2018年高考数学江苏专版复习训练:14个填空题专项强化练(八) 数列 含解析
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2018年高考数学 数列 综合题专项练习一、选择题:1.在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,若34825a a a ++=,则9S =( ) A.60 B.75 C.90 D.1052.已知数列{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,7825a a -=,则11S 为( ) A.110 B.55 C.50 D.不能确定3.若数列{a n },{b n }的通项公式分别为a a n n ∙-=+2016)1(,nb n n 2017)1(2+-+=,且n n b a <,对任意*∈N n 恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.)21,1[- B.[-1,1) C.[-2,1) D.)23,2[- 二、填空题:4.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 21+a 2=1,a 22+a 3=1,则a 1=________.5.已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是 . 三、解答题:6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1+2,S 3=9+32. (1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和; (2)设b n =nS n,求证:数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列.7.已知数列{a n }的前n 项和1n n S a λ=+,其中λ错误!未找到引用源。
0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式. (2)若53132S =,求λ.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,且3S n =a n+1﹣1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设等差数列{b n }的前n 项和为T n ,a 2=b 2,T 4=1+S 3,求的值.9.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,211(21)20n n n n a a a a ++---=.(1)求23,a a ;(2)求{}n a 的通项公式.10.已知数列{a n }中,a 1=4,a n =a n ﹣1+2n ﹣1+3(n ≥2,n ∈N *).(1)证明数列{a n ﹣2n}是等差数列,并求{a n }的通项公式;(2)设b n =,求b n 的前n 和S n .11.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+ a 2 =6, a 1a 2= a 3 (1)求数列{a n }通项公式;(2){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和为S n 。
2018年江苏省高考数学试卷(含解析版)2018年江苏省高考数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。
请将答案填写在答题卡相应位置上。
1.(5分)已知集合A={1.2.8},B={-1.1.6.8},则A∩B={1.8}。
2.(5分)若复数z满足i•z=1+2i(其中i是虚数单位),则z的实部为-2.3.(5分)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为74.4.4.(5分)一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为20.5.(5分)函数f(x)=√(3-x)的定义域为(-∞。
3]。
6.(5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为3/10.7.(5分)已知函数y=sin(2x+φ)(-π/4≤x≤π/4),则φ的值为π/6.8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为1,则其离心率的值为c/a。
9.(5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=|x|,则f(f(15))的值为1.10.(5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为8.11.(5分)若函数f(x)=2x³-ax²+1(a∈R)在(-∞,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为4.12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D。
若D的横坐标为4/3,则C的坐标为(7/3,14/3)。
13.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为3.14.(5分)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}。
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高三填空题专题训练(不等式,函数,解几)1.已知正数x ,y 满足121x y+=,则22log log x y +的最小值为 . 1.3.由121x y +=得,02y x y =>-,则()222222222log log log log log 22y y x y xy y y -++===-- ()224log 24log 832y y ⎡⎤=-++=⎢⎥-⎣⎦≥. 2.已知正数,a b满足13a b+=,则ab 的最小值为 .2。
因为,a b 为正数,13a b =+≥有ab ≥1313a b a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时,即a b ==时,取“=”。
3.设a b c ,,是三个正实数,且()a a b c bc ++=,则a b c+的最大值为 .3..由()a a b c bc ++=,得1b c b c aaa a++=⋅,设,b c x y aa==,则1x y xy ++=,1a b c x y =++,因为21()2x y x y xy +++=≤,所以2x y ++≥a b c+.4. 已知0,0x y >>,且2x y +≤,则4122x y x y+++的最小值为 . 4。
14个填空题专项强化练(九) 不 等 式A 组——题型分类练 题型一 一元二次不等式1.已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3,则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________.解析:法一:依题意可得f (x )=a ⎝⎛⎭⎫x -12(x -3)(a <0),则f (e x )=a ⎝⎛⎭⎫e x -12(e x -3)(a <0),由f (e x )=a ⎝⎛⎭⎫e x -12(e x -3)>0可得12<e x <3,解得-ln 2<x <ln 3. 法二:由题知,f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <3, 令12<e x <3,得-ln 2<x <ln 3. 答案:{x |-ln 2<x <ln 3}2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x >0,-x 2-4x ,x ≤0,则不等式f (x )>3的解集为________________. 解析:当x >0时,2x -1>3,解得x >2,当x ≤0时,-x 2-4x >3,即x 2+4x +3<0,解得-3<x <-1,所以所求不等式的解集为{x |x >2或-3<x <-1}.答案:{x |x >2或-3<x <-1}3.已知函数y =x 2-2x +a 的定义域为R ,值域为[0,+∞),则实数a 的取值集合为________.解析:由定义域为R ,得x 2-2x +a ≥0恒成立.又值域为[0,+∞),则函数y =x 2-2x +a 的图象只能与x 轴有1个交点,所以Δ=4-4a =0,a =1.答案:{1}4.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x ≥0,-x 2+1,x <0,则关于x 的不等式f (x 2)>f (2-x )的解集是________.解析:由x 2≥0,得f (x 2)=-x 2+1, 所以原不等式可转化为f (2-x )<-x 2+1, 则当2-x ≥0,即x ≤2时,由-(2-x )+1<-x 2+1,得-2<x <1, 所以-2<x <1; 当2-x <0,即x >2时,由-(2-x )2+1<-x 2+1,得x ∈∅.综上得,关于x 的不等式f (x 2)>f (2-x )的解集是{x |-2<x <1}. 答案:{x |-2<x <1} 题型二 基本不等式 1.若x >1,则x +4x -1的最小值为________. 解析:由x >1,得x -1>0,则x +4x -1=x -1+4x -1+1≥4+1=5.当且仅当x -1=4x -1,即x =3时等号成立.故x +4x -1的最小值为5. 答案:52.已知0<x <1,则x (3-3x )取得最大值时x 的值为________. 解析:由0<x <1,故3-3x >0, 则x (3-3x )=13×3x (3-3x )≤13×94=34,当且仅当3x =3-3x ,即x =12时等号成立.答案:123.已知正数a ,b 满足1a +9b =ab -5,则ab 的最小值为________.解析:因为正数a ,b 满足1a +9b =ab -5,所以ab -5≥21a ×9b,可化为(ab )2-5ab -6≥0,解得ab ≥6,即ab ≥36,当且仅当1a =9b ,即a =2,b =18时取等号.即ab 的最小值为36.答案:364.已知正数x ,y 满足x 2+4y 2+x +2y ≤2-4xy ,则1x +1y 的最小值为________. 解析:由题意得(x +2y )2+(x +2y )-2≤0,且x >0,y >0,所以0<x +2y ≤1,所以1x +1y =⎝⎛⎭⎫1x +1y ·1≥⎝⎛⎭⎫1x +1y ·(x +2y )=3+2y x +x y ≥3+22,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =1,2y x =x y ,即⎩⎪⎨⎪⎧x =2-1,y =1-22时,1x +1y 取得最小值3+2 2.答案:3+2 25.已知a >0,b >0,且12a +b +1b +1=1,则a +2b 的最小值是________. 解析:a +2b =2a +b +3(b +1)2-32,故a +2b =⎣⎡⎦⎤2a +b 2+3(b +1)2·⎝⎛⎭⎫12a +b +1b +1-32 =12+32+2a +b2(b +1)+3(b +1)2(2a +b )-32≥12+22a +b 2(b +1)·3(b +1)2(2a +b )=12+3,当且仅当2a +b 2(b +1)=3(b +1)2(2a +b ),且12a +b +1b +1=1时取等号.故a +2b 的最小值为12+ 3.答案:12+ 3题型三 简单的线性规划1.已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x +y -5≤0,2x -y +2≥0,y ≥0,则目标函数z =x -y 的最小值为________.解析:根据题意,画出可行域如图所示,易知当目标函数z =x -y 经过点A (1,4)时,取得最小值-3.答案:-32.设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,x -y ≤0,x +y ≤4,表示的平面区域为M ,若直线l :y =kx -2上存在M 内的点,则实数k 的取值范围是________.解析:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.因为直线l :y =kx -2的图象过定点A (0,-2),且斜率为k , 由图知,当直线l 过点B (1,3)时,k 取最大值3+21-0=5,当直线l 过点C (2,2)时,k 取最小值2+22-0=2,故实数k 的取值范围是[2,5]. 答案:[2,5]3.已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +1≤0,ax -y ≥0,x ≤1表示的平面区域为D ,若区域D 内至少有一个点在函数y =e x 的图象上,那么实数a 的取值范围为________.解析:由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y =e x 的图象,结合函数图象知,当x =1时,y =e ,把点(1,e)代入ax -y ≥0,则a ≥e.故实数a 的取值范围为[e ,+∞).答案:[e ,+∞) B 组——高考提速练1.不等式x +1x <2的解集为______________. 解析:∵x +1x <2,∴x +1x -2<0, 即(x +1)-2x x =1-xx<0, ∴1-xx<0等价于x (x -1)>0,解得x <0或x >1, ∴不等式x +1x <2的解集为{x |x <0或x >1}. 答案:{x |x <0或x >1}2.若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x +y ≤4,x +3y ≤7,x ≥0,y ≥0,则z =3x +2y 的最大值为________.解析:作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示. 由z =3x +2y 得y =-32x +12z ,平移直线y =-32x +12z ,由图象可知当直线y =-32x +12z 经过点A 时,直线y =-32x +12z的截距最大,此时z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =4,x +3y =7,解得A (1,2),代入目标函数z =3x +2y ,得z =3×1+2×2=7. 即目标函数z =3x +2y 的最大值为7. 答案:73.若a ,b 均为大于1的正数,且ab =100,则lg a ·lg b 的最大值为________. 解析:因为a >1,b >1,所以lg a >0,lg b >0. lg a ·lg b ≤(lg a +lg b )24=(lg ab )24=1.当且仅当a =b =10时取等号, 故lg a ·lg b 的最大值为1. 答案:14.不等式x 2+ax +4<0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是________. 解析:因为不等式x 2+ax +4<0的解集不是空集, 所以Δ=a 2-4×4>0,即a 2>16. 所以a >4或a <-4.答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)5.若关于x 的不等式ax 2-6x +a 2<0的解集是(1,m ),则m 的值为________. 解析:根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2-6x +a 2=0的一个根,即a 2+a -6=0,解得a =2或a =-3,当a =2时,不等式ax 2-6x +a 2<0的解集是(1,2),符合要求;当a =-3时,不等式ax 2-6x +a 2<0的解集是(-∞,-3)∪(1,+∞),不符合要求,舍去.故m =2.答案:26.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=1-log 2x ,则不等式f (x )<0的解集是________.解析:法一:当x <0时,f (x )=-f (-x )=log 2(-x )-1,f (x )<0,即log 2(-x )-1<0,得-2<x <0;当x >0时,f (x )=1-log 2x ,f (x )<0,即1-log 2x <0,解得x >2.综上所述,不等式f (x )<0的解集是(-2,0)∪(2,+∞).法二:先作出函数f (x )在x >0时的图象,再根据奇函数f (x )的图象关于原点对称可得f (x )在R 上的图象,结合图象可知,不等式f (x )<0的解集是(-2,0)∪(2,+∞).答案:(-2,0)∪(2,+∞)7.已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界),且AP ―→=m AB ―→+n AC ―→,m ,n ∈R ,则(m -2)2+(n -2)2 的取值范围是________.解析:因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界),且AP ―→=m AB ―→+n AC ―→,所以m ,n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m >0,n >0,m +n <1,作出不等式组所表示的平面区域如图所示.因为(m -2)2+(n -2)2表示的是区域内的动点(m ,n )到点A (2,2)的距离的平方.因为点A 到直线m +n =1的距离为|2+2-1|2=32,故⎝⎛⎭⎫322<(m -2)2+(n -2)2<OA 2,即(m -2)2+(n -2)2的取值范围是⎝⎛⎭⎫92,8.答案:⎝⎛⎭⎫92,88.已知O 为坐标原点,A (1,2),点P 的坐标(x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +|y |≤1,x ≥0,则z =OA ―→·OP ―→的最大值为________.解析:如图作满足约束条件的可行域,z =OA ―→·OP ―→=x +2y ,显然在B (0,1)处取得最大值,所以z max =2. 答案:29.已知正项等比数列{a n }满足:a 7=a 6+2a 5,若存在两项a m ,a n 使得 a m a n =4a 1,则1m +4n 的最小值为________.解析:设正项等比数列{a n }的公比为q ,由a 7=a 6+2a 5,得q 2-q -2=0,解得q =2(q =-1,舍去)由a m a n =4a 1,即2m+n-22=4,得2m+n -2=24,即m +n =6.故1m +4n =16(m +n )⎝⎛⎭⎫1m +4n =56+16⎝⎛⎭⎫4m n +n m ≥56+46=32, 当且仅当4m n =nm 即m =2,n =4时等号成立,即1m +4n 的最小值为32.答案:3210.已知A ,B ,C 是平面上任意三点,BC =a ,CA =b ,AB =c ,则y =c a +b+bc 的最小值是________.解析:y 要取最小值,则a 要最大,而a 的最大值是b +c ,所以y =c a +b +b c ≥c 2b +c+b c =12⎝⎛⎭⎫b c +12+⎝⎛⎭⎫b c +12-12≥ 2-12,当且仅当12⎝⎛⎭⎫b c +12=b c +12时取等号,即y 的最小值是2-12.答案:2-1211.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a 不是最大边,已知a 2-b 2=2bc sin A ,则tan A -9tan B 的最小值为________.解析:由余弦定理,a 2=b 2+c 2-2bc cos A 及a 2-b 2=2bc sin A ,得c 2-2bc cos A =2bc sin A ,即c -2b cos A =2b sin A ,再由正弦定理,得sin C -2sin B cos A =2sin B sin A , 即sin(A +B )-2sin B cos A =2sin B sin A , 即sin A cos B -cos A sin B =2sin A sin B , 所以tan A -tan B =2tan A tan B . 所以tan B =tan A 2tan A +1,由题意知tan A >0,所以2tan A +1>0, 所以tan A -9tan B =tan A -9tan A2tan A +1=12(2tan A +1)+92(2tan A +1)-5 ≥212(2tan A +1)×92(2tan A +1)-5=-2. 当且仅当12(2tan A +1)=92(2tan A +1),即tan A =1时取“=”.故tan A -9tan B 的最小值为-2. 答案:-212.已知a ,b 均为正数,且ab -a -2b =0,则a 24-2a +b 2-1b 的最小值为________.解析:因为ab -a -2b =0,所以2a +1b =1,因为a ,b 均为正数,所以b >1,所以a 24-2a +b 2-1b =a 24+b 2-1=b 2(b -1)2+b 2-1,令x =b -1>0, 所以a 24-2a +b 2-1b =(x +1)2x 2+(x +1)2-1=x 2+1x 2+2x +2x +1=⎝⎛⎭⎫x +1x 2+2⎝⎛⎭⎫x +1x -1, 因为x +1x ≥2x ·1x =2,当且仅当x =1时取等号,所以⎝⎛⎭⎫x +1x 2+2⎝⎛⎭⎫x +1x -1≥22+2×2-1=7,即a 24-2a +b 2-1b 的最小值为7. 答案:713.若关于x 的不等式(ax -1)(ln x +ax )≥0在(0,+∞)上恒成立,则实数a 的取值范围是________.解析:(ax -1)(ln x +ax )≥0⇔⎝⎛⎭⎫a -1x ⎝⎛⎭⎫a +ln x x ≥0⇔⎩⎨⎧a ≤1x ,a ≤-ln x x或⎩⎨⎧a ≥1x ,a ≥-ln xx.设函数f (x )=1x ,g (x )=-ln x x,在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示,由图象可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,-1e ∪{e}. 答案:⎝⎛⎦⎤-∞,-1e ∪{e} 14.已知a >0,b >0,c >2,且a +b =2,则ac b +c ab -c 2+5c -2的最小值为________.解析:考虑所求的结构特征,变形为⎝⎛⎭⎫a b +1ab -12c +5c -2,先求a b +1ab -12的最小值.a b +1ab -12=a 2+1a (2-a )-12=1(2a +1)-(a 2+1)a 2+1-12=12a +1a 2+1-1-12, 令2a +1=t ,则2a +1a 2+1-1=t ⎝⎛⎭⎫t -122+1-1=4t +5t -2-1≤42t ×5t -2-1=5-12, 所以a b +1ab -12≥52,当且仅当2a +1=52a +1,即a =5-12时等号成立,故ac b +c ab -c 2+5c -2≥5c 2+5c -2=5⎝ ⎛⎭⎪⎫c -22+1c -2+1≥5⎝ ⎛⎭⎪⎫2c -22×1c -2+1=5+10.当且仅当(c -2)2=2,即c =2+2时等号成立. 答案:5+10。
2018年江苏省高考数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(5.00分)已知集合A={0,1,2,8},B={﹣1,1,6,8},那么A∩B=.2.(5.00分)若复数z满足i•z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为.3.(5.00分)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为.4.(5.00分)一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为.5.(5.00分)函数f(x)=的定义域为.6.(5.00分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为.17.(5.00分)已知函数y=sin(2x+φ)(﹣φ<)的图象关于直线x=对称,则φ的值为.8.(5.00分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为.9.(5.00分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(﹣2,2]上,f(x)=,则f(f(15))的值为.10.(5.00分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.11.(5.00分)若函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为.12.(5.00分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若=0,则点A的横坐标为.13.(5.00分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.214.(5.00分)已知集合A={x|x=2n﹣1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n},记S n为数列{a n}的前n项和,则使得S n>12a n+1成立的n的最小值为.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14.00分)在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C;(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.16.(14.00分)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=﹣.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α﹣β)的值.17.(14.00分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D 均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.3(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围;(2)若大棚I内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(16.00分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C 过点(),焦点F1(﹣,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB 的面积为,求直线l的方程.19.(16.00分)记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在4x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”;(2)若函数f(x)=ax2﹣1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值;(3)已知函数f(x)=﹣x2+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.20.(16.00分)设{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,{b n}是首项为b1,公比为q的等比数列.(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|a n﹣b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,],证明:存在d∈R,使得|a n﹣b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)21.(10.00分)如图,圆O的半径为2,AB为圆O的直径,P为AB延长线上一点,过P作圆O的切线,切点为C.若PC=2,求BC的长.5B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)22.(10.00分)已知矩阵A=.(1)求A的逆矩阵A﹣1;(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3,1),求点P的坐标.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分0分)23.在极坐标系中,直线l的方程为ρsin (﹣θ)=2,曲线C的方程为ρ=4cosθ,求直线l被曲线C截得的弦长.D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)24.若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值.【必做题】第25题、第26题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内6作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.26.设n∈N*,对1,2,……,n的一个排列i1i2……i n,如果当s<t时,有i s>i t,则称(i s,i t)是排列i1i2……i n的一个逆序,排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记f n(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2),f4(2)的值;(2)求f n(2)(n≥5)的表达式(用n表示).72018年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(5.00分)已知集合A={0,1,2,8},B={﹣1,1,6,8},那么A∩B={1,8} .【分析】直接利用交集运算得答案.【解答】解:∵A={0,1,2,8},B={﹣1,1,6,8},∴A∩B={0,1,2,8}∩{﹣1,1,6,8}={1,8},故答案为:{1,8}.【点评】本题考查交集及其运算,是基础的计算题.2.(5.00分)若复数z满足i•z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为2.【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解:由i•z=1+2i,得z=,8∴z的实部为2.故答案为:2.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.3.(5.00分)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为90.【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可.【解答】解:根据茎叶图中的数据知,这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91,它们的平均数为×(89+89+90+91+91)=90.故答案为:90.【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题,是基础题.4.(5.00分)一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为8.9【分析】模拟程序的运行过程,即可得出程序运行后输出的S值.【解答】解:模拟程序的运行过程如下;I=1,S=1,I=3,S=2,I=5,S=4,I=7,S=8,此时不满足循环条件,则输出S=8.故答案为:8.【点评】本题考查了程序语言的应用问题,模拟程序的运行过程是解题的常用方法.5.(5.00分)函数f(x)=的定义域为[2,+∞).【分析】解关于对数函数的不等式,求出x的范围即可.【解答】解:由题意得:≥1,10解得:x≥2,∴函数f(x)的定义域是[2,+∞).故答案为:[2,+∞).【点评】本题考查了对数函数的性质,考查求函数的定义域问题,是一道基础题.6.(5.00分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为0.3.【分析】(适合理科生)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,共有C52=10种,其中全是女生的有C32=3种,根据概率公式计算即可,(适合文科生),设2名男生为a,b,3名女生为A,B,C,则任选2人的种数为ab,aA,aB,aC,bA,bB,Bc,AB,AC,BC共10种,其中全是女生为AB,AC,BC共3种,根据概率公式计算即可【解答】解:(适合理科生)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,共有C52=10种,其中全是女生的有C32=3种,故选中的2人都是女同学的概率P==0.3,(适合文科生),设2名男生为a,b,3名女生为A,B,C,则任选2人的种数为ab,aA,aB,aC,bA,bB,Bc,AB,AC,BC共10种,其中全是女生为AB,AC,BC共3种,11故选中的2人都是女同学的概率P==0.3,故答案为:0.3【点评】本题考查了古典概率的问题,采用排列组合或一一列举法,属于基础题.7.(5.00分)已知函数y=sin(2x+φ)(﹣φ<)的图象关于直线x=对称,则φ的值为.【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可.【解答】解:∵y=sin(2x+φ)(﹣φ<)的图象关于直线x=对称,∴2×+φ=kπ+,k ∈Z,即φ=kπ﹣,∵﹣φ<,∴当k=0时,φ=﹣,故答案为:﹣.【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键.128.(5.00分)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为2.【分析】利用双曲线的简单性质,以及点到直线的距离列出方程,转化求解即可.【解答】解:双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线y=x的距离为c,可得:=b=,可得,即c=2a,所以双曲线的离心率为:e=.故答案为:2.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.9.(5.00分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(﹣2,2]上,f (x)=,则f(f(15))的值为.【分析】根据函数的周期性,进行转化求解即可.13【解答】解:由f(x+4)=f(x)得函数是周期为4的周期函数,则f(15)=f(16﹣1)=f(﹣1)=|﹣1+|=,f ()=cos ()=cos =,即f(f(15))=,故答案为:【点评】本题主要考查函数值的计算,根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键.10.(5.00分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.【解答】解:正方体的棱长为2,中间四边形的边长为:,八面体看做两个正四棱锥,棱锥的高为1,14多面体的中心为顶点的多面体的体积为:2×=.故答案为:.【点评】本题考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.11.(5.00分)若函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为﹣3.【分析】推导出f′(x)=2x(3x﹣a),x∈(0,+∞),当a≤0时,f′(x)=2x(3x ﹣a)>0,f(0)=1,f(x)在(0,+∞)上没有零点;当a>0时,f′(x)=2x (3x﹣a)>0的解为x>,f(x)在(0,)上递减,在(,+∞)递增,由f(x)只有一个零点,解得a=3,从而f(x)=2x3﹣3x2+1,f′(x)=6x(x﹣1),x ∈[﹣1,1],利用导数性质能求出f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和.【解答】解:∵函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,∴f′(x)=2x(3x﹣a),x∈(0,+∞),①当a≤0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(0)=1,f(x)在(0,+∞)上没有零15点,舍去;②当a>0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0的解为x >,∴f(x)在(0,)上递减,在(,+∞)递增,又f(x)只有一个零点,∴f ()=﹣+1=0,解得a=3,f(x)=2x3﹣3x2+1,f′(x)=6x(x﹣1),x∈[﹣1,1],f′(x)>0的解集为(﹣1,0),f(x)在(﹣1,0)上递增,在(0,1)上递减,f(﹣1)=﹣4,f(0)=1,f(1)=0,∴f(x)min=f(﹣1)=﹣4,f(x)max=f(0)=1,∴f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为:f(x)max+f(x)min=﹣4+1=﹣3.【点评】本题考查函数的单调性、最值,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力,是中档题.12.(5.00分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D .若=0,则点A的横坐标为3.16【分析】设A(a,2a),a>0,求出C的坐标,得到圆C的方程,联立直线方程与圆的方程,求得D 的坐标,结合=0求得a值得答案.【解答】解:设A(a,2a),a>0,∵B(5,0),∴C (,a),则圆C的方程为(x﹣5)(x﹣a)+y(y﹣2a)=0.联立,解得D(1,2).∴=.解得:a=3或a=﹣1.又a>0,∴a=3.即A的横坐标为3.故答案为:3.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查圆的方程的求法,是中档题.13.(5.00分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c 的最小值为9.【分析】根据面积关系建立方程关系,结合基本不等式1的代换进行求解即可.【解答】解:由题意得acsin120°=asin60°+csin60°,17即ac=a+c,得+=1,得4a+c=(4a+c)(+)=++5≥2+5=4+5=9,当且仅当=,即c=2a时,取等号,故答案为:9.【点评】本题主要考查基本不等式的应用,利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键.14.(5.00分)已知集合A={x|x=2n﹣1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n},记S n为数列{a n}的前n项和,则使得S n>12a n+1成立的n的最小值为27.【分析】采用列举法,验证n=26,n=27即可.【解答】解:利用列举法可得:当n=26时,A∪B中的所有元素从小到大依次排列,构成一个数列{a n},所以数列{a n}的前26项分别1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23.25,…41,2,4,8,16,32.S26=,a27=43,⇒12a27=516,不符合题意.当n=27时,A∪B中的所有元素从小到大依次排列,构成一个数列{a n},18所以数列{a n}的前26项分别1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23.25,…41,43,2,4,8,16,32.S27==546,a28=45⇒12a28=540,符合题意,故答案为:27.【点评】本题考查了集合、数列的求和,属于中档题.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14.00分)在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C;(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.【分析】(1)由⇒AB∥平面A1B1C;(2)可得四边形ABB1A1是菱形,AB1⊥A1B,19由AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC⇒AB1⊥面A1BC,⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC.【解答】证明:(1)平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB∥A1B1,AB∥A1B1,AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂∥平面A1B1C⇒AB∥平面A1B1C;(2)在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AB,⇒四边形ABB1A1是菱形,⊥AB1⊥A1B.在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC.∴⇒AB1⊥面A1BC,且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC.【点评】本题考查了平行六面体的性质,及空间线面平行、面面垂直的判定,属于中档题.16.(14.00分)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=﹣.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α﹣β)的值.【分析】(1)由已知结合平方关系求得sinα,cosα的值,再由倍角公式得cos2α的值;(2)由(1)求得tan2α,再由cos(α+β)=﹣求得tan(α+β),利用tan(α20﹣β)=tan[2α﹣(α+β)],展开两角差的正切求解.【解答】解:(1)由,解得,∴cos2α=;(2)由(1)得,sin2,则tan2α=.∵α,β∈(0,),∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)==.则tan(α+β)=.∴tan(α﹣β)=tan[2α﹣(α+β)]==.【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是中档题.17.(14.00分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D 均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围;21(2)若大棚I内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.【分析】(1)根据图形计算矩形ABCD和△CDP的面积,求出sinθ的取值范围;(2)根据题意求出年总产值y的解析式,构造函数f(θ),利用导数求f(θ)的最大值,即可得出θ为何值时年总产值最大.=(40sinθ+10)•80cosθ【解答】解:(1)S矩形ABCD=800(4sinθcosθ+cosθ),S△CDP =•80cosθ(40﹣40sinθ)=1600(cosθ﹣cosθsinθ),当B、N重合时,θ最小,此时sinθ=;当C、P重合时,θ最大,此时sinθ=1,∴sinθ的取值范围是[,1);(2)设年总产值为y,甲种蔬菜单位面积年产值为4t,乙种蔬菜单位面积年产值为3t,22则y=3200t(4sinθcosθ+cosθ)+4800t(cosθ﹣cosθsinθ)=8000t(sinθcosθ+cosθ),其中sinθ∈[,1);设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,则f′(θ)=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1;令f′(θ)=0,解得sinθ=,此时θ=,cosθ=;当sinθ∈[,)时,f′(θ)>0,f(θ)单调递增;当sinθ∈[,1)时,f′(θ)<0,f(θ)单调递减;∴θ=时,f(θ)取得最大值,即总产值y最大.答:(1)S=800(4sinθcosθ+cosθ),矩形ABCDS△CDP=1600(cosθ﹣cosθsinθ),sinθ∈[,1);θ=时总产值y最大.【点评】本题考查了解三角形的应用问题,也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题,是中档题.2318.(16.00分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C 过点(),焦点F1(﹣,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB 的面积为,求直线l的方程.【分析】(1)由题意可得.,又a2﹣b2=c2=3,解得a=2,b=1即可.(2)①可设直线l的方程为y=kx+m,(k<0,m>0).可得.由,可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0,△=(8km)2﹣4(4k2+1)(4m2﹣4)=0,解得k=﹣,m=3.即可②设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆方程得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0,24O到直线l的距离d=,|AB|=|x2﹣x1|=,△OAB的面积为S===,解得k=﹣,(正值舍去),m=3.即可【解答】解:(1)由题意可设椭圆方程为,∵焦点F1(﹣,0),F2(,0),∴.∵∴,又a2﹣b2=c2=3,解得a=2,b=1.∴椭圆C 的方程为:,圆O的方程为:x2+y2=3.(2)①可知直线l与圆O相切,也与椭圆C,且切点在第一象限,∴可设直线l的方程为y=kx+m,(k<0,m>0).由圆心(0,0)到直线l 的距离等于圆半径,可得.由,可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0,△=(8km)2﹣4(4k2+1)(4m2﹣4)=0,25可得m2=4k2+1,∴3k2+3=4k2+1,结合k<0,m>0,解得k=﹣,m=3.将k=﹣,m=3代入可得,解得x=,y=1,故点P 的坐标为(.②设A(x1,y1),B(x2,y2),由⇒k <﹣.联立直线与椭圆方程得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0,|x2﹣x1|==,O到直线l的距离d=,|AB|=|x2﹣x1|=,△OAB的面积为S===,解得k=﹣,(正值舍去),m=3.∴y=﹣为所求.【点评】本题考查了椭圆的方程,直线与圆、椭圆的位置关系,属于中档题.2619.(16.00分)记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”;(2)若函数f(x)=ax2﹣1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值;(3)已知函数f(x)=﹣x2+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.【分析】(1)根据“S点”的定义解两个方程,判断方程是否有解即可;(2)根据“S点”的定义解两个方程即可;(3)分别求出两个函数的导数,结合两个方程之间的关系进行求解判断即可.【解答】解:(1)证明:f′(x)=1,g′(x)=2x+2,则由定义得,得方程无解,则f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S 点”;(2)f′(x)=2ax,g′(x)=,x>0,由f′(x)=g′(x )得=2ax,得x=,f ()=﹣=g ()=﹣lna2,得a=;27(3)f′(x)=﹣2x,g′(x)=,(x≠0),由f′(x0)=g′(x0),假设b>0,得b=﹣>0,得0<x0<1,由f(x0)=g(x0),得﹣x02+a==﹣,得a=x02﹣,令h(x)=x2﹣﹣a=,(a>0,0<x<1),设m(x)=﹣x3+3x2+ax﹣a,(a>0,0<x<1),则m(0)=﹣a<0,m(1)=2>0,得m(0)m(1)<0,又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,则m(x)在(0,1)上有零点,则h(x)在(0,1)上有零点,则存在b>0,使f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S”点.【点评】本题主要考查导数的应用,根据条件建立两个方程组,判断方程组是否有解是解决本题的关键.20.(16.00分)设{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,{b n}是首项为b1,公比为q的等比数列.(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|a n﹣b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;28(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,],证明:存在d∈R,使得|a n﹣b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).【分析】(1)根据等比数列和等差数列的通项公式,解不等式组即可;(2)根据数列和不等式的关系,利用不等式的关系构造新数列和函数,判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可.【解答】解:(1)由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1,2,3,4均成立,∵a1=0,q=2,∴,解得.即≤d ≤.证明:(2)∵a n=a1+(n﹣1)d,b n=b1•q n﹣1,若存在d∈R,使得|a n﹣b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,则|b1+(n﹣1)d﹣b1•q n﹣1|≤b1,(n=2,3,…,m+1),即b1≤d ≤,(n=2,3,…,m+1),∵q∈(1,],∴则1<q n﹣1≤q m≤2,(n=2,3,…,m+1),∴b1≤0,>0,因此取d=0时,|a n﹣b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,29下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值,①当2≤n≤m 时,﹣==,当1<q ≤时,有q n≤q m≤2,从而n(q n﹣q n﹣1)﹣q n+2>0,因此当2≤n≤m+1时,数列{}单调递增,故数列{}的最大值为.②设f(x)=2x(1﹣x),当x>0时,f′(x)=(ln2﹣1﹣xln2)2x<0,∴f(x)单调递减,从而f(x)<f(0)=1,当2≤n≤m 时,=≤(1﹣)=f ()<1,因此当2≤n≤m+1时,数列{}单调递递减,故数列{}的最小值为,∴d的取值范围是d∈[,].【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用,考查学生的30运算能力,综合性较强,难度较大.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)21.(10.00分)如图,圆O的半径为2,AB为圆O的直径,P为AB延长线上一点,过P作圆O的切线,切点为C.若PC=2,求BC的长.【分析】连接OC,由题意,CP为圆O的切线,得到垂直关系,由线段长度及勾股定理,可以得到PO的长,即可判断△COB是等边三角形,BC的长.【解答】解:连接OC,因为PC为切线且切点为C,所以OC⊥CP.因为圆O的半径为2,,所以BO=OC=2,,所以,31所以∠COP=60°,所以△COB为等边三角形,所以BC=BO=2.【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系,切线的应用,考查发现问题解决问题的能力.B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)22.(10.00分)已知矩阵A=.(1)求A的逆矩阵A﹣1;(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3,1),求点P的坐标.【分析】(1)矩阵A=,求出det(A)=1≠0,A可逆,然后求解A的逆矩阵A﹣1.(2)设P(x,y),通过•=,求出=,即可得到点P的坐标.【解答】解:(1)矩阵A=,det(A)=2×2﹣1×3=1≠0,所以A可逆,从而:A的逆矩阵A﹣1=.(2)设P(x,y),则•=,所以=A﹣1=,32因此点P的坐标为(3,﹣1).【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系,逆矩阵的求法,考查转化思想的应用,是基本知识的考查.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分0分)23.在极坐标系中,直线l的方程为ρsin (﹣θ)=2,曲线C的方程为ρ=4cosθ,求直线l被曲线C截得的弦长.【分析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程,利用直线与圆的相交弦长公式即可求解.【解答】解:∵曲线C的方程为ρ=4cosθ,∴ρ2=4ρcosθ,⇒x2+y2=4x,∴曲线C是圆心为C(2,0),半径为r=2得圆.∵直线l的方程为ρsin (﹣θ)=2,∴﹣=2,∴直线l的普通方程为:x ﹣y=4.圆心C到直线l的距离为d=,∴直线l被曲线C截得的弦长为2.【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式,属于中档题.33D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)24.若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值.【分析】根据柯西不等式进行证明即可.【解答】解:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2,∵x+2y+2z=6,∴x2+y2+z2≥4是当且仅当时,不等式取等号,此时x=,y=,z=,∴x2+y2+z2的最小值为4【点评】本题主要考查不等式的证明,利用柯西不等式是解决本题的关键.,【必做题】第25题、第26题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.34【分析】设AC,A1C1的中点分别为O,O1,以{}为基底,建立空间直角坐标系O﹣xyz,(1)由|cos|=可得异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求得平面AQC1的一个法向量为,设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ,可得sinθ=|cos|=,即可得直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.【解答】解:如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,设AC,A1C1的中点分别为O,O1,则,OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,故以{}为基底,建立空间直角坐标系O﹣xyz,35∵AB=AA1=2,A(0,﹣1,0),B (,0,0),C(0,1,0),A1(0,﹣1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2).(1)点P为A1B1的中点.∴,∴,.|cos|===.∴异面直线BP与AC1所成角的余弦值为:;(2)∵Q为BC的中点.∴Q ()∴,,设平面AQC1的一个法向量为=(x,y,z),由,可取=(,﹣1,1),设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ,sinθ=|cos|==,36∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.【点评】本题考查了向量法求空间角,属于中档题.26.设n∈N*,对1,2,……,n的一个排列i1i2……i n,如果当s<t时,有i s>i t,则称(i s,i t)是排列i1i2……i n的一个逆序,排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记f n(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2),f4(2)的值;(2)求f n(2)(n≥5)的表达式(用n表示).【分析】(1)由题意直接求得f3(2)的值,对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置,由此可得f4(2)的值;(2)对一般的n(n≥4)的情形,可知逆序数为0的排列只有一个,逆序数为137的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,f n(1)=n﹣1.(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排为计算f n+1(2)=f n(2)+f n(1)列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置,可得f n+1+f n(0)=f n(2)+n,则当n≥5时,f n(2)=[f n(2)﹣f n﹣1(2)]+[f n﹣1(2)﹣f n﹣2(2)]+…+[f5(2)﹣f4(2)]+f4(2),则f n(2)(n≥5)的表达式可求.【解答】解:(1)记μ(abc)为排列abc得逆序数,对1,2,3的所有排列,有μ(123)=0,μ(132)=1,μ(231)=2,μ(321)=3,∴f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2,对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5;(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,∴f n(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,f n(1)=n﹣1.(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排为计算f n+1列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,f n(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n.+1当n≥5时,f n(2)=[f n(2)﹣f n﹣1(2)]+[f n﹣1(2)﹣f n﹣2(2)]+…+[f5(2)38﹣f4(2)]+f4(2)=(n﹣1)+(n﹣2)+…+4+f4(2)=.因此,当n≥5时,f n(2)=.【点评】本题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,是中档题.39。
全国著名重点中学领航高考冲刺试卷数 学(江苏卷)8命题:王建宏本试卷分为第I 卷(填空题)、第II 卷(解答题)和第Ⅲ卷(附加题)三部分,文科考生只要求...做第I 卷、第II 卷,第Ⅲ卷...不做..,满分160分,考试时间120分钟;理科考生第I 卷、第II 卷和第Ⅲ卷都必须做....,满分160+40分,考试时间120+30分钟。
第I 卷(填空题 共70分)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知空间中两点)3,2,(1x P 和)7,3,5(2+x P 间的距离为6,则x 的值为 ▲ .2.命题“对任意的x R ∈,3210x x -+≤”的否定是 ▲ .3. 某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、100,现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为m 的样本,已知每位学生被抽到的概率都为0.2,则m = ▲ .4.在正方体1111D C B A ABCD -中,已知F E ,分别是棱BC AB ,的中点,那么直线CE 与直线F D 1所成角的大小为_ ▲ .5.已知sin 13cos 3sin 2=-x x (θ+x ),(R x ∈),则θtan 的值为 ▲ .6. 在ABC ∆中,已知AB=8,AC=5,12=∆ABC S ,则BC= ▲ .7.已知数列{}n a 满足:对于任意*p q ∈N ,,都有p q p q a a a ++=.若36a =4,则首项1a = ▲ .8.已知函数)2(log )(a x x f a -=在区间]32,21[上恒有0)(>x f ,则实数a 的取值范围是 ▲ .9.若定义运算:,bc ad d c b a -=那么满足条件i iz z 2321+=的复数z = ▲ .10.下图是一个算法的程序框图,当输入的x 为5时, 则其输出的结果是y = ▲ .11.已知)(x f 是R 上的偶函数,对一切R x ∈,都有)3()()6(f x f x f +=+成立,若2)2(=f ,则)2008(f = ▲ .12.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm ,那么该棱柱的表面积为 ▲ cm 2.13.设m 为实数,若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥,≥,≤≥,则m 的取值范围是 ▲ .14.已知函数)(x f y =和)(x g y =的定义域 及值域均为],[a a -(常数0a >),其图像如右图所示. 给出下列四个命题:(1)方程0)]([=x g f 有且仅有六个根; (2)方程0)]([=x f g 有且仅有六个根 (3)方程0)]([=x f f 有且仅有九个根; (4)方程0)]([=x g g 有且仅有四个根 则其中正确命题的序号是: ▲ (注:把你认为正确的序号都填上) .第Ⅱ卷(解答题 共90分)二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)设向量=a (x x cos ,cos 2),=b (x x sin 32,cos ), 函数b a x f ⋅=)(. ⑴若函数)(x f y =的定义域为]4,4[ππ-,求)(x f 的值域 ⑵若将函数)(x f y =)(R x ∈的图像按向量),(n m c =平移后可得到函数x y 2cos 2=)(R x ∈的图像,其中2||π<m ,求实数n m ,的值.16(本小题满分14分)已知袋中有红色球4个,蓝色球3个,黄色球2个.现每次从中任取一球确定颜色后再放回, 若取到红色球就结束取球,且最多可取4次. ⑴求取球次数为3的概率⑵求在4次取球中恰有3次取到蓝色球的概率17.(本小题满分14分)如图所示,一吊灯的下圆环直径为m 22,通过拉链悬挂在天 花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离为m 2.在圆环上 设置三个等分点321,,A A A ,点C 与点B A A A ,,,321均用拉链相 连结,且321,,CA CA CA 等长.记BC 的长度为x ,拉链的总长度为y . ⑴试将y 表示为x 的函数)(x f y =; ⑵要使拉链总长最短,BC 应为多长?18.(本小题满分16分)如图在直三棱柱111C B A ABC -中,090=∠ACB ,3,2==BC AC ,5161=AA ,M 、N 分别是11,BC AA 的中点.⑴求证:MN ∥平面ABC ;⑵求直线1CC 与平面1BMC 所成角的正切值;⑶求点1A 到平面M BC 1的距离.A 1B 1C 1AC BNMBCA 1A 2A 319.(本小题满分16分)设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ,首项11=a ,q 为非零常数,已知对任意正整数m n ,,当m n > 时,m n m m n S q S S -=-总成立. ⑴求证:数列}{n a 是等比数列; ⑵求证:当m n >时,nmn mn S 2S 1S 1>++-.20.(本小题满分16分)已知动点P 到两定点)0,2(),0,2(21F F -的距离之差为2. ⑴求动点P 的轨迹方程;⑵由P 作圆C :1)1(22=++y x 的两条切线,这两条切线与y 轴分别交于M 、N 两点,求MN 的取值范围.第Ⅲ卷(附加题 共40分)本大题6小题,共40分,其中第一、第二小题每小题12分为必做题;第三、第四、第五、第六小题中选做两小题,多做无效,每小题8分。
2018高考数学备考百日闯关江苏专版专题1.6以数列为背景的填空题附解析专题一 压轴填空题 第六关 以数列为背景的填空题【名师综述】数列是高中数学的重要知识,是高中数学中等价转化思想的典型体现.近年来,高考对数列的命题,既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化,又保持与函数或不等式相结合的命题思路,呈现出“综合应用,融会贯通”的特色,充分彰显利用数列考查数学能力的价值.类型一 以数列为载体考查数学思想与方法典例1 各项均为正数的等比数列{}n a 中,若234234a a a a a a =++,则3a 的最小值为________.【名师指点】本题考查了利用基本不等式求最值.本题属于难题. 【举一反三】已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n =,前n 项和为n S ,若不等式()()2*13222Nn n S M n a a n ++≤+∈恒成立,则M 的最小值为__________. 【答案】6259【解析】由题可知: ()()()()()2112232222n n n n n S Mn n +++=⇒≤++恒成立,即()()1322n M n n +≤++恒成立,设t=n+1,则()()()()21131322311323132n t t n n t t t t t t+===++++++++,因为函数31t t +在(∞)递增, ()()5667565,6565f f ==<,所以311259324366t t ++≥=,所以M的最小值是6259类型二 综合考查数列性质典例 2 今要在一个圆周上标出一些数,第一次先把圆周二等分,在这两个分点处分别标上1,如图(1)所示;第二次把两段半圆弧二等分,在这两个分点处分别标上2,如图(2)所示;第三次把4段圆弧二等分,并在这4个分点处分别标上3,如图(3)所示.如此继续下去,当第n 次标完数以后,这圆周上所有已标出的数的总和是__________.【答案】()122nn -+【名师指点】本题考查了错位相减法.本题属于中等题. 【举一反三】数列{}n a 为单调递增数列,且()23814,4,{ log ,4n t t n t n a n n --+<=≥*t N ∈,则t 的取值范围是__________. 【答案】3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】要使数列{}n a 为单调递增数列,则123a a a <<<⋅⋅⋅.当n <4时, ()23814n a t n t =--+必须单调递增,∴2t -3>0,即t >32.①.当n ≥4时, log n t a n =也必须单调递增,∴t >1 ②另外,由于这里类似于分段函数的增减性,因而34a a <,即3(2t -3)-8t +14<log 4t ,化简得log 4t +2t>5;③当322t <≤时, log 4t +2t >5;当522t <≤时, log 4t +2t >5;当52t >时, log 4t +2t >5,故③式对任意32t >恒成立,综上,解t 的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 类型三 以生成数列为研究对象考查数学能力典例3 若数列{a n }满足:对任意的n∈N *,只有有限个正整数m 使得a m <n 成立,记这样的m 的个数为b n ,则得到一个新数列{b n }.例如,若数列{a n }是1,2,3,…,n ,…,则数列{b n }是0,1,2,…,n -1,….现已知数列{a n }是等比数列,且a 2=2,a 5=16,则数列{b n }中满足b i =2 016的正整数i 的个数为__________. 【答案】22 015【名师指点】本题主要考查等比数列通项公式,以及新定义的运用. 本题属于难题. 【举一反三】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥,若()()()53222220172201822018a a a -+-+-=, ()()()53201720172017220172201822018a a a -+-+-=,给定四个命题①20174034S =;②20184036S =;③20172S S <;④201720a a -<. 则上述四个命题中真命题的序号为____. 【答案】②④【解析】构造函数()()5320172018,f x x x x f x =++ 为奇函数,且单调递增,依题意有()()()()22017220172201722018.22018,220,4f a f a f a f a a a -=-=-∴-+-=∴+=又()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥,故数列{}n a 为等差数列,且公差0,d ≠故()120172017201820172017,4034,2a a a a S +≠=≠故①错误;()()12018220172018201820184036,22a a a a S ++===故②正确;由题意知()22017201720182018112122,2,0,403644032,,a a d S S a a a S a a ><∴<=-=--=+=+若20172S S <,则24032,a >而此时, ()()()53222220172201822018a a a -+-+-=不成立,故③错误;220172,2,a a ><∴ 201720a a -<.,故④成立.即答案为②④【精选名校模拟】1.已知数列{}n a 共有26项,且11a =, 2620a =, ()111,2,,25k k a a k +-== ,则满足条件的不同数列{}n a 有__________ 个. 【答案】23002.已知{}n a 满足11a =, ()*11N 4nn n a a n +⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭, 21123444n n n S a a a a -=++++ ,则54n n n S a -=__________.(用n 表示) 【答案】n【解析】依题意2112144444n n n n n S a a a a --=++++ ,与已知条件相加可得()()()2111223154444n n n n n n S a a a a a a a a ---=+++++++ 21211111444444n n n --=+⋅+⋅++⋅= 3.在等差数列{a n }中,已知首项a 1>0,公差d >0.若a 1+a 2≤60,a 2+a 3≤100,则5a 1+a 5的最大值为________. 【答案】200【解析】由a 1+a 2≤60,a 2+a 3≤100得2a 1+d≤60,2a 1+3d≤100,a 1>0, d >0. 由线性规划的知识得5a 1+a 5=6a 1+4d ,过点(20,20)时,取最大值为200.4.已知数列{a n }的首项a 1=1,前n 项的和为S n ,且满足2a n +1+S n =2(n∈N *),则满足1 0011 000<S 2n S n <1110的n 的最大值为__________. 【答案】9【解析】2a n +1+S n =2,2a n +S n -1=2(n≥2),相减得2a n +1=a n (n≥2),a 1=1,a 2=12,则{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,1 0011 000<1+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <1110,11 000<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110,则n 的最大值为9.5.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =4+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1,若对任意n∈N *,都有1≤p(S n -4n)≤3,则实数p 的取值范围是________. 【答案】[2,3]【解析】S n =4n +23[1-(-12)n ],可得1≤23[1-(-12)n ]p≤3,即1≤2p 3[1-(-12)n ]min 且2p 3[1-(-12)n]max ≤3,前者n =2,后者n =1,得2≤p≤3.6.设等比数列{a n }的公比为q(0<q <1),前n 项和为S n ,若a 1=4a 3a 4,且a 6与34a 4的等差中项为a 5,则S 6=________.【答案】634【解析】由a 1=4a 3a 4,a 6+34a 4=2a 5,解得a 1=8,q =12,则S 6=634.7.记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S k -1=8,S k =0,S k +1=-10,则正整数k =________. 【答案】9【解析】设S k -S k -1=a k =-8,S k +1-S k =a k +1=-10,则d =-2,S k =(a 1+a k )k/2=0,a 1=8,a k =a 1+(k -1)d =-8,即8-2(k -1)=-8,则k =9.8.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若数列{a n }满足a n +S n =An 2+Bn +C 且A >0,则1A +B -C 的最小值为________.【答案】2 39.设数列{a n }满足a 1=1,且a n +1-a n =n +1(n∈N *),则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为____________.【答案】2011【解析】a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=(n +1)n 2,则1a n =2n (n -1)=2(1n -1n +1),数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为2[⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫110-111]=2011.10.已知等比数列{a n }的首项为43,公比为-13,其前n 项和为S n ,若A≤S n -1S n ≤B 对n∈N *恒成立,则B -A 的最小值为________.72【解析】由等比数列S n 公式S n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-13n ,∴ T n =S n -1S n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-13n -11-⎝ ⎛⎭⎪⎫-13n .当n 为奇数时,T n =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫13n-11+⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 递减,则0<T n <T 1=712;当n 为偶数时,T n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫13n-11-⎝ ⎛⎭⎪⎫13n递增,则-1772<T 2<0.故-1772≤T n ≤712,∴ A max=-1772,B min =712,故 (B -A)min =B min -A max =5972.11.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:4S n =(a n +1)2.设b n =a 2n -1,T n =b 1+b 2+…+b n (n∈N *),则当T n >2 013时,n 的最小值为________. 【答案】10【解析】∵ 4S n =(a n +1)2,∴ n ≥2时有4S n -1=(a n -1+1)2,两式相减,得4(S n -S n -1)=(a n +a n -1+2)(a n -a n -1),n ≥2,进一步整理可知(a n +a n -1)(a n -a n -1-2)=0.又a n >0,从而a n -a n -1=2(n≥2),从而a n =2n -1,b n =a 2n -1=2n-1,∴ T n =2n +1-(n +2)>2 013,n ≥10时,T n >2 013,且T 9<2 013,T n 关于n 单调递增,从而n 的最小值为10.12.已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,π6,等比数列{a n }中,a 1=1,a 4=39tan 33θ.若数列{a n }的前2 014项的和为0,则θ的值为________. 【答案】-π913.已知在等差数列{a n }中,若m +2n +p =s +2t +r ,m 、n 、p 、s 、t 、r∈N *,则a m +2a n +a p =a s +2a t +a r .仿此类比,可得到等比数列{b n }中的一个正确命题:若m +2n +p =s +2t +r ,m 、n 、p 、s 、t 、r∈N *,则______________. 【答案】b m (b n )2b p =b s (b t )2b r【解析】由类比推理将加法换成乘法、乘法换成乘方即得结论.14.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2a 4a 6a 8=120,且1a 4a 6a 8+1a 2a 6a 8+1a 2a 4a 8+1a 2a 4a 6=760,则S 9的值为________.【答案】632【解析】等式两边同时乘以a 2a 4a 6a 8得a 2+a 4+a 6+a 8=14,即2(a 2+a 8)=14,a 2+a 8=7,从而S 9=(a 1+a 9)×922215. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4、a 3、a 5成等差数列,且S k =33,S k +1=-63,其中k ∈N *,则S k +2的值为________. 【答案】129【解析】由等比数列性质知2=q +q 2,∵ q =1或-2.当q =1时,显然不成立.∴ q=-2,又 a k +1=S k +1-S k =-96.(解法1)S k +2=S k +1+a k +2=S k +1+a k +1(-2)=-63+96×2=129. (解法2)a 1(1-q k)1-q =a 1-a 1q k3=a 1-a k +13=33,得a 1=3,S k +2=a 1(1-q k +2)1-q =a 1-a 1qk +23=a 1-a k +33=a 1-a k +1q 23=3+96×43=129.16.设x 、y 、z 是实数,若9x 、12y 、15z 成等比数列,且1x 、1y 、1z 成等差数列,则x z +zx 的值为______________.【答案】341517.已知数列{a n }满足a n =a n -1-a n -2(n≥3,n ∈N *),它的前n 项和为S n .若S 13=1,则a 1的值为____________. 【答案】1【解析】定义函数a n =f(n),则f(n)=f(n -1)-f(n -2),即可得f(n)=[f(n -2)-f(n -3)]-f(n -2)=-f(n -3)=-(f(n -4)-f(n -5))=f(n -6),所以函数a n =f(n)是一个周期为6的数列,由递推公式可得S n =a n -1+a 2,所以S 13=a 12+a 2=a 6+a 2=-a 3+a 2=-(a 2-a 1)+a 2=a 1,所以a 1=1.18.设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =kn 2+n ,n ∈N *,其中k 是常数.若对于任意的m∈N *,a m ,a 2m ,a 4m 成等比数列,则k 的值为________.【答案】k =0或k =1【解析】∵ S n =kn 2+n ,∴ 数列{a n }是首项为k +1公差为2k 的等差数列,a n =2kn +1-k.又对于任意的m∈N *都有a 22m =a m a 4m ,∴ a 22=a 1a 4,(3k +1)2=(k +1)(7k +1),解得k =0或1.又k =0时a n =1,显然对于任意的m ∈N *,a m ,a 2m ,a 4m 成等比数列;k =1时a n =2n ,a m =2m ,a 2m =4m ,a 4m =8m ,显然对于任意的m∈N *,a m ,a 2m ,a 4m 也成等比数列.综上所述,k =0或k =1.19.记数列{a n }的前n 项和为S n ,若不等式2221()n n S a ma n+≥对任意等差数列{a n }及任意正整数n 都成立,则实数m 的最大值为____________. 【答案】15。
数学试卷 第1页(共42页) 数学试卷 第2页(共42页)绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式:锥形的体积公式13V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么AB = .2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 .5.函数()f x =的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,()cos (2)2102x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩0<≤,(-2<≤),,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标为 .13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页(共42页) 数学试卷 第4页(共42页)二、解答题:本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥. 求证:(Ⅰ)AB ∥平面11A B C ; (Ⅱ)平面11ABB A ⊥平面1A BC .16.(本小题满分14分)已知α,β为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(Ⅰ)求cos2α的值; (Ⅱ)求tan()αβ-的值.数学试卷 第5页(共42页) 数学试卷 第6页(共42页)17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求点A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围; (Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点1(F,2F ,圆O 的直径为12F F .(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程;(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标; ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页(共42页) 数学试卷 第8页(共42页)19.(本小题满分16分)记()f x ',()g x '分别为函数()f x ,()g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(Ⅰ)证明:函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”; (Ⅱ)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值;(Ⅲ)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围; (Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N,q ∈,证明:存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).数学试卷 第9页(共42页) 数学试卷 第10页(共42页)数学Ⅱ(附加题)本试卷均为非选择题(第21题~第23题). 本卷满分40分,考试时间为30分钟.21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,请选定其中两小题并作答...........,若多做,则按作答的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14个填空题综合仿真练(一)1.已知集合A={0,3,4},B={-1,0,2,3},则A∩B=________.解析:因为集合A={0,3,4},B={-1,0,2,3},所以A∩B={0,3}.答案:{0,3}2.已知x>0,若(x-i)2是纯虚数(其中i为虚数单位),则x=________.解析:因为x>0,(x-i)2=x2-1-2x i是纯虚数(其中i为虚数单位),所以x2-1=0且-2x≠0,解得x=1.答案:13.已知函数f(x)=x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为________.解析:设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞),因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t=x2-2x-3在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).答案:[3,+∞)4.从2个白球,2个红球,1个黄球中随机取出2个球,则取出的2球中恰有1个红球的概率是________.解析:将2个白球记为A,B,2个红球记为C,D,1个黄球记为E,则从中任取两个球的所有可能结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个,恰有1个红球的可能结果为(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(E,C),(E,D)共6个,故所求概率为P=610=3 5.答案:3 55.执行如图所示的伪代码,若输出的y的值为13,则输入的x的值是________.Read xIf x≤2Theny←6xElsey←x+5End IfPrint y解析:若6x=13,则x=136>2,不符合题意;若x+5=13,则x=8>2,符合题意,故x=8.答案:86.一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位:t/hm2)分别为:9.4,9.7,9.8,10.3,10.8,则这组样本数据的方差为________.解析:这组数据的平均数为15(9.4+9.7+9.8+10.3+10.8)=10,方差为15[(10-9.4)2+(10-9.7)2+(10-9.8)2+(10-10.3)2+(10-10.8)2]=0.244.答案:0.2447.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(0<ω<2,0<φ<π).若x =-π4为函数f (x )的一个零点,x =π3为函数f (x )图象的一条对称轴,则ω的值为________.解析:函数f (x )的周期T =4×⎝⎛⎭⎫π3+π4=7π3,又T =2πω,所以ω=2π×37π=67. 答案:678.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足cos A 2=255,AB ―→·AC ―→=3,b +c =6,则a =________.解析:∵cos A 2=255,∴cos A =2cos 2A 2-1=35,又由AB ―→·AC ―→=3,得bc cos A =3,∴bc =5,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(b +c )2-2bc (1+cos A )=36-10×85=20,解得a =2 5.答案:2 59.已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-15,则tan α的值为________. 解析:tan α=tan[(α-β)+β]=tan (α-β)+tan β1-tan (α-β)tan β=12-151-12×⎝⎛⎭⎫-15=311. 答案:31110.已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解集为(-1,5),其中a ,b ,c 为常数.则不等式cx 2+bx +a ≤0的解集为________.解析:因为不等式ax 2+bx +c >0的解集为(-1,5),所以a (x +1)(x -5)>0,且a <0,即ax 2-4ax -5a >0,则b =-4a ,c =-5a ,则cx 2+bx +a ≤0即为-5ax 2-4ax +a ≤0,从而5x 2+4x -1≤0,解得-1≤x ≤15. 答案:⎣⎡⎦⎤-1,15 11.已知正数x ,y 满足1x +2y =1,则log 2x +log 2y 的最小值为________.解析:由1x +2y =1,得x =y y -2>0,则log 2x +log 2y =log 2xy =log 2y 2y -2=log 2(y -2+2)2y -2=log 2⎣⎡⎦⎤(y -2)+4y -2+4≥log 28=3,当且仅当(y -2)2=4,即y =4时等号成立,故log 2x +log 2y 的最小值为3.答案:312.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C :x 2+y 2+2x -8=0,直线l :y =k (x -1)(k ∈R)过定点A ,且交圆C 于点B ,D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则△AEC 的周长为________.解析:易得圆C 的标准方程为(x -1)2+y 2=9,即半径r =3,定点A (-1,0),因为AE ∥BC ,所以EA =ED ,则EC +EA =EC +ED =3,从而△AEC 的周长为5.答案:513.设集合A ={x |x =2n ,n ∈N *},集合B ={x |x =b n ,n ∈N *},满足A ∩B =∅,且A ∪B =N *.若对任意的n ∈N *,b n <b n +1,则b 2 017=________.解析:因为210=1 024<2 017,211=2 048>2 017,所以小于等于2 017的正整数中有10个是集合A 中的元素,所以由集合B 的定义可知b 2 017=2 017+10=2 027.答案:2 02714.已知函数f (x )=kx ,g (x )=2ln x +2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2,若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ,N ,使得M ,N 关于直线y =e 对称,则实数k 的取值范围是________________.解析:设直线y =kx 上的点M (x ,kx ),点M 关于直线y =e 的对称点N (x,2e -kx ),因为点N 在g (x )=2ln x +2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象上,所以2e -kx =2ln x +2e ,所以kx =-2ln x .构造函数y =kx ,y =-2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2,画出函数y =-2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象如图所示,设曲线y =-2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2上的点P (x 0,-2ln x 0),则k OP ≤k ≤k OB (其中B 为端点,P 为切点).因为y ′=-2x ,所以过点P 的切线方程为y +2ln x 0=-2x 0(x -x 0),又该切线经过原点,所以0+2ln x 0=-2x 0(0-x 0),x 0=e ,所以k OP =-2e.又点B ⎝⎛⎭⎫1e ,2,所以k OB =2e ,所以k ∈⎣⎡⎦⎤-2e ,2e . 答案:⎣⎡⎦⎤-2e ,2e。
14个填空题专项强化练(九) 不 等 式A 组——题型分类练 题型一 一元二次不等式1、已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3,则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________、解析:法一:依题意可得f (x )=a ⎝⎛⎭⎫x -12(x -3)(a <0),则f (e x )=a ⎝⎛⎭⎫e x -12(e x -3)(a <0),由f (e x )=a ⎝⎛⎭⎫e x -12(e x -3)>0可得12<e x <3,解得-ln 2<x <ln 3. 法二:由题知,f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <3, 令12<e x <3,得-ln 2<x <ln 3. 答案:{x |-ln 2<x <ln 3}2、已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x >0,-x 2-4x ,x ≤0,则不等式f (x )>3的解集为________________、 解析:当x >0时,2x -1>3,解得x >2,当x ≤0时,-x 2-4x >3,即x 2+4x +3<0,解得-3<x <-1,所以所求不等式的解集为{x |x >2或-3<x <-1}、答案:{x |x >2或-3<x <-1}3、已知函数y =x 2-2x +a 的定义域为R,值域为[0,+∞),则实数a 的取值集合为________、解析:由定义域为R,得x 2-2x +a ≥0恒成立、又值域为[0,+∞),则函数y =x 2-2x +a 的图象只能与x 轴有1个交点,所以Δ=4-4a =0,a =1.答案:{1}4、已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x ≥0,-x 2+1,x <0,则关于x 的不等式f (x 2)>f (2-x )的解集是________、解析:由x 2≥0,得f (x 2)=-x 2+1, 所以原不等式可转化为f (2-x )<-x 2+1, 则当2-x ≥0,即x ≤2时,由-(2-x )+1<-x 2+1,得-2<x <1,所以-2<x <1; 当2-x <0,即x >2时,由-(2-x )2+1<-x 2+1,得x ∈∅.综上得,关于x 的不等式f (x 2)>f (2-x )的解集是{x |-2<x <1}、 答案:{x |-2<x <1} 题型二 基本不等式 1、若x >1,则x +4x -1的最小值为________、 解析:由x >1,得x -1>0,则x +4x -1=x -1+4x -1+1≥4+1=5.当且仅当x -1=4x -1,即x =3时等号成立、故x +4x -1的最小值为5. 答案:52、已知0<x <1,则x (3-3x )取得最大值时x 的值为________、 解析:由0<x <1,故3-3x >0,则x (3-3x )=13×3x (3-3x )≤13×94=34,当且仅当3x =3-3x ,即x =12时等号成立、答案:123、已知正数a ,b 满足1a +9b =ab -5,则ab 的最小值为________、 解析:因为正数a ,b 满足1a +9b =ab -5,所以ab -5≥21a ×9b,可化为(ab )2-5ab -6≥0,解得ab ≥6,即ab ≥36,当且仅当1a =9b ,即a =2,b =18时取等号、即ab 的最小值为36. 答案:364、已知正数x ,y 满足x 2+4y 2+x +2y ≤2-4xy ,则1x +1y 的最小值为________、 解析:由题意得(x +2y )2+(x +2y )-2≤0,且x >0,y >0,所以0<x +2y ≤1,所以1x +1y =⎝⎛⎭⎫1x +1y ·1≥⎝⎛⎭⎫1x +1y ·(x +2y )=3+2y x +x y ≥3+22,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =1,2y x =xy ,即⎩⎪⎨⎪⎧x =2-1,y =1-22时,1x +1y取得最小值3+2 2. 答案:3+2 25、已知a >0,b >0,且12a +b +1b +1=1,则a +2b 的最小值是________、 解析:a +2b =2a +b +3(b +1)2-32,故a +2b =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a +b 2+3(b +1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a +b +1b +1-32=12+32+2a +b2(b +1)+3(b +1)2(2a +b )-32≥12+22a +b 2(b +1)·3(b +1)2(2a +b )=12+3,当且仅当2a +b2(b +1)=3(b +1)2(2a +b ),且12a +b +1b +1=1时取等号、故a +2b 的最小值为12+ 3.答案:12+ 3题型三 简单的线性规划1、已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x +y -5≤0,2x -y +2≥0,y ≥0,则目标函数z =x -y 的最小值为________、解析:根据题意,画出可行域如图所示,易知当目标函数z =x -y 经过点A (1,4)时,取得最小值-3.答案:-32、设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,x -y ≤0,x +y ≤4,表示的平面区域为M ,若直线l :y =kx -2上存在M 内的点,则实数k 的取值范围是________、解析:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示、因为直线l :y =kx -2的图象过定点A (0,-2),且斜率为k ,由图知,当直线l 过点B (1,3)时,k 取最大值3+21-0=5,当直线l 过点C (2,2)时,k 取最小值2+22-0=2,故实数k 的取值范围是[2,5]、 答案:[2,5]3、已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +1≤0,ax -y ≥0,x ≤1表示的平面区域为D ,若区域D 内至少有一个点在函数y =e x 的图象上,那么实数a 的取值范围为________、解析:由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y =e x 的图象,结合函数图象知,当x =1时,y =e,把点(1,e)代入ax -y ≥0,则a ≥e.故实数a 的取值范围为[e,+∞)、答案:[e,+∞) B 组——高考提速练1、不等式x +1x <2的解集为______________、 解析:∵x +1x <2,∴x +1x -2<0, 即(x +1)-2x x=1-xx <0, ∴1-xx <0等价于x (x -1)>0,解得x <0或x >1, ∴不等式x +1x <2的解集为{x |x <0或x >1}、 答案:{x |x <0或x >1}2、若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x +y ≤4,x +3y ≤7,x ≥0,y ≥0,则z =3x +2y 的最大值为________、解析:作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示、 由z =3x +2y 得y =-32x +12z ,平移直线y =-32x +12z ,由图象可知当直线y =-32x +12z 经过点A 时,直线y =-32x +12z 的截距最大,此时z 最大、由⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =4,x +3y =7,解得A (1,2),代入目标函数z =3x +2y ,得z =3×1+2×2=7. 即目标函数z =3x +2y 的最大值为7. 答案:73、若a ,b 均为大于1的正数,且ab =100,则lg a ·lg b 的最大值为________、 解析:因为a >1,b >1,所以lg a >0,lg b >0. lg a ·lg b ≤(lg a +lg b )24=(lg ab )24=1.当且仅当a =b =10时取等号, 故lg a ·lg b 的最大值为1. 答案:14、不等式x 2+ax +4<0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是________、 解析:因为不等式x 2+ax +4<0的解集不是空集, 所以Δ=a 2-4×4>0,即a 2>16. 所以a >4或a <-4. 答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)5、若关于x 的不等式ax 2-6x +a 2<0的解集是(1,m ),则m 的值为________、解析:根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2-6x +a 2=0的一个根,即a 2+a -6=0,解得a =2或a =-3,当a =2时,不等式ax 2-6x +a 2<0的解集是(1,2),符合要求;当a=-3时,不等式ax 2-6x +a 2<0的解集是(-∞,-3)∪(1,+∞),不符合要求,舍去、故m =2.答案:26、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=1-log 2x ,则不等式f (x )<0的解集是________、解析:法一:当x <0时,f (x )=-f (-x )=log 2(-x )-1,f (x )<0,即log 2(-x )-1<0,得-2<x <0;当x >0时,f (x )=1-log 2x ,f (x )<0,即1-log 2x <0,解得x >2.综上所述,不等式f (x )<0的解集是(-2,0)∪(2,+∞)、法二:先作出函数f (x )在x >0时的图象,再根据奇函数f (x )的图象关于原点对称可得f (x )在R 上的图象,结合图象可知,不等式f (x )<0的解集是(-2,0)∪(2,+∞)、答案:(-2,0)∪(2,+∞)7、已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界),且AP ―→=m AB ―→+n AC ―→,m ,n ∈R,则(m -2)2+(n -2)2 的取值范围是________、解析:因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界),且AP ―→=m AB ―→+n AC ―→,所以m ,n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m >0,n >0,m +n <1,作出不等式组所表示的平面区域如图所示、因为(m -2)2+(n -2)2表示的是区域内的动点(m ,n )到点A (2,2)的距离的平方、因为点A 到直线m +n =1的距离为|2+2-1|2=32,故⎝⎛⎭⎫322<(m -2)2+(n -2)2<OA 2,即(m -2)2+(n -2)2的取值范围是⎝⎛⎭⎫92,8.答案:⎝⎛⎭⎫92,88、已知O 为坐标原点,A (1,2),点P 的坐标(x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +|y |≤1,x ≥0,则z =OA ―→·OP―→的最大值为________、解析:如图作满足约束条件的可行域,z =OA ―→·OP ―→=x +2y ,显然在B (0,1)处取得最大值,所以z max =2. 答案:29、已知正项等比数列{a n }满足:a 7=a 6+2a5,若存在两项a m ,a n 使得 a m a n =4a 1,则1m +4n的最小值为________、解析:设正项等比数列{a n }的公比为q ,由a 7=a 6+2a 5,得q 2-q -2=0,解得q =2(q =-1,舍去)由a m a n =4a 1,即2m+n-22=4,得2m +n -2=24,即m +n =6.故1m +4n =16(m +n )⎝⎛⎭⎫1m +4n =56+16⎝⎛⎭⎫4m n +n m ≥56+46=32, 当且仅当4m n =nm 即m =2,n =4时等号成立, 即1m +4n 的最小值为32. 答案:3210、已知A ,B ,C 是平面上任意三点,BC =a ,CA =b ,AB =c ,则y =c a +b+bc 的最小值是________、解析:y 要取最小值,则a 要最大,而a 的最大值是b +c ,所以y =c a +b +b c ≥c 2b +c+bc =12⎝⎛⎭⎫b c +12+⎝⎛⎭⎫b c +12-12≥ 2-12,当且仅当12⎝⎛⎫b c +12=b c +12时取等号,即y 的最小值是2-12. 答案:2-1211、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a 不是最大边,已知a 2-b 2=2bc sin A ,则tan A -9tan B 的最小值为________、解析:由余弦定理,a 2=b 2+c 2-2bc cos A 及a 2-b 2=2bc sin A ,得c 2-2bc cos A =2bc sin A , 即c -2b cos A =2b sin A ,再由正弦定理,得sin C -2sin B cos A =2sin B sin A , 即sin(A +B )-2sin B cos A =2sin B sin A , 即sin A cos B -cos A sin B =2sin A sin B , 所以tan A -tan B =2tan A tan B . 所以tan B =tan A 2tan A +1,由题意知tan A >0,所以2tan A +1>0, 所以tan A -9tan B =tan A -9tan A2tan A +1=12(2tan A +1)+92(2tan A +1)-5 ≥212(2tan A +1)×92(2tan A +1)-5=-2. 当且仅当12(2tan A +1)=92(2tan A +1),即tan A =1时取“=”、故tan A -9tan B 的最小值为-2. 答案:-212、已知a ,b 均为正数,且ab -a -2b =0,则a 24-2a +b 2-1b 的最小值为________、解析:因为ab -a -2b =0,所以2a +1b =1,因为a ,b 均为正数,所以b >1, 所以a 24-2a +b 2-1b =a 24+b 2-1=b 2(b -1)2+b 2-1,令x =b -1>0, 所以a 24-2a +b 2-1b =(x +1)2x 2+(x +1)2-1=x 2+1x 2+2x +2x +1=⎝⎛⎭⎫x +1x 2+2⎝⎛⎭⎫x +1x -1, 因为x +1x ≥2x ·1x =2,当且仅当x =1时取等号,所以⎝⎛⎭⎫x +1x 2+2⎝⎛⎭⎫x +1x -1≥22+2×2-1=7,即a 24-2a +b 2-1b 的最小值为7. 答案:713、若关于x 的不等式(ax -1)(ln x +ax )≥0在(0,+∞)上恒成立,则实数a 的取值范围是________、解析:(ax -1)(ln x +ax )≥0⇔⎝⎛⎭⎫a -1x ⎝⎛⎭⎫a +ln x x ≥0⇔⎩⎨⎧a ≤1x ,a ≤-ln x x或⎩⎨⎧a ≥1x ,a ≥-ln xx.设函数f (x )=1x ,g (x )=-ln x x ,在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示,由图象可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,-1e ∪{e}、 答案:⎝⎛⎦⎤-∞,-1e ∪{e} 14、已知a >0,b >0,c >2,且a +b =2,则ac b +c ab -c 2+5c -2的最小值为________、解析:考虑所求的结构特征,变形为⎝⎛⎭⎫a b +1ab -12c +5c -2,先求a b +1ab -12的最小值、a b +1ab -12=a 2+1a (2-a )-12=1(2a +1)-(a 2+1)a 2+1-12=12a +1a 2+1-1-12, 令2a +1=t ,则2a +1a 2+1-1=t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t -122+1-1=4t +5t -2-1≤42t ×5t -2-1=5-12, 所以a b +1ab -12≥52,当且仅当2a +1=52a +1,即a =5-12时等号成立,故ac b +c ab -c 2+5c -2≥5c 2+5c -2=5⎝ ⎛⎭⎪⎫c -22+1c -2+1≥5⎝⎛⎭⎪⎪⎫2c -22×1c -2+1=5+10.当且仅当(c -2)2=2,即c =2+2时等号成立、 答案:5+10。
14个填空题专项强化练(八) 数列
A 组——题型分类练
题型一 等差、等比数列的基本运算
1.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 2=7,S 7=-7,则a 7的值为________.
解析:因为等差数列{a n }满足a 2=7,S 7=-7,所以S 7=7a 4=-7,a 4=
-1,所以d =a 4-a 24-2
=-4,所以a 7=a 2+5d =-13. 答案:-13
2.设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3=-18
,且a 2,a 4,a 3成等差数列,则数列{a n }的前4项和为________.
解析:设等比数列{a n }的公比为q ,因为a 2,a 4,a 3成等差数列,所以2a 4
=a 2+a 3,所以2a 2q 2=a 2+a 2q ,即2q 2-q -1=0,又q ≠1,解得q =-12
. 因为a 1a 2a 3=-18,所以a 31q 3=-18
,解得a 1=1. 则数列{a n }的前4项和S 4=1-⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-124
1-⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫-12=58. 答案:58
3.已知等差数列{c n }的首项为c 1=1.若{2c n +3}为等比数列,则c 2 017=
________.
解析:设等差数列{c n }的公差为d ,由题意得(2c 2+3)2=(2c 1+3)(2c 3+3),即(2+2d +3)2=(2+3)(2+4d +3)⇒d =0,因此c 2 017=c 1=1.
答案:1
4.已知等比数列{a n }的各项均为正数,若a 4=a 22,a 2+a 4=
516
,则a 5=________. 解析:法一:设等比数列{a n }的首项为a 1(a 1>0),公比为q(q>0),
由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3=(a 1q )2,a 1q +a 1q 3=516,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=12,q =12,
所以a 5=a 1q 4=132. 法二:(整体思想)依题意由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=a 22,a 2+a 4=516,得16a 22+16a 2-5=0,即(4a 2
+5)(4a 2-1)=0,又等比数列{a n }各项均为正数,所以a 2=14,从而a 4=116
,从而由q 2=a 4a 2=14,又q>0,所以q =12,a 5=a 4q =116×12=132.。