平面直角坐标系中的规律探索类问题

【九年级】2021年全国中考数学规律探索试题汇编山（2021•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（?1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2021的坐标为（0，?2）．考点：中心对称；规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2021的坐标．解答：解：点P1（2，0），P2（?2，2），P3（0，?2），P4（2，2），P5（?2，0），P6（0，0），P7（2，0），从而可得出6次一个循环，∵ =503…3，∴点P2021的坐标为（0，?2）．故答案为：（0，?2）．点评：本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．.（2021• 潍坊）当白色小正方形个数等于1,2，3…时，由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________.（用表示，是正整数）（2021• 淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2021个格子中的整数是.－4abc6b－2…（2021•湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是85 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：先根据第一行的第一列与第二列相差2，往后分别相差3，4，5，6，7，第二行的第一列与第二列相差3，往后分别相差4，5，6，7，第三行的第一列与第二列相差4，往后分别相差5，6，7，8，由此得出第七行的第一列与第二列分别相差8，往后分别相，9，10，11，12，13，从而求出答案．解答：解：第一行的第一列与第二列差个2，第二列与第三列差个3，第三列与第四列差个4，…第六列与第七列差个7，第二行的第一列与第二列差个3，第二列与第三列差个4，第三列与第四列差个5，…第五列与第六列差个7，第三行的第一列与第二列差个4，第二列与第三列差个5，第三列与第四列差个6，第四列与第五列差个7，…第七行的第一列与第二列差个8，是30，第二列与第三列差个9，是39，第三列与第四列差个10，是49，第四列与第五列差个11，是60，第五列与第六列差个12，是72，第六列与第七列差个13，是85；故答案为：85．点评：此题考查了数字的变化类，这是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解决本题的关键是得到每行中前一列与后一列的关系．（2021• 衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…….则四边形A2B2C2D2的周长是▲ ；四边形A2021B2021C2021D2021的周长是▲ .（2021• 台州）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是。

中考数学复习专题——规律探索一.选择题1. （2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，1，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（ ）A ．33B ．301C ．386D ．5712.（2018•山东烟台市•3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆 下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（ ）3.（2018•山东济宁市•3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图中空白处的是（ ）A ．B ． B.C ．D ．4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…， 则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．0二、填空题 1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P3A2A3，…都是等2.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x 的图象，点A1的坐标为（1，，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x 轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l 于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（92）n﹣1 ．3.（2018•山东东营市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，那么点A2018的纵坐标是20173()2．4.（2018•临安•3 分.）已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若10+ba=102×ba符合前面式子的规律，则a+b= ．5. （2018•广西桂林•3分）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然记为6. （2018•广西南宁•3 分）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可 得 30+31+32+…+32018 的结果的个位数字是 ．7. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，已知等边△A BC 的边长是 2，以 B C 边上的高 AB 1 为边作等边三角 形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1 的 B 1C 1边上的高 AB 2 为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△A B 2C 2 的B 2C 2边上的高 A B 3 为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2 的面积为 S 1，△B 2C 1B 3 的面积为 S 2，△B 3C 2B 4 的面积为 S 3，如此下去，则 S n = ．8.（2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）在平面直角坐标系中，点 A （3，1）在射线 O M 上，点 B （3，3）在 射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt △A BA 1，以 BA 1 为直角边作第二个 Rt △BA 1B 1，以A 1B 1 为直角边作第三个 Rt△A 1B 1A 2，…，依次规律，得到 R t △B 2017A 2018B 2018，则点 B 2018 的纵坐标为 ． 9.（2018•广东•3 分）如图，已B 1 作 B 1A 2∥OA 1 交双曲线于点 A 2，过 A 2 作 A 2B 2∥A 1B 1 交 x 轴于点 B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过 B 2 作 B 2A 3∥B 1A 2 交双曲线于点 A 3，过 A 3 作 A 3B 3∥A 2B 2 交 x 轴于点 B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点 B 6 的坐标 为 （ ） ．nn201810. （2018•广西北海•3 分）观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81， 35= 243，…，根据其中规律可得 01220183+3+3+...3+的结果的个位数字是 。

图形规律探索题【例1】如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上,且OA 1=A 1A 2=1,以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3,以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4,…,依此规律,得到等腰直角三角形OA 2017A 2018,则点A 2017的坐标为【答案】（0,2）.【解析】解：由题意知：A 1(0,1),A 2(1,1),OA 2=A 2A 3,OA 3=2,∴A 3(2,0),同理,A 4(2,－2),A 5(0,－4),A 6(－4,－4),A 7(－8,0),A 8(－8,8),A 9(0,16)……每隔8个点恰好处于同一坐标系或象限内,2017÷8=252……1,即点A 2017在y 轴正半轴上,横坐标为0,各点纵坐标的绝对值为：20,20,21,21,22,22,23,23,……2017÷2=1008……1,可得点A 2017的纵坐标为：21008, 故答案为（0,21008）.【变式1-1】如图,在一个单位为 1 的方格纸上,△A 1A 2A 3,△A 3A 4A 5,△A 5A 6A 7,…,是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2,4,6,…的等腰直角三角形．若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1(2,0),A 2(1,-1),A 3(0,0),则依图中所示规律,A 2019的横坐标为（ ）A ．-1008B ．2C ．1D ．1011【答案】A.【解析】解：观察图形可知,奇数点在x轴上,偶数点在象限内,所以A2019在x轴上,A1,A5,A9,A13……,A4n－3在x正半轴,4n－3=2019,n=505.5,所以A2019不在x正半轴上；A3（0,0）,A7（－2,0）,A11（－4,0）,A15（－8,0）……,3=4×0+3,7=4×1+3,11=4×2+3,15=4×3+3,……,2019=4×504+3,∴－2×504=－1008,即A2019的坐标为（－1008,0）,故答案为：A.【变式1-2】如图,在平面直角坐标系中,将正方形O ABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,称为一次旋转,依此方式,……,绕点O连续旋转 2 019 次得到正方形O A2 019B2 019C2 019,如果点A的坐标为(1,0),那么点B2 019 的坐标为.【答案】,0）.【解析】由旋转及正方形性质可得：B(1,1),B1(0, ),B2(－1, 1),B3(－,0),B4(－1, －1),B5(0, －),B6(1, －1),B7(, 0),B8(1, 1),……∴360÷45=8,2019÷8=252……3,∴点B2019落在x轴负半轴上,即B2019(,0),故答案为：,0）.【例2】如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…,若点A（53,0）,B（0,4）,则点B2016的横坐标为（）A．5 B．12 C．10070 D．10080 【答案】D．【解析】解：由图象可知点B2016在第一象限,∵OA=53,OB=4,∠AOB=90°,在Rt△BOA中,由勾股定理得：AB=133,可得：B2（10,4）,B4（20,4）,B6（30,4）,…∴点B2016横坐标为10080．故答案为：D．【变式2-1】我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1,3,6,10…）和“正方形数”（如1,4,9,16…）,在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m+n 的值为（）A．33 B．301 C．386 D．571 【答案】C．【解析】解：由图形知：第n个三角形数为1+2+3+…+n＝()12n n+,第n个正方形数为n2,当n＝19时,()12n n+＝190＜200,当n＝20时,()12n n+＝210＞200,所以最大的三角形数：m＝190；当n＝14时,n2＝196＜200,当n＝15时,n2＝225＞200,所以最大的正方形数：n＝196,则m+n＝386,所以答案为：C．1.如图,边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°．连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1,使∠D1AC=60°；连接AC1,再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2,使∠D2AC1=60°；…,按此规律所作的第n个菱形的边长为．【答案】1n -．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形,∠DAB =60°,∴AB =BC =1,∠ACB =∠CAB =30°,∴AC ,同理可得：AC 1=2,AC 213,……第n 个菱形的边长为：1n -,故答案为：1n -．2.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB =30°,点A 的坐标为（2,0）,过点A 作AA 1⊥OB ,垂足为点A 1,过A 1作A 1A 2⊥x 轴,垂足为点A 2；再过点A 2作A 2A 3⊥OB ,垂足为点A 3；再过点A 3作A 3A 4⊥x 轴,垂足为点A 4…；这样一直作下去,则A 2017的横坐标为（ ）A ．32 ）2015B ．32 ）2016C ．32 ）2017D ．32）2018 【答案】B ．【解析】解：∵∠AOB =30°,点A 坐标为（2,0）,∴OA =2,∴OA 1OA OA 2OA 1=2×2⎝⎭,OA 3OA 2=2×3⎝⎭…,∴OA n =）n OA =2）n ．∴OA 2018）2018=32）2016故答案为：B．3.如图,函数()()()4022824x x xyx x--≤<⎧=⎨-+≤<⎩的图象记为C1,它与x轴交于点O和点A1,将C1绕点A1选择180°得C2,交x轴于点A2……,如此进行下去,若点P(103,m)在图象上,则m的值是（）A. -2B. 2C. -3D. 4【答案】A．【解析】解：由图可知：横坐标每间隔8个单位,函数值相同,即函数图象重复周期为8,103÷8=12……5,当x=5时,y=－2,即m=－2,故答案为：A.4.如图,弹性小球从点P(0,1)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到正方形DABC 的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第 1 次碰到正方形的边时的点为P1(-2,0),第 2 次碰到正方形的边时的点为P2,……,第n 次碰到正方形的边时的点为Pn,则点P2 019的坐标是（）A．(0,1) B．(-4,1) C．(-2,0) D．(0,3)【答案】D．【解析】解：根据图象可得：P1(-2,0),P2(-4,1),P3(0,3),P4(-2,4),P5(-4,0),P6(0,1),P7（－2,0）……2019÷6=336……3,即P2019（0,3）,故答案为：D.5.如图,在坐标系中放置一菱形 OABC ,已知∠ABC =60°,点 B 在 y 轴上,OA =1,先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转,每次翻转 60°,连续翻转2019次,点 B 的落点依次为 B 1,B 2,B 3,…,则 B 2 019 的坐标为（ ）A . (1010,0)B .(1310.5, 2)C . (1345, 2)D . (1346,0)【答案】D .【解析】解：连接AC ,如图所示．∵四边形OABC 是菱形,∴OA =AB =BC =OC ．∵∠ABC =60°,∴△ABC 是等边三角形．∴AC =AB ．∴AC =OA ．∵OA =1,∴AC =1．由图可知：每翻转6次,图形向右平移4．∵2019=336×6+3,∴点B 3向右平移1344（即336×4）到点B 2019．∵B 3的坐标为（2,0）,∴B 2019的坐标为（1346,0）,故答案为：D ．6.如图,在直角坐标系中,已知点A （﹣3,0）,B （0,4）,对△OAB 连续作旋转变换,依次得到△1,△2,△3,△4,…,则△2019的直角顶点的坐标为（ ）A．（8076,0）B．（8064,0）C．（8076,125）D．（8064,125）【答案】A．【解析】解：∵点A（﹣3,0）、B（0,4）,由勾股定理得：AB＝5,由图可知,三个三角形为一个循环,经历一次循环前进的水平距离为：12,2019÷3＝673,直角顶点在x轴上,673×12＝8076,∴△2019的直角顶点的坐标为（8076,0）．故答案为：A．7.如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1,l2,过点（1,0）作x轴的垂线交l1于点A1,过点A1作y轴的垂线交l2于点A2,过点A2作x轴的垂线交l1于点A3,过点A3作y轴的垂线交l2于点A4,…依次进行下去,则点A2017的坐标为．【答案】（21008,21009）．【解析】解：由图可知：A1（1,2）,A2（﹣2,2）,A3（﹣2,﹣4）,A4（4,﹣4）,A5（4,8）,…,∵2017=504×4+1,∴点A2017在第一象限,∵2017=1008×2+1,∴A2n+1（（﹣2）n,2（﹣2）n）（n为自然数）．∴A2017的坐标为（（﹣2）1008,2（﹣2）1008）=（21008,21009）．故答案为：（21008,21009）．8.如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018,如果点A的坐标为（1,0）,那么点B2018的坐标为（）A．（1,1）B．（）C．（）D．（﹣1,1）【答案】D．【解析】解：∵四边形OABC是正方形,OA＝1,∴B（1,1）,连接OB,在Rt△OAB中,由勾股定理得：OB,由旋转性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3,∴B1（,B2（﹣1,1）,B3,0）,…,360÷45=8,每8次一循环,2018÷8＝252……2,∴点B2018的坐标为（﹣1,1）.故答案为：D．9.将直角三角形纸板OAB按如图所示方式放置在平面直角坐标系中,OB在x轴上,OB＝4,OA＝．将三角形纸板绕原点O逆时针旋转,每秒旋转60°,则第2019秒时,点A的对应点A′的坐标为（）A．（﹣3,﹣3）B．（3,﹣3）C．（﹣3,3）D．（0,2 3）【答案】A．【解析】解：360÷60=6,即每6秒一循环,2019÷6=336……3,即2019秒时, 点A与其对应点A′关于原点O对称,∵OA＝4,∠AOB＝30°,可得：A(3, 3),∴第2019秒时,点A的对应点A′的坐标为(－3, －3),故答案为：A.10.正方形ABCD的位置在坐标中如图所示,点A、D的坐标反别为（1,0）、（0,2）,延长CB交x轴于点A1,作正方形A1B1C1C,延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去,第2017个正方形的面积为【答案】4032352⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA, ∴∠ADO+∠DAO=90°,∠DAO+∠BAA1=90°, ∴∠ADO=∠BAA1,∵∠DOA=∠ABA1,∴△DOA∽△ABA1,∴11 2OA BAOD AB==,由勾股定理得：AB=AD=5,∴BA1,∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC,面积=2⎝⎭,同理,第3个正方形的面积为：232⎛⎝⎭,第4个正方形的面积为：23322⎛⨯⎝⎭,……∴第2017个正方形的面积为：4032352⎛⎫⎪⎝⎭.即答案为：4032352⎛⎫⎪⎝⎭.11.如图所示,一动点从半径为 2 的⊙O 上的A0 点出发,沿着射线A0O 方向运动到⊙O 上的点A1 处,再向左沿着与射线A1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A2 处；接着又从A2 点出发,沿着射线A2O 方向运动到⊙O 上的点A3 处,再向左沿着与射线A3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A4 处；……按此规律运动到点A2 017 处,则点A2 017 与点A0 间的距离是【答案】4.【解析】解：由图分析可知,A6点与A0点重合,2017÷6=336……1,即点A2 017 与A1重合,∵⊙O的半径为 2 ,∴点A2 017 与点A0 间的距离是4.12.如图,由一些点组成形如正多边形的图案,按照这样的规律摆下去,则第n（n＞0）个图案需要点的个数是．【答案】n 2+2n .【解析】解：由图知,第1个图形点数为3+0×3,第2个图形点数为4+1×4；第3个图形点数为5+2×5；第4个图形点数为6+3×6……第n 个图形点数为：（n +2）+（n －1）（n +2）=n 2+2n ,即答案为：n 2+2n .13..如图所示的坐标系中放置一菱形OABC ,已知∠ABC =60°,点B 在y 轴上,OA =1,先将菱形OABC 沿x 轴的正方形无滑动翻转,每次翻转60°,连续翻转2017次,点B 的落点分别是B 1,B 2,B 3,……,则B 2017的坐标为【答案】（.【解析】解：由题意知：OB 即B∴B 1,=32,即B 1(32),由图可知,每翻折6次,图形向右平移4个单位,2017=336×6+1,求得：B 2017（336×4+ 32,即B 2017（）,故答案为：（.14.如图,在平面直角坐标系中,点A 1,A 2,A 3,……和点B 1,B 2,B 3,……分别在直线15y x b =+和x 轴上,△OA 1B 1,△B 1A 2B 2,△B 2A 3B 3……都是等腰直角三角形,若点A 1(1,1),则点A 2019的纵坐标是【答案】201832⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】解：如图,分别过A 1,A 2,A 3作x 轴的垂线,∵点A (1,1)在直线15y x b =+上, ∴b =45, 由△OA 1B 1是等腰直角三角形,得：OB 1=2,设A 2(x ,y ),则B 1C 2=x －2,y = x －2,∴x －2=1455x +,解得：x =72,y =32,即A 2的纵坐标为：32； 同理可得：A 3的纵坐标为：29342⎛⎫= ⎪⎝⎭, 即A n 的纵坐标是A n －1纵坐标的32倍, 即A 2019的纵坐标为：201832⎛⎫ ⎪⎝⎭.15.在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的位置如图所示,点 A 的坐标为(1,0),点 D 的坐标为(0,2),延长CB 交x 轴于点A 1,作正方形 A 1CC 1B 1；延长 C 1B 1 交 x 轴于点 A 2,作正方形 A 2C 1C 2B 2；…,按照这样的规律作正方形,则点B2 019的纵坐标为．【答案】201932⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】解：过B作BH⊥x轴于H,由一线三直角模型,可知△ADO≌△BAH,即BH=OA=1,即B点纵坐标为1,同理得：B1点纵坐标为32,B2点纵坐标为232⎛⎫⎪⎝⎭,B3点纵坐标为332⎛⎫⎪⎝⎭,……B2019点纵坐标为201932⎛⎫⎪⎝⎭,即答案为：2019 32⎛⎫⎪⎝⎭.。

初中数学规律探究题型“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。

这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。

不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。

因此规律探究类问题一直成为命题的热点。

题型一、一阶等差规律一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。

主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。

这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。

1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。

2、首差法通项公式（通法）（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个数记为n a （2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为d ，即=d 后项—前项 （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：d n a a n )1(1-+=（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点),(n a n ，设通项公式为：b kn a n +=，代入前2组数据，通过解一次函数方法，即可得到通项公式；例1、如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要（ ）枚棋子．【解析】用一阶等差实质进行分析。

根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个． 第2个图案中棋子的个数5611+=个．⋯．每个图形都比前一个图形多用6个．∴第30个图案中棋子的个数为5296179+⨯=个．答案：179例2、观察下列数：14，39，516，725，936⋯，它们按一定规律排列，那么这一组数第n 个数是( ) A ．221n n - B ．221n n + C ．221(1)n n ++ D ．221(1)n n -+ 【解析】法一：观察分析。

1．（2010山东威海）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为A ．2009235⎪⎭⎫⎝⎛ B ．2010495⎪⎭⎫⎝⎛C ．2008495⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．4018235⎪⎭⎫⎝⎛2、（2010湖北武汉）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1234,,,A A A A …表示为，则顶点55A 的坐标为（ ）A 、（13，13）B 、（－13，－13）C 、（14，14）D 、（－14，－14） 3、（2010江苏扬州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC ，AB =6，AC =7，BC =8．如果跳蚤开始时在BC 边的P 0处，BP 0=2．跳蚤第一步从P 0跳到AC 边的P 1（第一次落点)处，且CP 1=CP 0；第二步从P 1跳到AB 边的P 2（第一次落点)处，且AP 2=AP 1；第三步从P 2跳到BC 边的P 3（第三次落点)处，且BP 3=BP 2；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n 次落点为P n （n 为正整数），则点P 2007与P 2010之间的距离为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 4、（2010广西百色）如图，在直角坐标系中，射线OA 与x 轴正半轴重合，以O 为旋转中心，将OA 逆时针旋转:OA ⇒1OA ⇒2OA ⇒…⇒n OA …,旋转角,21︒=∠AOA ,421︒=∠OA A ︒=∠832OA A ,… 要求下一个旋转角(不超过︒360)是前一个旋转角的2倍.当旋转角大于︒360时，又从︒2开始旋转，即,4,210998︒=∠︒=∠OA A OA A …周而复始.则当n OA 与y 轴正半轴重合时，n 的最小值为（ ） （提示：2+22+23+24+25+26+27+28=510） A. 16 B. 24 C.27D. 3215、（2007年苏州市中考题） 如图，小明作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积。

0000000一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内角为（）度分析：n边形的内角和是（n-2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数．而多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要大，大的值小于1．则用内角的和除以180所得值，加上2，比这个数大的最小的整数就是多边形的边数．0000000因而多边形的边数是18，则这一内角为（18-2）×180-2750=130度．故答案为：130．0000000点评：正确理解多边形的内角和是180度的整数倍，以及多边形的角的范围，是解题的关键．00000001、（2007•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为2、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，-1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（14，2）00000000000000．0000000分析：从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第100个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．故答案为（14，2）．0000000点评：此题的考点在于对坐平面直角坐标系的熟练运用能力，学生也可从其它方面入手寻找规律．00000003、在平面直角坐标系中,有若干个横纵坐标分别为整数的点,其顺序按图中“→”方向排列（1，0）（2，0）（2，1）(1,1)(1,2)(2,2)（2，2）的后面为（3，2）（3，1）（3，0）（4，0）（4，1）（4，2）（4，3）（3，3）（2，3）（1，3）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）（5，0）（6，0）（6，1）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为？如图，思路如下：当n为一个奇数平方时，设m²=n，则第n个点坐标为(m,0)，第n-1个为(m,1) ，第n-2个为(m,2) 。

2022年中考总复习专题---规律探索问题一、考题概述：最近几年，全国多数地市的中考都有找规律的题目，人们开始逐渐重视这一类数学题，研究发现数学规律题的解题思想，不但能够提高学生的考试成绩，而且更有助于创新型人才的培养。

但毕竟怎样才能把这种题目做好，是一个值得探究的问题，这类问题没有明确的知识方法可套，在现在的教科书上也很少触及这类问题。

纵观近几年的孝感中考试题，规律探索问题为必考内容，多数出现在填空题。

这类题目主要考查学生的综合分析问题和解决问题的能力。

现搜集整理此类题，望同学们从中总结经验和方法，以不变应万变。

二、常见类型及解法：常见三种类型：代数式中的规律、平面图形中的规律、空间图形中的规律。

解法有：观察法、函数法(即结果是一次函数式或二次函数式)、方程法等。

三、典例分析：1、（2007辽宁沈阳；代数式规律）有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为2、（2007山东日照；代数式规律）把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：12，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，…………按此规律，可知第n行有个正整数。

3、（2022年广西梧州；平面图形规律）如图，是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则＝．（用n的代数式表示）……n=1n=2n=34、（2007年孝感；平面图形规律）如上图，依次连结一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第六个正方形的面积是5、（2006年青岛；空间图形规律）如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n个几何体中只有两个．．面涂色的小立方体共有．个。

6、（2022年陕西；空间图形规律）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管。

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

规律探索一.选择题1.（2015湖南邵阳第10题3分）如图.在矩形ABCD中.已知AB=4.BC=3.矩形在直线上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置.再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置.….以此类推.这样连续旋转2015次后.顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）考点：旋转的性质；弧长的计算．.专题：规律型．分析：首先求得每一次转动的路线的长.发现每4次循环.找到规律然后计算即可．解答：解：转动一次A的路线长是：.转动第二次的路线长是：.转动第三次的路线长是：.转动第四次的路线长是：0.转动五次A的路线长是：.以此类推.每四次循环.故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π.2015÷4=503余3顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选：D．点评：本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用.发现规律是解决问题的关键．2.（2015湖北荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列.并按如下规律分组：（1）.（3.5.7）.（9.11.13.15.17）.（19.21.23.25.27.29.31）.….现有等式A m=（i.j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数）.如A7=（2.3）.则A2015=（）A．（31.50）B．（32.47）C．（33.46）D．（34.42）考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算出2015是第1008个数.然后判断第1008个数在第几组.再判断是这一组的第几个数即可．解答：解：2015是第=1008个数.设2015在第n组.则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008.即≥1008.解得：n≥.当n=31时.1+3+5+7+…+61=961；当n=32时.1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组.第1024个数为：2×1024﹣1=2047.第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923.则2015是（+1）=47个数．故A2015=（32.47）．故选B．点评：此题考查数字的变化规律.找出数字之间的运算规律.利用规律解决问题．3.（2015湖北鄂州第10题3分）在平面直角坐标系中.正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置.其中点B1在y轴上.点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上.已知正方形A1B1C1D1 的边长为1.∠B1C1O=60°.B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A． B． C． D．【答案】D.考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形．4. （2015•山东威海.第12 题3分）如图.正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2.正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切.正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切.…按这样的规律进行下去.A10B10C10D10E10F10的边长为（）A．B．C．D．考点：正多边形和圆．.专题：规律型．分析：连结OE1.OD1.OD2.如图.根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°.则△E1OD1为等边三角形.再根据切线的性质得OD2⊥E1D1.于是可得OD2=E1D1=×2.利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2.同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2.依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2.然后化简即可．解答：解：连结OE1.OD1.OD2.如图.∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形.∴∠E1OD1=60°.∴△E1OD1为等边三角形.∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切.∴OD2⊥E1D1.∴OD2=E1D1=×2.∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2.同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2.则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．故选D．点评：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份.依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．5．（2015•山东日照 .第11题3分）观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A．36 B．45 C．55 D．66考点：完全平方公式．.专题：规律型．分析：归纳总结得到展开式中第三项系数即可．解答：解：解：（a+b）2=a22+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1.8.28.56.70.56.28.8.1；第9个式子系数分别为：1.9.36.84.126.126.84.36.9.1；第10个式子系数分别为：1.10.45.120.210.252.210.120.45.10.1.则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．点：此题考查了完全平方公式.熟练掌握公式是解本题的关键6 , （2015•山东临沂,第11题3分）观察下列关于x 的单项式.探究其规律：x .3x 2.5x 3.7x 4.9x 5.11x 6.…. 按照上述规律.第2015个单项式是（ ） (A ) 2015x 2015. (B ) 4029x 2014. (C ) 4029x 2015. (D ) 4031x 2015.【答案】C 【解析】试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数.即系数为（2n －1）.而后面因式x 的指数是连续自然数.因此关于x 的单项式是.所以第2015个单项式的系数为2×2015－1=4029.因此这个单项式为.故选C考点：探索规律7．(2015·河南.第8题3分)如图所示.在平面直角坐标系中.半径均为1个单位长度的半圆O 1.O 2.O 3.… 组成一条平滑的曲线.点P 从原点O 出发.沿这条曲线向右运动.速度为每秒2个单位长度.则第2015秒时.点P 的坐标是（ ）A .（2014,0）B .（2015.－1）C . （2015,1）D . （2016,0）B 【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.∵半圆的半径r =1.∴半圆长度=π. ∴第2015秒点P 运动的路径长为：2π×2015. ∵2π×2015÷π=1007…1.∴点P 位于第1008个半圆的中点上.且这个半圆在x 轴的下方. ∴此时点P 的横坐标为：1008×2－1=2015.纵坐标为－1.∴点P (2015.－1) .第8题图”中的“○”的个数.若第n个“龟图”中有245个“○”.则n=（）A．14 B．15 C．16 D．17考点：规律型：图形的变化类．.分析：分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．解答：解：第一个图形有：5个○.第二个图形有：2×1+5=7个○.第三个图形有：3×2+5=11个○.第四个图形有：4×3+5=17个○.由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○.则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245解得：n1=16.n2=﹣15（舍去）．故选：C．点评：此题主要考查了图形的规律以及数字规律.通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键.注意公式必须符合所有的图形．8. （2015•四川省宜宾市.第7题.3分）如图.以点O为圆心的20个同心圆.它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、……、20.阴影部分是由第l个圆和第2个圆.第3个圆和第4个圆.…….第l9个圆和第20个圆形成的所有圆环.则阴影部分的面积为（B）A.231πB.210πC.190πD.171π9. （2015•浙江宁波.第10题4分）如图.将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠.使点A 落在BC 边上的A 1处.称为第1次操作.折痕DE 到BC 的距离记为1h ；还原纸片后.再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠.使点A 落在DE 边上的A 2处.称为第2次操作.折痕D 1E 1到BC 的距离记为2h ；按上述方法不断操作下去.经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为2015h .若1h =1.则2015h 的值为【 】A .201521 B .201421 C . 2015211-D . 2014212-【答案】D .【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理.【分析】根据题意和折叠对称的性质.DE 是△ABC 的中位线.D 1E 1是△A D 1E 1的中位线.D 2E 2是△A 2D 2E 1的中位线.… ∴21111122h =+=-. 32211111222h =++=-.42331111112222h =+++=-.…20152201420141111112222h =+++⋅⋅⋅+=-. 故选B二.填空题1．（2015•甘肃武威,第18题3分）古希腊数学家把数1.3.6.10.15.21.…叫做三角形数.其中1是第一个三角形数.3是第2个三角形数.6是第3个三角形数.…依此类推.那么第9个三角形数是 45 .2016是第 63 个三角形数．4. （2015•四川省内江市.第16题.5分）如图是由火柴棒搭成的几何图案.则第n个图案中有2n（n+1）根火柴棒．（用含n的代数式表示）考点：规律型：图形的变化类．.专题：压轴题．分析：本题可分别写出n=1.2.3.….所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．解答：解：依题意得：n=1.根数为：4=2×1×（1+1）；n=2.根数为：12=2×2×（2+1）；n=3.根数为：24=2×3×（3+1）；n =n 时.根数为：2n （n +1）．点评： 本题是一道找规律的题目.这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化.是按照什么规律变化的．5．(2015·深圳.第15题 分)观察下列图形.它们是按一定规律排列的.依照此规律.第56个图形有 个太阳。

探究点的坐标变化规律“图形与坐标”是“图形与几何”领域的主要内容之一其中有这样一类问题，根据已知点的变化情况，利用猜想、归纳、验证等方法，探究点的坐标变化规律.这类问题要求通过归纳概括，得到猜想和规律，并加以验证，这是提高合情推理能力的重要途径，也是培养创新精神的重要方法.现结合实例，对点的坐标规律探索作一个归类整理.一、循环规律例1 在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y ，我们把点(1,1)P y x -++叫做点P 的伴随点.已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ,点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得到点123,,,,,n A A A A ⋯⋯例如:点1A 的坐标为(3,1)，则点2A 的坐标为(0,4),…若点1A 的坐标为(,)a b ，则点2015A 的坐标为( )(A) (1,1)b a -++ (B) (,2)a b --+(C) (1,1)b a --+ (D) (,)a b析解 通过计算，得2(1,1)A b a -++，3(,2)A a b --+，4(1,1)A b a --+，5(,)A a b ，从而4个一循环，2015÷4=503…3，对应着3A ，选B.例2 如图1，在平面直角坐标系中，(1,1),(1,1),(1,2),(1,2)A B C D ----.把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A 处，并按A B C D A ----…的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )(A) (1,0)- (B) (1,2)- (C) (1,1) (D) (1,1)--析解 长方形的周长为10 ,10个一循环，线长÷10，其余数从0到9分别对应着(1,1),(0,1),(1,1),(1,0----(1,2),(0,2),(1,2),(1,-----20141020÷= …4， ∴对应(1,1)--，选D.例3 如图2的坐标平面上有一正五边形ABCDE ，其中C D 、两点坐标分别为(1 ,0)、(2 ,0).若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x 轴向右滚动，则滚动过程中，经过点(75,0)的是 (填A 、B 、C 、D 或E).析解 据题意知，5个点为一循环，将点的横坐标÷5，余数从0到4分别对应着B 、C 、D 、E 、A ，而75整除5，故填B.以上三题的问题情境不同，但解决方法异曲同工，通过仔细计算，得出正确规律;找 到几个数一循环，然后看余数是几便可找到对应的数.二、递进规律递进规律问题是坐标按照一定的规律递进变化，根据解决问题的方法不同又可分为两类:第一类:所有点可以按一定规律分类，每一类有各自的变化规律.先归纳其变化规律，再确定要求的点在哪一类.例4在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图3所示:(1)填写下列各点的坐标: 4A ( )，8A ( )，12A ( );(2)写出点4n A 的坐标(n 为正整数);(3)指出蚂蚁从点100A 到点101A 的移动方向.析解 解决此类问题通常有两种方法:①按照坐标变化规律对点进行分类，本题可把点分4类，第一类: 1A ，5A ，9A …；第二类: 2A ，6A ，10A …；第三类: 3A ，7A ，11A …；第四类: 4A ，8A ，12A …归纳出每一类坐标规律，分别为43(22,1)n A n --，42(21,1)n A n --，41(21,0)n A n --，4(2,0)n A n从第一类到第二类，第二类到第三类，第三类到第四类，第四类到第一类，…每一类到下一类移动方向依次为向右、向下、向右、向上，不断循环;②写出其中一类，再根据正方形各顶点与其关系写出其他类坐标.本题很容易写出4(2,0)n A n ，后退1个单位得41(21,0)n A n --；类似可得出42(21,1)n A n --，43(22,1)n A n --，移动方向同样可得.两种方法都需要在观察分析基础上进行分类归纳推理，第①种合情推理成分更多些，第②种逻辑推理成分更多些.第(1)问可直接求，也可代入通式，得4(2,0)A ，8(4,0)A ，12(6,0)A(2)问，点4n A 的坐标为4(2,0)n A n(3) 蚂蚁从点100A 到点101A 的移动方向为：向上变式 如图4，已知1(1,0)A 、2(1,1)A 、3(1,1)A -、4(1,1)A --、5(2,1)A -…则点2016A 的坐标析解 根据点A 所在象限，将所有点分成4类，42(,)n A n n -，41(,)n A n n --，4(,)n A n n --，43(,1)n A n n --因为2016整除4，所以2016A 在4n A 类，求出504n =，从而，2016(504,504)A -- . 解决此类问题需要仔细观察，对坐标进行分类，归纳每一类坐标规律.通过计算所属哪一类，求出n ，代入通式即可.第二类:点的位置按照一定程序变化，这类问题有一定的难度和灵活性，有时可以某些特殊位置的特殊点为突破口.例5 如图5，一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动.在第一秒，它从原点跳到点(0,1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动，即(0,0)(0,1)(1,1)(1,0)→→→→ ，且每秒跳动一个单位长度，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是( )(A) (4,0) (B) (5,0)(C) (0,5) (D) (5,5)析解 这里找到点落在哪一圈很重要.先考察特殊点，如第n 圈右上角顶点步数为(1)n n +，或者第n 圈最后一点步数为2(1)1n +-，再结合奇数圈顺时针方向，偶数圈逆 时针方向的跳动方向，确定要求的点的位置，最后得出点的坐标.因为235(51)1=+-，位 置落在第5圈的最后一步，顺时针方向，因而是(5,0)，选B .解决此类问题关键要找到最接近的数，以2016秒为例，因为44451980⨯=，与 2016 最接近，第2016秒在第44圈上，逆时针方向，2016198036-=，从(44,44)往左平移36个单位得坐标为(8,44).变式 将正整数按如图6所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标(,)x y ，且,x y 均为整数，如数5对应的坐标为(1,1)-，试探求2015对应的坐标.析解 观察发现标注数字为9、25、49…的特殊点，归纳规律，数字为2(21)n +的点的 坐标为(,)n n -. 22244201545(2221)2025<<=⨯+=2025∴对应的坐标为(22,22)-2015∴对应的坐标为(12,22)-例6 如图7，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,1)，(3,0)，(3,1)-…，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为( )(A) 14,0（） (B) 14,-1（）(C) 14,1（） (D) 14,2（）析解 从两个角度观察:(1)点数量的变化.点(1,0)，(2,0)， (3,0)，…所在纵列的点数分别为1,2,3个…，偶数列x 轴上方点数比下方多1个点.(2)方向的变化.偶数列向上，奇数列向下.因为121391100+++=<<+++ ，所以第100个点在第14列，方向向上，x 轴下方连同x 轴上的点有7个，因为100919-=，972-=，所以第100个点对应坐标为(14,2)，选D.以上问题一般在七、八年级的解决范围内，主要考查坐标知识和推理能力.当学习了全等、相似及三角函数等知识后，点的坐标规律的探索问题还将结合几何知识，把求坐标转化为求线段长度，然后通过猜想归纳得出结论例7如图8，在平面直角坐标系中，线段11OA =，1OA 与x 轴的夹角为30︒，线段121A A =，211A A OA ⊥，垂足为1A ;线段231A A =，3212A A A A ⊥，垂足为2A ;线段341A A =，4323A A A A ⊥，垂足为3A …按此规律，点2012A 的坐标为析解 这是递进规律第二类的模型，有几何知识的参与，遇见直角构造“三垂直”或“双直”模型是比较典型的方法.于是过点1A 作1AB x ⊥轴，作1AC //x 轴，2A C //y 轴，1AC 与2A C 相交于点C ，构造“双直”模型，求出点1A 的坐标以及1AC 、2A C 的长度，得2A 坐标，类似求3A 、4A 、5A 、6A 的坐标.观察归纳点的坐标的变化规律:当n 为奇数时，点n A 坐标为11)44n n -+ 当n 为偶数时，点n A 坐标为)44n n 把2012代入规律进行计算可得2012503)A。