遵义专版2017届中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题三图形变换问题的基本类型和解题策略第三节图形旋转

第三编 综合专题闯关篇专题一 规律探索猜想类类型与策略规律探索与猜想是中考中常见题型之一，它主要用于考查学生观察、分析、归纳、猜想等方面的能力，既可以命基础题，也可命中高档题，题型不限，方法灵活，主要有数式规律、图形规律、坐标规律等，解这类问题要善于发现其过程中的特点，抓住其周期是解决此类问题的关键．规律与预测纵观遵义近5年中考，每年都会涉及一题规律探索问题，一般难度不大，预计2017年遵义中考也有可能命一道中基础(选择或填空)规律探索题．,中考重难点突破)数字规律【例1】(2017中考预测)正整数按如图所示的规律排列，请写出第20行第21列的数字．【解析】首先应发现第1列中的数与所在行数的关系，再关注第n 行的第1个数与第(n ＋1)列的第1个数的关系，那么第n 行第n ＋1列这个数应该不难确定．【学生解答】解：由观察可知，第20行第一个数应为202，故第20行第21列的数字应为202＋20＝420.(一) 模拟题区1．(2016遵义二中二模)计算下列各式的值：92＋19；992＋199；9992＋1 999；9 9992＋19 999.观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得99 (92)2 015个9＋199…9,2 015个9) )＝__102__015__．2．(2016遵义六中三模)将自然数按以下规律排列：第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17 … 第二行 2 3 6 15 … 第三行 9 8 7 14 … 第四行 10 11 12 13 … 第五行 … …表中数2在第二行，第一列，与序数对(2，1)对应；数5与(1，3)对应；数14与(3，4)对应；根据这一规律，数2 014对应的有序数对为__(45，12)__．3．(2016遵义十一中三模)已知：2－122－12＝13；4－3＋2－142－32＋22－12＝15；计算：6－5＋4－3＋2－162－52＋42－32＋22－12＝__17；猜想：[（2n ＋2）－（2n ＋1）]＋…＋（6－5）＋（4－3）＋（2－1）[（2n ＋2）2－（2n ＋1）2]＋…＋（62－52）＋（42－32）＋（22－12）＝__12n＋3__．中考真题区4．(2015安徽中考)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜测x、y、z满足的关系式是__x·y＝z__．5．(2015广东中考)观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是__1021__．6．(2016安徽中考)(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：1＋3＝22；1＋3＋5＝32；1＋3＋5＋7＝__42__；1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝__n2__．(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(__2n＋1__)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝__2n2＋2n＋1__．7．(2015武威中考)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，……依此类推，那么第9个三角形数是__45__，2 016是第__63__个三角形数．8．(2015临沂中考)观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，….按照上述规律，第2 015个单项式是( C)A．2 015x2 015B．4 029x2 014C．4 029x2 015D．4 031x2 015图形规律【例2】(2015娄底中考)如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，……，则第n(n为正整数)个图案由________个▲组成．【解析】观察发现：第1个图案有3×2－3＋1＝4个三角形； 第2个图案有3×3－3＋1＝7个三角形； 第3个图案有3×4－3＋1＝10个三角形； …第n 个图案有3(n ＋1)－3＋1＝(3n ＋1)个三角形． 【学生解答】(3n ＋1)【方法指导】图形规律探索有以下几种类型：1．求个数，方法为：(1)标序数：按图号标序；(2)找关系：找后一个图与前一个图中所求量之间的关系(一般是通过作差或作商的形式观察是否含有定量)或找出图中的所求量与序数之间的关系；(3)算结果：计算每个给出图中所求量的个数；(4)找规律：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；(5)归纳：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n 个图中所求量的个数；(6)验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．2．求面积，方法为：(1)根据题意可得出第一次变换前图形的面积为S ；(2)通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，第四次变换后图形的面积，……归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍数关系n ；(3)第M 次变换后，求得图形的面积为n MS.(二)模拟题区1．(2016遵义二中三模)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第(1)个图案有4个三角形，第(2)个图案有7个三角形，第(3)个图案有10个三角形，……依此规律，第n 个图案有__(3n ＋1)__个三角形．(用含n 的代数式表示)2．(2016遵义航中三模)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……按此规律，第5个图中共有点的个数是( B )A ．31B ．46C ．51D ．663．(2016毕节三模)如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，……按此做法继续下去，则第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是( C )A ．(12)n ·75°B ．(12)n －1·65°C ．(12)n －1·75°D ．(12)n ·85°4．(2016汇川升学一模)观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数2 016应标在( D )A ．第503个菱形的上方B ．第503个菱形的右边C ．第504个菱形的上方D ．第504个菱形的右边中考真题区5．(2016益阳中考)小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，……，那么第9个图案的棋子数是__13__枚．6．(2016衡阳中考)如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n 条直线最多可将平面分成56个部分，则n 的值为__10__．7．(2016河北中考)如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A 发出后射向OB 边，若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A ，此时∠A＝90°－7°＝83°.当∠A<83°时，光线射到OB 边上的点A 1后，经OB 反射到线段AO 上的点A 2，易知∠1＝∠2.若A 1A 2⊥AO ，光线又会沿A 2→A 1→A 原路返回到点A ，此时∠A＝__76__°.……若光线从点A 发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A ，则锐角∠A 的最小值＝__6__°.点的坐标规律【例3】(2015威海中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OA 1C 1，Rt △OA 2C 2，Rt △OA 3C 3，Rt △OA 4C 4……的斜边都在坐标轴上，∠A 1OC 1＝∠A 2OC 2＝∠A 3OC 3＝∠A 4OC 4＝30°，若点A 1的坐标为(3，0)，OA 1＝OC 2，OA 2＝OC 3，OA 3＝OC 4…，则依此规律，点A 2 015的横坐标为( )A ．0B ．－3×(233)2 014C ．(23)2 015D ．3×(233)2 014【学生解答】B【方法指导】求点坐标，根据图形点坐标的变换特点可知这类题有两种考查形式：一类是点坐标变换是在同一象限递推变化；另一类是点坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化；解决这类题的方法如下：(1)若第一个点的坐标未给出，可先由所给信息求出坐标(a ，b)；(2)根据题目中给出的线段的数量关系及角度，通过勾股定理或直角三角形的边角关系得到第二个，第三个，第四个……的坐标，观察它们之间存在的比例关系，比值记为n ；(3)当点坐标在同一象限变换时，通过第M 次变换后，图形的点坐标为(n M a ，n Mb)；(4)当点坐标在整个平面直角坐标系里变换，先观察点的变换规律为顺时针循环还是逆时针循环，通过第M 次变换后，用M÷4＝w ＋q(0≤q＜4)，当q ＝0时，点坐标所在象限与起点相同，依此类推，当确定出点坐标落在x 轴正半轴时，点坐标为(n Mc ，0)，点坐标落在y 轴正半轴时，点坐标为(0，n M c)，点坐标落在x 轴负半轴时，点坐标为(－n Mc ，0)，点坐标落在y 轴负半轴时，点坐标为(0，－n Mc)．(三)模拟题区1．(2016遵义十一中一模)如图，以O(0，0)，A(2，0)为顶点作正△OAP 1，以点P 1和线段P 1A 的中点B 为顶点作正△P 1BP 2，再以点P 2和线段P 2B 的中点C 为顶点作正△P 2CP 3，……如此继续下去．则第六个正三角形中，不在第五个正三角形边上的顶点P 6的坐标是3232．2．(2016遵义红花岗三模)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，…，那么点A4n＋1(n是自然数)的坐标为__(2n，1)__．中考真题区3．(2016岳阳中考)如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，……，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列．如：P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)，P5(－1，－1)，P6(－1，2)，……，根据这个规律，点P2 016的坐标为__(504，－504)__．4．(2016吉林中考)在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D(不与B，C重合)是BC上任意一点．将此三角形纸片按下列方式折叠．若EF的长度为a，则△DEF的周长为__3a__．(用含a的式子表示)。

第二节 方程、函数类综合应用,中考重难点突破)函数类应用问题，是根据实际背景材料来确定函数关系式，利用函数的增减性解决问题的方法，这类问题通常与方程或不等式进行联合考查．一般先建立方程(不等式)等模型，然后建立函数关系式，最后确定自变量的取值范围，通过取值范围来确定最佳选择等知识点．其中建立方程(不等式)在这类问题中属于基础考点，确定自变量的范围是解决问题的关键．【例1】(2016汇川升学二模)某厂制作甲、乙两种环保包装盒．已知同样用6 m 的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料.(1)求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？(2)如果制作甲、乙两种包装盒3 000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍．那么请写出所需材料总长度l( m )与甲盒数量n(个)之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料．【学生解答】解：(1)设制作每个甲盒用x m 材料，制作每个乙盒用x 1＋20% m 材料，由题意得6x ＝6×120%x－2，解得x ＝35，经检验，x ＝35是方程的解．∴x 1＋20%＝12.答：制作每个甲盒用35 m 材料，制作每个乙盒用12m 材料；(2)∵甲盒数量是n 个，∴乙盒数量是(3 000－n)个．∴l＝35n ＋12(3 000－n)＝110n ＋1 500.∵甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，∴n ≥2(3 000－n)，∴n ≥2 000.∴当n ＝2 000时，所需材料最少，最少为：110×2 000＋1 500＝1 700(m )．【例2】(2014牡丹江中考)某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%.经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系．(1)试确定y 与x 之间的函数关系式；(2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为Q 元，试写出利润Q(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？(3)若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x 的取值范围．【解析】本题考查了一次函数的应用；二次函数的应用．【学生解答】解：(1)设y ＝kx ＋b ，根据题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧55k ＋b ＝65，60k ＋b ＝60，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝120.所求一次函数的解析式为y ＝－x ＋120；(2)利润Q 与销售单价x 之间的函数关系式为：Q ＝(x －50)(－x ＋120)＝－x 2＋170x －6 000；Q＝－x 2＋170x －6 000＝－(x －85)2＋1 225；因为x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥50，x －5050≤40%，解得50≤x≤70，因为a ＝－1<0，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大．所以当定价x ＝70时，该商店可获得最大利润，最大利润为Q ＝1 000元；(3)根据题意得Q ＝－(x －85)2＋1 225≥600，即－(x －85)2≤－625，解得60≤x≤110，又因为获利不得高于40%，即x －5050≤40%，解得x≤70，所以销售单价x 的取值范围为60≤x≤70. 【规律总结】解这类实际应用的题目往往先要建立方程或不等式的模型去解出未知量；然后结合题意建立函数表达式；结合实际情况确定自变量的取值范围．模拟题区1．(2016遵义一中二模)航天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．(1)设当月该型号汽车的销售量为x 辆(x≤30，且x 为正整数)，实际进价为y 万元/辆，求y 与x 的函数关系式；(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)解：(1)由题意得：当0＜x≤5时，y ＝30；当5＜x≤30时，y ＝30－0.1(x －5)＝－0.1x ＋30.5.∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧30（0＜x≤5，x 为整数），－0.1x ＋30.5（5＜x≤30，x 为整数）；(2)当0＜x≤5时，(32－30)×5＝10＜25，不符合题意；当5＜x≤30时，[32－(－0.1x ＋30.5)]x ＝25，解得：x 1＝－25(舍去)，x 2＝10.答：该月需售出10辆汽车．2.(2016遵义十一中三模)“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，该商城4月份卖出多少辆自行车？(2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A 型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B 型车进价为1 000元/辆，售价为1 300元/辆．根据销售经验，A 型车不少于B 型车的2倍，但不超过B 型车的2. 8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？解：(1)设前4个月自行车销量的月平均增长率为m ，根据题意列方程：64(1＋m)2＝100，解得：m 1＝－225%(不合题意，舍去)，m 2＝25%，100×(1＋25%)＝125(辆)．答：该商城4月份卖出125辆自行车；(2)设购进B型车x 辆，销售利润为W 元，则购进A 型车30 000－1 000x 500辆，根据题意得不等式组：2x≤30 000－1 000x 500≤2.8x ，解得：12.5≤x≤15，∵自行车辆数为整数，∴13≤x ≤15，即x ＝13，14或15.销售利润W ＝(700－500)×30 000－1 000x 500＋(1 300－1 000)x.整理得：W ＝－100x ＋12 000，∵W 随着x 的增大而减小，∴当x ＝13时，销售利润W 有最大值，此时30 000－1 000x 500＝34.答：该商城应购进A 型车34辆，B 型车13辆．中考真题区3．(2016宿迁中考)某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30<m≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 120x （0<x≤30），－x 2＋150x （30<x≤m），（150－m ）x （m<x≤100）；(2)由(1)可知当0<x≤30或m<x≤100，函数值y 都是随着x 的增加而增加，当30<x≤m 时，y ＝－x 2＋150x ＝－(x －75)2＋5 625，∵a ＝－1<0，∴x ≤75时，y 随着x 的增加而增加，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，∴30<m ≤75.4．(2016湖州中考)随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加.(1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年(从2013年底到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率；(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t.①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t 的值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？解：(1)设该市这两年(从2013年底到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x ，由题意可列出方程：2(1＋x)2＝2.88，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%；(2)①设规划建造单人间的房间数为t(10≤t≤30)，则建造双人间的房间数为2t ，三人间的房间数为100－3t ，由题意得：t ＋4t ＋3(100－3t)＝200，解得t ＝25.答：t 的值是25；②设该养老中心建成后能提供养老床位y 个，由题意得：y ＝t ＋4t ＋3(100－3t)＝－4t ＋300(10≤t≤30)，∵k ＝－4＜0，∴y 随t 的增大而减小．当t ＝10时，y 的最大值为300－4×10＝260(个)，当t ＝30时，y 的最小值为300－4×30＝180(个)．答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个．5．(2015成都中考)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB ，BC 两边)，设AB ＝x m .(1)若花园的面积为192 m 2，求x 的值；(2)若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15 m 和6 m ，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S 的最大值．解：(1)∵AB＝x m ，则BC ＝(28－x)m ，∴x(28－x)＝192，解得：x 1＝12，x 2＝16，答：x 的值为12 m 或16 m ；(2)由题意可得出：S ＝x(28－x)＝－x 2＋28x ＝－(x －14)2＋196，∵在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15 m 和6 m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧28－x≥15，x ≥6，解得6≤x≤13，∴当x ＝13时，S 最大＝195，故花园面积S 的最大值为195 m 2.。

第二节 方程、函数类综合应用,中考重难点突破)函数类应用问题，是根据实际背景材料来确定函数关系式，利用函数的增减性解决问题的方法，这类问题通常与方程或不等式进行联合考查．一般先建立方程(不等式)等模型，然后建立函数关系式，最后确定自变量的取值范围，通过取值范围来确定最佳选择等知识点．其中建立方程(不等式)在这类问题中属于基础考点，确定自变量的范围是解决问题的关键．【例1】(2016汇川升学二模)某厂制作甲、乙两种环保包装盒．已知同样用6 m 的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料.(1)求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？(2)如果制作甲、乙两种包装盒3 000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍．那么请写出所需材料总长度l( m )与甲盒数量n(个)之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料．【学生解答】解：(1)设制作每个甲盒用x m 材料，制作每个乙盒用x 1＋20%m 材料，由题意得6x＝6×120%x －2，解得x ＝35，经检验，x ＝35是方程的解．∴x 1＋20%＝12.答：制作每个甲盒用35m 材料，制作每个乙盒用12m 材料；(2)∵甲盒数量是n 个，∴乙盒数量是(3 000－n)个．∴l＝35n ＋12(3 000－n)＝110n ＋1 500.∵甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，∴n ≥2(3 000－n)，∴n ≥2 000.∴当n ＝2 000时，所需材料最少，最少为：110×2 000＋1 500＝1 700(m )． 【例2】(2014牡丹江中考)某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%.经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系．(1)试确定y 与x 之间的函数关系式；(2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为Q 元，试写出利润Q(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？(3)若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x 的取值范围．【解析】本题考查了一次函数的应用；二次函数的应用．【学生解答】解：(1)设y ＝kx ＋b ，根据题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧55k ＋b ＝65，60k ＋b ＝60，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝120.所求一次函数的解析式为y ＝－x ＋120；(2)利润Q 与销售单价x 之间的函数关系式为：Q ＝(x －50)(－x ＋120)＝－x 2＋170x －6 000；Q ＝－x 2＋170x －6 000＝－(x －85)2＋1 225；因为x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥50，x －5050≤40%，解得50≤x≤70，因为a ＝－1<0，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大．所以当定价x ＝70时，该商店可获得最大利润，最大利润为Q ＝1 000元；(3)根据题意得Q ＝－(x －85)2＋1 225≥600，即－(x －85)2≤－625，解得60≤x≤110，又因为获利不得高于40%，即x －5050≤40%，解得x≤70，所以销售单价x 的取值范围为60≤x≤70.【规律总结】解这类实际应用的题目往往先要建立方程或不等式的模型去解出未知量；然后结合题意建立函数表达式；结合实际情况确定自变量的取值范围．模拟题区1．(2016遵义一中二模)航天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．(1)设当月该型号汽车的销售量为x 辆(x≤30，且x 为正整数)，实际进价为y 万元/辆，求y 与x 的函数关系式；(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)解：(1)由题意得：当0＜x≤5时，y ＝30；当5＜x≤30时，y ＝30－0.1(x －5)＝－0.1x ＋30.5.∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧30（0＜x≤5，x 为整数），－0.1x ＋30.5（5＜x≤30，x 为整数）；(2)当0＜x≤5时，(32－30)×5＝10＜25，不符合题意；当5＜x≤30时，[32－(－0.1x ＋30.5)]x ＝25，解得：x 1＝－25(舍去)，x 2＝10.答：该月需售出10辆汽车．2.(2016遵义十一中三模)“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，该商城4月份卖出多少辆自行车？(2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A 型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B 型车进价为1 000元/辆，售价为1 300元/辆．根据销售经验，A 型车不少于B 型车的2倍，但不超过B 型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？解：(1)设前4个月自行车销量的月平均增长率为m ，根据题意列方程：64(1＋m)2＝100，解得：m 1＝－225%(不合题意，舍去)，m 2＝25%，100×(1＋25%)＝125(辆)．答：该商城4月份卖出125辆自行车；(2)设购进B 型车x 辆，销售利润为W 元，则购进A 型车30 000－1 000x 500辆，根据题意得不等式组：2x≤30 000－1 000x 500≤2.8x ，解得：12.5≤x≤15，∵自行车辆数为整数，∴13≤x ≤15，即x ＝13，14或15.销售利润W ＝(700－500)×30 000－1 000x 500＋(1 300－1 000)x.整理得：W ＝－100x ＋12 000，∵W 随着x 的增大而减小，∴当x ＝13时，销售利润W 有最大值，此时30 000－1 000x 500＝34.答：该商城应购进A 型车34辆，B 型车13辆．中考真题区3．(2016宿迁中考)某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30<m≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120x （0<x≤30），－x2＋150x （30<x≤m），（150－m ）x （m<x≤100）；(2)由(1)可知当0<x≤30或m<x≤100，函数值y 都是随着x 的增加而增加，当30<x≤m 时，y ＝－x 2＋150x ＝－(x －75)2＋5 625，∵a ＝－1<0，∴x ≤75时，y 随着x 的增加而增加，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，∴30<m ≤75.。

专题三 图形变换问题的基本类型和解题策略 类型与策略图形变换问题主要包括图形的轴对称、图形的平移及图形的旋转，在涉及图形变化的考题中，解决问题的方法较多，关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据图形变换的特点发现变化的规律很重要，近几年来各地中考试题中，有较多问题需要利用图形变换进行思考和求解．这类问题考查学生的思维灵活性及深刻性，具有很好的选拔与区分功能，成为近年来各地中考试题的热点问题． 规律与预测纵观遵义近5年中考，图形变换类问题几乎每年都会命1～2题，有选择题也有解答题，有基础题也有中高档题，分值4～10分不等，预计2017年遵义中考仍然会在这方面加大考查力度，务必强化训练．第一节 轴对称变换问题,中考重难点突破)【例1】(2014河北中考)图1和图2中，优弧AB ︵所在⊙O 的半径为2，AB ＝2 3.点P 为优弧AB ︵上一点(点P 不与A ，B 重合)，将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′.图1 图2(1)点O 到弦AB 的距离是________，当BP 经过点O 时，∠ABA ′＝________°；(2)当BA′与⊙O 相切时，如图2，求折痕的长．【解析】本题考查了含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；切线的性质；翻折变换(折叠问题)；锐角三角函数的定义．【学生解答】解：(1)①1；60；(2)过点O 作OG⊥BP，垂足为G ，连接OB.∵BA′与⊙O 相切，∴OB ⊥A ′B.∴∠OBA ′＝90°.∵∠OBA ＝30°，∴∠ABA ′＝120°.∴∠A ′BP ＝∠ABP ＝60°.∴∠OBP＝30°.∴OG ＝12OB ＝1.∴BG＝ 3.∵OG ⊥BP ，∴BG ＝PG ＝ 3.∴BP ＝2 3.∴折痕的长为2 3.【例2】(2015荆州中考)如图①，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O ，A 不重合)，现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE，并使直线PD ，PF 重合．(1)设P(x ，0)，E(0，y)，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出y 的最大值；(2)如图②，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P ，B ，E 的抛物线的函数关系式．【学生解答】解：(1)由折叠可得：△PAB≌△PDB，△POE ≌△PFE ，∴∠APB ＝∠DPB，∠OPE ＝∠FPE.∵∠APB ＋∠DPB＋∠OPE＋∠FPE＝180°，∴∠APB ＋∠OPE＝90°.∵∠OPE ＋∠OEP＝90°，∴∠APB ＝∠OEP.∵∠EOP＝∠PAB＝90°，∴△POE ∽△BAP ，OP AB ＝OE AP .∵A(4，0)，C(0，3)，E(0，y)，P(x ，0)，∴x 3＝y 4－x ，即y ＝x 3(4－x)(0＜x ＜4)．∵y ＝－13(x 2－4x)＝－13(x －2)2＋43，而a ＝－13＜0，∴x ＝2时，y max ＝43；(2)四边形DPAB ，EOPF 都为正方形，∴AP ＝AB ＝3，OE ＝OP ＝4－3＝1.∴E(0，1)，P(1，0)．∵B(4，3)，∴过点P ，B ，E 的抛物线的函数关系式为：y ＝12x 2－32x ＋1. 【规律总结】轴对称变换通常有两种情况：一是题目的背景图形是轴对称图形，二是题目的背景不是轴对称图形时，要善于发现和运用其中的轴对称成的性质，如把轴对称和等腰三角形结合起来，找出轴对称特征并探索出规律，达到解决问题的目的．模拟题区1．(2016遵义一中三模)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 为半径OB 上一点，过点C 作CD⊥AB 交半圆O 于点D ，将△ACD 沿AD 翻折得到△AED，AE 交半圆O 于点F ，连接DF ，OD.(1)求证：DE 是半圆O 的切线；(2)当OC ＝BC 时，判断四边形ODFA 的形状，并证明你的结论．证明：(1)∵CD⊥AB，∠ACD ＝90°.∴∠CAD ＋∠ADC＝90°.∵在半圆O 中，OA ＝OD ，∴∠CAD ＝∠ADO.由折叠可得：∠ADE＝∠A DC ，∴∠ADE ＋∠ADO＝90°，即ED⊥DO.∴DE 是半圆O 的切线；(2)四边形ODFA 是菱形，连接OF ，∵OC ＝BC ＝0.5OB ＝0.5OD ，∴在Rt △OCD 中，∠ODC ＝30°，∴∠DOC ＝60°，∵∠DOC ＝∠OAD＋∠ODA，∴∠OAD ＝∠ODA＝∠FAD＝30°，∴OD ∥AF ，∠FAO ＝60°，又∵OF＝OA ，∴△FAO 是等边三角形，∴OA ＝AF ，∴OD ＝AF ，∴四边形ODFA 是平行四边形，∵OA ＝OD ，∴四边形ODFA 是菱形．2．(2016遵义航中三模)现有一张矩形纸片ABCD (如图)，其中AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，点E 是BC 的中点．将纸片沿直线A E 折叠，点B 落在四边形AECD 内，记为点B′，过E 作EF 垂直B ′C ，交B′C 于点F.(1)求AE ，EF 的位置关系；(2)求线段B′C 的长，并求△B′EC 的面积．解：(1)∵折叠及点E 是BC 的中点，∴EB ＝EB′＝EC ，∴△B ′EC 是等腰三角形，又∵EF⊥B′C，∴EF 为∠B′EC 的平分线，即∠B′EF＝∠FEC，又∵∠AEB＝∠AEB′，∴∠AEF ＝90°，即AE⊥EF；(2)由上题可知：∠AB′E ＝∠AEF ＝90°，∠B′AE ＝∠B′EF ，又∵△B′EC 是等腰三角形，EF ⊥B ′C ，∴B ′F ＝FC.∴△B′AE∽△FEB′.又∵BE＝3，AB ＝4，∠B ＝90°，∴AE ＝5.∴AE∶EB′＝EB′∶B′F.∴B ′F ＝95，即B′C＝185.同样可求EF ＝125.∴△B ′EC 的面积为＝12·B ′C ·EF ＝10825. 中考真题区3．(2016泰安中考)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BCD，AC ⊥AB ，E 是BC 的中点，AD ⊥AE.(1)求证：AC 2＝CD·BC；(2)过E 作EG⊥AB，并延长EG 至点K ，使EK ＝EB.①若点H 是点D 关于AC 的对称点，点F 为AC 的中点，求证：FH⊥GH；②若∠B＝30°，求证：四边形AKEC 是菱形．证明：(1)∵AC 平分∠BCD，∴∠DCA ＝∠ACB.又AD⊥AE，AC ⊥AB ，∴∠DAC ＋∠CAE＝90°，∠CAE ＋∠EAB＝90°，∴∠DAC ＝∠E AB.又E 是Rt △CAB 斜边的中点，∴AE ＝BE ，∴∠EAB ＝∠ABC.∴∠DAC ＝∠ABC.∴△ACD∽△BCA，∴AC BC ＝CD AC.∴AC 2＝CD·BC；(2)①连接AH.∵∠ADC＝∠BAC＝90°，点H ，D 关于AC 对称，则AH⊥BC，∵EG ⊥AB ，AE ＝BE ，∴G 为AB 的中点，∴GH ＝GA ，∴∠GAH ＝∠GHA，∵F 是AC 的中点，∴AF ＝FH.∴∠HAF ＝∠FHA，∴∠FHG ＝∠AHF＋∠AHG＝∠FAH＋∠HAG＝∠CAB＝90°，∴FH ⊥HG.②∵EK ⊥AB ，∴EK ∥AC ，又∠B＝30°，∴AC ＝12BC ＝EB ＝EC ，又EK ＝EB ，∴EK ＝AC ，∴四边形AKEC 是菱形． 4．(2015宜昌中考)如图，在矩形ABCD 中，点G ，H 分别在边AB ，DC 上，且HA ＝HG ，DH ＝DA.点E 为AB 边上的一个动点，连接HE ，把△AHE 沿直线HE 翻折得到△FH E.(1)∠HGA＝________°；(2)若EF∥HG，求∠AHE 的度数．解：(1)45°；(2)分两种情况讨论：第一种情况，如图：∵∠HAG＝∠HGA＝45°；∴∠AHG＝90°，由折叠可知：∠HAE＝∠F＝45°，∠AHE ＝∠FHE，∵EF ∥HG ，∴∠FHG ＝∠F ＝45°，∴∠AHF ＝∠AHG－∠FHG＝45°，即∠AHE＋∠FHE＝45°，∴∠AHE ＝22.5°，第二种情况，如图：∵EF ∥HG ，∴∠HGA ＝∠FEA＝45°，即∠AEH＋∠FEH＝45°，由折叠可知：∠AEH＝∠FEH，∴∠AEH ＝∠FEH ＝22.5°，∵EF ∥HG ，∴∠GHE ＝∠FEH＝22.5°，∴∠AHE ＝90°＋22.5°＝112.5°，综上所述：∠AHE＝22.5°或112.5°.5．(2014绥化中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，AB ＝6，E 是边BC 上的点，以AE 为折痕折叠纸片，使点B 落在点F 处，连接FC ，当△EFC 为直角三角形时，求BE 的长．解：当①∠EFC＝90°时，如图1，∵∠AFE ＝∠B＝90°，∠EFC ＝90°，∴点A ，F ，C 共线，∵矩形ABCD 的边AD ＝8，∴BC ＝AD ＝8，在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝62＋82＝10，设BE ＝x ，则CE ＝BC －BE ＝8－x ，由翻折的性质得，AF ＝AB ＝6，EF ＝BE ＝x ，∴CF ＝AC －AF ＝10－6＝4，在Rt △CEF 中，EF 2＋CF 2＝CE 2，即x 2＋42＝(8－x)2，解得x ＝3，即BE ＝3；②当∠CEF＝90°时，如图2，由翻折的性质得，∠AEB ＝∠AEF＝12×90°＝45°，∴四边形ABEF 是正方形，∴BE ＝AB ＝6，综上所述，BE 的长为3或6.。