浅谈分子对称性
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第六节分子对称性
例：NH3 ,对称元素，C3， va， vb , vc 对称操作
Eˆ ,
Cˆ31
,
Cˆ32
,
ˆ
a v
,ˆ
b v
,ˆ
c v
C3 vb
vc
va
属6阶群
C3v Eˆ
Cˆ 31
Cˆ 32
ˆ
a v
ˆ
b v
ˆ
c v
Eˆ Eˆ
Cˆ 31
Cˆ 32
ˆ
a v
ˆ
b v
ˆ
c v
Cˆ31 Cˆ31 Cˆ32
分子点群有二层解释含义：
（1）对称操作都是点操作，操作时分子中 至少有一点不动。
（2）分子中全部对称元素至少通过一个公 共点，若不交于一点，分子就不能维持有限性 质。
将分子按其对称性分为点群。判断分子所属的点群是 本章学习的中心内容，因为根据分子的点群即可了解分 子结构和分子所应具有的一些性质。
分子点群的种类
# 对称操作的乘积：
如果一个操作产生的结果和两个或多个其他操作连续作用的结
果相同，通常称这一操作为其他操作的乘积。
例： A B C
若 A B B A C, 称对称操作 A、B是可交换的。
例：H2O 对称元素：E, C2， v， v’
对称操作:
Eˆ ,Cˆ 2
高对称群
——含有二个以上高次轴Cn(n 2)的点群
正四面体 正六面体
面
4
6
棱
6
12
角
4
8
群
Td
Oh
面 + 顶点 = 棱 + 2
正八面体
分子的对称性.
当原子由位置1（x,y,z）转至位置2 （x`,y`,z）时，坐标关系为
o
O
x = − sin ( 30 + α ) = −1/ 2 x − 3 / 2 y
` o
30o＋α
y ` = cos ( 30o + α ) = 3 / 2 x − 1/ 2 y
y
α
n x
与C4轴相关的转动操作及其表示矩阵为
所有分子都有无限多个C1旋转轴，因为绕通过分子的任一 直线旋转360o都使分子复原，是个恒等操作，常用E表示。 E 称为主操作，和乘法中的1相似。严格地说，一个分子若只有E 能使它复原，这个分子不能称为对称分子，或只能看作对称分 子的一个特例。在分子的对称操作群中， E是一个不可缺少的 元素。 对于分子等有限物体， Cn的轴次并不受限制，n可为任意 正整数。分子中常见的旋转轴有C2 , C3 , C4 , C5 , C6 , C∞等。
•
生 物 界 的 对 称 性
分子对称性是联系分子结构和分子性质的重要桥梁之一。 对称性概念和有关原理对化学十分重要： ◆它能简明地表达分子的构型。例如Ni(CN)42-离子具有D4h点群 的对称性，用D4h这个符号就能准确地表达9个原子在同一平面 上，Ni在离子的中心位置，周围4个CN完全等同，都是直线 型，Ni－C－N互成90o 角。 ◆可简化分子构型的测定工作。将对称性基本原理用于量子力 学、光谱学、X射线晶体学等测定分子பைடு நூலகம்晶体结构时，许多计 算可简化，图像更为明确。
⎡ 1/ 2 − 3 / 2 0 ⎤ ⎡ 1/ 2 ⎢ ⎥ 5 ⎢ 1 C6 = ⎢ 3 / 2 1/ 2 0 ⎥ , C6 = ⎢ − 3 / 2 ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 0 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ 3 / 2 0⎤ ⎥ 1/ 2 0 ⎥ 0 1⎥ ⎥ ⎦
分子的对称性
第四章 分子的对称性§4.1 对称性操作和对称元素§ <1>分子对称性概念原子组成分子构成有限的图形，具有对称性。
与晶体的对称性不同。
晶体的主要对称性是点阵结构，而分子的对称性主要是指分子骨架在空间的对称性以及分子轨道（波函数）的对称性。
○1分子对称性：指分子的几何图形（原子骨架和原子、分子轨道空间形状）中有相互等同的部分，而这些等同部分互相交换以后，与原来的状态相比，不发生可辨别的变化，即交换前后图形复原。
○2对称操作：不改变物体内部任何两点间的距离，使图形完全复原的一次或连续几次的操作。
（借助于一定几何实体）○3对称元素：对图形进行对称操作，所依赖的几何要素，如：点，线，面及其组合。
<2>对称元素及相应的对称操作○1恒等元素和恒等操作，（E ） ΛE 所有分子图形都具有。
○2旋转轴（对称轴）和旋转操作，Λn n C C ,；对称轴是一条特定的直线。
绕该线按一定方向（逆时针方向为正方面）进行一个角度θ旋转，nπθ2=如：H 2O ： πθ21==n 。
分子中可能有 n 个对称轴，其中n 最大的称为主轴，其它称为非主轴，如：BF 3 ，主轴C 3 ，三个C 2垂直于C 3 与分子平面平行。
n C 将产生n 个旋转操作：E =-nn n n n n C C C C ,,,,12逆时旋转为正操作，k n C ；顺时旋转为逆操作，k n C -。
)(k n nk n C C --= 分子图形完全复原的最少次数称操作周期，旋转操作的周期为 n ；分子中，nC的轴次不受限制，n 为任意整数。
如： E =→332333,,C C C C○3对称和反映操作。
Λσσ, ：对称面是一个特定的镜面，把分子图形分成两个完全相等的对称部分，两部分之间互为镜中映像，对称操作是镜面的一个反映。
图形中相等的部分互相交换位置，其反映的周期为2。
E =Λ2σ。
对称面可分为：v σ面：包含主轴； h σ面：垂直于主轴；d σ面：包含主轴且平分相邻'2C 轴的夹角（或两个v σ之间的夹角）。
分子的对称性的概念和性质
分子的对称性的概念和性质
分子的对称性是指分子内部的元素和化学键的排列方式能够使分子具有某种对
称性质，例如轴对称、面对称或中心对称等。
分子的对称性具有以下性质：
1. 对称性越高，分子越稳定。
高对称性的分子能更好地分散电荷，使电子对于分子的外界环境的影响降低，从而提高其稳定性。
2. 对称性决定了部分分子性质。
例如，分子的光学旋光性、通过红外光谱确定的基团、共振能力和一些电学性质，都与其对称性有关。
3. 不同的分子对称性能够使分子之间的相互作用发生变化。
例如，对称性相同的分子之间的吸引力强于对称性不同的分子，因为它们之间的电场相互作用更强。
4. 分子的对称性还决定了它们在不同状态下的性质。
例如，具有闭壳层分子轨道的分子具有惰性，而具有非闭壳层分子轨道的分子具有较强的反应性和化学活性。
分子对称性
ˆ ,4C ˆ ,4C ˆ 2 ,3S ˆ 1 ,3S ˆ 3 ,6 ˆ ,3C ˆd Td E 2 3 3 4 4
24阶群
CH4 （P4、SO42－）
(2) Oh群：
（正八面体分子）
元素：3C4，4C3，6C2， 3 h， 6d，3S4，4S6，i
1 3 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E , 3 C , 3 C , 3 C , 4 C , 4 C 4 4 2 3 3 ,6C2 ' ,3 h ,6 d , Oh 1 3 1 5 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3S 4 ,3S 4 ,4S6 ,4S6 , i
NH3: 逆时针旋转 =2/3 等价 于旋转2 (复原), 有C3 轴。
H2O: 逆时针旋转 =2/2 等价 于旋转2 (复原), 有C2 轴。
1 ,C 2, C 3,…C n-1,C n =E 共 n个旋转操作 C C n轴: n n n n n
一般将逆时针旋转定为正操作CnK ,顺时针旋转定 为逆操作Cn-K,且CnK =Cn-(n-K)
子中心，且垂直分子平面 的直线为轴）。
如 :BF3 （ 以通过 B 原
C3: C31 C32 C33=E
共个3个操作， 且 Ĉ32= Ĉ3ˉ1
BCl3分子有1C3、3C2 同一分子中可具有多 根对称轴，其中n最大 的为主轴。 ∴BCl3分子中C3轴为主轴
常见的对称轴有： C2，C3，C4 ，C5，C6，C
(2) 相互交成2π/2n角的两个镜面，其交线必为一 n 次轴Cn。 两个反映的乘积是一个旋转操作
(3) Cn轴与一个v 组合 ，则必有n个v 交成2/2n的 夹角。
旋转与反映的乘积是n个反映 (4) 偶次旋转轴和与它垂直的镜面的组合
分子的对称性
第四章 分子的对称性§4.1 对称性操作和对称元素§ <1>分子对称性概念原子组成分子构成有限的图形，具有对称性。
与晶体的对称性不同。
晶体的主要对称性是点阵结构，而分子的对称性主要是指分子骨架在空间的对称性以及分子轨道（波函数）的对称性。
○1分子对称性：指分子的几何图形（原子骨架和原子、分子轨道空间形状）中有相互等同的部分，而这些等同部分互相交换以后，与原来的状态相比，不发生可辨别的变化，即交换前后图形复原。
○2对称操作：不改变物体内部任何两点间的距离，使图形完全复原的一次或连续几次的操作。
（借助于一定几何实体）○3对称元素：对图形进行对称操作，所依赖的几何要素，如：点，线，面及其组合。
<2>对称元素及相应的对称操作○1恒等元素和恒等操作，（E ） ΛE 所有分子图形都具有。
○2旋转轴（对称轴）和旋转操作，Λn n C C ,；对称轴是一条特定的直线。
绕该线按一定方向（逆时针方向为正方面）进行一个角度θ旋转，nπθ2=如：H 2O ： πθ21==n 。
分子中可能有 n 个对称轴，其中n 最大的称为主轴，其它称为非主轴，如：BF 3 ，主轴C 3 ，三个C 2垂直于C 3 与分子平面平行。
n C 将产生n 个旋转操作：E =-nn n n n n C C C C ,,,,12逆时旋转为正操作，k n C ；顺时旋转为逆操作，k n C -。
)(k n nk n C C --= 分子图形完全复原的最少次数称操作周期，旋转操作的周期为 n ；分子中，nC的轴次不受限制，n 为任意整数。
如： E =→332333,,C C C C○3对称和反映操作。
Λσσ, ：对称面是一个特定的镜面，把分子图形分成两个完全相等的对称部分，两部分之间互为镜中映像，对称操作是镜面的一个反映。
图形中相等的部分互相交换位置，其反映的周期为2。
E =Λ2σ。
对称面可分为：v σ面：包含主轴； h σ面：垂直于主轴；d σ面：包含主轴且平分相邻'2C 轴的夹角（或两个v σ之间的夹角）。
分子的对称性和空间构型
分子的对称性和空间构型在化学中，分子的对称性和空间构型是两个重要的概念。
对称性是指分子在一些操作下保持不变的性质，而空间构型则是描述分子中原子的相对位置和排列方式。
这两个概念在研究分子性质和反应机理中起着至关重要的作用。
首先，让我们来探讨分子的对称性。
对称性是指分子在一些操作下保持不变的性质，比如旋转、反射、转动等。
分子的对称性可以通过对称元素来描述，包括轴对称元素和面对称元素。
轴对称元素是指分子中存在一个轴，沿着这个轴旋转分子一定角度后，分子与原来的位置完全重合。
常见的轴对称元素有Cn轴（n为整数）和S2n轴（n为整数）。
面对称元素是指分子中存在一个面，将分子沿着这个面反射后，分子与原来的位置完全重合。
常见的面对称元素有σ面。
对称性对于分子的性质和反应机理的研究非常重要。
对称性可以决定分子的光谱性质、化学反应的速率和选择性等。
例如，分子的对称性可以决定分子的振动光谱中是否存在红外活性峰。
在化学反应中，对称性可以决定反应的速率和反应产物的选择性。
因此，通过对分子的对称性进行研究，可以更好地理解分子的性质和反应机理。
接下来，我们来讨论分子的空间构型。
空间构型是描述分子中原子的相对位置和排列方式的概念。
分子的空间构型可以通过分子的立体结构来描述。
分子的立体结构可以通过实验技术如X射线衍射、核磁共振等确定。
在分子的立体结构中，原子的相对位置和排列方式对于分子的性质和反应机理有着重要的影响。
例如，分子的立体结构可以决定分子的手性性质。
手性分子是指与其镜像不可重叠的分子，具有手性的分子在光学活性、药物作用等方面表现出独特的特性。
此外，分子的立体结构还可以决定分子之间的相互作用，如分子间的氢键、范德华力等。
分子的对称性和空间构型在化学中的应用非常广泛。
在有机化学中，对称性和空间构型的研究可以帮助我们理解有机分子的合成和反应机理。
在无机化学中，对称性和空间构型的研究可以帮助我们理解无机化合物的性质和反应机理。
结构化学第四章分子对称性
X射线晶体学需要制备晶体样品，通过X射线照射晶 体并记录衍射数据，再通过计算机软件分析衍射数 据，最终得到分子的晶体结构。
X射线晶体学对于理解分子结构和性质具有重要意义 ，尤其在化学、生物学和材料科学等领域中广泛应 用。
分子光谱方法
分子光谱方法是研究分子对称 性的另一种实验方法。通过分 析光谱数据，可以确定分子的 振动、转动和电子等运动状态 ，从而推断出分子的对称性。
04
分子的点群
点群的分类
80%
按照对称元素类型分类
分子点群可按照对称元素类型进 行分类，如旋转轴、对称面、对 称中心等。
100%
按照对称元素组合分类
分子点群可按照对称元素的组合 进行分类，如Cn、Dn、Sn等。
80%
按照分子形状分类
分子点群可按照分子的形状进行 分类，如线性、平面、立体等。
点群的判断方法
分子没有对称元素，如 NH3。
分子有一个对称元素， 如H2O。
分子有两个对称元素， 如CO2。
分子有多个对称元素， 如立方烷。
02
分子的对称性
对称面和对称轴
对称面
将分子分成左右两部分的面。
对称轴
将分子旋转一定角度后与原分子重合的轴。
对称中心
• 对称中心：通过分子中心点，将分子分成互为镜像的两部分。
具有高对称性的分子往往表现出较弱的磁性，因为它们具有较低的轨道和自旋分 裂能。相反，对称性较低的分子可能表现出较强的磁性，因为它们的轨道和自旋 分裂能较高。
对称性与化学反应活性
总结词
分子对称性对化学反应活性也有重要影响，可以通过对称性 分析来预测和解释分子的化学反应行为。
详细描述
具有高对称性的分子往往具有较低的反应活性，因为它们的 电子云分布较为均匀，难以发生化学反应。相反，对称性较 低的分子可能具有较高的反应活性，因为它们的电子云分布 较为不均匀，容易发生化学反应。
X射线晶体学对于理解分子结构和性质具有重要意义 ，尤其在化学、生物学和材料科学等领域中广泛应 用。
分子光谱方法
分子光谱方法是研究分子对称 性的另一种实验方法。通过分 析光谱数据，可以确定分子的 振动、转动和电子等运动状态 ，从而推断出分子的对称性。
04
分子的点群
点群的分类
80%
按照对称元素类型分类
分子点群可按照对称元素类型进 行分类，如旋转轴、对称面、对 称中心等。
100%
按照对称元素组合分类
分子点群可按照对称元素的组合 进行分类，如Cn、Dn、Sn等。
80%
按照分子形状分类
分子点群可按照分子的形状进行 分类，如线性、平面、立体等。
点群的判断方法
分子没有对称元素，如 NH3。
分子有一个对称元素， 如H2O。
分子有两个对称元素， 如CO2。
分子有多个对称元素， 如立方烷。
02
分子的对称性
对称面和对称轴
对称面
将分子分成左右两部分的面。
对称轴
将分子旋转一定角度后与原分子重合的轴。
对称中心
• 对称中心：通过分子中心点，将分子分成互为镜像的两部分。
具有高对称性的分子往往表现出较弱的磁性，因为它们具有较低的轨道和自旋分 裂能。相反，对称性较低的分子可能表现出较强的磁性，因为它们的轨道和自旋 分裂能较高。
对称性与化学反应活性
总结词
分子对称性对化学反应活性也有重要影响，可以通过对称性 分析来预测和解释分子的化学反应行为。
详细描述
具有高对称性的分子往往具有较低的反应活性，因为它们的 电子云分布较为均匀，难以发生化学反应。相反，对称性较 低的分子可能具有较高的反应活性，因为它们的电子云分布 较为不均匀，容易发生化学反应。
第三章 分子的对称性
26
3、分子点群的分类 （1）Cn群
只有一个n次对称轴，称为Cn群，Cn群包含的元素
2 n Cn E , Cn , Cn Cn 1
，群的阶为n
27
28
（2）Cnh群
除一个n次对称轴外，还有一个垂直于Cn轴的对
称面，是2n的阶群
2 n n Cnh E , Cn , Cn Cn 1 , h , hCn , hCn2 hCn 1
＝q r
（Debye）
50
有偶极矩的分子，对分子进行对称操作后，其
偶极矩的大小和方向不应改变。
• 根据分子的对称性，可得如下结论：
（1）如果极性分子有一个n重对称轴，偶极矩 位于该轴上 （2）如果极性分子只有一个对称面，则偶极矩
位于此平面上，如果极性分子有几个称面，则
偶极矩位于对称面的交线上。
素之间定义一种运算法（通常称为“乘法”或
“加法” ），如果满足下面4个条件，则称此集
合为群。 （1）封闭性：集合中任意两元素A与B的乘积 AB = C，A2=D，C和D也是集合中的元素。 （2）结合律：集合中任意三个元素A，B，C相乘， 满足乘法结合律。即(AB)C=A(BC)，
18
但乘法的交换律不一定成立，即AB不一定等于BA。
若相等，则称为交换群或阿贝耳（Abel）群。
（3）单位元素：在集合中必须含有满足如下关系 的单位元素E，EA=AE=A，A是集合中的任一元素。 （4）逆元素：集合中每一个元素R都可在集合中找 到另一个元素Q，使RQ=QR=E，则Q是R的逆元素， 并记Q = R-1，于是R R-1= R-1R=E
19
E
n
n为偶数 n为奇数
分子对称性和分子点群课件
分子对称性对反应选择性具有重要影响，某些对称性较高的分子在特定化学反应中表现出更高的选择性。
以烷烃为例，烷烃的对称性越高，其化学反应选择性越低，因为它们具有更稳定的分子结构。
以烯烃为例，烯烃的对称性较低，因此它们在加成反应中表现出较高的反应活性。
以芳香族化合物为例，由于芳香族化合物具有较低的对称性，它们在取代反应中表现出较高的反应活性。
确定分子的点群
分子的点群是根据分子的对称性进行分类的，通过确定分子的点群可以更好地理解分子的结构和性质。
指导药物设计和材料科学
分子对称性在药物设计和材料科学中具有重要意义，例如在药物设计中，可以利用分子对称性来设计具有特定性质的化合物。
分子点群的基本概念
CATALOGUE
02
第一类点群
第二类点群
总结与展望
CATALOGUE
06
分子对称性和分子点群是化学和物理领域中非常重要的概念，它们在化学反应动力学、光谱学、晶体工程和材料科学等领域有着广泛的应用。
通过了解分子的对称性和点群，我们可以更好地理解分子的结构和性质，预测其物理和化学行为，并设计具有特定功能的材料和分子。
对称性在化学反应中起着关键作用，可以影响反应的速率和选择性。了解分子的对称性可以有助于预测反应的产物和途径，从而优化反应条件和设计更有效的合成方法。
分子对称性分类
分子对称性与分子点群的关系
CATALOGUE
03
分子对称性是指分子在三维空间中的对称性质，包括对称轴、对称面和对称中心等。
分子点群是指分子的空间排列方式，不同的点群对应不同的空间结构。
分子对称性与分子点群之间存在一一对应的关系，即每个点群都有其独特的对称性。
以水分子为例，其具有对称中心和两个对称轴，属于点群$C_{2v}$。通过分析其对称性，可以了解水分子的稳定性、极性等性质。
以烷烃为例，烷烃的对称性越高，其化学反应选择性越低，因为它们具有更稳定的分子结构。
以烯烃为例，烯烃的对称性较低，因此它们在加成反应中表现出较高的反应活性。
以芳香族化合物为例，由于芳香族化合物具有较低的对称性，它们在取代反应中表现出较高的反应活性。
确定分子的点群
分子的点群是根据分子的对称性进行分类的，通过确定分子的点群可以更好地理解分子的结构和性质。
指导药物设计和材料科学
分子对称性在药物设计和材料科学中具有重要意义，例如在药物设计中，可以利用分子对称性来设计具有特定性质的化合物。
分子点群的基本概念
CATALOGUE
02
第一类点群
第二类点群
总结与展望
CATALOGUE
06
分子对称性和分子点群是化学和物理领域中非常重要的概念，它们在化学反应动力学、光谱学、晶体工程和材料科学等领域有着广泛的应用。
通过了解分子的对称性和点群，我们可以更好地理解分子的结构和性质，预测其物理和化学行为，并设计具有特定功能的材料和分子。
对称性在化学反应中起着关键作用，可以影响反应的速率和选择性。了解分子的对称性可以有助于预测反应的产物和途径，从而优化反应条件和设计更有效的合成方法。
分子对称性分类
分子对称性与分子点群的关系
CATALOGUE
03
分子对称性是指分子在三维空间中的对称性质，包括对称轴、对称面和对称中心等。
分子点群是指分子的空间排列方式，不同的点群对应不同的空间结构。
分子对称性与分子点群之间存在一一对应的关系，即每个点群都有其独特的对称性。
以水分子为例，其具有对称中心和两个对称轴，属于点群$C_{2v}$。通过分析其对称性，可以了解水分子的稳定性、极性等性质。
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浅谈分子对称性
摘要：在分子中，原子固定在其平衡位置上，其空间排列是个对称的图像，利用对称性原理探讨分子的结构和性质，是人们认识分子的重要途径，是了解分子结构和性质的重要方法。
分子对称性是联系分子结构和分子性质的重要桥梁之一。
它能简明地表达分子的构型，指导化学合成工作，帮助正确地了解分子的性质，可简化分子构型的测定二作。
关键词：分子对称性对称元素对称操作对称点群群论
对称性描述分子的对称性表现并根据分子的对称性对分子作分类。
分子对称性在化学中是一项基础概念，因为它可以预测或解释许多分子的化学性质，例如分子振动、分子的偶极矩和它的光谱学数据（以拉波特规则之类的选择定则为基础）。
在大学程度的物理化学、量子化学与无机化学教科书中，都有关于对称性的章节。
分子对称性的研究是取自于数学上的群论。
一、对称元素
分子对称性可分成5种对称元素。
旋转轴：分子绕轴旋转度角后与原分子重合，此轴也称为n重旋转轴，简写为Cn。
例如水分子是C2而氨是C3。
一个分子可以拥有多个旋转轴；有最大n 值的称为主轴，为直角坐标系的z轴，较小的则称为副轴。
n≥3的轴称高次轴。
对称面：一个平面反映分子后和原分子一样时，此平面称为对称面。
对称面也称为镜面，记为σ。
水分子有两个对称面：一个是分子本身的平面，另一个是垂直于分子中心的平面。
包含主轴，与分子平面垂直的对称面称为垂直镜面，记为σv；而垂直于主轴的对称面则称为水平镜面，记为σh。
等分两个相邻副轴夹角的镜面称等分镜面，记作σd。
一个对称面可以笛卡尔坐标系识别，例如（xz）或（yz）。
对称中心：从分子中任一原子到分子中心连直线，若延长至中心另一侧相等距离处有一个相同原子，且对所有原子都成立，则该中心称为对称中心，用i表示。
对称中心可以有原子，也可以是假想的空间位置。
二、对称操作
这5种对称元素都有其对称操作。
对称操作为了与对称元素作区别，通常但不绝对的，会加上脱字符号（caret）。
所以？n是一个分子绕轴旋转，而Ê；为其恒等元素操作。
一个对称元素可以有一个以上与它相关的对称操作。
因为C1 与E、S 与σ 、S 与i相等，所有的对称操作都可以分成真转动或非真转动（proper or improper rotations）。
三、对称点群
点群是一组对称操作（symmetry operation），符合数论中群的定义，在群中的所有操作中至少有一个点固定不变。
三维空间中有32组这样的点群，其中的30组与化学相关。
它们以向夫立符号为分类基础。
四、群论
一个对称操作的集合组成一个群，with operator the application of the operations itself，当：
连续使用（复合）任两种对称操作的结果也在群之中（封闭性）。
对称操作的复合符合乘法结合律：A（BC）= AB（C）群包含单位元操作，符号E，例如AE = EA = A对于群中的任何操作A。
在群中的每个操作，都有一个相对应的逆元素A，而且AA = AA = E
群的阶为该群中对称操作的数目。
例如，水分子的点群是C2v，对称操作是E，C2，σv 和σv’。
它的顺序为4。
每一个操作都是它本身的相反。
以一个例子做结，在一个σv反射后做再一个C2旋转会是一个σv’ 对称操作（注意：”在B后做A操作形成 C 记作BA = C”）：
σv*C2 = σv’
五、表示
对称操作可用许多方式表示。
一个方便的表征是使用矩阵。
在直角坐标系中，任一个向量代表一个点，将其以对称操作转换左乘（left-multiplying）得出新的点。
结合操作则为矩阵的乘法：C2v 的例子如下：
像这样的表示虽然存在无限多个，但是群的不可约表示（或irreps）被普遍使用，因为所有其他的群的表示可以被描述为一个不可约表示的线性组合。
六、特征表
对每个点群而言，一个特征表汇整了它的对称操作和它的不可约表示（irreducible representations）的资料。
因为它总是与不可约表示的数量和对称操作的分类相等，所以表格都是正方形。
表格本身包含了当使用一个特定的对称操作时，特定的不可约表示如何转换的特征。
在一个分子点群中的任一作用于分子本身的对称操作，将不会改变分子点群。
但作用于一般实体，例如一个向量或一个轨域，这方面的需求并非如此。
矢量可以改变符号或方向，轨域可以改变类型。
对于简单的点群，值不是 1 就是？1：1表示符号或相位（矢量或轨域）在对称操作的作用下是不变的（对称），
而-1表示符号变成（不对称）
根据下列的规定标示表征：
A，绕主轴旋转后为对称B，绕主轴旋转后为不对称E 和T 分别代表二次和三次退化表征当点群有对称中心，符号的下标g （德语：gerade 或even）没有改变，符号的上标u （ungerade或uneven）依反转而改变。
点群C∞v和D∞h的符号借用角动量的描术：Σ，Π，Δ.
表中还记录如下的资料：笛卡尔矢量及其如何旋转，和它的二次方程的如何用群的对称操作来转换，特别是以相同方法转换不可约表示。
这些资料一般显示在表格的右边。
这些资料是有用的，因为分子中的化学重要轨道（特别是p 和 d 轨道）具有相同的对称性。
承接C2v的例子，考虑水分子中氧原子的轨域：2px垂直于分子平面，且以一个C2 与一个σv’（yz）操作改变符号，但与其他两个操作仍保持不变（显而易见的，恒等操作的特征恒为+1）。
因此这个轨域的特征集合为（1，-1，1，-1），与B1不可约表示相符合。
同样地，2pz轨域被认为有A1不可约表示的对称性，2py B2，和3dxy轨域A2。
这些分配和其他的都在表格最右边的两个字段中注明。
七、结束语
自然界普遍存在着对称性，从宏观到微观世界都存在着对称性，利用对称性概念及有关原理和方法去解决我们遇到的问题，可以使我们对自然现象及其运动发展规律的认识更加深入。
参考文献：
[1]阎西林. 晶体物理学[M]. 电子工业出版社，1995
[2]何福城；朱正和结构化学1980
[3]谢有畅；邵美成无机化学1979
[4]林琼桂，Clebsch-Gordan 系数的对称性，大学物理28 （2）（2009）1-2.。