2020年秋苏科版九年级上册第二章《圆》的圆周角定理练习题

第二章 2.4 圆周角一．选择题（共8小题）1．（2019•赤峰）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°3．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°4．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°6．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°7．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°8．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 二．填空题（共9小题）9．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝．10．（2019•宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为．11．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为；12．（2019•鸡西）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为．13．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝°．14．（2019•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为．15．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．16．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是．17．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．三．解答题（共3小题）18．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A＝PC．19．（2019•包头）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点F，连结OC，过点B作BD∥OC交⊙O点D．连接AD交OC于点E（1）求证：BD＝AE．（2）若OE＝1，求DF的值．答案与解析一．选择题（共8小题）1．（2019•赤峰）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】由圆周角定理得到∠AOC＝2∠ADC＝60°，然后由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求得∠BOC的度数．【解答】解：如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴＝．∴∠AOC＝∠BOC＝60°．故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，求出∠EFB，∠OFB即可．【解答】解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．【解答】解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选：B．【点评】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．4．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据圆周角定理即可求出答案．【解答】解：∵＝，∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，∴∠BOC＝100°，∴∠BPC＝∠BOC＝50°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据菱形的性质得到∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB＝∠D＝80°，由三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．7．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，再由圆周角定理得出∠DOE＝2∠ACD＝40°即可，【解答】解：连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 【分析】利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥OB，CD＝OB，则可求出∠A＝30°，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系可对A选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC可对C选项进行判断；利用垂径可判断OP 为△ACD的中位线，则CD＝2OP，原式可对B选项进行判断；同时得到OB＝2OP，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，在Rt△ACD中，sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△AOP中，AP＝OP，所以A选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；∴AP＝CP，∴OP为△ACD的中位线，∴CD＝2OP，所以B选项的结论正确；∴OB＝2OP，∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和平行四边形的性质．二．填空题（共9小题）9．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝1．【分析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10．（2019•宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为3．【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．【解答】解：连接OA，设半径为x，∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC＝，OC⊥AB，∴AC＝＝，∵OA2﹣OC2＝AC2，∴，解得，x＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．11．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为100°；【分析】直接利用圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°【点评】考查圆内接四边形的外角等于它的内对角．12．（2019•鸡西）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为60°．【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．【解答】解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOB＝2∠ADC，∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．13．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝30°．【分析】先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB＝∠BOC＝30°．故答案为30．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．（2019•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为40°．【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠C＝∠AOB＝40°．故答案为40°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．16．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是4π．【分析】由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，所以∠A＝∠ACB＝60°，得到△ACB为等边三角形，又AC＝2，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．【解答】解：∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝2，∴圆的半径为2，∴⊙O的面积是4π，故答案为：4π．【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．17．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝60°．【分析】连接OB，求出∠D，利用三角形的外角的性质解决问题即可．【解答】解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．三．解答题（共3小题）18．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A＝PC．【分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出＝，进而得出＝，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．【解答】证明：连接AC，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠C＝∠A，∴P A＝PC．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．19．（2019•包头）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．【分析】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；（2）在BM上截取BE＝BC，连接CE，证明BC＝BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB ＝ME，进而得结论．【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查圆的圆内接四边形定理，圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，内容较多，有一定难度，第一题关键在于求∠AOC的度数，第二题的关键在于构造全等三角形．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点F，连结OC，过点B作BD∥OC交⊙O点D．连接AD交OC于点E（1）求证：BD＝AE．（2）若OE＝1，求DF的值．【分析】（1）证明△ADB≌△CEA（AAS），即可解决问题．（2）利用相似三角形的性质求解即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵BD∥OC，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，∵∠OAC＝90°，∴∠OAE+∠AOC＝90°，∠AOC+∠ACO＝90°，∴∠BAD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠ADB＝∠AEC＝90°，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD．（2）∵OE∥BD，AO＝OB，∴AE＝ED，∴BD＝2OE＝2，∴AE＝BD＝DE＝2，∴AB ＝＝2，∵△ADB≌△CEA，∴EC＝AD＝4，设AD交BC于K．∵EC∥BD，∴＝＝2，∴DK ＝，∴BK ＝＝，∵∠ABK＝∠FDK，∠AKB＝∠FKD，∴△AKB∽△FKD，∴＝，∴＝，∴DF ＝．【点评】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．21。

第二章对称图形--圆单元测试一、单选题（共10题；共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是 ( ）A、25πB、65πC、90πD、130π2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=30º，则∠ACB的大小为（）A、60ºB、30ºC、45ºD、50º3.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以A为圆心，AD为半径的圆与BC切于点M，与AB交于点E，若AD＝2，BC＝6，则的长为（）A、3π2B、3π4C、3π8D、3π4.若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系（）A、点A在圆内B、点A在圆上C、点A在圆外D、不能确定5.若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是( ).A、30°B、60°C、90°D、120°6.如图所示的扇形的圆心角度数分别为30°，40°，50°，则剩下扇形是圆的（）A、13B、23C、14D、347.如图，在边长为a的正六边形内有两个小三角形，相关数据如图所示．若图中阴影部分的面积为S1，两个空白三角形的面积为S2．则S1S2=（）A.3B.4C.5D.68.下列说法正确的是（）A.等弧所对的弦相等B.平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧C.若抛物线与坐标轴只有一个交点，则b2﹣4ac=0D.相等的圆心角所对的弧相等9.如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（）A.116°B.32°C.58°D.64°10.如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为（）A、27°B、54°C、63° D 、36°二、填空题（共8题；共24分）11.已知，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，则弦AB长是________ ．12.如图，MN=3，以MN为直径的⊙O1，与一个半径为5的⊙O2相切于点M，正方形ABCD的顶点A，B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点N，则正方形ABCD的边长为________ ．13.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是________14.已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为 ________cm15.一圆锥的侧面展开后是扇形，该扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则此圆锥的底面圆的面积为________ cm2．16.如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧BC^ 的弧长为________．（结果保留π）17.如图，点B、C把分成三等分，ED是⊙O的切线，过点B、C分别作半径的垂线段，已知∠E=45°，半径OD=1，则图中阴影部分的面积是________．18.如图，在扇形AOB中，∠AOB=100°，半径OA=9，将扇形OAB沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的长等于________．三、解答题（共5题；共36分）19.如图，P是半径为3cm的⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于点A，B，PA=PB=3cm，∠APB=60°，C 是弧AB上一点，过C作⊙O的切线交PA，PB于点D，E．（1）求△PDE的周长；（2）若DE=433cm，求图中阴影部分的面积．20.如图，已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C，若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）．21.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．（1）若BE=8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．（1）求证：EB=EC；（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P的半径是4，直线y=x被⊙P截得的弦AB的长为43 ，求点P的坐标．四、综合题（共1题；共10分）24.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）答案解析一、单选题1、【答案】B【考点】圆锥的计算，图形的旋转【解析】【分析】运用公式s=πlr（其中勾股定理求解得到母线长l为13)求解．【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，∴∴母线长l=13，半径r为5，∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π．故选B．2、【答案】A【考点】圆周角定理【解析】【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．【解答】△AOB中，OA=OB，∠ABO=30°；∴∠AOB=180°-2∠ABO=120°；∴∠ACB=12∠AOB=60°；故选A．3、【答案】A【考点】等腰梯形的性质，切线的性质，弧长的计算【解析】【分析】连接AM，因为M是切点，所以AM⊥BC，过点D作DN⊥BC于N，由等腰梯形的性质可得到BM=AM=2，从而可求得∠BAD的度数，再根据弧长公式即可求得长．【解答】连接AM，因为M是切点，所以AM⊥BC，过点D作DN⊥BC于N，根据等腰梯形的性质容易求得BM=AM=2，所以∠B=45°，所以∠EAD=135°，根据弧长公式的长为135×2π180=3π2 ，故选A．【点评】本题考查等腰梯形的性质，圆的切线的性质及弧长公式的理解及运用．4、【答案】A【考点】点与圆的位置关系【解析】【分析】点A到圆心O的距离是3，小于⊙O半径4，所以点A在圆内。

第2章对称图形——圆2.4 第2课时特殊的圆周角知识点 1 利用直径所对的圆周角是直角求角度1．如图2－4－15，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠B的度数为( ) A．80° B．60° C．50° D．40°图2－4－15图2－4－162．如图2－4－16，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为( )A．50° B．40° C．45° D．60°3．如图2－4－17，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝________°.图2－4－17图2－4－184．[2017·株洲] 如图2－4－18，已知AM是⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E.若∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.5．如图2－4－19，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°.求∠CEB的度数．图2－4－19知识点 2 利用直径所对的圆周角是直角求线段长6．教材练习第1题变式如图2－4－20，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆形玻璃镜的半径是( )A.10 cm B．5 cm C．6 cm D图2－4－20图2－4－217．如图2－4－21，AB是⊙O的直径，若BC＝5，AC＝12，则⊙O的直径AB为________．8．[2017·台州] 如图2－4－22，已知等腰直角三角形ABC，P是斜边BC上一点(不与点B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．图2－4－229．如图2－4－23，⊙O以等腰三角形ABC的一腰AB为直径，它交另一腰AC于点E，交BC 于点D.求证：BC ＝2DE.图2－4－23图2－4－2410．如图2－4－24，AB 是半圆的直径，D 是AC ︵的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°11．[2017·海南] 如图2－4－25，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝45°.若M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是________．图2－4－25图2－4－2612．如图2－4－26，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC∥BD，AD 与BC ，OC 分别相交于点E ，F ，则下列结论：①AD⊥BD；②CB 平分∠ABD；③∠AOC ＝∠AEC；④AF＝DF ；⑤△CEF ≌△BED ；⑥BD＝2OF.其中一定成立的是________(请填序号)．13．如图2－4－27，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的两点，且OD∥BC，OD 与AC 交于点E.(1)若∠B＝70°，求∠CAD 的度数； (2)若AB ＝4，AC ＝3，求DE 的长．图2－4－2714．如图2－4－28，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使CD＝BC，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．图2－4－2815．已知：如图2－4－29①，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD＝2，直线AD，BC相交于点E.(1)∠E的度数为________；(2)如图②，直径AB与弦CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；(3)如图③，直径AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．图2－4－291．C [解析] 因为AB 是⊙O 的直径，所以∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝90°，则∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°.故选C .2．A [解析] ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∵∠ABD ＝∠ACD＝40°，∴∠BAD ＝180°－90°－40°＝50°. 3．90 [解析] 连接AC ，则∠ACB＝90°. 根据圆周角定理，得∠ACE＝∠2， ∴∠1＋∠2＝∠AC B ＝90°. 4．805．解：如图，连接BC ，则∠ADC＝∠B.∵∠ADC ＝50°， ∴∠B ＝50°.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠BAC ＝40°.∵∠CEB ＝∠ACD＋∠BAC，∠ACD ＝60°， ∴∠CEB ＝60°＋40°＝100°. 6．B 7．138．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ABC ＝45°，∴∠AEP ＝45°. ∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PAE ＝90°， ∴△APE 是等腰直角三角形．(2)∵△ABC 和△APE 均是等腰直角三角形， ∴AC ＝AB ，AP ＝AE ，∠CAB ＝∠PAE＝90°， ∴∠CAP ＝∠BAE.在△APC 和△AEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAP ＝∠BAE，AP ＝AE ，∴△APC ≌△AEB ，∴PC ＝EB.∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PBE ＝90°，∴PC 2＋PB 2＝EB 2＋PB 2＝PE 2＝4. 9．证明：连接AD ，BE.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠C，BD ＝DC ， 即BC ＝2DC.∵∠DAE ＝∠DBE，∠ADE ＝∠ABE，∴∠DEC ＝∠DAE＋∠ADE＝∠DBE＋∠ABE＝∠ABC＝∠C， ∴DE ＝DC ，∴BC ＝2DE. 10．C [解析] 连接BD. ∵D 是AC ︵的中点，即CD ︵＝AD ︵， ∴∠ABD ＝∠CBD.∵∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝12×50°＝25°.∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠DAB ＝90°－25°＝65°. 11.5 2212．①②④⑥13．解：(1)∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°－∠B ＝20°. 又∵OD∥BC，∴∠AOD ＝∠B＝70°. ∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO＝12(180°－∠AOD)＝55°，∴∠CAD ＝∠DAO－∠CAB＝35°. (2)在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝7. ∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠A CB ＝90°， 即OE⊥AC，∴AE ＝EC. 又∵OA＝OB ，∴OE ＝12BC ＝72.∵OD ＝12AB ＝2，∴DE ＝OD －OE ＝2－72. 14． (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，即AC⊥BC.又∵CD＝BC ，∴AD ＝AB ，∴∠B ＝∠D. (2)设BC ＝x ，则AC ＝x －2.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，即(x －2)2＋x 2＝42，解得x 1＝1＋7，x 2＝1－7(舍去)， ∴BC ＝1＋7.∵∠B ＝∠E，∠B ＝∠D， ∴∠D ＝∠E， ∴CD ＝CE. ∵CD ＝BC ，∴CE ＝BC ＝1＋7.15． (1)如图①，连接OD ，OC ，BD.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠DBC＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠E＝90°－30°＝60°.(2)如图②，直线AD，CB交于点E，连接OD，OC，AC.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠DAC＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠E＝90°－∠DAC＝90°－30°＝60°.(3)如图③，连接OD，OC.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BED＝60°，∴∠AEC＝∠BED＝60°.第2章对称图形——圆图2－Y －11．[2017·徐州] 如图2－Y －1，点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠AOB ＝72°，则∠ACB＝( ) A ．28° B ．54° C ．18° D ．36°2．[2017·宿迁] 若将半径为12 cm 的半圆形纸片拼成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．6 cm3．[2016·南京] 已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为( )A ．1B . 3C ．2D ．2 3图2－Y －24．[2017·苏州] 如图2－Y －2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝56°.以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是⊙O 上一点，且CE ︵＝CD ︵，连接OE ，过点E 作EF⊥OE，交AC 的延长线于点F ，则∠F 的度数为( )A ．92°B ．108°C ．112°D ．124°5．[2017·南京] 过三点A(2，2)，B(6，2)，C(4，5)的圆的圆心坐标为( )A ．(4，176)B ．(4，3)C ．(5，176) D ．(5，3)6．[2017·连云港] 如图2－Y －3所示，一动点从半径为2的⊙O 上的点A 0出发，沿着射线A 0O 方向运动到⊙O 上的点A 1处，再向左沿着与射线A 1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 2处；接着又从点A 2出发，沿着射线A 2O 方向运动到⊙O 上的点A 3处，再向左沿着与射线A 3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 4处……按此规律运动到点A 2017处，则点A 2017与点A 0之间的距离是( )A ．4B ．2 3C ．2D ．0图2－Y －3图2－Y －47．[2017·扬州] 如图2－Y －4，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，连接AO.若∠B＝40°，则∠OAC＝________°.8．[2016·南京] 如图2－Y －5，扇形OAB 的圆心角为122°，C 是AB 上一点，则∠ACB ＝________°.图2－Y －5图2－Y －69．[2017·镇江] 如图2－Y －6，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，CO 交⊙O 于点D.若∠CAD＝30°，则∠BOD＝________°.10．[2016·泰州] 如图2－Y －7，⊙O 的半径为2，点A ，C 在⊙O 上，线段BD 经过圆心O ，∠ABD ＝∠CDB ＝90°，AB ＝1，CD ＝3，则图中阴影部分的面积为________．图2－Y －7图2－Y －811．[2017·盐城] 如图2－Y －8，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在AMB ︵上，点D 在AB ︵上．若∠ACB＝70°，则∠ADB＝________°.12. [2016·南通] 已知：如图2－Y －9，AM 为⊙O 的切线，A 为切点，过⊙O 上一点B 作BD⊥AM 于点D ，BD 交⊙O 于点C ，OC 平分∠AOB.(1)求∠AOB 的度数；(2)若⊙O的半径为2 cm，求线段CD的长．图2－Y－913．[2017·淮安] 如图2－Y－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O 为圆心，OA长为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得EF＝BF，EF与AC交于点C.(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．图2－Y－1014．[2016·宿迁] 如图2－Y－11①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)当BD是⊙O的直径时(如图②)，求∠CAD的度数．图2－Y－1115．[2017·盐城] 如图2－Y－12，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A，D，E的圆的圆心F恰好在y 轴上，⊙F与y轴相交于另一点G.(1)求证：BC是⊙F的切线；(2)若点A，D的坐标分别为(0，－1)，(2，0)，求⊙F的半径；(3)试探究线段AG，AD，CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．图2－Y－12详解详析1．D [解析] 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB ＝12∠AOB ＝12×72°＝36°.故选D.2．D 3.B4．C [解析] 连接OD .∵∠ACB ＝90°，∠A ＝56°，∴∠B ＝34°.在⊙O 中，∵CE ︵＝CD ︵， ∴∠COE ＝∠COD ＝2∠B ＝68°.又∵OE ⊥EF ，∠OCF ＝∠ACB ＝90°，∴∠F ＝112°.故选C.5．A [解析] 根据题意，可知线段AB 的垂直平分线为直线x ＝4，所以圆心的横坐标为4，然后设圆的半径为r ，则根据勾股定理可知r 2＝22＋(5－2－r )2，解得r ＝136，因此圆心的纵坐标为5－136＝176，因此圆心的坐标为(4，176)．6．A [解析] 如图所示，当动点运动到点A 6处时，与点A 0重合，2017÷6＝336……1，即点A 2017与点A 1重合，点A 2017与点A 0之间的距离即A 0A 1的长度，为⊙O 的直径，故点A 2017与点A 0之间的距离是4，因此选A.7．50 [解析] 根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”，连接OC ，便有∠AOC ＝2∠B ＝80°，再由OA ＝OC ，根据“等边对等角”及“三角形内角和定理”可以求得∠OAC ＝50°.8．1199．120 [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，∴AC ⊥AO ，即∠CAO ＝90°.∵∠CAD ＝30°，∴∠DAO ＝60°，∴∠BOD ＝2∠DAO ＝120°.故答案为120.10.5π3 [解析] 如图，连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝2.∵∠ABD ＝∠CDB ＝90°，AB ＝1，CD＝3，∴OD ＝1，BO ＝3，∴S △ABO ＝S △ODC ，∠AOB ＝30°，∠COD ＝60°，∴∠AOC ＝180°－60°＋30°＝150°，∴S 阴影部分＝S 扇形OAC ＝150π×22360＝5π3.故答案为5π3.11．110 [解析] 如图，设点D ′是点D 折叠前的位置，连接AD ′，BD ′，则∠ADB ＝∠D ′.在圆内接四边形ACBD ′中，∠ACB ＋∠D ′＝180°，所以∠D ′＝180°－70°＝110°，所以∠ADB ＝110°.12．解：(1) ∵OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC ＝∠COB .∵AM 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥AM . 又BD ⊥AM ，∴OA ∥BD ，∴∠AOC ＝∠OCB . 又∵OC ＝OB, ∴∠OCB ＝∠B ，∴∠B ＝∠OCB ＝∠COB ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.(2)过点O 作OE ⊥BC 于点E ，由(1)得△OBC 为等边三角形． ∵⊙O 的半径为2 cm ，∴BC ＝2 cm ，∴CE ＝12BC ＝1 cm.由已知易得四边形AOED 为矩形， ∴ED ＝OA ＝2 cm ， 则CD ＝ED －CE ＝1 cm.13．解：(1)直线EF 与⊙O 相切． 理由：如图所示，连接OE . ∵EF ＝BF ，∴∠B ＝∠BEF . ∵OA ＝OE ，∴∠A ＝∠AEO .∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°. ∴∠AEO ＋∠BEF ＝90°， ∴∠OEG ＝90°，∴OE ⊥EF ， ∴直线EF 与⊙O 相切．(2)如图所示，连接ED .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED ＝90°. ∵∠A ＝30°，∴∠ADE ＝60°.又∵OE ＝OD ，∴△ODE 是等边三角形． ∴∠DOE ＝60°.由(1)知∠OEG ＝90°， ∴∠OGE ＝30°.在Rt △OEG 中，OG ＝2OE ＝2OA ＝4，∴EG ＝OG 2－OE 2＝2 3，∴S △OEG ＝12OE ·EG ＝12×2×2 3＝2 3，S 扇形OED ＝60360×π×22＝23π，∴S阴影＝S△OEG－S扇形OED＝2 3－23π.14．解：(1)证明：如图，连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE.∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∠ADB＝∠ACB＋∠CAD，∴∠ABC＝∠CAD.∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠EAD＝90°－∠AED.∵∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠ABC＝∠CAD，∴∠EAD＝90°－∠CAD，即∠EAD＋∠CAD＝90°，∴EA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．(2)∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠ABC＋∠ADB＝90°.∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∴4∠ABC＝90°，∴∠ABC＝22.5°，由(1)知∠ABC＝∠CAD，∴∠CAD＝22.5°.15．解：(1)证明：如图，连接EF.∵AE平分∠BAC，∴∠FAE＝∠EAC.∵EF＝AF，∴∠FAE＝∠FEA，∴∠EAC＝∠FEA，∴EF∥AC，∴∠BEF＝∠C.∵AB是Rt△ABC的斜边，∴∠C＝90°，∴∠BEF＝90°，即EF⊥BC.又∵EF是⊙F的半径，∴BC是⊙F的切线．(2)如图，连接DF.∵A (0，－1)，D (2，0)， ∴OA ＝1，OD ＝2.设⊙F 的半径是r ，则FD ＝r ，OF ＝r －1. ∵OD ⊥OF ，∴OF 2＋OD 2＝FD 2，即(r －1)2＋22＝r 2，解得r ＝2.5， ∴⊙F 的半径是2.5. (3)2CD ＋AD ＝AG .证明：如图，过点F 作FH ⊥AC 于点H . ∵F 是圆心，FH ⊥AC ， ∴AH ＝DH ＝12AD ，∠FHD ＝90°.∵∠BEF ＝∠C ＝90°，∴∠CEF ＝90°， ∴四边形CEFH 是矩形，∴CH ＝EF . ∵AG 是⊙F 的直径，∴EF ＝12AG ，∴CH ＝12AG .∵AD ＋CD ＝AC ＝AH ＋CH ， ∴AD ＋CD ＝12AD ＋12AG ，∴2CD ＋AD ＝AG .。

圆全章复习【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).三角形三边中垂线的(1)OA=OB=OC定在三角形内部三角形三条角平分线(1)(2)OABAC心在三角形内部2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识例1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点在数轴上运动，若过P点P 且与OA 平行（或重合）的直线与⊙O 有公共点, 设OP=x ，则的取值范围是（ ）.A ．－1≤≤1B ．≤≤C ．0≤≤ D ．＞【解析】如图，平移过P 点的直线到P′，使其与⊙O 相切，设切点为Q ，连接OQ ，由切线的性质，得∠OQP′=90°， ∵OA ∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°， ∴△OQP′为等腰直角三角形， 在Rt △OQP′中，OQ=1， OP′=2，∴当过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点时，0≤OP≤，当点P 在x 轴负半轴即点P 向左侧移动时，结果为-2≤OP ≤0． 故答案为：-2≤OP≤2．举一反三：x x x 2x 2x 2例2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且，BF 交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC，∵ AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴．∵，∴．∴∠C＝∠CBE．∴ CE＝BE．CF CB=CB GB=CF BC=CF GB=证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ ．∵ ，∴ ．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ ，， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ ，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ ，．∴ ，．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO 交BC 于点D,过O 作OE ⊥BC 于E.则三角形ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt △ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=OD=2，BE=BD-DE=10 CB BG =CB CF =CF BC BG ==12BN BF =12CD CG =CF BC =BG BC =CF BG BC ==BF CG =ON OD =12OE 垂直平分BC ，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系例3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173..【答案与解析】（1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3)324AB cm ∴=+= ∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：类型四、圆中有关的计算例4．如图，AB 是⊙O 的直径，=，连接ED 、BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM ．【答案与解析】解：如图，连接OD ，∵CD 是⊙O 切线， ∴OD ⊥CD ，∵OA=CD=2，OA=OD ，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．举一反三：【变式】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°， ∴∠DOB=60°，过点D 作DG ⊥AB 于点G ， ∵OD=6，∴DG=3， ∴S △ACF +S △OFD =S △AOD =×6×3=9，即阴影部分的面积是9．【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD ．如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于( )．A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°2．在半径为27m 的圆形广场中心点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO 为( )． A ．54m B ．．m D ．m第1题图 第2题图第3题图第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC ，且AB=8cm ，以A 为圆心、AD 的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm 2B.(4π+16)cm 2C.(3π+8)cm 2D.(3π+16)cm 24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ). A. B. C. D. 5. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为( )A ．12.5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸6．如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM ．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )． A ．80° B ．100° C ．80°或100° D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°二、填空题 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是__ ________.第9题图 第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________.11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径、分别是方程 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距=5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 __ __ .12．如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC ，其中正确的序号是 ．1r 2r 2680x x -+=d13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________. 14.已知正方形ABCD，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l 为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___； (2)求图(m)中n 条弧的弧长的和为____ ____(用n 表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm 2，高为3.5m ，外围高4 m 的蒙古包，至少要____ ____m 2的毛毡．三、解答题17. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ． （1）证明：AF 平分∠BAC ； （2）证明：BF ＝FD.18.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B ；【解析】由AB 为⊙O 的切线，则AB ⊥OD ．又BD ＝OB ，则AB 垂直平分OD ，AO ＝AD ，∠DAB ＝∠BAO ．由AB 、AC 为⊙O 的切线，则∠CAO ＝∠BAO ＝∠DAB ．所以，∠DAB ＝∠DAC ＝26°． ∠ADO ＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C ；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO ⊥AB 于O ，∴ ∠SOA ＝∠SOB ＝90°．又SA ＝SB ，∠ASB ＝120°，∴ ∠SAB ＝∠SBA ＝，设SO ＝x m ，则AS ＝2x m ．∵ AO ＝27，由勾股定理，得(2x)2-x 2＝272，解得．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系. ∵ 矩形ABCD 中，AB=2BC ，AB=8cm ， ∴ AD=BC=4cm ，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm ， ∴，∴ .4.【答案】A ；【解析】OM 最长是半径5；最短是OM ⊥AB 时，此时OM=3，故选A. 5．【答案】D ；【解析】因为直径CD 垂直于弦AB ，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可. 根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”， 知(寸)，在Rt △AOE 中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D. 6．【答案】B.【解析】设OP 与⊙O 交于点N ，连结MN ，OQ ，如图，∵OP=4，ON=2， ∴N 是OP 的中点， ∵M 为PQ 的中点，180120302=°-?°x =∴MN 为△POQ 的中位线， ∴MN=OQ=×2=1，∴点M 在以N 为圆心，1为半径的圆上， 当点M 在ON 上时，OM 最小，最小值为1， ∴线段OM 的最小值为1．故选B ． 7．【答案】C ； 【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为；圆周角的顶点在优弧上时， 圆周角为．注意分情况讨论． 8．【答案】C ；【解析】连接OC 、OB ，则∠BOC ＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P 在优弧上时，∠BPC ＝∠BOC ＝65°；点P 在劣弧上时，∠BPC ＝180°-65°＝115°． 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程 的两实根、分别是4、2，则-<<+,所以两圆相交.12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，∴AE ≠2CE ，③不正确； ∵AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，5136010092⨯⨯=°°413608092⨯⨯=°°122680x x -+=1r 2r 1r 2r d 1r 2r圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】； ；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL，∴ ，，即正八边形的边长为．．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为． 本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为，，…，， 则，∴ n 条弧长的和为．16.【答案】720π；【解析】∵ S ＝πr 2，∴ 9π＝πr 2，∴ r ＝3．∴ h 1＝4，∴，∴ ，1)a 22)a 2x 22x x a ⨯+=1)x a =1)a 2222241)]2)AEL S S S a x a a a =-=-=-=△正方形正八边形(2)1801(2)3602n n -=-121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-1α2αn α12(2)180n n ααα+++=-…°1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-5l ==223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ，∴OF 垂直平分BC∴∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE ， ∵DC=DE ，∴∠DCE=∠AEB ， ∴∠A=∠AEB ；（2）∵∠A=∠AEB ， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO ⊥CD ， ∴CF=DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC ， ∵DC=DE ， ∴DC=DE=EC ，∴△DCE 是等边三角形， ∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形．19. 【答案与解析】 (1)如选命题①．2036720S ππ=⨯=总BF FC =D证明：在图(1)中，∵ ∠BON ＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CA ，∠BCM ＝∠CAN ＝60°， ∴ △BCM ≌△CAN ，∴ BM ＝CM ． 如选命题②．证明：在图(2)中，∵ ∠BON ＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°． ∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝90°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． 如选命题③．证明：在图(3)中，∵ ∠BON ＝108°，∴ ∠1+∠2＝108°． ∵ ∠2+∠3＝108°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝108°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． (2)①答：当∠BON ＝时结论BM ＝CN 成立．②答：当∠BON ＝108°时．BM ＝CN 还成立． 证明：如图(4)，连接BD 、CE 在△BCD 和△CDE 中，∵ BC ＝CD ，∠BCD ＝∠CDE ＝108°，CD ＝DE ， ∴ △BCD ≌△CDE ．∴ BD ＝CE ，∠BDC ＝∠CED ，∠DBC ＝∠ECD ． ∵ ∠CDE ＝∠DEN ＝108°， ∴ ∠BDM ＝∠CEM ．∵ ∠OBC+∠OCB ＝108°，∠OCB+∠OCD ＝108°． ∴ ∠MBC ＝∠NCD ．又∵ ∠DBC ＝∠ECD ＝36°， ∴ ∠DBM ＝∠ECM ． ∴ △BDM ≌△CEN ， ∴ BM ＝CN ．(2)180n n°。

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝58°，则∠BAD的度数为（）A．58°B．60°C．62°D．64°2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD 为（）A．70°B．65°C．50°D．45°3．如图，AD是⊙O的直径，OC⊥AB于E交⊙O于C，∠ADC＝22.5°，AB＝8，则⊙O 的半径为（）A．B．4C．D．54．如图，已知点A、B、C、D在⊙O上，弦AB、CD的延长线交⊙O外一点E，∠BCD＝25°，∠E＝39°，则∠APC的度数为（）A．64°B．89°C．90°D．94°5．圆中一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC的度数是（）A．16°B．20°C．24°D．32°7．如图，已知AB是半⊙O的直径，点C，D都在上，且OC∥BD，AD分别与BC，OC 相交于点E，F，则下列结论错误的是（）A．AD⊥BD B．AF＝DF C．∠AOC＝∠AEC D．BD＝2OF8．如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以下结论正确的是（）A．若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝B．若CD＝，则⊙O的半径是1C．若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形D．若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60°二．填空题（共8小题，满分40分）9．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为．10．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点E在弧AB上，点F在OB上，∠AEF＝90°，若EF＝6，AE＝8，则扇形AOB半径为．11．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC＝°．12．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．13．如图，AB、AC是⊙O的弦，点D是CA延长线上的点，AD＝AB，若∠ADB＝25°，则∠BOC的度数是°．14．在半径为1的⊙O中，弦AB＝，弦AC＝，则∠BAC＝．15．如图，△ABC内接于半径为的半圆，AB为直径，点M是弧AC的中点，连结BM 交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D．（1）∠ADB＝°；（2）当点D恰好为BM的中点时，BM的长为．16．如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为．三．解答题（共6小题，满分40分）17．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，OD∥BC，OD与AC相交于点E，连接AD．（1）若∠B＝50°，求∠CAD的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，求DE的长．18．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点D、E，过点A 作AF∥BC交圆于点F，连接DE、EF．求证：（1）四边形ACEF是平行四边形；（2）EF平分∠BED．20．数学课上，赵老师在黑板上写出以下已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC的中点，以BC为直径作⊙O交AB于点D，连接DE，OD，OE．王洋同学根据赵老师给出的已知条件提出以下两个问题，请你帮助王洋完成：（1）求证：△DOE≌△COE；（2）若⊙O的半径为3，DB＝4，求AD的长．21．如图，已知AB为⊙O的直径，AC、CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，连接BC．（1）求证：OF∥BC；（2）若EB＝4cm，CD＝8cm，求AC的长．22．如图，BD是⊙O的直径，＝，点C是半圆上一动点，且与点A分别在BD的两侧．（1）如图1，若＝5，BD＝4，求AC的长；（2）求证：CD+BC＝AC．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵∠AOB+∠OAB+∠OBA＝180°，∴∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝54°，故选：B．2．解：∵AB是⊙O的直径的直径，∴∠ADB＝∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠AEB+∠EAD＝90°，∵C是弧AB的中点，∴AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠EAD+∠BAD＝45°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠EAD+∠BCD＝45°，∴∠AEB+∠EAD﹣（∠EAD+∠BCD）＝90°﹣45°＝45°，∴∠AEB﹣∠BCD＝45°．故选：B．3．解：如图，作DE⊥AB于点E，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵BD平分∠CDE，∴DE＝CD＝1，∴AD＝3，∵BD＝BD，∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），∴BE＝BC，在Rt△ADE中，根据勾股定理，AE＝＝＝2，设BE＝BC＝x，在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2＝AC2+BC2，即（2+x）2＝42+x2，∴x＝，∴⊙O的直径AB为3．故选：B．4．解：∵⊙O的半径为9，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OD＝CD＝9＝3，OC＝OD+CD＝6，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴∠ACO＝90°，AC＝BC，即AB＝2AC，连接OA，由勾股定理得：AC＝，即AC＝BC＝3，∴AB＝AC+BC＝6．故选：B．5．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣121°＝59°，∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，故选：C．6．解：图①，当点D在圆心O的左侧且AD＝2时，过C作CE⊥AB，垂足为E，连接CD．CO、CB，∵，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD＝CB，∴DE＝BE＝3，∵DO＝2，∴OE＝1，∴AE＝5，CE2＝CO2﹣OE2＝15，∴AC＝；如解图②，当点D在圆心O的右侧且BD＝2时，过C作CE⊥AB，垂足为E，连接CD、CO、CB，∵，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD＝CB，∴DE＝BE＝1，∴OE＝3，∴AE＝7，CE2＝CO2﹣OE2＝7，∴AC＝，∴DA、DB的长均不小于2，则≤AC≤，∴AC的长可能是7．故选A．7．解：连接AC，∵A是半圆弧CAB的中点，∴，∴AB＝AC，∵OB＝OC，∴AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠DOC＝90°﹣β，∴∠DBO＝∠DOC＝45°﹣β，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠DBO＝45°﹣β，∴∠AED＝∠ODB+∠DOA，即α＝β+45°﹣β，∴2α﹣β＝90°，故选：D．8．解：连接OA、DE，如图，∵A为的中点，∴＝，∵直径BC⊥AE，∴AH＝EH，＝，∴＝，∴∠EAC＝∠DCA，∴F A＝FC，∵∠FDE＝∠EAC，∠FED＝∠DCA，∴∠FED＝∠FDE，∴FD＝FE，设DF＝2x，则CD＝6x，FE＝2x，AE＝6x，∴AH＝EH＝3x，在Rt△CHF中，CH2＝CF2﹣FH2＝（8x）2﹣（5x）2＝39x2，在Rt△CHA中，CH2＝AC2﹣AH2＝42﹣（3x）2＝16﹣9x2，∴16﹣9x2＝39x2，解得x＝，∴AH＝，CH＝x＝，设⊙O的半径为r，则OH＝﹣r，OA＝r，在Rt△OAH中，（）2+（﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为．故选：B．1．解：如图，连接AC，∵AD是半圆的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣58°＝32°，∵C是弧BD的中点，∴，∴∠CAD＝∠CAB＝32°，∴∠BAD＝32°+32°＝64°．故选：D．2．解：∵OF⊥BC，∴∠BFO＝90°，∵∠BOF＝65°，∴∠B＝90°﹣65°＝25°，∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，∴＝，∴∠AOD＝2∠B＝50°．故选：C．3．解：∵∠ADC＝22.5°，∴∠AOC＝2×22.5°＝45°，∵OC⊥AB，∴∠AEO＝90°，AE＝BE＝AB＝4，∴OE＝AE＝4，在Rt△AOE中，2AE2＝OA2，∴OA＝4．故选：A．4．解：∵∠BCD＝25°，∠E＝39°，∴∠ABC＝∠BCD+∠E＝64°，由圆周角定理得：∠BAD＝∠BCD＝25°，∴∠APC＝∠BAD+∠ABC＝89°，故选：B．5．解：如图：AB＝2AC，AB为⊙O的直径，连接BC，AD，CD，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∵∠B+∠D＝180°，∴∠D＝150°，即这条弦所对的圆周角的度数为30°或150°，故选：C．6．解：∵∠ABD是所对的圆周角，∴∠ABD＝∠AOD＝×128°＝64°，∵∠ABD是△BDE的外角，∴∠BDC＝∠ABD﹣∠E＝64°﹣40°＝24°，故选：C．7．解：∵AB是半⊙O的直径，∴∠D＝90°，∴AD⊥BD，故A不符合题意；∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠D＝90°，∴AF＝DF，故B不符合题意；∵AE≠EB，∴∠EAB≠∠ABC，∵∠AEC≠2∠ABC，∠AOC＝2∠ABC，∴∠AOC≠∠AEC，故C符合题意；∵OC∥BD，OA＝OB，∴AF＝DF，∴OF是△ABD的中位线，∴BD＝2OF，故D不符合题意；故选：C．8．解：A、∵OC＝OB＝2，∵点E是OB的中点，∴OE＝1，∵CD⊥AB，∴∠CEO＝90°，CD＝2CE，∴CE＝＝，∴CD＝2CE＝2，本选项错误不符合题意；B、根据CD＝，缺少条件，无法得出半径是1，本选项错误，不符合题意；C、∵∠A＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴BC＝OC，∵CD⊥AB，∴CE＝DE，∴BC＝BD，∴OC＝OD＝BC＝BD，∴四边形OCBD是菱形；故本选项正确本选项符合题意．D、∵四边形OCBD是平行四边形，∴OC＝BC，∵OC＝OB，∴OC＝OB＝BC，∴∠BOC＝60°，∴∠CAB＝∠BOC＝30°，故本选项错误不符合题意．故选：C．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DCE＝72°，∴∠A＝72°，∴∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．10．解：如图，连接OC．∵AB＝8cm，∴OA＝OC＝4cm，∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝4cm．故答案为：4．11．解：如图，当点C在优弧AB上时，作OD⊥AB于D，则AD＝BD＝AB＝×2＝，在Rt△AOD中，OA＝2，AD＝，∴∠OAD＝30°，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB＝120°，∴∠ACB＝∠AOB＝60°，当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝120°，综上所述，∠ACB的度数为60°或120°．故答案为：60°或120°．12．解：如图，连接AC，CD，DE．设∠ABC＝α，∵，∴ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝α，∵，∴AC＝CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α，∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∴4α＝90°，∴α＝22.5°．故答案为：22.5°．13．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EAB+∠DCB＝180°，∵∠ECD+∠DCB＝180°，∴∠EAB＝∠ECD＝75°，∵∠ECD是△FCB的外角，∴∠ABE＝∠ECD﹣∠F＝75°﹣20°＝55°，∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝50°，故答案为：50°．14．解：如图，连接AC、AB、BC，过点C作CH⊥OA于H，∵∠AOC＝60°，CH⊥OA，∴∠OCH＝30°，∵OC＝3，∴OH＝OC＝，CH＝＝＝，∵点A（4，0），∴OA＝4，∴AH＝OA﹣OH＝4﹣＝，在Rt△ACH中，AC＝＝＝，∵∠BOA＝90°，∴AB为⊙M的直径，∴∠BCA＝90°，∵∠AOC＝60°，∴∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AB，AB2＝AC2+BC2，∴，∴，在Rt△AOB中，OB2＝AB2﹣AO2＝，∴OB＝，∴点B的坐标是（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．15．解：如图，连接DO并延长交⊙O于点E，连接CE，∵DE是⊙O的直径，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝90°，CE2+CD2＝DE2，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠ABC，∴＝，∴＝，∴CE＝AB，∵AB2+CD2＝100，∴CE2+CD2＝100，即DE2＝100，∴DE＝10，∴OD＝5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．16．解：连接AC，根据对称的意义可知，PD+PC的最小值为AC，∵AD∥BC，AB＝CD＝AD＝2，∴＝＝，∴∠ABC＝2∠ACB，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，∴AC＝•AB＝2，所以阴影部分周长的最小值为AC+CD＝2+2，故答案为：2+2．9．解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝40°，∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣∠A＝140°．故答案为：140°．10．解：解法一：如图，扇形AOB为以O为圆心，以OA为半径的圆的一部分，延长EF 交⊙O于点C，连接OC，∵∠AEF＝90°，∴AC为⊙O的直径，∴A、O、C三点共线，∵OA＝OC，∠AOB＝90°，∴BO⊥AC，∴BO是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，在Rt△AEF中，EF＝6，AE＝8，∴AF＝＝＝10，∴CF＝AF＝10，∴CE＝CF+EF＝16，∴AC＝＝＝8，∴OA＝AC＝4，即扇形AOB半径为4，解法二：连接OE，过点E作EM⊥OA于点M，在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，EF＝6，AE＝8，＝＝，∵∠F＝∠MOE，设EM＝4x，则OM＝3x，OE＝＝5x，∴OA＝OE＝5x，∴AM＝OA﹣OM＝2x，在Rt△AEM中，AE2＝AM2+EM2，∴82＝（2x）2+（4x）2，∴x＝或x＝﹣（舍去），∴OA＝5×＝4，∴扇形AOB半径为4，故答案为：4．11．解：∵OA⊥BC，∴．∴∠ACD＝∠AOB．∵∠AOB＝50°，∴∠ADC＝25°．故答案为：25．12．解：如图，∵∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，∴BAC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，由题意当AD⊥BC时，⊙O的半径最小，∵∠EAF＝60°，是定值，∴此时EF的值最小，过OD的中点K作MN⊥AD交⊙O于M、N，连接ON、AN、AM，则△AMN是等边三角形，在Rt△ABD中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝BD＝2，∴OK＝KD＝，ON＝，在Rt△ONK中，NK＝KM＝＝，∴MN＝，∴∠EAF＝∠MAN＝60°，∴＝，∴EF＝MN＝，∴EF的最小值为，故答案为：．13．解：∵AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝25°，∴∠BAC＝25°×2＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×50°＝100°．故答案为：100°．14．解：作直径AD，连接OC，BD，∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，∴cos∠BAD＝＝，∴∠BAD＝30°，∵OC＝OD＝1，AC＝，∴OC2+OD2＝AC2，∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠CAO＝45°，当AC与AB在AD的两旁时，如图1，∠BAC＝∠CAO+∠CAO＝45°+30°＝75°，当AC与AB在AD的同旁时，如图2，∠BAC＝∠CAO﹣∠CAO＝45°﹣30°＝15°，综上所述，∠BAC的度数为15°或75°．故答案为15°或75°．15．解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵，∴∠CBM＝∠ABM，∵∠CAD＝∠BAD，∴∠DAB+∠DBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA）＝135°，故答案为：135．（2）如图，连接AM．∵AB是直径，∴∠AMB＝90°，∵∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，∴MA＝MD，∵DM＝DB，∴BM＝2AM，设AM＝x，则BM＝2x，∵AB＝2，∴x2+4x2＝40，∴x＝2（负根已经舍弃），∴BM＝4，故答案为4．16．解：∵OB＝2，OA＝2，∴AB＝＝4，∵∠AOP＝45°，∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），∵∠AOB＝90°，∴AB是直径，∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，∴∠CFP＝90°，∴PF＝a﹣1，CF＝a﹣，PC＝2，∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a﹣）2+（a﹣1）2＝22，舍去不合适的根，可得：a＝1+，则P点坐标为（+1，+1）．∵P与P′关于圆心（，1）对称，∴P′（﹣1，1﹣）．故答案为：（+1，+1）或（﹣1，1﹣）三．解答题（共6小题，满分40分）17．解：（1）过点O作OE⊥AB于E，则AE＝BE＝AB＝4，∵OP＝3，∠OPB＝45°，∴OE＝3×＝3，∴OB＝＝＝5；（2）证明：过点O作OF⊥CD于F，∵CD⊥AB，∴∠FPE＝90°，∵∠OPB＝45°，∴∠FPO＝45°，∴∠FPO＝∠OPE，∴OP平分∠EPF，∵OF⊥CD，OE⊥AB，∴OE＝OF，∴AB＝CD．18．解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝，∴AC＝2，在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，∴CD＝．即CD的长为：．19．解：（1）△BDE为等腰直角三角形．理由如下：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．∵AB为直径，∴∠ADB＝90°∴△BDE是等腰直角三角形．另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝DC．∵OB＝OC．∴OD垂直平分BC．∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，∴BD＝2．∵AB＝10，∴OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解得t＝3，∴BF＝4．∴BC＝8．另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△MBG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．20．（1）证明：∵AG＝CG，∴∠DCA＝∠CAF，∵＝，∴∠CAF＝∠CDF，∴∠ACD＝∠CDF，∴AC∥DF；（2）解：如图，连接CO，∵AB⊥CD，∴＝，CE＝DE，∵∠DCA＝∠CAF，∴＝，∴＝＝，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF，∵DF是直径，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝6，∠CAO＝60°，∵CE⊥AO，∴AE＝EO＝3，∠ACD＝30°，∴CE＝3＝DE，∵AG2＝GE2+AE2，∴AG2＝（3﹣AG）2+9，∴AG＝2，∴GE＝，∴DG＝4．21．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG；（2）解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r．∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（8﹣r）2+42，解得r＝5，∴⊙O的半径为5．22．（1）证明：∵∠ABC＝30°，又∵∠D＝∠ABC，∴∠D＝30°；（2）解：结论：AF＝2CH．理由：延长DC到T，使得CT＝CQ．∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝∠AOC＝60°，AC＝OA＝OC，∴CT＝OC＝OA，∠AOF＝∠GCT＝120°，∵OA＝AC，DF＝AG，∴OF＝CG，在△CGT和△OF A中，，∴△CGT≌△OF A（SAS），∴AF＝GT，∵OH＝HG，OC＝CT，∴GT＝2CH，∴AF＝2CH．17．解：（1）连接OC．∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝50°，∵∠AOC＝2∠B＝100°，∴∠AOD＝∠COD＝50°，∴∠CAD＝∠COD＝25°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，OA＝OB＝OD＝5，∴．∵∠AOD＝∠COD，OA＝OC，∴AE＝EC，∴OE＝BC＝3．∴DE＝OD﹣OE＝2．18．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝∠A，又∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠A，∴∠1＝∠2，∴CF＝BF；（2）∵C是弧BD的中点，∴＝，∴BC＝CD＝12，又∵在Rt△ABC中，AC＝16，∴由勾股定理可得：AB＝20，∴⊙O的半径为10，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝9.6．19．证明：（1）连接AE，BF，如图，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，BE＝CE．∵AE∥BC，∴∠AEC＝∠EAF＝90°，∴∠F AE＝∠BF A＝∠BEA＝90°，∴四边形F AEB是矩形，∴F A＝BE＝CE，∵AF∥CE，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）∵四边形AEBF是圆内接四边形，∴∠AFE+∠ADE＝180°，∵∠CDE+∠ADE＝180°，∴∠CDE＝∠AFE，∵EF∥AC，∴∠FED＝∠CDE，∴∠FED＝∠AFE，∵AF∥BC，∴∠FEB＝∠AFE，∴∠BEF＝∠FED，∴EF平分∠BED．20．（1）证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵点E是AC的中点，∴DE＝AC＝EC．在△DOE与△COE中，，∴△DOE≌△COE（SSS）；（2）解：∵点E是AC的中点，点O是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AB．设OE＝x，则AB＝2x，AD＝2x﹣4．在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∴CD＝＝＝2．在Rt△OCE中，∵∠OCE＝90°，∴CE＝＝，∴AC＝2CE＝2．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴AC2＝CD2+AD2，∴（2）2＝（2）2+（2x﹣4）2，解得，x＝4.5，∴AD＝2×4.5﹣4＝5．21．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵OF⊥AC，∴OF∥BC；（2）解：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝CD＝×8＝4（cm），设⊙O的半径为rcm，则OC＝rcm，OE＝（r﹣4）cm，在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，∴r2＝（4）2+（r﹣4）2，解得：r＝8，∴OE＝8﹣4＝4（cm），∴AE＝8+4＝12（cm），∴AC＝＝＝8（cm）．22．（1）解：连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵＝，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∵＝5，∴∠BOC＝∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝180°×＝30°，∴∠BDC＝∠BOC＝15°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝60°，∴∠ADC＝∠AEC＝60°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CAE＝90°，∵CE＝BD＝4，∴AC＝CE sin60°＝4×＝2；（2）证明：过点A作F A⊥AC，交CD的延长线于点F，∴∠CAF＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAF﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠DAF，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵AB＝AD，∴△ABC≌△ADF（ASA），∴AC＝AF，BC＝DF，∴△ACF是等腰直角三角形，∴CF＝AC，∴CD+DF＝AC，∴CD+BC＝AC．。

第二章 第六节 正多边形与圆1．如图，半径为2的正六边形ABCDEF 的中心为原点O ，顶点A 、D 在x 轴上，则点C 坐标为（ ）A 、(1,2)-B 、(1,2)-C 、(1,3)-D 、(1,3)--2．如图，正六边形ABCDEF 中，阴影部分面积为2123cm ，则此正六边形的边长为()n nA ． 2cmB ． 4cmC ． 6cmD ． 8cm3．3．以下说法：①若直角三角形的两边长为3与4，则第三次边长是5；②两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°④反比例函数y=﹣2x，当＞0时y 随x 的增大而增大， 正确的有（ ）A ． ①② B． ②③ C． ②④ D． ③④4．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是（ ）A ． R 2﹣r 2=a 2B ． a=2Rsin36° C． a=2rtan36° D． r=Rcos36°5．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，过点A 的切线与CB 的延长线相交于点F ，则∠F=（ ）A ． 18°B ． 36°C ． 54°D ． 72°6．半径为R 的圆内接正三角形的面积是（ ）A ．232RB ．2πRC ．2332RD ．2334R 7．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，AB=2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ． πB ． 2πC ．D ． 4π8．如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为2，正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的外接圆与正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边相切，正六边形A 3B 3C 3D 3E 3F 3的外接圆与正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A 11B 11C 11D 11E 11F 11的边长为（ ）A ．B ．C ．D ．9．圆内接四边形ABCD 的四个内角的度数之比∠A ：∠B ：∠C ：∠D 可以是（ ）A ．3：2：4：1B ．1：3：4：2C ．3：3：1：4D ．4：1：2：310．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．A ．6B ．7C ．8D ．911．如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为 cm．12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．cm．A．圆内接正六边形的边心距为23，则这个正六边形的面积为__________2︒-=__________．（结果精确到0.1）B．用科学计算器计算：sin38213．13．若等边三角形的边长为4 cm，则它的外接圆的面积为．14．正六边形的边长为4cm，它的边心距等于__________cm；15．如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接六边形的面积为 _____16．如图，在⊙O中，∠D=70°，∠ACB=50°，则∠BAC= .DO CAB17．有底面为正方形的直四棱柱容器A和圆柱形容器B，容器材质相同，厚度忽略不计.如果它们的主视图是完全相同的矩形，那么将B容器盛满水，全部倒入A容器，问：结果会（“溢出”、“刚好”、“未装满”，选一个）18．正六边形的每个中心角为_________度．19．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是_____。

第二章对称图形—圆1．如图，已知A、B、C三点在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为B OCAA．50° B．25° C．75° D．100°2．如图，在∆ABC中, ∠C＝90°，分别以A、B为圆心，2为半径画圆，则图中阴影部分的面积和为 ( )A BCA．3π B．2π C．π D．2π33．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（）A． 1 B． 1.2 C． 2 D． 34．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切⊙O 于E，交AM于D，交BN于C．若AD⋅BC=9，则直径AB的长为A．32 B． 6 C． 9 D．135．如图，在正方形纸板上剪下一个扇形和圆，刚好能围成一个圆锥模型，设围成的圆锥底面半径为r，母线长为R，则r与R之间的关系为（）A．R=2r B．4R=9r C．R=3r D．R=4r6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径R=2，sinB=34，则弦AC的长为（）A． 3 B．7 C．32D．347．图中，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB=2，半圆O的半径为2，则BC的长为（）A． 2 B． 1 C． 1.5 D． 0.58．如图所示，从☉O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC，已知∠A=26°，则∠ACB的度数为（）A ． 32° B． 30° C． 26° D． 13°9．如图，在△ABC 中，AB=8 cm ，BC=4 cm ，∠ABC=30°，把△ABC 以点B 为中心按逆时针方向旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C'处，那么AC 边扫过的图形(图中阴影部分)面积是（ ）A ． 20π cm 2B ． (20π+8) cm 2C ． 16π cm 2D ． (16π+8) cm 210．以下命题：①直径相等的圆是等圆； ②长度相等弧是等弧； ③相等的弦所对的弧也相等； ④圆的对称轴是直径；⑤相等的圆周角所对的弧相等；其中正确的个数是（ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 111．一条弦AB 把圆的 直径分成3和11两 部分，弦 和 直径相交 成300角，则AB 的长为 ． 12．如图，点A 、B 、C 在半径为1的⊙O 上，的长为π，则∠ACB 的大小是_____．13．如图，已知等腰△ABC ，AB =BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E ，若CD =5，CE =4，则⊙O 的半径是________．14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ， E 为CD 的延长线上一点.若110B ∠=°，则ADE ∠的大小为____________.15．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为________．16．已知⊙O的周长为8 cm,若PO=2cm,则点P在_______;若PO=4cm,则点P在_____;若PO=6cm,则点P在_______.17．用一张半径为9cm、圆心角为的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面（不计接缝），那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是____cm．18．已知圆锥底面半径为5cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是cm2．19．如图，⊙ O是△ ABC的外接圆，∠ AOB=70°，则∠ C为______度.20．如图是一个装有两个大小相同的球形礼品的包装盒，其中两个小球之间有个等腰三角形隔板，已知矩形长为45cm，宽为20cm，两圆与矩形的边以及等腰△ABC的腰都相切，则所需的三角形隔板的底边AB长为___________21．在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；（2）点M，N是一对“互换点”，点M的坐标为（m，n），且（m＞n），⊙P经过点M，N．①点M的坐标为（4，0），求圆心P所在直线的表达式；②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．22．（1）如图，在矩形ABCD中.点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．（2）如图，AB是的直径，PA与相切于点A，OP与相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数.23．如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.(1) 当r取什么值时，点A、B在⊙C外.(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.24．如何在操场上画一个半径为5m的圆，请说明你的理由？25．如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，以AD为半径的⊙A分别与边AC、AB交于点E和点F，DE∥AB，延长CA交⊙A于点G，连接BG.(1)求证：BG是⊙A的切线；(2)若∠ACB＝30°，AD＝3，求图中阴影部分的面积．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．27．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ， 60B ∠=︒， 70C ∠=︒.（1）求∠BOC 的度数；（2）求∠EDF 的度数．答案：1．D试题分析：根据圆周角定理求解即可．∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选D ．考点：圆周角定理.2．C.试题分析：先根据直角三角形的性质求出直角三角形两锐角的和，再根据扇形的面积公式进行计算即可．∵△ABC 中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵两圆的半径都为2cm，∴S阴影=2902=360ππ⨯⨯.故选C.3．A分析：利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．详解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，∴∠D=90°，在Rt△ABD中，AD=，AB=4，∴BD=，∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∵AD：BC=：4=1：5，∴相似比为1：5，设AE=x，∴BE=5x，∴DE=-5x，∴CE=28-25x，∵AC=4，∴x+28-25x=4，解得：x=1．故选：A．点拨：题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练．4．B试题解析：如图，连接OC ．∵AM 和BN 是它的两条切线，∴AM ⊥AB ，BN ⊥AB ，∴AM ∥BN ，∴∠ADE+∠BCE=180°∵DC 切⊙O 于E ，∴∠ODE=12∠ADE ，∠OCE=12∠BCE ， ∴∠ODE+∠OCE=90°，∴∠DOC=90°，∴∠AOD+∠COB=90°，∵∠AOD+∠ADO=90°，∴∠AOD=∠OCB ，∵∠OAD=∠OBC=90°，∴△AOD ∽△BCO ，∴=AD AO BO BC， ∴OA 2=AD•BC=9，∴OA=3，∴AB=2•OA=6．故选B ．点拨：本题考查切线的性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形性质解决问题，属于中考常考题型．5．D试题分析：求得侧面展开图的弧长，以及圆锥的底面周长，让它们相等即可求得r 与R 之间的关系． 解：由题意得：=2πr，解得：R=4r ，故选D ．6．A 延长AO 交圆于点D ，连接CD ，由圆周角定理，得：∠ACD=90°，∠D=∠B∴sinD=sinB=34，Rt△ADC中，sinD=34，AD=2R=4，∴AC=AD•sinD=3．故选A．7．B试题分析：连接OD．AD是切线，点D是切点，∴BC⊥AD，∴∠ODA=∠ACB=90°，BC∥OD．∵AB=O B=2，则点B是AO的中点，∴BC=OD=1．故选B．8．A分析：连接OB，根据切线的性质和直角三角形的两锐角互余求得∠AOB=64°，再由等腰三角形的性质可得∠C=∠OBC，根据三角形外角的性质即可求得∠ACB的度数.详解：连接OB，∵AB与☉O相切于点B，∴∠OBA=90°，∵∠A=26°，∴∠AOB=90°-26°=64°，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC，∴∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C，∴∠C=32°.故选A.9．A因为△ABC ≌△A′BC ，所以AC 边扫过的图形中阴影部分的面积是一个圆环的面积，即=20πcm²，故选A ．10．D以下命题：①直径相等的圆是等圆，正确； ②长度相等弧是等弧，错误，只有在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等，错误；④圆的对称轴是直径，错误，应该是直径所在的直线；⑤相等的圆周角所对的弧相等，错误；所以正确的只有1个，故选D.11．56． 试题分析：如图，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，设弦AB 与直径CD 相交于点E ，连接OB ，∵分直径成3和11两部分，∴CD=14，∴OC=12CD=7，∴OE=OC ﹣CE=4，∵∠OE F=30°，∴OF=12OE=2（cm ），∴BF=22OB OF =35，∴AB=2BF=56．故答案为：56．12．36°试题解析：连结OA 、OB ．设∠AOB=n°．∵的长为2π，∴=2π，∴n=40，∴∠AOB=40°，∴∠ACB=∠AOB=20°．．13．258如图所示：连接OD、BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，又∵AB=BC，∴AD=CD，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴DE⊥BC，∵CD=5，CE=4，22543，∵S△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2，∴5BD=3BC，∴BD＝35 BC，∵BD2+CD2=BC2，∴(35BC )2+52＝BC 2，解得BC=254，∵AB=BC，∴AB=254，∴⊙O 的半径是： 254÷2＝258．故答案是： 258．14．110°解析：∵四边形ABCD 内接于圆O ，∠B=110°，∴∠ADC=180°−∠B=70°，∴∠ADE=180°−∠ADC=110°.故答案为：110°.15．412试题分析：解：连接BC ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°，∴BC 22AB AC -22108-＝6，∵BD 切⊙O 于点B ，∴∠DBA ＝90°，∴∠ABC ＋∠DBC ＝90°，∵∠A ＋∠ABC ＝90°，∴∠A ＝∠DBC ，又∠ACB ＝∠BCD ＝90°，∴△ACB ∽△BCD ，∴AC BC BC DC=， ∴DC ＝2BC AC ＝268＝4.5． 故答案为4.5．点拨：此题主要考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质和勾股定理的综合应用，题目有一定的综合性，找出其中的相似三角形是解决此题的关键．16．⊙O 内，⊙O 上，⊙O 外试题分析：点到圆心的距离为d ，圆半径为r ：当r d >时，点在圆外；当r d =时，点在圆上；当r d <时，点在圆内.由题意得⊙O 的半径cm r 428=÷=ππ若PO=2cm,则点P 在⊙O 内；若PO=4cm,则点P 在⊙O 上；若PO=6cm ,则点P 在⊙O 外.考点：点与圆的位置关系17．3分析：根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是6π，列出方程求解即可．详解：半径为9cm 、圆心角为120°的扇形弧长是：=6π，设圆锥的底面半径是r ，则2πr=6π，解得：r=3cm ．这个圆锥形冰淇淋的底面半径是3cm ．故答案为：3.点拨：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 18．65π试题分析：∵圆锥的底面半径、高和母线长组成直角三角形，且圆锥的高为12cm ，底面半径为5cm ， ∴根据勾股定理，圆锥的母线长为：13cm 。

苏科版九年级数学上册第2章《对称图形—圆》培优提升测评一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）1．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（）A．1B．2C．3D．42．如图，△ABC内接于⊙O，D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，连接EC，若∠OEC＝65°，则∠A的大小是（）A．50°B．55°C．60°D．65°3．如图，点A的坐标为（﹣3，2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（﹣2，0）D．（﹣3，0）4．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（）A．2B．2C．D．15．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°6．如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分的面积（）A．4﹣πB．4πC．16﹣πD．8﹣π7．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径，若AD＝3，则BC＝（）A．2B．3C．3D．48．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（）A．30°B．35°C．45°D．55°9．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（）A．B．C．D．110．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACBA．1B．2C．3D．4二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）11．如图，⊙O的直径AB和弦CD垂直相交于点E，CD＝4，CF⊥AD于点F，交AB 于点G，且OG＝1，则⊙O的半径长为．12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为8cm，扇形的圆心角θ＝90°，则圆锥的底面圆半径r为cm．13．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a ＝mm．14．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴分别交点为B，C，圆心M的坐标是（4，5），则弦BC的长度为．15．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为°．16．点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O 的半径是．17．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为．18．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且AE＝CD＝6，则⊙O的半径为．20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA＝90°，点C（0，3），则BC的最小值为．三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）21．已知，如图，点A，C，D在⊙O上，且满足∠C＝45°．连接OD，AD，过点A作直线AB∥OD，交CD的延长线于点B．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）如果OD＝CD＝2，求AC边的长．22．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．23．如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，过点B作BE⊥DC，交DC延长线于点E．（1）求证：BC是∠ABE的平分线；（2）若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．24．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，BD是⊙O的直径，点P是BD延长线上一点，且P A是⊙O的切线，A是切点．（1）求证：AP＝AB；（2）若PD＝，求阴影部分的面积．25．已知AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠CAB＝26°，连接BC．（1）如图1，若BD平分∠ABC，求∠ABC和∠ACD的大小；（2）如图2，若点D为弧AC的中点，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点P，求∠P的大小．26．已知，ABCD为菱形，点A，B，D在⊙O上．（Ⅰ）如图①，若CB，CD为⊙O的切线，求∠C的大小；（Ⅱ）如图②，BC，CD与⊙O分别交于点E，点F，连接BF，若∠BDC＝50°，求∠CBF的度数．答案一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）1．解：∵⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，∴OC⊥AB，AC＝BC＝4，OA＝5，∴OC＝＝＝3，故选：C．2．解：∵∠OEC＝65°，OE＝OC，∴∠EOC＝180°﹣2×65°＝50°，∵D是BC的中点，∴OE⊥BC，∴，∴∠EOB＝50°，∴∠BOC＝100°，∴∠A＝50°，故选：A．3．解：连接AQ、P A，如图，∵PQ切⊙A于点Q，∴AQ⊥PQ，∴∠AQP＝90°，∴PQ＝＝，当AP的长度最小时，PQ的长度最小，∵AP⊥x轴时，AP的长度最小，∴AP⊥x轴时，PQ的长度最小，∵A（﹣3，2），∴此时P点坐标为（﹣3，0）．故选：D．4．解：连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，∵∠DCE＝100°，∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，∵点D关于AB对称的点为E，∴∠BAD＝∠BAE＝40°，∴∠BOD＝∠BOE＝80°，∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠COD＝40°，∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，∵OE＝OC，OH⊥CE，∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，∵直径AB＝4，∴OE＝OC＝2，∴EH＝CH＝，∴CE＝2．故选：A．5．解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACE＝20°，∴∠ADE＝∠ACE＝20°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝110°，故选：C．6．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝4，∴OB＝2，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形OBE＝×4×4﹣＝8﹣π．故选：D．7．解：过点O作OE⊥BC于点E，如图所示：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，又∵对应圆周角为∠ACB和∠ADB，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，而BD为直径，∴∠BAD＝90°，在Rt△BAD中，∠ADB＝30°，AD＝3，∴BD＝2，∴OB＝，又∵∠ABD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣30°＝60°，∠ABC＝30°，∴∠OBE＝30°，又∵OE⊥BC，∴△OBE为直角三角形，∴BE＝，由垂径定理可得：BC＝2BE＝2×＝3，故C正确，故选：C．8．解：连接OA，∵P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∴∠PBO＝∠P AO＝90°，∵∠P＝70°，∴∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠P AO﹣∠P＝110°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠BOA）＝（180°﹣110°）＝35°，故选：B．9．解：∵⊙O的直径为2，则半径是：1，∴S⊙O＝π×12＝π，连接BC、AO，根据题意知BC⊥AO，AO＝BO＝1，在Rt△ABO中，AB＝＝，即扇形的对应半径R＝，弧长l＝＝，设圆锥底面圆半径为r，则有2πr＝，解得：r＝．故选：B．10．解：过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正确；∴＝，由折叠得：＝，∴+＝；故③正确；延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：A．二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）11．解：连接AC，BC，OC，∵⊙O的直径AB和弦CD垂直相交于点E，CD＝4，∴CE＝DE＝2，＝，∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB＝∠DAB，∵CF⊥AD，∴∠GF A＝90°，∴∠DAB+∠AGF＝90°，∴∠B＝∠AGF，∵∠CGB＝∠AGF，∴∠B＝∠CGB，∴BC＝CG，∵AB⊥CD，∴GE＝EB，设OE＝x，∵OG＝1，∴GE＝BE＝x+1，∴OC＝OB＝x+x+1＝2x+1，在Rt△OCE中，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，即（2x+1）2＝（2）2+x2，解得：x＝1（x＝﹣舍去），∴OC＝2×1+1＝3，即⊙O的半径长为3，故3．12．解：∵扇形的圆心角为90°，母线长为8cm，∴扇形的弧长为＝4π，设圆锥的底面半径为rcm，则2πr＝4π，解得：r＝2，故答案为2．13．解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COH＝90°﹣60°＝30°，∵OH⊥CD，∴CH＝DH＝CD，OH＝b＝10（mm），∴CH＝（mm），∴a＝2CH＝（mm），故．14．解：如图，连接BM、AM，作MH⊥BC于H，则BH＝CH，∴BC＝2BH，∵⊙M与x轴相切于点A，∴MA⊥OA，∵圆心M的坐标是（4，5），∴MA＝5，MH＝4，∴MB＝MA＝5，在Rt△MBH中，由勾股定理得：BH＝＝＝3，∴BC＝2×3＝6，故6．15．解：①△ABC是锐角三角形，如图，∵∠BOC＝110°，∴∠BAC＝55°；②△A′BC是钝角三角形，如图，∵∠BAC+∠BA′C＝180°，∴∠BA′C＝125°．故55°或125．16．解：分为两种情况：①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离P A＝9cm，∴直径AB＝4cm+9cm＝13cm，∴半径r＝6.5cm；②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离P A＝9cm，∴直径AB＝9cm﹣4cm＝5cm，∴半径r＝2.5cm；故6.5cm或2.5cm．17．解：∵△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝120°．∵AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，∴AB扫过的图形的面积＝﹣＝．故．18．解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝1，∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝π，故．19．解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD，∵AE＝CD＝6，∴CE＝DE＝3，∵OD＝OB＝OA，OE＝AE﹣OA，在Rt△ODE中，由勾股定理可得：OD2＝DE2+（AE﹣OA）2，即：OD2＝32+（6﹣OD）2，解得：OD＝，∴⊙O的半径为：，故．20．解：如图，以OA为直径作⊙D，连接CD，交⊙D于B，此时BC长最小，∵A（4，0），C（0，3），∴OC＝3，OA＝4，∴OD＝DB＝2，∴CD＝＝＝，∴BC＝CD﹣BD＝﹣2，故﹣2．三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）21．（1）证明：如图，连接OA，∵∠C＝45°，∴∠DOA＝90°，∴AO⊥OD，∵AB∥OD，∴OA⊥AB，OA是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）如图，过点D作DE⊥AC于点E，∵∠C＝45°，CD＝2，∴CE＝DE＝CD＝，∵∠AOD＝90°，OA＝OD＝2，∴AD＝＝2，∴AE＝＝＝，∴AC＝AE+EC＝+．答：AC边的长为+．22．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠CAB＝90°，又∵∠ACB＝∠DAB，∴∠DAB+∠CAB＝90°，即∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：由（1）可知∠OAD＝90°，∵∠ADB＝30°，∴OA＝OD＝（OB+BD），∵OA＝OB，BD＝2，∴OA＝2，∴AC＝2OA＝4．23．（1）证明：∵CD与⊙O相切于C，∴OC⊥DC，∵BE⊥DC，∴BE∥OC，∴∠EBC＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠EBC＝∠OBC，即BC是∠ABE的平分线；（2）解：过C作CM⊥BD于M，∵BC是∠ABE的平分线，BE⊥CE，∴CE＝CM，∵OC⊥DC，∴∠OCD＝90°，∵DC＝8，OC＝OA＝6，∴OD＝＝＝10，∵S△DCO＝＝，∴8×6＝10×CM，解得：CM＝4.8，即CE＝CM＝4.8．24．（1）证明：连接OA，AD，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝30°，∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠ABD＝30°，∴∠AOP＝∠ABD+∠OAB＝60°，∵P A切⊙O于A，∴∠P AO＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝30°，即∠P＝∠ABD，∴AB＝AP；（2）解：过O作OQ⊥AB于Q，∵∠P AO＝90°，∠P＝30°，∴OP＝2AO，∵PD＝，OA＝OD，∴OD+＝2OA，解得：OA＝OD＝＝OB，在Rt△BQO中，∠OQB＝90°，∠ABO＝30°，∴OQ＝OB＝，由勾股定理得：BQ＝＝＝，∵OA＝OB，OQ⊥AB，∴AB＝2BQ＝2×＝，∵∠ABO＝∠OAB＝30°，∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴阴影部分的面积S＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×＝﹣．25．解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝26°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝64°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝32°，∴∠ACD＝∠ABD＝32°，即∠ABC＝64°，∠ACD＝32°；（2）连接BD，DO，由（1）知：∠ABC＝64°，∵D为的中点，∴∠ABD＝∠CBD＝64°＝32°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABD＝32°，∴∠POD＝∠ABD+∠ODB＝32°+32°＝64°，∵PD切⊙O于D，∴∠ODP＝90°，∴∠P＝90°﹣∠POD＝90°﹣64°＝26°．26．解：（Ⅰ）如图①，连接OB、OD，∵四边形ABCD为菱形，∴∠A＝∠C，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A，∴∠BOD＝2∠C，∵CB，CD为⊙O的切线，∴OB⊥BC，OD⊥CD，∴∠BOD+∠C＝180°，∴2∠C+∠C＝180°，∴∠C＝60°；（Ⅱ）如图②，∵四边形ABCD为菱形，∠BDC＝50°，∴∠BDA＝∠BDC＝50°，AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝50°，∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，同理，∠C＝80°，∵四边形ABFD是⊙O内接四边形，∴∠BFC＝∠A＝80°∴∠CBF＝180°﹣∠C﹣∠BFC＝20°．。

【文库独家】九年垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习1.已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。

6003. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。

你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ADBOCE4.如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。

5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。

6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。

CA P ODCE OA D B7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。

8. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。

9.如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A. 3≤OM≤5B. 4≤OM≤5C. 3＜OM＜5D. 4＜OM＜510.下列说法中，正确的是（）A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内B. 圆的半径垂直于圆的切线C. 圆周角等于圆心角的一半D. 等弧所对的圆心角相等11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 270°12. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°13. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 14. 圆的半径等于cm 2，圆内一条弦长23cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________；15. 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=cm 2，求BC 的长；B16. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。