高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程导学案无答案新人教A版必修2

浙江省温州市苍南县巨人中学高中数学 4.1.2 圆的一般方程导学案
新人教A 版必修2
一、【课前预案】 【学习目标】
1.掌握圆的一般方程，圆的一般方程和圆的标准方程之间的互化。

2.会用待定系数法求圆的一般方程。

【重点，难点】
重点：圆的一般方程与圆的标准方程互化。

难点：选择适当的方式求圆的方程。

1、已知圆的方程为4)1()
2(22=-++y x ，写出圆心坐标和半径；并将其展开。

二、【课中导案】
（一）、合作探究
归纳： 方程
满足的条件 暗示图形 022=++++F Ey Dx y x
（二）、当堂检测
1、判断下列二元二次方程是否暗示圆，若是，写出圆心与半径；反之说明理由
06420642320342220
34222222222=-+-+=-+-+=-+-+=-+-+y xy y x y x y x y x y x y x y x ④③②①
2、求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2)的圆的方程，并求出圆心和半径.
归纳求圆的方程的方式：
练习、△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程，并求出圆心和半径.
(三)课堂小结
1、知识点
2、方式
3、思想
三、【课后作业】
5、已知圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-1,1)和B(1,3),求圆C的方程.。

4.1.2圆的一般方程自学导读：问题1： 圆的标准方程是 ，圆心坐标是 ，半径是 ， 问题2：把圆的标准方程展开，得 ，令-2a=D,-2b=E,a 2+b 2-r 2=F ,结论：任何一个圆可以写成下面的形式x 2+y 2+Dx+Ey+F=0问题3：是不是任何一个形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆呢？把方程: x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方可得：（1）当D 2+E 2-4F>0时，表示以（ ， ）为圆心，以（ ）为半径的圆 （2）当D 2+E 2-4F=0时，方程只有一组解x = 2-D， y = 2-E ，表示一个点（ ， ）.（3）当D 2+E 2-4F<0时，方程无实数解，所以不表示任何图形.新课：1:圆的一般方程的定义： 2：圆的一般方程的特点：x 2与y 2系数相同并且不等于0，没有xy 这样的二次项，D 2+E 2-4F>0 练习 判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径(1) x 2+2y 2-6x +4y -1=0 (2) x 2+y 2-3xy +5x +2y =0 (3) x 2+y 2-2x +4y -4=0(4) x 2+y 2-12x +6y +50=0 (5) 2x 2+2y 2-12x +4y =03：例题讲解阅读第122页例4、例5完成下列习题 1、求经过三点（0,0），（2，-2），（4,0）的圆的方程小结：求圆的方程的方法2、如图，已知点P 是圆x 2+y 2=16上的一个动点，点A 是x 轴上的一个定点，坐标为（12,0），当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的方程是什么？小结：求轨迹方程的方法三、自学检测1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：① x 2+y 2-6x=0 ② x 2+y 2+2by=0 ③ x 2+y 232=02..判断下列方程分别表示什么图形：① x 2+y 2=0 ② x 2+y 2-2x+4y-6=0 ③ x 2+y 2+2ax-b 2=0课本第123页练习1.2.3四、巩固训练课本第124页习题4.1 A 组 1.、2、3、4五、拓展延伸课本第124页习题4.1 B 组 2、3课堂小结（1）圆的一般方程的定义及特点（2）圆的一般方程与圆的标准方程的联系（3）用待定系数法，求圆的一般方程（4）用相关点法，求点的轨迹方程22224()()224D E D E F x y +-+++=。

4.1.2 圆的一般方程一、学习目标：1、正确理解圆的一般方程及其特点；2、会求圆的一般方程；3、能进行圆的一般方程和标准方程的互化；4、初步了解用代数方法处理几何问题，把握求点的轨迹方程的思想方法。

二、课前导学：学问回忆：1、 圆的圆心为(1,2)C ，半径为2 ，那么圆的标准方程为222(1)(2)4x y -+-= ，将此方程绽开得222410x y x y +--+=问题导入：问题1、方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222450x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？〔1〕表示以)2,1(-为圆心，2为半径的圆；(2)表示点〔1，2〕〔3〕不表示任何图形问题2、方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？ （1） 配方44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ （2） 当0422>-+F E D 时，方程表示 以(,)22D E --为圆心，2422F E D -+为半径的圆 （3） 当0422=-+F E D 时，方程表示 一个点(,)22D E -- （4） 当0422<-+F E D 时，方程表示 不表示任何图形 问题3、圆的一般方程的定义：当2240D E F +->时， 220 x y Dx Ey F ++++= 称为圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？问题4：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？练习1、二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，在什么条件下表示圆的方程？220040A C B D E AF =≠=+->，，练习2、圆22210240x y x y +-+-=的圆心为：___)51(-，_____，半径为：___25_____。

三、合作探究：探究一、圆的一般方程的概念例1：以下二元二次方程能否表示圆？假设能表示圆，求出其圆心和半径。

高中数学第四章圆与方程4.1.1 圆的标准方程教案新人教A版必修2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第四章圆与方程4.1.1 圆的标准方程教案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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圆的标准方程教学目标（1)在理解推导过程的基础上，掌握圆的标准方程的形式特点,理解方程中各个字母的含义,能合理应用平面几何中圆的有关性质,结合方程解决圆的有关问题．（2）理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．教学重点和难点重点：圆的标准方程的理解、应用；圆的切线方程．（已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线)．难点：从圆外一点引切线，求切线方程，已知切线斜率求切线．教学过程设计(一）导入新课，教师讲授．同学们，前面我们研究了直线（特殊的曲线）的方程及其有关问题，今天我们研究圆及与圆有关的问题．什么是“圆”．想想初中我们学过的圆的定义．“平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆”．定点就是圆心，定长就是半径．根据圆的定义，我们来求圆心是c（a,b）,半径是r的圆的方程．（引导学生推导)设 M(x，y)是圆上任意一点，圆心坐标为（a，b）,半径为r．则│CM│=r,两边平方．（x-a)2+（y—b）2=r2，我们得到圆的标准方程，这就是圆心为C(a，b）,半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．如果圆的圆心在原点．O(0，0)．即a=0．b=0．问题1．说出下列圆的方程：（1)圆心在点C(3, -4)，半径为7。

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圆的标准方程课时教学目标1.知识与技能目标：回顾圆的几何要素,在平面直角坐标系中探索并掌握圆的标准方程；会根据已知条件求圆的标准方程；能准确判断点与圆的位置关系。

2.过程与方法目标：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力和解决问题的能力，将几何问题转化为代数问题,渗透数形结合的思想，注意培养学生观察，分析和解决问题的能力.3。

情感与态度目标：树立学好数学的自信心，培养学生主动探究,合作交流。

教学重点、难点重点:圆的标准方程的推导步骤；掌握并会求圆的标准方程。

难点：根据具体条件正确写出圆的标准方程．教具投影仪，幻灯片教师教学活动设计设计意图（一）引入展示生活中平面图形为圆的实物在平面直角坐标系，两点确定一条直线,一点和倾斜角也确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？确定圆的几何条件：圆心（定位置) 半径（定大小）(二）自学探究：阅读课本118页由生活实物感知圆.类比于确定一条直线位置的几何要素，引导学生明确确定圆的几何要素。

问题：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？探索研究:确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为C(a ,b ），半径为r.（其中a 、b 、r 都是常数,r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点,观察圆的图形，圆上的点M （x ，y ）与圆心C(a ,b ）的距离有什么关系？ 圆心C 是定点，圆周上的点M 是动点，它们到圆心距离都相等且等于定长｜CM ｜=r 圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

圆的一般方程
例3 点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2
=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,此题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
图1
解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N, 那么N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|=
2
1
|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).
因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即(*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2
+y 2
=16上,所以x 02
+y 02
=16.将(*)代入得 (2x-10)2
+(2y)2
=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).
②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).
,(),
,(002001y x f y y x f x (Ⅰ)。

高二数学必修2 第四章 圆与方程第四章 圆与方程§4.1圆的方程§4.1.1圆的标准方程(1)【学习目标】1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程.2.利用圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系.【学习重点】求圆的标准方程.【学习难点】根据不同的已知条件，判断点与圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第118-119页，完成自主学习)1.已知两点(2,5),(6,9)A B -,求它们之间的距离?若已知(3,8),(,)C D x y -,求它们之间的距离.2.图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？3.具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 圆心和半径分别确定了圆的_______和_______.4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,在平面内确定圆的条件是什么?5.在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心(,)C a b ,半径为r (其中,,a b r 都是常数, 0r >)，圆的标准方程为__________________________________.6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________ .思考：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=中,只要求出___、___、___,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____是圆的定形条件.二、合作探究例1:写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.推广：设点00(,)M x y ，圆的方程为222()()x a y b r -+-=.1，M 在圆上⇔2200()()x a y b -+- 2r ；2，M 在圆外⇔2200()()x a y b -+- 2r ；3，M 在圆内⇔2200()()x a y b -+- 2r ；例2:圆的一条直径的两个端点分别是(2,0),(2,2)A B -，求圆的标准方程,并判断点(0,0),C (2,2)D -与该圆的位置关系推广:已知圆的一条直径的端点分别是1222(,),(,),A x y B x y 求证此圆的方程是1212()()()()0.x x x x y y y y --+--=三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程.(1) 圆心在原点，半径是3；(2) 圆心在(3,4)C(3) 经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -；2.写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) 22(1)6x y -+= (2) 22(1)(2)9x y ++-= (3) 22(2)(3)3x y -++=3.已知圆心在点(3,4),C --且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点12(,0),(1,1),P P -- 3(3,4)P -和圆的位置关系.四、学习小结1.圆的标准方程 .2.求圆的标准方程的方法有：高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.1圆的标准方程(2)【学习目标】会用待定系数法求圆的标准方程.【学习重点】掌握求圆的标准方程的思路方法.【学习难点】领会用数形结合求圆的标准方程的思想.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第119-120页，完成自主学习)1.圆的定义是什么？2.圆的标准方程是怎样的？3.点M(x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的关系的判断方法：(1)当点M(x 0,y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标_____方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(2)当点M(x 0,y 0)不在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标______方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(3)用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为：1°点到圆心的距离大于半径⇔点在圆外⇔_________________.2°点到圆心的距离等于半径⇔点在圆上⇔_________________.3°点到圆心的距离小于半径⇔点在圆内⇔_________________.二、合作探究例1：ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(5,1),(2,8),(7,3)A B C --,求它的外接圆的方程.例2：求经过点(1,1)A ，(2,2)B -，且圆心在直线:10l x y -+=上的圆的标准方程.三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程：(1) 圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程；(2)圆心在x 轴上，半径长为1，且过点(2,1)的圆的方程.2.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,求圆C 的标准方程.3.求经过两点(1,4),(3,2)A B -且圆心在y 轴上的圆的方程.四、学习小结1.确定圆的方程主要方法是_____________法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ,b )和半径r ,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程________________；2°根据已知条件,建立关于__________________的方程组；3°解方程组,求出___________的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.2.思想方法总结：高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.2圆的一般方程(1)【学习目标】能用圆的一般方程确定圆的圆心、半径.【学习重点】把握圆的一般方程的代数特征,能根据已知条件待定方程中的系数,,D E F .【学习难点】根据已知条件选择待定圆的标准方程或一般方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第121-122页，完成自主学习)1.写出圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的标准方程_______________________________.2.将以(,)C a b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程展开并整理得________________.3.如果2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得到方程____________________,这说明圆的 方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.4.思考：能不能说方程220x y Dx Ey F ++++=所表示的曲线一定是圆呢?二、合作探究1.222()()x a y b r -+-=中0r >时表示___ _；0r =时表示____________；2.把式子220x y Dx Ey F ++++=配方得_________________________________.(ⅰ)当2240D E F +->时,表示以_________为圆心,_____________ _为半径的圆； (ⅱ)当2240D E F +-=时,方程只有实数解x =______y =______,即只表示__________； (ⅲ)当2240D E F +-<时,方程______(有或没有)实数解,因而它_________________.方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线_________（一定或不一定）是圆；但圆的方程都能写成_________________的形式,只有当_____________时,它表示的曲线才是圆. 我们把形如220x y Dx Ey F ++++=表示圆的方程称为圆的_________方程.3.圆的一般方程形式上的特点：(1)x 2和y 2的系数_______且________. (2)没有_________这样的二次项.例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1) 224441290x y x y +-++= (2) 2220x y by ++=例2:求过三点(0,0),(1,1),(4,2)O M N 的圆的一般方程,并求圆的半径长和圆心坐标.三、达标检测1.判断下列方程(1) 2260x y y +-=（2）222460x y x y +-+-=（3）224220200x y mx my m +-++-=能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.2.ABC ∆的三个顶点分别为(1,5),(2,2),(5,5)A B C ---，求其外接圆的一般方程.四、学习小结用待定系数法求圆的方程的步骤是：1.____________________________________________2._____________________________________________3._____________________________________________高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.2圆的一般方程(2)【学习目标】掌握圆的一般方程及其特点，会由圆的方程求出圆心、半径会用待定系数法求圆的一般方程.【学习重点】圆的一般方程的特征和求圆的一般方程.【学习难点】用相关点法求轨迹方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第122-123页，完成自主学习)1.将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心坐标和半径：（1）222220(0);(2)22420.x y my m x y ax ++=≠++-=2.圆C ：222440x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离_____d =.二、合作探究例：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.三、达标检测1.求以(1,1)A -为圆心，且经过点(0,1)B 的圆的一般方程.2.若(5,0),(1,0),(3,3)A B C --三点的外接圆为圆M ,求圆M 的方程，若点(,3)D m 在圆M 上，求m 的值.３.求圆心在直线230x y --=上，且过点(5,2),(3,2)A B -的圆的方程.４.已知点P 在圆的C ：2286210x y x y +--+=上运动，求线段OP 的中点坐标M 的轨迹方程.四、学习小结相关点法求轨迹方程的步骤：1._______________________________________________________;2._______________________________________________________;3._______________________________________________________;4._______________________________________________________;。