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函数的性质应用知识点总结1. 函数的定义及性质函数是将一个自变量的取值对应到一个因变量的取值的规则。
函数的性质包括定义域、值域，单调性，奇偶性，周期性等。
1.1 定义域和值域函数的定义域是指自变量可能的取值范围，而值域则是因变量可能的取值范围。
在应用中，定义域和值域的确定对于建立函数模型、分析函数图像等都有重要作用。
1.2 单调性函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性。
分为严格单调增、非严格单调增、严格单调减、非严格单调减等四种情况。
函数的单调性在优化问题、曲线的切线斜率、函数的极值等问题中有重要应用。
1.3 奇偶性函数的奇偶性指的是函数图像关于原点、y轴对称的性质。
奇函数满足f(x)=-f(-x)，即关于原点对称；偶函数满足f(x)=f(-x)，即关于y轴对称。
奇偶函数在函数的积分、对称性、解方程等问题中有应用。
1.4 周期性函数的周期性是指存在正数T，使得对于函数f(x)有f(x+T)=f(x)，即在区间[T,∞)上有函数值相同。
周期函数在周期性信号、振动问题、波动问题等方面有重要应用。
2. 函数的导数及应用函数的导数是函数在某一点的切线斜率，表示函数的变化速率。
导数的应用包括函数的极值、函数的凹凸性、函数的图像等方面。
2.1 函数的极值函数的极值包括极大值和极小值，是函数的局部最值。
通过导数的符号和次序可以判断函数的极值，从而在优化问题、生产实践、资源配置等方面有重要应用。
2.2 函数的凹凸性函数的凹凸性描述的是函数图像的曲率，通过导数的次序和符号可以判断函数的凹凸性。
凹凸函数在优化问题、物理问题、经济问题等方面有应用。
2.3 函数的图像函数的导数可以揭示函数图像的特征，包括拐点、切线、凹凸性等。
函数的图像在科学研究、工程设计、数学建模等方面有重要作用。
3. 函数的积分及应用函数的积分是函数的反导数，表示函数的面积、体积等。
积分的应用包括求面积、求体积、求物理量等方面。
3.1 函数的不定积分函数的不定积分是原函数的一种形式，通过不定积分可以求解函数的积分。
函数的基本概念与性质知识点总结函数是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域。
了解函数的基本概念和性质对于理解和应用数学具有重要意义。
本文将对函数的基本概念和性质进行总结。
一、函数的基本概念函数是一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
在函数中，称第一个集合为定义域，第二个集合为值域。
用符号表示函数为：f：X→Y，其中 f 表示函数名，X 表示定义域，Y 表示值域。
1.1 定义域和值域函数的定义域是指函数输入的变量所能取到的值的集合。
值域是函数输出的变量所能取到的值的集合。
1.2 自变量和因变量在函数中，自变量是函数的输入变量，而因变量则是函数的输出变量。
1.3 函数图像函数的图像是函数在坐标平面上的表示，自变量作为 x 轴的取值，因变量作为y 轴的取值，函数图像表示了自变量和因变量之间的关系。
二、函数的性质函数具有许多重要性质，下面将对其中几个重要的性质进行介绍。
2.1 单调性函数的单调性描述了函数的增减特性。
当自变量增大时，如果函数值也增大，则函数是递增的；当自变量增大时，函数值减小，则函数是递减的。
2.2 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性。
如果函数满足 f(-x) =f(x)，则函数是偶函数；如果函数满足 f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
2.3 周期性函数的周期性意味着函数在某个特定的区间内具有重复的模式。
如果存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x + T) = f(x)，则函数具有周期性。
2.4 极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数趋于的稳定值。
极限有左极限和右极限之分。
2.5 连续性函数的连续性描述了函数图像的连贯性。
如果函数在某个区间内的每个点都存在极限，且极限与函数值相等，则函数是连续的。
三、小结函数是数学中的重要概念，理解函数的基本概念和性质对于学习和应用数学具有重要意义。
本文对函数的基本概念和性质进行了总结，包括函数的定义域和值域、自变量和因变量、函数图像等。
总结初中数学中的函数性质总结函数是数学中一个常见且重要的概念，它在初中数学中有着广泛的应用。
在学习函数性质的过程中，我们需要掌握一些基本的概念和性质，本文将对初中数学中的函数性质进行总结。
一、函数的基本概念函数是一种特殊的对应关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
在函数中，我们通常用字母表示自变量，用字母表示因变量。
例如，对于函数y = f(x)，x就是自变量，y就是因变量。
二、函数的定义域和值域在函数中，每个自变量都对应一个因变量。
自变量的取值范围称为函数的定义域，而函数对应的因变量的取值范围称为函数的值域。
函数的定义域和值域是确定函数特性的重要因素。
三、函数的性质1. 奇偶性：若对于定义域内的任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若以上两个条件都不满足，则函数为既不是奇函数也不是偶函数。
2. 单调性：若对于定义域内的任意两个不相等的x1和x2，有f(x1) < f(x2)，则函数为递增函数；若对于定义域内的任意两个不相等的x1和x2，有f(x1) > f(x2)，则函数为递减函数。
3. 增减性：若在某个区间内函数是递增函数，则称该区间为函数的增区间；若在某个区间内函数是递减函数，则称该区间为函数的减区间。
4. 周期性：若存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T) = f(x)，则函数为周期函数；若不存在这样的正数T，则函数为非周期函数。
5. 对称性：若对于定义域内的任意x，有f(x) = f(c-x)，其中c为常数，则函数具有轴对称性。
6. 零点性：若存在一个x值，使得f(x) = 0，则称x为函数的零点。
7. 范围：理论上，函数的值域可以是任意的实数集合。
然而，在实际问题中，函数的值域通常受到函数表达式和定义域的限制。
四、函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的表示。
函数图像知识点高三函数图像是高中数学中的重要内容之一，也是高三学生需要掌握的知识点之一。
了解函数图像的性质和特点，对于解决实际问题以及科学研究具有重要意义。
本文将从以下几个方面介绍高三学生需要了解的函数图像知识点。
一、函数的概念与性质函数是自变量和因变量之间的一种关系，通常用$f(x)$来表示。
函数的自变量是$x$，因变量是$f(x)$。
函数的主要性质包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
1. 定义域：函数的自变量的取值范围。
2. 值域：函数的因变量的取值范围。
3. 单调性：函数在定义域内的增减趋势。
4. 奇偶性：函数的对称性，即$f(-x)=-f(x)$为奇函数，$f(-x)=f(x)$为偶函数。
5. 周期性：函数在定义域内以一定的周期重复出现。
二、常见函数的图像高三学生需要了解的常见函数及其图像包括：线性函数、二次函数、指数函数和对数函数。
1. 线性函数：线性函数的图像为一条直线，表达式为$f(x)=ax+b$，其中$a$为斜率，$b$为截距。
2. 二次函数：二次函数的图像为一条抛物线，表达式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$为抛物线的开口方向，$b$和$c$则决定了抛物线的位置和形状。
3. 指数函数：指数函数的图像为一条逐渐增长或逐渐衰减的曲线，表达式为$f(x)=a^x$，其中$a>0$且$a\neq 1$。
4. 对数函数：对数函数的图像为一条逐渐增长或逐渐衰减的曲线，表达式为$f(x)=\log_a{x}$，其中$a>0$且$a \neq 1$。
三、函数图像的性质与变换函数图像具有一些常见的性质与变换，包括平移、伸缩、翻转等。
1. 平移：函数图像的平移是指将函数图像沿着坐标轴进行移动。
水平平移会使函数图像在横坐标方向上发生变化，垂直平移会使函数图像在纵坐标方向上发生变化。
2. 伸缩：函数图像的伸缩是指通过改变函数表达式中的参数来改变函数图像的形状和位置。
高中数学上册函数的概念及性质
函数是高中数学的一个重要概念，它是一种映射关系，它把一组输入值映射到一组输出值。
函数可以用来描述一些物理现象、社会现象等等，是数学建模的重要工具。
一般来说，函数指的是满足一定性质的关系。
如果输入值是x，输出值是f(x)，则称f(x)为x的函数值。
函数的性质包括：
1、定义域：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，即函
数f(x)可以接受的输入值的范围。
2、值域：函数f(x)的值域是指函数f(x)的输出值的范围，即f(x)的所有可能的值的范围。
3、单调性：函数f(x)的单调性是指当x的取值发生变化时，f(x)的取值只有一种变化趋势，即f(x)的取值只会变大或
只会变小。
4、对称性：函数f(x)的对称性是指当x取值发生变化时，f(x)的取值也发生相应的变化，但f(x)的曲线不发生变化。
5、凹凸性：函数f(x)的凹凸性是指在函数f(x)的曲线上，当x取某个值时，f(x)的曲线在此点处有凸点或凹点。
6、奇偶性：函数f(x)的奇偶性是指当x取一定的值时，f(x)的值必须满足f(-x)=-f(x)的性质。
函数的性质是高中数学上册研究的必备知识，函数的性质是函数的重要特性，是数学建模过程中不可缺少的知识。
通过理解函数的性质，可以更加准确、深入地研究函数的性质，更好地描述实际问题，从而实现数学建模。
大一函数的几种特性知识点一、函数的定义及特性在数学中，函数是一个将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
在大一学习中，我们主要探讨实函数、映射、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等函数的基本特性。
1. 实函数与映射实函数是指自变量和因变量都是实数的函数。
映射是函数的一种特殊形式，它是指每个自变量对应唯一的因变量。
2. 定义域与值域函数的定义域是指自变量可以取的值的集合。
值域是函数所有可能的因变量的集合。
3. 单调性函数的单调性分为单调递增和单调递减。
当函数的自变量增大，如果函数值也随之增大，该函数为单调递增函数；当函数的自变量增大，函数值减小，该函数为单调递减函数。
4. 奇偶性函数的奇偶性是指函数的对称性。
若对于任意自变量，有 f(-x) = f(x) ，则函数为偶函数；若对于任意自变量，有 f(-x) = -f(x) ，则函数为奇函数。
5. 周期性与对称性周期函数是指存在一个正数 T ，对于函数f(x) 的任意自变量 x ，有 f(x+T) = f(x) 。
对称函数则是指函数满足某种对称关系，如轴对称或中心对称。
二、函数的图像与性质函数的性质可以通过其图像来观察和分析。
大一学习中，我们主要关注如下几种特性：1. 零点一个函数的零点是指使得函数值等于零的自变量值。
我们可以通过观察函数的图像来确定零点的位置。
2. 极值函数的极大值和极小值统称为极值。
在函数图像上，极大值对应函数上的局部最高点，而极小值则对应局部最低点。
3. 导数函数的导数是衡量函数在给定点斜率或增长率的工具。
导数可用于判断函数在某点的增减情况，进而帮助我们推断函数的性质。
4. 渐近线渐近线是指函数图像在某些自变量趋于无穷大或无穷小时趋近的直线。
常见的渐近线有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
三、常见函数的特性在大一学习中，我们会接触到一些常见的函数及其特性，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
1. 线性函数线性函数是指自变量的一次函数，其表达形式为f(x) = kx + b ，其中 k 和 b 都是常数。
高中数学函数四大思想总结高中数学中的函数最核心的思想可以总结为四个方面，分别是函数的定义域与值域思想、单调性思想、奇偶性思想和周期性思想。
第一，函数的定义域与值域思想。
在高中数学中，函数的定义域与值域的确定是非常重要的。
定义域指的是函数能够取到的自变量的值的范围，值域则是函数能够取到的因变量的值的范围。
这个思想在解决函数的范围和取值问题时非常关键。
第二，单调性思想。
单调性指的是函数在定义域内的变化趋势。
由于学生在学习中常常会遇到函数的增减性和凹凸性等问题，使用单调性思想可以更好地解决这些问题。
单调函数的概念和性质是高中数学中非常重要的内容，它不仅体现了函数的变化趋势，同时也反映了函数的导数的意义。
第三，奇偶性思想。
奇偶性在函数的对称性与图像的性质方面起到了重要的作用。
奇函数是指满足$f(-x)=-f(x)$的函数，而偶函数是指满足$f(-x)=f(x)$的函数。
通过利用奇偶性的性质，可以更好地简化函数的计算和图像的观察，同时也可以推导出更多的函数性质和结论。
第四，周期性思想。
周期函数是指满足$f(x+T)=f(x)$的函数，其中T称为函数的周期。
周期性思想在高中数学的解题中扮演了非常重要的角色。
通过刻画函数图像的周期性，可以更好地理解和分析函数的特点，推导出函数的周期和对称轴等性质，进一步简化问题。
综上所述，高中数学中的函数主要体现了函数的定义域与值域思想、单调性思想、奇偶性思想和周期性思想。
这四个思想在理论学习和实际问题中的应用非常广泛，是高中数学中的核心内容。
通过深入理解和应用这些思想，可以更好地掌握函数的概念和性质，提高数学解题的能力。
高中数学函数的概念和性质数学是一门抽象的学科，而函数是其中一个最基本、最重要的概念之一。
函数在高中数学中占据着非常重要的地位，它不仅是数学的基础，也是理解其他数学分支的关键。
本文将介绍高中数学函数的概念和性质。
一、概念函数是一种数学关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在函数中，输入的值被称为自变量，输出的值被称为因变量。
函数可以用各种符号表示，例如f(x)、g(x)等。
高中数学中主要研究的是实函数，即自变量和因变量都是实数。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
例如，对于函数f(x)=x^2，定义域是所有实数集合R，而值域是非负实数集合[0，+∞)。
二、性质1. 定义域与值域：函数的定义域和值域是函数的基本性质。
在确定定义域和值域时，我们需要注意函数的特殊情况，例如有理函数的分母不能为零等。
2. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴的对称性。
如果对于定义域内的任意x值，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于定义域内的任意x值，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数随着自变量增大或减小而变化的趋势。
如果对于定义域内的任意两个数a和b（a < b），有f(a) ≤f(b)，则函数为递增函数；如果对于定义域内的任意两个数a和b（a < b），有f(a) ≥ f(b)，则函数为递减函数。
4. 极值与最值：函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
我们可以通过求导数或研究函数的图像来确定函数的极值和最值。
5. 对称轴与顶点：对于二次函数，它们的图像通常是一个抛物线。
抛物线的对称轴是垂直于底边并通过顶点的直线，而顶点是抛物线的最低点或最高点。
6. 图像的平移和伸缩：通过对函数进行平移和伸缩，我们可以改变函数的图像。
例如，对于函数f(x)，f(x + a)表示将函数图像向左平移a 个单位，而f(kx)（k>1）表示将函数图像在x轴方向上压缩，函数图像变窄。
函数性质知识点总结函数是数学中的常见概念，它是描述变量之间关系的一种数学工具。
函数性质是指函数在定义域上所具备的特征和特点。
在学习函数性质时，我们经常需要了解函数的定义和图像，以及它们在数轴上的位置和形状。
这篇文章将总结函数性质的几个重要知识点。
1.定义域和值域：函数的定义域是指函数中所有自变量可能取值的集合，即可以使函数有意义的自变量的范围。
函数的值域是指函数所有可能取值的集合，即函数的输出值的范围。
在研究函数性质时，我们经常需要确定函数的定义域和值域，以便分析函数的特点。
2.单调性：函数的单调性是指函数在定义域上取值的变化趋势。
函数可以是递增的，即随着自变量的增大，函数的值也增大；也可以是递减的，即随着自变量的增大，函数的值减小。
我们可以通过函数的导数或斜率来判断函数的单调性。
3.奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于坐标原点的对称性。
如果对任意x，都有f(x)=f(-x)，则函数是偶函数；如果对任意x，都有f(x)=-f(-x)，则函数是奇函数；如果既不满足偶函数的条件，也不满足奇函数的条件，则函数既不是偶函数也不是奇函数。
4.周期性：函数的周期性是指函数具有以一些常数T为周期的特点。
如果对任意x，都有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数，而T是函数的周期。
例如，正弦函数和余弦函数就是周期函数，它们的周期是2π。
5.极值点和极值：函数的极值点是指函数在定义域上取得的最大值或最小值的点。
函数的极值是指函数的最大值或最小值。
我们可以通过求解函数的导数等于0的方程来找到极值点。
极大值是函数的局部最大值，极小值是函数的局部最小值。
6.零点和方程：函数的零点是指使函数等于零的自变量的值。
我们可以通过解函数的方程来找到函数的零点。
函数的方程是指使函数等于一个常数的方程。
例如，如果我们要找出一个多项式函数的零点，我们就需要解多项式方程。
7.渐近线：函数的渐近线是指函数图像在一些特定位置或方向上的趋势。
常见的渐近线有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
函函数数的的定定义义域域、、值值域域、、单单调调性性、、奇奇偶偶性性、、对对称称性性、、 反反函函数数、、伸伸缩缩平平移移变变换换、、零零点点问问题题知知识识点点大大全全一、函数的定义域1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；例.（05江苏卷）函数y =________________________2、求函数定义域的两个难点问题 （1）知道f(x)的定义域（a ，b ），求f(g(x))的定义域：转化为解不等式a<g(x)<b ； （2）知道f(g(x)）的定义域(a ，b)，求f(x)的定义域：转化为求g(x)的值域。
例3：（1）()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。
（2）(21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域。
例4：设2()lg2x f x x +=-，则2()()2x f f x+的定义域为__________ 变式练习：24)2(x x f -=-，求)(x f 的定义域。
二、函数的值域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。
主要是含绝对值函数例：1．（直接法）2123y x x =++2．2．()2f x = 3．（换元法）12-+-=x x y4．4. （Δ法） 432+=x xy 5. 11y 22+-=x x6. 6. (分离常数法) ①1+=x x y ②31(24)21x y x x -=-≤≤+ 7. (单调性)3([1,3])2y x x x=-∈-8.①y =，②y = (结合分子/分母有理化的数学方法)9．(图象法)232(12)y x x x =+--<≤ 10．(对号函数)82(4)y x x x=+≥ 11. (几何意义)21y x x =+--三、函数的单调性复合函数的单调性：（同增异减）设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。
两个函数f(x)、g(x)之间的基本性质： 增+增=增 增—减=减 减+减+减 减—增=减例：1判断函数)()(3R x x x f ∈-=的单调性。
2函数)(x f 对任意的R n m ∈,，都有1)()()(-+=+n f m f n m f ，并且当0>x 时，1)(>x f ，（1）求证：)(x f 在R 上是增函数；⑵若4)3(=f ，解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4.(高考真题)已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （ ）（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73（D ）1[,1)7四、函数的奇偶性常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称； 5．0)(=x f 除外的所有函数奇偶性满足：奇函数±奇函数=奇函数 奇函数×奇函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 奇函数×偶函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 6．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称；②看f(x)与f(-x)的关系 例：1 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .2 已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数。
（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；3 已知)(x f 在（－1，1）上有定义，且满足),1()()()1,1(,xyyx f y f x f y x --=--∈有 证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数；4 若奇函数))((R x x f ∈满足1)2(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f _______五、函数的周期性1．（定义）若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，T 是它的一个周期。
说明：nT 也是)(x f 的周期。
（推广）若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期 对照记忆：()()f x a f x a +=-说明：f(x)的周期为2a; ()()f a x f a x +=-说明：f(x)关于直线x=a 对称。
2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a例：1 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为（ ） (A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)22 定义在R 上的偶函数()f x ，满足(2)(2)f x f x +=-，在区间［-2,0］上单调递减，设( 1.5),(5)a f b f c f =-==，则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若f(2005)= .4 已知)(x f 是(-∞+∞，)上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当0≤≤x 1时，f(x)=x ，则f(7.5)=________5设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+，当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式；⑶计算：六、函数的对称性我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++= 对称（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
得证。
若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2(cb a + 对称 （3）函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。
但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。
两个函数的图象对称性1、 )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。
2、 )(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。
3、 )(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。
5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。
6、 )(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2ba x +=对称。
七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域； 2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。
3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x 对称； （2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a ，从中求出x ，即是f-1(a)； （4）f-1[f(x)]=x;（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f--1(x)的图象上； （6）y=f(x)的图象与其反函数y=f--1(x)的图象的交点一定在直线y=x 上; 例：设函数()y f x =的反函数为1()y fx -=，且(21)y f x =-的图像过点1(,1)2，则1()y f x -=的图像必过（A ）1(,1)2 （B ）1(1,)2（C ）(1,0) （D ）(0,1)八、函数的平移伸缩变换1、平移变换：（左+ 右- ，上+ 下- ）即kx f y x f y h x f y x f y k k h h +=−−−−−→−=+=−−−−−→−=><><)()()()(,0;,0,0;,0上移下移左移右移对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）)()()()()()()()()()()()(1x f y x f y x f y x f y x fy x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x x y xy y x =−−−−−−−−−→−==−−−−−−−−−−→−==−−→−=--=−−→−=-=−→−=-=−→−=-=轴下方图上翻轴上方图，将保留边部分的对称图轴右边不变，左边为右原点轴轴 例：1．f(x)的图象过点(0,1)，则f(4-x)的反函数的图象过点（ ） A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4) 2．作出下列函数的简图：（1）y=|log x2|； （2）y=|2x-1|； （3） y=2|x|；九、函数的零点问题1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.问题1:那么在[]2,2-上函数?问题2:函数2()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗?引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗? 解法二:几何解法(1).()e 2x f x x =+- 可化为2xe x =-+．画出函数xy e =和2y x =-+的图象，可观察得出C 正确.函数零点、方程的根与函数图像的关系(牢记) 函数()()()y F x f x g x ==-有零点方程()()()0F x f x g x =-=有实数根函数()()12,y f x y g x == 图像有交点.1.例A变式1：若函数为()lg cos f x x x =-，则有 个零点.变式2：若函数为()lg cos f x x x=-，则有 个零点.解:由()lg cos 0f x x x =-=,可化为lg cos x x =,画出lg y x =和cos y x =的图像,可得出（3）:若关于x 的方程2a x x a =+()0>a 有两个不同的实数根,求a 的取值范围.解1:设2,y a x y x a==+,分别画两函数的图像,两图像有两个不同的交点即方程2a x x a=+有两个不同的实数根.xa y 2=与a x y +=的图像，当1=a 时，在第一象限平行，第二象限有一个交点，当1<a 时只有一个交点在第二象限，当1>a 时有两个交点，解2:设211,y x y x a a==+,分别画两函数的图像,,两图像有两个不同的交点即方程2a x x a=+有两个不同的实数根.只有当a x a y 112+=的斜率小于1时有两个交点，即211a <，1a >.2.利用零点性质求参数的取值范围探究：32()69f x x x x a =-++在x R ∈上有三个零点，求a 的取值范围. 解：由22()3129f x x x '=-+令()0f x '>，得3x >或x <13x <<()f x ∴在(,1)-∞，(3,)+∞(1,3)上单调递减()=(1)4f x f ∴=极大值4a >-()=(3)0f x f a =<极小值40a ∴-<<.变式1：方程32690x x x a -++=解，求a 的取值范围. 解：由方程32690x xx a -++=解，即3269x x x a -+=-11 / 11 由()3269f x x x x =-+的图像可得：04a ∴≤≤变式2：3290x ax x -+=在[]2,4上有实数解，求a 的取值范围. 解1：由3299,[2,4]x x a x x x x +==+∈，13[6,]2a ∈. 变式3：若不等式3290x ax x -+≥在[]2,4上恒成立，求a 的取值范围. 解：转化为[]9(),1,3a x x x ≤+∈恒成立问题，即[]min 9(),1,3a x x x ≤+∈得](,6a ∈-∞.课堂小结 解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、等价转换等方法，注重导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用可以有效解决和零点相关的问题.。
