第07讲 向量组的相关性、秩和极大线性无关组汇总

极大线性无关组知识点总结一、定义极大线性无关组是指一个向量组中，任意添加一个向量都会使得向量组线性相关。

具体而言，假设有一个向量组V={v1,v2,…,vk}，若V中的向量组线性无关，并且任意向量w加入V后得到的新向量组V∪{w}线性相关，则V称为极大线性无关组。

简单来说，极大线性无关组就是一个线性无关的向量组，再添加任何一个向量都会使得向量组变成线性相关。

二、性质1. 极大线性无关组中向量的个数是唯一的，即同一个向量组的极大线性无关组中向量的个数相同。

2. 极大线性无关组和其它线性无关组之间存在包含关系，即每一个极大线性无关组都是该向量组的一个线性无关组，而不是每一个线性无关组都是极大线性无关组。

3. 极大线性无关组的向量组合成的矩阵是满秩矩阵。

4. 极大线性无关组的个数不大于向量组的维数。

三、判定方法1. 利用行列式的性质进行判断。

若向量组V={v1,v2,…,vk}的秩r等于其向量的个数k，则V是极大线性无关组。

2. 利用向量之间的线性组合进行判断。

若向量组V={v1,v2,…,vk}中的任意一个向量都不能由其余向量线性表示，则V是极大线性无关组。

3. 利用高斯消元法进行判断。

将向量组V={v1,v2,…,vk}构成的矩阵进行行变换化为阶梯型矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数k，则V是极大线性无关组。

四、定理1. 极大线性无关组的向量个数不大于向量组的维数。

即在n维向量空间中的向量组的极大线性无关组中向量的个数不超过n。

2. 向量组的任意一个极大线性无关组都可以作为向量组的基。

3. 如果一个矩阵的行（列）向量是极大线性无关组，那么这个矩阵是满秩矩阵。

4. 如果一个矩阵是满秩矩阵，那么其行（列）向量就是极大线性无关组。

5. 在有限维向量空间V中，任意一个线性无关组都可以扩充成V的一组基。

五、应用1. 线性代数中的变换矩阵：极大线性无关组可以用来构造线性变换的变换矩阵，并且这个变换矩阵一定是满秩矩阵。

向量组的秩向量组的秩向量组的秩⏹向量组的秩与极大线性无关组⏹向量组的等价向量组的秩⏹极大线性无关组与秩的定义⏹几个相关定理向量组的秩定义1如果向量组A :α1, α2, …, αm 中的部分向量组A 1：12,,,r i i i (1) 向量组A 1线性无关;(2) 向量组A 中任何一个向量可由A 1线性表出，满足条件: 极大线性无关组与秩的定义则称A 1为向量组A 的极大线性无关组,极大线性 .,,,21r R m 无关组所含向量的个数称为向量组的秩.记为:向量组的秩线性无关的向量组的极大线性无关组是其本身.由向量组秩的定义，向量组α1, α2, … ,αm线性无关⇔向量组α1,α2, … ,αm线性相关⇔R(α1, α2, …,αm)=m；R(α1,α2,…,αm) m注R(0, 0, …, 0)=0向量组的秩例1解由于α1,α2线性无关，α3= 2α1-α2,所以α1,α2是该向量组的一个极大线性无关组. 显然α1,α3与α2,α3也是这个向量组的极大线性无关组.求向量组α1=(1,-1,0),α2=(0,1,2),α3=(2,-3,-2)的极大线性无关组.向量组的秩从这个例子可以看出，那么，同一个向量组的不同的极大线性无关组所含向量的个数是否相同呢?一个线性相关的非零向量组，一定存在极大线性无关组，并且它的极大线性无关组不是唯一的.下面将回答这一问题.向量组的秩如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组β1, β2, …, βr线性表出，并且m>r，定理1(多由少表示,则多必相关)那么向量组α1,α2, …,αm线性相关.几个相关定理向量组的秩证12(,,,) (1,2,,),i i i in a a a i m 12(,,,) (1,2,,)j j j jn b b b j r 由条件1122, 1,2,,i i i ir r k k k i m 以这两个向量组的向量为行向量(m +r ) ×n 矩阵C , 然后对矩阵C 作做初等行变换，得到设向量组的秩于是R (C )=R (C 1)，则R (A )≤R (C ) =R (C 1)≤r <m ，1212r m C121000r C ， 由定理3.2.3,向量组α1,α2, …,αm 线性相关. 证毕.向量组的秩,α2, …,αm中的每一个向量均可推论如果向量组α1, β2, …, βr线性表出，并且α1,α2, …,αm 由向量组β1线性无关，那么m≤r.(此推论为定理1的逆否命题)向量组的秩证12;,,, s i i i 12,,,rj j j 要证s=r.设向量组α1,α2, …,αm 的两个极大线性无关组分别为由于为极大线性无关组，12,,,s i i i 12,,,r j j j 可由其线性表出，所以线性无关，得r ≤s ；12,,,r j j j 同理可证,s ≤r. 由定理1的推论,又于是, s =r.一个向量组中任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等.定理2向量组的秩若一个向量组的秩为r, 那么这向量组中的r 个线性无关的向量与这向量组本身的关系如何呢?向量组的秩这个例子提供了求一个向量组的部分组为其极大线性无关组的方法.例2设向量组α1,α2, …,αm 的秩为r ，试证:α1,α2, …,αm 中任意r 个线性无关的向量均为该向量组的一个极大线性无关组.。

求向量组的秩与最大无关组、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵【定理】 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩 •（三秩相等）① 把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵2 护1 -2 O OO O >因为阶梯形矩阵的列秩为 2,所以向量组的秩为 2 .阶梯形矩阵后可求•2 30 -1 -20 0 0 0」②对矩阵 A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B ;③阶梯形 B 中非零行的个数即为所求向量组的秩.【例1】 求下列向量组 a i =(1,2, 3, 4) , a 2 =( 2, 3, 4, 5),a 3 =(3, 4, 5, 6)的秩. a i ,a 2 ,a 3为列向量作成矩阵 A ,用初等行变换将A 化为阶梯形矩阵后可求2 -1 -2 -3—石丿 解2:以a i ,a 2 ,a 3为行向量作成矩阵 A ,用初等行变换将 A 化为因为阶梯形矩阵的行秩为2,所以向量组的秩为 2 .2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1逐个选录法给定一个非零向量组 A : :T, : 2,…,:-n①设0丰0,则线性相关，保留②加入：2，若：2与：1线性相关，去掉：2;若：2与：-1线性无关，保留「1 , :-2；③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组：T T T一1,2, -1 , >2 - 2, 3,1 , ： 3 一4,1,-1 ,的最大无关组解：因为a1非零，故保留a1取a2,因为a1与a2线性无关，故保留a1, a2取a3,易得a3=2a1+a2，故a1, a2 , a3线性相关。

所以最大无关组为a1, a2方法2初等变换法【定理】矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性证明从略,下面通过例子验证结论成立.向量组：：1=(1,2,3) T, ：2=(-1,2,0) T, ：-3=(1,6,6) T技性关系：耳=绍十耳 厲=2酉十爲丹=2歼十丹L由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法：(1) 列向量行变换① 把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵 A ；② 对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B ;③ A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组.【例 3】求向量组：冷=(2,1,3,-1) T ,「2=(3,-1,2,0) T ,「3=(1,3,4,-2) T ,為=(4,-3,1,1) T的秩和一个最大无关组并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。