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期多大？(行星看做标准球体)
.
13
解析：在赤道上弹簧测力计的示数：
F＝ G
mM R2
mR
4 2
T
2 0
①
在 两 极 上 弹 簧 测 力 计 的 示 数 ： F ＝ G
mM R2
②
有 F ( 1－9 % )＝ F ③
加
快
后周
期为
T，
则
：
G
mM R2
mR
4 2
T
2 0
④
由 ① ② ③ ④ 得 ： T＝0 .3T0＝2 .4 h .
表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为（B ）
A． 400g
B. 1 g 400
C． 20g
D. 1 g 20
.
11
解
析
：
令
小
行
星
的
半
径
为
R 2，
质
量
为
M
，
2
它
表
面
的
重
力
加
速
度
为
g
，
2
密
度
为
，
2
地
球
的
质
量
为
M
，
密 度 为 .则
地
球
表
面
处
重
力
加
速
度
为Leabharlann g＝GM R2，地
球 的 密 度 为 ＝ M V
均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这
些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系
的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别 是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0 和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道 半径．下列4幅图中正确的是( )

二：当物体环绕天体做匀速圆周运动时，中心天体对物体的 万有引力提供向心力
G
Mm r2
2 v2 4 m m 2 r m 2 r man mv r T
一：求天体质量的方法
⑴测量其一颗绕行星的轨道半径r和周期T
G
Mm r
2
m
4 2 T
2
r
M
4 2 r 3 GT 2
⑵测量天体表面的重力加速度和天体的半径R
思考：如果某一天你登上了火星，需要什 么工具可以测出火星表面的重力加速度？
2、同一星球不同轨道上的重力加速度
mg0 G
Mm r
2
g0
GM r2
eg4:地球表面处的重力加速度为g，则在距地面高度 等于地球半径处的重力加速度为（ ） A. g B. g/2 C. g/4 D. 2g 3、卫星的向心加速度即为轨道处的重力加速度
考点2：
a3 k 2 T
对同一中心天体，K值相同
eg3：已知木星绕太阳的公转周期是地球绕太阳公转周期的 12倍，则木星轨道半长轴是地球轨道半长轴的多少倍？
a木 3 a地 3 2 2 T木 T地
a木 a地
T木 2 3 T地 2
3 144
关于开普勒行星定律的说明： ①不仅适用于行星绕太阳运动，也适用于卫星绕地球运动。 ②开普勒定律是根据行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律， 不是实验得出的。 eg4:关于开普勒定律，下列说法正确的是（ ） A.开普勒定律是根据长时间连续不断的、对行星位置观测记录的 大量数据，进行计算分析后获得的结论 B.根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中， 其速度随行星与太阳之间距离的变化而变化，距离小时速度大， 距离大时速度小 C.行星绕太阳运动的轨道，可以近似看做为圆，即可以认为行星 绕太阳做匀速圆周运动 D.开普勒定律，只适用于太阳系，对其他恒星系不适用；行星的 卫星（包括人造卫星）绕行星的运动，是不遵循开普勒定律的

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考点二：天体表面的重力加速度问题
(一)求天体表面某高度处的重力加速度
• 【典型例题】(2015· 重庆高考)宇航员王亚平在“天宫1
号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完 全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面 高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G， 则飞船所在处的重力加速度大小为( ) • A．0 B． GM
解析
选AC 因r月＞r同＞r卫，由开普勒 第三定律a3 / T2＝k可知，T月＞T同 ＞T卫，又同步卫星的周期T同＝T地， 故有T月＞T地＞T卫，选项A、C正确。
小试身手
• 【典型例题3】将火星和地球绕太阳的运动近似看
成是同一平面内的同方向绕行的匀速圆周运动， 已知火星的轨道半径r1＝2.3×1011 m，地球的 轨道半径为r2＝1.5×1011 m，根据你所掌握的 物理和天文知识，估算出火星与地球相邻两次 距离最小的时间间隔约为( ) • A．1年 B．2年 • C．3年 D．4年
解析
选C 太阳位于木星运行轨道的一个焦 点上，A错误；不同的行星对应不同的 运行轨道，运行速度大小也不相同，B 错误；同一行星与太阳连线在相等时间 内扫过的面积才能相同，D错误；由开 普勒第三定律a3 / T2＝k知C正确。
小试身手
• 【典型例题2】(多选)如图所示，近地人造卫星和
月球绕地球的运行轨道可视为圆。设卫星、月 球绕地球运行周期分别为T卫、T月，地球自转 周期为T地，则( ) A．T卫＜T月 B．T卫＞T月 C．T卫＜T地 D．T卫＝T地
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考点一：开普勒行星运动定律
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道 处理。 2．开普勒行星运动定律也适用于其 他天体，例如月球、卫星绕地球的运 动。 3．开普勒第三定律a3 / T2＝k中，k值 只与中心天体的质量有关，不同的中 心天体k值不同。

在地球赤道上，GMRm2 －mg＝m2Tπ2R，地球的质量 M＝43πR3ρ，
联立三式可得 ρ＝G3πT2g0g－0 g，选项 B 正确。
4．我国探月的“嫦娥工程”已启动，在不久的将来，我国
航天员将登上月球。若某位航天员随登月飞船登陆月球后，在
月球某水平表面上方 h 高处以速度 v0 水平抛出一个小球，小球 落回到月球表面的水平距离为 s，将月球视为密度均匀、半径为
专题三 万有引力定律
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路 (1)F 万＝F 向，即 GMr2m＝man＝mvr2＝mω2r＝m4πT22r。 (2)在中心天体表面或附近运动时 GMRm2 ＝mg。
2．天体质量和密度的计算 (1)由 GMRm2 ＝mg 得天体质量 M＝gGR2，天体密度 ρ＝MV ＝ 43πMR3＝4π3gGR。 (2)由 GMr2m＝m4Tπ2 2r 得中心天体质量 M＝4GπT22r3，天体的平 均密度 ρ＝MV ＝43πMR3＝G3πT2Rr33。
解析：选 A 地球同步卫星相对地球静止，同步卫星的 周期 T 必与地球自转周期相同，为定值，绕地球做匀速圆周 运动，由万有引力提供向心力，设地球半径为 R，同步卫星离 地面的高度为 h，于是有 h＝3 G4MπT22－R，其中 M、R、T 均 为定值，所以同步卫星离地面的高度为定值，线速度的大小 为定值，故①正确，②错误；假设同步卫星在除赤道所在平 面外的任意点实现了同步，它的运动轨道平面与赤道所在平
一、选择题(本题共 7 个小题，第 1～5 题只有一项符合题 目要求，第 6～7 题有多项符合题目要求)
1．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力
加速度是地面上重力加速度的 4 倍，则该星球的质量将是地球质
量的( )

第二十一页，共三十六页。
1．[估算天体质量] (2018·浙江 4 月选考)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每 16 天绕
土 则卫星 土星一 星绕周 的土， 质星其 量运公 约动转 为，轨(土B道星半的) 径引约力为提供1.2卫×星10做6 圆km周，运已动知的引向力心常力量，G设＝土6星.67质×量10为－11MN，·mG2RM/k2mg2，
约为( C )
代入可得 ρ≈5×1015 kg/m3，故 C 正确．
A．5×109 kg/m3
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
12/9/2021
第二十三页，共三十六页。
3大“．工慧[天程眼体建”质设卫量捷星和报的密频向度传心的，加综“速合慧度计眼大算”]小卫为习星近a邀＝平游(2主T太π席)空2 在r．＝2“40Tπ1慧228r，眼年选”新于项年贺2A0词1正7中确年提；6到根月，据1科5G日技M在创r2m酒新＝泉、m重卫4Tπ22r
第十四页，共三十六页。
(1)在赤道上：GMRm2 ＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：GMRm2 ＝mg2. (3)在一般位置：万有引力 GMRm2 等于重力 mg 与向心力 F 向的矢量和． 越靠近南北两极 g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引 力近似等于重力，即GRM2m＝mg.
12/9/2021
第十七页，共三十六页。
2．[万有引力定律的应用] (2018·高考北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与 若“使想苹检果验落“地使的月力球”绕遵地循球同运样动的的规力律”，与在已“知使月苹地果距落离地约的为力地”球遵半循径同60样倍的的规情律况—下—，万需有

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41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

答案：D
物理
第4节
万有引力定律及其应用
2．(多选)(2013· 浙江高考)如图 442 所示，三颗质量均为 m 的地 球同步卫星等间隔分布在半径为 r 的圆轨 道上，设地球质量为 M，半径为 R。下列 说法正确的是 ( ) GMm A．地球对一颗卫星的引力大小为 r－R2 GMm B．一颗卫星对地球的引力大小为 2 r Gm2 C．两颗卫星之间的引力大小为 2 3r 3GMm D．三颗卫星对地球引力的合力大小为 r2
第4节
万有引力定律及其应用
第4节
万有引力定律及其应用
万 有 引 力 定 律 及 其 应 用
物理
第4节
万有引力定律及其应用
万 有 引 力 定 律 及 其 应 用
物理
第4节
万有引力定律及其应用
(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。
(√ )
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的， 离太阳越远， 运行速率 越大。
物理
(
)
第4节
万有引力定律及其应用
解析：太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误；不同的 行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B 错误； 同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D 错 r火3 r木3 T火2 r火3 误；由开普勒第三定律得： 2＝ 2，故 2＝ 3，C 正确。 T火 T木 T木 r木
物理
3 3 2 4
3
第4节
万有引力定律及其应用
要点三
天体表面的重力加速度问题
重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说 重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球 自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下 GMm 认为重力约等于万有引力，即 mg＝ 2 ，这样重力加速度 R 就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。

相对论对万有引力定律的修正
添加项标题
相对论的基本原理：光速不变原理和相对性原理
添加项标题
相对论对万有引力定律的修正：引入时空弯曲的概念，将万有引力解释为时空弯曲的结果
添加项标题
相对论对万有引力定律的修正：引入引力波的概念，将万有引力解释为引力波的传播
添加项标题
相对论对万有引力定律的修正：引入等效原理，将万有引力解释为惯性力与引力的等效
宇宙学观测：通过对宇宙大尺度结构的观测，验证了万有引力定律在宇宙尺度பைடு நூலகம்的适用性
引力波探测：通过探测引力波，验证了广义相对论对万有引力的解释，进一步支持了万有引 力定律的正确性
万有引力定律的实际应用和 未来发展
第七章
万有引力定律在航天工程中的应用
轨道计算：利用万 有引力定律计算卫 星、航天器的轨道
太阳系行星轨道的预测：根据万有引力定律，结合行星的初始位置、速度和加速度等参数，可以预 测行星的未来轨道。
太阳系行星轨道的计算和预测的应用：在航天领域，可以预测航天器的轨道，提高航天任务 的成功率；在地球科学领域，可以研究地球的引力场，了解地球的内部结构和演化历史。
太阳系行星轨道的计算和预测的挑战：由于太阳系行星的运动非常复杂，需要考虑到其他行星的引 力作用、太阳风和宇宙射线等外部因素的影响，因此计算和预测的准确性需要不断提高。
局限性：万有引 力定律在微观世 界和高速运动中 不适用，需要引 入相对论和量子 力学进行修正。
万有引力常数G的物理意义
万有引力常数G是描述万有引力强度的常数 G的大小决定了万有引力的大小 G的值是自然界的基本常数之一 G的值可以通过实验测量得到
万有引力定律的适用范围和 局限性
第四章
万有引力定律的适用范围

B.从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大
C.从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小
D.从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功
1
结论：同一椭圆轨道，物体靠近中心天体的 轨道运动时间
4
轨道运动时间
<
1

4
<
1
远离中心天体的
4
例2 (多选)如图2所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、
资( D )
A.质量比静止在地面上时小
B.所受合力比静止在地面上时小
C.所受地球引力比静止在地面上时大
D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
角度
“挖补法”求解万有引力
例4 有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球
心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半
径为0.5R的小球体，如图3所示，引力常量为G，则剩余部
3
T代表公转周期，即 2

= ��(其中，比值k是一个与行星无关的常量)
（2）对开普勒第三定律的理解
开普勒三定律不仅适用于行星，也适用于其他天体。例如对于木星的所有卫星来说，
a3
它们的 2 一定相同，但常量k的值跟太阳系各行星绕太阳运动的k值不同．开普勒恒量k
T
的值只跟(行星运动时所围绕的)中心天体的质量有关．不同的中心天体k值不同。但该
相互性:两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小
相等，方向相反，分别作用在两个物体上
宏观性:一般物体间的万有引力非常小，只有质量巨大的星球间或天体
与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的
质量都非常小，万有引力可以忽略不计

A. 火星的密度和火星表面的重力加速度
B. 火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C. 火星的半径和“萤火一号”的质量
D. 火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
解析：由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有
G
Mm (R1＋h1)2
＝m
2π
T1
2(R＋h1)；G
Mm (R1＋h2)2
G4rGMπ3M2r→3→ωT∝∝1r3r3越慢高越
mg→g＝GrM2 →g∝r12
mg＝GRM2地m 近地时
GM＝gR2地
3. 两种向心加速度的比较
卫星的向心加速度 物体随地球自转的向心加速度
产 生
万有引力
万有引力的一个分力 (另一个分力为重力)
方 向
指向地心
垂直指向地轴
大 a＝g′＝(地面附近a a＝ωr，其中r为地面上某点到地
万有引力定律在天文学上的应用
1. 基本方法 把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需 向心力由万有引力提供. 2. 解决天体圆周运动问题的两条思路
(1)在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很
小，在一般讨论和计算时，可以认为GMRm2 ＝mg，则有GM＝gR2.
(2)天体做圆周运动的向心力由天体间的万有引力来提供，公式 为GMr2m＝mvr2＝mrω2＝m2Tπ2r＝m(2πf)2r.
A. 精确秒表一只
B. 质量为m的物体一个
C. 弹簧秤一只
D. 天平一架(包括砝码一套)
已知宇航员在绕行及着陆后各做一次测量，根据所测量的数 据可以求出该星球的质量M、半径R(已知引力常量为G).
(1)两次测量的物理量分别为________．