13-3四个强度理论-材料力学

材料力学强度理论
材料力学强度理论是材料力学的一个重要分支，它研究材料在外力作用下的强
度和变形特性。

材料的强度是指材料抵抗破坏的能力，而变形特性则是指材料在外力作用下的形变行为。

强度理论的研究对于材料的设计、制备和应用具有重要意义。

首先，强度理论可以帮助我们了解材料的破坏机制。

材料在外力作用下会发生
破坏，而不同的材料在受力时表现出不同的破坏模式，比如拉伸、压缩、剪切等。

强度理论可以通过实验和理论分析，揭示材料在受力时的破坏机制，为材料的设计和选用提供依据。

其次，强度理论可以指导材料的合理使用。

在工程实践中，我们需要根据材料
的强度特性来选择合适的材料，并确定合理的使用条件。

强度理论可以帮助我们评估材料在特定工况下的承载能力，从而保证材料的安全可靠使用。

此外，强度理论还可以为材料的改进和优化提供指导。

通过对材料强度特性的
研究，我们可以发现材料的强度局限性，并提出改进的方案。

比如，可以通过合金化、热处理等手段来提高材料的强度，或者通过结构设计来减小应力集中，提高材料的抗破坏能力。

综上所述，材料力学强度理论是材料科学中的重要内容，它不仅可以帮助我们
了解材料的破坏机制，指导材料的合理使用，还可以为材料的改进和优化提供指导。

在未来的研究和工程实践中，我们需要进一步深入研究强度理论，不断提高材料的强度和可靠性，为社会发展和科技进步做出贡献。

材料力学在工程设计中常用的强度理论有四种材料力学是研究材料力学性能和强度的学科，它在工程设计中起着至关重要的作用。

材料力学可以通过各种理论和方法来分析和预测材料在不同工程应用中的强度和性能。

在工程设计中，常用的材料强度理论有四种，分别是极限强度理论、变形能量理论、排斥原则理论和应变能量密度理论。

极限强度理论是最早也是最简单的一种强度理论，它基于材料的抗拉和抗压强度来进行设计。

根据极限强度理论，当应力达到材料的抗拉或抗压强度时，材料就会发生破坏。

这种理论适用于一些简单的材料和结构设计，但对于复杂的应力状态和材料特性不够准确。

变形能量理论是一种基于变形能量的强度理论，它是由应力和应变能量的平衡关系来进行设计。

根据变形能量理论，当变形能量达到最大值时，材料就会发生破坏。

这种理论考虑了材料的变形特性和应力-应变关系，对于复杂应力状态下的材料强度预测更加准确。

排斥原则理论是一种基于材料本身的排斥性质进行设计的强度理论。

根据排斥原则理论，材料的破坏是由于材料内部的排斥效应达到一定程度而引起的。

这种理论考虑了材料的微观结构和材料本身的排斥性质，对于一些高强度和高韧性材料的设计有着重要的应用价值。

应变能量密度理论是一种综合考虑材料的应力、应变和能量的强度理论。

根据应变能量密度理论，当应变能量密度达到临界值时，材料就会发生破坏。

这种理论综合了材料的应力、应变、能量等多种因素，对于复杂应力状态下的材料强度预测非常准确。

在工程设计中，选择合适的强度理论对于材料的设计和分析有着重要的意义。

不同的强度理论适用于不同的材料和结构，根据具体的工程需求和要求选择合适的强度理论进行设计是十分重要的。

同时，强度理论也需要结合实际工程情况和应力状态进行修正和调整，以提高预测的精度和合理性。

总之，材料力学在工程设计中常用的强度理论有极限强度理论、变形能量理论、排斥原则理论和应变能量密度理论。

选择合适的强度理论对于材料的设计和分析至关重要，需要综合考虑材料的特性和应力状态，同时还需要结合实际工程情况进行修正和调整。

9 强度理论1、 脆性断裂和塑性屈服脆性断裂:材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。

塑性屈服:材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。

2、四种强度理论(1)最大拉应力理论（第一强度理论）材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值,即：01σσ= (2)最大伸长拉应变理论（第二强度理论）：无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于最大拉应变（线变形）达 到极限值导致的,即： 01εε=(3)最大切应力理论（第三强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于最大切应力达到了某一极限 值,即： 0max ττ=(4)形状改变比能理论（第四强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于单元体的最大形状改变比能达到一个极限值,即：u u 0dd =强度准则的统一形式 [] σσ≤*其相当应力: r11σ=σr2123()σ=σ-μσ+σ r313σ=σ-σ222r41223311()()()2⎡⎤σ=σ-σ+σ-σ+σ-σ⎣⎦ 3、摩尔强度理论的概念与应用； 4、双剪强度理论概念与应用。

9.1图9.1所示的两个单元体，已知正应力σ =165MPa ，切应力τ=110MPa 。

试求两个单元体的第三、第四强度理论表达式。

图9.1[解] （1）图9.1（a ）所示单元体的为空间应力状态。

注意到外法线为y 及－y 的两个界面上没有切应力，因而y 方向是一个主方向，σ是主应力。

显然，主应力σ 对与y 轴平行的斜截面上的应力没有影响，因此在xoz 坐标平面内可以按照平面应力状态问题对待。

外法线为x 、z 轴两对平面上只有切应力τ，为纯剪切状态，可知其最大和最小正应力绝对值均为τ,则图9.1（a ）所示单元体的三个主应力为：τστσσσ-===321、、,第三强度理论的相当应力为解题范例r4σ=()eq313165110275a σσσστ=-=+=+=MPa第四强度理论的相当应力为：()eq4a σ==252.0== MPa(2)图9.1(b)所示单元体,其主应力为第三强度理论的相当应力为：()eq31322055275b σσσ=-=+=MPa第四强度理论的相当应力为：()eq4a σ=252.0==MPa9.2一岩石试件的抗压强度为[]σ=14OMPa,E=55GPa, μ=0.25, 承受三向压缩。

材料力学四大强度理论材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，其中强度理论是材料力学中的重要内容之一。

材料的强度是指材料在外力作用下抵抗破坏的能力，而强度理论则是用来描述和预测材料在不同应力状态下的破坏规律和强度值的理论体系。

在材料力学中，有四大经典的强度理论，分别是极限强度理论、绝对最大剪应力理论、莫尔-库伊特理论和最大应变能理论。

首先，极限强度理论是最早被提出的强度理论之一，它是根据材料的屈服条件来描述材料的破坏规律。

极限强度理论认为材料在受到外力作用时，只要应力达到了材料的屈服强度，材料就会发生破坏。

这种理论简单直观，易于应用，但在实际工程中往往存在一定的局限性，因为它忽略了材料在屈服之前的变形过程。

其次，绝对最大剪应力理论是基于材料的最大剪应力来描述材料的破坏规律。

这种理论认为，材料在受到外力作用时，只要材料中的最大剪应力达到了材料的抗剪强度，材料就会发生破坏。

这种理论在一些特定情况下具有较好的适用性，但在一些复杂应力状态下往往难以准确描述材料的破坏规律。

接下来，莫尔-库伊特理论是基于材料的主应力来描述材料的破坏规律。

这种理论认为，材料在受到外力作用时，只要材料中的任意一个主应力达到了材料的抗拉强度或抗压强度，材料就会发生破坏。

莫尔-库伊特理论相对于前两种理论来说，更加全面和准确，因为它考虑了材料在不同应力状态下的破坏规律。

最后，最大应变能理论是基于材料的应变能来描述材料的破坏规律。

这种理论认为，材料在受到外力作用时，只要材料中的应变能达到了材料的抗拉强度或抗压强度，材料就会发生破坏。

最大应变能理论在描述材料的破坏规律时考虑了材料的变形能量，因此在一些复杂应力状态下具有较好的适用性。

综上所述，材料力学中的强度理论是描述和预测材料在外力作用下的破坏规律和强度值的重要理论体系。

四大强度理论分别是极限强度理论、绝对最大剪应力理论、莫尔-库伊特理论和最大应变能理论，它们各自具有一定的适用范围和局限性，工程应用中需要根据具体情况进行选择和应用。

关于材料力学第四强度理论的理解第四强度理论就是假设，当材料的形状改变能积蓄到一定程度导致了物体材料的屈服。

1.形状改变能密度：这一概念是这么得出的，认为弹性体在形变过程中弹性体内的应变能在数值上等于外力所做的功。

而单位体积内所积蓄的应变能就成为应变能密度。

根据材料力学的推导首先就得到了单轴应力下的应变能密度： νε12σε⋅其中σ和ε分别表示应力和应变。

第四强度理论正是基于这一假设得到的。

那么在空间应力状态下，可以得到主应变和主应力之间的关系为ε11E σ1νσ2σ3+()-()ε21E σ2νσ3σ1+()-()ε31E σ3νσ1σ2+()-()空间应力状态下的应变能密度νε12σ1ε1⋅σ2ε2⋅+σ3ε3⋅+()应变能密度又包含体积改变能密度和形状改变能密度。

材料力学推导得到形状改变能密度为 νd1ν+6E⋅σ1σ2-()2σ2σ3-()2+σ3σ1-()2+⎡⎣⎤⎦ 2.第四强度理论第四强度理论即形状改变能密度理论认为形状改变能密度的极限为： 时 σ1σs σ2σ30,1ν+6E ⋅σ1σ2-()2σ2σ3-()2+σ3σ1-()2+⎡⎣⎤⎦1ν+6E⋅2⋅σs ()2⋅ 那么就得到了第四强度理论所建立的强度条件 σr12σ1σ2-()2σ2σ3-()2+σ3σ1-()2+⎡⎣⎤⎦V σV ≤ 3.两种平面应力状态下的相当应力第一种根据应力圆可以得到主应力σ1σ2σ2⎛⎝⎫⎭2τ2++ σ2σ3σ2σ2⎛⎝⎫⎭2τ2+- 那么代入相当应力就得到12σ1σ2-()2σ2σ3-()2+σ3σ1-()2+⎡⎣⎤⎦substitute σ1σ2σ2⎛⎝⎫⎭2τ2++, substitute σ20, substitute σ3σ2σ2⎛⎝⎫⎭2τ2+-, 3τ2⋅σ2+→第二种同样将得到的主应力代入相当应力得到12σ1σ2-()2σ2σ3-()2+σ3σ1-()2+⎡⎣⎤⎦substitute σ1σσm+2σσm -2⎛⎝⎫⎭2τ2++, substitute σ2σσm+2σσm -2⎛⎝⎫⎭2τ2+-, substitute σ3, 3τ2⋅σ2+σσm⋅-→4.讨论总结上述两种应力状态可以发现，虽然第二种应力状态较第一种多了一个方向的应力但是相当应力并不一定增大，也就是说按照第四强度理论材料并不一定会破坏。

材料力学在工程设计中常用的强度理论有四种材料力学在工程设计中常用的强度理论有四种，分别是：最大拉应力理论、最大伸长线应变理论、最大切应力理论和形状改变比能理论。

以下是对这四种强度理论的详细介绍：1.最大拉应力理论最大拉应力理论，也称为第一强度理论。

这个理论的基础是，物体内部任何一点的拉应力都不能超过该点的强度极限。

当物体受到的拉应力超过其强度极限时，物体就会在这一点上发生脆性断裂。

在工程设计中，这种理论的应用非常广泛。

例如，在桥梁设计中，我们需要保证桥梁的拉应力不超过其强度极限，以防止桥梁在载荷的作用下发生脆性断裂。

此外，在材料力学实验中，我们也会通过测量材料的最大拉应力来确定其强度极限。

2.最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论，也称为第二强度理论。

这个理论的基础是，物体内部任何一点的伸长线应变都不能超过该点的强度极限。

当物体受到的伸长线应变超过其强度极限时，物体就会在这一点上发生塑性变形。

在工程设计中，这种理论的应用也十分广泛。

例如，在机械零件的设计中，我们需要保证零件的伸长线应变不超过其强度极限，以防止零件在使用过程中发生塑性变形。

此外，在材料力学实验中，我们也会通过测量材料的最大伸长线应变来确定其强度极限。

3.最大切应力理论最大切应力理论，也称为第三强度理论。

这个理论的基础是，物体内部任何一点的切应力都不能超过该点的强度极限。

当物体受到的切应力超过其强度极限时，物体就会在这一点上发生剪切破坏。

在工程设计中，这种理论的应用也十分重要。

例如，在齿轮的设计中，我们需要保证齿轮的切应力不超过其强度极限，以防止齿轮在使用过程中发生剪切破坏。

此外，在材料力学实验中，我们也会通过测量材料的最大切应力来确定其强度极限。

4.形状改变比能理论形状改变比能理论，也称为第四强度理论。

这个理论的基础是，物体内部任何一点的形状改变比能都不能超过该点的强度极限。

当物体受到的形状改变比能超过其强度极限时，物体就会在这一点上发生屈服。

由于材料的破坏按其物理本质分为脆断和屈服两类形式，所以，强度理论也就相应地分为两类，下面就来介绍目前常用的四个强度理论。

1、最大拉应力理论：这一理论又称为第一强度理论。

这一理论认为破坏主因是最大拉应力。

不论复杂、简单的应力状态，只要第一主应力达到单向拉伸时的强度极限，即断裂。

破坏形式：断裂。

破坏条件：。

1 =(T b强度条件1< ［门实验证明，该强度理论较好地解释了石料、铸铁等脆性材料沿最大拉应力所在截面发生断裂的现象；而对于单向受压或三向受压等没有拉应力的情况则不适合。

缺点：未考虑其他两主应力。

使用范围：适用脆性材料受拉。

如铸铁拉伸，扭转。

2、最大伸长线应变理论这一理论又称为第二强度理论。

这一理论认为破坏主因是最大伸长线应变。

不论复杂、简单的应力状态，只要第一主应变达屈服破坏条件: T maX™1/2( T 仁T 3 )到单向拉伸时的极限值，即断裂。

破坏假设：最大伸长应变达到简单拉伸的极限(假定直到发生断裂仍可用胡克定律计算 )< 破坏形式：断裂。

脆断破坏条件：£ 1= £ u=C b/E£1 = 1/E[ (T 1 - a ( (T 2+ (T 3)]破坏条件：c 1- a ( T 2+ T 3)= T b强度条件：T 1- a ( T 2+ T 3)< [ T ]实验证明，该强度理论较好地解释了石料、混凝土等脆性材料受轴向拉伸时，沿横截面发生断裂的现象。

但是，其实验结果只与很少的材料吻合，因此已经很少使用。

缺点：不能广泛解释脆断破坏一般规律。

使用范围：适于石料、混凝土轴向受压的情况。

3、最大切应力理论：这一理论又称为第三强度理论。

这一理论认为破坏主因是最大切应力maxw。

不论复杂、简单的应力状态，只要最大切应力达到单向拉伸时的极限切应力值，即屈服。

破坏假设：复杂应力状态危险标志最大切应力达到该材料简单拉、压时切应力极限。

破坏形式：屈服。

破坏因素：最大切应力。

第10章强度理论10、1 强度理论的概念构件的强度问题就是材料力学所研究的最基本问题之一。

通常认为当构件承受的载荷达到一定大小时,其材料就会在应力状态最危险的一点处首先发生破坏。

故为了保证构件能正常地工作,必须找出材料进入危险状态的原因,并根据一定的强度条件设计或校核构件的截面尺寸。

各种材料因强度不足而引起的失效现象就是不同的。

如以普通碳钢为代表的塑性材料,以发生屈服现象、出现塑性变形为失效的标志。

对以铸铁为代表的脆性材料,失效现象则就是突然断裂。

在单向受力情况下,出现塑性变形时的屈服点σ与发生断裂s时的强度极限σ可由实验测定。

sσ与bσ统称为失效应力,以安全系数除失效应力得到b许用应力[]σ,于就是建立强度条件[]σσ≤可见,在单向应力状态下,强度条件都就是以实验为基础的。

实际构件危险点的应力状态往往不就是单向的。

实现复杂应力状态下的实验,要比单向拉伸或压缩困难得多。

常用的方法就是把材料加工成薄壁圆筒(图10-1),在内压p作用下,筒壁为二向应力状态。

如再配以轴向拉力F,可使两个主应力之比等于各种预定的数值。

这种薄壁筒试验除作用内压与轴力外,有时还在两端作用扭矩,这样还可得到更普遍的情况。

此外,还有一些实现复杂应力状态的其她实验方法。

尽管如此,要完全复现实际中遇到的各种复杂应力状态并不容易。

况且复杂应力状态中应力组合的方式与比值又有各种可能。

如果象单向拉伸一样,靠实验来确定失效状态,建立强度条件,则必须对各式各样的应力状态一一进行试验,确定失效应力,然后建立强度条件。

由于技术上的困难与工作的繁重,往往就是难以实现的。

解决这类问题,经常就是依据部分实验结果,经过推理,提出一些假说,推测材料失效的原因,从而建立强度条件。

图10－1经过分析与归纳发现,尽管失效现象比较复杂,强度不足引起的失效现象主要还就是屈服与断裂两种类型。

同时,衡量受力与变形程度的量又有应力、应变与变形能等。

人们在长期的生产活动中,综合分析材料的失效现象与资料,对强度失效提出各种假说。

材料力学总结一、基本变形二、还有：（1）外力偶矩：)(9549m N nNm •= N —千瓦；n —转/分 （2）薄壁圆管扭转剪应力：tr T22πτ=（3）矩形截面杆扭转剪应力：hb G Th b T 32max ;βϕατ==三、截面几何性质（1）平行移轴公式：;2A a I I ZC Z += abA I I c c Y Z YZ += （2）组合截面： 1．形 心：∑∑===ni ini cii c AyA y 11； ∑∑===ni ini cii c AzA z 112．静 矩：∑=ci i Z y A S ； ∑=ci i y z A S 3. 惯性矩：∑=i Z Z I I )( ；∑=i y y I I )(四、应力分析：（1）二向应力状态（解析法、图解法）a ． 解析法： b.应力圆：σ：拉为“+”，压为“-” τ：使单元体顺时针转动为“+”α：从x 轴逆时针转到截面的 法线为“+”ατασσσσσα2sin 2cos 22x yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2x yx +-=yx xtg σστα--=220 22minmax 22x y x yx τσσσσσ+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±+=c ：适用条件：平衡状态(2)三向应力圆：1max σσ=； 3min σσ=；231max σστ-=x（3）广义虎克定律：[])(13211σσνσε+-=E [])(1z y x x E σσνσε+-=[])(11322σσνσε+-=E [])(1x z y y E σσνσε+-=[])(12133σσνσε+-=E [])(1y x z z E σσνσε+-=*适用条件：各向同性材料；材料服从虎克定律（4）常用的二向应力状态 1．纯剪切应力状态：τσ=1 ，02=σ，τσ-=32．一种常见的二向应力状态：223122τσσσ+⎪⎭⎫⎝⎛±=2234τσσ+=r2243τσσ+=r五、强度理论*相当应力：r σ11σσ=r ，313σσσ-=r ，()()()][212132322214σσσσσσσ-+-+-=r σxσ六、材料的力学性质脆性材料 δ＜5% 塑性材料 δ≥5%低碳钢四阶段： （1）弹性阶段（2）屈服阶段 （3）强化阶段 （4）局部收缩阶段 强度指标 σσb s ,塑性指标 δψ,E tg ==σα七．组合变形ε八、压杆稳定欧拉公式：2min2)(l EI P cr μπ=，22λπσE cr =，应用范围：线弹性范围，σcr <σp ，λ>λp柔度：iul =λ；ρρσπλE=；ba s σλ-=0，柔度是一个与杆件长度、约束、截面尺寸、 形状有关的数据，λ↑P cr ↓σcr ↓λ>λp ——大柔度杆：22λπσE cr =λo <λ<λp ——中柔度杆：σcr=a-b λλ<λ0——小柔度杆：σcr =σs稳定校核：安全系数法：w I cr n P P n ≥=，折减系数法：][σϕσ≤=AP提高杆件稳定性的措施有：1、减少长度2、选择合理截面3、加强约束4、合理选择材料九、交变应力金属疲劳破坏特点：应力特征：破坏应力小于静荷强度； 断裂特征：断裂前无显著塑性变形； 断口特征：断口成光滑区和粗糙区。

力学中常用的四个强度理论是：
1. 最大剪应力理论（Tresca理论）：最大剪应力理论假设材料在破坏前，会发生剪应力最大的区域，因此材料的破坏准则基于剪应力达到一定的临界值。

2. 极限强度理论（Rankine理论）：极限强度理论认为材料在破坏前，承受的应力应该小于材料的屈服强度，因此材料的破坏准则基于主应力或主应力之和。

3. 椭圆形变能理论（Von Mises理论）：椭圆形变能理论基于金属塑性变形过程中的等效应变能，认为材料在破坏前，应变能密度达到一定的临界值。

4. 梁库伦应力理论（Mohr-Coulomb理论）：梁库伦应力理论主要适用于岩石和土壤等非金属材料的破坏，该理论基于材料的摩擦角和抗压强度，判断材料的破坏状态。

这些强度理论都是基于材料的力学性质和破坏机制而提出的，用于进行材料的强度设计和破坏分析。

在具体应用中，选择合适的强度理论取决于材料的特性、实际应力状态和设计要求。

工程力学四个强度理论工程力学是研究物体在受到外力作用时的运动与变形规律的一门学科，它是理论力学在工程实践中的应用。

工程力学中有许多重要理论，其中四个强度理论是应用最为广泛且具有实用性的理论。

这四个强度理论分别是：拉压强度理论、剪切强度理论、弯曲强度理论和变形强度理论。

拉压强度理论拉压强度理论是研究材料受拉力和压力时的强度情况。

在材料受拉或受压时，当受到的外力超过其承受能力时，材料就会发生破坏。

拉压强度理论通过对材料的拉伸和压缩性能进行分析，确定了材料在拉伸和压缩下的强度极限，为工程设计和材料选取提供了依据。

剪切强度理论剪切强度理论是研究材料受到剪切力时的强度情况。

在材料受到剪切力作用时，如果剪切力超过了材料本身的承受能力，就会导致材料剪切破坏。

剪切强度理论通过对材料在剪切力下的变形规律和破坏特点进行研究，确定了材料的剪切强度极限，为结构的承载能力和稳定性提供了理论支撑。

弯曲强度理论弯曲强度理论是研究材料在受到弯曲力矩时的强度情况。

在工程实践中，很多结构在受力时会受到不同方向的弯曲力矩，因此了解材料在弯曲条件下的强度表现是至关重要的。

弯曲强度理论通过对材料在受弯曲力矩下的应力、变形和破坏特性进行研究，为结构的设计和优化提供了基础。

变形强度理论变形强度理论是研究材料在受热膨胀、冷缩等变形情况下的强度特性。

材料在受到温度变化或热机械作用时，会发生尺寸变化和形变，如果超出了材料能够承受的范围，就会导致材料破坏。

变形强度理论通过研究材料在变形过程中的应力、变形和破坏特性，为高温结构、膨胀管道等工程提供了理论依据。

在工程实践中，工程师们常常根据这四个强度理论来评估和设计工程结构，以确保结构的安全性、可靠性和稳定性。

这四个强度理论不仅是工程力学理论体系中重要的组成部分，也是工程设计和材料选择的重要参考依据，为各种工程问题的解决提供了理论支撑。

四大强度理论1、最大拉应力理论（第一强度理论）(材料脆性断裂的强度理论)：（）这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。

于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。

σb/s=[σ]所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。

2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）（材料塑性屈服的强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。

εu=σb/E；ε1=σb/E。

由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。

按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。

3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax 达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。

τmax=τ0。

依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。

所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。

按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。

4、形状改变比能理论（第四强度理论）（最大歪形能理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。

发生塑性破坏的条件为：所以按第四强度理论的强度条件为：sqrt(σ1^2+σ2^2+σ3^2-σ1σ2-σ2σ3-σ3σ1)<[σ]Von mise应力Von Mises 应力是基于剪切应变能的一种等效应力其值为(((a1-a2)^2+(a2-a3)^2+(a3-a1)^2)/2)^0.5 其中a1,a2,a3分别指第一、二、三主应力。