实验6-3 阿贝成像与空间滤波实验
【实验目的】
1、 通过实验了解空间频率、空间频谱的概念以及傅里叶光学的基本思想。
2、 了解阿贝成像的原理，理解透镜成像的物理过程。
3、 了解如何通过空间滤波的方法，实现对图象的改造。
【实验原理】
1、傅里叶光学变换
设有一个空间二维函数()y x g ,，其二维傅里叶变换为：
()()[]()()[]
dxdy y f x f i y x g y x g F f f G y x y x +-==⎰⎰∞π2exp ,,, （6-3-1）
式中x f 、y f 分别为x 、y 方向的空间频率，()y x g ,是()y x f f G ,的逆傅里叶变换，即：
()[]()()[]y x y x y
x y x df df y f x f i f f G f f G F y x g +==⎰⎰∞-π2exp ,,),(1 (6-3-2)
该式表示：任意一个空间函数()y x g ,可表示为无穷多个基元函数()[]y f x f i y x +π2exp 的线性叠加。
()y x y x df df f f G ,是相应于空间频率为x f 、y f 的基元函数的权重，()y x f f G ,称为()y x g ,的空间频谱。
理论上可以证明，对在焦距为f 的会聚透镜的前焦面上放一振幅透过率为()y x g ,的图像作为物，并用波长为λ的单色平面波垂直照明，则在透镜后焦面()y x '',上的复振幅分布就是()y x g ,的傅里叶变换()
y x f f G ,，其中空间频率x f 、y f 与坐标x '、y '的关系为： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧'
='=f y f f x f y x λλ （6-3-3） 故()y x '',面称为频谱面（或傅氏面），由此可见，复杂的二维傅里叶变换可以用一透镜来实现，称为光学傅里叶变换，频谱面上的光强分布，也就是物的夫琅禾费衍射图。
2、阿贝成像原理
阿贝（E.Abbe ）在1873年提出了相干光照明下显微镜的成像原理。
他认为，在相干光照明下，显微镜的成像可分为两个步骤：第一步是通过物的衍射光在物镜的后焦面上形成一个衍射图；第二步是物镜后焦面上的衍射图复合为（中间）像，这个像可以通过目镜观察到。
成像的这两个步骤本质上就是两次傅里叶变换。
第一步把物面光场的空间分布()y x g ,变为频谱面上空间频率分布()y x f f G ,，第二步则是再作一次变换，又将()
y x f f G ,还原到空间分布()y x g ,。
图6-3-1显示了成像的两个步骤。
我们假设物是一个一维光栅，单色平行光垂直照在光栅上，经衍射分解成为不同方向的很多束平行光（每一束平行光相应于一定的空间频率），经过物镜分别聚焦在后焦面上形成点阵。
然后代表不同空间频率的光束又重新在像面上复合而成像。
如果这两次变换完全是理想的，即信息没有任何损失，则像和物应完全相似（可能有放大或缩小），但一般说来像和物不可能完全相似，这是由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度较大的高次成分（高频信息）不能进入到物镜而被丢弃了，所以像的信息总是比物的信息要少一些。
高频信息主要反映了物的细节，如果高频信息受到了孔径的限制而不能达到像平面，则无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像平面上显示出这些高频信息所反映的细节，这是显微镜分辨率受到限制的根本原因。
特别是当物的结构非常精细（如很密的光栅）或物镜孔径非常小时，有可能只有０级衍射（空间频率为０）能通过，则在像平面上完全不能形成像．
3、空间滤波
根据上面讨论，透镜成像过程可看作是两次傅里叶变换，即从空间函数()y x g ,变为频谱函数
()y x f f G ,，再变回到空间函数()y x g ,（忽略放大率）。
显然如果我们在频谱面（即透镜的后焦面）上放一些不同结构的光阑，以提取（或摒弃）某些频段的物信息，则必然使像面上的图像发生相应的变化，这样的图像处理称为空间滤波，频谱面上这种光阑称为滤波器。
滤波器使频谱面上一个或一部分频率分量通过，而挡住其它频率分量，从而改变了像面上图像的频率成分。
例如光轴上的圆孔光栏可以作为一个低通滤波器，而圆屏就可以用作为高通滤波器。
【实验仪器及光路】
实验仪器包括：光学平台或光具座、氦氖激光器、针孔滤波器、透镜、作为物的光栅、滤波器、白色像屏等。
实验光路如图6-3-2所示，扩束镜0L 与准直透镜c L 共焦，使c L 输出平行光束．在公共焦点上安置针孔滤波器ＳＦ，以使光斑亮度均匀。
依次放上物（12～１５条／ｍｍ的一维光栅）和焦距为f 的透镜L ，调共轴。
调节透镜位置，使光栅清晰的成像在４ｍ以外的白屏上，此时物的位置接近于透镜L 的前焦平面。
【实验内容】
1、观测一维光栅的频谱
（1）在透镜Ｌ后缓慢移动白屏，寻找光束会聚点，即透镜L 的后焦平面（频谱面），可看到０级、±１级、±２级、±３级……一排清晰的衍射光点。
衍射角越大，衍射级次越高，空间频率也越高。
（2）将白纸放在频谱面上，通过放大镜观察频谱，并用针尖分别扎透0级、±１级、±２级、±３级衍射点的中心。
然后，将有扎孔的纸拿到读数显微镜下测出各级衍射点与零级衍射点的距离
1x '±、2x '±、3x '±，求出相应的空间频率 1x f 、 2x f 、3x f ，并由基频1x f （d
f x 11=，d 为光栅常数）求出光栅常数d 。
2、阿贝成像原理实验
频谱面上的衍射点如图6-3-３（a ）所示。
在频谱面上放上可调狭缝或滤波模板，使通过的衍射点如图6-3-３所示：（a ）全部；（b ）零级；（c ）零和±1级；（d ）零和±２级；（e ）除零级外。
分别记录像面特点和条纹间距，并做出定性解释。
3、阿贝一波特实验（方向滤波）
（1）光路不变，将一维光栅的物换成二维正交光栅，在频谱面上可以观察到二维分立的光点阵（频谱），像面上可以看到放大了的正交光栅像，测出像面上的网格间距。
（2）在频谱面放上可旋转狭缝光阑（方向滤波器），在下述情况：（a ）只让光轴上水平的一行频谱分量通过；（b ）只让光轴上垂直的一行频谱分量通过；（c ）只让光轴上45°的一行频谱分量通过。
记录像面上的图像变化、像面上条纹间距，并做出适当的解释。
将所观测的现象、数据添入表6-3-1中。
方向滤波可去除某些方向的频谱或仅让某些方向的频谱通过，以突出图像的某些特征。
4．高低通滤波
图6-3-４中，（a ）为低通滤波器，（b ）为高通滤波器，（c ）为带通滤波器。
低通滤波器的作用是滤掉高频成分，仅让靠近零级的低频成分通过。
它可以用来滤掉高频噪声，例如滤去有网格照片中的网状结构。
高通滤波器是一个中心部分不透光的小光屏，它能滤去低频成分而允许高频成分通过，可用于突出像的边沿部分或者实现像的衬度反转。
带通滤波器可以让某些需要的频谱分量通过，其余的被滤掉，可用于消除噪音。
图6-3-３一维光栅频谱与滤波器
表6-3-1
（1）低通滤波
将正交光栅与一个透明的“光”字重叠放在物平面上，光栅为１２～１５条／ｍｍ，而字的笔划粗细为毫米数量级，放大像如图6-3-5（a）所示。
通过透镜L成像在像平面上。
由于网格为一周期性的空间函数，它的频谱是有规律排列的分立点阵，而字迹是一个非周期性的低频信号，它的频谱是连续的．
将一个可变圆孔光阑放在频谱面上，逐步缩小光阑，直到像上不再有网格，但字迹仍然保留下来。
（2）高通滤波
将一漏光“+”字板作为物，可在像面上观察到物的像，见图6-3-5（b）。
在频谱面上放一圆屏光阑挡住谱面的中心部分，观察并记录像面上的图像变化。
【思考题】
1、透镜前焦面上是５０条／ｍｍ的一维光栅，其频谱面上的空间频率各是多少？相邻两衍射点间距离是多少？已知ｆ＝５.０cm， =632.8nm。
2、在低通滤波中，如果想滤掉字而保留光栅，应怎么办？
【参考资料】
1、张成英，光学实验，北京：电子工业出版社，1989.
2、朱自强，现代光学教程，成都：四川大学出版社，1990.
3、王秉超等，大学物理实验（下册），北京：高等教育出版社，2003.
4、李志超等，大学物理实验（第三册），北京：高等教育出版社，2001.。
