第07讲 向量组的相关性、秩和极大线性无关组汇总
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极大线性无关组知识点总结一、定义极大线性无关组是指一个向量组中,任意添加一个向量都会使得向量组线性相关。
具体而言,假设有一个向量组V={v1,v2,…,vk},若V中的向量组线性无关,并且任意向量w加入V后得到的新向量组V∪{w}线性相关,则V称为极大线性无关组。
简单来说,极大线性无关组就是一个线性无关的向量组,再添加任何一个向量都会使得向量组变成线性相关。
二、性质1. 极大线性无关组中向量的个数是唯一的,即同一个向量组的极大线性无关组中向量的个数相同。
2. 极大线性无关组和其它线性无关组之间存在包含关系,即每一个极大线性无关组都是该向量组的一个线性无关组,而不是每一个线性无关组都是极大线性无关组。
3. 极大线性无关组的向量组合成的矩阵是满秩矩阵。
4. 极大线性无关组的个数不大于向量组的维数。
三、判定方法1. 利用行列式的性质进行判断。
若向量组V={v1,v2,…,vk}的秩r等于其向量的个数k,则V是极大线性无关组。
2. 利用向量之间的线性组合进行判断。
若向量组V={v1,v2,…,vk}中的任意一个向量都不能由其余向量线性表示,则V是极大线性无关组。
3. 利用高斯消元法进行判断。
将向量组V={v1,v2,…,vk}构成的矩阵进行行变换化为阶梯型矩阵,如果矩阵的秩等于向量的个数k,则V是极大线性无关组。
四、定理1. 极大线性无关组的向量个数不大于向量组的维数。
即在n维向量空间中的向量组的极大线性无关组中向量的个数不超过n。
2. 向量组的任意一个极大线性无关组都可以作为向量组的基。
3. 如果一个矩阵的行(列)向量是极大线性无关组,那么这个矩阵是满秩矩阵。
4. 如果一个矩阵是满秩矩阵,那么其行(列)向量就是极大线性无关组。
5. 在有限维向量空间V中,任意一个线性无关组都可以扩充成V的一组基。
五、应用1. 线性代数中的变换矩阵:极大线性无关组可以用来构造线性变换的变换矩阵,并且这个变换矩阵一定是满秩矩阵。
向量组的秩向量组的秩向量组的秩⏹向量组的秩与极大线性无关组⏹向量组的等价向量组的秩⏹极大线性无关组与秩的定义⏹几个相关定理向量组的秩定义1如果向量组A :α1, α2, …, αm 中的部分向量组A 1:12,,,r i i i (1) 向量组A 1线性无关;(2) 向量组A 中任何一个向量可由A 1线性表出,满足条件: 极大线性无关组与秩的定义则称A 1为向量组A 的极大线性无关组,极大线性 .,,,21r R m 无关组所含向量的个数称为向量组的秩.记为:向量组的秩线性无关的向量组的极大线性无关组是其本身.由向量组秩的定义,向量组α1, α2, … ,αm线性无关⇔向量组α1,α2, … ,αm线性相关⇔R(α1, α2, …,αm)=m;R(α1,α2,…,αm) m注R(0, 0, …, 0)=0向量组的秩例1解由于α1,α2线性无关,α3= 2α1-α2,所以α1,α2是该向量组的一个极大线性无关组. 显然α1,α3与α2,α3也是这个向量组的极大线性无关组.求向量组α1=(1,-1,0),α2=(0,1,2),α3=(2,-3,-2)的极大线性无关组.向量组的秩从这个例子可以看出,那么,同一个向量组的不同的极大线性无关组所含向量的个数是否相同呢?一个线性相关的非零向量组,一定存在极大线性无关组,并且它的极大线性无关组不是唯一的.下面将回答这一问题.向量组的秩如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组β1, β2, …, βr线性表出,并且m>r,定理1(多由少表示,则多必相关)那么向量组α1,α2, …,αm线性相关.几个相关定理向量组的秩证12(,,,) (1,2,,),i i i in a a a i m 12(,,,) (1,2,,)j j j jn b b b j r 由条件1122, 1,2,,i i i ir r k k k i m 以这两个向量组的向量为行向量(m +r ) ×n 矩阵C , 然后对矩阵C 作做初等行变换,得到设向量组的秩于是R (C )=R (C 1),则R (A )≤R (C ) =R (C 1)≤r <m ,1212r m C121000r C , 由定理3.2.3,向量组α1,α2, …,αm 线性相关. 证毕.向量组的秩,α2, …,αm中的每一个向量均可推论如果向量组α1, β2, …, βr线性表出,并且α1,α2, …,αm 由向量组β1线性无关,那么m≤r.(此推论为定理1的逆否命题)向量组的秩证12;,,, s i i i 12,,,rj j j 要证s=r.设向量组α1,α2, …,αm 的两个极大线性无关组分别为由于为极大线性无关组,12,,,s i i i 12,,,r j j j 可由其线性表出,所以线性无关,得r ≤s ;12,,,r j j j 同理可证,s ≤r. 由定理1的推论,又于是, s =r.一个向量组中任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等.定理2向量组的秩若一个向量组的秩为r, 那么这向量组中的r 个线性无关的向量与这向量组本身的关系如何呢?向量组的秩这个例子提供了求一个向量组的部分组为其极大线性无关组的方法.例2设向量组α1,α2, …,αm 的秩为r ,试证:α1,α2, …,αm 中任意r 个线性无关的向量均为该向量组的一个极大线性无关组.。
求向量组的秩与最大无关组、对于具体给出的向量组,求秩与最大无关组1、求向量组的秩(即矩阵的秩)的方法:为阶梯形矩阵【定理】 矩阵的行秩等于其列秩,且等于矩阵的秩 •(三秩相等)① 把向量组的向量作为矩阵的列(或行)向量组成矩阵2 护1 -2 O OO O >因为阶梯形矩阵的列秩为 2,所以向量组的秩为 2 .阶梯形矩阵后可求•2 30 -1 -20 0 0 0」②对矩阵 A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B ;③阶梯形 B 中非零行的个数即为所求向量组的秩.【例1】 求下列向量组 a i =(1,2, 3, 4) , a 2 =( 2, 3, 4, 5),a 3 =(3, 4, 5, 6)的秩. a i ,a 2 ,a 3为列向量作成矩阵 A ,用初等行变换将A 化为阶梯形矩阵后可求2 -1 -2 -3—石丿 解2:以a i ,a 2 ,a 3为行向量作成矩阵 A ,用初等行变换将 A 化为因为阶梯形矩阵的行秩为2,所以向量组的秩为 2 .2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1逐个选录法给定一个非零向量组 A : :T, : 2,…,:-n①设0丰0,则线性相关,保留②加入:2,若:2与:1线性相关,去掉:2;若:2与:-1线性无关,保留「1 , :-2;③依次进行下去,最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组:T T T一1,2, -1 , >2 - 2, 3,1 , : 3 一4,1,-1 ,的最大无关组解:因为a1非零,故保留a1取a2,因为a1与a2线性无关,故保留a1, a2取a3,易得a3=2a1+a2,故a1, a2 , a3线性相关。
所以最大无关组为a1, a2方法2初等变换法【定理】矩阵A经初等行变换化为B,则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性证明从略,下面通过例子验证结论成立.向量组::1=(1,2,3) T, :2=(-1,2,0) T, :-3=(1,6,6) T技性关系:耳=绍十耳 厲=2酉十爲丹=2歼十丹L由上可得,求向量组的最大线性无关组的方法:(1) 列向量行变换① 把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵 A ;② 对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B ;③ A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组,即为最大无关组.【例 3】求向量组:冷=(2,1,3,-1) T ,「2=(3,-1,2,0) T ,「3=(1,3,4,-2) T ,為=(4,-3,1,1) T的秩和一个最大无关组并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。
向量组的秩和最大线性无关组 引例:对于方程组12312312321221332x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+=-⎩容易发现其有效方程的个数为2个,因为第3个方程可由第1个方程减去第2个方程得到(或者第3个方程是第1个方程和第2个方程的线性组合);由于本章的内容是用向量的关系来研究方程组解的情况,进而从方程组3个方程对应的3个向量来说“有用”(或者也可以说成等价有效)的最少的向量是2个。
因此,对于一个给定的向量组,其中“有用”(或者也可以说成等价有效)的最少的向量应该有多少个呢?在此我们提出最大线性无关组的概念: 最大线性无关组:在s ααα,,,21Λ中,存在ip i i ααα,,,21Λ满足:(1)ip i i ααα,,,21Λ线性无关;(2)在ip i i ααα,,,21Λ中再添加一个向量就线性相关。
则称ip i i ααα,,,21Λ是s ααα,,,21Λ的一个最大线性无关组,注:Ⅰ、不难看出条件(2)等价的说法还有s ααα,,,21Λ中任一向量均可由ip i i ααα,,,21Λ线性表示;或者亦可以说成s ααα,,,21Λ中任意1p +个向量均线性相关;Ⅱ、从最大线性无关组的定义可以看出最大线性无关组与原先的向量组可以相互线性表示,进而最大线性无关组与原先的向量组是等价的(即有效的最少的方程构成的方程组与原先的方程组是等价的);Ⅲ、从上面的方程组可以看出同解的有效方程组可以是第1、2两个方程构成,也可以是第2、3两个方程构成(因为第1个方程可以看成第2、3两个方程的和),因此从其对应的向量组来说,向量组的最大线性无关组是不唯一的;Ⅳ、可以发现,虽然同解的有效方程组的形式可以不一样,但是同解的有效方程组中所含的方程的个数是唯一的,即从其对应的向量组来说,最大线性无关组虽然不唯一,但是最大线性无关组中所含向量的个数唯一的。
这是从数的角度反映了向量组的性质,在此给出向量组的秩的概念:向量组的秩:称最大线性无关组中所含向量的个数为向量组的秩,如上面定义中ip i i ααα,,,21Λ是s ααα,,,21Λ的一个最大线性无关组,则称s ααα,,,21Λ的秩为p ,记为12(,,,)s R p ααα=L 。
极大线性无关组知识点总结1. 引言极大线性无关组是线性代数中的重要概念之一,它在矩阵理论、线性方程组求解、向量空间等领域有着广泛的应用。
本文将从基本概念、性质、求解方法等方面对极大线性无关组进行详细介绍和总结。
2. 基本概念2.1 极大线性无关组的定义极大线性无关组是指一个向量组中的向量集合,满足其中的向量是线性无关的,并且再添加任意一个向量就会导致线性相关。
2.2 线性相关与线性无关线性相关是指向量组中存在不全为零的线性组合等于零向量的情况。
线性无关是指向量组中不存在非零的线性组合等于零向量的情况。
3. 极大线性无关组的性质3.1 极大线性无关组的向量个数极大线性无关组的向量个数等于向量组的秩(矩阵中的列秩或行秩)。
3.2 极大线性无关组的存在性任意一个向量组都存在一个极大线性无关组。
3.3 极大线性无关组的扩充一个线性无关向量组的极大线性无关组可以通过添加新的向量来扩充。
4. 求解极大线性无关组的方法4.1 初等变换法利用矩阵的初等行变换或初等列变换,将向量组转化为行阶梯形矩阵或列阶梯形矩阵,然后选取非零行或非零列对应的向量即可得到极大线性无关组。
4.2 矩阵的秩通过计算矩阵的秩,可以得到向量组的秩,从而确定极大线性无关组的向量个数,再通过初等变换等方法选择对应的向量。
5. 应用领域5.1 线性方程组的求解通过求解线性方程组的极大线性无关组,可以简化线性方程组的求解过程。
5.2 向量空间的基极大线性无关组可以作为向量空间的一组基,用于表示向量空间中的任意向量。
5.3 矩阵的秩矩阵的秩可以通过求解矩阵的极大线性无关组来确定,进而用于计算矩阵的特征值、特征向量等。
6. 总结极大线性无关组是线性代数中的重要概念,它具有一系列的性质和求解方法。
通过对极大线性无关组的研究和应用,可以简化线性方程组的求解过程,确定向量空间的基,计算矩阵的秩等。
在实际应用中,了解和掌握极大线性无关组的相关知识,对于理解和解决与线性代数相关的问题具有重要的意义。
线性代数之向量的秩、极大线性无关组和正交矩阵的方法总结
秩是考研数学线性代数的最重要内容之,下面小编为大家总结有关向量的秩,极大线性无关组和正交矩阵的求解方法。
一、求极大线性无关组的步骤:
1.将向量组作为列向量组成矩阵A(如果是行向量,则转置后再计算);
2.对矩阵A作初等行变换,化为阶梯型矩阵,阶梯型矩阵中非零行的个数即为向量组的秩;
3.在阶梯型矩阵中标出每个非零行的主元,主元所在列即对应原向量组的一个极大线性无关组
注意:向量组的极大线性无关组不止一个;注意只能做行变换。
二、向量组的秩
求向量组秩的步骤:
1.将向量组作为列向量组成矩阵A(如果是行向量,则转置后再计算);
2.对矩阵A作初等行变换,化为阶梯型矩阵,阶梯型矩阵中非零行的个数即为向量组的秩;
关于向量组的秩,还有以下计算规律:
三、正交化和正交矩阵
一组线性无关向量组的正交规范化方法步骤如下:
题型一:求向量组的秩和极大线性无关组
例1:
解:按照求向量组的秩和极大线性无关组的方法进行求解:
题型二:正交化和正交矩阵
例2:
解:利用向量正交的定义求解。