正切余切泰勒展开式

Sin a 、con a 、tan a 公式关系正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数 versinθ =1-cosθ余矢函数 vercosθ =1-sinθ同角三角函数间的基本关系式：·平方关系：sin 2(α)+cos 2(α)=1 tan 2(α)+1=sec 2(α) cot 2(α)+1=csc 2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα c otα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1直角三角形ABC 中,角A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边,余弦等于角A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边,三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan (α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan (α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A 2+B 2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A 2+B 2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos 2(α)-sin 2(α)=2cos 2(α)-1=1-2sin 2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan 2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin 3(α) cos(3α)=4cos 3(α)-3cosα·半角公式： sin(2a )=±21cona - cos(2a )=±21cona + tan(2a )=±cona cona +-11= cona a +1sin =a cona sin 1- ·降幂公式sin 2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos 2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan 2(α)=(1-cos (2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan 2(α/2)] cosα=[1-tan 2(α/2)]/[1+tan 2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan 2(α/2)] ·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cos α·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

三角函数的应用三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。

在物理学中，三角函数也是常用的工具。

基本初等内容它有六种基本函数(初等基本表示)：函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y（斜边为r，对边为y，邻边为x。

）以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ =1-cosθ余矢函数coversθ =1-sinθ正弦（sin）:角α的对边比上斜边余弦（cos）:角α的邻边比上斜边正切（tan）:角α的对边比上邻边余切（cot）:角α的邻边比上对边正割（sec）:角α的斜边比上邻边余割（csc）:角α的斜边比上对边[编辑本段]同角三角函数间的基本关系式：·平方关系：sin²(α)+cos²(α)=1 cos²(a)=(1+cos2a)/2tan²(α)+1=sec²(α) sin²(a)=(1-cos2a)/2cot²(α)+1=csc²(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A²+B²)^(1/2)cost=A/(A²+B²)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin³(α)cos(3α)=4cos³(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos²α1-cos2α=2sin²α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx证明：左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边等式得证sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx证明:左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx) =- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边等式得证[编辑本段]三角函数的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k↔Z)[编辑本段]正余弦定理正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc cosA角A的对边于斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sinA=角A的对边/斜边斜边与邻边夹角asin=y/r无论y>x或y≤x无论a多大多小可以任意大小正弦的最大值为1 最小值为-[编辑本段]部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

三角函数的泰勒展开三角函数是数学中常见的函数类型之一，它在科学和工程领域中具有广泛的应用。

其中，泰勒展开是一种重要的数学工具，它能够将任何光滑函数表示为无穷级数的形式，从而简化计算和分析过程。

本文将介绍三角函数的泰勒展开，并探讨其应用。

泰勒展开是将函数在某一点附近进行多项式逼近的方法。

对于任意函数f(x)，可以利用泰勒展开将其表示为一个无穷级数的形式：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...，其中f'(a)表示函数在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数，以此类推。

这种展开方式可以方便地对函数进行近似计算。

对于三角函数，我们可以将其进行泰勒展开来得到近似表示。

以sin(x)为例，我们将其在x=0附近展开：sin(x) = sin(0) + cos(0)x - sin(0)x^2/2! - cos(0)x^3/3! + ...，其中sin(0)=0，cos(0)=1。

根据三角函数的性质，我们可以得知，sin(x)在x=0处的导数是cos(x)，cos(x)在x=0处的导数是-sin(x)。

因此，对于sin(x)的泰勒展开式，我们可以得到：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...。

类似地，对于cos(x)的泰勒展开，我们可以得到：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...。

通过截取这些级数的部分项，我们可以得到三角函数的近似值。

当我们计算的精度要求不高时，只需要截取前几项级数的和即可得到一个较为准确的结果。

三角函数的泰勒展开在科学和工程中具有广泛的应用。

例如，在物理学中，当我们需要对复杂的运动进行数值模拟时，可以利用三角函数的泰勒展开来近似描述物体的运动规律。

八个泰勒公式展开式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以用来将一个函数在某一点的附近展开成无穷级数的形式。

这个无穷级数可以用来近似计算函数的值，也可以用来研究函数在某一点的性质。

在本文中，我们将介绍八个常用的泰勒公式展开式，分别是正弦函数、余弦函数、指数函数、自然对数函数、正切函数、反正切函数、双曲正弦函数和双曲余弦函数。

一、正弦函数的泰勒公式展开式正弦函数的泰勒公式展开式如下：$$ sin x = x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - frac{x^7}{7!} + cdots = sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} $$ 这个公式告诉我们，任何一个实数 x 都可以用一个无穷级数来表示它的正弦函数值。

这个级数的每一项都是 x 的奇次幂除以对应的阶乘，而且每一项的符号都是交替的。

二、余弦函数的泰勒公式展开式余弦函数的泰勒公式展开式如下：$$ cos x = 1 - frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} - frac{x^6}{6!} + cdots = sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} $$ 这个公式告诉我们，任何一个实数 x 都可以用一个无穷级数来表示它的余弦函数值。

这个级数的每一项都是 x 的偶次幂除以对应的阶乘，而且每一项的符号都是交替的。

三、指数函数的泰勒公式展开式指数函数的泰勒公式展开式如下：$$ e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + cdots = sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} x^n $$这个公式告诉我们，任何一个实数 x 都可以用一个无穷级数来表示它的指数函数值。

这个级数的每一项都是 x 的 n 次幂除以 n的阶乘。

四、自然对数函数的泰勒公式展开式自然对数函数的泰勒公式展开式如下：$$ ln(1+x) = x - frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} - frac{x^4}{4} + cdots = sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n $$ 这个公式告诉我们，任何一个实数 x 都可以用一个无穷级数来表示它的自然对数函数值。

常用泰勒公式大全图片
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n 次多项式来逼近函数的方法。

在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

扩展资料：
泰勒公式表示形式：
（1）形式1:带Peano余项的Taylor公式：若f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个邻域(x0-δ，x0+δ）内任意一点x(δ>0)，成立下式：
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f(n)
(x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，f(n) (x0)表示f(n)(x)在x0处的取值
（2）形式2：:带Lagrange余项的Taylor公式：若函数f(x）在闭区间[a，b]上有n阶连续导数，在(a,b)上有n+1阶导数。

任取x0∈[a,b]是一定点，则对任意x∈[a,b]成立下式：
f(x)=f(x。

)+f'(x。

)(x-x。

)+f''(x。

)/2!*(x-x。

)^2,+f'''(x。

)/3!*(x-x。

)^3+……+f(n)(x。

)/n!*(x-x。

)^n+Rn(x)，Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x。

)^(n+1), ξ在x。

和x之间，是依赖于x的量。

三角函数的级数展开三角函数的级数展开与近似计算在数学中，三角函数是一类重要的函数，而三角函数的级数展开与近似计算是其中一项关键内容。

本文将以三角函数的级数展开与近似计算为题，介绍相关概念、公式和计算方法。

一、级数展开的概念与原理在数学中，级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，从而方便进行计算和近似估计。

对于三角函数，我们可以使用级数展开来求解其值。

一个常见的三角函数级数展开的例子是正弦函数的麦克劳林级数展开：\[\sin(x) = x - \frac{{x^3}}{{3!}} + \frac{{x^5}}{{5!}} -\frac{{x^7}}{{7!}} + \cdots\]其中，x为角度或弧度。

二、正弦函数的级数展开与近似计算正弦函数是三角函数中最为常见的函数之一，其级数展开可以在一定范围内提供精确的近似计算。

下面以展开到第n项为例，给出正弦函数的级数展开公式及其近似计算方法。

公式一：正弦函数的级数展开公式\[\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{{x^{2n+1}}}{{(2n+1)!}} \]公式中，n为项数，x为角度或弧度。

公式二：正弦函数的近似计算公式\[\sin(x) \approx x - \frac{{x^3}}{{3!}} + \frac{{x^5}}{{5!}} -\frac{{x^7}}{{7!}} + \cdots + (-1)^n \frac{{x^{2n+1}}}{{(2n+1)!}} \]近似计算公式中，保留n个有限项的级数展开来近似计算正弦函数的值。

三、余弦函数的级数展开与近似计算余弦函数是三角函数中另一个重要的函数，与正弦函数类似，余弦函数也可以利用级数展开进行近似计算。

以下是余弦函数的级数展开公式及其近似计算方法。

公式三：余弦函数的级数展开公式\[\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{{x^{2n}}}{{(2n)!}}\]公式中，n为项数，x为角度或弧度。

函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为〔x，y〕有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y〔斜边为r，对边为y，邻边为x。

〕以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ =1-cosθ余矢函数coversθ =1-sinθ正弦〔sin〕:角α的对边比上斜边余弦〔cos〕:角α的邻边比上斜边正切〔tan〕:角α的对边比上邻边余切〔cot〕:角α的邻边比上对边正割〔sec〕:角α的斜边比上邻边余割〔csc〕:角α的斜边比上对边[编辑本段]同角三角函数间的根本关系式：·平方关系：sin²(α)+cos²(α)=1 cos²(a)=(1+cos2a)/2tan²(α)+1=sec²(α) sin²(a)=(1-cos2a)/2cot²(α)+1=csc²(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A²+B²)^(1/2)cost=A/(A²+B²)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin³(α)cos(3α)=4cos³(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-c osα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos²α1-cos2α=2sin²α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx证明：左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx 〔积化和差〕=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边等式得证sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx证明:左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边等式得证[编辑本段]三角函数的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin〔2kπ＋α〕＝sinαcos〔2kπ＋α〕＝cosαtan〔2kπ＋α〕＝tanαcot〔2kπ＋α〕＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin〔π＋α〕＝－sinαcos〔π＋α〕＝－cosαtan〔π＋α〕＝tanαcot〔π＋α〕＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin〔－α〕＝－sinαcos〔－α〕＝cosαtan〔－α〕＝－tanαcot〔－α〕＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin〔π－α〕＝sinαcos〔π－α〕＝－cosαtan〔π－α〕＝－tanαcot〔π－α〕＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin〔2π－α〕＝－sinαcos〔2π－α〕＝cosαtan〔2π－α〕＝－tanαcot〔2π－α〕＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin〔π/2＋α〕＝cosαcos〔π/2＋α〕＝－sinαtan〔π/2＋α〕＝－cotαcot〔π/2＋α〕＝－tanαsin〔π/2－α〕＝cosαcos〔π/2－α〕＝sinαtan〔π/2－α〕＝cotαcot〔π/2－α〕＝tanαsin〔3π/2＋α〕＝－cosαcos〔3π/2＋α〕＝sinαtan〔3π/2＋α〕＝－cotαcot〔3π/2＋α〕＝－tanαsin〔3π/2－α〕＝－cosαcos〔3π/2－α〕＝－sinαtan〔3π/2－α〕＝cotαcot〔3π/2－α〕＝tanα(以上k∈Z)[编辑本段]正余弦定理正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc cosA角A的对边于斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sinA=角A的对边/斜边斜边与邻边夹角asin=y/r无论y>x或y≤x无论a多大多小可以任意大小正弦的最大值为1 最小值为-[编辑本段]局部高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

常用十个泰勒展开公式1. e^x的泰勒展开公式：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + + x^n/n! +其中，n!表示n的阶乘。

2. sinx的泰勒展开公式：sinx = x x^3/3! + x^5/5! x^7/7! + + (1)^(n1)x^(2n1)/(2n1)! +其中，n为正整数。

3. cosx的泰勒展开公式：cosx = 1 x^2/2! + x^4/4! x^6/6! + + (1)^n x^(2n)/(2n)! +其中，n为正整数。

4. ln(1+x)的泰勒展开公式：ln(1+x) = x x^2/2 + x^3/3 x^4/4 + + (1)^(n1) x^n/n +其中，n为正整数。

5. (1+x)^a的泰勒展开公式：(1+x)^a = 1 + ax + a(a1)x^2/2! + a(a1)(a2)x^3/3! + +a(a1)(a2)(an+1)x^n/n! +其中，n为正整数，a为实数。

6. 1/(1x)的泰勒展开公式：1/(1x) = 1 + x + x^2 + x^3 + + x^n +其中，n为正整数。

7. sqrt(1+x)的泰勒展开公式：sqrt(1+x) = 1 + 1/2x 1/8x^2 + 1/16x^3 + (1)^(n1) (2n3)!! x^n/(2n)!! +其中，n为正整数，!!表示双阶乘。

8. arctanx的泰勒展开公式：arctanx = x x^3/3 + x^5/5 x^7/7 + + (1)^(n1)x^(2n1)/(2n1) +其中，n为正整数。

9. 1/sqrt(1x^2)的泰勒展开公式：1/sqrt(1x^2) = 1 + 1/2x^2 + 3/8x^4 + 5/16x^6 + +(2n1)/2^n x^(2n) +其中，n为正整数。

10. 1/(1+x^2)的泰勒展开公式：1/(1+x^2) = 1 x^2 + x^4 x^6 + + (1)^n x^(2n) +其中，n为正整数。

tan三角函数泰勒展开
tan函数是三角函数中比较特殊的一个函数，因为它在某些点上是没有定义的。

但是我们可以用其它三角函数来表示它，例如tan(x) = sin(x) / cos(x)。

为了更好地计算tan函数的值，我们可以进行泰勒展开，将tan函数转化为多项式形式。

tan函数的泰勒展开式为：
tan(x) = x + (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + (17/315)x^7 + ...
这个式子可以用来近似计算tan函数在一个给定点x处的值。

展开式中的每一项都是x的幂次方与一个系数的乘积，系数是预先计算好的。

展开式的精度可以通过保留不同项数来控制，更多的项数会使结果更加精确。

需要注意的是，当x接近π/2或-π/2时，cos(x)会趋近于0，此时tan函数会趋近于无穷大或负无穷大。

因此，在这些点附近，使用泰勒展开可能不太准确，需要特殊处理。

- 1 -。

泰勒公式bai是将一个在x=x0处具有n阶导数的函du数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近zhi函数的方法。

若函数f（x）在包含daox0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。

余项
泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺（Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在。

2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：
其中θ∈（0,1），p为任意正实数。

（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） [2]
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈（0,1）。

4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈（0,1）。

5、积分余项：
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。

带佩亚诺余项
以下列举一些常用函数的泰勒公式：。

常用函数泰勒展开公式在数学中，常用函数的泰勒展开公式是一种用无限级数表示函数的方法。

它将一个光滑的函数表示为一个无限级数的形式，以近似地计算函数的值。

常用函数的泰勒展开公式在数学、物理、工程等领域中应用广泛，是理解和计算各种函数的重要工具。

泰勒展开公式是由苏格兰数学家詹姆斯·格雷戈里·泰勒在18世纪提出的，它是基于函数在特定点的导数值来逼近函数值。

泰勒展开公式通常使用函数的无限次导数来定义，对于n次可导函数f(x)，其在特定点a处的泰勒展开公式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)2/2!+f'''(a)(x-a)3/3!+...其中，f(a)代表函数在点a处的值，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别代表函数在点a处的一阶、二阶、三阶导数值。

从第二项开始，每一项都乘以(x-a)的幂次和导数的阶乘倒数，这样形成了无限级数。

泰勒展开公式的优点是在给定点附近，可以用多项式近似表示函数。

当我们考虑到更多项时，多项式的逼近就越精确。

当我们使用所有项时，泰勒展开公式实际上给出了函数在该点附近的精确值。

但泰勒展开公式的缺点是，它只能在给定点的一些范围内提供给定函数的逼近值。

此外，高阶导数的计算可能会很复杂，特别是对于高阶导数没有显式表达式的函数。

泰勒展开公式的应用非常广泛，以下是几个常用函数的泰勒展开公式：1.指数函数展开公式：e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+...这是函数e^x在x=0处的泰勒展开公式。

由于e^x的导数是它自己，所以这个级数收敛于e^x本身。

2.三角函数展开公式：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这是函数sin(x)在x=0处的泰勒展开公式。

该级数收敛于sin(x)在其收敛区间内的所有点。

三角函数公式三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。

它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。

而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

定义式锐角三角函数任意角三角函数图形直角三角形任意角三角函数正弦（sin）余弦（cos）正切（tan或tg）余切（cot或ctg）正割（sec）余割（csc）表格参考资料来源：现代汉语词典[1]．函数关系倒数关系：①；②；③商数关系：①；②．平方关系：①；②；③．诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2]．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。

形如2k×90°±α，则函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．以诱导公式二为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π+α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．以诱导公式四为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP,设旋转角为。

，设OP=r, P点的坐标为(x, y)有正弦函数sin 0 =y/r余弦函数cos 0 =x/r正切函数tan 0 =y/x余切函数cot 0 =x/y正割函数sec 0 =r/x余割函数csc 0 =r/y(斜边为r,对边为y,邻边为x。

)以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versin 0 =-1sos 0余矢函数covers 0 =-sin 0正弦(sin):角a的对边比上斜边余弦(cos ):角a的邻边比上斜边正切(tan):角a的对边比上邻边余切(cot)：角a的邻边比上对边正割(sec):角a的斜边比上邻边余割(csc ):角a的斜边比上对边［编辑本段］同角三角函数间的基本关系式：平方关系：sin2( a )+cos2( a )=1 cos2(a)=(1+cos2a)/2tan2( a )+1=sec2( a ) sin2(a)=a)s2a)/2cot2( a )+1=csc2() a积的关系：sin a =tan a *cos acos a =cot a *sin atan a =sin a *sec acot a =cos a *csc asec a =tan a *csc acsc a =sec a *cot a倒数关系：tan a - cot a =1sin a - csc a =1cos a - sec a =1直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角A的对边比斜边，余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边，三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos( a + 3 )=cos a - 68孑1阪-sin。

cos(佑3 )=cos a - cos 3 +sin a - sin 6sin( a ± 3 )=sin a - cos 3 土cos a - sin 6tan( a + 3 )=(tan a +tan -tj)/(1a - tan 3 )tan( « 3 )=(tan -tan 3 )/(1+tan a - tan 3 )三角和的三角函数：sin( a + 3 + r )=sin a - cos 3 • cos 丫+cos a - sin 3• cos丫+-sins a - cos3 •sin 丫cos( a + 3 + r )=cos a - cos 3-cocos 丫sin 3 -si n a -cos 3-sir m a •sin 3 - cos 丫tan( a + 3 + r )=(tan a +tan 3 -taainar tan 3 -tar-tan)/(1 • ta-itan 3•taritan r - tan a )辅助角公式：Asin a +Bcos a =(A2+B2)A(1/2)sin( % +巾sint=B/(A2 +B2)A(1/2)cost=A/(A2 +B2)A(1/2)tant=B/AAsin a +Bcosa =(A2+B2)A(1/2)cos( -t)% tant=A/B倍角公式：sin(2 a )=2sin a - cos a =2/(tan a +cot a )cos(2 a )=cos2( -siT2( a )=2cos2(-1=1-2sin2( a)tan(2 a )=2tan a *1n2( a )]三倍角公式：sin(3 a )=3sin-4sin3( a)cos(3 a )=4cos3( «3)cos a半角公式：sin( a /2)= 土vb@s a )/2)cos( a /2)= ±V ((1+cos a )/2)tan( a /2)= 土Vc(os a )/(1+cos a ))=sin a /(1+cos -c^s( 1 )/sin a降藉公式sin2( a )=(tos(2 a ))/2=versin(2 a )/2cos2( a )=(1+cos(2 a ))/2=covers(2 a )/2tan2( a )=(-cos(2 a ))/(1+cos(2 a ))万能公式：sin a =2tan( a /2)/[1+tan2( a /2)]cos a =[1-tan2( a /2)]/[1+tan2( a /2)]tan a =2tan( a /2)/-1an2( a /2)]积化和差公式：sin a - cos 3 =(1/2)[sin( a + 3-)+sn( acos a - sin 3 =(1/2)[sin( -sin+俭8 )]cos a - cos 3 =(1/2)[cos( a + 3 )+<^$1 asin a - sin-(1/2)[cos( a +■ cos( o- 3 )]和差化积公式：sin a +sin 3 =2sin[( a + 3 )/2]co$[0/2] asin a-sin 3 =2cos[( a + 3 )/2]sin{© )/2卜cos a +cos 3 =2cos[( a + 3 )/2]cos[(。

正切函数泰勒公式展开式
正切函数是一个重要的三角函数，其泰勒公式展开式在数学和工程学科中得到广泛应用。

正切函数的泰勒公式展开式由无穷多项式构成，可用于计算正切函数在任意点处的近似值。

泰勒公式展开式一般形式如下：
tan(x) = x + x^3/3 + 2x^5/15 + 17x^7/315 + ...
其中，x表示正切函数的自变量，^表示指数运算，/表示除法运算。

展开式中的每一项都是x的幂次方，且系数随幂次递增。

泰勒公式展开式的截断误差随着幂次的增加而减小，因此可以通过增加幂次的方式提高近似精度。

在实际应用中，通常只考虑展开式的前几项，以保证计算效率和准确性。

正切函数的泰勒公式展开式是一类重要的无穷级数，展开式的求解方法和应用范围在数学和工程学科中都有广泛研究和应用。

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tanx的泰勒展开式公式泰勒展开式是高等数学中的重要概念，它在近似计算和函数分析等领域有着广泛的应用。

其中，tanx的泰勒展开式是指将tan函数在某一点x0处展开成无穷级数的形式。

在本文中，我们将详细介绍tanx的泰勒展开式及其应用。

我们来看一下tan函数的定义：tanx等于正弦函数sinx与余弦函数cosx的比值，即tanx = sinx / cosx。

在数学中，tan函数的定义域为所有实数，但在实际应用中一般考虑其在特定范围内的取值。

对于tanx的泰勒展开式，我们需要选择一个展开点x0，然后对tanx在x0处进行展开。

展开点的选择很重要，一般来说，我们选择x0=0或者x0=π的倍数，这样可以简化计算。

接下来，我们将详细介绍tanx在x0=0处的泰勒展开式。

根据泰勒展开式的定义，我们可以将tanx在x0=0处展开成无穷级数的形式。

具体表达式如下：tanx = x - (x^3) / 3! + (x^5) / 5! - (x^7) / 7! + ...在这个级数中，每一项都是x的幂次方除以相应的阶乘，且奇数次项前面的系数带有正负号交替出现。

这个级数是无穷级数，即可以一直延伸下去。

通过截取级数中的有限项，我们可以得到tanx的近似计算值。

截取的项数越多，计算结果越接近真实值。

但是需要注意的是，级数截取的项数不能无限增加，因为级数的收敛性需要满足一定条件。

除了近似计算外，tanx的泰勒展开式还有其他应用。

比如，在物理学中，泰勒展开式可以用于描述一些复杂的物理现象。

在工程领域，泰勒展开式可以用于建模和优化问题。

在计算机科学中，泰勒展开式可以用于编程算法的设计和优化。

需要注意的是，tanx的泰勒展开式并不是在所有点上都收敛。

在某些点上，级数可能发散或者收敛到tan函数的其他值。

因此，在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的展开点，确保级数的收敛性。

总结起来，tanx的泰勒展开式是一种将tan函数在某一点展开成无穷级数的方法。