苏教版高中数学必修一同步模块综合检测题及答案解析B

模块综合测评(时间分钟，满分分)一、填空题(本大题共小题，每小题分，共分，请把答案填在题中横线上)．已知集合＝，＝，则∩＝.【解析】＝＝，∩＝.【答案】．如果集合＝{>－}，那么下列结论成立的是．(填序号)()⊆；(){}∈；()∅∈；(){}⊆.【解析】元素与集合之间的关系是从属关系，用符号∈或∉表示，故()()()不对，又∈，所以{}⊆.【答案】()．设集合＝{，，…，}，＝{，，…，}，定义集合⊕＝{(，)＝＋＋…＋，＝＋＋…＋}，已知＝{}，＝{}，则⊕的子集为．【解析】因为根据新定义可知，＋＋＝＋＋＝，故⊕的子集为∅，{()}．【答案】∅，{()}．若函数()＝的定义域为，()＝(－()的定义域为，则∁(∪)＝.【解析】由题意知，(\\(－>，－>))⇒<<.∴＝()．(\\(－>，(－(≥))⇒≤.∴＝(－∞，]，∪＝(－∞，]∪()，∴∁(∪)＝(]∪[，＋∞)．【答案】(]∪[，＋∞)．若方程－＋＝在区间(，)(，∈，且－＝)上有一根，则＋的值为．【解析】设()＝－＋，则(－)＝－<，(－)＝>，所以＝－，＝－，则＋＝－.【答案】－．已知函数＝()与＝互为反函数，()＝(－)＋，则()的图象恒过定点．【解析】由题知()＝，∴()＝－＋，由－＝，得＝，故函数()＝－＋(>，≠)的图象恒过定点.【答案】．已知函数()＝(－)＋＋为偶函数，则()在(－，－)上是．(填序号)①增函数；②减函数；③非单调函数；④可能是增函数，也可能是减函数．【解析】∵()为偶函数，∴＝，即()＝－＋在(－，－)上是增函数．【答案】①．已知函数()＝＋(＞且≠)在[]上的最大值与最小值之和为＋，则＝.【解析】依题意，函数()＝＋(＞且≠)在[]上具有单调性，因此＋＋＝＋，解得＝.【答案】．已知()＝(\\(＋，≤，，>，))若()＝，则＝.【解析】当≤时，令＋＝，解得＝－或＝(舍去)；当>时，令＝，解得＝.综上，＝－或＝.【答案】－或．若＝()是奇函数，当>时，()＝＋，则错误!＝.【解析】∵()是奇函数，∴错误!＝(－)＝－( )．又>，且>时，()＝＋，∴错误!＝－.【答案】－．定义在上的函数()满足()＝(\\((－(，≤， (－(－ (－(，>，))则()的值为．【解析】∵>，且>时，()＝(－)－(－)，∴()＝()－()，又()＝()－()，所以()＝－()，又∵≤时，()＝(－)，∴()＝－()＝－(－)＝－.【答案】－．函数＝()的图象如图所示，则函数＝()的图象大致是．(填序号)。

模块综合检测卷
(时间：分钟满分：分)
一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题意的)．已知全集＝{，，，}，＝{，}，＝{，}，则∁(∪)＝( )
．{}
．{}
．{，，}
．{，}
解析：因为＝{，}，＝{，}，
所以∪＝{，，}．
所以∁(∪)＝{}．
答案：．当＞时，在同一平面直角坐标系中，函数＝－与＝的图象是(
)
答案：
．已知集合＝{＝}，＝{＝＋}，则∩＝( )
．[－，]
．∅
．[，＋∞)
．[－，＋∞)
解析：＝{＝}＝{≥－}，＝{＝＋}＝{≥}．
所以∩＝[，＋∞)．
答案：．设()是上的偶函数，且在(，＋∞)上是减函数，若＜，＋＞，
则( )
．(－)＞(－)
．(－)＝(－)
．(－)＜(－)
．(－)与(－)大小不确定
解析：由＜，＋＞得＞－＞，
又()是上的偶函数，且在(，＋∞)上是减函数，
所以(－)＝()＜(－)．
答案：．已知函数()的单调递增区间是(－，)，则＝(＋)的单调递增区
间是( )
．(－，－)
．(，)
．(－，)
．(，)
解析：因为()的单调递增区间是(－，)，则(＋)的单调递增区间满
足－＜＋＜，即－＜＜－.
答案：
．若∈[，]，则函数＝－的值域是( )
．[，]
．[－，－]
．[，－]
．[－，]
解析：该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最
大时，函数值最大．故＝－，＝.
答案：
．下列不等式正确的是( )。

模块综合检测[考试时间：120分钟试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上)1．(天津高考)已知集合A＝{x∈R| ｜x｜≤2}，B＝｛x∈R｜x≤1}，则A∩B＝________。

2．若幂函数y＝f(x）的图象经过点（9，错误!）,则f(25）的值是________．3．（新课标高考改编)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是________．①y＝x3②y＝|x|＋1 ③y＝－x2＋1 ④y＝2－|x|4．试比较1.70.2、log2。

10.9与0。

82.1的大小关系,并按照从小到大的顺序排列为________．5．若f(2x＋1)＝log错误!错误!,则f（17)＝________.6．（山东高考改编）函数f(x)＝错误!＋错误!的定义域为________．7．若函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax 的零点是________．(－3x＋2)的单调递增区间为________．8．函数f（x)＝log139．设f（x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f（－1）＝________。

10．（上海高考）方程错误!＋错误!＝3x－1的实数解为________．11．定义运算a⊗b＝错误!则函数f(x）＝1⊗2x的图象是________．12。

已知函数f（x）＝(x－a）（x－b)(其中a>b）的图象如右图，则函数g(x）＝a x＋b的图象是________．13．函数y＝log2x＋log2（1－x)的最大值是________．14．设函数f(x）＝错误!若f（a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本小题满分14分)计算：（1）[（5错误!)0。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．已知集合A ＝{}0，1，2，3，4，B ＝{}x ||x |<2，则A ∩B ＝________. 【解析】 B ＝{}x ||x |<2＝{}x |－2<x <2，A ∩B ＝{}0，1. 【答案】{}0，12．如果集合P ＝{x |x >－1}，那么下列结论成立的是________．(填序号) (1)0⊆P ；(2){0}∈P ；(3)∅∈P ；(4){0}⊆P .【解析】 元素与集合之间的关系是从属关系，用符号∈或∉表示，故(1)(2)(3)不对，又0∈P ，所以{0}⊆P .【答案】 (4)3．设集合B ＝{a 1，a 2，…，a n }，J ＝{b 1，b 2，…，b m }，定义集合B ⊕J ＝{(a ，b )|a ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，b ＝b 1＋b 2＋…＋b m }，已知B ＝{0,1,2}，J ＝{2,5,8}，则B ⊕J 的子集为________．【解析】 因为根据新定义可知，0＋1＋2＝3,2＋5＋8＝15，故B ⊕J 的子集为∅，{(3,15)}．【答案】 ∅，{(3,15)}4．若函数f (x )＝log 2 (x －1)2－x 的定义域为A ，g (x )＝ln (1－x )的定义域为B ，则∁R (A ∪B )＝________.【解析】 由题意知，⎩⎨⎧x －1>0，2－x >0⇒1<x <2.∴A ＝(1,2)．⎩⎨⎧1－x >0，ln (1－x )≥0⇒x ≤0. ∴B ＝(－∞，0]， A ∪B ＝(－∞，0]∪(1,2)， ∴∁R (A ∪B )＝(0,1]∪[2，＋∞)． 【答案】 (0,1]∪[2，＋∞)5．若方程x 3－x ＋1＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a ＋b 的值为________．【解析】 设f (x )＝x 3－x ＋1，则f (－2)＝－5<0，f (－1)＝1>0，所以a ＝－2，b ＝－1，则a ＋b ＝－3.【答案】 －36．已知函数y ＝g (x )与y ＝log a x 互为反函数，f (x )＝g (3x －2)＋2，则f (x )的图象恒过定点________．【解析】 由题知g (x )＝a x ，∴f (x )＝a 3x －2＋2，由3x －2＝0，得x ＝23，故函数f (x )＝a 3x －2＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，37．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在(－5，－2)上是________．(填序号)①增函数；②减函数；③非单调函数；④可能是增函数，也可能是减函数． 【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴m ＝0，即f (x )＝－x 2＋3在(－5，－2)上是增函数．【答案】 ①8．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a ＝________.【解析】 依题意，函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上具有单调性，因此a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2.【答案】 29．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤0，2x ，x >0，若f (x )＝10，则x ＝________.【解析】 当x ≤0时，令x 2＋1＝10，解得x ＝－3或x ＝3(舍去)； 当x >0时，令2x ＝10， 解得x ＝5.综上，x ＝－3或x ＝5. 【答案】 －3或510．若y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 13＝________.【解析】 ∵f (x )是奇函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 13＝f (－log 2 3) ＝－f (log 2 3)．又log 2 3>0，且x >0时，f (x )＝2x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 13＝－4.【答案】 －411．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(4－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为________．【解析】 ∵3>0，且x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，∴f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，所以f (3)＝－f (0)，又∵x ≤0时，f (x )＝log 2 (4－x )，∴f (3)＝－f (0)＝－log 2 (4－0)＝－2.【答案】 －212．函数y ＝f (x )的图象如图1所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是________．(填序号)图1【解析】 设y ＝log 12u ，u ＝f (x )，所以根据外层函数是单调减函数，所以看函数u ＝f (x )的单调性，在(0,1)上u ＝f (x )为减函数，所以整体是增函数，u >1，所以函数值小于0，在(1,2)上u ＝f (x )为增函数，所以整体是减函数，u >1，所以函数值小于0，所以选③.【答案】 ③13．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.【解析】 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥1)，2x －1(x <1)，∴画图象可知－1≤m <0. 【答案】 [－1,0)14．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ≤－1)，若当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 函数f (x )的对称轴为直线x ＝a ， 当a ≤－1，x ∈[－1，＋∞)时， f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .又f (x )≥a 恒成立，所以f (x )min ≥a ， 即3＋2a ≥a ，解得a ≥－3.所以－3≤a ≤－1. 【答案】 [－3，－1]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 3＋23log 2 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2log 3 2＋32log 3 2＋log 3 2＋(lg 2)2＋(1＋lg 2)lg 5＝53log 2 3·92log 3 2＋(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝152＋lg 2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＝152＋lg 2＋lg 5＝152＋1＝172.16．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2 x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2 x >1}＝{x |x >2}，A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}．(2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3.综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．17．(本小题满分14分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x 万元时，甲、乙两种商品可分别获得y 1，y 2万元的利润，利润曲线P 1：y 1＝ax n ，P 2：y 2＝bx ＋c 如图2所示．图2(1)求函数y 1，y 2的解析式；(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资？ 【解】 由题图知P 1：y 1＝ax n 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 54＝a ·1n，52＝a ·4n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝54，n ＝12，∴y 1＝54x ，x ∈[0，＋∞)．P 2：y 2＝bx ＋c 过点(0,0)，(4,1)，∴⎩⎨⎧0＝0＋c ，1＝4b ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝14，∴y 2＝14x ，x ∈[0，＋∞)． (2)设用x 万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x )万元，则y ＝54x ＋14(10－x )＝－14x ＋54 x ＋52＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋6516(0≤x ≤10)，当且仅当x ＝52即x ＝254＝6.25时，y max ＝6516， 此时投资乙商品为10－x ＝10－6.25＝3.75万元，故用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润． 18．(本小题满分16分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝a x －1.其中a ＞0且a ≠1.(1)求f (2)＋f (－2)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)解关于x 的不等式－1＜f (x －1)＜4，结果用集合或区间表示． 【解】 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)， 即f (2)＋f (－2)＝0. (2)当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝a －x －1.由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＝－a －x ＋1(x ＜0)． ∴所求的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧a x－1(x ≥0)，－a －x＋1(x ＜0).(3)不等式等价于 ⎩⎨⎧ x －1＜0，－1＜－a－x ＋1＋1＜4， 或⎩⎨⎧x －1≥0，－1＜a x －1－1＜4，即⎩⎨⎧ x －1＜0，－3＜a －x ＋1＜2或⎩⎨⎧x －1≥0，0＜a x －1＜5. 当a ＞1时，有⎩⎨⎧x ＜1，x ＞1－log a 2或⎩⎨⎧x ≥1，x ＜1＋log a 5，注意此时log a 2＞0，log a 5＞0，可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)． 同理可得，当0＜a ＜1时，不等式的解集为R . 综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)； 当0＜a ＜1时，不等式的解集为R .19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)， (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．【解】 (1)函数f (x )有意义，则a x －1>0， 当a >1时，由a x －1>0，解得x >0； 当0<a <1时，由a x －1>0，解得x <0. ∴当a >1时，函数的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，函数的定义域为(－∞，0)．由函数单调性定义知：当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上是单调递增的. 20．(本小题满分16分)设函数y ＝f (x )是定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，且当x >0时，f (x )>0.(1)求f (0)的值； (2)判断函数的奇偶性；(3)如果f (x )＋f (2＋x )<2，求x 的取值范围． 【解】 (1)令x ＝y ＝0， 则f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0. (2)令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．故函数f (x )是R 上的奇函数． (3)任取x 1，x 2∈R ，x 1<x 2， 则x 2－x 1>0， ∴f (x 2)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)>0.∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )是R 上的增函数． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2.∴f (x )＋f (2＋x )＝f [x ＋(2＋x )] ＝f (2x ＋2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数， 得2x ＋2<23，解得x <－23. 故x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.。

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．已知集合A ＝{}0，1，2，3，4，B ＝{}x ||x |<2，则A ∩B ＝________. 【解析】 B ＝{}x ||x |<2＝{}x |－2<x <2，A ∩B ＝{}0，1. 【答案】{}0，12．如果集合P ＝{x |x >－1}，那么下列结论成立的是________．(填序号) (1)0⊆P ；(2){0}∈P ；(3)∅∈P ；(4){0}⊆P .【解析】 元素与集合之间的关系是从属关系，用符号∈或∉表示，故(1)(2)(3)不对，又0∈P ，所以{0}⊆P .【答案】 (4)3．设集合B ＝{a 1，a 2，…，a n }，J ＝{b 1，b 2，…，b m }，定义集合B ⊕J ＝{(a ，b )|a ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，b ＝b 1＋b 2＋…＋b m }，已知B ＝{0,1,2}，J ＝{2,5,8}，则B ⊕J 的子集为________．【解析】 因为根据新定义可知，0＋1＋2＝3,2＋5＋8＝15，故B ⊕J 的子集为∅，{(3,15)}．【答案】 ∅，{(3,15)} 4．若函数f (x )＝log 2 (x －1)2－x的定义域为A ，g (x )＝ln (1－x )的定义域为B ，则∁R (A ∪B )＝________.【解析】 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x >0⇒1<x <2.∴A ＝(1,2)．⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，ln (1－x )≥0⇒x ≤0.∴B ＝(－∞，0]， A ∪B ＝(－∞，0]∪(1,2)， ∴∁R (A ∪B )＝(0,1]∪2，＋∞)． 【答案】 (0,1]∪2，＋∞)5．若方程x 3－x ＋1＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a ＋b 的值为________．【解析】 设f (x )＝x 3－x ＋1，则f (－2)＝－5<0，f (－1)＝1>0，所以a ＝－2，b ＝－1，则a ＋b ＝－3.【答案】 －36．已知函数y ＝g (x )与y ＝log a x 互为反函数，f (x )＝g (3x －2)＋2，则f (x )的图象恒过定点________．【解析】 由题知g (x )＝a x ，∴f (x )＝a 3x －2＋2，由3x －2＝0，得x ＝23，故函数f (x )＝a 3x －2＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，37．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在(－5，－2)上是________．(填序号)①增函数；②减函数；③非单调函数；④可能是增函数，也可能是减函数． 【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴m ＝0，即f (x )＝－x 2＋3在(－5，－2)上是增函数．【答案】 ①8．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a ＝________.【解析】 依题意，函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在1,2]上具有单调性，因此a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2.【答案】 29．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤0，2x ，x >0，若f (x )＝10，则x ＝________. 【导学号：37590093】【解析】 当x ≤0时，令x 2＋1＝10，解得x ＝－3或x ＝3(舍去)； 当x >0时，令2x ＝10， 解得x ＝5.综上，x ＝－3或x ＝5. 【答案】 －3或510．若y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 13＝________.【解析】 ∵f (x )是奇函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 13＝f (－log 2 3) ＝－f (log 2 3)．又log 2 3>0，且x >0时，f (x )＝2x ＋1， 故f (log 2 3)＝2log 2 3＋1＝3＋1＝4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 13＝－4. 【答案】 －411．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(4－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为________．【解析】 ∵3>0，且x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，∴f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，所以f (3)＝－f (0)，又∵x ≤0时，f (x )＝log 2 (4－x )，∴f (3)＝－f (0)＝－log 2 (4－0)＝－2.【答案】 －212．函数y ＝f (x )的图象如图1所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是________．(填序号)图1【解析】 设y ＝log 12u ，u ＝f (x )，所以根据外层函数是单调减函数，所以看函数u ＝f (x )的单调性，在(0,1)上u ＝f (x )为减函数，所以整体是增函数，u >1，所以函数值小于0，在(1,2)上u ＝f (x )为增函数，所以整体是减函数，u >1，所以函数值小于0，所以选③.【答案】 ③13．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________. 【导学号：37590094】【解析】∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥1)，2x －1(x <1)，∴画图象可知－1≤m <0. 【答案】 －1,0)14．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ≤－1)，若当x ∈－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 函数f (x )的对称轴为直线x ＝a ，当a ≤－1，x ∈－1，＋∞)时， f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .又f (x )≥a 恒成立，所以f (x )min ≥a ， 即3＋2a ≥a ，解得a ≥－3. 所以－3≤a ≤－1. 【答案】 －3，－1]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分) 的值；(2)求(log 2 3＋log 8 9)(log 3 4＋log 9 8＋log 3 2)＋(lg 2)2＋lg 20×lg 5的值．【解】(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 3＋23log 2 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2log 3 2＋32log 3 2＋log 3 2＋(lg 2)2＋(1＋lg 2)lg 5＝53log 2 3·92log 3 2＋(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝152＋lg 2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＝152＋lg 2＋lg 5＝152＋1＝172.16．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2 x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2 x >1}＝{x |x >2}，A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}．(2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3.综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．17．(本小题满分14分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x 万元时，甲、乙两种商品可分别获得y 1，y 2万元的利润，利润曲线P 1：y 1＝ax n ，P 2：y 2＝bx ＋c 如图2所示．图2(1)求函数y 1，y 2的解析式；(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资？ 【解】 由题图知P 1：y 1＝ax n 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，x ∈0，＋∞)．P 2：y 2＝bx ＋c 过点(0,0)，(4,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝0＋c ，1＝4b ＋c ，∴⎩⎨⎧c ＝0，b ＝14，∴y 2＝14x ，x ∈0，＋∞)．(2)设用x 万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x )万元，则y ＝54x ＋14(10－x )＝－14x ＋54 x ＋52＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋6516(0≤x ≤10)，当且仅当x ＝52即x ＝254＝6.25时，y max ＝6516， 此时投资乙商品为10－x ＝10－6.25＝3.75万元，故用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润． 18．(本小题满分16分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝a x －1.其中a ＞0且a ≠1.(1)求f (2)＋f (－2)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)解关于x 的不等式－1＜f (x －1)＜4，结果用集合或区间表示． 【解】 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)， 即f (2)＋f (－2)＝0. (2)当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (－x )＝a －x －1.由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＝－a －x ＋1(x ＜0)． ∴所求的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1(x ≥0)，－a －x ＋1(x ＜0).(3)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＜0，－1＜－a－x ＋1＋1＜4，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，－1＜a x －1－1＜4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＜0，－3＜a －x ＋1＜2或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，0＜a x －1＜5.当a ＞1时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞1－log a 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＜1＋log a 5，注意此时log a 2＞0，log a 5＞0，可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)． 同理可得，当0＜a ＜1时，不等式的解集为R . 综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)； 当0＜a ＜1时，不等式的解集为R .19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)， (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．【解】 (1)函数f (x )有意义，则a x －1>0， 当a >1时，由a x －1>0，解得x >0； 当0<a <1时，由a x －1>0，解得x <0. 所以当a >1时，函数的定义域为(0，＋∞)； 当0<a <1时，函数的定义域为(－∞，0)．(2)当a >1时，任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则即f (x 1)>f (x 2)．由函数单调性定义知：当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上是单调递增的. 20．(本小题满分16分)设函数y ＝f (x )是定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，且当x >0时，f (x )>0.(1)求f (0)的值；(2)判断函数的奇偶性； 【导学号：37590095】 (3)如果f (x )＋f (2＋x )<2，求x 的取值范围． 【解】 (1)令x ＝y ＝0， 则f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0. (2)令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．故函数f (x )是R 上的奇函数．(3)任取x 1，x 2∈R ，x 1<x 2， 则x 2－x 1>0， ∴f (x 2)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)>0.∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )是R 上的增函数． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2.∴f (x )＋f (2＋x )＝f x ＋(2＋x )] ＝f (2x ＋2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数， 得2x ＋2<23，解得x <－23. 故x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.。

（新课标）最新苏教版高中数学必修一模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．集合A ＝{0,2，a}，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为________________．2．设函数f(x)＝⎩⎨⎧1－2x 2(x ≤1)x 2＋3x －2 (x>1)，则f(1f (3))的值为________．3．若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f (2x )x －1的定义域是________． 4．三个数a ＝0.32，b ＝log 20.3，c ＝20.3之间的大小关系是________．5．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是________．(填序号)①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；②函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点； ③函数f(x)在区间[2,16)内无零点； ④函数f(x)在区间(1,16)内无零点．6．已知0<a<1，则方程a |x|＝|log a x|的实根个数是________．7．函数f(x)＝x 2－2ax ＋1有两个零点，且分别在(0,1)与(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．8．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n 年后这批设 备的价值为________万元． 9．下列4个函数中： ①y ＝2 008x －1；②y ＝log a 2 009－x2 009＋x (a>0且a ≠1)；③y ＝x 2 009＋x 2 008x ＋1；④y ＝x(1a －x －1＋12)(a>0且a ≠1)．其中既不是奇函数，又不是偶函数的是________．(填序号)10．设函数的集合P ＝{f(x)＝log 2(x ＋a)＋b|a ＝－12，0，12，1；b ＝－1,0,1}，平面上点的集合Q＝{(x ，y)|x ＝－12，0，12，1；y ＝－1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P 中函数f(x)的图象恰好．．经过Q 中两个点的函数的个数是________．11．计算：0.25×(－12)－4＋lg 8＋3lg 5＝________.12．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝|ad －bc|，则不等式log2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 11 x <0的解集是________． 13．已知关于x 的函数y ＝log a (2－ax)在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是________．14．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－12的解集是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知函数f(x)A ，函数g(x)＝223m x x --－1的值域为集合B ，且A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围．16．(14分)已知f(x)＝x ＋ax 2＋bx ＋1是定义在[－1,1]上的奇函数，试判断它的单调性，并证明你的结论．17．(14分)若非零函数f(x)对任意实数a ，b 均有f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，且当x<0时，f(x)>1； (1)求证：f(x)>0；(2)求证：f(x)为减函数；(3)当f(4)＝116时，解不等式f(x 2＋x －3)·f(5－x 2)≤14.18．(16分)我市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)；(2)选择哪家比较合算？为什么？19．(16分)已知函数y＝f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件：①f(x)在D上是单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a，b]D(其中a<b)，使得当x∈[a，b]时，f(x)的取值集合也是[a，b]．那么，我们称函数y＝f(x)(x∈D)是闭函数．(1)判断f(x)＝－x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．(2)若f(x)＝k＋x＋2是闭函数，求实数k的取值范围．(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可)20．(16分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝a x－1.其中a>0且a≠1.(1)求f(2)＋f(－2)的值；(2)求f(x)的解析式；(3)解关于x的不等式－1<f(x－1)<4，结果用集合或区间表示．模块综合检测(B)1．4解析 ∵A ∪B ＝{0,1,2，a ，a 2}，又∵A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎨⎧ a ＝4，a 2＝16，即a ＝4.否则有⎩⎨⎧a ＝16a 2＝4矛盾． 2.127128解析 ∵f(3)＝32＋3×3－2＝16，∴1f (3)＝116，∴f(1f (3))＝f(116)＝1－2×(116)2＝1－2256＝127128.3．[0,1)解析 由题意得：⎩⎨⎧0≤2x ≤2x ≠1，∴0≤x<1.4．b<a<c解析 20.3>20＝1＝0.30>0.32>0＝log 21>log 20.3. 5．③解析 函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内，故函数f(x)在区间[2,16)内无零点． 6．2解析 分别画出函数y ＝a |x|与y ＝|log a x|的图象，通过数形结合法，可知交点个数为2.7．1<a<54解析 ∵f(x)＝x 2－2ax ＋1，∴f(x)的图象是开口向上的抛物线．由题意得：⎩⎨⎧f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0.即⎩⎨⎧1>0，1－2a ＋1<0，4－4a ＋1>0，解得1<a<54.8．a(1－b%)n解析 第一年后这批设备的价值为a(1－b%)；第二年后这批设备的价值为a(1－b%)－a(1－b%)·b%＝a(1－b%)2；故第n 年后这批设备的价值为a(1－b%)n. 9．①③解析 其中①不过原点，不可能为奇函数，也可能为偶函数；③中定义域不关于原点对称，则既不是奇函数，又不是偶函数． 10．6解析 当a ＝－12，f(x)＝log 2(x －12)＋b ，∵x>12，∴此时至多经过Q 中的一个点；当a ＝0时，f(x)＝log 2x 经过(12，－1)，(1,0)，f(x)＝log 2x ＋1经过(12，0)，(1,1)；当a ＝1时，f(x)＝log 2(x ＋1)＋1经过(－12，0)，(0,1)，f(x)＝log 2(x ＋1)－1经过(0，－1)，(1,0)；当a ＝12时，f(x)＝log 2(x ＋12)经过(0，－1)，(12，0)，f(x)＝log 2(x ＋12)＋1经过(0,0)，(12，1)．11．7解析 原式＝0.25×24＋lg 8＋lg 53＝(0.5×2)2×22＋lg(8×53)＝4＋lg 1 000＝7. 12．(0,1)∪(1,2)解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 11 x ＝|x －1|，由log 2|x －1|<0，得0<|x －1|<1， 即0<x<2，且x ≠1. 13．(1,2)解析 依题意，a>0且a ≠1， ∴2－ax 在[0,1]上是减函数，即当x ＝1时，2－ax 的值最小，又∵2－ax 为真数，∴⎩⎨⎧a>12－a>0，解得1<a<2. 14．(－∞，－1)解析 当x>0时，由1－2－x<－12，(12)x >32，显然不成立． 当x<0时，－x>0.因为该函数是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝2x－1.由2x －1<－12，即2x <2－1，得x<－1.又因为f(0)＝0<－12不成立，所以不等式的解集是(－∞，－1)．15．解 由题意得A ＝{x|1<x ≤2}，B ＝(－1，－1＋31＋m]．由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，即－1＋31＋m ≥2，即31＋m≥3， 所以m ≥0.16．解 ∵f(x)＝x ＋ax 2＋bx ＋1是定义在[－1,1]上的奇函数，∴f(0)＝0，即0＋a02＋0＋1＝0，∴a ＝0.又∵f(－1)＝－f(1)，∴－12－b ＝－12＋b ，∴b ＝0，∴f(x)＝xx 2＋1.∴函数f(x)在[－1,1]上为增函数． 证明如下：任取－1≤x 1<x 2≤1， ∴x 1－x 2<0，－1<x 1x 2<1， ∴1－x 1x 2>0.∴f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1x 22＋x 1－x 21x 2－x 2(x 21＋1)(x 22＋1) ＝x 1x 2(x 2－x 1)＋(x 1－x 2)(x 21＋1)(x 22＋1) ＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(x 21＋1)(x 22＋1)<0， ∴f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)为[－1,1]上的增函数．17．(1)证明 f(x)＝f(x 2＋x 2)＝f 2(x 2)≥0，又∵f(x)≠0，∴f(x)>0.(2)证明 设x 1<x 2，则x 1－x 2<0， 又∵f(x)为非零函数，∴f(x 1－x 2)＝f (x 1－x 2)·f (x 2)f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)f (x 2)＝f (x 1)f (x 2)>1，∴f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)为减函数． (3)解 由f(4)＝f 2(2)＝116，f(x)>0，得f(2)＝14.原不等式转化为f(x 2＋x －3＋5－x 2)≤f(2)，结合(2)得：x ＋2≥2，∴x ≥0，故不等式的解集为{x|x ≥0}． 18．解 (1)f(x)＝5x,15≤x ≤40；g(x)＝⎩⎨⎧90， 15≤x ≤3030＋2x ， 30<x ≤40.(2)①当15≤x ≤30时，5x ＝90，x ＝18，即当15≤x<18时，f(x)<g(x)； 当x ＝18时，f(x)＝g(x)； 当18<x ≤30时，f(x)>g(x)． ②当30<x ≤40时，f(x)>g(x)，∴当15≤x<18时，选甲家比较合算； 当x ＝18时，两家一样合算；当18<x ≤40时，选乙家比较合算．19．解 (1)f(x)＝－x 3在R 上是减函数，满足①；设存在区间[a ，b]，f(x)的取值集合也是[a ，b]，则⎩⎨⎧－a 3＝b－b 3＝a ，解得a ＝－1，b ＝1，所以存在区间[－1,1]满足②，所以f(x)＝－x 3(x ∈R)是闭函数．(2)f(x)＝k ＋x ＋2是在[－2，＋∞)上的增函数，由题意知，f(x)＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[a ，b]满足②即：⎩⎪⎨⎪⎧k ＋a ＋2＝a k ＋b ＋2＝b .即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根，化简得，a ，b 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根． 且a ≥k ，b>k.令f(x)＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2，得⎩⎪⎨⎪⎧f (k )≥0Δ>02k ＋12>k，解得－94<k ≤－2，所以实数k 的取值范围为(－94，－2]．20．解 (1)∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0.(2)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝a －x－1. 由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，∵f(－x)＝a －x－1，∴f(x)＝－a －x＋1(x<0)．∴所求的解析式为f(x)＝⎩⎨⎧a x－1 (x ≥0)－a －x ＋1 (x<0).(3)不等式等价于⎩⎨⎧x －1<0－1<－a －x ＋1＋1<4 或⎩⎨⎧x －1≥0－1<a x －1－1<4， 即⎩⎨⎧ x －1<0－3<a －x ＋1<2或⎩⎨⎧x －1≥00<a x －1<5. 当a>1时，有⎩⎨⎧ x<1x>1－log a 2或⎩⎨⎧x ≥1x<1＋log a 5，注意此时log a 2>0，log a 5>0，可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)．同理可得，当0<a<1时，不等式的解集为R. 综上所述，当a>1时，不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)； 当0<a<1时，不等式的解集为R.。

模块综合检测(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1.已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{－2，0，2，4}，则A ∩B ＝________． 解析：A ∩B ＝{0，2}．答案：{0，2}模块综合检测2.函数f (x )＝log 2(5x ＋1)的定义域为________．解析：要使函数有意义，则5x ＋1>0，∴x >－15， ∴定义域为(－15，＋∞)． 答案：(－15，＋∞) 3.计算2lg 2＋lg5的值为________．解析：原式＝lg2＋lg5＝lg10＝1.答案：14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <1，x 2＋x ，x ≥1，则f (f (0))的值为________． 解析：f (0)＝2－0＝2，∴f (f (0))＝f (2)＝22＋2＝6.答案：65.对于任意的a ∈(1，＋∞)，函数y ＝log a (x －2)＋1的图象恒过点________．(写出点的坐标) 解析：令x －2＝1，∴x ＝3，∴图象恒过点(3，1)．答案：(3，1)6.函数f (x )是R 上的偶函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 3＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________． 解析：设任意的x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋1＝－x 3＋1，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即当x ＜0时，f (x )＝－x 3＋1.答案：－x 3＋17.已知函数f (x )满足：x ≥4，则f (x )＝(12)x ；当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)等于________． 解析：∵3＜2＋log 23＜4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)且3＋log 23＞4， ∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23 ＝18×(12)log 1213＝18×13＝124. 答案：1248.函数f (x )＝x 2－2＋log 12x 零点的个数为________．解析：f (x )的零点即2－x 2＝log 1x 的方程根的个数，即y ＝2－x 2与y ＝log 12x 两个函数图象的交点个数，画出两个函数的图象(如图)，可得出共有两个交点．答案：29.已知0≤x ≤2，若不等式a ≤4x －3×2x －4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝4x －3×2x －4，不等式恒成立，则a ≤f (x )m i n ，f (x )＝(2x )2－3·2x －4＝(2x －32)2－254. ∵0≤x ≤2，∴1≤2x ≤4，∴当2x ＝32时，f (x )m i n ＝－254，∴a ≤－254. 答案：(－∞，－254] 10.有一批材料可以建成200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的矩形，如图所示，则围成的矩形最大面积为________m 2(围墙厚度不计)．解析：设矩形宽为x m ，则矩形长为(200－4x ) m ，则矩形面积S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2500(0＜x ＜50)，∴x ＝25 m 时，S max ＝2500 m 2.答案：250011.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)＜f (13)的x 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (|2x －1|)＜f (13)． 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增，∴|2x －1|＜13. ∴－13＜2x －1＜13. ∴13＜x ＜23. 答案：13＜x ＜2312.已知f (3x )＝4x log 23＋234，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝________．解析：令3x ＝t ，则x ＝log 3t ，代入f (3x )＝4x log 23＋234，得f (t)＝4log 2t ＋234，则f (2)＋f (4)＋…＋f (28)＝4(1＋2＋…＋8)＋234×8＝2016.答案：201613.关于x 的方程x 2－2|x |－3＝m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝x 2－2|x |－3及y ＝m 的图象，两函数图象有两个不同交点时，原方程有两个不相等的实数根，因此可得m ＝－4或m >－3.答案：(－3，＋∞)∪{－4}14.已知f (x )＝ax 2－2ax ＋b (a >0)，则f (2x )与f (3x )的大小关系是________．解析：f (x )＝a (x －1)2＋b －a .当x >0时，1<2x <3x ，故有f (2x )<f (3x )；当x <0时，3x <2x <1，也有f (2x )<f (3x )；当x ＝0时，3x ＝2x ＝1，有f (2x )＝f (3x )．综上，f (2x )≤f (3x )．答案：f (2x )≤f (3x )二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{a |a ≥2或a ≤－2}，B ＝{a |关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0有实根}，求A ∪B ，A ∩(∁U B )．解：∵ax 2－x ＋1＝0有实根，∴①当a ＝0时，x ＝1符合题意，②当a ≠0时，由Δ＝(－1)2－4a ≥0，解得a ≤14， 综上：a ≤14， ∴B ＝{a |a ≤14}． ∴A ∪B ＝{a |a ≤14或a ≥2}， A ∩(∁U B )＝{a |a ≥2}．16.(本小题满分14分)判断函数f (x )＝x ＋1x在(0，1)上的单调性，并给出证明． 解：是减函数．证明如下：设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2) ＝（x 1－x 2）（x 1x 2－1）x 1x 2. ∵0<x 1<x 2<1，∴x 1x 2－1<0，x 1－x 2<0.∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，1)上是减函数．17.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2x ＋1，g(x )＝x 2－2x ＋1.(1)设集合A ＝{x |g(x )＝9}，求集合A ；(2)若x ∈[－2，5]，求g(x )的值域；(3)画出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≤0g （x ），x >0的图象，写出其单调区间．解：(1)集合A ＝{x |g(x )＝9}＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2，4}．(2)g(x )＝(x －1)2，∵x ∈[－2，5]，当x ＝1时，g(x )m i n ＝0；当x ＝5时，g(x )max ＝16.(3)画出函数图象如图：则单调增区间是(－∞，0]和[1，＋∞)，单调减区间是[0，1]．18.(本小题满分16分)定义在[－2，2]上的偶函数g(x )，当x ≥0时，g(x )单调递减．若g(1－m )＜g(m )，求m 的取值范围．解：∵g(x )在[－2，2]上是偶函数，∴g(1－m )＝g(|1－m |)，g(m )＝g(|m |)．∵g(1－m )＜g(m )，∴g(|1－m |)＜g(|m |)．又g(x )在[0，2]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2－2≤m ≤2|1－m|＞|m|，解得－1≤m ＜12. 19.(本小题满分16分)某汽车生产企业，上年度生产汽车的投入成本为8万元/辆，出厂价为10万元/辆，年销售量为12万辆．本年度为节能减排，对产品进行升级换代．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x ≤12)，则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.5x .(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)当投入成本增加的比例x 为何值时，本年度比上年度利润增加最多？最多为多少？ 解：(1)由题可知，本年度每辆车的利润为10(1＋0.75x )－8(1＋x )，本年度的销售量是12(1＋0.5x )，故年利润y ＝12(1＋0.5x )[10(1＋0.75x )－8(1＋x )]＝－3x 2＋6x ＋24，x ∈(0，12]． (2)设本年度比上年度利润增加为f (x )，则f (x )＝(－3x 2＋6x ＋24)－24＝－3(x －1)2＋3，因为x ∈(0，12]，在区间(0，12]上f (x )为增函数，所以当x ＝12时，函数y ＝f (x )有最大值为94.故当x ＝12时，本年度比上年度利润增加最多，最多为2.25亿元．20.(本小题满分16分)设函数f (x )的定义域为A ，值域为B ，如果存在函数x ＝g(t)，使得函数y ＝f (g(t))的值域仍然是B ，那么称函数x ＝g(t)是函数f (x )的一个等值域变换．(1)判断下列函数x ＝g(t)是不是函数f (x )的一个等值域变换？说明你的理由：①f (x )＝2x ＋1，x ∈R ，x ＝g(t)＝t 2－2t ＋3，t ∈R ；②f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈R ，x ＝g(t)＝2t ，t ∈R.(2)设函数f (x )＝log 2(x 2－x ＋1)，g(t)＝a t 2＋2t ＋1，若函数x ＝g(t)是函数f (x )的一个等值域变换，求实数a 的取值范围．解：(1)①函数f (x )＝2x ＋1，x ∈R 的值域为R ，∵x ＝g(t)＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2≥2，∴y ＝f (g(t))＝2[(t －1)2＋2]＋1≥5，所以，x ＝g(t)不是f (x )的一个等值域变换；②f (x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34，即f (x )的值域为[34，＋∞)， 当t ∈R 时，f (g(t))＝(2t －12)2＋34≥34， 即y ＝f (g(t))的值域仍为[34，＋∞)， 所以x ＝g(t)是f (x )的一个等值域变换．(2)由x 2－x ＋1>0解得x ∈R ，函数f (x )＝log 2(x 2－x ＋1)＝log 2[(x －12)2＋34]≥log 234， 即f (x )的值域为[log 234，＋∞)， ①若a >0，函数g(t)＝a t 2＋2t ＋1有最小值1－1a，只需1－1a ≤12，即0<a ≤2， 就可使函数y ＝f (g(t))的值域仍为[log 234，＋∞)； ②若a ＝0，函数g(t)＝a t 2＋2t ＋1＝2t ＋1的值域为R ，函数y ＝f (g(t))的值域仍为[log 234，＋∞)； ③若a <0，函数g(t)＝a t 2＋2t ＋1 有最大值1－1a， 只需1－1a ≥12，即a <0， 就可使函数y ＝f (g(t))的值域仍为[log 234，＋∞)． 综上可知：实数a 的取值范围为(－∞，2]．。

模块综合检测卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝()A．{3} B．{4}C．{3，4} D．{1，3，4}解析：因为A＝{1，2}，B＝{2，3}，所以A∪B＝{1，2，3}．所以∁U(A∪B)＝{4}．答案：B2．当a＞1时，在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x 的图象是()答案：A3．已知集合A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝() A．∅B．[－1，1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：A＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．所以A∩B＝[1，＋∞)．答案：D4．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1＜0，x1＋x2＞0，则()A．f(－x1)＞f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)＜f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定解析：由x1＜0，x1＋x2＞0得x2＞－x1＞0，又f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，所以f(－x2)＝f(x2)＜f(－x1)．答案：A5．已知函数f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则y＝f(x＋5)的单调递增区间是()A．(3，8) B．(－7，－2)C．(－2，3) D．(0，5)解析：因为f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则f(x＋5)的单调递增区间满足－2＜x＋5＜3，即－7＜x＜－2.答案：B6．若x∈[0，1]，则函数y＝x＋2－1－x的值域是()A．[2－1，3－1] B．[1， 3 ]C．[2－1， 3 ] D．[0，2－1]解析：该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大．故y min ＝2－1，y max ＝ 3.答案：C7．下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1614＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1312 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614 答案：A8．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1，3]D ．(1，3)解析：f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝f (b )，则g (b )∈(－1，1]，即－b 2＋4b －3>－1⇒2－2<b <2＋ 2.答案：B9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2， x ≤1，－log 2（x ＋1），x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，则2a－1＝－1不成立，舍去．当a＞1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3.所以a＋1＝8，a＝7.此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－74.答案：A10．设偶函数f(x)＝log a|x＋b|在(0，＋∞)上是单调减函数，则f(b －2)与f(a＋1)的大小关系是()A．f(b－2)＝f(a＋1) B．f(b－2)＞f(a＋1)C．f(b－2)＜f(a＋1) D．不能确定解析：因为y＝log a|x＋b|是偶函数，b＝0，所以y＝log a|x|.又在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以0＜a＜1.所以f(b－2)＝f(－2)＝f(2)，f(a＋1)中1＜a＋1＜2.所以f(2)＜f(a＋1)，因此f(b－2)＜f(a＋1)．答案：C11．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是()A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时解析：由题设得e b＝192，①e22k＋b＝e22k·e b＝48，②将①代入②得e 22k＝14，则e 11k ＝12. 当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24. 所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．答案：C12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－ax ＋5，x ＜1，1＋1x ， x ≥1，在R 上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．[2，4] 解析：当x ≥1时，f (x )＝1＋1x为减函数， 所以f (x )在R 上应为单调递减函数，要求当x ＜1时，f (x )＝x 2－ax ＋5为减函数，所以a 2≥1，即a ≥2，并且满足当x ＝1时，f (x )＝1＋1x 的函数值不大于x ＝1时f (x )＝x 2－ax ＋5的函数值，即1－a ＋5≥2，解得a ≤4.所以实数a 的取值范围[2，4]．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2－3，312与log 25三个数中最大的数是________．解析：因为2－3＜1，312＜2，log 25＞2.所以这三个数中最大的数为log 25.答案：log 2514．函数y ＝x －2x －3lg 4－x 的定义域是__________．解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，4－x ＞0，所以2≤x ＜4且x ≠3. 答案：[2，3)∪(3，4)15．已知函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，则a ＋b ＝________．解析：因为函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，所以－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1.又f (0)＝b －2020＋1＝b －12＝0，所以b ＝1. 故a ＋b ＝2.答案：216．若函数f (x )＝|4x －x 2|－a 的零点个数为3，则a ＝________. 解析：作出g (x )＝|4x －x 2|的图象，g (x )的零点为0和4.由图象可知，将g (x )的图象向下平移4个单位时，满足题意，所以a ＝4.答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0，1]时，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )的两个零点是－3和2，所以函数图象过点(－3，0)，(2，0)．所以有9a －3(b －8)－a －ab ＝0.①4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.②①－②得b ＝a ＋8.③③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0，因为a ≠0，所以a ＝－3.所以b ＝a ＋8＝5.所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＋18， 图象的对称轴方程是x ＝－12，又0≤x ≤1， 所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18.所以函数f (x )的值域是[12，18]．18．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0， (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋1，f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0.又因为对任意实数x ，均有f (x )≥0，所以Δ＝b 2－4a ≤0.所以(a ＋1)2－4a ≤0.所以a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，在[－2，2]上是单调函数，所以k －22≥2或k －22≤－2， 解之得k ≥6或k ≤－2.所以k 的取值范围是{k |k ≥6或k ≤－2}．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －1x，其定义域为{x |x ≠0}．(1)用单调性的定义证明函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数；(2)利用(1)所得到的结论，求函数f (x )在区间[1，2]上的最大值与最小值．(1)证明：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2－2x 1－1x 1＝x 2－x 1x 1x 2. 因为x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0.又因为x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 2x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＞0.故f (x )＝2x －1x在区间(0，＋∞)上为增函数． (2)解：因为f (x )＝2x －1x在区间(0，＋∞)上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝2－11＝1，f (x )max ＝f (2)＝2×2－12＝32. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x m －4x，且f (4)＝3. (1)求m 的值；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)若不等式f (x )－a ＞0在区间[1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (4)＝3，所以4m －44＝3， 所以m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x －4x， 其定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．又f (－x )＝－x －4－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(3)因为y ＝x ，y ＝－1x在区间[1，＋∞)上都是增函数， 所以f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以f (x )≥f (1)＝－3. 因为不等式f (x )－a ＞0在区间[1，＋∞)上恒成立，即不等式a ＜f (x )在区间[1，＋∞)上恒成立，所以a ＜－3，故实数a 的取值范围是(－∞，－3)．21．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4(尾/立方米)时，v 的值为2(千克/年)；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数；当x 达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v 的值为0(千克/年)．(1)当0＜x ≤20时，求函数v (x )的表达式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．解：(1)由题意：当0＜x ≤4时，v (x )＝2；当4＜x ≤20时，设v (x )＝ax ＋b ，显然该函数在[4，20]是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52.故函数v (x )＝⎩⎨⎧2， 0＜x ≤4，x ∈N *，－18x ＋52， 4≤x ≤20，x ∈N *. (2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎨⎧2x ， 0＜x ≤4，x ∈N *，－18x 2＋52x ， 4≤x ≤20，x ∈N *.当0≤x ≤4时，f (x )为增函数，故f max (x )＝f (4)＝4×2＝8；当4≤x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋10028， f max (x )＝f (10)＝12.5.所以，当0＜x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．22．(本小题满分12分)已知奇函数f(x)＝m－g（x）1＋g（x）的定义域为R，其中g(x)为指数函数，且过定点(2，9)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的t∈[0，5]，不等式f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)＞0恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)设g(x)＝a x(a＞0，且a≠1)，则a2＝9.所以a＝－3(舍去)或a＝3，所以g(x)＝3x，f(x)＝m－3x 1＋3x.又f(x)为奇函数，且定义域为R，所以f(0)＝0，则m－301＋30＝0，所以m＝1，所以f(x)＝1－3x1＋3x.(2)设x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝1－3x11＋3x1－1－3x21＋3x2＝2（3x2－3x1）（1＋3x1）（1＋3x2）.因为x1＜x2，所以3x2－3x1＞0，所以2（3x2－3x1）（1＋3x1）（1＋3x2）＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减．要使对任意的t∈[0，5]，f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)＞0恒成立，即f(t2＋2t＋k)＞－f(－2t2＋2t－5)恒成立．因为f(x)为奇函数，所以f(t2＋2t＋k)＞f(2t2－2t＋5)恒成立．又因为函数f(x)在R上单调递减，所以对任意的t∈[0，5]，t2＋2t＋k＜2t2－2t＋5恒成立，即对任意的t∈[0，5]，k＜t2－4t＋5＝(t－2)2＋1恒成立．而当t∈[0，5]时，1≤(t－2)2＋1≤10，所以k＜1.。

2019-2020年高中数学模块综合检测卷(一)苏教版必修一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x －3＝0的倾斜角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．不存在 答案：C2．已知点A (x ，1，2)和点B (2，3，4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A ．－3或4 B ．－6或2 C ．3或－4 D ．6或－2答案：D3．一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为( ) A ．27π B ．18π C ．9π D ．54π 解析：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ， 则6a 2＝54，所以a ＝3. 又因为2r ＝3a ， 所以r ＝32a ＝332， 所以S 表＝4πr 2＝4π·274＝27π.答案：A4．在同一个平面直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )答案：C5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：因为三个视图中直角较多，所以可以在长方体中对几何体进行分析还原，在长方体中计算其体积．由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图①所示，故该几何体的直观图如图②所示．在图①中，V 棱柱ABC -A 1B 1C 1＝S △ABC ·AA 1＝12×4×3×5＝30，V 棱锥P -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·PB 1＝13×12×4×3×3＝6.故几何体ABC -PA 1C 1的体积为30－6＝24.故选C.答案：C6．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：先求出圆心坐标和半径，再结合对称性求解最小值，设P (x ，0)，C 1(2，3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝（2－3）2＋（－3－4）2＝5 2. 而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3， 所以|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 答案：A7．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C.[]－3，3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析：法一：可联立方程组利用弦长公式求|MN |，再结合|MN |≥23可得答案． 法二：利用圆的性质知，圆心到直线的距离的平方加上弦长一半的平方等于半径的平方，求出|MN|，再结合|MN|≥23可得答案．答案：B8．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.答案：D9.如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为( )A．90°B．45°C．60°D．30°解析：如图所示，取BC的中点H，连接EH，FH，则∠EFH为所求，可证△EFH为直角三角形，EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，从而可得∠EFH＝30°.答案：D10．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y ＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＋kx －y ＝0， 得(1＋k 2)·x 2＋2kx ＝0. 因为两点恰好关于y 轴对称， 所以x 1＋x 2＝－2k1＋k2＝0， 所以k ＝0. 答案：A11．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．－4B ．20C ．0D ．24解析：垂足(1，c )是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4·25＝－1，所以a ＝10.l ：10x ＋4y －2＝0. 将(1，c )代入，得c ＝－2； 将(1，－2)代入l 2，得b ＝－12. 则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4. 答案：A12．过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，73与B (7，0)的直线l 1与过点(2，1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 等于( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6 解析：由题意知l 1⊥l 2，所以kl 1·kl 2＝－1，即－13k ＝－1，k ＝3.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上) 13．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时b 分别取得最小值和最大值．所以b 的取值范围是[－2，2]． 答案：[－2，2]14．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2－(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．解析：根据“半径、弦长AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a 的方程，解方程求a .圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2.所以⎝⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22.解得a ＝4±15.答案：4±1515．如图所示，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D -ABC 中，给出下列三种说法：①△DBC 是等边三角形；②AC⊥BD ；③三棱锥D -ABC 的体积是26. 其中正确的序号是________(写出所有正确说法的序号)．解析：取AC 的中点E ，连接DE ，BE ， 则DE ⊥AC ，BE ⊥AC ，且DE ⊥BE . 又DE ＝EC ＝BE ，所以DC ＝DB ＝BC ， 故△DBC 是等边三角形． 又AC ⊥平面BDE ， 故AC ⊥BD .又V D -ABC ＝13S △ABC ·DE ＝13×12×1×1×22＝212，故③错误．答案：①②16．已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是_________________________．解析：因为(－4＋1)2＋(－3＋2)2＝10<25，所以点P 在圆内．当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝－4，将x ＝－4代入圆的方程，得y ＝2或y ＝－6，此时弦长为8.当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＋3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k －3＝0， 当弦长为8时，圆心到直线的距离为 25－42＝3，则|－k ＋2＋4k －3|k 2＋1＝3，解得k ＝－43.则直线l 的方程为y ＋3＝－43(x ＋4)，即4x ＋3y ＋25＝0.答案：4x ＋3y ＋25＝0或x ＝－4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.因为直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， 所以直线l 的斜率k ＝－3.所以根据点斜式有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，故所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.法二：因为直线l 过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点， 所以设直线l 的方程为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0. 因为直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行， 所以λ＋23＝λ－31≠2λ－3－1，解得λ＝112.从而所求直线方程为 15x ＋5y ＋16＝0.18．(本小题满分12分)如图所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝6，异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．解：因为CC 1∥AA 1，所以∠BC 1C 为异面直线BC 1与AA 1所成的角， 即∠BC 1C ＝30°.在Rt △BC 1C 中，BC ＝CC 1·tan ∠BC 1C ＝6×33＝23， 从而S △ABC ＝34BC 2＝33， 因此该三棱柱的体积为V ＝S △ABC ·AA 1＝33×6＝18 3.19．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC 1∥平面EFPQ ； (2)直线AC 1⊥平面PQMN .证明：(1)连接AD 1，由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体， 知AD 1∥BC 1.因为F ，P 分别是AD ，DD 1的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)如图所示，连接AC ，BD ，则AC ⊥BD .由CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得CC 1⊥BD . 又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1. 而AC 1⊂平面ACC 1， 所以BD ⊥AC 1.因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点， 所以MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1. 同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN .20．(本小题满分12分)右图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．解：此几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．表面积为S ，则S ＝32＋96＋48＋4π＋16π＝176＋20π.体积为V ，则V ＝8×4×6＋12×22×8π＝192＋16π.所以几何体的表面积为(176＋20π)cm 2，体积为(192＋16π)cm 3.21．(本小题满分12分)已知点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上运动，N (4，0)，点P (x ，y )为线段MN 的中点．(1)求点P (x ，y )的轨迹方程；(2)求点P (x ，y )到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值和最小值． 解：(1)因为点P (x ，y )是MN 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 02，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y .将用x ，y 表示的x 0，y 0代入到x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋y 2＝1.此式即为所求轨迹方程． (2)由(1)知点P 的轨迹是以Q (2，0)为圆心，以1为半径的圆．点Q 到直线3x ＋4y －86＝0的距离d ＝|6－86|32＋42＝16.故点P 到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值为16＋1＝17，最小值为16－1＝15.22.(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3，2)，于是切线的斜率必存在，设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3.由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上， 设圆心C (a ，2(a －2))，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4.所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1， 即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。

模块综合测评（时间120分钟，满分150分）一'选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A = { —1,2,3,6}, B={x|—2<%<3},则AnB = （）A.{.x|—2<x<3}B. {3,6}C. { — 1,2}D. { — 1,2,3}C [在集合4中满足集合B中条件的元素有一1,2两个，故AAB={ —1, 2}.2.函数y=^3~2x-x2的定义域是（）A. [—3,1]B. （—3,1）C. [—3,1）D. （— 3,1]A [要使函数有意义，需3-2x-?^0,即/+2x—3W0,解得一3WxWl.]3.函数幷）在区间（一2,3）上是增函数，贝ij +5）的单调增区间是（）A. （3,8）B. （-7, -2）C. （-2,8）D. （—2,3）B [y=>+5）的图象是由几力的图象向左平移5个单位得到，故y=>+5）的单调增区间为（一7, -2）]4.如果集合P=[x\x>-1],那么下列结论成立的是（）A. OUPB. {0}GPC. 0WPD. {0}cpD [元素与集合之间的关系用符号W或幺表示•]5.函数y（x） = log3X—x+2的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3C [令方程log3x-x+2 = 0,可化为log3%=x-2.在同一坐标系中作出力= log3兀与yi=x—2的图象如图所示，可观察出两图象有两个不同交点.故函数几兀）的零点个数有2个.6.已知tz = 0.5亍，b = 亍，C=log2.51.5,则a, b, c的大小关系是（）A・a>b>c B・a>c>bC. c>b>aD. b>a>cA [•.•Q=0.5—|>1, Li,且幕函数y=x亍在第一象限为减函数，而30.5<^, /. a>b.又log2.51.5vl,故a>b>c.]7.如果幕函数y=（m2-3m+3）・/一"一?的图象不过原点，那么（）A. —B.加=1 或m=2C. m=2D. m=lB [由题意，得m2—3"?+3 = 1, m 1或2,又函数图象不过原点，m2—m—2W0,即一lWmW2.综上加=1 或2.]8.设几劝是定义域为R的偶函数，且几兀）在[0, +°°）上为增函数，则几一2）, 夬一兀），几3）的大小顺序为（）A.夬_2）今：3）勺（_町B.几3）勺（一2）勺（一町C.夬_町勺（3）勺（_2）D.夬_町</（_2）勺（3）A [根据几劝是定义域为R的偶函数，则有K—x）=Kx）,故几一2）=/（2）,几一町=A町•••％）在[0, +°°）上为增函数，且2<3<冗，.\A2）勺⑶勺5）, .祖_2）勺⑶勺（_冗）.]9.设a>l,若对于任意的[a,2a],都有y^[a,满足方程logax+logc = 3,这时a的取值的集合为（）A. {a|l<aW2}B. {a|a三2}D. {2,3}C. {a|2WaW3}2aB ［由 logax+log“y=3,得 logJXy) = 3,即 xy=a , -y=~-3当［a,2a ］时，都有［a, 满足方程，也就是说，y=—^k ［a,2a ］内的x值域应是［a, a'］的子集.由 aWxW2a,知.°.aW 亍 又*.*a>l, .°.a$2.］10. 函数y=f(x)的图象如图所示，贝U 函数y=logj_ fix)的图象大致是()2C ［设y=log 丄u, u=fix),所以根据外层函数是单调减函数，所以看函数u 2=夬兀)的单调性，在(0,1)上u= fix)为减函数，所以整体是增函数，u>l,所以函数 值小于0,在(1,2)上为增函数，所以整体是减函数，u>i,所以函数值小于 0,所以选C.］11. 已知函数»=log 2(x 2-5x+6),则该函数的递增区间为() A. (一8, 2) B. (0, +°°) C. +°°jD. (3, +s)D ［由题意，得加=log 2(x 2-5x+6)的定义域为(一8, 2)U(3, +«=).令/ =x 2—5x+6,则 =logo A=log2?在(0, +8)为增函数,而函数 r=x 2—5x+6的增区间为［I ，+8),根据复合函数的单调性“同增异减”，得函数几对单调递 增区间为(3, +°°).］12. 下列函数中，满足'7(x+y)=fix)fiyY ，的单调递增函数是() A.B. y (x) = 3xC. »=^2D. » = |}JB [对于选项A, »=x3, >+y) = (.x+y)3^x3-y3,不满足>+y)=»», 故选项A错误；对于选项B, » = 3\ >+y) = 3A+y=3x-3v,满足兀t+y)=AQ/®),1 1 1 1 且y(x) = 3T是增函数，故选项B正确；对于选项(2,夬兀)=迈，夬x+y) =(x+y)2H_v2.y2, 不满足故选项C错误；对于选项D, » = ,心+y) = g)'= 满足>+y)=>W)，但» = ||)不是增函数，故选项D错误•]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13.设集合B={ai，a2，…，a”}, J={bi，他，…，b m},定义集合B®J={(a,b)|a = ai+a2 +…+a”，/?=饷+他+…+%},己知B— {0,1,2}, J= {2,5,8},则B㊉•/ 的子集为_________________ •0, {(3,15)}[因为根据新定义可知，0+1 + 2 = 3,2+5 + 8 = 15,故B㊉丿的子集为0, {(3,15)}.]F+l, xWO,14.已知幷)=仁°若血) = 10,贝.、2兀，兀>0,—3或5 [当尢W0时，令#+1 = 10,解得%=-3或x=3(舍去)；当x>0 时，令2x=10,解得x=5.综上，x=—3 或x=5.]2x— 1 m15.函数几劝= —的反函数是/ T(x)，贝戶_________________ .2x— 1 32 [令一-—=㊁，解得x=2,则/ 匕丿=2・]16.若y=/(x)是奇函数，当x>0 时，幷)=2" +1,贝ij f ^log2 £j= ___________ .-4 [•.•»是奇函数，[log2 £=A - log2 3)= —/(log2 3).17.（本小题满分10分）（1）求「又 log 2 3>0,且 x>0 时，夬x ）=2A +1, 故y （log2 3） = 2^°®2 ' + 1=3 +1=4,[log2 |） = -4.]三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）⑵求(log2 3+log 8 9)(log 3 4+log 9 8+log 3 2)+(lg 2)2+lg 20Xlg5 的值. ［解］⑴原式=5 X (-4) X(_6)= 24/ = 24 皈2 3 5(2)原式= log2 3+glog2 321og3 2+^log3 2+log3 2+(lg 2)2+(l+lg 2)lg 5=§log2 3-|log 3 2+(lg 2)2+lg 2-lg 5+lg 5=y+lg 2(lg 5+lg 2)+lg 5=y+lg 2+lg 5=y18. (本小题满分 12 分)己知集合 A={JC |3W3冬27}, B={A|log 2x>l}.⑴分另D 求ACB, (C R B)UA ；(2)已知集合C={x\\<x<a},若CUA,求实数a 的取值范围.［解］(1 )A = {x|3 W 3* W 27} = {兄 1 Wx W 3},B {x|log2 x>l} {x|x>2} , AC\B {x|2<xW3} , ( ［ R 5) U A ={x|xW2}U {x|lWxW3} = {x|xW3}.⑵①当aWl 时，C=0,此时CCA ； ②当 a>l 时，C^A,则 l<aW3.综合①②，可得a 的取值范围是(一°°, 3］.19.(本小题满分12分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投 入尢万元时，甲、乙两种商品可分别获得刃，力万元的利润，利润曲线Pi ： yi = ax n , P2： y2=bx+c 如图所示.2 1值的f5&=G 1"， ^=a ・4",(1) 求函数力，力的解析式； (2) 为使投资获得最大利润，应怎样分配投资？［解］由题图知Pi: y\=ax ii 点r 5a —R 5 1X E[0, +°°).P2： yi =bx+c it 点(0,0), (4,1),0=0+c,• < 」=4b+c,c = 0,_1•••旳=家，%e [0, +°°).4?(2) 设用尢万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10—劝万元，则 y=^+£(10_x) = _|x +扌 心+|=_|) + f|(0<x<10), 当且仅当V%=|即兀=手=6.25时，Vmax =鈴，此时投资乙商品为10—%= 10—6.25 = 3.75万元， 故用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润.20. (本小题满分12分)已知幷)是定义在R 上的奇函数，当x20时，兀0=/ 1,其中a>0且aHl.⑴求几2)+几一2)的值； ⑵求幷)的解析式；(3) 解关于兀的不等式一1<>-1)<4,结果用集合或区间表示.［解］(1)V»是奇函数，W —2)=—A2), 即 ^2)+A-2) = 0.(2)当xVO 时，一兀>0,当a>\时，有< x< 1,X>1—log fl 2或F*[x<l+log a 5,由兀0是奇函数，有X-x) = -/x), 即 »=-^A +l(x<0). .•.所求的解析式为才一1(x20),_a _v + l(x<0). (3) 不等式等价于 x —lVO,-K-a~x+i + l<4, x~ 120,、_1V 严_1V4,x —1V0,、pr —120,或< -3<a~x+i <2 ~ [0<^_1<5.可得此时不等式的解集为(l —log“2,l+log“5). 同理可得，当OVaVl 时，不等式的解集为R. 综上所述，当a>l 时，不等式的解集为(l-log fl 2,l+log a 5); 当OVaVl 时，不等式的解集为R.21.(本小题满分 12 分)已知函数 fix)=logaCff — 1 )(a>0, aHl), ⑴求函数兀0的定义域；⑵判断函数7U)的单调性.懈］⑴函数夬X )有意义，则^-1>0, 当a>l 时，由1>0,解得x 〉0; 当0<a<l 时，由tf —1>0,解得尢<0. .•.当a>l 时，函数的定义域为(0, +°°); 当0<a<l 时，函数的定义域为(一8, 0).⑵当 a>l 时，任取劝，%2G (0, +°°),且%i>%2,则 a >a ,Xl %2a ~ax\x2 a —1~ 、a —a妙)一/(X2)= log a(a —1)—log a(a 一一1) = logo = log a 1 + .儿2 1 儿2 ia — 1 I a—1 丿： Xi X2 Xi , d —a\'a X>a.\>i)->2) = log fl 1+—--------------- >log fl l=0,即>i)>/(x2).儿2 iI a —1 丿由函数单调性定义知：当a>l时，/(尢)在(0, +8)上是单调递增的.当0<a<l 时，任取兀1,兀2丘(—8, 0),且xi>X2,则a A<a2,X1 , ( X1 尢2)Xi X2 a , a ~a Xxi)—Xx2)=log fl(t? —l)—log“(a — l)=log fl—=log… 1 十•儿2 1 儿2 1a — 1 I a — L丿' Xi_兀2、*•*a1 <a ~，•/xi) —/<>2)=log“ 1 +° Y a >log a 1=0,即幷i)訣也)- I a —1 丿由函数单调性定义知：当0<a<l Ht, »在(一°°, 0)上是单调递增的.22.(本小题满分12分)设函数y=Xx)是定义域为R,并且满足Xx+y)=/x)⑴求㈣的值；(2)判断函数的奇偶性；⑶如果»+/2+x)<2,求x的取值范围.［解］⑴令x=y=0, 则»=»+»,"0)=0.⑵令y=—X,得»=»+A-^)=o,故函数几劝是R上的奇函数.(3)任取xi, X2£R,XI<X2,则X2~Xi>0,=沧2_心+xi) —/(X1)=/(%2—xi)+y(xi)—/Xi)=y(%2 _无i)>o..\Ax)+/(2+x)=/[x+(2+x)]=filx+2)<f [I]又由y=f(x)是定义在R上的增函数,2 ?得2兀+2<予解得兀<—亍故x的取值范围是(一8, —。

模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( ) A ．±12 B ．±2 C ．12 D ．－2D 〖因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2．〗2．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．135°D 〖由题意可知，直线l 的斜率为－1，故由tan 135°＝－1，可知直线l 的倾斜角为135°．〗 3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．RB ．(－∞，1)C ．(－∞，1〗D ．〖1，＋∞)B 〖由方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0可得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－5k ，此方程表示圆，则5－5k >0，解得k <1．故实数k 的取值范围是(－∞，1)．故选B ．〗4．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54B ．52C ．32D ．54B 〖由题意，1－b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e＝52．〗 5．设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝xD 〖因为函数f (x )是奇函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)x ，化简可得y ＝x ，故选D ．〗6．以F ⎝⎛⎭⎫0，p2(p ＞0)为焦点的抛物线C 的准线与双曲线x 2－y 2＝2相交于M ，N 两点，若△MNF 为正三角形，则抛物线C 的标准方程为( )A ．y 2＝26xB ．y 2＝46xC ．x 2＝46yD ．x 2＝26yC 〖由题意，以F ⎝⎛⎭⎫0，p 2(p ＞0)为焦点的抛物线C 的准线y ＝－p2代入双曲线x 2－y 2＝2，可得x ＝±2＋p 24，∵△MNF 为正三角形，∴p ＝32×22＋p 24，∵p ＞0，∴p ＝26，∴抛物线C 的方程为x 2＝46y ．〗7．若函数f (x )＝e x (sin x ＋a )在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．〖2，＋∞) B ．〖1，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．(－2，＋∞)B 〖由题意得：f ′(x )＝e x (sin x ＋a )＋e x cos x ＝e x ⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ． ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴f ′(x )≥0在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上恒成立． 又e x ＞0，∴2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ≥0在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上恒成立． 当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1． ∴2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ∈(－1＋a ，2＋a 〗，∴－1＋a ≥0，解得a ∈〖1，＋∞)．故选B ．〗 8．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，抛物线C ：y 2＝8ax 的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP →⊥FP →，则E 的离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．⎝⎛⎦⎤1，324C ．⎣⎡⎭⎫324，＋∞ D ．(2，＋∞)B 〖由题意得，A (a ，0)，F (2a ，0)，设P ⎝⎛⎭⎫x 0，b a x 0，由AP →⊥FP →，得AP →·PF →＝0⇒c 2a 2x 20－3ax 0＋2a 2＝0，因为在E 的渐近线上存在点P ，则Δ≥0，即9a 2－4×2a 2×c 2a 2≥0⇒9a 2≥8c 2⇒e 2≤98⇒e ≤324，又因为E 为双曲线，则1＜e ≤324，故选B ．〗二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．对于定点P (1，1)和圆C ：x 2＋y 2＝4，下列说法正确的是( ) A ．点P 在圆内部 B ．过点P 有两条圆的切线C ．过点P 被圆截得的弦长最大时的直线方程为x －y ＝0D ．过点P 被圆截得的弦长最小值为22ACD 〖由12＋12＜4知，点(1，1)在圆内，∴A 对；且过P 不能作出圆的切线，∴B 错；过点P 的最大弦长为直径，所以方程应为y ＝x ，即x －y ＝0，∴C 对；D 中，过点P 且弦长最小的方程应是y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，∴弦长为24－⎝⎛⎭⎫222＝22， ∴D 对，故应选ACD ．〗10．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，则下列说法正确的是( ) A ．a 5＝－16 B ．S 5＝－63C ．数列{}a n 是等比数列D ．数列{}S n ＋1是等比数列AC 〖因为S n 为数列{}a n 的前n 项和，且S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝2a 1＋1，因此a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，所以数列{}a n 是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C 正确； 因此a 5＝－1×24＝－16，故A 正确；又S n ＝2a n ＋1＝－2n ＋1，所以S 5＝－25＋1＝－31，故B 错误；因为S 1＋1＝0，所以数列{}S n ＋1不是等比数列，故D 错误．故选AC ．〗11．定义在区间⎣⎡⎦⎤－12，4上的函数f (x )的导函数f ′(x )图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0，4)单调递增B ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，0单调递减 C ．函数f (x )在x ＝1处取得极大值 D ．函数f (x )在x ＝0处取得极小值ABD 〖根据导函数图象可知，f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，0上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，在区间(0，4)上，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝0处取得极小值，没有极大值，所以A 、B 、D 选项正确，C 选项错误．故选ABD ．〗12．下列说法正确的是( )A ．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上任意一点(非左右顶点)与左右顶点连线的斜率乘积为－b 2a 2B ．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1焦点的弦中垂直于实轴的弦长为2b 2aC ．抛物线y 2＝2px上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若弦AB 经过抛物线焦点，则x 1x 2＝p 24D ．若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切 ABC 〖对于A 中，椭圆的左右顶点的分别为A (－a ，0)，B (a ，0)， 设椭圆上除左右顶点以外的任意一点P (m ，n )，则 k P A ·k PB ＝n m ＋a ·n m －a ＝n 2m 2－a 2，又因为点P (m ，n )在椭圆上，可得m 2a 2＋n 2b 2＝1，解得n 2＝⎝⎛⎭⎫1－m 2a 2b 2，所以k P A ·k PB ＝－b 2a 2，所以A 项是正确的；对于B 中，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右焦点F (c ，0)，则AB ＝2bc 2a 2－1＝2b 2a，故B 正确． 对于C 中，当AB 斜率不存在时，x A ＝x B ＝p 2，∴有x 1x 2＝p 24；当AB 斜率存在时，可设AB 方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2． 代入y 2＝2px 得k 2⎝⎛⎭⎫x －p 22＝2px ，即k 2x 2－k 2px －2px ＋k 2p 24＝0，所以x 1x 2＝p 24，故C 正确；对于D 中，当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线抛物线是相交的，所以直线与圆锥曲线有一个公共点，该直线和圆锥曲线相切是错误，即D 项是不正确的．〗三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为________．25 〖因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝25．〗14．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则|AB |＋r ＝________．2＋23 〖如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt △DOB 中，∠DOB ＝60°，∴∠DBO ＝30°，又|OD |＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r ＝2|OD |＝2，|AB |＝2r 2－OD 2＝23．∴|AB |＋r ＝23＋2．〗15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝2S n S n ＋1，则a 2＝________，S n ＝________．(本题第一空2分，第二空3分)23 11－2n 〖S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝2S n S n ＋1，令n ＝1，则a 2＝2a 1(a 1＋a 2)，∴a 2＝－2(－1＋a 2)，解得a 2＝23．又S n ＋1－S n ＝2S n S n ＋1，整理得1S n －1S n ＋1＝2(常数)，即1S n ＋1－1S n ＝－2(常数)， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝－1为首项，－2为公差的等差数列．所以1S n ＝－1－2(n －1)＝1－2n ， 故S n ＝11－2n．〗16．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，且f ′(x )＞f (x )(x ∈R )，f (2)＝e 2(e 为自然对数的底数)，则不等式f (x )＜e x 的解集为________．(－∞，2) 〖构造f (x )＝f (x )e x ∴F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x ．由于f ′(x )＞f (x )，故F ′(x )＞0 ，即f (x )在R 上单调递增．又f (2)＝e 2，故f (2)＝f (2)e 2＝1，f (x )＜e x ，即f (x )＝f (x )ex ＜1＝f (2)，即x ＜2．〗四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1，4)，B (3，2)且圆心在y 轴上的圆的方程．〖解〗 线段AB 的中点为(1，3)，k AB ＝2－43－(－1)＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0，1)为所求圆的圆心． 由两点间距离公式得圆半径r 为(0＋1)2＋(1－4)2＝10，∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10．18．(本小题满分12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4． (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ．〖解〗 (1)设q (q >0)为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2．所以{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n ．(2)S n ＝2(1－2n )1－2＋n ×1＋n (n －1)2×2＝2n ＋1＋n 2－2．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2． (1)求h (x )＝f (x )－3x 的极值；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax 在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围． 〖解〗 (1)由已知可得h (x )＝f (x )－3x ＝ln x ＋x 2－3x ， h ′(x )＝2x 2－3x ＋1x(x ＞0)，令h ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ＝0，可得x ＝12或x ＝1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(1，＋∞)时，h ′(x )＞0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，h ′(x )＜0，∴h (x )在⎝⎛⎭⎫0，12，(1，＋∞)上为增函数，在⎝⎛⎭⎫12，1上为减函数， 则h (x )极小值＝h (1)＝－2，h (x )极大值＝h ⎝⎛⎭⎫12＝－54－ln 2． (2)g (x )＝f (x )－ax ＝ln x ＋x 2－ax ， g ′(x )＝1x＋2x －a (x ＞0)，由题意可知g ′(x )≥0(x ＞0)恒成立， 即a ≤⎝⎛⎭⎫2x ＋1x min ， ∵x ＞0时，2x ＋1x ≥22，当且仅当x ＝22时等号成立，∴⎝⎛⎭⎫2x ＋1x min ＝22， ∴a ≤22，即实数a 的取值范围为(－∞，22〗．20．(本小题满分12分)已知在正项数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)(n ∈N ＋)在函数y ＝x 2＋1的图象上，数列{b n }的前n 项和S n ＝2－b n ．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝－1a n ＋1log 2b n ＋1，求{c n }的前n 项和T n ．〖解〗 (1)∵点()a n ，a n ＋1(n ∈N ＋)在函数y ＝x 2＋1的图象上，∴a n ＋1＝a n ＋1，∴数列{a n }是公差为1的等差数列． ∵a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)＝n ．∵S n ＝2－b n ，∴S n ＋1＝2－b n ＋1，两式相减得：b n ＋1＝－b n ＋1＋b n ，即b n ＋1b n ＝12，由S 1＝2－b 1，即b 1＝2－b 1，得b 1＝1． ∴数列{b n }是首项为1，公比为12的等比数列，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1．(2)log 2b n ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎫12n＝－n ，∴c n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－(1＋a )x ，a ∈R ．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对任意的x ∈(e ，＋∞)都有f (x )＞0成立，求a 的取值范围． 〖解〗 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋12x 2－2x ，x ＞0，f ′(x )＝x 2－2x ＋1x ，f ′(1)＝0，f (1)＝－32，所以所求切线方程为y ＝－32．(2)f ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x ．当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)递增；当a ≤0时，f (x )在(0，1)递减，(1，＋∞)递增；当0＜a ＜1时，f (x )在(0，a )递增，(a ，1)递减，(1，＋∞)递增； 当a ＞1时，f (x )在(0，1)递增，(1，a )递减，(a ，＋∞)递增． (3)由f (x )＞0得(x －ln x )a ＜12x 2－x ．注意到y ＝x －ln x ，y ′＝x －1x，于是y ＝x －ln x 在(0，1)递减，(1，＋∞)递增，最小值为1，所以∀x ∈(e ，＋∞)，x －ln x ＞0．于是只要考虑∀x ∈(e ，＋∞)，a ＜12x 2－x x －ln x ．设g (x )＝12x 2－x x －ln x ，g ′(x )＝12(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2，注意到h (x )＝x ＋2－2ln x ，h ′(x )＝x －2x，于是h (x )＝x ＋2－2ln x 在(e ，＋∞)递增，h (x )＞h (e)＝e ＞0，所以g (x )在(e ，＋∞)递增，于是a ≤g (e)＝e 2－2e2(e －1)．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．〖解〗 (1)由题设得4a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3．所以C 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0．于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2． ①由AM ⊥AN 知AM →·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，可得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0．将①代入上式可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0． 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0． 因为A (2，1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，故2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1，m ＝－23k －13．于是MN 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －23－13(k ≠1)． 所以直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13． 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1)． 由AM →·AN →＝0得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0．又x 216＋y 213＝1，可得3x 21－8x 1＋4＝0．解得x 1＝2(舍去)，x 1＝23． 此时直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13． 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝⎛⎭⎫43，13．若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝223．若D 与P 重合， 则|DQ |＝12|AP |．综上，存在点Q ⎝⎛⎭⎫43，13，使得|DQ |为定值．。

模块综合测评(教师独具)(时间120分钟，满分150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0，x ∈Z }，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2＜x ＜－1} B ．{x |－2＜x ＜3} C ．{－2}D ．{－2，－1}C [A ＝{x |x 2＋x －2≤0，x ∈Z }＝{－2，－1,0,1}，所以A ∩B ＝{－2} ．故选C ．] 2．已知角α的终边经过点P (3，－4)，则tan α＝( ) A ．35 B ．－45 C ．－43 D ．43C [由正切的三角函数定义可知tan α＝y x ＝－43，故选C ．]3．已知命题p ：A ∩(∁U B )＝∅，命题q ：A B ，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为A ∩(∁U B )＝∅⇔A ⊆B ，则q ⇒p, pq ．故p 是q 的必要不充分条件．]4．函数f (x )＝ln 3x－14＋3x －x 2的定义域为( ) A ．{x |－1<x <4} B ．{x |0<x <4} C ．{x |x >4}D ．{x |x <－1}B [函数f (x )＝ln 3x－14＋3x －x 2的定义域满足：⎩⎪⎨⎪⎧3x－1>0，4＋3x －x 2>0，解得0<x <4．故选B ．]5．若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是( ) A ．1a －b ＞1aB ．1a ＞1bC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 2A [取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b ＞1a不成立．] 6．若α＝－4，则下列结论不成立的是( ) A ．sin α>0 B ．cos α<0 C ．tan α<0D ．sin α<0D [α＝－4＝－2π＋(2π－4)，π2<2π－4<π，故角α的终边在第二象限．sin α>0，cos α<0，tan α<0，故选D ．]7．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝2，则xy ( ) A ．有最大值为1 B ．有最小值为1 C ．有最大值为12D ．有最小值为12C [因为x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝2，所以x ＋2y ≥2x ·2y ，即2≥22xy ，xy ≤12，当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立．所以xy 有最大值，且最大值为12．]8．已知函数f (x )＝sin ()ωx ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0及直线l ：x ＝π3对称，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π不存在最值，则φ的值为( )A ． －π3B ．－π6C ．π6D ．π3C [函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0及直线l ：x＝π3对称． 则T 4＋kT 2＝π3＋π6＝π2，∴T ＝2π1＋2k，k ∈N ． f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π不存在最值，则T ≥π，故k ＝0时满足条件，T ＝2π，ω＝1．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，则－π6＋φ＝m π，∴φ＝m π＋π6，m ∈Z ． 当m ＝0时满足条件，故φ＝π6．故选C ．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是( )A ．若幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，2，则解析式为y ＝x －3B ．若函数f (x )＝x －45，则f (x )在区间(－∞，0)上单调递减 C ．幂函数y ＝x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1) D ．若函数f (x )＝x ，则对于任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)有f x 1＋f x 22≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22CD [若幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，2，则解析式为y ＝x －13，故A 错误； 函数f (x )＝x －45是偶函数且在()0，＋∞上单调递减，故在()－∞，0单调递增，B 错误；幂函数y ＝x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)，C 正确； 任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，要证f x 1＋f x 22≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即x 1＋x 22≤x 1＋x 22，即x 1＋x 2＋2x 1x 24≤x 1＋x 22，即(x 1－x 2)2≥0，易知成立，故D 正确；故选CD ．]10．关于函数y ＝f (x )，y ＝g (x )，下述结论正确的是( ) A ．若y ＝f (x )是奇函数，则f (0)＝0B ．若y ＝f (x )是偶函数，则y ＝|f (x )|也为偶函数C ．若y ＝f (x )(x ∈R )满足f (1)<f (2)，则f (x )是区间[1,2]上的增函数D ．若y ＝f (x )，y ＝g (x )均为R 上的增函数，则y ＝f (x )＋g (x )也是R 上的增函数 BD [对于A ． 若y ＝f (x )是奇函数，则f (0)＝0，当定义域不包含0时不成立，故A 错误；对于B ．若y ＝f (x )是偶函数，f (x )＝f (－x ) ，故|f (x )|＝|f (－x )|，y ＝|f (x )|也为偶函数，B 正确；对于C ．举反例：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432满足f (1)<f (2)，在[1,2]上不是增函数，故C 错误；对于D ．若y ＝f (x )，y ＝g (x )均为R 上的增函数，则y ＝f (x )＋g (x )也是R 上的增函数． 设x 1<x 2，则[f (x 2)＋g (x 2)]－[f (x 1)＋g (x 1)]＝[f (x 2)－f (x 1)]＋[g (x 2)－g (x 1)]>0， 故y ＝f (x )＋g (x )单调递增，故D 正确．故选BD ．] 11．已知函数f (x )＝1＋m3x＋1(m ∈R )为奇函数，则下列叙述正确的有( ) A ．m ＝－2B ．函数f (x )在定义域上是单调增函数C ．f (x )∈(－1,1)D ．函数F (x )＝f (x )－sin x 所有零点之和大于零 ABC [因为函数f (x )＝1＋m 3x＋1(m ∈R )为奇函数，所以f (0)＝1＋m 30＋1＝1＋m2＝0，解得m ＝－2，故A 正确；因此f (x )＝1－23x＋1．又因为y ＝3x＋1在定义域上是单调增函数，所以y ＝23x＋1为单调减函数，即f (x )＝1－23x ＋1在定义域上是单调增函数，故B 正确；令t ＝3x＋1，t ∈(1，＋∞)，所以f (t )＝1－2t在t ∈(1，＋∞)上的值域为(－1,1)，故C 正确；函数F (x )＝f (x )－sin x所有零点可以转化为f (x )＝sin x 的两个函数的交点的横坐标，因为f (x )和y ＝sin x 都为奇函数，所以若有交点必然关于原点对称，那么其和应等于零，如图，故选项D 错误．故选ABC ．]12．出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h 的日晷及其投影长度s 的公式：s ＝h sin 90°－φsin φ，即等价于现在的s ＝h cot φ，我们称y ＝cot x 为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是( )A ．函数y ＝cot x 的最小正周期为2πB ．函数y ＝cot x 关于(π，0)对称C ．函数y ＝cot x 在区间(0，π)上单调递减D ．函数y ＝tan x 的图象与函数y ＝cot x 的图象关于直线x ＝π2对称BC [y ＝cot x ＝cos x sin x ＝1tan x，画出函数图象，如图所示：故函数的最小正周期为π，关于(π，0)对称，区间(0，π)上单调递减．且函数y ＝tan x 的图象与函数y ＝cot x 的图象不关于直线x ＝π2对称．故选BC ．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数y ＝sin x －tan x 在[－2π，2π]上零点的个数为________． 5 [由y ＝sin x －tan x ＝0得sin x ＝tan x, 即sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1cos x ＝0． ∴sin x ＝0或1－1cos x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )，又－2π≤x ≤2π，∴x ＝－2π，－π，0，π，2π， 从而图象的交点个数为5．]14．已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，∁U B ∩A ＝{9}，则A ＝________．{3,9} [由题意画出Venn 图，如图所示．由图可知，A ＝{3,9}．]15．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝14，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3＝________．34 [2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝34．]16．已知函数f (x )＝12x －22x ＋1，则g (x )＝f (x )＋1是________函数(从“奇”“偶”“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空)，不等式f (x 2－x )＋f (4x －10)≤－2的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)(1)奇 (2)[－5,2] [函数y ＝12x ，y ＝－22x ＋1单调递增，故f (x )＝12x －22x ＋1单调递增；g (x )＝f (x )＋1＝12x －22x ＋1＋1＝12x ＋2x－12x ＋1，函数单调递增；g (－x )＝12(－x )＋2－x－12－x ＋1＝－12x －2x－12x ＋1＝－g (x )，故g (x )是奇函数；f (x 2－x )＋f (4x －10)≤－2，即g (x 2－x )≤－g (4x －10)＝g (10－4x )．故x 2－x ≤10－4x ，解得－5≤x ≤2．]三、解答题(本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围． [解] (1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }，∵A ∩B ＝[1,3]，∴m ＝4．(2)∵q 是p 的必要条件 ∴p 是q 的充分条件， ∴A ⊆∁R B ，∴m ＞6或m ＜－4．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2(其中a 为非零常数)． (1)求f (x )的单调增区间；(2)若a >0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为1，求a 的值．[解] (1)当 a >0时，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴当a >0时，函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，当a <0时，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，∴当a <0时，函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴当a >0时，f (x )的最小值为－a ＋2＝1，∴a ＝1．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lg(2＋x )＋lg(2－x )． (1)判断f (x )的奇偶性，并证明；(2)用定义证明函数f (x )在(0,2)上单调递减； (3)若f (x －2)＜f (x )，求x 的取值范围．[解] (1)因为f (x )＝lg(2＋x )＋lg(2－x )＝lg(4－x 2)，所以函数f (x )的定义域为(－2,2)，因为f (－x )＝lg(4－(－x )2)＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)任取x 1，x 2∈(0,2)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(4－x 21)－lg(4－x 22)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 214－x 22，因为x 1，x 2∈(0,2)且x 1＜x 2，所以4－x 21＞4－x 22＞0，所以4－x 214－x 22＞1，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 214－x 22＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在区间(0,2)上单调递减． (3)因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (||x )，又因为f (x )定义域为(－2,2)，且在区间(0,2)上单调递减，f (x －2)<f (x )，所以⎩⎨⎧|x －2|>|x |，－2<x －2<2，－2<x <2，解之得0<x <1，所以x 的取值范围是(0,1)．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3． (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos (x 1－x 2)的值．[解] (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3． 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1．(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，所以当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π．又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，所以x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，所以cos (x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos (x 1－x 2)＝23．21．(本小题满分12分)如图，天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮，是天津的地标之一 ．永乐桥分上下两层，上层桥面预留了一个长方形开口，供摩天轮轮盘穿过，摩天轮的直径为110米，外挂装48个透明座舱，在电力的驱动下逆时针匀速旋转，转一圈大约需要30分钟．现将某一个透明座舱视为摩天轮上的一个点P ，当点P 到达最高点时，距离下层桥面的高度为113米，点P 在最低点处开始计时．(1)试确定在时刻t (单位：分钟)时点P 距离下层桥面的高度H (单位：米)；(2)若转动一周内某一个摩天轮透明座舱在上下两层桥面之间的运行时间大约为5分钟，问上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米？[解] (1)如图，建立平面直角坐标系．由题可知OP 在t 分钟内所转过的角为2π30×t ＝π15t ，因为点P 在最低点处开始计时，所以以Ox 为始边，OP 为终边的角为π15t －π2，所以点P 的纵坐标为55sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π15t －π2，则H ＝55sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π15t －π2＋58＝58－55cos π15t (t ≥0)，答：在t 分钟时点P 距离下层桥面的高度H 为58－55cos π15t (米)．(2)根据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点P 在t ＝52分钟时距离下层桥面的高度．当t ＝52时，H ＝58－55cos π15t ＝58－55cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π15×52＝58－5532． 答：上层桥面距离下层桥面的高度约为58－5532米．22．(本小题满分12分) 对于函数f (x )，若存在定义域中的实数a ，b 满足b >a >0且f (a )＝f (b )＝2f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≠0，则称函数f (x )为“M 类” 函数．(1)试判断f (x )＝sin x ，x ∈R 是否是“M 类” 函数，并说明理由；(2)若函数f (x )＝|log 2x －1|，x ∈(0，n )，n ∈N *为“M 类” 函数，求n 的最小值． [解] (1)不是．假设f (x )为M 类函数，则存在b >a >0，使得sin a ＝sin b ， 则b ＝a ＋2k π，k ∈Z 或者b ＋a ＝π＋2k π，k ∈Z ， 由sin a ＝2sina ＋b2，当b ＝a ＋2k π，k ∈Z 时，有sin a ＝2sin(a ＋k π)，k ∈Z ， 所以sin a ＝±2sin a ，可得sin a ＝0，不成立；当b ＋a ＝π＋2k π，k ∈Z 时，有sin a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，k ∈Z ， 所以sin a ＝±2，不成立， 所以f (x )不是M 类函数．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－log 2x ，0<x ≤2log 2x －1，x >2 ，则f (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，又因为f (x )是M 类函数，所以存在0<a <2<b ，满足1－log 2a ＝log 2b －1＝2|log 2a ＋b 2－1|， 由等式可得：log 2(ab )＝2，则ab ＝4， 所以a ＋b 2－2＝12(a ＋4a －4)＝a －222a>0， 则log 2a ＋b 2－1>0，所以得log 2b －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2a ＋b 2－1， 从而有log 2b ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，则有2b ＝a ＋b 24，即⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋b 2＝8b ， 所以b 4－8b 3＋8b 2＋16＝0，则(b －2)(b 3－6b 2－4b －8)＝0，由b >2，则b 3－6b 2－4b －8＝0，令g (x )＝x 3－6x 2－4x －8，当2<x <6时，g (x )＝(x －6)x 2－4x －8<0，且g (6)＝－32<0，g (7)＝13>0，且g (x )连续不断，由零点存在性定理可得存在b ∈(6,7)，使得g (b )＝0，此时a ∈(0,2)，因此n 的最小值为7．。

第章集合测评(卷)(满分分时间分钟)一、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．只要求直接填写结果)．已知集合＝(，＋∞)，＝[－]，则∩＝，∪＝.．集合＝{＝－＋，∈，∈}的真子集的个数为．．设，∈，集合＝{，＋，}，集合＝{，，}．若＝，则－＝.．已知全集＝，集合＝[－]，＝(－∞，)∪(，＋∞)，则集合∩(∁)＝.．由实数，－，，，－所组成的集合中，最多含有个元素．．若集合＝{≤}，＝{≥}满足∩＝{}，则实数＝.．某班有学生人，其中音乐爱好者人，体育爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中既爱好体育又爱好音乐的有人．．已知全集＝{}，集合＝{－＋＝}，＝{＝，∈}，则集合∁(∪)中元素的个数为．．已知全集，集合、满足⊆，则下列命题：①∩＝；②∪＝；③∩(∁)＝∅；④(∁)∪＝中正确的个数是．．设全集＝{(，)，∈}，集合＝{(，)＝}，＝{(，)≠＋}，那么(∁)∩(∁)等于．．设集合＝{－＋＝}，集合＝{＋＋＝}，且∩＝{}，∪＝{}，则＝，＝，＝.．设是全集，非空集合，满足.若含、的一个集合运算表达式，使运算结果是空集，则这个运算表达式可以是．(只要求写出一个表达式)二、解答题(本大题共小题，共分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)．(分)已知全集＝{－≥，或－≤}，＝{<，或>}，＝{≤，或>}，求∁，∁，∩，∪，(∁)∩(∁)，∁(∪)．．(分)集合＝{，，，}，＝{，，，}，且<<<，其中，，，均为正整数．若∩＝{，}，又＋＝，且∪中所有元素之和为，求集合、.．(分)设全集＝，＝{≤≤}，＝{＋≤＋，且≥}．()若⊆，求实数的取值范围；()若＝，求∪，(∁)∩..(分)已知＝{－＋－＝}，＝{－＋＝} ，＝{＋－＝}．()若∩＝∪，求的值；()若∅∩，且∩＝∅，求的值；()若∩＝∩≠∅，求的值．．(分)设全集＝，已知集合＝{＋＋＝}，＝{＋＋＝}，问是否存在非零实数，使集合、同时满足下列两个条件：①∩≠∅，②∩(∁)＝{－}？若存在，求出、之值；若不存在，请说明理由．。

模块检测(时间：100分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |x ＜m }满足A ∪B ＝R ，A ∩B ＝∅，则实数m ＝________. 解析 结合数轴知，当且仅当m ＝3时满足A ∪B ＝R ，A ∩B ＝∅. 答案 3答案 43．已知x －1＋x ＝22，且x ＞1，则x －x －1的值为________．解析 由x －1＋x ＝22平方得x －2＋2＋x 2＝8，则x －2－2＋x 2＝4，∴(x －1－x )2＝4，又∵x ＞1，∴x －x －1＝2.答案 24．函数y ＝log x (3－x )的定义域为________． 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＞0x ＞0x ≠1得(0,1)∪(1,3)．答案 (0,1)∪(1,3)5．函数f (x )＝x 3＋x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为________． 解析 f (x )－1＝x 3＋x 为奇函数，又f (a )＝2，∴f (a )－1＝1， 故f (－a )－1＝－1，即f (－a )＝0. 答案 06．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，若P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ＋12＜2，x ∈R }，则P －Q ＝________.解析 由定义P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，求P －Q 可检验P ＝{1,2,3,4}中的元素在不在Q ＝{x |x ＋12＜2，x ∈R }中，所有在P 中不在Q 中的元素即为P －Q 中的元素，故P －Q ＝{4}．答案 {4}7．若函数y ＝12x 2－x ＋32的定义域和值域都为[1，b ]，则b 的值为________．解析 由二次函数图象知：12b 2－b ＋32＝b ，得b ＝1或b ＝3，又因为b ＞1，所以b ＝3.答案 38．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文―→明文已知加密为y ＝a x－2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 由已知，当x ＝3时y ＝6，所以a 3－2＝6，解得a ＝2； ∴y ＝2x －2；当y ＝14时，有2x－2＝14，解得x ＝4. 答案 “4”9．方程2－x＋x 2＝3的实数解的个数为________．解析 画出函数y ＝2－x与y ＝3－x 2的图象，它们有两个交点，故方程2－x＋x 2＝3的实数解的个数为2个．答案 2答案 a >1或－1<a <011．若函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2；则m 的取值集合为________．解析 由y ＝x 2－2x ＋3即y ＝(x －1)2＋2，结合图象分析知m 的取值范围为[1,2]时，能使得函数取到最大值3和最小值2.答案 [1,2]12．y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (72)的大小关系是________．解析 结合图象分析知：y ＝f (x )的图象是由y ＝f (x ＋2)的图象向右平移两个单位而得到的；而y ＝f (x ＋2)是偶函数，即y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称，画出图象可以得到f (72)＜f (1)＜f (52)．答案 f (72)＜f (1)＜f (52)13．如果函数f (x )满足f (n 2)＝f (n )＋2，n ≥2，且f (2)＝1，那么f (256)＝________. 解析 f (256)＝f (162)＝f (16)＋2＝f (42)＋2＝f (4)＋4＝f (22)＋4＝f (2)＋6＝1＋6＝7.答案 714．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2(a ＞0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝________.解析 由条件f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，f (－2)＋g (－2)＝a －2－a 2＋2，即－f (2)＋g (2)＝a －2－a 2＋2，由此解得g (2)＝2，f (2)＝a 2－a －2，所以a ＝2，f (2)＝22－2－2＝154. 答案154二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}． (1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中方程得a 2＋4a ＋3＝0， ∴a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件； 当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件． 综上可知，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)． ∵B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅，符合题意； ②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，符合题意；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2a ＋1，1×2＝a 2－5.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，∴a ∈∅.综上可知，a 的取值范围是a ≤－3.16．(本小题满分14分)试讨论关于x 的方程|3x－1|＝k 的解的个数．解 设f (x )＝|3x－1|，则关于x 的方程|3x－1|＝k 的解的个数可转化为观察函数f (x )的图象与直线y ＝k的交点个数；而函数f (x )＝|3x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－1，x ≥01－3x，x ＜0，由函数y＝3x的图象通过图象变换易作出函数f (x )的图象，如下图所示：直线y ＝k 是与x 轴平行或重合的直线，观察上图知：当k ＜0时，直线y ＝k 与f (x )的图象没有交点，故方程|3x－1|＝k 的解的个数为0个； 当k ＝0时，直线y ＝k 与f (x )的图象有1个交点，故方程|3x －1|＝k 的解的个数为1个；当0＜k ＜1时，y ＝k 与f (x )的图象有2个交点，故方程|3x－1|＝k 的解的个数为2个； 当k ≥1时，直线y ＝k 与f (x )的图象有1个交点，故方程|3x －1|＝k 的解的个数为1个．17．(本小题满分14分)若奇函数f (x )在定义域(－1,1)上是减函数， (1)求满足f (1－a )＋f (－a )＜0的a 的取值集合M ；(2)对于(1)中的a ，求函数F (x )＝log a [1－(1a)2－x]的定义域．解 (1)不等式f (1－a )＋f (－a )＜0可化为f (1－a )＜－f (－a )，而f (x )为奇函数，∴f (1－a )＜f (a )，又f (x )在定义域(－1,1)上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜－a ＜1，1－a ＞a ，解得0＜a ＜12，∴M ＝{a |0＜a ＜12}．(2)为使F (x )＝log a [1－(1a )2－x ]有意义，必须1－(1a )2－x ＞0，即(1a )2－x ＜1.由0＜a ＜12得1a＞2，∴2－x ＜0，∴x ＞2.∴函数的定义域为{x |x ＞2}．18．(本小题满分16分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．解 (1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|)＝(40－t )(40－|t －10|)＝⎩⎪⎨⎪⎧30＋t 40－t ，0≤t ＜10，40－t50－t ，10≤t ≤20.(2)当0≤t ＜10时，y 的取值范围是[1 200,1 225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1 225； 当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1 200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600. ∴第5天，日销售额y 取得最大，为1 225元；第20天，日销售额y 取得最小，为600元．答：日销售额y 最大为1225元；最小为600元．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)． (1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，试求x ∈[1，a ＋1]时函数f (x )的最值． 解 (1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a ＞1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数，又定义域和值域均为[1，a ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ，fa ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝aa 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.(2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2，∴(a ＋1)－a ≤a －1； 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴结合函数f (x )的图象得x ∈[1，a ＋1]时，函数f (x )的最值为：f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，当x ＞1时，f (x )＜0，且f (x ·y )＝f (x )＋f (y )．(1)证明：f (x )在定义域上是减函数； (2)如果f (33)＝1，求满足不等式f (x )－f (x －2)≥－2的x 的取值范围． (1)证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2x 1＞1，∴f (x 2x 1)＜0.又f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x 1)＋f (x 2x 1)＝f (x 2)， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)， ∴f (x )在定义域内是减函数．(2)解 由已知f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，得2f (33)＝f (33)＋f (33)＝f (13)＝2. ∴f (x )－f (x －2)≥－2即为f (x )＋2＝f (x )＋f (13)＝f (x3)≥f (x －2)，∵f (x )在定义域内是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x3≤x －2，x ＞0，x －2＞0，∴x ≥3.∴满足题意的x 的取值范围是[3，＋∞)．。

模块综合检测[学生用书P129(单独成册)](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝{x ∈Z |－1≤x ≤5}，A ＝{1，2，5}，B ＝{x ∈N |－1<x <4}，则B ∩∁U A ＝( ) A ．{3} B ．{0，3} C ．{0，4}D ．{0，3，4}解析：选B.因为U ＝{－1，0，1，2，3，4，5}， ∁U A ＝{－1，0，3，4}，B ＝{0，1，2，3}， 所以B ∩∁U A ＝{0，3}．故选B. 2．满足条件{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C.集合M 中一定含有元素1，2，3，但M ≠{1，2，3}且M 是{1，2，3，4，5，6}的真子集，所以集合M 可能为{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，3，6}，{1，2，3，4，5}，{1，2，3，4，6}，{1，2，3，5，6}，共6个，故选C.3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D.对于A ，是增函数，但不是奇函数；对于B ，是偶函数，在区间(－∞，0]上是增函数，在区间(0，＋∞)上是减函数；对于C ，是奇函数，在区间(－∞，0)上是减函数，在区间(0，＋∞)上是减函数；对于D ，既是奇函数，又是增函数．4．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)解析：选B.因为f (－2)＝14－6＜0，f (－1)＝12－3＜0，f (0)＝1＞0，f (1)＝5＞0，f (2)＝10＞0，所以f (x )在区间(－1，0)上存在零点．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x <0ln x ，x >0，则f (f (1e ))＝( )A.1e B ．e C ．－1eD ．－e解析：选A.因为f (1e )＝ln 1e ＝－1<0，所以f (f (1e ))＝f (－1)＝e －1＝1e，故选A.6．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤bb ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )解析：选A.当x ≥0时，1≤2x ，f (x )＝1； 当x <0时，1>2x ，f (x )＝2x . 故选A.7．若10a ＝5，10b ＝2，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C.因为a ＝lg 5，b ＝lg 2， 所以a ＋b ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故选C.8．若一次函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的图象可能是( )解析：选C.依题意有a ×2＋b ＝0，得a b ＝－12；又由bx 2－ax ＝0，解得x ＝0，或x ＝ab ，那么函数g (x )＝bx 2－ax 有零点0和－0.5，也就是该函数图象与x 轴交点的横坐标分别为0和－0.5，故选C.9．已知函数f (x )＝x ＋ln(x 2＋1－x )－5(x ∈[－2 016，2 016])的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．－10B ．10C ．5D ．－5解析：选A.设g (x )＝x ＋ln(x 2＋1－x )(x ∈[－2 016，2 016])，则g (－x )＝－x ＋ln(x 2＋1＋x )＝－x －ln(x 2＋1－x )＝－g (x )，即函数g (x )为奇函数，因此g (x )max ＋g (x )min ＝0，故M ＋m ＝[g (x )max －5]＋[g (x )min －5]＝－10.10．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)∪(0，1)解析：选D.根据已知条件画出函数f (x )的图象如图所示．由图象可知f (x )＜0的取值范围为(－∞，－1)∪(0，1)，故选D.11．已知函数f (x )＝m ＋log 2x 2的定义域是[1，2]，且f (x )≤4，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，2) C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A.因为f (x )＝m ＋2log 2x 在[1，2]是增函数，且由f (x )≤4，得f (2)＝m ＋2≤4，得m ≤2.12．已知函数g (x )＝2x－12x ，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），x ≥0，g （－x ），x ＜0，则函数f (x )在定义域内( )A ．有最小值，但无最大值B ．有最大值，但无最小值C ．既有最大值，又有最小值D ．既无最大值，又无最小值解析：选A.当x ≥0时，函数f (x )＝g (x )＝2x －12x 在[0，＋∞)上单调递增，设x ＞0，则－x ＜0，f (x )＝g (x )，f (－x )＝g (x )，则f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数，综上可知函数f (x )在x ＝0处取最小值f (0)＝1－1＝0，无最大值．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．lg 427－lg 823＋lg 75＝________．解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：1214．若f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式为________． 解析：因为g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3， 所以g (x )＝2(x －2)＋3＝2x －1. 答案：g (x )＝2x －115．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于________．解析：因为0<1， 所以f (0)＝20＋1＝2. 因为2>1， 所以f (2)＝4＋2a ，所以f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ， 所以a ＝2. 答案：216．已知函数f (x )＝lg(2x －b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则b 的取值范围是________．解析：因为要使f (x )＝lg(2x －b )在x ∈[1，＋∞)上，恒有f (x )≥0，所以有2x －b ≥1在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即2x ≥b ＋1恒成立．又因为指数函数g (x )＝2x 在定义域上是增函数． 所以只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1. 答案：(－∞，1]三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |2≤x ＜6}，B ＝{x |3＜x ＜9}． (1)分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为A ∩B ＝{x |3＜x ＜6}， 所以∁R (A ∩B )＝{x |x ≤3或x ≥6}， 因为∁R B ＝{x |x ≤3或x ≥9}， 所以(∁R B )∪A ＝{x |x ＜6或x ≥9}．(2)因为C ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1≤9，解之得3≤a ≤8，所以a ∈[3，8]．18．(本小题满分12分)已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过点(4，2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域； (3)在(2)的条件下，求g (x )的单调减区间．解：(1)由已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过点(4，2)， 则2＝log a 4，即a 2＝4， 又a >0且a ≠1， 所以a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x ) ＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1＋x >0， 得－1<x <1， 定义域为(－1，1)．(3)g (x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)，其单调减区间为[0，1)．19．(本小题满分12分)设函数y ＝f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x ，有f (1－x )＝x 2－3x ＋3.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－(1＋2m )x ＋1(m ∈R )在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上的最小值为－2，求m 的值． 解：(1)令1－x ＝t ，则x ＝1－t ， 所以f (t )＝(1－t )2－3(1－t )＋3， 即f (t )＝t 2＋t ＋1， 所以f (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈R .(2)g (x )＝x 2－2mx ＋2＝(x －m )2＋2－m 2⎝⎛⎭⎫x ≥32， 若m ≥32，g (x )min ＝g (m )＝2－m 2＝－2，所以m ＝2；若m ＜32，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝174－3m ＝－2，所以m ＝2512＞32，舍去． 综上可知m ＝2.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x m －4x ，且f (4)＝3.(1)求m 的值； (2)求f (x )的奇偶性；(3)若不等式f (x )－a >0在[1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (4)＝3， 所以4m －44＝3，所以m ＝1.(2)f (x )＝x －4x ，定义域为{x ∈R |x ≠0}，关于原点对称，又f (－x )＝－x －4－x ＝－⎝⎛⎭⎫x －4x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)因为y ＝x ，y ＝－1x ，在[1，＋∞)上均为增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上为增函数， 所以f (x )≥f (1)＝－3.不等式f (x )－a >0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a <f (x )在[1，＋∞)上恒成立， 所以a <－3，所以实数a 的取值范围为(－∞，－3)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ＋b x (b >0，b ≠1)的图象过点(1，4)和点(2，16) . (1)求f (x )的表达式； (2)解不等式f (x )>⎝⎛⎭⎫123－x 2；(3)当x ∈(－3，4]时，求函数g (x )＝log 2f (x )＋x 2－6的值域．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4＝a ＋b ，16＝a ＋b 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－3(舍去)，所以f (x )＝4x . (2)因为4x >⎝⎛⎭⎫123－x2， 所以22x >2x2－3，所以2x >x 2－3， 所以x 2－2x －3<0， 所以－1<x <3，所以不等式的解集为(－1，3)． (3)g (x )＝log 24x ＋x 2－6 ＝log 222x ＋x 2－6＝2x ＋x 2－6＝(x ＋1)2－7， 因为－1∈(－3，4]， 所以g (x )min ＝－7， 当x ＝4时，g (x )max ＝18， 所以值域为[－7，18]．22．(本小题满分12分)某渔场中鱼群的最大养殖量是m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)求鱼群年增长量的最大值；(2)当鱼群的年增长量达到最大时，求k 的取值范围．解：(1)因为鱼群的最大养殖量为m 吨，实际养殖量为x 吨，所以空闲量为(m －x )吨，空闲率为m －x m ＝1－xm，所以y ＝kx (1－xm)(0<x <m )．由于y ＝kx (1－x m )＝－k m (x －m 2)2＋km4，所以当x ＝m2时，y max ＝km 4， 即鱼群年增长量的最大值为km4吨． (2)由于实际养殖量和年增长量之和小于最大养殖量， 所以0<m 2＋km4<m ，得－2<k <2. 又k >0，得0<k <2， 所以k 的取值范围为(0，2)．由Ruize收集整理。

模块综合检测卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝()A．{3} B．{4}C．{3，4} D．{1，3，4}解析：因为A＝{1，2}，B＝{2，3}，所以A∪B＝{1，2，3}．所以∁U(A∪B)＝{4}．答案：B2．当a＞1时，在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x 的图象是()答案：A3．已知集合A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝() A．∅B．[－1，1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：A＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．所以A∩B＝[1，＋∞)．答案：D4．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1＜0，x1＋x2＞0，则()A．f(－x1)＞f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)＜f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定解析：由x1＜0，x1＋x2＞0得x2＞－x1＞0，又f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，所以f(－x2)＝f(x2)＜f(－x1)．答案：A5．已知函数f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则y＝f(x＋5)的单调递增区间是()A．(3，8) B．(－7，－2)C．(－2，3) D．(0，5)解析：因为f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则f(x＋5)的单调递增区间满足－2＜x＋5＜3，即－7＜x＜－2.答案：B6．若x ∈[0，1]，则函数y ＝x ＋2－1－x 的值域是( ) A ．[2－1，3－1] B ．[1， 3 ] C ．[2－1， 3 ]D ．[0，2－1]解析：该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大．故y min ＝2－1，y max ＝ 3.答案：C7．下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1614＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1312C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614 答案：A8．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1，3]D ．(1，3)解析：f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝f (b )，则g (b )∈(－1，1]，即－b 2＋4b －3>－1⇒2－2<b <2＋ 2.答案：B9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2， x ≤1，－log 2（x ＋1），x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3， 则2a －1＝－1不成立，舍去． 当a ＞1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3. 所以a ＋1＝8，a ＝7.此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.答案：A10．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上是单调减函数，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系是( )A ．f (b －2)＝f (a ＋1)B ．f (b －2)＞f (a ＋1)C ．f (b －2)＜f (a ＋1)D ．不能确定解析：因为y ＝log a |x ＋b |是偶函数，b ＝0， 所以y ＝log a |x |.又在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以0＜a ＜1.所以f (b －2)＝f (－2)＝f (2)，f (a ＋1)中1＜a ＋1＜2. 所以f (2)＜f (a ＋1)，因此f (b －2)＜f (a ＋1)． 答案：C11．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时， 则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时解析：由题设得e b ＝192，① e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ＝48，②将①代入②得e 22k＝14，则e 11k＝12.当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24.所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时． 答案：C12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－ax ＋5，x ＜1，1＋1x ， x ≥1，在R 上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．[2，4]解析：当x ≥1时，f (x )＝1＋1x 为减函数，所以f (x )在R 上应为单调递减函数， 要求当x ＜1时，f (x )＝x 2－ax ＋5为减函数，所以a2≥1，即a ≥2，并且满足当x ＝1时，f (x )＝1＋1x 的函数值不大于x ＝1时f (x )＝x 2－ax ＋5的函数值，即1－a ＋5≥2，解得a ≤4.所以实数a 的取值范围[2，4]． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2－3，312与log 25三个数中最大的数是________．解析：因为2－3＜1，312＜2，log 25＞2. 所以这三个数中最大的数为log 25. 答案：log 25 14．函数y ＝x －2x －3lg 4－x 的定义域是__________．解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，4－x ＞0，所以2≤x ＜4且x ≠3.答案：[2，3)∪(3，4)15．已知函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，则a ＋b ＝________．解析：因为函数f (x )＝b －2x 2x＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，所以－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1.又f (0)＝b －2020＋1＝b －12＝0，所以b ＝1.故a＋b＝2.答案：216．若函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点个数为3，则a＝________.解析：作出g(x)＝|4x－x2|的图象，g(x)的零点为0和4.由图象可知，将g(x)的图象向下平移4个单位时，满足题意，所以a＝4.答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.(1)求f(x)；(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．解：(1)因为f(x)的两个零点是－3和2，所以函数图象过点(－3，0)，(2，0)．所以有9a－3(b－8)－a－ab＝0.①4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②①－②得b＝a＋8.③③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0，因为a≠0，所以a＝－3.所以b＝a＋8＝5.所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＋18，图象的对称轴方程是x ＝－12，又0≤x ≤1，所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18. 所以函数f (x )的值域是[12，18]．18．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0，(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋1，f (－1)＝0， 所以a －b ＋1＝0.又因为对任意实数x ，均有f (x )≥0， 所以Δ＝b 2－4a ≤0. 所以(a ＋1)2－4a ≤0. 所以a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.所以F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， 在[－2，2]上是单调函数， 所以k －22≥2或k －22≤－2，解之得k ≥6或k ≤－2.所以k 的取值范围是{k |k ≥6或k ≤－2}．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －1x ，其定义域为{x |x ≠0}．(1)用单调性的定义证明函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数； (2)利用(1)所得到的结论，求函数f (x )在区间[1，2]上的最大值与最小值．(1)证明：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2－2x 1－1x 1＝x 2－x 1x 1x 2.因为x 1＜x 2， 所以x 2－x 1＞0.又因为x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以x 2x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＞0.故f (x )＝2x －1x在区间(0，＋∞)上为增函数．(2)解：因为f (x )＝2x －1x在区间(0，＋∞)上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝2－11＝1，f (x )max ＝f (2)＝2×2－12＝32.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x m－4x，且f (4)＝3.(1)求m 的值； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)若不等式f (x )－a ＞0在区间[1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (4)＝3， 所以4m－44＝3，所以m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x －4x，其定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．又f (－x )＝－x －4－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)因为y ＝x ，y ＝－1x 在区间[1，＋∞)上都是增函数，所以f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以f (x )≥f (1)＝－3. 因为不等式f (x )－a ＞0在区间[1，＋∞)上恒成立， 即不等式a ＜f (x )在区间[1，＋∞)上恒成立， 所以a ＜－3，故实数a 的取值范围是(－∞，－3)．21．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4(尾/立方米)时，v 的值为2(千克/年)；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数；当x 达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v 的值为0(千克/年)．(1)当0＜x ≤20时，求函数v (x )的表达式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．解：(1)由题意：当0＜x ≤4时，v (x )＝2；当4＜x ≤20时，设v (x )＝ax ＋b ，显然该函数在[4，20]是减函数，由已知得⎩⎨⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52.故函数v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0＜x ≤4，x ∈N *，－18x ＋52，4≤x ≤20，x ∈N *.(2)依题意并由(1)可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0＜x ≤4，x ∈N *，－18x 2＋52x ， 4≤x ≤20，x ∈N *.当0≤x ≤4时，f (x )为增函数，故f max (x )＝f (4)＝4×2＝8；当4≤x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋10028， f max (x )＝f (10)＝12.5.所以，当0＜x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．22．(本小题满分12分)已知奇函数f (x )＝m －g （x ）1＋g （x ）的定义域为R ，其中g (x )为指数函数，且过定点(2，9)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若对任意的t ∈[0，5]，不等式f (t 2＋2t ＋k )＋f (－2t 2＋2t －5)＞0恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)设g (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，则a 2＝9.所以a ＝－3(舍去)或a ＝3，所以g (x )＝3x ，f (x )＝m －3x 1＋3x . 又f (x )为奇函数，且定义域为R ，所以f (0)＝0，则m －301＋30＝0，所以m ＝1，所以f (x )＝1－3x1＋3x . (2)设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－3x 11＋3x 1－1－3x 21＋3x 2＝2（3x 2－3x 1）（1＋3x 1）（1＋3x 2）. 因为x 1＜x 2，所以3x2－3x1＞0，所以2（3x2－3x1）（1＋3x1）（1＋3x2）＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减．要使对任意的t∈[0，5]，f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)＞0恒成立，即f(t2＋2t＋k)＞－f(－2t2＋2t－5)恒成立．因为f(x)为奇函数，所以f(t2＋2t＋k)＞f(2t2－2t＋5)恒成立．又因为函数f(x)在R上单调递减，所以对任意的t∈[0，5]，t2＋2t＋k＜2t2－2t＋5恒成立，即对任意的t∈[0，5]，k＜t2－4t＋5＝(t－2)2＋1恒成立．而当t∈[0，5]时，1≤(t－2)2＋1≤10，所以k＜1.。