin 21)(),3cos()3cos()(-=-⋅+=x x g x x x f ππ（1）求函数)(x f 的最小正周期（2）求函数)()()(x g x f x h -=的最大值，并求)(x h 使取得最大值的x 的集合。
变式训练1已知函数)4sin()4sin(sin )cot 1()(2ππ-+++=x x m x x x f（1）当m=0时，求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ上的取值范围； （2）当2tan =α时，53)(=αf 求m 的值。
题型二 实际应用【例2】如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B 、C 分别在A 的正东方向20km 处和54km.某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8s 后监测点A 、20s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.（1）设A 和P 的距离为xkm,用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值；（2）求静止目标p 到海防警戒线a 的距离（精确到0.01km ）.a变式训练2某人在塔的正东方沿南偏西600的道路前进40m 后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大 仰角为300，求塔高题型三 三角形面积计算【例3】在△ABC 中，已知3,2π==C c 。
三角变换与解三角形一、考点解读1. 掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及应用；能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．2. 在复习过程中，要熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点及常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法(化弦法、降幂法、角的变换法、“1”的变换等)；掌握化简、求值和解三角形的常规题型；要注意掌握公式之间的内在联系．3. 近年来高考对三角函数与向量联系问题的考查有所增加，三角函数知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点，应给予充分的重视．新教材降低了对三角函数恒等变形的要求，但对两角和的正切考查一直是重点．二、基础训练1. 若tanα＝3，则sin2αcos 2α的值等于________.2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sinα＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是________． 3.在△ABC 中，tanA ＝12，tanC ＝13，则角B 的值为________．4.在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcosA的值等于________． 三、例题选讲【例1】 已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314且0<β<α<π2.(1) 求tan2α的值；(2) 求β.【例2】 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，求b.【例3】 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sinC ＋cosC ＝1－sin C 2. (1) 求sinC 的值；(2) 若a 2＋b 2＝4(a ＋b)－8，求边c 的值．【例4】 已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x ，tanβ＝y ，记y ＝f(x)． (1) 求f(x)的解析式；(2) 若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．四、高考回顾1. (2011·全国)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tanα＝2，则cosα＝________. 2.(2011·江苏)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tanx tan2x的值为________． 3.(2011·重庆)已知sinα＝12＋cosα，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 4.(2010·广东)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3， A ＋C ＝2B ，则sinC ＝________.5.(2011·广东)已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1) 求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2) 设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．6.(2011·全国)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；已知asinA ＋csinC －2asinC ＝bsinB.(1) 求B ； (2) 若A ＝75°，b ＝2，求a ，c.五、考题展示(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2cos x2⎝⎛⎭⎫3cos x 2－sin x 2. (1) 设θ∈⎣⎡⎤－π2，π2，且f(θ)＝3＋1，求θ的值； (2) 在△ABC 中，AB ＝1，f(C)＝3＋1，且△ABC 的面积为32，求sinA ＋sinB 的值．平面向量及其应用一、考点解读1. 掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算及其简单应用．复习时应强化向量的数量积运算，向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重视．2. 在复习中要注意数学思想方法的渗透，如数形结合思想、转化与化归思想等．会用向量解决某些简单的几何问题．二、基础训练1. 在中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a 、b 表示)2.设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.3.若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π3，则|a －b |＝________.4.已知向量P ＝a |a|＋b|b|，其中a 、b 均为非零向量，则|P |的取值范围是________．三、例题选讲【例1】 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫1sinx ，－1sinx ，b ＝(2，cos2x)．(1) 若x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，试判断a 与b 能否平行？ (2) 若x ∈⎝⎛⎦⎤0，π3，求函数f(x)＝a·b 的最小值．【例2】 设向量a ＝(4cosα，sinα)，b ＝(sinβ，4cosβ)，c ＝(cosβ，－4sinβ)． (1) 若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2) 求|b ＋c |的最大值；(3) 若tanαtanβ＝16，求证：a ∥b .【例3】 在△ABC 中，已知2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|＝3BC 2，求角A ，B ，C 的大小．【例4】 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2) .(1) 若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2) 若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积 .四、高考回顾1. (2008·安徽)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________.2.(2011·上海)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.3.(2011·江苏)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b＝0，则实数k 的值为________.4.(2011·浙江)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．5.(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)． (1) 求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2) 设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．6.(2011·陕西)叙述并证明余弦定理．五、考题展示 (2010·江苏泰州一模)(本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.(1) 设向量x ＝(sinB ，sinC)，向量y ＝(cosB ，cosC)，向量z ＝(cosB ，－cosC)，若z ∥(x ＋y )，求tanB ＋tanC 的值；(2) 已知a 2－c 2＝8b ，且sinAcosC ＋3cosAsinC ＝0，求b.答案三角变换与解三角形1. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tanB ＝3ac ，则角B 的值为________．【答案】 π3或2π3 解析： 由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝cosB, ∴ tanB·cosB ＝32，sinB＝32，B 为π3或2π3. 2. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a ＋c a ＋b ＝b －a c ，(1) 求角B 的大小；(2) 若△ABC 最大边的边长为7，且sinC ＝2sinA ，求最小边边长．解： (1)由a ＋c a ＋b ＝b －ac 整理得(a ＋c)c ＝(b －a)(a ＋b)，即ac ＋c 2＝b 2－a 2，∴ cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，∵ 0＜B ＜π，∴ B ＝2π3.(2) ∵ B ＝2π3， ∴ 最长边为b ，∵ sinC ＝2sinA ，∴ c ＝2a ，∴ a 为最小边，由余弦定理得(7)2＝a 2＋4a 2－2a·2a·⎝⎛⎭⎫－12，解得a 2＝1，∴ a ＝1，即最小边边长为1. 基础训练1. 6 解析：sin2αcos 2α＝2tanα.2. －45 解析：cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝453化为32cosα＋12sinα＋sinα＝435，3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 3.3π4 解析：tanB ＝tan(π－A －C)＝－tan(A ＋C)＝－tanA ＋tanC 1－tanAtanC＝－1. 4. 2 解析：由正弦定理得BC sinA ＝AC sinB ，1sinA ＝AC sin2A ，1sinA ＝AC 2sinAcosA ，AC cosA ＝2.例题选讲例1 解：(1)cosα＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ sinα＝437，tanα＝43，tan2α＝－8347. (2) cosβ＝cos(α－(α－β))＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝12，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ β＝π3.例2 解：(解法1)在△ABC 中，∵ sinAcosC ＝3cosAsinC ，则由正弦定理及余弦定理有 a·a 2＋b 2－c 22ab ＝3×b 2＋c 2－a 22bc ·c ，化简并整理得：2(a 2－c 2)＝b 2，又由已知a 2－c 2＝2b ，∴ 4b ＝b 2，解得b ＝4或0(舍)．(解法2)由余弦定理得： a 2－c 2＝b 2－2bccosA.又a 2－c 2＝2b ，b ≠0. 所以b ＝2ccosA ＋2， ①又sinAcosC ＝3cosAsinC ，∴ sinAcosC ＋cosAsinC ＝4cosAsinC ， sin(A ＋C)＝4cosAsinC ，即sinB ＝4cosAsinC ，由正弦定理得sinB ＝bcsinC ，故b ＝4ccosA ， ②由①②，解得b ＝4.变式训练 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c. (1) 若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积S ＝3，求a ，b 的值；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，试判断△ABC 的形状． 解： (1) 由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4， 又因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2) 由题意得sinBcosA ＝sinAcosA ，当cosA ＝0时，A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当cosA ≠0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ， △ABC 为等腰三角形．所以，△ABC 为直角三角形或等腰三角形．例3 解：(1) 由已知得2sin C 2cos C 2＋1－2sin 2C 2＝1－sin C2，即sin C2⎝⎛⎭⎫2cos C 2－2sin C 2＋1＝0， 由sin C 2≠0得2cos C 2－2sin C2＋1＝0，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得：sinC ＝34.(2) 由sin C 2－cos C 2＝12＞0知sin C 2＞cos C 2，则π4＜C 2＜π2，即π2＜C ＜π，则由sinC ＝34得cosC＝－74，又a 2＋b 2＝4(a ＋b)－8，即(a －2)2＋(b －2)2＝0，故a ＝b ＝2，所以由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝8＋27，c ＝7＋1.变式训练 已知△ABC 中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边，关于x 的不等式x 2cosC ＋4xsinC ＋6＜0的解集是空集．(1) 求角C 的最大值；(2) 若c ＝72，△ABC 的面积S ＝323，求当角C 取最大值时a ＋b 的值．解： (1) ∵ 不等式x 2cosC ＋4xsinC ＋6＜0的解集是空集．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ cosC ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧cosC ＞0，16sin 2C －24cosC ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧cosC ＞0，cosC ≤－2或cosC ≥12，故cosC ≥12，而cosC ＝0时解集不是空集．∴ 角C 的最大值为60°.(2) 当C ＝60°时，S △ABC ＝12absinC ＝34ab ＝323， ∴ ab ＝6，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－2ab －2abcosC ，∴ (a ＋b)2＝c 2＋3ab ＝1214， ∴ a ＋b ＝112.例4 解：(1)(解法1)注意角的变换2α＋β＝(α＋β)＋α，β＝(α＋β)－α.(1) 由sin(2α＋β)＝3sinβ得，sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]， 则sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα， ∴ sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∴ tan(α＋β)＝2tanα， 于是tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x ＋y 1－xy ＝2x ，∴ y ＝x 1＋2x 2，即f(x)＝x1＋2x 2. (解法2) 直接展开，利用“1”的变换．sin2αcosβ＋cos2αsinβ＝3sinβ，2sinαcosαcosβ＋(cos 2α－sin 2α)sinβ＝3sinβ，2sinαcosαsin 2α＋cos 2α＋cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2αtanβ＝3tanβ，2tanα1＋tan 2α＋1－tan 2α1＋tan 2αtanβ＝3tanβ，∴ y ＝x 1＋2x 2，即f(x)＝x1＋2x 2. (2) ∵ α角是一个三角形的最小内角，∴ 0<α≤π3，0＜x ≤3，f(x)＝12x ＋1x ，设g(x)＝2x ＋1x ，则g(x)＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取等号)，故函数f(x)的值域为⎝⎛⎦⎤0，24. 高考回顾1. －55 解析：由cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，cosα＜0，所以cosα＝－55. 2. 49 解析：∵ tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tanx 1－tanx＝2, ∴ tanx ＝13， ∴ tanx tan2x ＝tanx 2tanx 1－tan 2x ＝(1－tan 2x )2＝49. 3. －142 解析：sinα＝12＋cosα得sinα－cosα＝12，sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝24，cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4cos ⎝⎛⎭⎫α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－2cos ⎝⎛⎭⎫α－π4，sinα－cosα＝12，π4＜α＜π2， ∴ cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝144，cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－2×144＝－142. 4. 1 解析：由三角形内角和定理得B ＝π3，根据正弦定理得1sinA ＝3sin π3，即sinA ＝12，1＜3，∴ A ＜B ，∴ A ＝π6，C ＝π2，sinC ＝1.5. 解：(1) f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2) f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝2sinα＝1013， ∴ sinα＝513， ∵ α∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴ cosα＝1213. f(3β＋2π)＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝2cosβ＝65， ∴ cosβ＝35， ∵ β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴ sinβ＝45.∴ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝1213·35－513·45＝1665.6. 解：(1) 由正弦定理asinA ＋csinC －2asinC ＝bsinB ，可变形为a 2＋c 2－2ac ＝b 2，即a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2) 由sinA ＝sin(45°＋30°)＝2＋64·sinC ＝sin60°＝32. 由正弦定理a ＝bsinAsinB ＝2×2＋6422＝3＋1，同理c ＝bsinCsinB ＝2×3222＝ 6.第9讲 平五、考题展示（三角）(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2cos x2⎝⎛⎭⎫3cos x 2－sin x 2. (1) 设θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且f(θ)＝3＋1，求θ的值； (2) 在△ABC 中，AB ＝1，f(C)＝3＋1，且△ABC 的面积为32，求sinA ＋sinB 的值． 解：(1) f(x)＝23cos 2x 2－2sin x 2cos x2＝3(1＋cosx)－sinx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋ 3.(3分) 由2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋3＝3＋1, 得cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝12.(5分) 于是x ＋π6＝2kπ±π3(k ∈Z )，因为x ∈⎣⎡⎤－π2，π2，所以x ＝－π2或π6.(7分) (2) 因为C ∈(0，π)，由(1)知C ＝π6.(9分)因为△ABC 的面积为32，所以32＝12absin π6，于是ab ＝23， ① 在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a 、b ，由余弦定理得1＝a 2＋b 2－2abcos π6＝a 2＋b 2－6，所以a 2＋b 2＝7，②由①②可得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2.于是a ＋b ＝2＋ 3. (12分)由正弦定理得，sinA a ＝sinB b ＝sinC 1＝12，所以sinA ＋sinB ＝12(a ＋b)＝1＋32. (14分)面向量及其应用1. 已知△ABC 外接圆的圆心为O ，BC>CA>AB ，则OA →·OB →，OA →·OC →，OB →·OC →的大小关系为________．【答案】 OA →·OB →＞OA →·OC →＞OB →·OC → 解析： 0＜∠AOB ＜∠AOC ＜∠BOC ＜π，y ＝cosx 在(0，π)上单调减，∴ cos ∠AOB ＞cos ∠AOC ＞cos ∠BOC,∴ OA →·OB →＞OA →·OC →＞OB →·OC →.2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且1＋tanA tanB ＝2c b .(1) 求角A ；(2) 若m ＝(0，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫cosB ，2cos 2C2，试求|m ＋n|的最小值． 解： (1) 1＋tanA tanB ＝2cb ＋sinAcosB sinBcosA ＝2sinC sinB， 即sinBcosA ＋sinBcosB sinBcosA ＝2sinCsinB ，∴sin (A ＋B )sinBcosA ＝2sinC sinB ，∴ cosA ＝12.∵ 0＜A ＜π， ∴ A ＝π3.(2) m ＋n ＝(cosB,2cos 2C2－1)＝(cosB ，cosC)，∴ |m ＋n|2＝cos 2B ＋cos 2C ＝cos 2B ＋cos 2⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1－12sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. ∵ A ＝π3，∴ B ＋C ＝2π3，∴ B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 从而－π6＜2B －π6＜7π6.∴ 当sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＝1，即B ＝π3时，|m ＋n|2取得最小值12. 所以，|m ＋n|min ＝22. 基础训练1. －14a ＋14b 解析：MN →＝34(a ＋b )－(a ＋12b )＝－14a ＋14b.2. －0.5 解析：a ＋λb ＝m[－(b －2a )]，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝1，λ＝－m ＝－12.3. 3 解析： |a －b|＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋4－2×1×2×cos π3＝ 3.4. [0,2] 解析：设a 与b 的夹角为θ，则|P|＝1＋1＋2cosθ＝2＋2cosθ(θ∈[0，π])． 例题选讲例1 解：(1) 若a 与b 平行，则有1sinx ·cos2x ＝－1sinx·2，因为x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，sinx ≠0，所以得cos2x ＝－2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故a 与b 不能平行． (2) 由于f(x)＝a·b ＝2sinx ＋－cos2x sinx ＝2－cos2x sinx ＝1＋2sin 2x sinx ＝2sinx ＋1sinx，又因为x ∈⎝⎛⎦⎤0，π3，所以sinx ∈⎝⎛⎦⎤0，32， 于是2sinx ＋1sinx ≥22sinx·1sinx ＝22，当2sinx ＝1sinx ，即sinx ＝22，x ＝π4时取等号，故函数f(x)的最小值等于2 2. 变式训练 已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(1，－2)，且m·n ＝0.(1) 求tanA 的值；(2) 求函数f(x)＝cos2x ＋tanAsinx(x ∈R )的值域．点拨： 平面向量与三角结合是高考中的一个热点，本题主要考查平面向量数量积的坐标运算．解： (1) m·n ＝sinA －2cosA ＝＝2.(2) f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝－2⎝⎛⎫sinx －122＋32， ∵ x ∈R, ∴ sinx ∈[－1,1]，当sinx ＝12时，f(x)取最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3.所以函数f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－3，32. 例2 (1)解：b －2c ＝(sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ)，a 与b －2c 垂直，∴ 4cosα(sinβ－2cosβ)＋sinα(4cosβ＋8sinβ)＝0，sin(α＋β)＝2cos(α＋β)，即tan(α＋β)＝2.(2) 解：b ＋c ＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，|b ＋c|＝(sinβ＋cosβ)2＋16(cosβ－sinβ)2＝17－15sin2β≤17＋15＝42，|b ＋c|的最大值为4 2.(3) 证明：由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a ∥b.变式训练 已知向量a ＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b ＝(1,2)．(1) 若a ∥b ，求tanθ的值；(2) 若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．解： (1) 因为a ∥b ，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝14. (2) 由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4， 所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或3π4. 例3 解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，由2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|得2bccosA ＝3bc ，所以cosA ＝32， 又A ∈(0，π)，因此A ＝π6. 由 3|AB →|·|AC →|＝3BC 2得bc ＝3a 2，于是sinC·sinB ＝3sin 2A ，所以sinC·sin ⎝⎛⎭⎫5π6－C ＝34，sinC·⎝⎛⎭⎫12cosC ＋32sinC ＝34， 因此2sinC·cosC ＋23sin 2C ＝3，sin2C －3cos2C ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2C －π3＝0. 由A ＝π6知0＜C ＜5π6，所以－π3<2C －π3＜4π3， 从而2C －π3＝0或2C －π3＝π，即C ＝π6或2π3， 故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3. 例4 (1) 证明：∵ m ∥n ，∴ asinA ＝bsinB.即a·a 2R ＝b·b 2R，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a ＝b ， ∴ △ABC 为等腰三角形．(2) 解：由题意可知m·p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴ a ＋b ＝ab ，由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0.∴ ab ＝4或－1(舍去)，∴ S ＝12absinC ＝12×4×sin π3＝ 3.高考回顾1. (－3，－5) 解析：取A(0,0)则B(2,4)，C(1,3)．由BC →＝AD →得D(－1，－1)．即BD →＝(－3，－5)．2. 152 解析：AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →·AB →＋AB →·BD →＝32＋3×1×cos 2π3＝152.3. 54 解析：a·b ＝0，(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，k －52＋k ＝0，k ＝54. 4. ⎣⎡⎦⎤π6，5π6 解析：|α||β|sinθ＝12，sinθ＝12|β|≥12，又θ∈(0，π)， ∴ θ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.5. 解：(1)(解法1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为42、210.(解法2)设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则：E 为B 、C 的中点，E(0,1)，又E(0,1)为A 、D 的中点，所以D(1,4)，故所求的两条对角线的长分别为BC ＝42、AD ＝210；(2) 由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t)．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得：(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 或者：AB →·OC →＝tOC →2，AB →＝(3,5)，t ＝AB →·OC →|OC →|2＝－115. 6. 解： 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，则有a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ；b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC.证明： 如图a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC 2→－2|AC →||AB →|cosA ＋AB →2＝b 2－2bccosA ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bccosA.同理可证b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC.五、考题展示（向量）(2010·江苏泰州一模)(本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.(1) 设向量x ＝(sinB ，sinC)，向量y ＝(cosB ，cosC)，向量z ＝(cosB ，－cosC)，若z ∥(x ＋y )，求tanB ＋tanC 的值；(2) 已知a 2－c 2＝8b ，且sinAcosC ＋3cosAsinC ＝0，求b.解：(1) 由题意：x ＋y ＝(sinB ＋cosB ，sinC ＋cosC)，(1分)∵ z ∥(x ＋y )，∴ cosB(sinC ＋cosC)＝－cosC(sinB ＋cosB)，∴ cosBsinC ＋cosCsinB ＝－2cosBcosC ，(3分)∴ cosBsinC ＋cosCsinB cosBcosC＝－2， 即：tanB ＋tanC ＝－2. (6分)(2) ∵ sinAcosC ＋3cosAsinC ＝0，∴ sinAcosC ＋cosAsinC ＝－2cosAsinC ，(8分)∴ sin(A ＋C)＝－2cosAsinC ，即：sinB ＝－2cosAsinC.(10分)∴ b ＝－2c·b 2＋c 2－a 22bc，(12分) ∴ －b 2＝b 2＋c 2－a 2，即：a 2－c 2＝2b 2，又a 2－c 2＝8b ，∴ 2b 2＝8b ，∴ b ＝0(舍去)或4.(14分)。
