29-第29课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(II)

金陵中学2011届高三数学校本讲义 ~ 113 ~第29课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质(II)一、学习要求1．能用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)描述周期现象．2．能将一些复杂的三角函数式化归为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式，并由此解决周期、最值、单调区间等问题．二、课前预习1．求下列函数的最小正周期：(1) y ＝3cos(π3－3x )，T ＝_2π3_； (2) y ＝2tan(π2x ＋π3)，T ＝_2_；(3) y ＝(1＋3tan x )cos x ，T ＝_2π_；(4) y ＝sin(2x －π4)－22sin 2x ，T ＝_π_．2．函数y ＝sin(2x －π3)的单调增区间为_[－π12＋k π，512π＋k π]，k ∈Z _，为了得到它的图象，只需把函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象_向左平移π4个单位_．3．若函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2 (其中ω＞0)的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为_32_．提示 kT ＝43π，即2k πω＝43π，k ∈Z ．4．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合．将A ，B 两点间的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝_10｜sin π60t ｜_，其中t ∈_[0，＋∞)_．提示 α＝2π60t ，由余弦定理得，d 2＝25＋25－50cos 2π60t ＝50－50cos 2π60t ＝100sin 2π60t ．5．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)＋b ．这段曲线的函数解析式是_y ＝10sin(π8x ＋34π)＋20，6≤x ≤14_．【知识与方法】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际应用，注意定义域．三、典型例题例1 已知函数f (x )＝cos 2(x ＋π12)，g (x )＝1＋12sin2x ． (1)设x ＝x 0是函数f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值； (2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调区间．解 (1) f (x )＝cos 2(x ＋π12)＝12[1＋cos(2x ＋π6)]＝12cos(2x ＋π6)＋12．班级____________ 姓名_______________ 第二章 三角函数由题意，令2x 0＋π6＝k π，解得2x 0＝－π6＋k π，k ∈Z ．g (x 0)＝1＋12sin2x 0＝1＋12sin(k π－π6)，若k 为奇数，g (x 0)＝1＋12sin(π－π6)＝54；若k 为偶数，g (x 0)＝1＋12sin(－π6)＝34．(2) h (x )＝f (x )＋g (x )＝12cos(2x ＋π6)＋12＋1＋12sin2x＝12cos(2x ＋π6)＋12sin2x ＋32＝14sin2x ＋34cos2x ＋32＝12sin(2x ＋π3)＋32．令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，解得－512π＋k π≤x ≤π12＋k π，所以函数h (x )的单调增区间为[－512π＋k π，π12＋k π]，k ∈Z ；单调减区间为[π12＋k π，712π＋k π]，k ∈Z ．例2一半径为3m 的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现(图中点P 0)开始计算时间． (1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约要多少时间？解 (1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转，以水轮圆心O 为 原点，水平方向为x 轴方向，建立平面直角坐标系．设角ϕ(－π2＜ϕ＜0)是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．由OP 在t s 内转过的角为(4×2π60)t ＝2π15t ，由(＊)可知以以Ox 为始边，OP 为终边的角为2π15 t ＋ϕ．故P 点的纵坐标为3sin(2π15 t ＋ϕ)，则z ＝3sin(2π15t ＋ϕ)＋2．当t ＝0时，z ＝0，可得sin ϕ＝－23，因为－π2＜ϕ＜0，所以ϕ≈－0.73，故所求函数关系式为z ＝3sin(2π15 t －0.73)＋2，t ≥0．(2)令z ＝3sin(2π15 t －0.73)＋2＝5，得3sin(2π15t －0.73)＝1．取2π15 t －0.73＝π2，解得t ≈5.5， 即点P 第一次到达最高点大约要5.5s ．例3如图，在半径为2、圆心角为45︒的的扇形AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接平行四边形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，求这个内接平行四边形面积的最大值及相应的∠BOP 的值．金陵中学2011届高三数学校本讲义配套作业解 过P ，Q 分别作OB 的垂线，垂足为P'，Q'．设∠BOP ＝α，其中0＜α＜π4．因为OP ＝2，则PP'＝2sin α＝QQ'＝OQ'，OP'＝2cos α． 此时，S ＝P'Q'×PP'＝(2cos α－2sin α)2sin α＝4sin αcos α－4sin 2α＝2sin2α－2(1－cos2α)＝22sin(2α＋π4)－2．因为0＜α＜π4，所以π4＜2α＋π4＜34π，即22＜sin(2α＋π4)≤1．故当2α＋π4＝π2，即α＝π8时，S max ＝22－2．AB OQ N P Q'P' α班级____________ 姓名_______________ 第二章 三角函数第29课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质(II)1．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期为_π2_．2．已知函数f (x )＝2cos(k 4x ＋π3)－5的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值为_13_．3．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3) (其中ω＞0)满足f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)内有最小值，无最大值，则ω＝_143_．提示 区间内有一条对称轴方程为x ＝π4，则⎩⎨⎧T 2≥π12，π4ω＋π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤12，ω＝8k －103，k ∈Z ．4．函数f (x )＝sin(23x ＋π2)＋sin 23x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是_32π_．5．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (其中ω＞0)的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调减区间为_[π6＋k π，23π＋k π]，k ∈Z _．6．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋ϕ)的图象如图所示， f (π2)＝－23，则f (0)＝_23_． 提示 T ＝2(1112π－712π)＝23π，解得ω＝3．当x ＝712π时，712π×3＋ϕ＝32π，解得ϕ＝－π4．则f (π2)＝A cos(32π－π4)＝－23，即A sin π4＝23．或解 f (0)＝f (23π)，而π2与23π关于点712π对称．7．若某地温度T 是以天为周期的函数，此函数可用函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)＋b 近似表示，当t＝14时达到最高温度15o C ，当t ＝2时达到最低温度3o C ，则温度T (o C)和t 之间的函数关系是_ y ＝6sin(π12x －23π)＋9，x ≥0_．提示 2A ＝15－3＝12，B ＝15＋32＝9，T ＝24，得ω＝π12．8．半径为20cm 的飞轮逆时针匀速旋转，旋转1周恰好需要1分钟．轮周上一点1s 内经过的路程为_23π cm _．9．如图所示，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位 置P 0开始(∠xOP 0＝ϕ)，按逆时针方向以角速度ωrad ／s 做圆周运动．则 点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为_ y ＝r sin(ωt ＋ϕ) ，t ≥0_．金陵中学2011届高三数学校本讲义配套作业10．如果函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，那么a ＝_－1_．提示 y ＝sin2x ＋a cos2x ＝a 2＋1sin(2x ＋ϕ)，其中tan ϕ＝a ．当x ＝－π8时，－π4＋ϕ＝π2．11．已知函数f (x )＝A sin(3x ＋ϕ) (其中A ＞0，0＜ϕ＜π)在x ＝π12时取得最大值为4．(1) 求函数f (x )的最小正周期； (2) 求函数f (x )的解析式；(3) 若f (2α3＋π12)＝125，求s inα的值．解 (1)T ＝2π3．(2)由题意，A ＝4，当x ＝π12时，3×π12＋ϕ＝π2，解得ϕ＝π4．所以f (x )＝4sin(3x ＋π4)．(3) f (2α3＋π12)＝4sin[3×(2α3＋π12)＋π4]＝4sin(2α＋π2)＝125，解得cos2α＝35．又cos2α＝1－2sin 2α，所以sin 2α＝15，即sin α＝±55．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋ϕ) (其中ω＞0，｜ϕ｜＜π2)．(1)若cos π4cos ϕ－sin 34πsin ϕ＝0，求ϕ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．解 (1)因为cos π4cos ϕ－sin 34πsin ϕ＝cos π4cos ϕ－sin π4sin ϕ＝cos(π4＋ϕ)＝0，所以π4＋ϕ＝π2＋k π，k ∈Z ．又｜ϕ｜＜π2，所以ϕ＝π4．(2)f (x )＝sin(ωx ＋π4)，由题意，T ＝2πω＝2×π3，解得ω＝3，所以f (x )＝sin(3x ＋π4)．f (x )的图象平移后得g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]＝sin(3x ＋3m ＋π4)．若g (x )为偶函数，则3m ＋π4＝π2＋k π，解得m ＝π12＋k3π，k ∈Z ．班级____________ 姓名_______________ 第二章 三角函数QS又m ＞0，所以m min ＝π12． 13．如图，ABCD 是一块边长为100m 的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90m 的扇形小山，P 是TS ⌒上一点，其余都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR ，求长方形停车场的最大面积． 解 设∠MAP ＝α，其中0≤α≤π2．由题意，AP ＝90，则AM ＝90cos α，PM ＝90sin α．故S ＝PQ ×PR＝(100－90cos α)(100－90sin α)＝8100sin αcos α－9000(sin α＋cos α)＋10000 ＝4050[(sin α＋cos α)2－1]－9000(sin α＋cos α)＋10000．令t ＝sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)，因为0≤α≤π2，所以π4≤α＋π4≤34π，即1≤t ≤2．此时，S ＝4050t 2－9000t ＋5950．因为对称轴t ＝90008100＝109∈[1，2]，所以当t ＝2，即α＝π4时，S max ＝14050－9000 2 (m 2)．。