考点06 函数的奇偶性与周期性-2020年领军高考数学一轮必刷题(江苏版)

考点06 函数的奇偶性与周期性1．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，且对任意0x >都有成立，则不等式的解集是______.【答案】【解析】等价于0()0x f x ≠⎧⎨>⎩，令，则，当0x >时，有()'0g x >，故()g x 为()0,∞+上的增函数，而()10g =， 故当0x >时，()0g x >的解为()1,+∞， 故当0x >时，()0f x >的解为()1,+∞，因，故()g x 为偶函数，当0x >时，()0f x >等价于()0g x <，因()g x 为偶函数，故当0x <时，()0g x <的解为()1,0-即当0x <时，()0f x >的解为()1,0-， 综上，的解集是，填.2．已知函数则不等式的解集为____．【答案】【解析】 由题可得：函数为奇函数， 不等式等价于，即：当时，由，解得：当时，由，解得：综上所述：或所以不等式的解集为3．已知偶函数的定义域为R，且在[0，)上为增函数，则不等式的解集为_______．【答案】【解析】因为是偶函数，所以，所以等价于又在[0，)上为增函数，且，，所以.即：，解得：，即或所以的解集为4．已知函数是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m(m为常数)，则的值为____．【答案】【解析】为上的奇函数又本题正确结果：5．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______.【答案】【解析】设，则，所以．因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以当时，，当时，.当时，当0≤时，.所以0≤.当x＜0时，所以-2＜x＜0.综上不等式的解集为.故答案为：6．已知函数，且，则______【答案】-5【解析】设，则为奇函数，且．∵，∴．∴．故答案为．7．已知函数是定义在上的奇函数，且．当时，，则实数a 的值为_____．【答案】2【解析】函数是定义在上的奇函数，所以，，又因为，所以，，即，即，所以，，解得：.故答案为：2.8．已知，函数为偶函数，且在上是减函数，则关于的不等式的解集为_________．【答案】【解析】解：因为＝为偶函数，所以，，，又因为在上是减函数，所以，，由二次函数图象可知：的解集为，的图象看成是的图象向右平移2个单位，得到，所以，的解集为故答案为：9．奇函数是R上的增函数，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】根据题意，为R上的奇函数，且，则，且又由是R上的增函数，若，则有，则有，解可得：，即不等式的解集为；故答案为．10．若函数是奇函数，则为___________．【答案】【解析】若函数是奇函数，则f（﹣x）＝1即解得：m＝2，故答案为：2．11．已知函数为奇函数，则不等式的解集为_______．【答案】【解析】依题意，有：，即再由对数不等式的解法得到结果.＝，所以，即：，所以，k＝±1，当k＝1时，没有意义，舍去，所以，k＝－1，不等式即为：＜1＝所以，0＜＜2，由＞0，得：x＜－1或x＞1，由＜2，即＜0，即＞0，得：x＜1或x＞3，综上可得：x＜－1或x＞3，所以，解集为：（－∞，－1）∪（3，＋∞）12．已知函数，则不等式的解集为________.【答案】【解析】,∴函数在R上位增函数，∵，∴函数为奇函数，由可得又函数在R上为增函数，∴，∴不等式的解集为故答案为：13．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，．若f (a)＜4＋f (－a)，则实数a的取值范围是_____．【答案】【解析】∵f (x)为奇函数，∴∴f (a)＜4＋f (－a)可转化为f (a)＜2作出的图象，如图：由图易知：a＜2故答案为：14．定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点，则实数k的取值范围为__．【答案】【解析】由定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，可得函数f（x）在区间[﹣3，3]的图象如图所示，在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点，等价于y＝f（x）的图象与直线y＝k（x+3）在区间[﹣3，3]内有6个交点，又y＝k（x+3）过定点（﹣3，0），观察图象可知实数k的取值范围为：，故答案为：（0，]15．已知函数()f x 的周期为4，且当(0,4]x ∈时，，则的值为______. 【答案】0 【解析】∵函数()f x 的周期为4，且当(]0,4x ∈时，∴∴故答案为：0 16．已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数.若，，使成立，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】根据题意，对于函数，当时，，可得：当时，，有最大值，最小值，当时，，函数的图像关于直线对称，则此时有，又由函数是定义在区间内的2级类周期函数，且；则在上，，则有，则，则函数在区间上的最大值为8，最小值为0；对于函数，有，得在上，，函数为减函数，在上，，函数为增函数，则函数在上，由最小值.若，，使成立，必有，即，解可得，即的取值范围为.故答案为：.17．函数满足，且在区间上，则的值为____．【答案】【解析】由得函数的周期为4，所以因此18．若是定义在上的周期为3的函数，且,则的值为_________．【答案】【解析】f（x）是定义在R上的周期为3的函数，且，可得f（0）=f（3），即有a=﹣18+18=0，则f（a+1）=f（1）=1+1=2，故答案为：219．函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于______________ 【答案】132【解析】由f (x )⋅f (x +2)=13得,f (x +2)f (x +4)=13， 即f (x )=f (x +4)，所以函数f (x )是周期为4的周期函数。

考点06 函数的奇偶性与周期性1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝cos xD ．f (x )＝e x－e －x【答案】D【解析】对于A ，定义域不关于原点对称，故不是；对于B, f (－x )＝e －x＝1ex ≠－f (x )，故不是；对于C ，f (－x )＝cos(－x )＝cos x ≠－f (x )，故不是；对于D ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，是奇函数，故选D.2．设函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R)，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )在R 上单调递增 C ．f (x )的值域为R D ．f (x )是周期函数【答案】D【解析】因为f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故A 正确；因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，故B 正确；f (x )的值域为R ，故C 正确；f (x )不是周期函数，故D 错误．3．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R)，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是( ) A ．2和1 B ．2和0 C ．2和－1 D ．2和－2【答案】B【解析】设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2.4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B ．13 C ．－12D ．12【答案】B【解析】∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴b ＝0.又a －1＝－2a ，∴a ＝13，∴a ＋b ＝13.故选B.5．已知y ＝f (x )是偶函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝sin x ，而y ＝f (x ＋1)是奇函数，则a ＝f (－3.5)，b ＝f (7)，c ＝f (12)的大小关系是( ) A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜bD ．a ＜b ＜c【答案】B【解析】因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )， 因为y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以f (x )＝－f (2－x )， 所以f (－x )＝－f (2－x )，即f (x )＝f (x ＋4)． 所以函数f (x )的周期为4，又因为当0≤x ≤1时，f (x )＝sin x ，所以函数在[0，1]上单调递增， 因为a ＝f (－3.5)＝f (－3.5＋4)＝f (0.5)；b ＝f (7)＝f (7－8)＝f (－1)＝f (1)，c ＝f (12)＝f (12－12)＝f (0)，又因为f (x )在[0，1]上为增函数， 所以f (0)＜f (0.5)＜f (1)，即c ＜a ＜b .6．已知函数f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98【答案】B【解析】由f (x ＋4)＝f (x )知，函数f (x )的周期为4，则f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， 又f (3)＝f (－1)，且f (－1)＝2，∴f (2 019)＝2.7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－2x ，∴－f (x )＝x 2－2x ，∴f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.8．设e 是自然对数的底数，函数f (x )是周期为4的奇函数，且当0<x <2时，f (x )＝－ln x ，则e f (73)的值为( ) A.35B ．34C ．43D ．53【答案】D【解析】因为函数以4为周期，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝ln 53，所以e f (73)＝eln 53＝53.故选D.9．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 019)＋f (2 020)＝( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】∵y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则函数y ＝f (x )的图象关于x ＝0对称，即函数f (x )是偶函数．令x ＝－1，则f (－1＋2)－f (－1)＝2f (1)， 即f (1)－f (1)＝2f (1)＝0，即f (1)＝0.则f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)＝0，即f (x ＋2)＝f (x )，即函数的周期是2，又f (0)＝2，则f (2 019)＋f (2 020)＝f (1)＋f (0)＝0＋2＝2，故选B.10．已知偶函数f (x )的定义域为R ，若f (x －1)为奇函数，且f (2)＝3，则f (5)＋f (6)的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3【答案】C【解析】依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且在R 上是奇函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以f (－2)＝－f (2)＝0，结合图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．故选C.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】B【解析】由题意，偶函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，即不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1,2]恒成立，即不等式f (|a |)≥f (|x |)对任意x ∈[1,2]恒成立，所以|a |≤|x |对任意x ∈[1,2]恒成立，所以|a |≤1，则－1≤a ≤1.故选B.12．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16【答案】B【解析】由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12.把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2 014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4.故选B.13．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上是增函数，且函数y ＝f (x －3)为奇函数，则( ) A ．f (－31)＜f (84)＜f (13) B ．f (84)＜f (13)＜f (－31) C ．f (13)＜f (84)＜f (－31) D ．f (－31)＜f (13)＜f (84) 【答案】A.【解析】根据题意，函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，则有f (x －6)＝－f (x －3)＝f (x )，则函数f (x )为周期为6的周期函数．若函数y ＝f (x －3)为奇函数，则f (x )的图象关于点(－3，0)成中心对称，则有f (x )＝－f (－6－x )，又由函数的周期为6，则有f (x )＝－f (－x )，函数f (x )为奇函数．又由函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上是增函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32上为增函数，f (84)＝f (14×6＋0)＝f (0)，f (－31)＝f (－1－5×6)＝f (－1)，f (13)＝f (1＋2×6)＝f (1)，则有f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－31)＜f (84)＜f (13)，故选A.14．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当0<x <1时，f (x )＝9x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________. 【答案】－3【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 又当0<x <1时，f (x )＝9x，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－912＝－3.又f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－3.15．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在[0，2]上为增函数，若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值为________． 【答案】－8【解析】因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，由f (x －4)＝－f (x )可得f (x ＋2)＝－f (x ＋6)＝－f (x －2)，因为f (x )是奇函数，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称，结合f (x )在[0，2]上为增函数，可得函数f (x )的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.16．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，则f (2a －b )＝________. 【答案】5【解析】∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，∴－1－a ＋2a ＝0，即a ＝1. ∵f (x )＝f (－x )，∴ax 2＋bx ＋1＝ax 2－bx ＋1，∴b ＝0， 即f (x )＝x 2＋1. 则f (2a －b )＝f (2)＝5.17．已知函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时， f (x )＝x ＋1，则当x <0时， f (x )＝________. 【答案】－－x －1【解析】∵f (x )为奇函数，且x >0时， f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，即－x >0，有 f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时， f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.18．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x .若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－2,1)【解析】∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时， f (x )＝－x 2＋2x .做出函数f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数．由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1. 19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】【解析】(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时， f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．20．已知函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2, 且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 【答案】(1) 0 (2) f (x )为偶函数 (3) (－15,1)∪(1,17)【解析】(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题意有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，又由(2)知， f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． ∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．21．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1，2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．【答案】①②③④【解析】f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．令x＝y＝0，所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．因为f(x)在x∈[－1，0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数．由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝4，即f(x)为周期函数．f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)，所以函数关于x＝1对称．由f(x)在[0，1]上为增函数，又关于x＝1对称，所以f(x)在[1，2]上为减函数．由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．。

江苏专版2020届高三数学一轮复习典型题精选精练函 数一、填空题1、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中考试）函数()27log 43y x x =-+的定义域为_____________2、（南京市2019届高三9月学情调研）若函数f (x )＝a ＋12x －1 是奇函数，则实数a 的值为 ▲3、（苏州市2019届高三上学期期中调研）函数()lg(2)2f x x x =-++的定义域是 ▲ ．4、（无锡市2019届高三上学期期中考试）已知8a ＝2，log a x ＝3a ，则实数x ＝5、（徐州市2019届高三上学期期中质量抽测）已知奇函数()y f x =是R 上的单调函数，若函数2()()()g x f x f a x =+-只有一个零点，则实数a 的值为 ▲ ．6、（盐城市2019届高三第一学期期中考试）已知函数21()()(1)2x f x x m e x m x =+--+在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ．7、（扬州市2019届高三上学期期中调研）已知函数()f x 为偶函数，且x ＞0时，32()f x x x =+，则(1)f -＝ ．8、（常州市武进区2019届高三上学期期中考试）已知函数()(1)()f x x px q =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f x -<的解集为 ▲9、（常州市2019届高三上学期期末）函数1ln y x =-的定义域为________.10、（海安市2019届高三上学期期末）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －4，x ＜0，log 2x ，x ＞0，若关于x的不等式f (x )＞a 的解集为(a 2，＋∞)，则实数a 的所有可能值之和为 ．11、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）已知y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝e x ＋1，则f (－ln2)的值为 ▲ ． 12、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末） 函数有3个不同的零点，则实数a 的取值范围为＿＿＿＿13、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知,a b ∈R ，函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则关于x 的不等式(2)0f x ->的解集为 ．14、（苏州市2019届高三上学期期末）设函数220()20x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，，，若方程()3f x kx -=有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是 ． 15、（南京市2018高三9月学情调研）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2，x ≤0，－3|x －1|＋3，x ＞0．若存在唯一的整数x ，使得f (x )－ax ＞0成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 16、（苏州市2018高三上期初调研）已知函数()()0af x x a x=+>，当[]1,3x ∈时，函数()f x 的值域为A ，若[]8,16A ⊆，则a 的值是 ．17、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）已知k 为常数，函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+=0ln 0,12)(x x x x x x f ，若关于x 的方程2)(+=kx x f 有且只有4个不同的解，则实数k 的取值集合为 18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））已知函数2log (3)0()210xx x f x x -≤⎧=⎨->⎩，，，若1(1)2f a -=，则实数a ＝ ． 19、（盐城市2019届高三第三次模拟）若函数)1lg()1lg()(ax x x f +++=是偶函数，则实数a 的值_____.20、（江苏省2019年百校大联考）已知函数2,1(),1x x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩ ，则不等式2()f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是 ．21、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月）） 已知函数()()()2|||2|(0)f x x a x a x a a =+-++<．若(1)(2)(3)f f f+++…(672)0f +=，则满足()2019f x =的x 的值为 ▲ ．22、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟） 定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区间[)24，上，223()434x x f x x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤，，，，则函数5()log y f x x =-| |的零点的个数为 ▲ ．23、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-．若对任意[]103x ∈，，总存在[]223x ∈，，使得 12()()f x g x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ．二、解答题1、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）已知k R ∈,函数2()(1)2f x x k x k =+-=-(1)解关于x 的不等式()2f x ＜(2)对任意(1,2),()1x f x ∈-≥恒成立，求实数k 的取值范围2、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）已知函数4()log log (0a f x x x a =+>且a ≠1）为增函数。

高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题训练（含答案）若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，下面是函数的奇偶性与周期性专题训练，请考生及时练习。

一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.则b=-1，f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.答案 D2.已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为().A.-1B.0C.1D.2(构造法)构造函数f(x)=sin x，则有f(x+2)=sin=-sin x=-f(x)，所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3=0，故选B.答案B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是().A.ffB.f(sin 1)f(sin 2)解析当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，显然当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =，又f=ff，所以ff.答案 A4.已知函数f(x)=则该函数是().A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析当x0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+)上为增函数，f(x)=2x-1在(-，0)上为增函数，又x0时1-2-x0，x0时2x-10，故f(x)为R上的增函数. 答案C.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f(x)=4x-1，则f(-5.5)的值为()A.2B.-1C.-D.1解析f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案.设函数D(x)=则下列结论错误的是().A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.若x是无理数，-x，x+1是无理数;若x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案C二、填空题.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=________.解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.答案0.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=________.解析因为y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，所以当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1. 答案-1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案(-2,0)(2,5)10. 设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)=f 的所有x之和为________.解析f(x)是偶函数，f(2x)=f，f(|2x|)=f，又f(x)在(0，+)上为单调函数，|2x|=，即2x=或2x=-，整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8三、解答题.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-，+)上的奇函数..已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数.(2)解任取x1所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.已知函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0,1]时，f(x)=2x-1，(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，又f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1..已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的个数.(1)证明f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当01时，f(x)=x，设-10，则01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即f(x)=x.教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

考点06 函数的奇偶性与周期性1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝e x C ．f (x )＝cos x D ．f (x )＝e x －e －x【答案】D【解析】对于A ，定义域不关于原点对称，故不是；对于B, f (－x )＝e －x ＝1e x ≠－f (x )，故不是；对于C ，f (－x )＝cos(－x )＝cos x ≠－f (x )，故不是；对于D ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，是奇函数，故选D.2．设函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R)，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )在R 上单调递增 C ．f (x )的值域为R D ．f (x )是周期函数【答案】D【解析】因为f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故A 正确；因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，故B 正确；f (x )的值域为R ，故C 正确；f (x )不是周期函数，故D 错误．3．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R)，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是( ) A ．2和1 B ．2和0 C ．2和－1 D ．2和－2【答案】B【解析】设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2.4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B ．13C ．－12D ．12【答案】B【解析】∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴b ＝0.又a －1＝－2a ，∴a ＝13，∴a ＋b ＝13.故选B.5．已知y ＝f (x )是偶函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝sin x ，而y ＝f (x ＋1)是奇函数，则a ＝f (－3.5)，b ＝f (7)，c ＝f (12)的大小关系是( ) A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜b D ．a ＜b ＜c【答案】B【解析】因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )， 因为y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以f (x )＝－f (2－x )， 所以f (－x )＝－f (2－x )，即f (x )＝f (x ＋4)． 所以函数f (x )的周期为4，又因为当0≤x ≤1时，f (x )＝sin x ，所以函数在[0，1]上单调递增， 因为a ＝f (－3.5)＝f (－3.5＋4)＝f (0.5)； b ＝f (7)＝f (7－8)＝f (－1)＝f (1)， c ＝f (12)＝f (12－12)＝f (0)， 又因为f (x )在[0，1]上为增函数， 所以f (0)＜f (0.5)＜f (1)，即c ＜a ＜b .6．已知函数f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98【答案】B【解析】由f (x ＋4)＝f (x )知，函数f (x )的周期为4，则f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， 又f (3)＝f (－1)，且f (－1)＝2，∴f (2 019)＝2.7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－2x ，∴－f (x )＝x 2－2x ，∴f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.8．设e 是自然对数的底数，函数f (x )是周期为4的奇函数，且当0<x <2时，f (x )＝－ln x ，则e f (73)的值为( )A.35 B ．34C ．43D ．53【答案】D【解析】因为函数以4为周期，所以f ⎝⎛⎭⎫73＝f ⎝⎛⎭⎫73－4＝f ⎝⎛⎭⎫－53＝－f ⎝⎛⎭⎫53＝ln 53，所以e f (73)＝eln 53＝53.故选D. 9．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 019)＋f (2 020)＝( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】∵y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则函数y ＝f (x )的图象关于x ＝0对称，即函数f (x )是偶函数． 令x ＝－1，则f (－1＋2)－f (－1)＝2f (1)， 即f (1)－f (1)＝2f (1)＝0，即f (1)＝0.则f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)＝0，即f (x ＋2)＝f (x )，即函数的周期是2，又f (0)＝2，则f (2 019)＋f (2 020)＝f (1)＋f (0)＝0＋2＝2，故选B.10．已知偶函数f (x )的定义域为R ，若f (x －1)为奇函数，且f (2)＝3，则f (5)＋f (6)的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3【答案】C【解析】依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且在R 上是奇函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以f (－2)＝－f (2)＝0，结合图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．故选C.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】B【解析】由题意，偶函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，即不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1,2]恒成立，即不等式f (|a |)≥f (|x |)对任意x ∈[1,2]恒成立，所以|a |≤|x |对任意x ∈[1,2]恒成立，所以|a |≤1，则－1≤a ≤1.故选B. 12．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( ) A ．0 B ．－4 C ．－8 D ．－16【答案】B【解析】由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12.把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2 014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4.故选B. 13．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，在区间⎣⎡⎦⎤0，32上是增函数，且函数y ＝f (x －3)为奇函数，则( )A ．f (－31)＜f (84)＜f (13)B ．f (84)＜f (13)＜f (－31)C ．f (13)＜f (84)＜f (－31)D ．f (－31)＜f (13)＜f (84) 【答案】A.【解析】根据题意，函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，则有f (x －6)＝－f (x －3)＝f (x )，则函数f (x )为周期为6的周期函数．若函数y ＝f (x －3)为奇函数，则f (x )的图象关于点(－3，0)成中心对称，则有f (x )＝－f (－6－x )，又由函数的周期为6，则有f (x )＝－f (－x )，函数f (x )为奇函数．又由函数在区间⎣⎡⎦⎤0，32上是增函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－32，32上为增函数，f (84)＝f (14×6＋0)＝f (0)，f (－31)＝f (－1－5×6)＝f (－1)，f (13)＝f (1＋2×6)＝f (1)，则有f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－31)＜f (84)＜f (13)，故选A.14．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当0<x <1时，f (x )＝9x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________. 【答案】－3【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当0<x <1时，f (x )＝9x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝－912＝－3. 又f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝－3. 15．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在[0，2]上为增函数，若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值为________． 【答案】－8【解析】因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，由f (x －4)＝－f (x )可得f (x ＋2)＝－f (x ＋6)＝－f (x －2)，因为f (x )是奇函数，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称，结合f (x )在[0，2]上为增函数，可得函数f (x )的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.16．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，则f (2a －b )＝________. 【答案】5【解析】∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，∴－1－a ＋2a ＝0，即a ＝1. ∵f (x )＝f (－x )，∴ax 2＋bx ＋1＝ax 2－bx ＋1，∴b ＝0，即f (x )＝x 2＋1. 则f (2a －b )＝f (2)＝5.17．已知函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时， f (x )＝x ＋1，则当x <0时， f (x )＝________. 【答案】－－x －1【解析】∵f (x )为奇函数，且x >0时， f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，即－x >0，有 f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时， f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.18．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x .若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－2,1)【解析】∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时， f (x )＝－x 2＋2x .做出函数f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数．由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1. 19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】【解析】(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时， f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．20．已知函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2, 且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 【答案】(1) 0 (2) f (x )为偶函数 (3) (－15,1)∪(1,17)【解析】(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题意有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，又由(2)知， f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． ∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．21．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1，2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)． 【答案】①②③④【解析】f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意x ，y ∈R 恒成立． 令x ＝y ＝0，所以f (0)＝0.令x ＋y ＝0，所以y ＝－x ， 所以f (0)＝f (x )＋f (－x )．所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．因为f (x )在x ∈[－1，0]上为增函数，又f (x )为奇函数，所以f (x )在[0，1]上为增函数． 由f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以周期T ＝4， 即f (x )为周期函数．f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (－x ＋2)＝－f (－x )． 又因为f (x )为奇函数，所以f (2－x )＝f (x )， 所以函数关于x ＝1对称．由f (x )在[0，1]上为增函数，又关于x ＝1对称，所以f(x)在[1，2]上为减函数．由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．。

第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f(－x）＝f（x)，那么函数f（x）就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f（x)的定义域内任意一个x，都有f（－x)＝－f（x），那么函数f（x)就叫做奇函数关于原点对称2（1)周期函数对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T)＝f（x），那么就称函数f(x）为周期函数，称T为这个函数的周期．（2)最小正周期如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[小题体验］1．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2＋错误!，则f （－1）＝________.答案：－22．若函数f（x）是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f（2)＝2，则f（8）－f （14）＝________.答案:－13．若函数f（x）＝(a－1）x2＋（a＋1)x＋a2－1是奇函数，则实数a的值是________．解析:由于函数f(x)的定义域为R，又函数f（x）是奇函数，故f(0)＝0，解得a＝1或a ＝－1（舍去）,经检验a＝1时符合题意．答案：11．判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x）的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f（－x)＝－f（x)或f（－x)＝f（x),而不能说存在x使f(－x0)＝－f(x0)或f（－x0)＝f(x0)．3．分段函数奇偶性判定时,误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．［小题纠偏］1．已知f(x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a］上的偶函数,那么a＋b＝________.解析：因为f(x）＝ax2＋bx是定义在［a－1,2a］上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝13。