精品解析：北京市一零一中学2019-2020学年度高二第一学期期中考试数学试题(原卷版)

2019-2020学年北京市101中学上学期高二期末考试数学试题一、单选题 1．复数z 11ii-=+，则|z |=( )A ．1B ．2CD ．【答案】A【解析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.2．设,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C【解析】,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa -， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB，∵sin sin A ba B-n =﹣1，∴两条直线垂直． 故选C ．3．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C 【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4．椭圆2214x y +=的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．以上答案均不正确【答案】A【解析】画出满足条件的图形，由112212,AO B B A O B B ⊥⊥可得出1FOA ∠为所求二面角的平面角，通过解三角形1FOA 即可求出二面角. 【详解】由椭圆2214x y +=得长轴124,A A = ，短轴122B B =.将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，如图.设点A 1在平面122B A B 上的射影恰是该椭圆的一个焦点，设该焦点为F . 则1A F ⊥平面122B B A .所以1A F ⊥FO .由112212,AO B B A O B B ⊥⊥,所以1FOA ∠为所求二面角的平面角. 在1AOF △中，12,AO OF ===所以11cos OF FOA OA ∠==由条件二面角为锐角，所以1=30FOA ∠︒【点睛】本题考查二面角的平面的求法，涉及翻折问题可椭圆的基本性质，属于中档题. 5．已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（ ）A ．2216448x y -=B ．2214864x y +=C ．2214864x y -=D ．2216448x y +=【答案】D【解析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径r ，消去r ，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心M 的轨迹，进一步求出其方程. 【详解】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C 2：()2249x y ++=外切. 所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆. 则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D 【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.6．已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】C【解析】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离.【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==， 所以3AE BG AF BF +=+=， 又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.7．正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，E 是棱BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹的周长为（ ）A ． BC ．D ．【答案】B【解析】设,F G 分别为,DC SC 的中点,则可证明AC ⊥平面EFG ，得到满足条件的动点P 的轨迹为EFG V ，然后求解即可. 【详解】由0PE AC ⋅=u u u r u u u r，即满足PE AC ⊥.设,F G 分别为,DC SC 的中点，连接,,,,AC BD EF FG GE . 设,AC BD 交于点O ，,AC EF 交于点1O . 所以在正四棱锥S -ABCD 中，SO ⊥平面ABCD .所以SO AC ⊥,且AC BD ⊥, 由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点.所以1//,//BD EF SO GO ,则有，1GO AC ⊥,AC EF ⊥,且11EF GO O =I 所以AC ⊥平面EFG .故当点P 在平面EFG 内时，有PE AC ⊥成立.所以动点P 的轨迹为平面EFG 截正四棱锥S -ABCD 的截面，即EFG V . 由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点. 所以111,,222EF BD GE SB FG SD === 又正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，所以22BD =,()21+2=3SB =.所以23EF FG GE ++=+故选：B【点睛】本题考查轨迹问题，考查线面的垂直的证明，属于中档题.8．设点P 为双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若点AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是( ) A ．（123] B ．（12]C ．23，+∞） D ．2，+∞）【答案】B【解析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果. 【详解】根据题意,因为点P 为双曲线右支上的动点,过点P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为A ,B ,若点AB 始终在第一、第四象限内,则有渐近线b y x a =的倾斜角不大于45︒,即1ba≤,则双曲线的离心率为c e a ====≤又1e >,则1e <≤故选B 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式c e a ====考查了理解能力和转化能力.二、填空题9．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值 ． 【答案】6【解析】试题分析：根据题意，由于双曲线22163x y -=的222226,3,+93a b c a b c ====∴=右焦点坐标为3,0（），因此可知抛物线22y px=的焦点pp,03622p =∴=∴=（）,故答案为6 【考点】考查了抛物线与双曲线的性质．.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p 的值，属于基础题．10．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为_____. 【答案】1【解析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果. 【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点,则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅uu u r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r,又因为空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=.故答案为:1 【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.11．已知A （﹣1，0），B （1，0）两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r，当0λ≠时，动点M 的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线. 【答案】①②③【解析】设点M 的坐标,得到N 点坐标,利用条件中2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r计算出关于动点M 的轨迹方程,然后再进行判断轨迹图形. 【详解】设(,)M x y ,则(,0)N x ,由题意2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r 计算可得2(1)(1)y x x λ=+-,化简得22x y λλ+=,又因为0λ≠,即得221y x λ+=,当0λ<时,其轨迹方程是双曲线;当0λ>且1λ≠时其轨迹方程是椭圆;当1λ=时其轨迹方程是圆,综上动点M 的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线. 故答案为: ①②③ 【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.12．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB最小时，直线l 的方程为_____． 【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= .故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.13．斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为_____【答案】4105【解析】设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值. 【详解】设直线方程为y x b =+，代入椭圆方程并化简得2258440x bx b ++-=，21212844,55b b x x x x -+=-⋅=，()22264204416800b b b ∆=--=-+>，55b <<222641616168011225525b b b AB --+=+-=0b =时，max 804102255AB ==. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 5≤|A 1P |6≤P 组成，则W 的面积是_____；四面体P ﹣A 1BC 的体积的最大值是_____.【答案】4π43【解析】156A P ≤≤,然后计算出其面积;要求四面体的体积的最大值,已知高是固定的,当底面面积最大时就可以求得体积最大. 【详解】连接AP ,在正方体中可知1A A AP ⊥,则三角形1A AP 为直角三角形,又因为12A A =156A P ≤≤可计算得12AP ≤≤又因为点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动,则平面区域W 是以点A 为圆心,半径为12之间交正方形ABCD 的14圆环,所以平面区域W 的面积是221[(2)1]44ππ⨯-=;由题意可知当点P 在边AD 上时,四面体1P A BC -的体积最大值是114222323⨯⨯⨯⨯=. 故答案为: 4π； 43【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题,求解时需要理清题意,计算求出满足题意的结果,在求四面体的最值时可以转化顶点和底面,找到确定值和变量,然后再求最值.三、解答题15．已知复数z 满足|z |2=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +u u u r u u u r ）⋅OC u u u r的值.【答案】（1）1+i ；（2）﹣2.【解析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中2z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z 的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果. 【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R; 由|z |2=,得x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0, z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2, 所以xy =1; 解得x=1,y=1; 所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-u u u r u u u r u u u r.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.16．如图在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =2，OB =1，△AOC 可以通过△AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且OB ⊥OC ，点D 为斜边AB 的中点.（1）求异面直线OB 与CD 所成角的余弦值； （2）求直线OB 与平面COD 所成角的正弦值. 【答案】（1）13；（225. 【解析】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, 求出异面直线OB 与CD 的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.（2）先求出平面COD 的法向量,然后运用公式求出直线OB 与平面COD 所成角的正弦值. 【详解】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, O （0,0,0）,B （0,1,0）,C （1,0,0）,A （0,0,2）,D （0,12,1）, OB =u u u r （0,1,0）,CD =u u u r （﹣1,112，）, 设异面直线OB 与CD 所成角为θ,则cosθ1123914OB OB CD CD⋅===⋅⨯u u u r u u u r u u u u u r ur , ∴异面直线OB 与CD 所成角的余弦值为13. （2）OB =u u u r （0,1,0）,OC =u u u r （1,0,0）,OD =u u u r （0,12,1）,设平面COD 的法向量n =r（x ,y ,z ）,则0102n OC x n OD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u uv r u u uv r ,取2y =,得n =r（0,2,﹣1）, 设直线OB 与平面COD 所成角为θ, 则直线OB 与平面COD 所成角的正弦值为:sinθ2555OB nOB n ⋅==⋅=u u u r r u u u r r .【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题,求解过程中建立空间直角坐标系,运用空间向量知识来求解,需要熟记运算公式并计算正确.17．已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 为边长为2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： (I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值； (Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CMCPλ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BNBP的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）33;（Ⅲ）12[,]45BN BP ∈ . 【解析】试题分析：第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果. （Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意 2PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法2：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO == 所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆ 所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒ 所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法3：设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =，所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB . 因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点 所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点 所以PQ AB ⊥.因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ 所以AB ⊥平面OPQ 因为OP ⊂平面OPQ 所以OP AB ⊥因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB =u u u v由()1,1,0BC =-u u u v ，()1,0,1PC =-u u u v设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =v，则由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩ 令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =v3cos ,331n OB n OBn OB⋅===⋅⋅u u u v v u u u v vu u u v v由二面角A PC B --是锐二面角， 所以二面角A PC B --的余弦值为3（Ⅲ）设BN BP μ=u u u v u u u v，01μ≤≤，则()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v令0BM AN ⋅=u u u u v u u u v得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数， 当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）.（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --； ②求p 的取值范围. 【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.【解析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p--=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22{y px y x b==-+消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上 所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).3【考点】直线与抛物线位置关系 【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19．一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子在滑槽AB 内作往复运动时，带动绕O 转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8． 【解析】【详解】 （Ⅰ）设点，，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且1DN ON ==u u u r u u u r ，所以，且22002200(1,1.x t y x y ⎧-+=⎨+=⎩） 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时，点D 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=， 即所求的曲线C 的方程为221.164x y += （Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线，由22,{416,y kx m x y =++=消去y ，可得．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,{20,y kx m x y =+-=可得；同理可得．由原点O 到直线PQ 的距离为21m d k =+和21P Q PQ k x x =+-，可得． ②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--． 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．【考点】椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系，最值．。

2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题5分，共40分. 1．（5分）椭圆x 29+y 24=1的离心率是（ ） A ．23B ．32C ．√53D ．√522．（5分）等差数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝11，a n ＝20，则n 的值是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．（5分）设a ＞0，b ＞0，若a +2b ＝8，则ab 的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．164．（5分）若方程x 2+y 2m−2=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，3）B ．（2，3）C ．（2，+∞）D ．（3，+∞）5．（5分）已知﹣1，x ，3x ，y 中，前三项依次成等差数列，后三项依次成等比数列，则y ＝（ ） A ．﹣5B ．5C ．﹣9D ．96．（5分）设实数x ，y 满足3＜x ＜4，1＜y ＜2．则2x ﹣y 的取值范围是（ ） A ．（4，6）B ．.（4，7）C ．（5，6）D ．（5，7）7．（5分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，对任意n ≥3且n ∈N *有a n +a n ﹣1+a n ﹣2＝8，则a 1000＝（ ） A ．1B ．2C ．5D ．88．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若当且仅当n ＝10或11时S n 取得最小值，则下列选项错误的是（ ） A ．数列{a n }的首项a 1＜0 B ．数列{a n }的公差d ＞0 C ．存在k ∈N *，使得S k ＝S k +1 D ．存在k ∈N *，使得S k ＝S 2k二、填空题：每小题5分，共30分9．（5分）不等式x 2﹣2x ﹣3＜0的解集是 ．10．（5分）已知各项均不为0的等差数列{a n }中，a 5＝2a 2，则a 7a 3= ．11．（5分）己如数列{a n }通项公式为a n ＝|n −103|，则a n 的最小值为 ，此时n 的值为 ．12．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4S 2=3，数列{a n }的公比为 ．13．（5分）设椭圆x 22+y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点（1，0）作斜率k ≠0的直线交椭圆C 于两点P ，Q ，则四边形F 1PF 2Q 的周长为14．（5分）设a ＞0，函数f （x ）=x +ax−5的值域为集合S ，若2∈S ，则a 的取值范围是 ． 三、解答题：每小题10分，共30分.15．（10分）已知以F 1（﹣2，0），F 2（2，0）为焦点的椭圆过点P （2，3）． （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左项点为A ，线段AF 1的垂直平分线L 交椭圆于M ，N 两点，求△MNP 面积．16．（10分）设函数f （x ）＝x 2+mx +n ，已知不等式f （x ）＜0的解集为{x |1＜x ＜4}． （1）求m 和n 的值；（2）若f （x ）≥ax 对任意x ＞0恒成立，求a 的取值范围．17．（10分）数列{a n }中，a 1＝1，对任意n ≥2且n ∈N *有（n ﹣1）a n ＝2na n ﹣1． （1）设b n =a nn，证明：数列{b n }为等比数列，并求{a n }的通项公式； （2）求{a n }的前n 项和S n ． 四、填空题：每小题5分，共25分.18．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝3，S 7＝63，则a 3＝ ． 19．（5分）一个皮球从距地面高度为H 的地方释放，经地面反弹后最高上升至H2处，之后每次反弹后上升的最高高度均为上一次反弹的一半，若该皮球从开始释放至第五次接触地面瞬间，在空中的运动轨迹长为10米，则H ＝ 米．20．（5分）若关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x +2m ﹣1＝0的两根分别在区间（﹣1，0）和（0，1）内，则m 的取值范围是 ．21．（5分）如图，椭圆C 的中心为坐标原点O ，其左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别为A 1，A 2，已知点P 在椭圆C 上，满足|PF 1|＝|F 1F 2|＝4，取线段PF 1的中点Q ，若|OQ |＝1，则|A 1A 2|＝ ．22．（5分）已知数列{a n}，{b n}的通项公式分別为a n=8n，b n＝n+λ，设c n={a n，a n≤b nb n，a n＞b n，若λ＝﹣2．则数列{c n}中的最大项是；若数列{c n}中的最大项c n≤2，则λ的取值范围是．五、解答题：共25分.23．（6分）解关于x的不等式ax2﹣4x+a＜0．24．（7分）己知数列{a n}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有a n+1＝n2+2a nn+1成立．（1）直接写出a1，a2，a3，的值；（2）推测出{a n}通项公式并证明．25．（12分）设等差数列{a n}的前n项和S n，已知a1＝1，且S5﹣3a4＝4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n+1S n S n+1，数列{b n}的前n项和T n，求使不等式|T1•T2…T m−12|＜12019成立的最小的正整数m；（3）设c n＝（a n﹣t）•2a n，若数列{c n}单调递增．①求t的取值范围；②若t是符合条件的最小正整数．那么{c n}中是否存在三项c i，c j，c k（i＜j＜k）依次成等差数列？若存在，给出i，j，k的值；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共40分. 1．【解答】解：∵椭圆x 29+y 24=1中a ＝3，b ＝2，∴c =√a 2−b 2=√5， ∴e =c a =√53， 故选：C ．2．【解答】解：依题意，设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 4﹣a 1＝3d ＝9，得d ＝3，所以a n ＝a 1+（n ﹣1）×d ＝2+（n ﹣1）×3＝3n ﹣1， 所以a n ＝20＝3n ﹣1，解得n ＝7， 故选：A ．3．【解答】解：∵a ＞0，b ＞0且a +2b ＝8， ∴8＝a +2b ≥2√2ab ，∴ab ≤8，当且仅当a ＝2b ，即a ＝4，b ＝2时取等号， ∴ab 的最大值为8． 故选：C ．4．【解答】解：∵方程x 2+y 2m−2=1表示焦点在y 轴上的椭圆， 满足m ﹣2＞1，解之得3＜m ． 故选：D ．5．【解答】解：∵前三项依次成等差数列，∴2x ＝﹣1+3x ，解得x ＝1， 又∵后三项依次成等比数列，∴9x 2＝xy ，∵x ＝1，解得y ＝9． 故选：D ．6．【解答】解：根据约束条件画出可行域：由图得当z ＝2x ﹣y 过点A （3，2）时，Z 最小为4． 当z ＝2x ﹣y 过点B （4，1）时，Z 最大为7． 故所求z ＝2x ﹣y 的取值范围是（4，7）． 故选：B ．7．【解答】解：令n＝3，则a3+a2+a1＝8，得：a3＝5，令n＝4，则a4+a3+a2＝8，得：a4＝1，令n＝5，则a5+a4+a3＝8，得：a5＝2，从而数列{a n}的周期为3，∴a1000＝a3×333+1＝a1＝1，故选：A．8．【解答】解：依题意，等差数列{a n}的前n项和为S n，当且仅当n＝10或11时S n取得最小值，所以数列{a n}为递增数列，即d＞0，且a1～a10为负项，a11＝0，故AB正确；对于C选项，S k＝S k+1，即a k+1＝0，而当k＝10时成立，故C正确；对应D选项，S k＝S2k，即S2k﹣S k＝0，所以a k+1+a2k＝0，所以当k∈N*时，11≠2k+1 2，∴a11不是a k+1和a2k的等差中项，故D错误；故选：D．二、填空题：每小题5分，共30分9．【解答】解：不等式x2﹣2x﹣3＜0，因式分解得：（x﹣3）（x+1）＜0，可得：{x−3＞0x+1＜0或{x−3＜0x+1＞0，解得：﹣1＜x＜3，则原不等式的解集为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）10．【解答】解：依题意，a5＝2a2，∴a 1+4d ＝2a 1+2d ， ∴a 1＝2d ≠0， ∴a 7a 3=a 1+6d a 1+4d =8d 6d=43，故答案为：43．11．【解答】解：依题意，a n ={103−n(n ≤3，n ∈N ∗)n −103(n ≥4，n ∈N ∗)， 当n ≤3且n ∈N *时，a n 单调递减，所以最小值为a 3=13； 当n ≥4且n ∈N *时，a n 单调递增，所以最小值为a 4=23； 综上a n 的最小值为13，此时n 的值为3，故答案为：13，3．12．【解答】解：设数列{a n }的公比为q ≠1，S 4S 2=3，∴a 1(1−q 4)1−q a 1(1−q 2)1−q=1+q 2＝3，解得q =±√2．故答案为：±√2． 13．【解答】解：椭圆x 22+y 2＝1的左、右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），根据椭圆的性质：PF 1+PF 2＝2a ，QF 1+QF 2＝2a ， 所以周长为4a ＝4√2， 故答案为：4√2．14．【解答】解：∵f （x ）的值域为S ，2∈S ，∴方程x +ax−5=2有实根，即x 2−7x+10+a x−5=0有实根，∴△＝（﹣7）2﹣4（a +10）≥0，∴a ≤94， 又a ＞0，∴0＜a ≤94． ∴a 的取值范围为(0，94]． 故答案为：(0，94]．三、解答题：每小题10分，共30分. 15．【解答】解：（1）由题意设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）．可得c ＝2，即a 2﹣b 2＝4， 将A （2，3）代入椭圆方程，可得4a 2+9b 2=1，解得a ＝4，b ＝2√3， 即椭圆的方程为x 216+y 212=1；（2）线段AF 1的垂直平分线L 的方程为x ＝﹣3，代入x 216+y 212=1，解得y =±√212，∴|MN |=√21， P 到直线L 的距离d ＝2﹣（﹣3）＝5． ∴△MNP 面积S =12×√21×5=5√212．16．【解答】解：（1）依题意，1，4为方程x 2+mx +n ＝0的两根， 所以﹣m ＝1+4，n ＝1×4， 即m ＝﹣5，n ＝4；（2）由（1）知，f （x ）＝x 2﹣5x +4，所以f （x ）≥ax 对任意x ＞0恒成立，即x 2﹣5x +4≥ax 对任意x ＞0恒成立， ∵x ＞0，∴a ≤x +4x−5在（0，+∞）上恒成立， 当x ＞0时，4x＞0，∴根据基本不等式，x +4x −5≥2√x ⋅4x −5＝﹣1，当且仅当x ＝2时，等号成立，所以a ≤﹣1．17．【解答】（1）证明：∵对任意n ≥2且n ∈N *有（n ﹣1）a n ＝2na n ﹣1． ∴a n =2a n−1，即b n ＝2b n ﹣1（n ≥2），又：当n ＝1时，a 2＝2×1×a 1＝2， ∴b 1=a 11=1，b 2=a22=2， 满足b 2＝2b 1，从而数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列． ∴b n =1×2n−1=2n−1． ∴a n =n2n−1．（2）解：S n ＝a 1+a 2+a 3+……+a n ＝1×20+2×21+3×22+……+n •2n ﹣1，……①∴2S n ＝1×21+2×22+3×23+……+n ×2n ……②∴①﹣②得：﹣S n ＝1×20+1×21+1×22+……+1×2n=1×(1−2n+1)1−2=2n+1−1．从而S n ＝1﹣2n +1．四、填空题：每小题5分，共25分.18．【解答】解：由题意可得，{3a 1+3d =37a 1+21d =63，解方程可得，a 1＝﹣3，d ＝4， ∴a 3＝a 1+2d ＝﹣3+8＝5． 故答案为：519．【解答】解：第一次接触地面时，运动轨迹长度为H ， 第二次接触地面时，又运动了2×H 2米， 第三次接触地面时，又运动了2×H 4， 第四次接触地面时，又运动了2×H8， 第五次接触地面时，又运动了2×H16米， 所以H +2×H 2+2×H 4+2×H 8+2×H 16=H +2（H 2+H 4+H 8+H 16）＝H +2×H 2[1−(12)4]1−12=10， 解得：H =8023． 故答案为：8023．20．【解答】解：设函数f （x ）＝x 2﹣（m ﹣1）x +2m ﹣1，由题意可知：{f(−1)＞0f(0)＜0f(1)＞0，即：{3m −1＞02m −1＜0m +1＞0，解得：13＜m ＜12，故答案为：（13，12）．21．【解答】解：∵Q 是线段PF 1的中点，∴OQ ∥PF 2， 由|OQ |＝1，得|PF 2|＝2，∵|PF 1|＝|F 1F 2|＝4，∴2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝6，则a ＝3， 2c ＝4，c ＝2． ∴b =√a 2−c 2=√5． ∴|A 1A 2|=2√5． 故答案为：2√5．22．【解答】解：若λ＝﹣2，则b n ＝n ﹣2， 令a n ≤b n ，得，n ≥4，∴c n ={n −2(n ∈N ∗，n ≤3)8n(n ∈N ∗，n ≥4)，所以当n ≤3时，数列{c n }单调递增，最大值为c 3＝1， 当n ≥4时，数列{c n }单调递减，最大值为c 4＝2， 综上，当λ＝﹣2．则数列{c n }中的最大项为2， 若数列{c n }中的最大项c n ≤2，因为数列a n =8n ，b n ＝n +λ，分别表示函数y =8x 和y ＝x +λ上正整数所对应的函数值，根据题意，a 4＝2，a 3=83＞2， 故当n ≤3且n ∈N *时，c n ＝b n ，所以a 3＜b 3，即83＜3﹣λ，解得，λ＜13，故答案为：2，13．五、解答题：共25分.23．【解答】解：当a ≠0时，△＝16﹣4a 2， ①当a ＜﹣2时，△＜0，不等式的解集为R ； ②当a ＝﹣2时，解集为{x |x ≠﹣1}； ③﹣2＜a ＜0时，△＞0，解集为{x |2+√4−a 2a＜x ＜2−√4−a 2a}；④当a ＝0时，﹣4x ＜0，解可得x ＞0，即不等式的解集{x |x ＞0}； ⑤0＜a ＜2时，解集为{x |2−√4−a 2a＜x ＜2+√4−a 2a}；⑥a ≥2时，解集为∅．24．【解答】解：（1）∵a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n +1＝n 2+2a nn+1 ∴a 2＝12+2×1+1＝4， a 3＝22+2a 22+1＝9； （2）由（1）知，a 1＝1＝12，a 2＝4＝22，a 3＝9＝32， 故a n ＝n 2，证明：当n ＝1时，显然有a 1＝12成立， 假设当n ＝k 时有a k ＝k 2成立， 则当n ＝k +1时， a k +1＝k 2+2a kk+1＝k 2+2k +1＝（k +1）2， 即当n ＝k +1时有a k +1＝（k +1）2成立， 所以a n ＝n 2．25．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，a 1＝1，且S 5﹣3a 4＝4， 可得5+10d ﹣3（1+3d ）＝4，解得d ＝2， 则a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1；（2）由（1）可得S n =12n （1+2n ﹣1）＝n 2，b n=a n+1S n S n+1=2n+1n2(n+1)2=1n2−1(n+1)2，则T n＝1−122+122−132+⋯+1n2−1(n+1)2=1−1(n+1)2=n(n+2)(n+1)2，T1•T2…T m=1⋅322•2⋅43•3⋅54⋯m(m+2)(m+1)=m+22(m+1)，|T1•T2…T m−12|＜12019，即为|m+22(m+1)−12|＜12019，即有1m+1＜22019，可得m＞20152，可得最小的正整数m为1008；（3）①c n＝（a n﹣t）•2a n=（2n﹣1﹣t）•22n﹣1，若数列{c n}单调递增，则c n+1﹣c n＝（2n+1﹣t）•22n+1﹣（2n﹣1﹣t）•22n﹣1＝（6n+5﹣3t）•22n﹣1＞0恒成立，即有6n+5﹣3t＞0恒成立，可得3t＜11，即t＜11 3；②由t是符合条件的最小正整数，可得t的最小正整数为1，即有c n＝（n﹣1）•4n，假设{c n}中存在三项c i，c j，c k（i＜j＜k）依次成等差数列，可得2c j＝c i+c k，即2（j﹣1）•4j＝（i﹣1）•4i+（k﹣1）•4k，（*）由i＜j＜k可得j≥2，k≥3，可得k﹣1＞j﹣1，2k＞2j+1，可得22k＞22j+1，则（k﹣1）•4k＞2（j﹣1）•4j，可得方程（*）无解，故{c n}中不存在三项c i，c j，c k（i＜j＜k）依次成等差数列．11/ 11。

2020-2021学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（5分）在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．（5分）点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离的最大值为（）A．1B．C．D．24．（5分）直线l1：（a+2）x+（1﹣a）y﹣1＝0与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直，则实数a的值为（）A．﹣1B．1C．﹣1或1D．以上都不对5．（5分）已知向量＝（1，x，﹣2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或06．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（5分）设复数z满足，则|z|的最大值为（）A．B．2C．D．49．（5分）通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角．已知l1：2x﹣3y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2夹角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，点C（cosθ，sinθ），且＝，＝，则直线AB与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能二、填空题（共5小题）.11．（5分）复数z＝，则|z|＝．12．（5分）已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点D的坐标为．13．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4与直线l：y＝k（x+1），则圆心C的坐标为，若圆C关于直线l对称，则k＝．14．（5分）直线l：y＝kx+与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，当△AOB的面积达到最大时，k＝．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是侧面B1C1CB内（不包含边界）的一个动点，且AP⊥D1B，点H在棱D1D上运动，则二面角H﹣AC﹣P的余弦值的取值范围是．三、解答题共5小题，共45分。

北京市一零一中学高二第一学期期中考试数学试题一、单选题1．（1）某学校为了了解2019年高考数学学科的考试成绩在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本；（2）从10名家长中抽取3名参加座谈会.①简单随机抽样法；②系统抽样法；③分层抽样法.问题与方法配对正确的是（ ） A ．（1）③、（2）① B ．（1）①、（2）② C ．（1）②、（2）③ D ．（1）③、（2）②【答案】A【解析】（1）中明显三类，应选择分层抽样法； （2）中总量比较少，应选择简单随机抽样法. 【详解】（1）中明显有文科考生，理科考生，艺术和体育类考生三类，应选择分层抽样法； （2）中总体总量只有10，样本容量只有3，都比较少，应选择简单随机抽样法. 故选：A 【点睛】本题考查三种抽样方法的选取，个体数样本容量较少时选简单随机抽样法，个体数样本容量较多时选系统抽样法，个体有明显分类分层时选分层抽样法，属于基础题. 2．若两直线1l ，2l 的斜率分别是1k ，2k ，倾角分别是1α，2α，且满足120k k >>，则（ ） A ．1290αα︒>> B ．2190αα︒>> C ．2190αα>︒> D ．1290αα>︒> 【答案】C【解析】将斜率关系，由斜率定义转化为倾斜角的关系，再借助正切函数图象，观察可得答案. 【详解】因为120k k >>，所以12tan 0tan αα>>由图可知此时2190αα>︒>. 故选：C 【点睛】本题考查斜率的定义，还考查正切函数中数形结合确定角的大小，属于简单题. 3．以点()3,2-为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程是（ ） A ．()()22329x y ++-= B ．()()22324x y +++= C ．()()22324x y ++-= D ．()()22329x y -++=【答案】C【解析】由题做出图像，观察可得半径，代入圆的标准方程()()222x a y b r -+-=，得答案. 【详解】由题可以构建图像，观察可知该圆半径为2则以点()3,2-为圆心，2为半径为的圆的标准方程为()()22324x y ++-=.故选：C 【点睛】本题考查由圆的几何性质求其标准方程，属于简单题. 4．下列命题正确的是（ ）A ．互斥事件不能同时发生，但对立事件可以同时发生B ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题C ．“求证平行四边形的对角线互相平分”是一个命题D ．已知命题p ：x R ∃∈，210x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x +-≥ 【答案】D【解析】A 选项对立事件不能同时发生，错误； B 选项根据逻辑连接词的命题真假性判定，错误； C 选项这句话是祈使句，错误；D 选项根据含量词的命题的取否定判定，正确. 【详解】A 选项对立事件也是互斥事件，不能同时发生，所以错误；B 选项p q ∨为真命题则其中有一个为真命题即可，而p q ∧为真命题需满足两个命题同时为真，所以错误；C 选项这句话是祈使句，不是陈述句，所以错误；D 选项含量词的命题的取否定，取其结论反面的同时特称量词变为全称量词，正确. 故选：D 【点睛】本题考查事件的关系，命题的定义，逻辑连接词连接的命题真假性判定，还考查了含量词的命题取否定，属于简单题.5．“直线30kx y -+=与圆221x y +=相切”是“k =的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】条件中由直线与圆相切，转换为圆心到直线的距离等于半径，构建方程求得k 值，再判断其和结论中的k 的值的包含关系，得答案. 【详解】条件中直线30kx y -+=与圆221x y +=相切所以圆的圆心()0,0O 到30kx y -+=的距离等于半径1即1d ==，解得k =±；结论中只有k =所以结论可以推出条件，但条件不能推出结论 所以是必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分必要条件，优先确定条件和结论，再分别表示其最终结果，由包含关系可得结果，还考查了直线与圆的位置关系，属于简单题.6．点P 是圆221x y +=上的动点，它的定点()3,0所连线段的中点的轨迹方程是（ ）A ．223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭B ．22312x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭C ．()2234x y ++= D ．()2231x y -+=【答案】A【解析】设中点坐标，进而表示动点P 的坐标，将P 代入其轨迹方程中，所得方程即为答案. 【详解】设其中点坐标为(),x y ，因为其为点P 与定点()3,0的中点， 所以P 的坐标为()23,2x y -又因为点P 是圆221x y +=上的动点所以()()222321x y -+=，即223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】本题查考求曲线方程，常见两种类型，一种为有明显的等量关系，只需根据条件由关系构建方程即可，另一种为已知一动点在某一轨迹上运动，导致所求点有运动轨迹问题，该问题只需设所求轨迹点坐标，进而表示动点坐标，再带入动点运动轨迹方程，化简即可，属于中档题.7．过点()3,1P -且斜率为52-的光线经过直线2y =-反射后与x 轴交点的坐标为（ ） A ．()2,0- B ．()1,0- C ．()1,0 D ．()0,2【答案】B【解析】由定点和斜率表示光线的方程，设其经过2y =-反射后与x 轴交点的坐标()0m ,，再表示该点关于2y =-对称点坐标，将其带入光线方程，构建等式，解之得答案. 【详解】因为光线l 过点()3,1P -且斜率为52-， 所以方程表示为()5132y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即51322y x =--其经过2y =-反射后的图像如下设与x 轴交点的坐标为(),0A m ，点A 关于2y =-的对称点B 为(),4m -，且在l 上 所以513422m -=--，即1m =-，所以坐标为()1,0-. 故选：B 【点睛】本题考查平面点、直线的对称问题，注意构建图像辅助分析，属于中档题.8．圆1C ：()2214x y -+=与圆2C ：()()22139x y ++-=相交弦所在直线为l ，则l 被圆O ：224x y +=截得的弦长为（ ）A ．13B ．4C ．439D ．839【答案】D【解析】将圆1C 与圆2C 的方程化为一般式并作差得相交弦l 的方程，由直线与圆O 相交构建直角三角形，利用点到直线的距离公式表示弦心距，再利用勾股定理构建方程，解之得答案. 【详解】将圆1C 与圆2C 的方程化为一般式：圆1C ：22230x y x +--=；圆2C ：222610x y x y ++-+= 作差既得圆1C 与圆2C 的相交弦l 方程2320x y -+=因为直线l 与圆O ：224x y +=相交，所以2242l d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又因为222131323d ==+，代入上式，所以2221342l ⎝⎛⎫+= ⎭⎭⎪⎝ 即83913l =故选：D 【点睛】本题考查了圆与圆的相交弦方程，还考查了直线与圆相交求弦长问题，属于中档题.二、填空题9．若直线310ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于__________． 【答案】3-【解析】由直线一般式中垂直，则12120A A B B ⋅+⋅=构建方程，解得答案. 【详解】因为直线310ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直 所以1310a ⋅+⨯=，即3a =-. 故答案为：3- 【点睛】本题考查直线垂直的应用，属于基础题.10．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示.1s ，2s 分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则1s _______2s .（填“>”“<”或“＝”）【答案】<【解析】先根据茎叶图得出甲、乙两班学分数据，求出平均分，通过比较方差大小得出标准差大小． 【详解】由茎叶图可知，甲班同学学分依次为8，11，14，15，22． 平均分为（8+11+14+15+22）÷5＝14， 方差为s 1215=[（8﹣14）2+（11﹣14）2+（14﹣14）2+（15﹣14）2+（22﹣14）2]＝22， 乙班同学学分依次为6，7，10，24，23． 平均分为（6+7+10+24+23）÷5＝14 方差为s 2215=[（6﹣14）2+（7﹣14）2+（10﹣14）2+（24﹣14）2+（23﹣14）2]＝62， 因为s 12＜s 22， 所以s 1＜s 2 故答案为：＜. 【点睛】本题考查样本的平均数、方差、标准差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是前提，准确计算是关键．11．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e=________． 【答案】e=【解析】依题意12c a =，所以12e =12．将2红2白共4个球随机排成一列，则同色球均相邻的概率为__________． 【答案】13【解析】红球和白球分别捆绑，它们的排列有22A 种，其中红球内部排列有22A 种，白球内部排列有22A 种，所以满足条件的有222222A A A ⋅⋅种；事件所有的排列有44A 种，相比得答案. 【详解】由题可知满足条件的同色球均相邻的情况种数为222222A A A ⋅⋅,事件所有情况种数44A ，所以同色球均相邻的概率为2222224413A A A A ⋅⋅= 故答案为：13【点睛】本题考查借助排列组合运算方法求古典概型的概率，属于中档题.13．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22192x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∆的面积为__________． 【答案】3【解析】由椭圆的标准方程得,,a b c 的值，再由椭圆的定义可知2||PF ，然后在焦点三角形中由余弦定理课求得12F PF ∠的大小，最后由焦点三角形面积公式122tan2F PF S b θ∆=，求得答案.【详解】由椭圆22192x y +=的方程可知，3,2a b ==，即7c =因为点P 在椭圆上1226PF PF a +==，又1||4PF =，所以2||2PF = 由余弦定理可知()(2222221212124221cos 22422PF PF c F PF PF PF +-+-∠===-⋅⨯⨯所以1223F PF π∠=故122212tan 2F PF F PF S b ∆∠===故答案为：【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形问题，该类问题常用到椭圆的定义，三角形顶角的余弦定理，以及面积的表示，其中面积的表示多见于122121tansin 22F PF P S b c y PF PF θθ∆==⋅=⋅，属于中档题. 14．已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过点A ，B分别做l 的垂线与x 轴交于C，D 两点，若AB =||CD =__________． 【答案】4【解析】因为直线与圆相交，且已知AB ，由勾股定理可以构建方程求得弦心距；再由点到直线的距离公式表示弦心距，求得参数m ，得倾斜角为30o ，做出图像，由余弦定义得答案. 【详解】由题可知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点， 所以设弦心距为d ，有2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又因为AB =3d =，即3d ==，所以m =l 的斜率3k m =-=，则倾斜角为30o做出图像，所以23||4cos303AB CD o === 故答案为：4 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，注意构建图像帮助分析，属于较难题.三、解答题15．求经过点()2,4P ，且与点()2,3A -，()4,5B -距离相等的直线的方程. 【答案】560x y --=或4340x y +-=【解析】作图观察可知，要满足该两点到直线的距离相等，只需直线过AB 中点或与AB 平行，求出AB 中点坐标，利用直线的两点式表示直线方程；求出AB 斜率，由直线的点斜式表示直线方程，得答案. 【详解】做出图像，观察可知点()2,3A -，()4,5B -到直线的距离要相等， 只需过中点()1,1C -或与AB 平行当过中点()1,1C -时，因为()2,4P ，所以直线方程为414212y x ---=--即560x y --= 当与AB 平行时，斜率AB k k =()354243--==---，所以直线方程为()4423y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即4340x y +-=所以直线的方程为560x y --=或4340x y +-=. 【点睛】本题考查求直线方程，其中到两定点的距离相等，则必过线段中点或与已知线段平行，属于中档题.16．为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图，已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4第一小组的频数是5.（1）求第四小组的频率和该组参加这次测试的学生人数； （2）在这次测试中，学生跳绳次数的中位效落在第几小组内？（3）从第一小组中选出2人，第三小组中选出3人组成队伍代表学校参加区里的小学生体质测试，在测试的某一环节，需要从这5人中任选两人参加测试，求这两人来自同一小组的概率.【答案】（1）0.2；10（2）第三小组（3）0.4【解析】（1）用1减去其他小组的频率，得答案；由第一小组频数，求出总的样本容量，再用样本容量乘以第四组的频率，得答案；（2）表示前两个小组频率和，再表示前三个小组频率和，观察得答案；（3）分别表示所有基本事件结果，再选出满足条件的事件，后者除以前者，得答案. 【详解】（1）由题可知P （第四小组）10.10.30.40.2=---=; 因为样本容量为5500.1=人，所以第四小组测试的学生人数为500.210⨯=人； （2）因为前两个小组的频率和为0.4，第三组的频率为0.4， 又因为中位数处的频率应恰好为0.5，所以应落在第三小组内； （3）法一：设事件P 为两人来自同一小组令从第一小组选出的2人为12,A A ，从第三小组选出的3人为123,,B B B 所有的基本事件有：()()1211,,,,A A A B ()12,,A B ()()1321,,,,A B A B ()()2223,,,,A B A B ()12,,B B ()()1323,,,B B B B 共10种可能，满足条件的有()12,,A A ()12,,B B ()()1323,,,B B B B ，共4种可能， 所以40.410P == 法二：设事件P 为两人来自同一小组因为这两人都来自第一小组的可能有221C =种，都来自第三小组的可能有233C =种， 且从5人中选2人的可能有2510C =种所以130.410P +== 【点睛】本题考查统计与概率的综合性问题，其中涉及对立事件的频率，求频数，中位数，还考查了古典概型问题，属于中档题.17．已知命题p ：221122x ym m +=-+表示椭圆，命题q ：x R ∃∈，2220x mx m ++-=若“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】[)111,,1,332m U U ⎛⎫⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】命题p 由椭圆的标准方程要求知分母都大于零且不相等，构建不等式，表示此时m 的范围；命题q 方程存在根，则由0≥V ，构建不等式，表示此时m 的范围；因为p q ∨的否定为p q ⌝∧⌝，求出p q ⌝∧⌝的结果，再取反面既得答案. 【详解】对命题p ：因为221122x ym m +=-+表示椭圆所以112021112022,,33212213m m m m m m m m ⎧<⎪->⎧⎪⎪⎛⎫⎛⎫+>⇒>-⇒∈--⋃-⎨⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪-≠+⎩⎪≠-⎩对命题q ：因为x R ∃∈，2220x mx m ++-=所以()()22420m m V =--≥，即(][),21,m ∈-∞-⋃+∞所以p ⌝：(]11,2,32m ⎫⎧⎡⎫∈-∞-⋃-⋃+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎣⎭⎭；q ⌝：()2,1m ∈-因为p q ∨的否定为p q ⌝∧⌝，且p q ⌝∧⌝为11,123m ⎧⎡⎫⎫∈⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎭⎩ 所以其否定即为p q ∨为真，即[)111,,1,332m U U ⎛⎫⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题由命题的逻辑连接词的真假性为背景，考察了椭圆的标准方程形式，一元二次方程根存在的判别要求，属于较难题.18．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，(),0A a ，()0,B b ，()0,0O ，ABO ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）设p 是椭圆C 上的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM g为定值. 【答案】（1）22143x y +=（2）见解析；【解析】（1）由离心率和ABO ∆的面积构建方程组，求出22,a b ，代入标准方程，得答案；（2）设点()P m n ,，由其在椭圆上得223412m n +=，考虑P A ，PB 的斜率存在与否，利用分类讨论m 是否为0，由直线的两点式分别表示P A ，PB 的直线方程，进而表示||||AN BM ⋅，化简得答案.【详解】（1）由题可知离心率12c e a ===,12ABO S ab ∆==解之得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）证明：设点()P m n ,，因为点P 在椭圆C 上，所以22143m n +=，即223412m n += 当0m ≠时，因为()P m n ,，()2,0A ，所以直线P A 的方程为22y nx m =-- 令0x =得22n y m =--，所以20,2n M m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭因为因为()P m n ,，(B ，所以直线P A的方程为y n x m-=令0y =得x =，所以N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则22N AN x ⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭22M n BM y m ⎛⎫==-=⎪-⎝⎭所以||||AN BM ⋅===因为223412m n +=，所以原式==当0m =时，因为点P 在椭圆22143x y +=上，且不与点B 重合，所以点P的坐标为(0,则此时(0,M ，()0,0N则2,AN BM ==，所以||||AN BM ⋅=综上所述：||||AN BM ⋅为定值【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，还考查了性质求椭圆标准方程，属于难题. 19．如图，圆C 与x 轴相切于点()1,0T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且||2AB =.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 作任一条直线与圆O ：221x y +=相交于M ，N 两点. ①求证：||||MA MB 为定值，并求出这个定值； ②求BMN ∆的面积的最大值. 【答案】（1）()(22122x y -+=（2）21；证明见解析②828-【解析】（1）由直线与圆相交，利用勾股定理构建方程求得半径，得答案；（2）①分类讨论MN k 是否存在，当MN k 存在时，可联立直线与圆的方程，进而确定1kx 的关系，利用斜率k 分别表示MA k ,MB k ，再利用弦长公式表示||,||MA MB ，作商并化简，得答案；当MN k 不存在时，M 为特殊位置，直接表示||,||MA MB ，作商，得答案； ②利用点到直线的距离公式表示点B 到MN l 的距离，利用弦长公式表示MN ，最后表示所求BMN ∆的面积，借助换元法求得函数的最大值即可. 【详解】（1）由题可知点()1,0T ，所以可以设圆心()1,C r因为||2AB =，所以由2221||12AB r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2r =(2C所以圆C 的标准方程为()(22122x y -+=；（2）①证明：由（1）可得()21A ，()21B当MN k存在时，设:1MN l y kx =-将直线和圆的方程联立：2211x y y kx ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩ 得())2212120kxkx +++-=——Ⅰ设()11,M x y ，()22,N x y ，且20x >，那么111MA y k k x -==-，111122MB y k k x x -+==--所以||||MA MB ====Ⅱ由Ⅰ得)()222211112112k x k x kx +-+==-，将其代入Ⅱ化简可得||1||MA MB ； 当MN k 不存在时，显然M 为()0,1或()0,1-此时))11211MA MB ⎧=-=-⎪⎨=-=⎪⎩或))11112MA MB ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩则||1||MA MB综上所述：||||MA MB1 ②由题可知此时MN k 必然存在，仍设:1MN l y kx = 则点B 到MN l的距离为：d ==由①可知Ⅰ式：())2212120kxkx +++-=则)()(2222141248kk k V ⎡⎤=-+-=+⎣⎦所以MN =故1122BMNS d MN ∆======令(]21,0,11t tk=∈+，则BMNS∆其内部函数开口向上，对称轴为12t==<故当1t=时，max8BMNS∆==.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，涉及求圆的标准方程，过定点的弦长问题，还考查了平面中三角形面积的最值问题，属于难题.。