安徽省江淮十校2019届高三第一次联考理科数学

2019年安徽省江淮十校高三上学期第一次联考（理）数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合1|,0A y y x x x ⎧⎫==+≠⎨⎬⎩⎭，集合{}2|40B x x =-≤，若A B P ⋂=，则集合P 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162．复数z 满足342z i ++=，则z z ⋅的最大值是（ ）A ．7B ．49C ．9D ．813．设,,a b c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a 、b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，|a |=|b |，则a 、b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 5．已知ln x π=，13y e -=，13log z π=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<6．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）ABC D7．如图，在正方体111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）A ．对任意动点F ，在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大．．D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小．．8．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）A ．56%B ．14%C ．25%D ．67%9．将余弦函数的图象向右平移2π个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()f x 的图象，下列关于()f x 的叙述正确的是（ ）A ．最大值为1，且关于3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B ．周期为π，关于直线2x π=对称 C ．在,68ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且为奇函数 D ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数 10．对任意实数x ，恒有10x e ax --≥成立，关于x 的方程()ln 10x a x x ---=有两根为1x ，2x ()12x x <，则下列结论正确的为（ ）A ．122x x +=B ．121=x xC ．122x x =D ．12x x e =11．已知双曲线2222:1x y C a b-=的两条渐近线分别为1l 与2l ，A 与B 为1l 上关于原点对称的两点，M 为2l 上一点且AM BM k k e ⋅=，则双曲线离心率e 的值为（ ）A B ．12 C ．2 D12．在四面体ABCD 中，若1AD DB AC CB ====，则当四面体ABCD 的体积最大时其外接球表面积为（ ）A ．53π B ．43π C ．π D ．2π第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知实数x 、y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为_____________。

2019年安徽省“江南十校”综合素质检测数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合}{2,1,0,1,2--=U ,{}U x x x A ∈>=,12,则=A C U{}2,2.-A {}1,1.-B {}2,0,2.-C {}1,0,1.-D2、复数iiz -=1（i 为虚数单位），则=-z22.A 2.B 21.C 2.D 3、抛物线22x y =的焦点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛81,0.C ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,81.D 4、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若C B c b 2,3,72===，则C 2cos 的值为37.A 95.B 94.C 47.D 5、已知边长为1的菱形ABCD 中，︒=∠60BAD ，点E 满足→→=EC BE 2，则→→•BD AE 的值是31.-A 21.-B 41.-C 61.-D5、我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.” 意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线)0(2L y x y ≤≤=绕y 轴旋转一周得几何体Z ,将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何体Z ，的截面圆的面积为l l ππ=2)(.由此构造右边的几何体1Z :其中⊥AC 平面α,πα=⊂=11,,AA AA L AC ,它与Z 在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ 为矩形，且l FP PQ ==,π，则几何体Z 的体积为2.L A π3.L B π 221.L C π 321.L D π7、已知函数)0)(32cos()(>+=ωπωx x f 的最小正周期为π4，则下面结论正确的是.A 函数)(x f 在区间()π，0上单调递增 .B 函数)(x f 在区间()π，0上单调递减 .C 函数)(x f 的图像关于直线32π=x 对称 .D 函数)(x f 的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛032，π对称 8、设函数1313)(2+-•=x x x x f ，则不等式0)log 1()log 3(22<-+x f x f 的解集是⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0.A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,22.B ()2,0.C ()+∞,2.D9、已知双曲线14222=-by x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为右支上一点且直线2PF 与x 轴垂直，若21PF F ∠的角平分线恰好过点()0,1，则21F PF ∆的面积为12.A 24.B 36.C 48.D10. 已知函数()()xeInx x x g x k x x f -=+-=4,11（e 是自然对数的底数），若对()[]3,1,1,021∈∃∈∀x x ，使得)()(21x g x f ≥成立，则正数k 的最小值为21.A 1.B 324.-C 324.+D11. 如图，网格线上的小正方形的边长为1，粗线（实线、虚线）画出的某几何体的三视图， 其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为20.A 420.π+B 4320.π+C 4520.π+D12. 计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电脑的通和断两种状态相对应。

第1页 共6页 第2页 共6页 第3页 共6页学校：_________________ 班级：__________ 姓名：_______________ 座位号：______装订线内不要答题安徽省“江淮十校”第一次联考试题数学(理)一、选择题(每小题5分，共50分) 1.已知集合A ＝{y |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x⎛⎫⎪⎝⎭12，x ＞1}，则A ∩B ＝A ．{y |0＜y ＜12} B ．{y |0＜y ＜1}C ．{y |12＜y ＜1} D ．Φ2.已知正数a 、b 满足：三数a 、1、b 的倒数成等差数列，则a ＋b 的最小值为A ．1B ．2C ．12D ．43. 已知a ＝20.2，b ＝0.42，c ＝log 0.24，则 A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a4.已知锐角α且5α的终边上有一点P (sin (－50°)，cos 130°)，则α的值为 A ．8° B ．44° C ．26° D ．40°5.已知向量a 、b 都是单位向量，且|a －b |则a (a ＋b)的值为A ．－1 BC ．0D ．1 6. 下列说法中正确的是A ．若命题p 为：对x ∀∈R 有x 2＞0，则p ⌝：x ∀∈R 使x 2≤0B ．若命题p 为：x 1－1＞0，则p ⌝：x 1－1≤0 C ．若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件D ．方程ax 2＋x ＋a ＝0有唯一解的充要条件是：a ＝±127. 已知锐角α、β满足：sin β－cos β＝15，tan α＋tan βα·tan β＝α、β的大小关系是A ．α＜βB ．β＜αC ．π4＜α＜βD ．π4＜β＜α8. 已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边，若||||AB AC ab AC ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＋·BC ＝0，且△ABC 的面积S △ABC ＝a c b 222＋－4，则三角形△ABC 的形状是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个为30°的等腰三角形 9. 已知函数f (x )满足：f (x ＋1)和f (x －1)都是偶函数，当x ∈[－1，1)时f (x )＝|log 2|x －1||，则下列说法错误的是 A ．函数f (x )在区间[3，4]上单调递减 B ．函数f (x )没有对称中心C ．方程f (x )＝k (k ≥0)在x ∈[－2，4]上一定有偶数个解D ．函数f (x )存在极值点x 0，且f (x 0)＝010. 某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y 元。

○…………外○…………内绝密★启用前 【校级联考】安徽省江淮名校2019届高三12月联考数学（理科）试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知全集U =R ，集合A = x x x −3 ≥0 ，B = x y = 2−x ，则 ∁U A ∩B 等于（ ） A ． 0,2 B ． 0,3 C ． ∅ D ． 0,2 2．复数z 满足()3243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 3．已知向量a = 1,3 ，b = m ,1 ，若a //b ，则m = （ ） A ． −13 B ． 13 C ． −3 D ． 3 4．已知函数f x =1e x +1−12，则f x 是（ ） A ． 奇函数，且在R 上是增函数 B ． 偶函数，且在 0,+∞ 上是增函数 C ． 奇函数，且在R 上是减函数 D ． 偶函数，且在 0,+∞ 上是减函数 5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（ ）………○………※※在※※装※※订※※线………○………A ． 2 B ． 3 C ． 5 D ． 2 3 6．已知等比数列 a n 的前n 项和为S n ，a 1+a 3=52且a 2+a 4=54，则S 5a 5 （ ） A ． 256 B ． 255 C ． 16 D ． 31 7．把函数f x =sin x −cos x 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π3，得到函数g x 的图象，则函数g x 的一个单调递增区间为（ ） A ． −17π6,−5π6 B ． −5π6,7π6 C ． −2π3,4π3 D ． 7π6,19π68．若实数x ，y 满足约束条件 x −y −2≤0x +2y −7≥0y −3≤0 ，则z =x +1y的最小值为（ ）A ． 23B ． 1C ． 2D ． 1459．如图，在矩形A B C D 中的曲线是y =sin x ，y =cos x 的一部分，点B π2,0 ，D 0,1 ，在矩形A B C D 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ． 4π 3−1B ． 4π 2−1 C ． 4 3−1 π D ． 4 2−1 π10．R t ΔA B C 的斜边A B 等于4，点P 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则P A ·P B 的取值范围是（ ）A ． −32,52B ． −52,52 C ． −3,5 D ． 1−2 3,1+2 311．体积为43的三棱锥P −A B C 的顶点都在球O 的球面上，P A ⊥平面A B C ，P A =2，∠A B C =π2，则球O 的表面积的最小值为（ ）A ． 8πB ． 9πC ． 12πD ． 16π12．设函数f x 的导数为f ′ x ，且f x +xe x =xf ′ x ，f 1 =−π，f 2 =−π2，则当x >0时，f x （ ）A ． 有极大值，无极小值B ． 无极大值，有极小值C ． 既有极大值又有极小值D ． 既无极大值又无极小值外………………装…………※不※※要※※在※※装内………………装…………第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．已知p : x −a <3，q : 2−x x −3 >0，若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为__________． 14．已知函数f x =sin ωx +π3 ω>0 在 0,2 上恰有一个最大值点和最小值点，则ω的取值范围是__________．15．已知正数a ，b 满足a +b =1，则aa +1+bb +2的最大值为__________．16．在四边形A B C D 中，A B =7，A C =6，cos ∠B A C =1114，C D =6sin ∠D A C ，则B D 的最大值为______．三、解答题17．如图，在梯形A B C D 中，A B //C D ，B C =C D =A D =1，∠A B C =60∘，四边形B D E F 是正方形，且∠A D E =π2，点G 在线段E F 上.（Ⅰ）求证：A D ⊥平面B D E F ；（Ⅱ）当B G //平面A C E 时，求四棱锥A −B D E G 的体积.18．如图，A D 是ΔA B C 的外平分线，且B C =C D .（Ⅰ）求sin ∠Bsin ∠A C B ；（Ⅱ）若A D =4，C D =5，求A B 的长.19．已知数列 a n 的前n 项的和S n =n 2+2n ， b n 是等差数列，且a n =b n +b n +1.（Ⅰ）求数列 b 的通项公式；………线……………线……（Ⅱ）令c n = a n +1 n +1b n +1n ，求数列 c n 的前n 项和T n . 20．在四棱锥S −A B C D 中，侧面S C D ⊥底面A B C D ，B C //A D ，C D ⊥A D ，S D =A D =C D =1，B C =12，S C = 3.（Ⅰ）求S C 与平面S A B 所成角的正弦值； （Ⅱ）求平面S A D 与平面S A B 所成的锐二面角的余弦值. 21．已知f x =x ln x . （Ⅰ）求f x 的最小值； （Ⅱ）若f x ≥k x −2 k +1 k ∈Z 对任意x >2都成立，求整数k 的最大值. 22．已知f x =e x ，g x =a x +b ，其中a ，b ∈R . （Ⅰ）当a =1是，求函数F x =f x −g x 的单调区间； （Ⅱ）若f x ≥g x 恒成立，求a +b 的最大值.参考答案1．D【解析】【分析】解不等式得集合A，进而可得∁U A，求解函数定义域可得集合B，利用交集求解即可.【详解】因为集合∁U A=x x x−3<0=0,3，B=−∞,2，所以∁U A∩B=0,2，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题.2．A【解析】由题意得，()()()()4332431173232321313i ii izi i i+++===+--+，则复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.3．B【解析】【分析】利用两个向量平行的坐标表示列出方程求解即可.【详解】向量a=1,3，b=m,1，若a//b，则1×1=3m，解得m=13.故选B.【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题.4．C【解析】【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用f−x+f x=0可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.【详解】定义域为R，关于原点对称，f−x=1e−x+1−12=e xe x+1−12，有f−x+f x=0，所以f x是奇函数，函数f x=1e x+1−12，显然是减函数.故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5．A【解析】【分析】还原几何体得四棱锥P−ABCD，其中PA⊥面ABCD，分别计算各侧面的面积即可得解.【详解】还原三视图可得几何体如图所示，四棱锥P−ABCD，其中PA⊥面ABCD，S∆P A D=12P A∙A D=1,S∆P A B=12P A∙A B=2,S∆P C D=12P D∙C D=52.∆P C B中有P C=6,B C=2,P B=22，由B C2+P C2=P B2，所以∠P C B=90°.所以S∆P C B=12P C∙B C=3.所以面积最大值是ΔP A B的面积，等于2.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，并计算几何体的侧面积，需要一定的空间想象力，属于中档题.6．D【解析】【分析】由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n项和，从而可得S na n，令n=5求解即可.【详解】由a1+a3=52，可得a1+a1q2=52；由a1q+a1q3=54.两式作比可得：可得q=12，a1=2，所以a n=12n−2，S n=4−12n−2，S na n=2n−1，所以S5a5=25−1=31.故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项公式，属于公式运用的题目，属于基础题. 7．B【解析】【分析】利用三角函数的图象变换可得函数g x=2sin x x2−π12，再由2kπ−π2≤x2−π12≤2kπ+π2，k∈Z，可解得单调增区间，即可得解.【详解】函数f x=sin x−cos x=2sin x x−π4的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得y=2sin x x2−π4的图象，再向左平移π3，得到函数g x=2sin12x+π3−π4=2sin x x2−π12的图象.由2kπ−π2≤x2−π12≤2kπ+π2，k∈Z，得4kπ−5π6≤x≤4kπ+7π6，k∈Z.当k=0时，函数g x的一个单调递增区间 −5π6,7π6，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性，注意三角函数的平移变换，平移是针对自变量“x”而言的，所以需要将x的系数提出，属于中档题.8．A【解析】【分析】作出不等式的可行域，z=x+1y的几何意义是可行域内的点与点−1,0连线的斜率的倒数，由斜率的最大值即可得解.【详解】作出不等式组构成的区域，z=x+1y的几何意义是可行域内的点与点D−1,0连线的斜率的倒数，由图象知A D的斜率最大，由x+2y−7=0y=3得x=1y=3，所以A1,3，此时z=1+13=23.故选A.【点睛】常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：z=A x+B y+C的几何意义为可行域内的点到直线A x+B y+C=0的距离的A+B倍z=(x−a)2+(y−b)2的几何意义为可行域内的点到点(a,b)的距离的平方。

数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合(){}30A x x x =-?，{}2B x y x =-，则()U A B Çð等于（ ） A. ()0,2 B. ()0,3 C. Æ D. (]0,2【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得集合A ，进而可得U A ð，求解函数定义域可得集合B ，利用交集求解即可. 【详解】因为集合(){}()300,3U A x x x =-<=ð，(],2B =-?，所以()(]0,2U A B ?ð，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题.2.复数z 满足(32)43i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 由题意得，43(43)(32)11732(32)(32)1313i i i iz i i i +++===+--+，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A. 3.已知向量()1,3a =，(),1b m =，若//a b ，则m = （ ） A. 13-B. 13C. 3-D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个向量平行的坐标表示列出方程求解即可.【详解】向量()()1,3,,1a b m ==，若//a b ，则113m ?，解得1m =.【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题. 4.已知函数()1112xf x e =-+，则()f x 是（ ） A. 奇函数，且在R 上是增函数 B. 偶函数，且在()0,+?上是增函数 C. 奇函数，且在R 上是减函数 D. 偶函数，且在()0,+?上是减函数【答案】C 【解析】 【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用()()0f x f x -+=可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.【详解】定义域为R ，关于原点对称，()1112x f x e --=-+ 112x x e e =-+，有()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数， 函数()1112xf x e =-+，显然是减函数. 故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 5D. 23【答案】A 【解析】 【分析】还原几何体得四棱锥P ABCD -，其中PA ^面ABCD ，分别计算各侧面的面积即可得解.【详解】还原三视图可得几何体如图所示，四棱锥P ABCD -，其中PA ^面ABCD ，11151,?2,2222PADPABPCDSPA AD S PA AB S PD CD ======. PCB 中有6,2,22PC BC PB =222BC PC PB +=，所以90PCB ??.所以132PCBSPC BC ==. 所以面积最大值是PAB D 的面积，等于2.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，并计算几何体的侧面积，需要一定的空间想象力，属于中档题. 6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1352a a +=且2454a a +=，则55Sa （ ） A. 256 B. 255 C. 16 D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n 项和，从而可得nnS a ，令5n =求解即可.【详解】由1352a a +=，可得21152a a q +=； 由31154a q a q +=. 两式作比可得：可得12q =，12a =， 所以212n n a -骣琪=琪桫，2142n n S -骣琪=-琪桫，21n n n S a =-，所以5552131Sa =-=.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n 项公式，属于公式运用的题目，属于基础题. 7.把函数()sin cos f x x x =-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3p，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ） A. 175,66p p轾--犏犏臌 B. 57,66p p轾-犏犏臌 C. 24,33p p轾-犏犏臌 D. 719,66p p轾犏犏臌【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换可得函数()2sin 212x g x x p骣琪=-琪桫，再由22212x k p p p -?22k pp ?，k Z Î，可解得单调增区间，即可得解. 【详解】函数()sin cos f x x x =-=2sin 4x x p骣琪-琪桫的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得24x y x p骣琪=-琪桫的图象，再向左平移3p ，得到函数()12sin 234g x x p p 轾骣犏琪+-琪犏桫臌2sin 212x x p 骣琪=-琪桫的图象. 由22212x k p pp -?22k p p ?，k Z Î，得574466k xk p pp p -＃+，k Z Î. 当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间57,66p p轾-犏犏臌， 故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性，注意三角函数的平移变换，平移是针对自变量“x”而言的，所以需要将x 的系数提出，属于中档题.8.若实数x ，y 满足约束条件2027030x y x y y ì--?ïï+-?íï-?ïî，则1x z y +=的最小值为（ ）A.23 B. 1 C. 2 D. 145【解析】 【分析】作出不等式的可行域，1x z y+=的几何意义是可行域内的点与点()1,0-连线的斜率的倒数，由斜率的最大值即可得解.【详解】作出不等式组构成的区域，1x z y+=的几何意义是可行域内的点与点()1,0D -连线的斜率的倒数，由图象知AD 的斜率最大，由2703x y y ì+-=ïí=ïî得13x y ì=ïí=ïî，所以()1,3A ，此时11233z +==. 故选A.【点睛】常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：z Ax By C =++的几何意义为可行域内的点到直线A 0x By C ++=22A B +()()22b z x a y =-+-的几何意义为可行域内的点到点()a,b 的距离的平方。

12 江淮六校2019届高三上学期开学联考理 科 数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数22i 1i ⎛⎫⎪+⎝⎭等于（ ）A ．4iB ．4i -C ．2iD ．2i -2．已知集合{|A x y ==，{}0,1,2,3,4B =，则A B =（ ）A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

(]{},34-∞3．函数lncos 22y x x ⎛⎫=-<π< ⎝π⎪⎭的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知两个单位向量a 和b 夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 方向上的投影为（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．12 5．已知双曲线221(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22124x y -= B ．22148x y -= C ．2218y x -= D ．22128x y -= 6．在ABC △中，1a =，b =6A π=，则角B 等于（ ） A ．3π或23π B ．23π C ．3π D ．4π 7．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。

老师们目送着大家远去，渐行渐远．．．．．．执行如图所示的程序框图，若输入64x =，则输出的结果为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 8．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是（ ） A ．435 B ．635 C ．1235 D ．36343 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AC 与1BB 所成的角为30︒， 则1AA =（ ）12 AB ．3 CD10．将函数())cos 2sin 0222x x x f x ωωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．函数()f x 对任意的实数x 都有()()()221f x f x f +-=，若()1y f x =-的图像关于1x =对称，且()02f =，则()()20172018f f +=（ ）A ．0B ．2C ．3D ．412．设F ，B 分别为椭圆22221(0)xya b a b +=>>的右焦点和上顶点，O 为坐标原点，C 是直线by x a =与椭圆在第一象限内的交点，若()FO FC BO BC λ+=+，则椭圆的离心率是（ ）ABCD1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线5e 2x y -=+在点()0,3处的切线方程为__________．14．若变量x ，y 满足约束条件2534x y x y +≥≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，则z x y =+的取值范围是__________．15．已知()0,α∈π，tan 2α=，则cos2cos αα+=__________．16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S ABCD -的体积取值范围为83⎤⎥⎣⎦，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，()12222n n a a a n -=+-≥． （1）证明：{}1n a +为等比数列； （2）求{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？ 18．（12分）某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：（1）可用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系吗？如果能，请求出y 关于x 的线性回归方程，如果不能，请说明理由； （2）公司决定再采购A ，B 两款车扩大市场，A ，B 两款车各100辆的资料如表：平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？12 参考数据：()62117.5i i x x =-=∑，()()6135i i i x x y y =--=∑，()62176i i y y =-=∑，36.5． 参考公式：相关系数()()ni i x x y y r --=∑ 回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，其中()()()121ˆni i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，AB DC ∥，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点． （1）证明：BE PD ⊥； （2）若F 为棱PC 上一点，满足BFAC ⊥，求二面角F AB D --的余弦值． 20．（12分）已知ABC △的直角顶点A 在y 轴上，点()10B ,，D 为斜边BC 的中点，且AD 平行于x 轴． （1）求点C 的轨迹方程； （2）设点C 的轨迹为曲线Γ，直线BC 与Γ的另一个交点为E ．以CE 为直径的圆交y 轴于M 、N ，记此圆的圆心为P ，MPN α∠=，求α的最大值．1221．（12分）已知函数()2x f x e ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；（2）若()f x 在()0+∞,有两个零点，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为2ααπ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的直线l 的参数方程为()1cos sin x t t y t αα⎧⎨+=⎩=为参数．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()1,0P ．若点M 的极坐标为12π⎛⎫ ⎪⎝⎭,，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，求A ，B 两点间的距离AB 的值．1223．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()1f x x =+（1）求不等式()211f x x <+-的解集；（2）关于x 的不等式()()23f x f x a -+-<的解集不是空集，求实数a 的取值范围．12 江淮六校2019届高三上学期开学联考理 科 数 学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】()2222i 4i 42i 1i 2i 1i -⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+，故选C ．2．【答案】C【解析】错误！未找到引用源。

099,6S x =+==次循环，45144189,24S x =+==，满足判断条件，退出循环体，输出S 的值为189. 5. 【解析】由统计图可知①,②正确,由689052-643974<744127-689052,可知③错误,由744127⨯0039.8≈ 296000,约为296千亿元,所以④ 错误,故选B.6. 【解析】方程22925225x y +=化为221259x y +=，所以该曲线是椭圆，右焦点恰好为(4,0)A ，点(1,1)B --在椭圆内部，设左焦点为(4,0)F -，于是||||(2||)||2(||||)2||10PA PB a PF PB a PB PF a FB +=-+=+-≤+=.7.【解析】由三视图可知，该几何体是半圆柱和半球的组合体，故其体积为23125121233V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=.8.【解析】3332241()=5144414141x x x x f x ax ax ax --+=+-+=+++++，令341()()41x x g x ax x R -=+∈+，则334114()()4114x x xxg x ax ax g x -----=-+=-+=-++，所以()g x 是R 上的奇函数，因为()()41f b g b =+=，所以()3g b =-，于是()()4()4347f b g b g b -=-+=-+=+=.9.【解析】由题意易知PQ 垂直于x 轴，可设0(,)P c y ，其中222c a b =+.因为0AP AQ ⋅=，所以90PAQ ︒∠=，即245PAF ︒∠=，所以22||||PF AF =.将0(,)P c y 代入双曲线方程中可解得20b y a =，所以2b ac a=+，即22b a ac =+，即222c a a ac -=+，即2220c ac a --=，两边同除以2a ，可得220e e --=，解得2e =（另一个解舍去），故选A.10.【解析】因为2mn =，所以14484814(1)(4)44m n m n n m n m mn n m +++++==+++++++ 4821112(24646m n m n m n ++==+≤==++++，当且仅当2m n ==时等号成立.11.【解析】()sin cos )4f x x x x πωωω=+=+，因为存在1x ，对于任意的实数x ，都有11()()(6)f x f x f x ≤≤+，所以11(),(6)f x f x +分别为函数()f x 的最小值和最大值，因为ω最小，所以周期最大，所以62T=，即12T =是周期的最大值，此时2126ππω==，于是()sin()64f x x ππ=+，故(3)sin()sin 1244f πππ=+==.12.【解析】先求此旋转体顶部到到底部的高位h 时的截面圆的面积.当高为h 时，在2(0)y ax a =>中令y=h ，得2hx π=，对应截面圆的面积为2h h S x a aπππ==⋅=.依据祖暅原理，要构造一个高为b 的体积易求的直三棱柱，且几何体到底部的距离为h 的截面面积也是haπ.构造一个如下图所示的直三棱柱，底面为腰长为b 的等腰直角三角形，侧棱长为aπ，且将此三棱柱放到三维直角坐标系中，则此几何体到底部的距离为为h 的截面矩形的面积为hh a aππ⋅=，则依据祖暅原理可得所求几何体的体积为22122b V b a aππ=⋅=.13. 3± 【解析】由λ-a b =0得λ=a b ，平方得222λ=a b ，所以3λ=±.14.240 【解析】通项公式为6366662266622r r r r r r r r r r C x C x C x ---+---==，令360r -=，解得2r =，所以常数项为4262240C =.15.2 【解析】画出不等式组2,239,0x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的区域，如图所示；因为(),M a b 是阴影区域内的任意点，所以14b a --可以看作区域内的点与点()41D ，连线的斜率.当直线过点C 时，斜率值最大，由2,239,x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得()3,1C -.∴14b a --最大值为11234--=-.16.【解析】由3C π=，得23A B π+=，所以sinsin sin cos cos sin sin()22222222tan tan 22cos cos cos cos cos cos222222A B A B A B A B A B A B A B A B +++=+==2cos cos 22A B ==，可得cos cos 22A B =， 又因为1cos()cos cos sin sin 2222222A B A B A B +=-=，故sin sin 22A B =.17. 【解析】（1）证明：由146n n a a +=+，可得124(2)n n a a ++=+，………………2分 因为11a =，所以20n a +>，故可得1242n n a a ++=+，所以数列{2}n a +是等比数列，首项为3，公比为4.………………………………………4分 （2）由（1）可知1234n n a -+=⨯，所以1342n n a -=⨯-.………………………………6分于是2124423422log log 2133n n n a b n -+⨯-+===-，………………………………8分 所以12211(21)(21)2121n n b b n n n n +==--+-+，……………………………………10分 所以11111121133521212121n nT n n n n=-+-++-=-=-+++…………………12分18．【解析】（1）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，因为AB =2BC =，45ABC ∠=，由余弦定理得28422cos454AC =+-⋅⋅=， 得2AC =， 所以90ACB ∠=，即BC AC ⊥，………2分 又AD ∥BC ，所以AD AC ⊥，又2AD AP ==，DP =PA AD ⊥，…………4分而AP AC A =，所以AD ⊥平面PAC ， 所以平面PAD ⊥平面PAC .………6分（2）侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥底面ABCD ，所以直线,,AC AD AP 两两互相垂直， 以A 为原点，直线,,AC AD AP 坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0A ，(2,0,0)D -，(0,2,0)C ，(2,2,0)B ，(1,1,0)E -， (0,0,2)P ，………8分所以(0,2,2)PC =-，(2,0,2)PD =--，(2,2,2)PB =-， 则1222(,,)3333PF PB ==-，所以224(,,)333F ，所以514(,,)333EF =-.设平面PDC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0PC ⋅=n ，0PD ⋅=n ，得220,220,y z x z -=⎧⎨--=⎩令1x =，得(1,1,1)=--n ． ………………………………………………10分因为直线EF 与平面PDC 所成的角为θ，则2||sin |cos ,||||EF EF EF θ⋅=<>==⋅n n n |12分 19.【解析】（1）由抛物线定义可得0012px x +-=，解得2p =， 所以抛物线C 的标准方程为24y x =.……………………………………4分（2）证明：设直线1l 的方程为1(0)x my m =+≠，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y .联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，所以12022y y y m +==，所以2021x m =+，即2(21,2)M m m +. 用1m -替换m ，得222(1,)N m m+-.…………………………………………………6分 当直线MN 的斜率存在时，斜率为22222()2121(1)m m m m m m--=-+-+，…………………8分 此时直线MN 的方程为222(21)1my m x m m -=---，整理可得2(3)1my x m =--，过定点（3,0）.………………………………………10分当直线MN 的斜率不存在时，易知1m =， 直线MN 的方程为3y =，也过定点（3,0）.综上，直线MN 恒过定点（3,0）……………………………………………………12分20.【解析】（1）某人选择方案二，若中奖一次，则付款3600元，比方案一优惠，所以选择方案二比选择方案一更优惠则需要至少中奖一次. 设某人没有中奖为事件A ，则03311()()28P A C ==，………………………………2分 所以甲乙丙三人至少有一人比选择方案一更优惠的概率为3315111[()]1()8512P A -=-=.………………………………………………………………4分（2）（i ）设实际付款金额为随机变量X ，由题意可得X 得取值为3600,3240,3060,2880.1(3600)8P X ==，13313(3240)()28P X C ===，23313(3060)()28P X C ===，33311(2880)()28P X C ===.…………………8分所以实际付款金额X 的分布列为于是()36003240306028803172.58888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………10分 （ii ）若选择方案一，则需付款3300元，若选择方案二，则由（i ）可知只需付款3172.5元，所以实际付款金额的数学期望角度，选择方案二更合适.………………………12分21.【解析】（1）当3m =时， 1()3ln 2f x x x x=+-， 所以221(21)(1)()2(0)m x x f x x x x x--'=--=->…………………………………2分 当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2上单调递减； 当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2上单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以极小值为1()13ln 22f =-，极大值为(1)1f =-.……………………………4分（2）证明：当1m =时，1(1)ln(1)2(1)1f x x x x -=-+---，1x >-. 所以1(1)22x f x e x -->--等价与11ln(1)41x x e x --+>--， 证法一：先证明：11ln(1)1x x e x --+>-. 等价于1(1)ln(1)1(1)x x x x e ---+>-.………………………………………………6分 设()(1)ln(1)1g x x x =--+， 则()1ln(1)g x x '=+-， 令()0g x '=，得11x e =+，所以在1(1,1)e+上，()0g x '<，()g x 单调递减， 在1(1,)e ++∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，故11()(1)1g x g e e≥+=-.………8分 设1()(1)x h x x e -=-，则(2)()xe x h x e -'=，令()0h x '=，得2x =， 所以在(1,2)上，()0h x '>，()h x 单调递增，在(2,)+∞上，()0h x '<，()h x 单调递减，故1()(2)1h x h e<=-.………………10分 所以()()h x g x <，即1(1)ln(1)1(1)x x x x e ---+>-， 故11ln(1)1x x e x --+>-，所以11ln(1)41x x e x --+>--，原命题成立.………12分证法二：令1(0)t x t =->，则等价于1ln 4tt e t-++>，等价于ln 41tt t t te -++>.…………………6分构造函数()ln 41,()tg t t t t h t te -=++=，由()ln 5g t t '=+，令()ln 50g t t '=+=，得5t e -=，所以()g t 在5(0,)e -上单调递减，在5(,)e -+∞上单调递增，所以551()()1g t g e e -≥=-. …………………8分由1()t t h t e -'=，令1()0tth t e -'==，得1t =，所以()h t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以1()(1)h t h e≤=. …………………10分而5111e e->，所以()()g t h t >，即ln 41t t t t te -++>，命题得证. ……………12分22.【解析】(1)由2,1,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t 得30x y +-=, 所以直线l 的普通方程为30x y +-=. ……………………………………………2分由4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ, 得22cos 2sin =+ρρθρθ.将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入化简,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()22112-+-=x y . …………5分 (2)将2,1,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆的方程()()22112-+-=x y可得221)2⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭,即210t -=, 设此方程的两个根为12,t t，则12121t t t t +==-，所以12||||||||PM PN t t +=+==. ……………………10分23.【解析】（1）()6f x <，即|1||2|6x x -+-<，当1x <时，126x x -+-<，解得312x -<<； 当12x ≤≤时，126x x -+-<，解得12x ≤≤； 当2x >时，126x x -+-<，解得922x <<； 综上所述，原不等式的解集为39{|}22x x -<<.………………………………………5分 （2）不等式()|2|[()|2|]b bf ab ab a f a a-->--即为|1||2||2|||(|1||2||2|)b b bab ab ab a a a a-+--->-+---， 故只需证明：|1|||ab b a ->-， 只需证明：22(1)()ab b a ->-，而22222222(1)()1(1)(1)0ab b a a b a b a b ---=--+=-->,从而原不等式成立.………………………………………………………………………10分。

江淮十校2019届高三第一次联考数学（理科）第1卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合M=，N=，则A.M∪N =RB.M∪N= {x|-2≤x <3)C.M∩N= {x|-2≤x <3)D.M∩N={x|-l≤x <3)2．已知复数（a∈R,/为虚数单位），若名是纯虚数，则a的值为( )A.+lB.0或1C.-1D.03．已知等差数列{a n}满足a1+a3 +a5=12，a10 +a11+a12= 24，则{an}的前13项的和为( )A．12 B．36 C．78 D．1564．非直角三角形ABC的三内角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，则”a<b”是”tanA< tanB”的( )A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充要条件5．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时,f(x）=x2+ 2x+ mcosx，记a= 一3f(-3)，b=- 2f(-2)，c= 4f(4)，则a，b，c的大小关系为( )A.b <a <cB.a<c<bC．c<b<a D．a<b<c6．已知t=2cos2xdx，则执行程序框图，输出的S的值为A．lg99 B.2C．lgl01 D.2 +lg27．如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为48π，则a的值为A.lB.2C.3D.48．已知函数(x)= sin2x -2cos2x，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x1)·g(x2)=-4，则|x1-x2|的值可能为( )A．B．C． D. π9．已知抛物线x2 =4y的焦点为F，过点P(2，1)作抛物线的切线交y轴于点M，若点M关于直线y=x 的对称点为N，则S△FPN的面积为( )A．2 B．1 C． D.10.已知函数f(x)=x3 -x的零点构成集合P，若xi∈P(i∈N})（x l，x2，x3，x4可以相等），则满足条件“x12 +x22 +x32 +x42≤4”的数组（x l，x2，x3，x4）的个数为( )A．92 B．81 C．64 D．6311.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A．B．C．D．12.已知函数f(x)，存在x l，x2，…，x m，满足，则当n 最大时，实数m的取值范围为( )A．（，）B．（，）C．[，）D．[，）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置，13.已知△ABC中，=（1，-1），AB的中点D的坐标为(3，1)，点C的坐标为(2，m)，则m=14.已知实数x，y满足，则z=4x -3y +1的最大值为15.若(x+a)9 =a o +a1（x+l）+a2（x+l）2+…+a9(x+l)9，当a5=126时，实数a的值为16.如图，四边形ABCD内接于圆O，若AB =1，AD =2，BC=BDcos∠DBC+ CDsin ∠BCD，则S△BCD的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n-n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求a1+a3+a s+…+a2n+1·在△ABC中，角A，B，c的对边分别为a，b，c，且csin（-A）是asin（-B）与bcosA的等差中项．(1)求角A的大小；(2)若2a =b +c，且△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积．19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC -A1B1C1内接于圆柱OO1，且AB，A1B1分别为圆O，圆O l的直径，AC=BC =2，AA1=3，D为B1C1的中点，点E满足(λ∈[0，1])．(1)求证：当λ=时，A1D∥平面B1CE；(2)试确定实数λ的值，使平面COE与平面CBB1C1所成的锐二面角的余弦值为2018年7月，某省平均降雨量突破了历史极值，为了研究降雨分布的规律性，水文部门统计了7月12日8时一7月13日8时降雨量较大的某县的20个乡镇的降雨量情况，列出降雨量的茎叶图如下（单位：mm）(1)以这20个乡镇降雨量的平均数估测全县的平均降雨量，求出这个平均值（保留整数）；(2)从这20个乡镇的水文资料中任意抽取3个乡镇的资料进行数据分析(i)求至少抽到一个高于平均降雨量的乡镇的概率；(ii)对降雨量不低于70mm,的乡镇要发出特急防洪通知，设X=“需发出特急防洪通知的乡镇的个数”，写出X的分布列，并求出E(X)．已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，且P(，1）在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点(2，0)的动直线l与椭圆C交于A，B两点，判断在x轴上是否存在定点D，使得的值为定值．若存在，求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由．22.（本小题满分12分）已知函数f(x)=alnx-x-b(a，b∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=l时，若函数f(x）恰有两个不同的零点x1,x2求实数b的取值范围，并证明．。

江淮六校2019届高三上学期开学联考理 科 数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数22i 1i ⎛⎫⎪+⎝⎭等于（ ）A ．4iB ．4i -C ．2iD ．2i -2．已知集合{|A x y ==，{}0,1,2,3,4B =，则A B =（ ）A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

(]{},34-∞3．函数lncos 22y x x ⎛⎫=-<π< ⎝π⎪⎭的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知两个单位向量a 和b 夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 方向上的投影为（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．12 5．已知双曲线221(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22124x y -= B ．22148x y -= C ．2218y x -= D ．22128x y -= 6．在ABC △中，1a =，b =6A π=，则角B 等于（ ） A ．3π或23π B ．23π C ．3π D ．4π 7．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。

老师们目送着大家远去，渐行渐远．．．．．．执行如图所示的程序框图，若输入64x =，则输出的结果为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 8．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是（ ） A ．435 B ．635 C ．1235 D ．36343 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AC 与1BB 所成的角为30︒， 则1AA =（ ）AB ．3 CD10．将函数())cos 2sin 0222x x x f x ωωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．函数()f x 对任意的实数x 都有()()()221f x f x f +-=，若()1y f x =-的图像关于1x =对称，且()02f =，则()()20172018f f +=（ ）A ．0B ．2C ．3D ．412．设F ，B 分别为椭圆22221(0)x ya b a b +=>>的右焦点和上顶点，O 为坐标原点，C 是直线by x a =与椭圆在第一象限内的交点，若()FO FC BO BC λ+=+，则椭圆的离心率是（ ）ABCD1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线5e 2x y -=+在点()0,3处的切线方程为__________．14．若变量x ，y 满足约束条件2534x y x y +≥≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，则z x y =+的取值范围是__________．15．已知()0,α∈π，tan 2α=，则cos2cos αα+=__________．16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S ABCD -的体积取值范围为83⎤⎥⎣⎦，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，()12222n n a a a n -=+-≥． （1）证明：{}1n a +为等比数列； （2）求{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？ 18．（12分）某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：（1）可用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系吗？如果能，请求出y 关于x 的线性回归方程，如果不能，请说明理由； （2）公司决定再采购A ，B 两款车扩大市场，A ，B 两款车各100辆的资料如表：平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？参考数据：()62117.5i i x x =-=∑，()()6135i i i x x y y =--=∑，()62176i i y y =-=∑，36.5． 参考公式：相关系数()()ni i x x y y r --=∑ 回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，其中()()()121ˆni i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，AB DC ∥，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点． （1）证明：BE PD ⊥； （2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB D --的余弦值． 20．（12分）已知ABC △的直角顶点A 在y 轴上，点()10B ,，D 为斜边BC 的中点，且AD 平行于x 轴． （1）求点C 的轨迹方程； （2）设点C 的轨迹为曲线Γ，直线BC 与Γ的另一个交点为E ．以CE 为直径的圆交y 轴于M 、N ，记此圆的圆心为P ，MPN α∠=，求α的最大值．21．（12分）已知函数()2x f x e ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；（2）若()f x 在()0+∞,有两个零点，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为2ααπ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的直线l 的参数方程为()1cos sin x t t y t αα⎧⎨+=⎩=为参数．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()1,0P ．若点M 的极坐标为12π⎛⎫ ⎪⎝⎭,，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，求A ，B 两点间的距离AB 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()1f x x =+（1）求不等式()211f x x <+-的解集；（2）关于x 的不等式()()23f x f x a -+-<的解集不是空集，求实数a 的取值范围．江淮六校2019届高三上学期开学联考理 科 数 学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】()2222i 4i 42i 1i 2i 1i -⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+，故选C ．2．【答案】C【解析】错误！未找到引用源。

2019届安徽省高三上学期第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={1，2，3，4}，B={x|y=log（3﹣x）}，则A∩B=（）2A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{4}2．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）A．B．C．D．不确定3．将函数y=sin2x的图象先向左平行移动个单位长度，再向上平行移动1个单位长度，得到的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）+1 B．y=sin（2x+）+1 C．y=sin（2x+）+1 D．y=sin（2x﹣）+14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．2πD．5．执行右边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．66．若变量x、y满足约束条件，则z=的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．37．已知{an }为等差数列，a1+a2+a3=156，a2+a3+a4=147，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值的n是（）A．19 B．20 C．21 D．228．设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n其中正确的命题是（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④9．已知函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．﹣1＜a≤1 C．D．10．设a＞b＞0，a+b=1，且x=（）b，y=log ab，z=log a，则x、y、z的大小关系是（）A．y＜z＜x B．z＜y＜x C．x＜y＜z D．y＜x＜z11．已知A、B是球O的球面上两点，且∠AOB=120°，C为球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．4πB．C．16π D．32π12．设函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=2x，若对x∈[1，2]，不等式af（x）+g（2x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是．14．已知，则sin2x= ．15．设函数f（x）=sin（wx+φ），其中|φ|＜．若f（﹣）≤f（x）≤f（）对任意x∈R恒成立，则正数w的最小值为，此时，φ= ．16．已知，满足||=||=•=2，且（﹣）•（﹣）=0，则|2﹣|的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．我国是世界上严重缺水的国家．某市政府为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3.5吨的人数，并说明理由；（3）若在该选取的100人的样本中，从月均用水量不低于3.5吨的居民中随机选取3人，求至少选到1名月均用水量不低于4吨的居民的概率．18．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．19．如图所示，凸五面体ABCED中，DA⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=，F为BE的中点．（1）若CE=2，求证：①DF∥平面ABC；②平面BDE⊥平面BCE；（2）若二面角E﹣AB﹣C为45°，求直线AE与平面BCE所成角．20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，2S n =（n+1）a n ，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与的大小．21．如图，已知直线l ：y=x+4，圆O ：x 2+y 2=3，直线m ∥l ．（1）若直线m 与圆O 相交，求直线m 纵截距b 的取值范围；（2）设直线m 与圆O 相交于C 、D 两点，且A 、B 为直线l 上两点，如图所示，若四边形ABCD 是一个内角为60°的菱形，求直线m 纵截距b 的值．22．已知a ＞0，b ∈R ，函数f （x ）=4ax 2﹣2bx ﹣a+b 的定义域为[0，1]．（Ⅰ）当a=1时，函数f （x ）在定义域内有两个不同的零点，求b 的取值范围；（Ⅱ）记f （x ）的最大值为M ，证明：f （x ）+M ＞0．2017-2018学年安徽省“江淮十校”高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（3﹣x）}，则A∩B=（）1．若集合A={1，2，3，4}，B={x|y=log2A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{4}【考点】交集及其运算．【分析】根据对数函数的定义求出集合B中元素的范围，再由交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={x|y=log（3﹣x）}={x|x＜3}，2则A∩B={1，2}，故选：A．2．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）A．B．C．D．不确定【考点】几何概型；任意角的三角函数的定义．【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率．故选B3．将函数y=sin2x的图象先向左平行移动个单位长度，再向上平行移动1个单位长度，得到的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）+1 B．y=sin（2x+）+1 C．y=sin（2x+）+1 D．y=sin（2x﹣）+1【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】第一次变换可得可得函数y=sin2（x+）的图象，第二次变换可得函数y=sin2（x+）+1的图象，从而得出结论．【解答】解：将函数y=sin2x的图象先向左平行移动个单位长度，可得函数y=sin2（x+）的图象，再向上平行移动1个单位长度，可得函数y=sin2（x+）+1=sin（2x+）+1 的图象，故选B．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．2πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个上部为半圆锥、下部为圆柱的几何体，故可以分部分求出半圆锥与圆柱的体积再相加求出此简单组合体的体积．【解答】解：所求几何体为一个圆柱体和半圆锥体构成．其中半圆锥的高为2．其体积为=，圆柱的体积为π•12•1=π故此简单组合体的体积V=π+=．故选：A．5．执行右边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】循环结构．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．则输出的n=4故选B．6．若变量x、y满足约束条件，则z=的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数的几何意义：平面区域内的一点与原点连线的斜率求最小值【解答】解：作出的可行域如图所示的阴影部分，由于z==1+2的几何意义是平面区域内的一点与原点连线的斜率的2倍加1，结合图形可知，直线OA的斜率最小，由可得A（2，1），此时z===2．故选：C．7．已知{an }为等差数列，a1+a2+a3=156，a2+a3+a4=147，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值的n是（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】等差数列的前n项和．【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得：a 1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=156，即a1+d=52，①a 2+a3+a4=a1+d+a1+2d+a1+3d=147，即a1+2d=49，②由①②联立得a1=55，d=﹣3，∴Sn=55n+×（﹣3）=﹣n2+n=﹣（n﹣）2+．∴观察选项，当n=19时，使得Sn达到最大值．故选：A．8．设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n其中正确的命题是（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间直线与直线，直线与平面的位置关系及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，故正确；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β，或m⊂β，故错误；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α，β关系不能确定，故错误；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n，故正确故选：C9．已知函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．﹣1＜a≤1 C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】根据f（x）在R上单调递增便可知，二次函数x2﹣2ax+2在[1，+∞）上单调递增，一次函数（a+1）x+1在（﹣∞，1）上单调递增，列出不等式，即可得出实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=是R上的增函数，；∴当x≥1时，f（x）=x2﹣2ax+2为增函数；∴a≤1；当x＜1时，f（x）=（a+1）x+1为增函数；∴a+1＞0；∴a ＞﹣1；且a+2≤3﹣2a ；解得；∴实数a 的取值范围为：（﹣1，]．故选：D ．10．设a ＞b ＞0，a+b=1，且x=（）b ，y=log ab ，z=log a ，则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．y ＜z ＜xB ．z ＜y ＜xC ．x ＜y ＜zD ．y ＜x ＜z【考点】对数值大小的比较．【分析】由已知得到a ，b 的具体范围，进一步得到ab ，，的范围，结合指数函数与对数函数的性质得答案．【解答】解：由a ＞b ＞0，a+b=1，得0，，且0＜ab ＜1，则，，a ＜，∴x=（）b ＞0，y=logab=﹣1，0=＞z=log a ＞=﹣1，∴y ＜z ＜x ．故选：A ．11．已知A 、B 是球O 的球面上两点，且∠AOB=120°，C 为球面上的动点，若三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为，则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．C ．16πD ．32π 【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为，求出半径，即可求出球O 的表面积．【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC =V C ﹣AOB ==，故R=2，则球O 的表面积为4πR 2=16π，故选：C ．12．设函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=2x，若对x∈[1，2]，不等式af（x）+g（2x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】先根据函数奇偶性定义，解出奇函数f（x）和偶函数g（x）的表达式，将这个表达式不等式af（x）+g（2x）≥0，令t=2x﹣2﹣x，则t＞0，通过变形可得a≥﹣（t+），讨论出右边在x∈[1，2]的最大值，可以得出实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）又∵由f（x）+g（x）=2x，结合f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x）=2﹣x，∴f（x）=（2x﹣2﹣x），g（x）=（2x+2﹣x）不等式af（x）+g（2x）≥0，化简为（2x﹣2﹣x）+（22x+2﹣2x）≥0∵1≤x≤2∴≤2x﹣2﹣x≤令t=2x﹣2﹣x，则t＞0，因此将上面不等式整理，得：a≥﹣（t+）．∵≤t≤∴≤t+≤∴a≥﹣．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是x﹣y+1=0 ．【考点】直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】先求圆心，再求斜率，可求直线方程．【解答】解：易知点C为（﹣1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．14．已知，则sin2x= ．【考点】二倍角的正弦．【分析】由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．【解答】解：∵，∴．故答案为：．15．设函数f（x）=sin（wx+φ），其中|φ|＜．若f（﹣）≤f（x）≤f（）对任意x∈R恒成立，则正数w的最小值为 2 ，此时，φ= ﹣．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】直接利用函数的周期的最大值，即可求解ω的最小值．通过函数的最大值求出φ【解答】解：因为函数f（x）=sin（ωx+φ），其中|φ|＜．若f（﹣）≤f（x）≤f（）对任意x∈R恒成立，所以的最大值为：，所以正数ω的最小值为：，ω=2，因为函数的最大值为f（），所以2×=，所以φ=，故答案为：2，．16．已知，满足||=||=•=2，且（﹣）•（﹣）=0，则|2﹣|的最小值为﹣1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的夹角，建立平面直角坐标系，设=（2，0），则=（1，），根据数量积的几何意义得出C的轨迹，利用点到圆的最短距离求出|2﹣|的最小值．【解答】解：∵||=||=•=2，∴cos＜＞==，∴＜＞=60°．设=（2，0），==（1，），，∵（﹣）•（﹣）=0，∴，∴C的轨迹为以AB为直径的圆M．其中M（，），半径r=1．延长OB到D，则D（2，2）．连结DM，交圆M于C点，则CD为|2﹣|的最小值．DM==．∴CD=．故答案为：﹣1．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．我国是世界上严重缺水的国家．某市政府为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3.5吨的人数，并说明理由；（3）若在该选取的100人的样本中，从月均用水量不低于3.5吨的居民中随机选取3人，求至少选到1名月均用水量不低于4吨的居民的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】（1）由频率统计相关知识，各组频率之和的值为1，由此能求出a．（2）由图求出不低于3.5吨人数所占百分比，由此能估计全市月均用水量不低于3.5吨的人数．（3）由不低于3.5吨人数所占百分比为6%，得该选取的100人的样本中，月均用水量不低于3.5吨的居民有6人，其中[3.5，4）之间有4人，[4，4.5）之间有2人，由此能求出从6人中取出3人，至少选到1名月均用水量不低于4吨的居民的概率．【解答】解：（1）由频率统计相关知识，各组频率之和的值为1，∵频率=，∴0.5×（a+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3+0.12+a+0.04）=1得a=0.08．（2）由图，不低于3.5吨人数所占百分比为0.5×（0.08+0.04）=6%，∴估计全市月均用水量不低于3.5吨的人数为：30×6%=1.8（万），（3）由（2）不低于3.5吨人数所占百分比为0.5×（0.08+0.04）=6%，因此该选取的100人的样本中，月均用水量不低于3.5吨的居民有100×6%=6人，其中[3.5，4）之间有4人，[4，4.5）之间有2人，从6人中取出3人，共有=20种取法，利用互斥事件分类讨论，3人中在[4，4.5）之间有1人，[3.5，4）之间有2人，共有12种取法，3人中在[4，4.5）之间有2人，[3.5，4）之间有1人，共有4种取法，所以至少选到1名月均用水量不低于4吨的居民的概率为：p==．18．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．【考点】余弦定理的应用．【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．19．如图所示，凸五面体ABCED中，DA⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=，F为BE的中点．（1）若CE=2，求证：①DF∥平面ABC；②平面BDE⊥平面BCE；（2）若二面角E﹣AB﹣C为45°，求直线AE与平面BCE所成角．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）①取BC作的中点G，连接GF，GA，证明四边形AGFD为平行四边形得出DF∥AG，故而DF∥平面ABC；②证明AG⊥平面BCE，得出DF⊥平面BCE，于是平面BDE⊥平面BCE；（2）连接AE，则∠EAC=45°，由AG⊥平面BCE得出∠AEG为所求角，利用勾股定理计算AG，AE，即可得出sin∠AEG．【解答】证明：（1）①取BC作的中点G，连接GF，GA，∴GF为三角形BCE的中位线，∴GF∥CE，GF=CE，∵DA⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴DA∥CE，又DA=CE，∴GF∥AD，GF=AD．∴四边形GFDA为平行四边形，∴AG∥FD，又GA⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC．②∵AB=AC，G为BC的中点，∴AG⊥BC，∵CE⊥平面ABC，CE⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ABC，又平面BCE∩平面ABC=BC，AG⊂平面ABC，∴AG⊥平面BCE，∵AG∥FD，∴FD⊥平面BCE，又FD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．（2）连接AE．∵AD⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AD⊥AB，∵AB=AC=1，BC=，∴AC ⊥AB ，又AC ⊂平面ACE ，AD ⊂平面ACE ，AC∩AD=A，∴AB ⊥平面ACE ，又AE ⊂平面ACE ，∴AB ⊥AE ，∴E ﹣AB ﹣C 的平面角为∠EAC=45°，∴CE=AC=1；由（1）可知AG ⊥平面BCE ，∴直线AE 与平面BCE 所成角为∠AEG ．∵AB=AC=1，AB ⊥AC ，∴AG=BC=，AE==，∴，∴∠AEG=30°．20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，2S n =（n+1）a n ，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与的大小．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由2S n =（n+1）a n ，当n ≥2，2S n ﹣1=na n ﹣1，两式相减可知：，即，a n =n ；（2）由（1）可知：，采用“裂项法”即可求得数列{b n }的前n 项和为T n ，即可比较T n 与的大小．【解答】解：（1）∵，∴，两式相减得：，…∴（n ≥2，且n ∈N *），又，∴，=n…∴an（2）由（1）可得…∴，=…21．如图，已知直线l：y=x+4，圆O：x2+y2=3，直线m∥l．（1）若直线m与圆O相交，求直线m纵截距b的取值范围；（2）设直线m与圆O相交于C、D两点，且A、B为直线l上两点，如图所示，若四边形ABCD是一个内角为60°的菱形，求直线m纵截距b的值．【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用m∥l，求出直线l；设直线m的方程，利用设圆心O到直线m的距离为d，通过直线m与圆O相交，求解即可．（2）求出CD，利用AB与CD之间的距离，结合求解即可．【解答】解：（1）∵m∥l，直线，∴可设直线，即，设圆心O到直线m的距离为d，又因为直线m与圆O相交，∴，…即，∴…（2）由，①…AB与CD之间的距离，②…又③…联立①②③得到：b2﹣2b﹣5=0，又，解得：或…22．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定义域为[0，1]．（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（Ⅱ）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由题意可得f（0）≥0，f（1）≥0，△＞0，0＜＜1，解不等式即可得到所求范围；（2）求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，可得最值，即可证明f（x）+M＞0．【解答】解：（1）由题意可得f（x）=4x2﹣2bx﹣1+b在[0，1]内有两个不同的零点，即有，解得1≤b＜2或2＜b≤3；（2）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．只需证明f（x）最小值+M＞0即可，设f（x）的最小值是m，问题转化为证明M+m＞0，证明如下：f（x）的对称轴为x=，当＞1时，区间[0，1]为减区间，可得M=f（0）=b﹣a，m=f（1）=3a﹣b，则M+m=2a＞0；当＜0时，区间[0，1]为增区间，可得m=f（0）=b﹣a，M=f（1）=3a﹣b，则M+m=2a＞0；当0≤≤1时，区间[0，]为减区间，[，1]为增区间，可得m=f（）=，若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a﹣b，M+m=≥=a＞0；若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b﹣a，M+m==，由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即为M+m＞0．综上可得：f（x）max +f（x）min＞0恒成立，即f（x）+M＞0．。