甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试(二)数学(文)试卷及答案解析.

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为 ，曲线C2的直角坐标方程为 .
（1）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；
（2）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求 的取值范围.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）.
21．已知函数 （ 且 ）.
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若 ，讨论函数 的单调性与单调区间；
（Ⅲ）若 有两个极值点 、 ，证明： .
A． B．
C． D．
11．已知点 ，抛物线 ， 为抛物线的焦点， 为抛物线的准线， 为抛物线上一点，过 作 ，点 为垂足，过 作 的垂线 ， 与 交于点 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
12．已知定义在 上的函数 ， 是 的导函数，且满足 ， ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
13．已知函数 ，则 _____.
0.75
0.6
0.3
草地植被指数
1.1
4.3
15.6
31.3
49.7
根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为 ，去掉第一年数据后得到的相关系数为 ，则 ；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a.

2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1,2,3},B={x|−1≤x<3}则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. ⌀2.已知z=1−i，则|z|等于()A. 2B. √2C. 1D. 03.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(2,m)，则“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α=()A. −4√3B. −√32C. 4√3 D. √325.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(√3,1)，则该双曲线的离心率为()A. √5B. 2C. √3D. √26.已知函数f(x)=cosπx4，集合A={2,3，4，5，6}，现从集合A中任取两数m，n，且m≠n，则f(m)⋅f(n)≠0的概率为()A. 310B. 715C. 35D. 7107.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是()A. DB. EC. FD. A8. 已知函数，若f(a)=12，则a 的值为( )A. −1B. √2C. −1或√2D. −1或129. 如图，圆锥的底面直径AB =4，高OC =2√2，D 为底面圆周上的一点，且∠AOD =2π3，则直线AD 与BC 所成的角为( )A. π6B. π3C. 5π12D. π210. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx 的最小正周期为π.则函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围是( )A. [−2,2]B. [−2,√3]C. [−√3,2]D. [−√3,√3]11. 过焦点为F 的抛物线y 2=12x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若直线NF 的斜率为−√33，则|MF|=( )A. 2B. 2√3C. 4D. 4√312. 函数f(x)=xe −x ，x ∈[0,4]的最小值为( )A. 0B. 1eC. 4e 4D. 2e 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)={−e x ,x >0x 2−1,x ≤0，则f(f(ln2))=________．14. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(m,−6)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|2a ⃗ +b ⃗ |=______．15. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2+b 2−c 2=√3ab ，则∠C = ． 16. 如图所示，在△ABC 中，C =π3，BC =4，点D 在边AC 上，AD =DB ， DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE =2√2，则cos A =________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等差数列{a n}中，a4+a5=4a2,2a3−a6=1.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+118.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PC=2√7，E，F分别是棱PC，AB的中点．(1)证明：直线EF//平面PAD；(2)求三棱锥P−AEF的体积．19.某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据(单位：小时).根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．(1)估计该校学生每周平均使用手机上网时间(每组数据以组中值为代表)；(2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；(3)将每周使用手机上网时间在(4,12]内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4]内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中，有25名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机15合计25．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.10.050.0100.005k0 2.7063.8416.6357.87920.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F1(2,0)，离心率为e．(1)若e=√22，求椭圆的方程；(2)设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k，若k≥√3，求e的取值范围．21.已知函数．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性与极值点．22. 已知过点P (0,−1)的直线的参数方程为{x =12ty =−1+√32t(t 为参数)，在以坐标原点OI 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)．(1)当a =2时，求不等式f(x)>8的解集；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题，利用交集定义直接求解．解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x|−1≤x<3}，∴A∩B={0,1，2}．故选：B．2.答案：B解析：解：∵z=1−i，∴|z|=√12+(−1)2=√2故选：B由条件代入复数的模长公式可得．本题考查复数的模长公式，属基础题．3.答案：B解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m，即可判断出结论．解：a⃗+b⃗ =(1,3+m)，∵b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，∴b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m=−1或−2，∴“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的充分不必要条件．故选：B．4.答案：A解析：本题考查同角三角函数的基本关系，是基础题．利用同角三角函数的基本关系式，求出sinα，然后得到tanα，即可求解，解：由有sinαcosπ3−cosαsinπ3=−3(cosαcosπ6+sinαsinπ6)，故12sinα−√32cosα=−3√32cosα−32sinα，则有2sinα=−√3cosα，显然cosα≠0，所以tanα=−√32，故tan2α=2tanα1−tan2α=−√31−34=−4√3，故选A．5.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．由条件求得b=√3a，进一步即可求离心率．解：双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线：by−ax=0，渐近线经过点(√3,1)，可得b=√3a，即b2=3a2，可得c2−a2=3a2，所以：c2=4a2，c=2a，所以双曲线的离心率为：e=ca=2．故选：B．6.答案：A解析：解：∵集合A={2,3，4，5，6}，现从集合A中任取两数m，n，且m≠n，∴基本事件总数N=A52=20，∵函数f(x)=cosπx 4，∴f(m)⋅f(n)≠0包含的基本事件有： (3,4)，(4,3)，(3,5)，(5,3)，(4,5)，(5,4)， 共有M =6个，∴f(m)⋅f(n)≠0的概率为p =M N=620=310．故选：A ．先求出基本事件总数，再用列举法求出f(m)⋅f(n)≠0包含的基本事件的个数，由此能求出f(m)⋅f(n)≠0的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．7.答案：B解析：本题主要考查回归直线和相关系数，属于基础题． 根据散点图分析即可得解．解：因为点E 到回归直线的距离最远，所以去掉点E ，余下的5个点所对应的数据的相关系数最大． 故选B ．8.答案：C解析：本题考查分段函数，已知函数值求解自变量的值，属于基础题． 根据分段函数讨论计算f(a)=12可得结论． 解：当a >0时，f(a)=12，即，解得a =√2，当a ⩽0时，f(a)=12，即2a =12，解得a =−1， 综上，a =√2或a =−1． 故选C ．9.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．取AB 弧的中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两条直线AD 与BC 所成的角．解：如图，取AB 弧的中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系．∵AB =4，OC =2√2，∠AOD =2π3，∴A(0,−2,0)，B(0,2，0)，C(0,0，2√2)， D(√3,1，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2√2)，∴cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= 62√3×2√3= 12， ∴空间中两条直线AD 与BC 所成的角为π3， 故选：B.10.答案：C解析：解：∵函数f(x)=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)的最小正周期为2πω=π， ∴ω=2，函数f(x)=2sin(2x +π6). ∵x ∈[−π4,π4]，∴2x +π6∈[−π3,2π3]，∴2sin(2x +π6)∈[−√3,2]．即函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围是[−√3,2]，故选：C．根据函数的最小正周期为π求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围．本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．11.答案：C解析：解：抛物线y2=12x的焦点坐标(3,0)，则DF=6，直线NF的斜率为−√33，可得DN=2√3，则抛物线y2=12x可得：12=12x，解得x=1，所以M(1,2√3)，|MF|=|MN|=3+1=4．故选：C．利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解|MF|即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.答案：A解析：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于基础题．求出函数的导数，根据其单调性即可求解函数的最值．解：因为f′(x)=1−xe x，当x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1,4]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，因为f(0)=0，f(4)=4e4>0，所以当x=0时，f(x)有最小值，且最小值为0，故选A．13.答案：3解析：本题考查分段函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．判断ln2的范围，求出，即可求出结果．解：∵f(x)={−e x ,x >0x 2−1,x ≤0，， ，∴f(f(ln2))=f(−2)=4−1=3．故答案为3．14.答案：13解析：解：∵向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(m,−6)，a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b⃗ =2m −18=0， 解得m =9，∴2a ⃗ +b ⃗ =(13,0)|2a ⃗ +b ⃗ |=√132+02=13．故答案为：13．由a ⃗ ⊥b ⃗ ，求出m =9，从而2a ⃗ +b ⃗ =(13,0)，由此能求出|2a ⃗ +b ⃗ |的值．本题考查向量的模的求法，考查平面向量坐标运算法则，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.答案：π6解析：本题考查余弦定理，属于基础题．由余弦定理即可求解．解： 因为a 2+b 2−c 2=√3ab ，所以由余弦定理有cosC =a 2+b 2−c 22ab =√3ab 2ab =√32，又0<C <π，所以C =π6．故答案为π6．16.答案：√64解析：由已知可得∠A =∠ABD ，∠BDC =2∠A ，设AD =BD =x ，由正弦定理在△BCD 中4sin2A =x sin60°，在△AED 中，可得2√2sinA =x 1，联立即可解得cos A 的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．解：∵C =π3，BC =4，点D 在边AC 上，AD =DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，DE =2√2， ∴∠A =∠ABD ，∠BDC =2∠A ，设AD =BD =x ，∴在△BCD 中，BC sin∠CDB =BD sinC ，可得：4sin2A =x sin60°，①在△AED 中，ED sinA =AD sin∠AED =，可得：2√2sinA =x 1，② ∴联立可得：42sinAcosA=2√2sinA √32，解得：cosA =√64． 故答案为√64．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵由{a 4+a 5=4a 22a 3−a 6=1, ∴得{2a 1−3d =0a 1−d =1, ∴解得a 1=3,d =2，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n +1;(2)∵b n =1a n a n+1 =1(2n +1)(2n +3)=12(12n+1−12n+3)，∴{b n }的前n 项和：S n =12(13−15+15−17+⋯+12n +1−12n +3) =12(13−12n+3)=n 6n+9， ∴S n =n 6n+9．解析：本题考查了等差数列的通项公式，以及利用裂项相消法求数列的和，属于中档题．(1)由条件，得到{2a 1−3d =0a 1−d =1，解得a 1=3,d =2，从而得到通项公式； (2)由题意得到b n =1a n a n+1=12(12n+1−12n+3)，利用裂项相消法，得到数列的和．18.答案：(1)证明：如图，取PD 中点为G ，连结EG ，AG ，则EG//CD,EG =12CD,AF//CD,AF =12CD ，所以EG 与AF 平行与且相等，所以四边形AGEF 是平行四边形，所以EF//AG ，AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF//平面PAD ．(2)连结AC ，BD ，交于点O ，连结EO ，因为E 为PC 的中点，所以EO 为△PAC 的中位线，又因为PA ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，即EO 为三棱锥E −AFC 的高．在菱形ABCD 中可求得AC =2√3，在Rt △PAC 中，PC =2√7，所以PA =√PC 2−AC 2=4,EO =2所以S △ACF =12S △ABC2=12×12×AB ×BCsin∠ABC =√32， 所以V C−AEF =V E−ACF =13S △ACF ×EO =13×√32×2=√33．解析：【试题解析】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力．(1)取PD 中点为G ，连结EG ，AG ，证明四边形AGEF 是平行四边形，得到EF//AG ，然后证明EF//平面PAD ．(2)连结AC ，BD ，交于点O ，连结EO ，说明EO 为三棱锥E −AFC 的高．通过V C−AEF =V E−ACF .转化求解即可．19.答案：解：(1)根据频率分布直方图，计算 x =1×0.025×2+3×0.100×2+5×0.150×2+7×0.125×2+9×0.075×2+11×0.025×2=5.8；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8小时；(2)由频率分布直方图得1−2×(0.100+0.025)=0.75，估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率为0.75；(3)根据题意填写2×2列联表如下，由表中数据，计算K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(65×15−10×10)275×25×75×25≈21.78>3.841， ∴有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．解析：(1)根据频率分布直方图，计算平均数即可；(2)由频率分布直方图求得对应的频率值； (3)根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．20.答案：解：(1)由e =√22=c a，c =2，得a =2√2，b =√a 2−c 2=2． 故所求椭圆方程为x 28+y 24=1．(2)设A(x 1,y 1)，则B(−x 1,−y 1)，故M(x 1+22,y 12)，N(2−x 12,−y12)． ①由题意，得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.化简，得x 12+y 12=4，∴点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． ②设A(x 1,y 1)，则{y 1=kx 1x 12a 2+y 12b 2=1x 12+y 12=4得到1a 2+k 2b 2=14(1+k 2)．将e=ca =2a，b2=a2−c2=4e2−4，代入上式整理，得k2(2e2−1)=e4−2e2+1；∵e4−2e2+1>0，k2>0，∴2e2−1>0，∴e>√22．∴k2=e4−2e2+12e2−1≥3，化简得{e4−8e2+4≥02e2−1>0，解之得12<e2≤4−2√3，√22<e≤√3−1．故离心率的取值范围是(√22,√3−1]．解析：(1)利用离心率的计算公式e=ca及b2=a2−c2即可得出椭圆的标准方程；(2)利用①的结论，设出直线AB的方程与椭圆的方程联立即可得出关于a、b与k的关系式，再利用斜率与a、b的关系及其不等式的性质即可得出．熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、参数a、b、c的关系、中点坐标公式、直线方程、离心率的计算公式、不等式的基本性质是解题的关键．21.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=x+1x ，f′(x)=1−1x2，则f(2)=2+12=52，f′(2)=1−14=34，∴切线方程为y−52=34(x−2)，整理得：3x−4y+4=0；(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a−1x +1−ax2=(x+a)(x−1)x2，当a≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，此时f(x)的极小值点为1，无极大值点；当a<0时，令f′(x)=0，x=−a或x=1，(i)若−1<a<0，则−a<1，f(x)在(0,−a)和(1,+∞)上单调递增，在(−a,1)上单调递减，此时f(x)的极小值点为1，极大值点为−a；(ii)若a =−1，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)无极值；(iii)若a <−1，则−a >1，f(x)在(0,1)和(−a,+∞)上单调递增，在(1,−a)上单调递减，此时f(x)的极小值点为−a ，极大值点为1．综上可得，当a ≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，此时f(x)的极小值点为1，无极大值点；当−1<a <0时，f(x)在(0,−a)和(1,+∞)上单调递增，在(−a,1)上单调递减，此时f(x)的极小值点为1，极大值点为−a ；当a =−1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)无极值；当a <−1时，f(x)在(0,1)和(−a,+∞)上单调递增，在(1,−a)上单调递减，此时f(x)的极小值点为−a ，极大值点为1．解析：本题考查导数的几何意义和曲线切线的求法，考查利用导数研究函数单调性、极值，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)当a =1时，直接求出f ′(x)从而确定f(2)和f ′(2)，利用点斜式方程即可求出切线方程；(2)分类讨论，当a ≥0时，当a <0时，再分情况讨论−1<a <0，a =−1，a <−1三种情况下，确定f(x)的单调性和极值点.22.答案：解：(1)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)．∴2aρsinθ−ρ2cos 2θ=0．即x 2=2ay(a >0)．(2)将{x =12t y =−1+√32t代入x 2=2ay ， 得t 2−4√3at +8a =0，得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a.①． ∵a >0，∴解①得a >23．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM|⋅|PN|，即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴(t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2，即(4√3a)2−40a =0，解得a =0或a =56．∵a >23， ∴a =56.解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线的参数方程及其应用，一元二次方程根与系数的关系的应用．(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；(2)利用直线和曲线的位置关系，把方程组转换为一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果． 23.答案：解：(1)f(x)>8即|x +1|+|x −2|>8，当x ≥2时，x +1+x −2>8，解得x >92；当−1<x <2时，x +1+2−x >8，解得x ∈⌀；当x ≤−1时，−x −1+2−x >8，可得x <−72．综上可得，原不等式的解集为{x|x >92或x <−72}；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，可得f(x)min ≤32，由f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)≥|x +1−x +a|=|1+a|=a +1，当−1≤x ≤a 时，f(x)取得最小值a +1，由a+1≤3，2，可得0<a≤12].即a的范围是(0,12解析：本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用：求最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．(1)去绝对值，讨论x的范围，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f(x)min≤3，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值，解不等式可得a的范围．2。

2020 年甘肃省兰州一中高考数学最后冲刺试卷（文科）（6 月份）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A={x|-3＜x＜6}，B={x|2＜x＜7}，则 A∩（∁RB）=（ ）A. （2，6）B. （2，7）C. （-3，2]D. （-3，2）2. 已知复数 z1=-1+i，复数 z2 满足 z1z2=-2，则|z2|=（ ）A. 2B.C.D. 103. 已知正项等比数列{an}满足 a3＝1，a5 与 的等差中项为 ，则 a1 的值为（ ）A. 4B. 2C.D.4. 已知命题 p：∃x∈R，2-x＞ex，命题，则（ ）A. 命题 p∧￢q 是真命题 C. 命题 p∨q 是假命题B. 命题 p∨￢q 是假命题 D. 命题 p∧q 是真命题5. 设数列{an}满足 a1+2a2=3，且对任意的 n∈N*，点 Pn（n，an）都有，则{an}的前 n 项和 Sn 为（ ）A.B.C.D.6. 已知函数 f（x）是 R 上的偶函数，且对任意的 x∈R 有 f（x+3）=-f（x），当 x∈（-3，0）时，f（x）=2x-5，则 f（8）=（ ）A. -1B. -9C. 5D. 117. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则 a 的可能值为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7第 1 页，共 16 页8. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”， 已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （）A. 4 B. C. D. 29. 将函数 f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度得到 g（x）图象，则下列判断错误的是（）A. 函数 g（x）的最小正周期是 π B. g（x）图象关于直线 x= 对称C. 函数 g（x）在区间[- ， ]上单调递减D. g（x）图象关于点（ ，0）对称10. 已知非零向量 ， 的夹角为 60°，且满足| -2 |=2，则 • 的最大值为（ ）A.B. 1C. 2D. 311. 已知双曲线 C： - =1（a＞0，b＞0）的左焦点为 F，若点 F 关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线的右支上，则该双曲线的离心率是（ ）A.B.C. 2D.12. 定义在（0，+∞）上的函数 （f x）满足，，则关于 x 的不等式的解集为（ ）A. （1，e2）B. （0，e2）C. （e，e2）二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）D. （e2，+∞）13. 若 x，y 满足约束条件的最小值为______．14. 已知 A，B，C 三点在球 O 的表面上，AB=BC=CA=2，且球心 O 到平面 ABC 的距离等于球半径的 ，则球 O 的表面积为______．15. 为了考查考生对于“数学知识形成过程”的掌握情况，某高校自主招生考试面试中的一个问题 是：写出对数的换底公式，并加以证明．甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案．公布他第 2 页，共 16 页们的答案后，三考生之间有如下对话，甲说：“我答错了”；乙说：“我答对了”；丙说：“乙 答错了”．评委看了他们的答案，听了他们之间的对话后说：你们三人的答案中只有一人是正 确的，你们三人的对话中只有一人说对了．根据以上信息，面试问题答案正确的考生为______． 16. 已知抛物线 C：x2=4y 的焦点为 F，E 为 y 轴正半轴上的一点．且 OE=3OF（O 为坐标原点）， 若抛物线 C 上存在一点 M（x0，y0），其中 x0≠0，使过点 M 的切线 l⊥ME，则切线 l 在 y 轴的截 距为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c．已知．（Ⅰ）求角 C 的值；（Ⅱ）若，求△ABC 的面积．18. 某商场营销人员进行某商品 M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销 量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以如表：反馈点数 x12345销量（百件）/天 0.5 0.611.41.7（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量 y（百件）与该天返还点数 x 之 间的相关关系．请用最小二乘法求 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a，并预测若返回 6 个点时该 商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整．已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大， 经过营销部调研机构对其中的 200 名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得 到如下一份频数表：返还点数预期值区间（百分比） [1，3） [3，5） [5，7） [7，9） [9，11） [11，13]频数206060302010将对返点点数的心理预期值在[1，3）和[11，13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和 “欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的 30 名消费者中随机抽取 6 名，再从这 6 人中随机抽取 3 名进行跟踪调查，求抽出的 3 人中至少有 1 名“欲望膨胀型”消 费者的概率．（参考公式及数据：①回归方程 y=bx+a，其中；②．）第 3 页，共 16 页19. 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°， 中点．，D 是棱 AA1 的（1）证明：平面 BDC1⊥平面 BDC； （2）平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．20. 椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 ，过焦点 F2 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）已知点，直线 l 经过点且与椭圆 C 相交于 A，B 两点（异于点 M），记直线 MA 的斜率为 k1，直线 MB 的斜率为 k2，证明：k1+k2 为定值，并求出该定值．21. 已知函数 f（x）= -bx（a，b∈R）．（1）当 b=0 时，讨论函数 f（x）的单调性；第 4 页，共 16 页（2）若函数 g（x）= 在 x= （e 为自然对数的底）时取得极值，且函数 g（x）在（0，e） 上有两个零点，求实数 b 的取值范围．22. 已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ-16cosθ=0，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 P（1，3）， （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（2）求的值．23. 已知函数 f（x）=|2x-1|+|x+1|．（1）解不等式 f（x）≥3；（2）记函数 f（x）的最小值为 m，若 a，b，c 均为正实数，且最小值．，求 a2+b2+c2 的第 5 页，共 16 页1.答案：C-------- 答案与解析 --------解析：【分析】 本题考查了集合的运算，熟练掌握集合的运算性质是解题的关键，本题是一道基础题． 求出 B 的补集，从而求出其和 A 的交集即可． 【解答】 解：∵B={x|2＜x＜7}， ∴∁RB={x|x≤2 或 x≥7}， ∴A∩（∁RB）=（-3，2]. 故选 C．2.答案：B解析：解：复数 z1=-1+i，则|z1|= 又复数 z2 满足 z1z2=-2， 则 z2= ，=；所以|z2|= = = ．故选：B． 根据复数的定义与性质，计算即可． 本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．3.答案：A解析：【分析】 本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 设等比数列的公比为 q，q＞0，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，计算即可得到所求 首项． 【解答】 解：正项等比数列{an}公比设为 q（q＞0），满足 a3=1，a5 与 的等差中项为 ，可得 a1q2=1，a5+ =1，即，可得 2q2+3q-2=0，解得 q= 或 q=-2（舍去），则,第 6 页，共 16 页故选 A．4.答案：A解析：【分析】 本题主要考查复合命题，判定命题 p,q 的真假是解决本题的关键，比较基础． 根据特殊值可以分别判定命题 p，q 的真假，进一步判定复合命题的真假. 【解答】 解：∵x=0 时，2-0＞e0=1， ∴命题 p 是真命题，∵a= 时，，∴命题 q 是假命题， ∴命题 p∧￢q 是真命题． 故选 A．5.答案：A解析：解：∵Pn（n，an），∴Pn+1（n+1，an+1），故an+1-an=2，∴an 是等差数列，公差 d=2，将 a2=a1+2，代入 a1+2a2=3 中，解得，∴∴，故选：A． 通过向量的坐标运算，得到数列的递推公式进而求和． 要掌握向量的坐标运算，主要是指向量坐标等于终点坐标减起点坐标，以及向量相等的意义．6.答案：B解析：解：∵f（x+3）=-f（x）； ∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x）； ∴f（x）的周期为 6； 又 f（x）是偶函数，且 x∈（-3，0）时，f（x）=2x-5； ∴f（8）=f（2+6）=f（2）=f（-2）=-4-5=-9． 故选：B． 根据 f（x+3）=-f（x）即可得出 f（x+6）=f（x），即得出 f（x）的周期为 6，再根据 f（x）是偶函数， 以及 x∈（-3，0）时，f（x）=2x-5，从而可求出 f（8）=f（2）=f（-2）=-9． 考查偶函数和周期函数的定义，以及已知函数求值的方法．7.答案：A解析：解：模拟执行程序框图，可得 S=1，k=1不满足条件 k＞a，S=1+ = ，k=2不满足条件 k＞a，S=1+ + = ，k=3第 7 页，共 16 页不满足条件 k＞a，S=1+ + + =2= ，k=4不满足条件 k＞a，S=1+ + +=2- = ，k=5根据题意，此时应该满足条件 k＞a，退出循环，输出 S 的值为 ． 故选：A． 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，k 的值，当 S= 时，根据题意，此时应该满足条件k＞a，退出循环，输出 S 的值为 ，从而得解．本题主要考查了循环结构，根据 S 的值正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．8.答案：B解析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为： ×2×1=1，底面周长为：2+2× =2+2 ， 故棱柱的表面积 S=2×1+2×（2+2 ）=6+4 ， 故选：B． 由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答 案． 本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．9.答案：C解析：【分析】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主 要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变 换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果． 【解答】解：函数 f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度，得到 g（x）=sin（2x- ）=sin（2x- ）图象．所以：①函数的最小正周期为，②当 x= 时，函数的值为，所以关于 x= 对称．③当 x= 时，f（ ）=0，故：ABD 正确， 故选：C．第 8 页，共 16 页10.答案：B解析：【分析】 本题考查了数量积运算性质与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．非零向量 ， 的夹角为 60°，且| -2 |=2，利用数量积运算性质与基本不等式的性质可得+ - ≥2 ，即 ≤2．即可得出． 【解答】 解：∵非零向量 ， 的夹角为 60°，且| -2 |=2，∴+-≥-2 =2 ，即 ≤2．当且仅当时等号成立，∴•=≤1．故选 B．11.答案：D解析：【分析】 本题考查双曲线的离心率的求法，属于中档题．设 F（-c，0），一条渐近线方程为 y= x，对称点为 F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，即可得到所求值． 【解答】解：设 F（-c，0），一条渐近线方程为 y= x，对称点为 F'（m，n），即有 =- ，且 n=，解得 m= ，n=- ，将 F'（ ，- ），即（ ，- ），代入双曲线的方程可得- =1，化简可得 -4=1，即有 e2=5， 解得 e= ．第 9 页，共 16 页故选 D．12.答案：D解析：【分析】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求解不等式，解题关键是构造函数， 考查运算求解能力，属于中档题．构造函数 g（x）=f（x） ，x＞0，结合已知可判断 g（x）在（0，+∞）上单调递增，结合单调性可求． 【解答】解：由题意，定义在（0，+∞）上的函数 f（x）满足，令 g（x）=f（x）- ，x＞0，则＞0，所以 g（x）在（0，+∞）上单调递增，∵，∴g（2）=2，∵，即 g（lnx）＞2=g（2），∴lnx＞2， ∴x＞e2， 故选：D．13.答案：5解析：解：x，y 满足约束条件对应的可行域如下图： 由图可知：∵z=x+2y，A（-1，3），B（2，6），C（2，0） ∴zA=5，zB=14， 当 x=-1，y=3 时，目标函数 Z 有最大值 Zmin=5．根据 x，y 满足约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值． 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约 束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方 程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较， 即可得到目标函数的最优解．14.答案：6π第 10 页，共 16 页解析：解：∵A，B，C 三点在球 O 的表面上，AB=BC=CA=2，∴△ABC 的外接圆半径 r=O′A==，∵球心 O 到平面 ABC 的距离等于球半径 R 的 ，∴R2=（ ）2+（ ）2，解得 R2= ，∴球 O 的表面积为 S=4πR2=6π． 故答案为：6π．求出△ABC 的外接圆半径 r=O′A= ，利用球心 O 到平面 ABC 的距离等于球半径 R 的 ，求出 R2= ，由此能求出球 O 的表面积． 本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求 解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.答案：甲解析：解：假设面试问题答案正确的考生为甲， 则甲和乙说错了，丙说对了，符合题意； 假设面试问题答案正确的考生为乙， 则甲、乙、丙三人都说对了，不符合题意； 假设面试问题答案正确的考生为丙， 则甲对了，乙和丙都说错了，不符合题意． 综上，面试问题答案正确的考生为甲． 故答案为：甲． 分别假设面试问题答案正确的考生为甲、乙、丙，由此分析三个人说的话的真假，能求出结果． 本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础 题．16.答案：-1解析：【分析】 本题考查了抛物线的性质，切线的求解，直线位置关系的判断，属于中档题． 根据 ME 与切线 l 垂直列方程求出 M 点坐标，从而得出切线 l 的方程，得出截距． 【解答】 解：由题意可得：F（0，1），E（0，3），由 x2=4y 可得 y= ，y′= ，∴直线 l 的斜率为 y′ = ，直线 ME 的斜率为 = ，∴=-1，解得 x0=±2，当 x0=2 时，M（2，1），则直线 l 的方程为 y-1=x-2，即 y=x-1． ∴直线 l 在 y 轴的截距为-1．第 11 页，共 16 页由抛物线的对称性可得，x0=-2 时，直线 l 在 y 轴的截距也为-1． 故答案为-1．17.答案：解：（Ⅰ）∵，由正弦定理可得∴，∵B 为三角形的内角，∴sinB≠0，∴，∴，∵C∈（0，π），∴，∴；（Ⅱ）由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcosC， ∴b2+4b-12=0， ∵b＞0， ∴b=2，∴．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应 用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围 C∈（0，π），可求 C 的值； （Ⅱ）由已知利用余弦定理可求得 b2+4b-12=0，解得 b 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．18.答案：解：（1）易知，，∴==0.32， = - =1.04-0.32×3=0.08，则 y 关于 x 的线性回归方程为 y=0.32x+0.08， 当 x=6 时，y=2.00，即返回 6 个点时该商品每天销量约为 2 百件…（6 分） （2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取 x 人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取 y 人，由分层抽样的定义可知，解得 x=2，y=4在抽取的 6 人中，2 名“欲望膨胀型”消费者分别记为 A1，A2， 4 名“欲望紧缩型”消费者分别记为 B1，B2，B3，B4， 则所有的抽样情况如下：第 12 页，共 16 页{A1，A2，B1}，{A1，A2，B2}，{A1，A2，B3}，{A1，A2，B4}， {A1，B1，B2}，{A1，B1，B3}，{A1，B1，B4}，{A1，B2，B3}， {A1，B2，B4}，{A1，B3，B4}，{A2，B1，B2}，{A2，B1，B3}， {A2，B1，B4}，{A2，B2，B3}，{A2，B2，B4}，{A2，B3，B4}， {B1，B2，B3}，{B1，B2，B4}，{B1，B3，B4}，{B2，B3，B4}共 20 种， 其中至少有 1 名“欲望膨胀型”消费者的情况由 16 种记事件 A 为“抽出的 3 人中至少有 1 名‘欲望膨胀型’消费者”，则…（12 分）解析：（1）求出平均数，求出相关系数，从而求出回归方程即可； （2）列举出所有的基本事件以及满足条件的事件，求出满足条件的概率即可． 本题考查了求回归方程问题，考查转化思想以及概率求值，是一道常规题．19.答案：证明：（1）由题意知 BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面 ACC1A1，又 DC1⊂平面 ACC1A1， ∴DC1⊥BC． 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°， ∴∠CDC1=90°，即 DC1⊥DC，又 DC∩BC=C， ∴DC1⊥平面 BDC，又 DC1⊂平面 BDC1， ∴平面 BDC1⊥平面 BDC；（2）设棱锥 B-DACC1 的体积为 V1，设 AC=1，由题意得 V1= × ×1×1= ，又三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=1， ∴（V-V1）：V1=1：1， ∴平面 BDC1 分此棱柱两部分体积的比为 1：1．解析：（Ⅰ）由题意易证 DC1⊥平面 BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面 BDC1⊥平面 BDC； （Ⅱ）设棱锥 B-DACC1 的体积为 V1，设 AC=1，易求 V1= × ×1×1= ，三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积V=1，于是可得（V-V1）：V1=1：1，从而可得答案． 本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查 分析，表达与运算能力，属于中档题．20.答案：解：（Ⅰ）将 x=c 代入方程中，由 a2-c2=b2 可得，所以弦长为 ，所以，第 13 页，共 16 页解得，所以椭圆 C 的方程为：；（Ⅱ）若直线 l 的斜率不存在，则直线的方程为 x=2， 且直线与椭圆只有一个交点，不符合题意； 设直线 l 的斜率为 k，若 k=0，则直线 l 与椭圆只有一个交点，不符合题意，故 k≠0； 所以直线 l 的方程为 y-1=k（x-2），即 y=kx-2k+1，直线 l 的方程与椭圆的标准方程联立得：，消去 y 得：（1+4k2）x2-8k（2k-1）x+16k2-16k=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则，∵，∴k1+k2= +====2k-，把代入上式，得；命题得证．解析：（Ⅰ）将 x=c 代入方程中求得弦长，再利用离心率和椭圆的几何性质，列方程求出 a、b 的值； （Ⅱ）讨论直线 l 的斜率不存在以及斜率 k=0 和 k≠0 时，直线与椭圆交点个数， 利用直线方程与椭圆方程联立，消去 y 得关于 x 的一元二次方程， 设点 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由根与系数的关系计算 x1+x2，x1x2，再求 k1+k2 的值． 本题考查了直线与椭圆方程的应用问题，也考查了推理与计算能力，是难题．21.答案：解：（1）b=0 时，f（x）= ，x∈（0，+∞）．f′（x）==，第 14 页，共 16 页可得函数 f（x）在（0，ea+1）上单调递增，在（ea+1，+∞）上单调递减． （2）g（x）= = -b，x∈（0，+∞）．g′（x）==．∵函数 g（x）在 x= （e 为自然对数的底）时取得极值，∴==0，解得 a=0．∴g（x）= -b，g′（x）=．可得 x= （e 为自然对数的底）时取得极大值， ∵函数 g（x）在（0，e）上有两个零点，∴g（ ）= -b＞0，g（e）= -b＜0，解得 ＜b＜ ．∴实数 b 的取值范围是．解析：（1）b=0 时，f（x）= ，x∈（0，+∞）．f′（x）=性．（2）g（x）= = -b，x∈（0，+∞）．g′（x）===，即可得出单调．根据函数 g（x）在 x=（e 为自然对数的底）时取得极值，可得=0，解得 a=0．g（x）= -b，再利用导数已经其单调性极值及其函数零点存在大量即可得出． 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、函数零 点存在定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：（1）直线 l 的参数方程为（t 为参数），消去参数，可得直线 l 的普通方程 y=2x+1， 曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ-16cosθ=0， 即 ρ2sin2θ=16ρcosθ， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 y2=16x；（2）直线 l 的参数方程改写为（t'为参数），代入 y2=16x，得，设 A、B 对应的参数分别为 ,∴，，第 15 页，共 16 页∴,则．解析：本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题． （1）利用三种方程的转化方法，求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程即可；（2）直线的参数方程改写为（t'为参数），代入 y2=16x，利用参数的几何意义求的值．23.答案：解：（1）f（x）=|2x-1|+|x+1|=，∵f（x）≥3，∴或或，解得 x≤-1 或 x≥1， ∴不等式的解集为：{x|x≤-1 或 x≥1}；（2）由（1）知 f（x）min=f（ ）= ，∴m= ，∴=，∴a+2b+3c=3， 由柯西不等式有（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2=9，∴，当且仅当，即时取等号，∴a2+b2+c2 的最小值为： ．解析：（1）去绝对值然后分别解不等式即可；（2）由（1）得到 m 的值，然后化简，再应用柯西不等式即可求出 a2+b2+c2 的最小值． 本题考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式，属基础题．第 16 页，共 16 页。

2020届甘肃省兰州一中高考数学最后冲刺试卷(6月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x ≥−1}，B ={x|y =√3x −1}，则A ∩∁R B 等于( )A. {x|−1≤x <13} B. {x|−13<x <2} C. {x|−1≤x ≤13}D. {x|−13≤x ≤2}2. 已知复数，，则z =z 1−z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知等差数列{a n }满足a 1=2，公差d ≠0，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则d =( )A. 4B. ±12C. ±1D. ±√224. 关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y)；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值．假如统计结果是m =56，那么可以估计π≈( )A. 7825B. 5617C. 227D. 2895. 已知命题p 1：存在x 0∈R ，使得x 02+x 0+1<0成立；p 2：对任意的x ∈[1,2]，x 2−1≥0.以下命题为真命题的是( )A. ￢p 1∧￢p 2B. p 1∨￢p 2C. ￢p 1∧p 2D. p 1∧p 26. 用数字5和3可以组成( )个四位数．A. 22B. 16C. 18D. 207. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2,x ∈R)在一个周期内的图象如图所示，则y =f(x)的解析式是( )A. f(x)=4sin(3x−π4) B. f(x)=4sin(43x+π3)C. f(x)=4sin(3x+π4) D. f(x)=4sin(43x−π3)8.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,t)，且a⃗⋅b⃗ =0，则|b⃗ |=()A. √5B. 2√2C. 2√5D. 59.如图，某几何体的三视图由半径相同的圆和扇形构成，若府视图中扇形的面积为3π，則该几何体的体积等于()A. 8πB. 16π3C. 4πD. 4π310.设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=−1，a n+1=S n S n+1，则S2016=()A. −12016B. 12016C. −12017D. 1201711.已知方程和，其中，，它们所表示的曲线可能是下列图象中的()A. B. C.12.已知函数f(x)=alnx+x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是()A. [−2,+∞)B. [−3,+∞)C. [0,+∞)D. (−∞,−2)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知变量x ，y 满足{x −2y +4≥0x −2≤0x +y −2≥0，则z =2x −5y 的最大值是______．14. (a −2b)3(1−c)的展开式中，a 3b 2c 的系数是______．15. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB =90°，A 1C 1=6，BC =CC 1=√2，P 是BC 1上一动点，则CP +PA 1的最小值是______．16. 已知点F 是抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，点A(2,y 1)，B(12,y 2)分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若|AF|=10，则|y 1−y 2|=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知函数f(x)=2sin 2x −2sin 2(x −π6)，x ∈R(Ⅰ)求函数y =f(x)的最小正周期；(Ⅱ)已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b =3，c =4，f(B2+π6)=b+c 2a，求边a 的值18. 某汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料． 第几年1234优惠金额x/万元 1 1.1 1.31.2销量y/辆222431 27(1)求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)若第5年优惠金额为8500元，估计第5年的销量y(单位：辆)的值． 参考公式：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−n(x −)2，a ̂=y ̂−b ̂x −．19. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF//AB ，EF ⊥FB ，AB =2EF ，∠BFC =90°，BF =FC ，H 为BC 的中点． (1)求证：FH//平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B −DE −C 的大小．20. 已知椭圆C 的一个顶点为A(0,−1)，焦点在x 轴上，右焦点到直线x −y +2√2=0的距离为3(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 与直线y =x +1相交于不同的两点M ，N ，求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．21. 已知函数f(x)=lnx +a(2−x)(Ⅰ)f(x)在x =1处取得极值，求a 的值； (Ⅱ)求f(x)的极大值；(Ⅲ)当f(x)有极大值，且极大值大于3a −2时，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P(−2√3,0)，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为{x =1ky =√4k−1k (k 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．(1)求曲线S 的普通方程和极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围．23.已知关于x的不等式|x−3|+|x−4|<a．(1)当a=2时，解上述不等式；(2)如果关于x的不等式|x−3|+|x−4|<a的解集为空集，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵集合A={x|x≥−1}，}，B={x|y=√3x−1}={x|3x−1≥0}={x|x≥13}，∴∁R B={x|x<13∴A∩∁R B={x|−1≤x<1}.3故选A．化简集合B，求出∁R B，再求A∩∁R B.本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.答案：A解析：试题分析：，对应的点在第一象限考点：复数运算点评：复数运算中常用到，复数对应的点为3.答案：A解析：本题考查等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．由等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d．解：等差数列{a n}满足a1=2，公差d≠0，且a1，a2，a5成等比数列，可得a22=a1a5，即为(2+d)2=2(2+4d)，即d2=4d，解得d=4(0舍去)，故选：A．4.答案：A解析：解：根据题意，200对都小于l 的正实数对(x,y)，即{0<x <10<y <1，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1， 若两个正实数x 、y 能与1构成钝角三角形三边，则有{x 2+y 2<1x +y >10<x <10<y <1，其面积S =π4−12； 则有56200=π4−12，变形可得π=7825； 故选：A ．根据题意，由{0<x <10<y <1分析实数对(x,y)对应的平面区域，进而分析两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)对应的区域面积，由几何概型公式分析可得56200=π4−12，变形即可得答案． 本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，涉及几何概率的应用问题，属于基础题．5.答案：C解析：解：对于不等式x 02+x 0+1<0，判别式△=1−4<0，所以该不等式无解；∴命题p 1是假命题；函数f(x)=x 2−1在[1,2]上单调递增，∴对于任意x ∈[1,2]，f(x)≥f(1)=0，即x 2−1≥0； ∴命题p 2是真命题；∴￢p 1是真命题，￢p 2是假命题；∴￢p 1∧￢p 2是假命题，p 1∨￢p 2为假命题，￢p 1∧p 2为真命题，p 1∧p 2为假命题． 故选C ．根据一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，以及一元二次不等式解的情况，即可判断命题p 1，p 2的真假，根据p ∧q ，p ∨q ，￢p 的真假和p ，q 真假的关系即可找出真命题的选项．考查一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，以及根据二次函数的单调性求函数值的范围．6.答案：B解析：解：4个3，有1个四位数； 3个3与1个5，有4个四位数； 2个3与2个5，有6个四位数； 1个3与3个5，有4个四位数；4个5，有1个四位数；共16个．故选B．分类讨论，即可得出结论．本题考查利用计数原理解决问题，考查分类讨论的数学思想，比较基础．7.答案：B解析：根据图象确定A，同时确定函数的周期和ω，利用五点法求出φ的值即可得到结论．由图象知函数的最大值为A=4，T 4=π8−(−π4)=3π8.即T=3π2=2πω，即ω=43，即f(x)=4sin(43x+φ)，由五点对应法得43×(−π4)+φ=0，得φ=π3，得f(x)=4sin(43x+π3)，故选：B．8.答案：A解析：利用向量垂直，数量积为0，得到关于t的方程求解可得t的值，则|b⃗ |的答案可求．本题考查了向量垂直的性质以及向量数量积的运算，属于基础题．解：由向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,t)，且a⃗⋅b⃗ =0，∴2+2t=0．解得t=−1．则|b⃗ |=√22+(−1)2=√5．故选：A．9.答案：A解析：解：由三视图可知：这个几何体是球去掉14剩下的几何体．∴这个几何体的体积=34×43π×23=8π，故选：A．由三视图可知：这个几何体是球去掉14剩下的几何体．利用球的体积计算公式即可得出．本题考查了球的三视图、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：A解析：本题考查了递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由a1=−1，a n+1=S n S n+1，可得S n+1−S n=S n S n+1，变形为1Sn+1−1S n=−1，再利用等差数列的通项公式即可得出．解：∵a1=−1，a n+1=S n S n+1，∴S n+1−S n=S n S n+1，∴1S n+1−1S n=−1，∴数列{1S n}是等差数列，首项与公差都为−1，∴1S n=−1−(n−1)=−n，∴S n=−1n，S2016=−12016．故选A．11.答案：B解析：试题分析：试题分析：解：由题意ax 2+by 2=ab 可变为由图中双曲线的特征知，a >0，b <0，由直线的特征结合c >0知，a >0，b <0，B 选项符合条件； 考点：双曲线的简单性质．12.答案：A解析：解：由题意知函数f(x)=alnx +x ，定义域为(0,+∞) 则：f′(x)=ax +1函数f(x)在[2,3]上单调递增，说明f′(x)在[2,3]上恒大于0； 当a ≥0时，f′(x)>0，则f(x)在[2,3]上单调递增；当a <0时，f′(x)为单调递增函数，则最小值f′(2)≥0，即：a2+1≥0，解得：a ≥−2 综上，a 的取值范围为：[−2,+∞) 故选：A由题意知函数f(x)=alnx +x ，定义域为(0,+∞)，函数f(x)在[2,3]上单调递增，则是要求f′(x)在[2,3]上恒大于0；从而求出a 的取值范围．本题主要考查了利用导函数判断原函数的单调性，以及参数分类讨论知识点，属中档题．13.答案：4解析：解：变量x ，y 满足{x −2y +4≥0x −2≤0x +y −2≥0的可行域如图：z =2x −5y 可得y =25x −15z ，平移直线y =25x −15z ，点直线y =25x −15z 经过可行域A 时，z 取得最大值， 由{x −2=0x +y −2=0解得A(2,0)， 则z =2x −5y 的最大值是：4． 故答案为：4．作出不等式组对应的平面区域，平移目标函数对应的直线，利用数形结合即可的得到结论． 本题考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14.答案：−40解析：解：(a −2b)5(1−c)=(a −2b)5−c(a −2b)5， 依题意，只需求−c ⋅(a −2b)5中a 3b 2c 的系数即可，利用通项公式可得，a 3b 2c 的系数是−C 52⋅(−2)2=−40，故答案为：−40．依题意，只需求−c ⋅(a −2b)5中a 3b 2c 的系数即可，利用通项公式可得a 3b 2c 的系数． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.答案：5√2解析：解：由题意，△A 1C 1B 是直角三角形，沿BC 1展开，△CC 1B 是等腰直角三角形， 作CE ⊥A 1C 1，CE =C 1E =1， ∴A 1P +PC =A 1C =√72+1=5√2． 故答案为：5√2．沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，不难看出CP +PA 1的最小值是A 1C 的连线． 本题考查棱柱的结构特征及两点之间的距离，其中将△CBC 1沿BC 1展开，将一个空间问题转化为平面内求两点之间距离问题是解答本题的关键．16.答案：12解析：解：∵|AF|=2+p2=10， ∴p =16，则抛物线的方程为y 2=32x ，把x =12代入方程，得y =−4(y =4舍去)，即B(12,−4)， 把x =2代入方程，得y =8(y =−8舍去)，即A(2,8)， 则|y 1−y 2|=|8−(−4)|=12， 故答案为：12．由已知求得p ，得到抛物线方程，进一步求得B 、A 的坐标，即可求出． 本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．17.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=2sin 2x −2sin 2(x −π6)=1−cos2x −[1−cos2(x −π6)]=cos(2x −π3)−cos2x=12cos2x +√32sin2x −cos2x =sin(2x −π6)，∴函数y =f(x)的最小正周期T =2π2=π；(Ⅱ)∵f(B2+π6)=b+c 2a，∴sin(B +π6)=b+c2a ，可得：√32sinB +12cosB =b+c 2a，可得√3asinB +acosB =b +c ，∴由正弦定理可得：√3sinAsinB +sinAcosB =sinB +sinC ，可得：√3sinAsinB =sinB +cosAsinB ， ∵sinB >0，∴√3sinA −cosA =1，可得：sin(A −π6)=12， ∵0<A <π，可得：−π6<A −π6<5π6，可得：A −π6=π6，可得：A =π3， ∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =9+16−2×3×4×12=13，可得：a =√13．解析：(Ⅰ)由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得f(x)=sin(2x −π6)，利用三角函数周期公式即可计算得解； (Ⅱ)由f(B2+π6)=b+c2a及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得sin(A −π6)=12，结合范围0<A <π，可得A 的值，进而利用余弦定理可得a 的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式及正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：解：(1)x −=1+1.1+1.3+1.24=1.15，y −=22+24+31+274=26．b ̂=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2ni=1−n(x −)2=1×22+1.1×24+1.3×31+1.2×27−4×1.15×261+1.21+1.69+1.44−4×1.152=30，a ̂=y −−b ̂x −=26−30×1.15=−8.5．∴y 关于x 的线性回归方程为y ̂=30x −8.5；(2)在ŷ=30x−8.5中，取x=0.85，解得ŷ=30×0.85−8.5=17．故第5年优惠金额为8500元时，估计第5年的销量为17辆．解析：(1)由已知表格中的数据求得b̂与â的值，则线性回归方程可求；(2)在(1)中求得的线性回归方程中，取x=0.85求得y值即可．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．19.答案：证明：(1)设AC于BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH，又H为BC的中点，∴GH//AB且GH=12AB，又EF//AB且EF=12AB，∴EF//GH且EF=GH，∴四边形EFHG为平行四边形∴EG//FH，而EG⊂平面EDB，∴FH//平面EDB;(2)由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF//AB，∴EF⊥BC而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH，又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥BC，FH⊥AC，又FH//EG，∴AC⊥EG又AC⊥BD，EG∩BD=G，∴AC⊥平面EDB;(3)EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线于k，则∠FKB为二面角B−DE−C的一个平面角，设EF=1，则AB=2，FC=√2，DE=√3，又EF//DC，∴∠KEF=∠EDC，∴sin∠EDC=sin∠KEF=√2√3，∴FK=EFsin∠KEF=√2√3，tan∠FKB=BFFK=√3，∴∠FKB=60°，∴二面角B −DE −C 为60°．解析：此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的判断，此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．(1)设AC 于BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连接EG ，GH ，又H 为BC 的中点，可得四边形EFHG 为平行四边形，然后利用直线与平面平行判断定理进行证明；(2)因为四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC ，又EF//AB ，可得EF ⊥BC ，要证FH ⊥平面ABCD ，FH ⊥平面ABCD ，从而求解;(3)在平面CDEF 内过点F 作FK ⊥DE 交DE 的延长线与k ，可知∠FKB 为二面角B −DE −C 的一个平面角，然后设EF =1，在直角三角形中进行求证．20.答案：解：(1)根据题意，椭圆C 的一个顶点为A(0,−1)，焦点在x 轴上，设椭圆的方程为x 2a 2+y 2=1， 其右焦点的坐标为(√a 2−1,0)， 右焦点到直线x −y +2√2=0的距离d =|√a 2+1+2√2|√2=3，解可得，a 2=3， 则椭圆的方程为x 23+y 2=1；(2)根据题意，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 联立直线与椭圆的方程可得{x 23+y 2=1y =x +1，消去y 可得x 2+3(x +1)2−3=0，x 1、x 2是该方程的2个根， 化简可得4x 2+6x =0， 解可得x 1=0，x 2=−32， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，M 、N 在直线y =x +1上，则y 1=1，y 2=−12， 则M(0,1)N(−32,−12)则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,12)， 则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0×(−32)+2×12=1；即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为1．解析：(1)根据题意，设椭圆的方程为x 2a 2+y 2=1，表示出其右焦点的坐标，依题意，可得d =|√a 2+1+2√2|√2=3，解可得a 2的值，代入可得椭圆的方程；(2)根据题意，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆的方程并消去y 可得x 2+3(x +1)2−3=0，分析可得x 1、x 2是该方程的2个根，解方程可得x 1、x 2的值，即可得M 、N 的坐标，进而可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由数量积公式计算可得答案． 本题考查直线与椭圆的方程的应用，对于此类问题，一般要联立直线与椭圆的方程，通过消元转化为一元二次方程分析求解．21.答案：解：已知函数f(x)=lnx +a(2−x)，定义域：x ∈(0,+∞)．(Ⅰ)f′(x)=1x −a =1−ax x，f(x)在x =1处取得极值，f′(1)=0；经检验成立，所以a =1；(Ⅱ)当a ≤0时，f′(x)>0，函数无极值；当a >0时，令f′(x)=0，得x =1a ，f(x)在(0,1a )上递增，在(1a ,+∞)上递减， 故f(x)极大值=f(1a )=−lna +2a −1； (Ⅲ)当f(x)有极大值，且极大值大于3a −2时，由(Ⅱ)知：−lna +2a −1>3a −2；即：−lna −a +1>0； 令：ℎ(a)=−lna −a +1， ℎ′(a)=−1a −1<0；且ℎ(1)=0；所以：0<a <1．解析：(Ⅰ)由函数f(x)=lnx +a(2−x)求导可得f′(x)=1x −a =1−ax x，利用f′(1)=0求解检验可得a ；(Ⅱ)利用导函数求函数单调增减区间判断极值点x =1a ，可得函数的极值．(Ⅲ)转换成：−lna +2a −1>3a −2；即：−lna −a +1>0；令：ℎ(a)=−lna −a +1，判断极值情况可得ℎ′(a)=−1a −1<0；且ℎ(1)=0；得a 范围；考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．22.答案：解：(1)设曲线S 的参数方程为{x =1k y =√4k−1k (k 为参数)，利用x 2=1k 2，y 2=4k−1k 2， 整理得：S 的普通方程为：x 2+y 2−4x =0(0<x ≤4)． 根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0,0≤θ≤π2).(2)曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ.根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4y ，整理得x 2+(y −2)2=4．直线l 经过点P(−2√3,0)，其倾斜角为α， ①当α=π2时，直线与曲线C 没有公共点．②当α≠π2时，则直线的方程为y =tanα(x +2√3)． 由于直线l 与曲线C 有公共点， 所以圆心(0,2)到直线的距离d =|2√3tanα−2|√1+tan 2α≤2，整理得(√3tanα−1)2≤(1+tan 2α)， 解得0≤tanα≤√3， 故0≤α≤π3． 故α∈[0,π3]．解析：(1)直接利用转换关系，把曲线的参数方程转换为直角坐标方程，进一步把圆直角坐标方程转换为圆极坐标方程．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数的关系式的变换和一元二次不等式的解法求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数关系式的变换，一元二次不等式的解法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.答案：解：(1)原不等式|x −3|+|x −4|<2当x <3时，原不等式化为7−2x <2，解得x >52，∴52<x <3 当3≤x ≤4时，原不等式化为1<2，∴3≤x ≤4当x >4时，原不等式化为2x −7<2，解得x <92，∴4<x <92综上，原不等式解集为{x|52<x<92}；(5分)(2)法一、作出y=|x−3|+|x−4|与y=a的图象，若使|x−3|+|x−4|<a解集为空集只须y=|x−3|+|x−4|图象在y=a的图象的上方，或y=a与y=1重合，∴a≤1所以，a的范围为(−∞,1]，(10分)法二、：y=|x−3|+|x−4|={2x−7x≥413≤x≤4 7−2x x<3当x≥4时，y≥1当3≤x<4时，y=1当x<3时，y>1综上y≥1，原问题等价为a≤[|x−3|+|x−4|]min∴a≤1(10分)法三、：∵|x−3|+|x−4|≥|x−3−x+4|=1，当且仅当(x−3)(x−4)≤0时，上式取等号∴a≤1．解析：(1)先分类讨论，根据x的范围先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．(2)作出y=|x−3|+|x−4|与y=a的图象，使|x−3|+|x−4|<a解集为空集只须y=|x−3|+ |x−4|图象在y=a的图象的上方，从而求出a的范围；此题考查绝对值不等式的解法，运用了分类讨论的思想，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型．。

参考答案第Ⅰ 卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|3100M x R x x =∈--<，{|||2}N x Z x =∈<，则M N 为 （ ）A ．)2,2(-B ．)2,1(C ．{-1，0，1}D ．}2,1,0,1,2{--2．若复数3()1x iz x R i+=∈-是实数，则x 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．0D ．33．角α的终边经过点A ()a ，且点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin α=（ ）A ．12-B ．12 C． D4．已知变量x ，y 满足125,31x y x y z x y x -≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩则的最大值为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为 （ ）A ．π)3412(+B ．20πC ．π)3420(+D ．28π 6．给出如下四个命题：①若“p ∨q ”为真命题，则p 、q 均为真命题；②“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b -≤”；③“2,1x x x ∀∈+R ≥”的否定是“2000,1x x x ∃∈+R ≤”；④“0x >”是“12x x+≥”的充要条件.其中不正确的命题是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③D ．③④7．双曲线12222=-by a x 的离心率为3,则它的渐近线方程是（ ）A ．x y 2±=B ．x y 22±= C ．x y 2±= D ．x y 21±=8. 函数()()s i n 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭其中的图象如图所示，为了得到()sin3g x x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A 向右平移4π个单位B 向左平移4π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位9．数列{}n a 的前n 项和21n s n n =++；(1)n n n b a =-（n ∈N*）；则数列{}n b 的前50项和为（ ）A ．49B ．50C ．99D ．10010．在区间[],ππ-内随机取两个数分别为,a b ，则使得函数()2222f x x ax b π=+-+有零点的概率为( )A ．18π-B ．14π-C ．12π- D ．314π-11. 设函数()f x 的定义域为R ，(),0111,103xx x f x x R x ≤≤⎧⎪=∈⎨⎛⎫--<<⎪⎪⎝⎭⎩，且对任意的都有()()11f x f x +=-，若在区间[]()()1,5g x f x mx m -=--上函数，恰有6个不同零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．11,46⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,34⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,6⎛⎤ ⎥⎝⎦12．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数记为()f x '，若对于任意实数x ，有()()f x f x '>，且()1y f x =-为奇函数，则不等式()x f x e <的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．4(,)e -∞D ．4(,)e +∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段没有超速的有 辆．14. 执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的___15. 若,αβ为两个不同的平面，m 、n 为不同直线，下列推理: ①若,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥则直线； ②若直线//m n m α⊥平面，直线直线， n α⊥则直线平面；③若直线m//n ，,m n αβ⊥⊂， αβ⊥则平面平面； ④若平面//m αββ⊥平面，直线平面，,n m α⊂⊥则直线直线n ；其中正确说法的序号是________.16. 设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()3,,16OP OA OB R λμλμλμ=+∈=，则该双曲线的离心率为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设函数22()cos()2cos ,x f x x x π=++∈R . （1）求()f x 的值域；（2）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若()1,1,f B b c ===a 的值.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面A B C D ，底面ABCD 为正方形，PD =DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点． （I ）求证：//EF 平面PAD ； （II ）求证：EF CD ⊥；（III ）设PD=AD=a , 求三棱锥B-EFC 的体积.19.（本小题满分12分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：（Ⅰ）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过5.0的概率. 20．（本小题满分12分）已知函数()f x =x x ax ln 232+-，a 为常数. （I ）当a =1时，求()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在区间[1，2]上为单调函数，求a 的取值范围.21. (本小题满分12分) 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:L y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且22OA OBb k k a⋅=-，判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答。

又 平面 ，所以 ，所以 平面 ．
（2）过 作 交 于 ，
则 平面 ，且 ．再过 作 交 于 ，
所以 平面 ，且 ．所以平面 平面 ，
所以 平面 ，从而点 满足 ．
【考点】1．线面垂直的判定定理；2．面面平行的判定定理和性质定理．
18．在 中，角A，B，C的对边分别为 且满足 ．
（1）求角 ；
（2）若 的面积 ，其外接圆的半径 ，求 的周长．
参考公式： ，
【答案】（1） （2） .可靠
【解析】（1）先求得从6组数据中任选2组数据的基本事件个数，再得相邻2天数据事件个数，即可得选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（2）根据所给数据，分别求得 ，代入公式可得 ，进而得回归直线方程；分别再代入 ， 检验即可判断.
【详解】
（1）从6组数据中任选2组数据，共有15个基本事件， ， ， ， ， .
记这2组数据恰好是相邻两天数据为事件A，
则A中有 ，共5个基本事件，
故 .
（2） ，
，
所以
.
所求的回归方程为 .
当 时， ， ，
当 时， ， .
故此线性回归方程是可靠的.
【点睛】
本题考查了古典概型概率的求法，线性回归方程的求法及简单应用，属于基础题.
20．已知圆 与圆 相外切，且与直线 相切．
（1）记圆心 的轨迹为曲线 ，求 的方程；
【解析】根据等差数列通项公式及等差数列前n项和公式，可得关于 的方程组，进而解方程组可得 的值.
【详解】
根据等差数列通项公式及前n项和公式可得
，
解方程组可得 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式及等差数列前n项和公式的简单应用，属于基础题.

2020年甘肃省高考数学二诊试卷(文科)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1 •若集合A={| - 1<< 2} , B={| - 2vv 1}，贝煉合A U B=( )A . {| - 1<< 1} B. {| - 2<< 1} C. {| - 2<< 2} D . {| 0<< 1}2•如图所示，向量■:.所对应的复数分别为1, 2,则12=( )A . 4+2i B. 2+i C. 2+2i D. 3+i3. 某研究性学习小组调查研究性别对喜欢吃甜食的影响，部分统计数据如表:女生男生合计喜欢吃甜食8412不喜欢吃甜食21618合计102030附表:P (2 > 0 ) 0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828经计算=10，则下列选项正确的是( )A .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响B .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响C.有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响D .有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响44. 已知tan=^，且在第三象限，则cos=( )4 n3 C.log,(3^x1, x<05. 函数f(Q二' ，则f (3)的值为(f(K-l), X>0A . - 1B . - 2C . 1D . 26. 如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅A .①②⑥B .①②③C.④⑤⑥D .③④⑤助作用），贝U四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（7.设D ABC的所在平面内一点，「:[-1产,则：=（）8.某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图1中记录了每天的销售量（单位: 台），把这些数据经过如图2所示的程序框图处理后，输出的S=（）33⑥A . f () =2B . f () =1 - ||C . t 「匚二D . f () =ln (+1)10. 已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a , 2), B (- 4, a ), C (2a+2, 2), 则厶ABC 的外接圆的方程是()2 2 2 22 22 2A . 2+ (y - 3) 2=5B . 2+ (y+3) 2=5C . (- 3) 2+y 2=5D . (+3) 2+y 2=511.已知三棱锥S -ABC 的各顶点都在一个球面上，△ ABC 所在截面圆的圆心 O 在AB 上, SO 丄平面z 匚町；、仃「广.，若三棱锥的体积是等，则球体的表面积是( )AB 脊兀CD 25 n• 4 - 12- 48ITTT12.将函数1 K' :_in 1的图象向左平移^个单位，在向上平移1个单位，得到g()的图象，若 g (1) g (2)=16,且 y ] '「二一 —•,则 21 - 2 的最大值为( )9.Si196 B . 203 C .已知函数满足一下两个条件：①任意 1 , 2^( 0, +x),且佇 2 时，(1 - 2)[f ( l )(2) ]v 0;②对定义域内任意有f ()+f (-)=0,贝28 D . 29D .B.、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上13. ___________________________________________ 数列｛a n｝中，若a n+i (a n+1) =a n,a i=1，则a6= ___________________________________ .2x+y-4>014. 已知实数，y满足，则=-3y的最大值是_____ .y<315. ___________________________________________________________ 已知抛物线y2=8上一点P到焦点的距离为4,则厶PFO的面积为__________________________ .16. 已知函数丁亠丄1L与函数y=- 2的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是x-1三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设数列｛an+1｝是一个各项均为正数的等比数列，已知a3=7, a?=127.(1)求的a1值；(2)求数列｛a n｝的前n项和.18. 甘肃省瓜州县自古就以生产美瓜”面名扬中外，生产的瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%〜19%，是消暑止渴的佳品，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度，日照时长，温差有极强的相关性，分别用，y，表示蜜瓜甜度与海拔高度，日照时长，温差的相关程度，big对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，在用综合指标w=+y+的值平定蜜瓜的顶级，若w>4,则为一级；若2 < w< 3，则为二级；若0w w< 1，则为三级，今年，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：2 从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标w 至少有一个为4的概率.19. 如图，在△ ABC 中，AB 丄BC,点D，E 分别在AB，AC 上, AD=2DB，AC=3EC，(1)若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为三家的蜜瓜种植地的数量；沿DE将厶ADE翻折起，使得点A到P的位置，满足；…=1 .(1)证明：DB丄平面PBC;(2)若L乩丸丁，点M在PC上，且，求三棱锥P-BEM的体积.20. 已知椭圆的顶点到直线1:『=的距离分别为「;(1)求椭圆C i的离心率；(2)过圆O：2+y2=4上任意一点P作椭圆C i的两条切线PM和PN分别与圆交于点M, N，求△ PMN面积的最大值.21. 已知函数f () =sin+cos.(1)当汽—时，求函数f ()的单调区间；(2)若存在m L ［—、—，使得f ()> 2+cos成立，求实数的取值范围.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.［选修4-4坐标系与参数方程］(1)使判断I与C的位置关系；22.已知直线…(2)若把曲线C1上个点的横坐标压缩为原的倍，纵坐标压缩为原的-一倍，得到曲线C2,设点P是曲线C2上一个动点，求它到直线I的距离的最小值.［选修4-5不等式选讲］23.设函数f () =| - 3|，g () =| - 2|(1)解不等式 f () +g ()< 2；(2)对于实数，y,若f ()< 1, g (y)< 1,证明:2017年甘肃省高考数学二诊试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 •若集合A={| - 1<< 2} , B={| - 2vv 1}，贝U集合A U B=( )A . {| - 1<< 1} B. {| - 2<< 1} C. {| - 2<< 2} D . {| 0<< 1}【考点】1D :并集及其运算.【分析】根据并集的定义写出 A U B即可.【解答】解：集合A={| - 1<<2}，B={| - 2<< 1}，则集合A U B={| - 2<< 2}.故选：C.2. 如图所示，向量〔三「二所对应的复数分别为1, 2,则代=( )【分析】读图求出复数1, 2,根据复数的乘法运算法则计算即可【解答】解：由图可得，1=1+i, 2=3- i,二徨=(1+i) (3 - i) =3+1+3i - i=4+2i,故选：A.3. 某研究性学习小组调查研究性别对喜欢吃甜食的影响，部分统计数据如表:附表:经计算=10,则下列选项正确的是( )A .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响B .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响C .有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响D .有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响【考点】BL :独立性检验.【分析】根据观测值与对照临界值的关系，即可得出结论.【解答】解：根据观测值2=10,对照临界值表得10>7.879,所以有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响.故选：B.44. 已知tan=，且在第三象限，则cos=( ) 八4 o4 3 小3A.「B.C.「D.-【考点】G9：任意角的三角函数的定义.【分析】利用正切化为正弦、余弦函数，结合的象限，同角三角函数的基本关系式，cos即可.【解答】解：因为：，且在第三象限，所以丄并且sin2+cos2=1解得J COSX J4sin=-；求出3 COS=—己故选D.5•函数3，则f (3)的值为( )f(D, x>0A .- 1 B.- 2 C . 1 D . 2【考点】5B :分段函数的应用；3P:抽象函数及其应用.【分析】利用分段函数，化简求解即可.【解答】解：函数彳，二、，则 f (3) =f (2) =f (1) =f (0) =log33=1.fSi), x>0故选：C.6.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )3④⑤⑥A .①②⑥B.①②③C.④⑤⑥D .③④⑤【考点】L7 :简单空间图形的三视图.【分析】由已知中的四面体ABCD的直观图，分析出四面体ABCD的三视图的形状，可得答案.【解答】解：由已知中四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，可得：四面体ABCD的正视图为①，四面体ABCD勺左视图为②，四面体ABCD勺俯视图为③，故四面体ABCD的三视图是①②③,故选：B7 •设D为厶ABC的所在平面内一点，矛--:丘，则■-=( )A . ~ —■ ■- B. .工. C. . 一］「.丄:. D . —：' j. -y~ ：f.【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义.【分析】取BC的中点E,则D为CE的中点，用...,...表示出，「即可得出「关于/ ,... 的不等式.【解答】解：•••；- | ,二D是BC的靠近C点的四等分点，取BC的中点E,则D为CE的中点，故选B.8. 某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图1中记录了每天的销售量(单位: 台)，把这些数据经过如图2所示的程序框图处理后，输出的S=( )196 B . 203 C . 【考点】EF :程序框图.【分析】由茎叶图可知n=7,模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S , i的值，当i=8 时不满足条件i < 7,退出循环，输出S 的值为29. 【解答】解：由茎叶图可知n=7, 模拟程序的运行，可得 S=0, i=1满足条件i <7,执行循环体，S=20, i=220+22满足条件i <7,执行循环体，S= - =21, i=3满足条件i <7,执行循环体，S='= , i=4满足条件i <7,执行循环体，S=-, i=5 4满足条件i < 7,执行循环体，S"* -=29, i=87Si满足条件i <7,执行循环体,满足条件i <7,执行循环体, i=6134S严罟+34 1686i=728 D . 29不满足条件i <7,退出循环，输出S的值为29.故选：D.9. 已知函数满足一下两个条件：①任意1，2€( 0, +X),且1工2时，(1 - 2)[ f ( 1)- f(2)]v0;②对定义域内任意有f () +f (-) =0，则符合条件的函数是( )A. f() =2B. f() =1- ||C.[工:：-D. f () =ln(+1)【考点】3P:抽象函数及其应用.【分析】由①可知f ()在(0, +x)上是减函数，由②可知f ()是奇函数.逐个分析各选项是否符合两条件即可.【解答】解：由①可知f ()在(0, +x)上是减函数，由②可知f ()是奇函数.对于A , f () =2是增函数，不符合题意；对于B, f (-) +f () =1 - | - 1+1- II =2- 2|| 丰0,不符合题意，对于D, f ()的定义域为(-1, +x),故f ()不是奇函数，不符合题意；故选C.10. 已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A (2a, 2), B (- 4, a), C (2a+2, 2),则厶ABC的外接圆的方程是( )A. 2+ (y-3) 2=5B. 2+ (y+3) 2=5C. (-3) 2+y2=5D. (+3) 2+y2=5【考点】J1：圆的标准方程.【分析】根据点A是直角三角形ABC的直角顶点，求出a, B, C的坐标求得圆心的坐标和圆的半径，则圆的方程可得.【解答】解：由题意，2a=- 4,二a=- 2圆的半径为：=〔」「〕「「；=匸，圆心为(-3, 0)•••圆的方程为(+3) 2+y2=5故选D.11•已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个球面上，△ ABC所在截面圆的圆心0在AB 上，SO 丄平面"石厂1,若三棱锥的体积是芋，则球体的表面积是( )3A. ； B•垄「C. 「D. 25 n4 12 48【考点】LG :球的体积和表面积；LR :球内接多面体.【分析】利用条件，求出SO,禾U用勾股定理，求出R,即可求出球体的表面积.【解答】解：•••△ ABC所在截面圆的圆心0在AB 上, SO丄平面Ah:：.'：/.：- ::.，三棱锥的体积是竿，••• S0=2，设球体的半径=R，则R= [ ：：，• R=；，•••球体的表面积是■；. ' ■■ 7—=.:，lb Q故选：A.TT jr12. 将函数的图象向左平移r个单位，在向上平移1个单位，得到g()的图象，若g (1) g (2) =16，且「‘工，二'―；—-，则21 - 2的最大值为( ) A. ：「C.、【考点】HJ:函数y=Asin(M©)的图象变换.【分析】利用函数y=Asin (①+妨的图象变换规律，正弦函数的图象特征，求得21 - 2的最大值.【解答】解:将函数匚〔；_』匸一的图象向左平移亍个单位，在向上平移1个单位，e—IT JT 2兀，，E 宀得到g () =3sin (2+p+=) +仁3sin (2+ 一.)+1 的图象，••• g (1) g (2) =16，.・.g (1) =g (2) =4，都为最大值,令5 ，可得—•=,€,又因为宁」可以取：斗；二;-I-12 f12 ，则21 - 2的最大-■ - -，值:故选：B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13. 数列｛a n｝中，若a n+i (a n+1) =a n，a i=1，则a6=.【考点】8H：数列递推式.【分析】&+1 (an+1) =a n，a i=1，可得：&==，同理可得：a3，a4，a5，a6，即可得出. 【解答】解：a n+1 (a n+1) =a n，a1=1，览=—，同理可得：a3=—，a4=—，応=广，贝U a6=-?,6故答案为：三2z+y-4^014. 已知实数，y满足m-lVO，则=-3y的最大值是占.y<3【考点】7C:简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件作出可行域如图，y<3x-y-l=O2x+y-4=0化目标函数=-3y 为y=* 一，由图可知，当直线y= " 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，有最大值为•十 故答案为：--.15•已知抛物线y 2=8上一点P 到焦点的距离为4,则厶PFO 的面积为_4_ 【考点】8:抛物线的简单性质.【分析】利用抛物线的定义，求出 P 的坐标，然后求出三角形的面积. 【解答】解：由抛物线定义，|PF|=P +2=4，所以P =2, |y p |=4,故答案为：4.16. 已知函数了亠丄吐与函数y=- 2的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是_ （-x-1 1，1）U （ 1，5）—.【考点】57:函数与方程的综合运用；54:根的存在性及根的个数判断. 【分析】化简函数的解析式，画出两个函数的图象，判断的范围即可. 卡（［二| 0+2） ST ） I 二| *2, -2<X<1 * x~l| x+2f 或 直线y=- 2过定点（o ,- 2）， 由函数图象: 可知结果为：（-1, 1）U （ 1, 5）. 给答案为：（-1, 1）U （ 1, 5）.所以，△ PFO 的面积S= |OF||y p | =¥ X 2X 4=4.【解答】解: 联立-三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设数列｛a n+1｝是一个各项均为正数的等比数列，已知a3=7，a?=127.(1)求的a i值；(2)求数列｛a n｝的前n项和.【考点】8E：数列的求和.【分析】(I)禾1」用等比数列的通项公式及其性质即可得出.(II)禾U用等比数列的求和公式即可得出.【解答】解：(I)由题可知a3+仁8，a7+1=128,…又数列｛a n+1｝是一个各项均为正数的等比数列，则:;=:：‘产上;门十32 o可得a5+仁32= (a1+1)x 「i ,解得a1=1.…(II ) ｛a n+1｝是一个以2为首项，2为公比的等比数列，上1，…利用分组求和可得.' 1.…18. 甘肃省瓜州县自古就以生产美瓜”面名扬中外，生产的瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%〜19%，是消暑止渴的佳品，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度，日照时长，温差有极强的相关性，分别用，y，表示蜜瓜甜度与海拔高度，日照时长，温差的相关程度，big对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，在用综合指标w=+y+的值平定蜜瓜的顶级，若w>4,则为一级；若2 < w < 3，则为二级；若0w w < 1，则为三级，今年，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：A B C D E种植地编号(，y,)(1, 0, 0)(2, 2, 1)(0, 1, 1)(2, 0, 2)(1, 1, 1)F G H I J种植地编号(，y,)(1, 1, 2)(2, 2, 2)(0, 0, 1)(2, 2, 1)(0, 2, 1)（1）若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为三家的蜜瓜种植地的数量；（2）从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标w 至少有一个为4的概率.【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】（1）计算10块种植地的综合指标，列出表格可知：等级为三级的有A，H 2块，其频率为卡，由此能估计等级为三级的块数.（2）等级是一级的（CD>4）有B，D，F，G，I，共5块，从中随机抽取两块，列举法能求出两块种植地的综合指标①至少有一个为4的概率.【解答】解：（1）计算10块种植地的综合指标，可得下表：用样本的频率估计总体的频率，2可估计等级为三级的块数为11.：—•一.…（2）由（1）可知：等级是一级的（G3>4）有B，D，F，G，I，共5块,从中随机抽取两块，所有的可能结果为：（B，D ），（B，F），（B，G），（B，I），（D，F），（D，G），(D, I), (F, G), (F, I), (G, I),共计10 个;其中综合指标s =4的有：D, F 2个，符合题意的可能结果为：（B, D）,（B, F）,（D, F）,（D, G）,（ D , I）（ F , G）,（F , I）共7 个，设两块种植地的综合指标s至少有一个为4”为事件M所以概率为：血-下•…19. 如图,在厶ABC 中,AB 丄BC,点D , E 分别在AB , AC 上,AD=2DB , AC=3EC , 沿DE 将厶ADE翻折起,使得点A到P的位置,满足•…一i .（1）证明：DB丄平面PBC；（2）若二E覗；、:,点M在PC上,且,求三棱锥P- BEM的体积.【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW:直线与平面垂直的判定.【分析】（1）设二乩叨丄-匕I —厂由此利用勾股定理得BD丄PB ,再由BD丄BC ,能证明BD丄面PBC.（2）由勾股定理得PB丄BC ,再由BD丄PB ,得PB丄面BCE ,从而三棱锥P-BEM的体3积'：f'LL '；L ri±\ I'LC【解答】证明：（1）设乂二u，FL ■ h 玉••• BD2+PB2=PD2••• BD 丄PB …••• BD 丄BC , PBA BC=B ,••• BD丄面PBC.…解：（2）t 亠「「- 1 -',••• PB丄BC•/ BD 丄PB 且BD n BC=B , /. PB丄面BCE ,•••三棱锥p-BEM的体积二20. 已知椭圆「］：二［的顶点到直线I: y=的距离分别为—：二a b z占上（1）求椭圆Ci的离心率；（2）过圆O：2+y2=4上任意一点P作椭圆Ci的两条切线PM和PN分别与圆交于点M, N，求△ PMN面积的最大值.【考点】4：椭圆的简单性质.【分析】（1）根据点到直线的距离公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的离心率；（2）分类讨论，当一条切线的斜率不存在时，：…", yp=± 1,即可求得厶PMN面积,当切线的斜率存在时，设切线方程，代入椭圆方程，由厶=0，由PM丄PN，MN| =4..f i - V. ，即可求得△ PMN 面积的最大值.【解答】解：（1）由直线li的方程知，直线li与两坐标轴的夹角均为45° 故长轴端点到直线I1的距离为’'「，短轴端点到直线I1的距离为丄亍，••• C1的离心率（2）设点P （P，yp），贝则瘡掃二」（i ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则另一切线的斜率为0,从而PM丄PN.此时，■::-:.（ii）若切线的斜率均存在，则一「一二设过点P的椭圆的切线方程为y- yp= （- P）,y-y p=k（x'x p）2 ，消y 并整理得：（3kSi）/+6kGp“Xp）計3（那吨打）「3=0.—+y二1依题意△ =0,得 5 I：■，「丁- !' i ■"^11-y 工-3设切线PM, PN的斜率分别为i, 2,从而.;'.-, Ji at O Z3-% 3-%即PM丄PN,线段MN为圆0的直径，| MN|=4.所以，.一.祇［应卜三卜J . 「亠丨汕r -條「二当且仅当P. ■：：■-时，S A PMN 取最大值4.综合(i ) ( ii)可得：S A PMN取最大值4.…21. 已知函数f () =sin+cos.(1)当:. 时，求函数f ()的单调区间；(2)若存在-，使得f ()> 2+cos成立，求实数的取值范围.【考点】6B：利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；(2)分离参数，问题转化为.令.八’，则.- ‘三m”，根据函XX x数的单调性求出h ()的最大值，从而求出的范围即可.【解答】解：(1) f () =sin+cos- sin=cos,…•••/：〒• =丿时，f () =cos> 0，•••函数f ()在'丄..才;上是增函数；4 |S叮二—-.时，f () =COS V 0,•••函数f ()在 …• 上是减函数； …(2)由题意等价于sin+cos >2 3+cos ,整理得，「一二― x人 ginx * / \ xcosx-sinx令.■''，则，：， 令 g () =cos- sin , g' () = - sin v 0,二g ()在 < -上单调递减， •••-：‘：； 一厂 - < .'，即卩 g () =cos- sin v 0, 甘 £ H .n V2 千3,即・ .7171 TTJT V ~T 请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时 用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑， 把答案填在答题卡上.［选修4-4坐标系与 参数方程］ ,=2+¥t f x=cos0 22.已知直线… - 一为参数)，曲线：…. |■为参数). (2)将直线的参数方程化为普通方程，曲线 C 2任意点P 的坐标，利用点到直线的距离公 式P2使判断I 与C 的位置关系； 3 若把曲线C i 上个点的横坐标压缩为原的 倍，纵坐标压缩为原的—倍，得到曲线 C 2,设点P 是曲线C 2上一个动点，求它到直线I 的距离的最小值.【考点】HJ ：函数y=Asin (小^)的图象变换；Q4：简单曲线的极坐标方程；QH :参数 方程化成普通方程.【分析】(1)将参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，即可得解.•■ ' ' ' '，即’亠在■ 上单调递到直线的距离d,分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d 的最小值即可.【解答】(本题满分为10分)解：(I ： x - - J 1，…，所以直线与曲线相离.…(II )变化后的曲线方程是，厂设点F' i~z~二m，…则点到直线的距离是丄V —•. - ■V2 =V2则最小距离是二•…2［选修4-5不等式选讲］23. 设函数f () =| - 3|，g() =| - 2|(1)解不等式f () +g ()v 2；(2)对于实数，y,若f ()w 1, g (y)< 1,证明：| - 2y+1| <3.【考点】R6:不等式的证明.【分析】(1)分类讨论，解不等式f () +g ()v 2;(2)利用绝对值不等式，即可证明结论.【解答】(1)解：解不等式| -3|+| - 2| v 2.①当W 2时，原不等式可化为3- +2-v2,可得■--.所以一:.②当2v< 3时，原不等式可化为3- +-2v2,可得1v2.所以2v< 3.③当》3时，原不等式可化为-3+- 2v2,可得「.所以W •.由①②③可知，不等式的解集为U £(2)证明：| —2y+1|=| (-3)— 2 (y - 2) | < | - 3|+2|y—2| < 1+2=3.当且仅当无｛［巾寸等号成立.…2017年5月24日。

2020年甘肃省兰州市高考数学二模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=1+3i的模等于()A. 2B. 4C. √10D. 2√22.已知集合A={x|2x+1≤1}，B={x|1x≤0}，则(∁R A)∩B=()A. [−1,0)B. (−1,0)C. (−∞,0)D. (−∞,−1)3.函数f(x)=e2x+1xe x的图象大致为()A. B.C. D.4.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =1，|b⃗ |=2则(3a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =()A. 5B. −5C. 6D. −65.焦点是(0,±2)，且与双曲线x23−y23=1有相同的渐近线的双曲线的方程是()A. x2−y23=1 B. y2−x23=1 C. x2−y2=2 D. y2−x2=26.已知S n是数列{a n}的前n项和，a1=2，a2=4，a3=6，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S25=()A. 233B. 282C. 466D. 6507.如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”.图中的“a MOD b”表示a除以 b的余数，若输入a ,b的值分别为195和52，则执行该程序输出的结果为()A. 13B. 26C. 39D. 788.正方体六个面的中心构成正八面体的6个顶点(如图所示)，从正八面体的12条棱中任选两条，则两条棱相互平行的概率等于A. 112B. 111C. 311D. 4119.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=√3，AD=1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A. √64B. √63C. √26D. √3610.在数列{a n}中，a1=1，a2=5，a n+2=a+1−a n(n∈N∗)，则a100=()A. 1B. −1C. 2D. 011.定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)>f(x)，f(0)=1，则不等式f(x)<e x的解集为()A. (−∞,6)B. (6,+∞)C. (0,+∞)D. (−∞,0)12.已知点F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的范围是()A. (1,+∞)B. (1,1+√2)C. (1,√3)D. (1−√2,1+√2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 垂直于直线2x −6y +1=0并且与曲线y =x 3+3x 2−5相切的直线方程是__________． 14. 若实数x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0，则z =3x −y 的最小值等于______．15. 数列{a n }满足(a n+1−1)(1−a n )=a n ，a 8=2，则S 2017=______．16. 设正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是单位正方形，其表面积14，则AA 1= ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a 2−b 2=bc ，2sinB −sinC =0，求角A 的大小．18. 某名校从2008年到2017年考入清华、北大的人数可以通过以下表格反映出来．(为了方便计算，将2008年编号为1，2009年编号为2，以此类推……)年该校考入清华、北大的人数；(结果要求四舍五入至个位)(2)从这10年的数据中随机抽取2年，记其中考入清华、北大的人数不少于20的有x 年，求x 的分布数列和数学期望．参考公式：{b =n i=1i −x)(y i−y)∑(n x −x)2=i n i=1i −nxy∑x 2n −nx2a =y −bx．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(√2,1)，且焦点坐标分别为(−√2,0),(√2,0)，直线L ：y =x +m 与椭圆交于A 、B 两点．(1)求椭圆方程；(2)若在y 轴上存在点Q ，使得△QAB 是正三角形，求m ．20. 如图所示，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD =CD =4，AD 1=5，M是B 1D 1的中点．(1)求证：BM//平面D 1AC ；(2)求直线DD 1与平面D 1AC 所成角的正弦值．21. 设函数f(x)=xe x +ax 2+2ax ．(Ⅰ)若a =−12，求f(x)的极值；(Ⅱ)若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为：{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为：ρcosθ+ρsinθ=2．(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设C1和C2交点为A，B，求△AOB的面积．23.已知函数f(x)=|x−1|−|x+2|．(1)若不等式f(x)≤|a+1|恒成立，求a的取值范围；(2)求不等式|f(x)−|x+2||>3的解集．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查了复数的模．利用复数求模的公式计算得结论．【解答】解：∵z=1+3i，∴|z|=√1+9=√10，故选C．2.答案：A解析：解：A={x|x<−1，或x≥1}，B={x|x<0}；∴∁R A={x|−1≤x<1}；∴(∁R A)∩B=[−1,0)．故选：A．可解出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法、区间的定义，分式不等式的解法，以及补集、交集的运算．3.答案：A解析：【分析】本题考查由函数解析式确定函数图象，属于基础题．利用函数的奇偶性及特值点确定函数图象即可．【解答】解：∵f(−x)=e−2x+1−xe−x =1+e2xe2x−xe x=1+e2x−xe x=−f(x)，f(x)定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称，∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故C，D错误；又f(1)=e2+1e>0，故A正确，B错误．故选A．4.答案：B解析：【分析】本题考查向量数量积的运算，属基础题．根据向量数量积的运算法则化简即可．【解答】解：因为a⃗⋅b⃗ =1，|b⃗ |=2，所以(3a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =3a⃗·b⃗ −2b⃗ 2=3−8=−5．故选B．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查双曲线方程的求解，根据条件利用待定系数法是解决本题的关键．根据条件利用待定系数法设出双曲线的方程，结合双曲线的焦点建立方程关系即可得到结论．【解答】解：与双曲线x23−y23=1有相同渐近线的双曲线的方程可以设为x23−y23=λ(λ≠0)，∵焦点是(0,±2)，∴双曲线的焦点在y轴，且c=2，则双曲线的标准方程为y2−3λ−x2−3λ=1，则a2=−3λ，b2=−3λ，则c2=−3λ−3λ=−6λ=4，则λ=−23，则双曲线的标准方程为y2−x2=2，故选D．6.答案：B解析：解：S n是数列{a n}的前n项和，a1=2，a2=4，a3=6，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，可知a4=4，a5=6，a6=8，a7=6，a8=8，a9=10，a10=8，a11=10，a12=12，即：2，4，6，4，6，8，6，8，10，8，10，12，10，12，14，12，14，16，14，16，…数列{a n}的前25项和：2+2×4+3(6+8+10+12+14+16+18)+20=30+3×6+182×7= 282．故选：B．利用等差数列的性质，转化求解数列的排列规律，然后求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，考查计算能力．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查含有循环结构的程序框图的算法，属基础题．弄清该算法“欧几里得算法”的本质是关键，即求两个数的最大公约数．【解答】解：如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”，图中的“a MOD b”表示a除以b的余数，该算法即求两个数的最大公约数，若输入a，b的值分别为195，52，则执行该程序输出的结果为13，故选A．8.答案：B解析：【分析】本题考查了古典概型的计算与应用，属于角容易题．【解答】解：从正八面体的12条棱中任选两条，共有C122=12×112=66(种)情况，两条棱相互平行的有AB//CD，AD//BC，BE//DF，CE//AF，BF//ED，AE//CF，共有6种，故概率为：P=666=111．故选B．9.答案：A【分析】本题考查异面直线及其所成角，关键是找出异面直线所成角，是基础题．由题意画出图形，找出异面直线B1C和C1D所成角，求解三角形得答案．【解答】解：如图，连接B1A，则B1A//C1D，∴∠AB1C为异面直线B1C和C1D所成角或补角，在△AB1C中，AB1=√6，B1C=2，AC=2，∴cos∠AB1C=AB12+B1C2−AC22⋅AB1⋅B1C =2×√6×2=√64．∴异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为√64．故选A．10.答案：B解析：【分析】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．依题意得到a n+6=a n,即数列为周期数列，即可解答．【解答】解：∵在数列{a n}中，a1=1，a2=5，a n+2=a n+1−a n(n∈N)，∴a3=a2−a1=4，同理可得：a4=−1，a5=−5，a6=−4，a7=1，a8=5，…，可得a n+6=a n．则a100=a16×6+4=a4=−1．故选B．11.答案：D解析：本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．构造函数g(x)=f(x)e，利用导数研究函数的单调性，即可得到结论．【解答】解：构造函数g(x)=f(x)e x，则g′(x)=f′(x)e x−f(x)e x(e x)2=f′(x)−f(x)e x，∵f′(x)>f(x)，∴g′(x)>0，即g(x)在R上单调递增，∵f(0)=1，∴g(0)=f(0)e0=1，则不等式f(x)<e x，等价为g(x)=f(x)e x<1，即g(x)<g(0)，则x<0，即不等式的解集为(−∞,0)，故选：D．12.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的运用，属于中档题．由题意，易知过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形，△ABF2为锐角三角形只要∠AF2B为锐角即可，由此可知b2a<2c，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：根据题意，易得AB=2b2a，F1F2=2c，由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，只要∠AF2B为锐角，即AF1<F1F2即可；∴有b2a<2c，即2ac>c2−a2，即e2−2e−1<0，解得：1−√2<e<1+√2，∵e>1，∴e∈(1,1+√2)故选B ．13.答案：3x +y +6=0解析：解：设切点为P(a,b)，函数y =x 3+3x 2−5的导数为y′=3x 2+6x 切线的斜率k =y′|x=a =3a 2+6a =−3，得a =−1，代入到y =x 3+3x 2−5， 得b =−3，即P(−1,−3)，y +3=−3(x +1)，3x +y +6=0． 故答案为：3x +y +6=0．欲求切线方程，只须求出切点坐标即可，设切点为P(a,b)，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率列出等式求出a ，b 值．从而问题解决．本小题主要考查互相垂直的直线的斜率间的关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14.答案：−72解析： 【分析】作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 【解答】解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值． 通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大． 因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72． 故答案为：−72．15.答案：20172解析：解：∵(a n+1−1)(1−a n)=a n，a8=2，∴(2−1)(1−a7)=a7，解得a7=12，同理可得a6=−1，a5=2，…，a1=12.∴a n+3=a n．则S2017=a1+672(a6+a7+a8)=12+672×32=20172．故答案为：20172．(a n+1−1)(1−a n)=a n，a8=2，∴(2−1)(1−a7)=a7，解得a7=12，同理可得a6=−1，a5=2，…，a1=12.可得a n+3=a n.S2017=a1+672(a6+a7+a8).本题考查了数列递推关系、数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：3解析：【分析】本题考查求棱柱的表面积，基础题．由题意该正四棱柱的底面为正方形，侧面都是全等的矩形，算出各面的面积，从而得到关于AA1的方程，求解即可．【解答】解：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是单位正方形，所以上下底面的面积之和为2，该正四棱柱的侧面都是全等的矩形，所以侧面积之和为4×1×AA1=4AA1，所以该正四棱柱的表面积为2+4AA1=14，解得AA1=3．故答案为3．17.答案：解：在△ABC中，∵2sinB−sinC=0，∴2b−c=0，即c=2b．由cosA=b2+c2−a22bc ，a2−b2=bc，可得cosA=c2−bc2bc=4b2−2b24b2=12，∴A=60°．解析：由条件利用正弦定理求得c=2b，再由余弦定理以及a2−b2=bc，求得cos A的值，从而求得A的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．18.答案：解：(1)x =6+7+8+9+105=8,y =24+29+21+20+165=22，b =−2×2−1×7−1×2−2×64+1+1+4=−52，a =22+52×8=42， ∴y =−52x +42， 故当x =11时，y ≈15，所以，2018年该校考入清华北大的人数约为15人．………………(6分) (2)随机变量x 的取值分别为0，1，2，P(x =0)=C 62C 102=13，P(x =1)=C 41C 61C 102=815，P(x =2)=C 42C 102=21531515155……………(12分)解析：(1)求出样本中心，求出回归直线方程，然后求解当x =11时，y ≈15，推出结果． (2)随机变量x 的取值分别为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列的求法，期望的求法，回归直线方程的求法与应用，考查计算能力．19.答案：解：(1)由题意可得{c =√22a2+1b2=1a 2=b 2−c 2，解得a 2=4，b 2=2∴椭圆方程为x 24+y 22=1(2)由{y =x +m x 24+y 22=1消y 得3x 2+4mx +2m 2−4=0，△=8(6−m 2)>0⇒−√6<m <√6设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−4m 3，x 1x 2=2m 2−43，∴|AB|=√2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=43√6−m 2设AB 中点为P(x 0,y 0)，则x 0=x 1+x 22=−2m 3，y 0=x 0+m =m3，∴P(−2m 3,m 3)PQ ：y =−x −m3， 令x =0得y =−m3，∴Q(0,−m 3) 由已知得|PQ|=√32|AB|，∴√4m 29+4m 29=√32⋅43√6−m 2，∴m =±3√105，符合△>0解析：(1)由题意可得{c =√22a2+1b2=1a 2=b 2−c 2，解得a 2=4，b 2=2，即可求出椭圆方程，(2)联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求得m 的范围，求出AB 的中点坐标，结合正三角形的性质，即可求出m 的值．本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线方程与圆锥曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系求解，要求学生具有较强的计算能力，是压轴题．20.答案：【解答】证明：(1)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中 ∵AD =4，AD 1=5，∴DD 1=√AD 12−AD 2=3以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ， 设AC 的中点为N ，连结ND 1，根据题意得A(4,0，0)，B(4,4，0)，C(0,4，0)，D(0,0，0)，B 1(4,4，3)，D 1(0,0，3)， B 1D 1的中点为M(2,2，3)，AC 的中点为N(2,2，0)． ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,3)，ND 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,3)， ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //ND 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BM//ND 1．∵BM ⊄平面D 1AC ，ND 1⊂平面D 1AC ， ∴BM//平面D 1AC ．解：(2)DD 1=(0,0，3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,4，0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0，3)， 设平面D 1AC 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 根据已知得{n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−4x +4y =0n⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4x +3z =0，取x =1，得n⃗ =(1,1，43)是平面D 1AC 的一个法向量， ∴cos <DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√3417， ∴直线DD 1与平面D 1AC 所成角的正弦值等于2√3417．解析： 【分析】(1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能证明BM//平面D 1AC ．(2)求出平面D 1AC 的一个法向量和平面D 1AC 的一个法向量，利用向量法能求出直线DD 1与平面D 1AC 所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)若a =−12，则f(x)=xe x −12x 2−x ，f′(x)=e x +xe x −x −1=(e x −1)(x +1)，∴当x =−1时f(x)有极大值为2e ，当x =0时f(x)有极小值为0． (Ⅱ)当x =0时，f(x)=0，成立，当x >0时，f(x)=x(e x +ax +2a)，令g(x)=e x +ax +2a(x >0)， 则只需g(x)≥0恒成立．又g′(x)=e x +a ， 当x >0时，e x >1．若a ≥−1，则g′(x)>0，∴g(x)在(0,+∞)上为增函数， 从而g′(x)>g(0)=1+2a ≥0，∴a ≥−12，若a <−1，则当x ∈(0,ln(−a))时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)=1+2a <−1， 这与“g(x)≥0恒成立”矛盾，故舍去． 综上，a 的取值范围为[−12,+∞)．解析：(Ⅰ)若a =−12，则f(x)=xe x −12x 2−x ，f′(x)=e x +xe x −x −1=(e x −1)(x +1)，利用导数性质能求出f(x)的极值．(Ⅱ)当x =0时，f(x)=0，成立，当x >0时，f(x)=x(e x +ax +2a)，令g(x)=e x +ax +2a(x >0)，则只需g(x)≥0恒成立．由此能求出a 的取值范围．本题考查函数的极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的极值、单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22.答案：解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，即{x −2=2cosαy =2sinα，平方相加消去参数α， 可得C 1的普通方程为：(x −2)2+y 2=4(或x 2+y 2−4x =0)，∵x =ρcosθ，y =ρsinθ，代入直线C 2的极坐标方程ρcosθ+ρsinθ=2 得C 2的直角坐标方程x +y −2=0．(2)由(1)知C 1是以(2,0)为圆心，为2半径的圆， 且直线x +y −2=0过圆心(2,0)∴|AB|=4， 又由于原点到直线x +y −2=0的距离为d =√2=√2 则△AOB 的面积为12|AB|d =12×4×√2=2√2．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查圆的参数方程与普通方程的转化，属于基础题． (1)利用平方关系式消去参数α可得曲线C 1的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式可得C 2的直角坐标方程；(2)由于C 2过圆心所以|AB|=4，再用点到直线的距离求出三角形的AB 边上的高，可求得面积．23.答案：解：(1)因为f(x)=|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)|=3，所以由f(x)≤|a +1|恒成立得|a +1|≥3， 即a +1≥3或a +1≤−3， 解得a ≥2或a ≤−4；(2)不等式||x −1|−2|x +2||>3，等价于|x −1|−2|x +2|>3或|x −1|−2|x +2|<−3， 设g(x)=|x −1|−2|x +2|={−x −5,x ≥1−3x −3,−2≤x <1x +5,x <−2，画出g(x)的图象如图所示：由图可知，不等式的解集为{x|x <−8或x >0}．解析：(1)利用绝对值三角不等式求出f(x)的最大值，再求关于a 的绝对值不等式即可； (2)由题意画出函数g(x)=|x −1|−2|x +2|的图象，结合图象求出对应不等式的解集． 本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

第Ⅰ 卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|10}M x x =-≤,11{|24,}2x N x x Z +=<<∈,则M N = ( )A ．}1{B ．}0,1{-C ．}1,0,1{-D ．∅2. 若i z )54(cos 53sin -+-=θθ是纯虚数，则)4tan(πθ-的值为 ( )A ．7-B ．71- C. 7 D.7-或17-3. 设{n a }是公比为正数的等比数列，若16,453==a a ，则数列{n a }的前5项和为（ ）A ．41B ．15C ．32D ．314.在空间给出下面四个命题（其中m 、n 为不同的两条直线，a 、b 为不同的两个平面）①m ^a ，n //a Þm n ^ ②m //n ，n //a Þm //a③m //n ，n b ^，m //a Þa b ^ ④m n A =，m //a ，m //b ，n //a ，n //b Þa //b 其中正确的命题个数有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.若下边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 ( )A ．n ≤5B ．n ≤6C ．n ≤7D ．n ≤86.一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边．．三角形,则这个几何体的体积为 ( )A ． (4π+C 7. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题:"0":"0"11x x p p x x ≥⌝<--则 ③对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大； ④“0x >”是“12x x+≥”的充分必要条件. 其中正确的命题个数是 ( )A.1B.2C.3D.48.已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωϕωϕωϕ=++><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则 ( )A ．)(x f 的最小正周期为π2，且在),0(π上为单调递增函数B ．)(x f 的最小正周期为π2，且在),0(π上为单调递减函数C ．)(x f 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数D ．)(x f 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递减函数9.设变量,x y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数1y z x +=取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1,3]C ．3[,3]2D ． 3[1,]212. 已知直线)2(-=x k y (k ＞0)与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k 的值为（ ）A ．13BC． D ．23第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

2020 年兰州市高三实战模拟考试理科数学一、选择题.在每小题给出的的四个选项中，只有一面是符合题目要求的.1.已知复数，则 （ ）A.B.【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简复数C.D.，再利用复数模的计算公式，即可求解。

【详解】，所以，故选 B 【点睛】本题考查复数求模的问题，考查复数的运算，属基础题。

2.已知集合 A.， B.，则（）C.D.【答案】C【解析】【分析】由集合的交集运算，直接求出答案即可。

【详解】因为，，所以 =故选 B【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题。

，即，3.函数的图像大致为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 由解析式判断图像可通过定义域，奇偶性与特殊值用排除法求解。

【详解】，所以函数 是偶函数，图像关于 轴对称，故排除 C,D，所以排除 B故选 A. 【点睛】由解析式判断函数图像的一般方法 1、求定义域 2、判断奇偶性 3、取特殊值 4,、求导，判断增减性4.已知向量 ， 满足，，A.B.【答案】B，则 与 的夹角为（ ）C.D.【解析】 【分析】 将 求解。

【详解】由题意得 所以展开，代入，，又，可求出 的值，结合求夹角公式，即可，所以，所以 ，即 与 的夹角为 ，故选 B。

【点睛】本题考查向量的数量积公式以及向量夹角的求法，属基础题。

5.经过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（ ）A.B.C. 【答案】D 【解析】 【分析】 设所求双曲线的方程，将点D. 代入求出 ，从而求出方程。

【详解】设所求双曲线的方程为，将点代入得解得，所以双曲线方程为故选 D.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，解题的关键是设所求双曲线的方程为于简单题。

，属6.定义“等积数列”:在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列 是等积数列且，前 项的和为 ，则这个数列的公积为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题可得，，先由题求出 ，则公积为 .【详解】由题可知等积数列的各项以 2 为一个周期循环出现，每相邻两项的和相等，前 项的和为则即，解得所以公积是 故选 C. 【点睛】本题考查数列，解题的关键是理解等积数列的各项以 2 为一个周期循环出现，每相 邻两项的和相等，考查学生的类比能力。

留两位小数），并检验此方程是否可靠．
̂
参考公式：∑18 1 8Fra bibliotek!8 !
∑18 1 8
2
∑18 1 8!8 1 ! ̂
∑18 1
2 8
1 2，
̂
!．
20．已知圆 E 与圆 F：（x﹣2）2+y2＝1 相外切，且与直线 x+1＝0 相切．
图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（ ）
A．甲的轮滑指标高于他 的雪地足球指标
B．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标
C．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标
D．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标
7．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a2+a4＝10，S4＝24，则 a1 的值为（ ）
日期
1 月 1 日 1 月 2 日 1 月 3 日 1 月4 日 1 月 5 日 1 月 6 日
温差 x（摄氏度） 10
11
12
13
8
9
发芽率 y（粒）
26
27
30
32
21
24
他们确定的方案是先从这 6 组数据中选出 2 组，用剩下的 4 组数据求回归方程，再用选
取的两组数据进行检验． （1）求选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过 1 粒，则认为得到的线 性回归方程是可靠的．请根据 1 月 2，3，4，5 日的数据求出 y 关于 x 的线性回归方程（保
D．1
A．∃ ∈ 0， ∞ ， 2020
0
B．∀ ∈ 0， ∞ ， 2020
0
C．∃ ∉ 0， ∞ ， 2020
0

2020年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|12}A x x =-剟，{1B =-，1}，则(A B =I ) A ．{|11}x x -剟B ．{0，1}C ．{1-，0，1}D ．{1-，1}2．（5分）若(1)(1)iz i i =-+，则(z = ) A ．2iB ．0C ．i -D ．2i -3．（5分）已知向量(1,1),(2,3)a b =-=-r r ，则||(a b -=r r )A B ．1 C ．5 D ．254．（5分）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()f x lgx =，则函数()f x 的零点个数为()A ．4B ．3C ．2D ．15．（5分）命题“[0x ∀∈，)+∞，22020cos 0x x ->”的否定为( )A ．2000[0,),2020cos 0x x x ∃∈+∞-„ B ．2000[0,),2020cos 0x x x ∀∈+∞-„ C ．2000[0,),2020cos 0x x x ∃∉+∞-„D ．2000[0,),2020cos 0x x x ∀∉+∞-< 6．（5分）2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜()ga 、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是( )A ．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B ．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C ．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D ．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标7．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2410a a +=，424S =，则1a 的值为( ) A ．9B ．1C ．9-D ．2-8．（5分）在棱长均相等的四面体OABC 中，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点，则异面直线MN 与AB 所成角的大小为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．（5分）兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为31000cm 的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2100cm ⨯的面条，⋯⋯，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（单位：cm ．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）( ) A ．1031πB ．516πC ．10231D ．528π10．（5分）已知1F 、2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，1(2,0)F -，若双曲线的左支上有一点P ，满足12||||2PF PF -=-，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y x =C ．y =D ．13y x =±11．（5分）定义在R 上的函数()y f x =在(-∞，1]上单调递减，且(1)f x +是偶函数，则使(21)f x f ->（3）成立的x 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(-∞，0)(2⋃，)+∞C ．(0,1)D ．(,0)-∞12．（5分）在“家校连心，立德树人--重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成．已知该微信群众男学生人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数．若把这5类人群的人数作为一组数据，当该微信群总人数取最小值时，这组数据的中位数是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数2cos y x =定义域为[,]3ππ，值域为[a ，]b ，则b a -= ．14．（5分）数列{}n a 中，已知111,2n n n a a a +=+=，则6a = ．15．（5分）已知曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-，则tan()6a ππ-= ．16．（5分）“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，则FB AB =u u u r u u u rg ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）已知ABCD 是矩形，2AD AB =，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：DF ⊥平面PAF ；（2）若在棱PA 上存在一点G ，使得//EG 平面PFD，求AGAP的值．18．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)cos cos 0a b C c B ++=． （1）求角C ；（2）若ABC ∆的面积83S =421R =ABC ∆的周长． 19．（12分）某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽的影响，对温差与发芽率之间的关系进行统计分析研究，记录了6天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如表：日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日1月6日温差x （摄氏度） 10 11 12 13 8 9 发芽率y （粒)262730322124他们确定的方案是先从这6组数据中选出2组，用剩下的4组数据求回归方程，再用选取的两组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据1月2，3，4，5日的数据求出y 关于x 的线性回归方程（保留两位小数），并检验此方程是否可靠．参考公式：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 20．（12分）已知圆E 与圆22:(2)1F x y -+=相外切，且与直线10x +=相切． （1）记圆心E 的轨迹为曲线G ，求G 的方程；（2）过点(3,2)P 的两条直线1l ，2l 与曲线G 分别相交于点A ，B 和C ，D ，线段AB 和CD 的中点分别为M ，N ．如果直线1l 与2l 的斜率之积等于1，求证：直线MN 经过定点．21．（12分）已知函数2()[(25)85]()x f x e x a x a a R =+--+∈． （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）当[0x ∈，2]时，若不等式2()2f x e …恒成立，求实数a 的取值范围． （二）选考题；共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答．并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2(2x a t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 坐标为(,2)a ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且||4||PA PB =，求实数a 的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()f x =（1）解不等式()f x f (2)； （2）若关于x 的不等式25()2f x t t -„在[0，3]上无解，求实数t 的取值范围．2020年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|12}A x x =-剟，{1B =-，1}，则(A B =I ) A ．{|11}x x -剟B ．{0，1}C ．{1-，0，1}D ．{1-，1}【解答】解：Q 集合{|12}A x x =-剟，{1B =-，1}， {1A B ∴=-I ，1}．故选：D ．2．（5分）若(1)(1)iz i i =-+，则(z = ) A ．2iB ．0C ．i -D ．2i -【解答】解：(1)(1)2iz i i =-+=Q ，22z i i∴==- 故选：D ．3．（5分）已知向量(1,1),(2,3)a b =-=-r r ，则||(a b -=rr )A B ．1 C ．5 D ．25【解答】解：Q (3,4)a b -=-rr ， ∴||5a b -=rr ．故选：C ．4．（5分）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()f x lgx =，则函数()f x 的零点个数为()A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：Q 奇函数()f x 的定义域为R ，(0)0f ∴=，Q 当0x >时，()f x lgx =，在(0,)+∞上单调递增，又f （1）10lg ==，∴函数()f x 在(0,)+∞上存在唯一零点1，Q 奇函数图象关于原点对称，∴函数()f x 在(,0)-∞上存在唯一零点1-，∴函数()f x 在R 上的零点个数为3个，故选：B ．5．（5分）命题“[0x ∀∈，)+∞，22020cos 0x x ->”的否定为( )A ．2000[0,),2020cos 0x x x ∃∈+∞-„ B ．2000[0,),2020cos 0x x x ∀∈+∞-„ C ．2000[0,),2020cos 0x x x ∃∉+∞-„D ．2000[0,),2020cos 0x x x ∀∉+∞-< 【解答】解：命题“[0x ∀∈，)+∞，22020cos 0x x ->”的否定为： 0[0x ∃∈，)+∞，2002020cos 0x x -„．故选：A ．6．（5分）2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜()ga 、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是( )A ．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B ．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C ．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D ．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标【解答】解：A 选项，甲的滑轮指标为4分，雪地足球指标也为4分，故A 错误；B 选项，甲的雪地足球指标为4分，乙的雪地足球指标也为4分，故B 错误；C 选项，甲的爬犁速降指标为4分，乙的爬犁速降指标为4分，故C 正确，D 选项，乙的俯卧式爬犁指标为5分，甲的雪合战指标为5分，故D 错误．故选：C ．7．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2410a a +=，424S =，则1a 的值为( ) A ．9B ．1C ．9-D ．2-【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，2410a a +=Q ，424S =， 12410a d ∴+=，14624a d +=，解得19a =． 故选：A ．8．（5分）在棱长均相等的四面体OABC 中，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点，则异面直线MN 与AB 所成角的大小为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【解答】解：取AB 中点D ，OB 中点E ，连结OD 、CD 、ME 、NE ，Q 在棱长均相等的四面体OABC 中，OD AB ∴⊥，CD AB ⊥，OD CD D =Q I ，AB ∴⊥平面CDO ，OC ⊂Q 平面CDO ，AB CD ∴⊥，M Q ，N 分别是棱OA ，BC 的中点， ME AB ∴=，且12ME AB =，//NE OC ，且12NE OC =， AB OC =Q ，AB OC ⊥，ME NE ∴=，且ME NE ⊥， 45NME ∴∠=︒，//ME AB Q ，45NME ∴∠=︒是异面直线MN 与AB 所成角，∴异面直线MN 与AB 所成角的大小为45︒．故选：B ．9．（5分）兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为31000cm 的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2100cm ⨯的面条，⋯⋯，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（单位：cm ．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）( ) A ．1031πB ．516πC ．10231D ．528π【解答】解：面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条， 再经过第二次对折拉伸成长为2100cm ⨯的面条，⋯ 则经过五次对折拉伸成长为16100cm ⨯的面条． 设经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是d ， 则216()10010002dπ⨯⨯⨯=，解得528d π=故选：D ．10．（5分）已知1F 、2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，1(2,0)F -，若双曲线的左支上有一点P ，满足12||||2PF PF -=-，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．3y x =± B ．3y x =C ．3y x =D ．13y x =± 【解答】解：1F 、2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，1(2,0)F -，可得2c =，若双曲线的左支上有一点P ，满足12||||2PF PF -=-，所以1a =，\ 则3b =所以双曲线的渐近线方程为：3y x =±． 故选：C ．11．（5分）定义在R 上的函数()y f x =在(-∞，1]上单调递减，且(1)f x +是偶函数，则使(21)f x f ->（3）成立的x 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(-∞，0)(2⋃，)+∞C ．(0,1)D ．(,0)-∞【解答】解：根据题意，(1)f x +是偶函数，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 若()y f x =在(-∞，1]上单调递减，则()f x 在[1，)+∞上为增函数，(21)f x f ->（3）|22||31|x ⇒->-，解可得0x <或2x >，即x 的取值范围是(-∞，0)(2⋃，)+∞； 故选：B ．12．（5分）在“家校连心，立德树人--重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成．已知该微信群众男学生人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数．若把这5类人群的人数作为一组数据，当该微信群总人数取最小值时，这组数据的中位数是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：要使5类人群的人数最小，则这5个数应是连续自然数，设为x ，1x +，2x +，3x +，4x +．由题意24x x >+，所以4x >，又x N ∈，则5x =小，故这5个数是：5，6，7，8，9．所以中位数是7， 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数2cos y x =定义域为[,]3ππ，值域为[a ，]b ，则b a -= 3 ．【解答】解：已知函数cos y x =在[,]3ππ上单调递减，当3x π=时，函数的1212max y =⨯=，当x π=时函数的2min y =-， 即2a =-，1b =， 所以3b a -=． 故答案为：314．（5分）数列{}n a 中，已知111,2n n n a a a +=+=，则6a = 21 ．【解答】解：因为数列{}n a 中，已知111,2n n n a a a +=+=， 所以：5543216544322122(2)1616224(2)2020(2)21a a a a a a a a =-=--=+=+-=--=+=+-=．故答案为：21．15．（5分）已知曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-，则tan()6a ππ-=23- ．【解答】解：4sin cos y a x x =-的导数为4cos sin y a x x '=+， 可得曲线在0x =处的切线的斜率为4k a =， 由切线方程1y x =-可得41a =，即14a =， 则3tantan1463tan()234631tan tan 146ππππππ---===-++， 故答案为：23-．16．（5分）“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，它的离心率为51-，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，则FB AB =u u u r u u u rg 0 ．【解答】解：由题意，可知 优美椭圆的的离心率51c e a -==，则 可设2a =，51c =-． 根据题意画图如下：结合图象，可得()()FB AB OB OF OB OA =--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g2||OB OB OA OF OB OF OA =--+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g2cos180b c a =+︒g g 22a c ac =--24(51)2(51)=----0=．故答案为：0．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）已知ABCD 是矩形，2AD AB =，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：DF ⊥平面PAF ；（2）若在棱PA 上存在一点G ，使得//EG 平面PFD ，求AGAP的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在矩形ABCD 中，因为2AD AB =，点F 是BC 的中点，所以45AFB DFC ∠=∠=︒． 所以90AFD ∠=︒，即AF DF ⊥．⋯（3分） 又PA ⊥平面ABCD ， 所以PA DF ⊥，所以DF ⊥平面PAF ．⋯（6分） （2）过E 作//EH FD 交AD 于H ，则//EH 平面PFD ，且14AH AD =． 再过H 作//HG PD 交PA 于G ，⋯（8分） 所以//GH 平面PFD ，且14AG PA =． 所以平面//EHG 平面PFD ，⋯（10分） 所以//EG 平面PFD ，从而点G 满足14AG AP =．⋯（12分）18．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)cos cos 0a b C c B ++=． （1）求角C ；（2）若ABC ∆的面积83S =4213R =，求ABC ∆的周长． 【解答】解：（1）Q 由题意知，(2)cos cos 0a b C c B ++=，∴由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos 0A B C C B ++=，则2sin cos sin cos sin cos 0A C B C C B ++=，即sin()2sin cos B C A C +=-， ABC ∆Q 中，sin()sin()sin 0B C A A π+=-=>，12cos C ∴=-，得1cos 2C =-，又0C π<<， 23C π∴=； （2）23C π=Q ，421R ，及2sin c R C =，47c ∴=又1213sin 83232S ab ab π===∴可得32ab =，又Q 余弦定理2222cos c a b ab C =+-，∴可得22222cos3a b ab π+-=，即222()112a b ab a b ab ++=+-=， 又32ab =，12a b ∴+=，12a b c ∴++=+，即ABC ∆的周长为12+．19．（12分）某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽的影响，对温差与发芽率之间的关系进行统计分析研究，记录了6天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如表：他们确定的方案是先从这6组数据中选出2组，用剩下的4组数据求回归方程，再用选取的两组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据1月2，3，4，5日的数据求出y 关于x 的线性回归方程（保留两位小数），并检验此方程是否可靠．参考公式：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 【解答】解：（1）从6组数据中任选2组数据，共有15个基本事件， 记这2组数据恰好是相邻两天数据为事件A ．则A 中有(1.1,1.2)，(1.2,1.3)，(1.3,1.4)，(1.4,1.5)，(1.5,1.6)共5个基本事件． 故P （A ）51153==； （2）1(1113128)114x =+++=，1(27303221)27.54y =+++=．∴1221(112712301332821)41127.5ˆ 2.21(12116914464)4121ni ii nii x ynxybxnx ==-⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==≈+++-⨯-∑∑，ˆˆ27.5 2.2111 3.19ay bx =-=-⨯=． ∴所求线性回归方程为 2.21 3.19y x =+．取10x =，得25.29y =，|25.2926|1-<， 取9x =，得23.08y =，|23.0824|1-<． 故此线性回归方程是可靠的．20．（12分）已知圆E 与圆22:(2)1F x y -+=相外切，且与直线10x +=相切． （1）记圆心E 的轨迹为曲线G ，求G 的方程；（2）过点(3,2)P 的两条直线1l ，2l 与曲线G 分别相交于点A ，B 和C ，D ，线段AB 和CD 的中点分别为M ，N ．如果直线1l 与2l 的斜率之积等于1，求证：直线MN 经过定点． 【解答】解：（1）因为10x +=在圆F 的左边，设E 的坐标为(,)x y 所以1x >-，11x =+，整理可得28y x =， 所以G 的方程为：28y x =；（2）由题意可知直线1l ，2l 的斜率存在且不为0，设直线1l 的方程为：(2)323x m y my m =-+=-+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立直线1l 与抛物线的方程2238x my m y x=-+⎧⎨=⎩整理可得2816240y my m -+-=，128y y m +=，所以AB 的中点M 的纵坐标为4M y m =，代入直线1l 的方程可得M 的横坐标2423M x m m =-+，即M 的坐标2(423m m -+，4)m ，同理可得CD 的中点N 的坐标，将m 换成1m ，即242(3N m m-+，4)m ， 所以直线MN 的斜率22442421(423)(3)2()1MN m mk m m m m mm-==-+--++-， 所以直线MN 的方程：224[(423)]12()1y m x m m m m-=--++-， 所以直线MN的方程为：214[2()1]242322(1)11112()12()12()12()1m m m m m y x x m m m m m mmm+--+=-+=++-+-+-+-g ， 所以直线MN 恒过定点(1,0)-．21．（12分）已知函数2()[(25)85]()x f x e x a x a a R =+--+∈． （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）当[0x ∈，2]时，若不等式2()2f x e …恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）1a =时，2()[33)x f x e x x =--，2()(6)(2)(3)x x f x e x x e x x '=--=+-， 当3x >或2x <-时，()0f x '>，函数单调递增，当23x -<<时，()0f x '<，函数单调递减， 故()f x 的极大值27(2)f e -=，极小值f （3）33e =-， （2）()(2)(3)x f x e x a x '=+-，[0x ∈，2]，()i 当20a -„即0a …时，()f x 在(0,2)上单调递减，由题意可得，f （2）22(41)2a e e =-+…，得34a -„，此时不成立； ()ii 当022a <-<即10a -<<时，()f x 在(0,2)a -上单调递增，(2,2)a -上单调递减，由题意有222(0)582(2)(41)2f a e f e a e ⎧=-⎨=-+⎩……，得252834e a a ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩„„，由于25218e -<-，故此时不成立， ()iii 当22a -…即1a -„时，()f x 在(0,2)上单调递增，由题意可得2(0)2f e …， 故2528e a -„，综上，a 的范围(-∞，252]8e -．（二）选考题；共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答．并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为(22x a t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 坐标为(,2)a ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且||4||PA PB =，求实数a 的值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为2(2x a t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），转换为直角坐标方程为20x y a --+=．将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-．得到22y x =． （2）将直线l的参数方程为2(2x a t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），代入22y x =得到：2480t a +-+=，所以12t t +=-1284t t a =-，依题意且||4||PA PB =，所以12||4||t t =，故代入解得4226259a =或． 都满足由△0>解得的32a >． 故a 的值为4226259或 [选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()f x =（1）解不等式()f x f (2)； （2）若关于x 的不等式25()2f x t t -„在[0，3]上无解，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）函数()|2||21|f x x x ==-+-，不等式()f x f …（2）即为|2||21|3x x -+-…， 等价为122123x x x ⎧⎪⎨⎪-+-⎩„…或1222213x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-⎩…或22213x x x ⎧⎨-+-⎩……，解得0x „或x ∈∅或2x …， 所以原不等式的解集为{|0x x „或2}x …； （2）111113()|2||21||2|||(||)|2|||222222f x x x x x x x x =-+-=-+-+---++-=…，当且仅当1[02x =∈，3]时，上式取得等号，即3()2min f x =，关于x 的不等式25()2f x t t -„在[0，3]上无解，则有25322t t -<，解得132t-<<，则所求t的取值范围是1(2-，3)．。

2020年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，2a}，N={a，b}，若M∩N={2}，则M∪N=（）A．{0，2，3}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，3}2．复数（i是虚数单位）的模等于（）A． B．10 C．D．53．已知{a n}是等比数列，a3，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a3+a8）2=2a2a9+6，则锐角α的值为（）A．B．C．D．4．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．15．已知=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出的n为（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且=0，则△ABC的面积为（）A．1+B． +C．1+D．8．已知数列{a n}为等差数列，公差d=﹣2，S n为其前n项的和．若S10=S12，则a1=（）A．19 B．20 C．21 D．229．若﹣＜θ＜0，且P=3cosθ，Q=（cosθ）3，R=，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＜Q＜P B．Q＜R＜P C．P＜Q＜R D．R＜P＜Q10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．64+24πcm2B．64+36πcm2C．48+36πcm2D．48+24πcm211．设函数f（x）=，则使得f（2x）＞f（x﹣3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，1）12．若函数f（x）=x3﹣（4+log2a）x+2在（0，2]上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A． B．（，2]C．[1，4）D．[2，8）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙两名同学分别报名参加足球、篮球、排球活动中的一项，则他们参加项目不同的概率是______．14．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心，且与直线x﹣y﹣3=0相切的圆的标准方程为______．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=4，∠BAC=90°，AA1=2，则此三棱柱外接球的表面积为______．16．已知点A（4，0），抛物线C：x2=12y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinA，），=（2cos2﹣1，cos2A），且⊥．（Ⅰ）求锐角A的大小；（Ⅱ）如果b=2，c=6，AD⊥BC于D，求AD的长．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也可称为可入肺颗粒物，我国规定PM2.5的数值在0～50ug/m2为空气质量一等，甲、乙两城市现参加全国“空气质量优秀城市”评选，下表是2011至2020年甲乙两市空气质量一等天数的记录（单位：天）：2011年2020年2020年2020年2020年甲86 77 92 72 78乙78 82 88 82 95（Ⅰ）画出茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选出一个城市为“空气质量优秀城市”，你认为选谁更好？说明理由（不用计算）；（Ⅲ）若从甲、乙两市的2020至2020年这三年记录中各随机抽取一年的数据，求空气质量一等天数甲市比乙市多的概率．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2，CD=2，AA1=2，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是A1D上一点，且A1E=2ED．（1）求证：EO∥平面A1ABB1；（2）求直线A1B与平面A1ACC1所成角的正弦值．20．以F1（﹣2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点A（2，3）．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线l交椭圆C于M、N两点，P为椭圆C上的点，且与M、N不关于坐标轴对称，设直线MP、NP的斜率分别为k1，k2，试问：k1，k2的乘积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2lnx+ax（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距；（Ⅱ）对于任意的x0＞0，记函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线在y轴上的截距为g（x0），求g（x0）的最大值．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题号对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD：DC=1：2，AE：AB=2：3，BD与CE相交于点F．（Ⅰ）证明：A，B，C，D四点共圆；（Ⅱ）若BC=2，求△AEF外接圆的半径．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m为常数）（Ⅰ）求曲线M与曲线N的普通方程；（Ⅱ）若曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．（Ⅰ）求不等式|2x﹣4|+|x+1|≥5解集；（Ⅱ）已知a，b为正数，若直线（a﹣1）x+2y+6=0与直线2x+by﹣5=0互相垂直，求证：≥8．2020年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，2a}，N={a，b}，若M∩N={2}，则M∪N=（）A．{0，2，3}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，3}【考点】并集及其运算．【分析】根据交集关系求出a，b，即可得到结论．【解答】解：∵M={0，2a}，N={a，b}，若M∩N={2}，∴2a=2，即a=1，则N={1，b}，则b=2，即N={1，2}，则M∪N={0，1，2}，故选：C2．复数（i是虚数单位）的模等于（）A． B．10 C．D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】首先将复数化简为a+bi的形式，然后求模．【解答】解：=1+=3+i，故模为；故选：A．3．已知{a n}是等比数列，a3，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a3+a8）2=2a2a9+6，则锐角α的值为（）A．B．C．D．【考点】数列与函数的综合；等比数列的性质．【分析】由已知条件推导出a3+a8=2sinα，a3•a8=a2a9=﹣2，由（a3+a8）2=2a2a9+6，能求出锐角α的值．【解答】解：∵{a n}是等比数列，a3和a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣2=0的两根，∴a3+a8=2sinα，a3•a8=a2a9=﹣sinα，∵（a3+a8）2=2a2a9+6，∴4sin2α=﹣2+6，即sinα=，或sinα=﹣（舍），∴锐角α的值为．故选：C．4．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．5．已知=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵=，∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣[1﹣2]=﹣[1﹣2•]=﹣，故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出的n为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出S≥2时终止循环，写出输出n的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，S=0，S＜2，S=0+sin=，n=2；S＜2，S=+sin=+，n=3；S＜2，S=++sin=+，n=4；S≥2，终止循环，输出n=4．故选：C．7．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且=0，则△ABC的面积为（）A．1+B． +C．1+D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】由条件得．两边平方计算，得出∠AOB．从而得出∠AOC，∠BOC，分别计算三个小三角形的面积即可．【解答】解：∵△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，∴OA=OB=OC=1．∵=，∴．∴，即1+1+2=2．∴．∴，即∠AOB=90°，∴∠AOC=∠BOC=135°，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=++=．故选D．8．已知数列{a n}为等差数列，公差d=﹣2，S n为其前n项的和．若S10=S12，则a1=（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵S10=S12，∴10a1+×（﹣2）=12a1+×（﹣2），化为：2a1=42，则a1=21．故选：C．9．若﹣＜θ＜0，且P=3cosθ，Q=（cosθ）3，R=，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＜Q＜P B．Q＜R＜P C．P＜Q＜R D．R＜P＜Q【考点】三角函数线．【分析】判断三个数的范围，即可比较大小．【解答】解：﹣＜θ＜0，cosθ∈（0，1）且P=3cosθ＞1，Q=（cosθ）3∈（0，1）；R=∈（0，1）．（cosθ）3＜，可得：Q＜R＜P．故选：B．10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．64+24πcm2B．64+36πcm2C．48+36πcm2D．48+24πcm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是组合体：上面是圆锥、下面是正方体，由三视图求出几何元素的长度，由圆锥的表面积公式、矩形面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是圆锥、下面是正方体，且圆锥的底面圆的半径是4、高为3，则母线长=5，正方体的棱长是4，∴该几何体的表面积S=5×4×4+π×42﹣4×4+π×4×5=64+36π（cm2），故选：B．11．设函数f（x）=，则使得f（2x）＞f（x﹣3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】函数单调性的性质．【分析】求出x＞0时f（x）的表达式，结合函数的单调性以及奇偶性，得到|2x|＜|x﹣3|，解出即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）==1+，x→+∞时，f（x）→1，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，又f（x）是偶函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函数．∵f（2x）＞f（x﹣3），∴|2x|＜|x﹣3|，即4x2＜x2﹣6x+9，解得：﹣3＜x＜1，故选：A．12．若函数f（x）=x3﹣（4+log2a）x+2在（0，2]上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A． B．（，2]C．[1，4）D．[2，8）【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数零点的定义，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣（4+log2a）x+2在（0，2]上有两个零点，∴log2a=x2+﹣4在（0，2]上有两解，设g（x）=x2+﹣4，则g′（x）=2x﹣，得x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（1）=﹣1，g（2）=1，∴﹣1＜log2a≤1，∴＜a≤2，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙两名同学分别报名参加足球、篮球、排球活动中的一项，则他们参加项目不同的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出他们参加项目不同包含的基本事件个数，由此能求出他们参加项目不同的概率．【解答】解：甲、乙两名同学分别报名参加足球、篮球、排球活动中的一项，基本事件总数n=3×3=9，他们参加项目不同包含的基本事件个数m=3×2=6，∴他们参加项目不同的概率p==．故答案为：．14．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心，且与直线x﹣y﹣3=0相切的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．【考点】圆的标准方程．【分析】由条件利用点到直线的距离公式求得半径，可得要求的圆的标准方程．【解答】解：由题意可得圆心为点（1，0），半径为r==，∴要求的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2，故答案为：（x﹣1）2+y2=2．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=4，∠BAC=90°，AA1=2，则此三棱柱外接球的表面积为20π．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意，可将棱柱ABC﹣A1B1C1补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，BC=4，∠BAC=90°，AA1=2，∴可将棱柱ABC﹣AA1B1C1补成长方体，长方体的对角线=2，即为球的直径，∴球的半径为，∴球的表面积为4π×（）2=20π，故答案为：20π．16．已知点A（4，0），抛物线C：x2=12y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=3：5．【考点】抛物线的简单性质．【分析】如图所示，过点M作准线的垂线，设垂足为P，准线FA的斜率为﹣．利用|FM|：|MN|=|MP|：|MN|即可得出．【解答】解：如图所示，抛物线C：x2=12y的焦点为F（3，0），过点M作准线的垂线，设垂足为P，准线FA的斜率为﹣．利用抛物线的定义可得：|FM|=|MP|．|FM|：|MN|=|MP|：|MN|=3：5．故答案为：3：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinA，），=（2cos2﹣1，cos2A），且⊥．（Ⅰ）求锐角A的大小；（Ⅱ）如果b=2，c=6，AD⊥BC于D，求AD的长．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由两向量垂直得到tan2A=﹣，由此得到A．（Ⅱ）由余弦定理得到a，再由三角形面积公式得到AD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（2sinA，），=（2cos2﹣1，cos2A），且⊥，∴且•=2sinA（2cos2A﹣1）+cos2A=sin2A+cos2A=0，∴tan2A=﹣，∵A为锐角，∴A=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=28，∴a=2，∵△ABC的面积为S=bcsinA=a•AD，∴AD=．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也可称为可入肺颗粒物，我国规定PM2.5的数值在0～50ug/m2为空气质量一等，甲、乙两城市现参加全国“空气质量优秀城市”评选，下表是2011至2020年甲乙两市空气质量一等天数的记录（单位：天）：2011年2020年2020年2020年2020年甲86 77 92 72 78乙78 82 88 82 95（Ⅰ）画出茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选出一个城市为“空气质量优秀城市”，你认为选谁更好？说明理由（不用计算）；（Ⅲ）若从甲、乙两市的2020至2020年这三年记录中各随机抽取一年的数据，求空气质量一等天数甲市比乙市多的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）十位为茎，个位数为叶，完成茎叶图，（Ⅱ）由茎叶图可以直接判断，（Ⅲ）甲乙抽取的数据共有9种情况，其中其中空气质量一等天数甲市比乙市多的有2种情况，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图所示；（Ⅱ）选乙好，因为乙空气质量一等天数的平均值高，（Ⅲ）甲乙抽取的数据共有9种情况，（92，88），（92，82），（92，95），（72，88），（72，82），（72，95），（78，88），（78，82），（78，95），其中空气质量一等天数甲市比乙市多的有2种情况：（92，85），（92，82），故空气质量一等天数甲市比乙市多的概率P=19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2，CD=2，AA1=2，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是A1D上一点，且A1E=2ED．（1）求证：EO∥平面A1ABB1；（2）求直线A1B与平面A1ACC1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结A1B，利用△AOB∽△COD得出，又，故而OE∥A1B，于是EO∥平面A1ABB1．（2）过A1作A1F⊥B1C1于F，连结BF，则可证明A1F⊥平面BB1C1C，于是∠A1BF是直线A1B与平面A1ACC1所成的角，求出A1F和A1B即可求出线面角的正弦值．【解答】证明：（1）连结A1B，∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴，∵A1E=2ED，∴．∴，∴OE∥A1B，又OE⊄平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴EO∥平面A1ABB1．（2）过C1作C1G⊥A1B1于G，则四边形A1D1C1G是矩形，∴C1G=A1D1=AD=2，A1G=C1D1=2，∴B1G=2，B1C1=2．过A1作A1F⊥B1C1于F，连结BF，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，AF⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥AF，又BB1∩B1C1=B1，BB1⊂平面BB1C1C，B1C1⊂平面BB1C1C，∴A1F⊥平面BB1C1C，∴∠A1BF是直线A1B与平面A1ACC1所成的角．∵S==，∴A1F==．∵A1B==2．∴sin∠A1BF==．20．以F1（﹣2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点A（2，3）．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线l交椭圆C于M、N两点，P为椭圆C上的点，且与M、N不关于坐标轴对称，设直线MP、NP的斜率分别为k1，k2，试问：k1，k2的乘积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=2，即a2﹣b2=4，将A（2，3）代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由题意可设M（m，n），N（﹣m，﹣n），P（s，t），代入椭圆方程，作差，再由直线的斜率公式计算即可得到所求定值．【解答】解：（1）由题意可得c=2，即a2﹣b2=4，将A（2，3）代入椭圆方程，可得+=1，解得a=4，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意可设M（m，n），N（﹣m，﹣n），P（s，t），可得+=1， +=1，相减可得=﹣，则k1•k2=•=﹣=﹣．即有k1，k2的乘积为定值﹣．21．已知函数f（x）=x2lnx+ax（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距；（Ⅱ）对于任意的x0＞0，记函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线在y轴上的截距为g（x0），求g（x0）的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，可得所求切线的方程，令x=0，即可得到所求y轴上的截距；（Ⅱ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，可令x=0，可得y轴上的截距，求得g（x0）的导数和单调区间，即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2lnx+ax的导数为f′（x）=2xlnx+x+a，可得函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为1+a，切点为（1，a），即有切线的方程为y﹣a=（1+a）（x﹣1），令x=0，可得y=a﹣1﹣a=﹣1，在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为﹣1；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=2xlnx+x+a，可得函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线斜率为2x0lnx0+x0+a，即有切线的方程为y﹣（x02lnx0+ax0）=（2x0lnx0+x0+a）（x﹣x0），令x=0，可得y=x02lnx0+ax0﹣x0（2x0lnx0+x0+a）=﹣x02lnx0﹣x02，设g（x0）=﹣x02lnx0﹣x02，g′（x0）=﹣（2x0lnx0+x0）﹣2x0=﹣x0（2lnx0+3），当x0∈（0，e）时，g′（x0）＞0，g（x0）递增；当x0∈（e，+∞）时，g′（x0）＜0，g（x0）递减．可得g（x0）max=g（e）=e﹣3．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题号对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD：DC=1：2，AE：AB=2：3，BD与CE相交于点F．（Ⅰ）证明：A，B，C，D四点共圆；（Ⅱ）若BC=2，求△AEF外接圆的半径．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）证明：△BAD≌△CBE，可得∠ADB=∠BEC，∠ADF+∠AEF=π，即可证明A，B，C，D四点共圆；（Ⅱ）取AE的中点G，连接GD，证明点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为，利用A，E，F，D四点共圆，即可求△AEF外接圆的半径．【解答】（Ⅰ）证明：∵AE=AB，∴BE=B．又∵AD=AC，AB=AC，∴AD=BE．又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC，∴∠ADF+∠AEF=π，∴A，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）解：如图所示，取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE．∵AE=AB，∴AG=GE=AB=．∵AD=AC=，∠DAE=60°，∴△AGD为正三角形，∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m为常数）（Ⅰ）求曲线M与曲线N的普通方程；（Ⅱ）若曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．利用cos2α+sin2α=1可得普通方程，注意y的取值范围．曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m 为常数），展开可得：=m，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（ⅠI）由直线N与圆M相切时，=1，取m=．直线经过点（1，0）时，m=1．即可得出m的取值范围．【解答】解：（I）由曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．可得x2+y2=1（1≥y≥0）．曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m为常数），展开可得：=m，化为：x+y=m．（ⅠI）由直线N与圆M相切时，=1，取m=．直线经过点（1，0）时，m=1．∵曲线M与曲线N有两个公共点，∴m的取值范围是[1，）．[选修4-5：不等式选讲]24．（Ⅰ）求不等式|2x﹣4|+|x+1|≥5解集；（Ⅱ）已知a，b为正数，若直线（a﹣1）x+2y+6=0与直线2x+by﹣5=0互相垂直，求证：≥8．【考点】绝对值不等式的解法；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据直线的垂直关系，求出关于a，b的等式，根据基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）设f（x）=|2x﹣4|+|x+1|，∵f（x）=，x≥2时，3x﹣3≥5，解得：x≥，﹣1≤x＜2时，﹣x+5≥5，解得：x≤0，x＜﹣1时，﹣3x+3≥5，解得：x≤﹣，综上，不等式的解集是（﹣∞，0]∪[，+∞）．（Ⅱ）证明：∵直线（a﹣1）x+2y+6=0与直线2x+by﹣5=0互相垂直，∴2（a﹣1）+2b=0，得：a+b=1，∵ab≤=，当且仅当a=b时取“=”，∴≥4，∴+≥≥8，当且仅当a=b=时取“=”，即：≥8．2020年9月18日。

兰州市高三诊断考试数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =I （ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2. 已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12i C ．复数z 的共轭复数为512i + D ．复数z 的模为133. 已知数列{}n a 为等比数列，且2264a a a π+=，则35a a =（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．43π4.若双曲线2214x y -=的两条渐近线分别与抛物线22(0)x py p =>的准线交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若OAB ∆的面积为1，则p 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．22 D ．45.已知圆C ：2216x y +=，直线l ：y x =，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离大于2的概率是（ ） A ．34B ．23C ．12D ．136.已知直线3430x y ++=与直线6140x my +-=平行，则它们之间的距离是（ ） A ．2B ．8C ．175D ．17107. 某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 的值是（ ）A ．1008B ．2017C ．2018D ．30258. 刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．4πB ．3πC 3πD 3 9.设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)1x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足111x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要的条件10.若等比数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S a b n N =⋅+∈，其中a ，b 是常数，则a b +的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．011.抛物线24y x =的焦点为F ，11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线上两动点，若1232)AB x x =++，则AFB ∠的最大值为（ ）A ．23π B ．56π C ．34πD ．3π 12.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，不等式()'()0f x x f x +⋅<成立，若0.20.23(3)a f =，(log 2)(log 2)b f ππ=，2211(log )(log )44c f =，则a ，b ，c 之间的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b a c >> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+=． 14.已知样本数据1a ，2a ，……2018a 的方差是4，如果有2i i b a =-(1,2,,2018)i =⋅⋅⋅，那么数据1b ，2b ，……2018b 的均方差为．15. 设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2πϕ<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ=．16.若向量(,1)a m n =-r ，(,1)(0,0)b n m n =>>r ，且a b ⊥r r ，则14n m+的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =r ，(3,1)b =r ，函数()f x a b m =⋅+r r.（1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =I ，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求三棱锥C BGF -的体积.19.交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市1565:岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果如图表所示：分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组 [15,25)50.5第2组 [15,35) a0.9第3组 [15,45) 27x第4组 [15,55)b 0.36 第5组[15,65)3y（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？ （3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的2人中至少有一个第2组的人的概率.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）.①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值. 21.已知函数321()3f x x ax bx =+-(,)a b R ∈. （1）若()y f x =图象上11(1,)3-处的切线的斜率为4-，求()y f x =的极大值； （2）()y f x =在区间[1,2]-上是单调递减函数，求a b +的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲]设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集； （2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.兰州市高三诊断考试数学（文科）试题参考答案及评分参考一、选择题1-5: DDCBB 6-10: AABCD 11、12：AC 二、填空题 13. 25-14. 4 15. 3π16. 9 三、解答题17.解：（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =(3,1)m ⋅+3cos 2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++，所以()f x 的最小正周期为T π=. （2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++，当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈. 所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m -+. 又∵()f x 的最小值为5，∴35m -+=，即53m =+. 18.解：（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥， 又//BC AD ，所以BC AE ⊥. 因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =I ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）因为2AE EB BC ===，所以22EC =2BF =2CF =又因为G 为AC 中点，所以1GF =. 因为AE ⊥面BCE ，所以GF ⊥面BCE . 所以C BGF G BCF V V --=111122323=⨯⨯=.19.解：（1）第1组人数50.510÷=，所以100.1100n =÷=， 第2组人数1000.220⨯=，所以200.918a =⨯=， 第3组人数1000.330⨯=，所以27300.9x =÷=， 第4组人数1000.2525⨯=，所以250.369b =⨯=， 第5组人数1000.1515⨯=，所以3150.2y =÷=.（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18:27:92:3:1=， 所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人.（3）记抽取的6人中，第2组的记为1a ，2a ，第3组的记为1b ，2b ，3b ，第4组的记为c ，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，他们是：12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，1(,)a c ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，2(,)a c ，12(,)b b ，13(,)b b ，1(,)b c ，23(,)b b ，2(,)b c ，3(,)b c .其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，1(,)a c ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，2(,)a c .故所求概率为93155=. 20.解：（1）设动圆半径为r ，则PC r =，PD r =，PC PD +=2CD >=， 由椭圆定义可知，点P 的轨迹E 是椭圆，其方程为2212x y +=. （2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<. ②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2. 若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ， 则1l 的方程为1(1)y k x =+，解方程组122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =，同理得RT =∴12QSRTS QS RT=⋅2222(1)4(21)(2)kk k+=++2222(1)49(1)4kk+≥+169=，当且仅当22212k k+=+，即1k=±时等号成立.综上所述，当1k=±时，四边形QRST的面积取得最小值为169.21.解：（1）∵321()3f x x ax bx=+-，∴2'()2f x x ax b=+-，由题意得'(1)4f=-且11(1)3f=-，即12411133a ba b+-=-⎧⎪⎨+-=-⎪⎩，解之得1a=-，3b=.∴321()33f x x x x=--，'()(1)(3)f x x x=+-，令'()0f x=得11x=-，23x=，列表可得x(,1)-∞-1-(1,3)-3(3,)+∞'()f x+ 0- 0+()f x Z极大值53]极小值9-Z∴当1x=-时，()f x取极大值3.（2）∵(0y f x=在[1,2]-上是减函数，∴2'()20f x x ax b=+-≤在[1,2]-上恒成立，∴'(1)0'(2)0ff-≤⎧⎨≤⎩120440a ba b--≤⎧⇒⎨+-≤⎩，即210440a ba b+-≥⎧⎨-+≤⎩，作出不等式组表示的平面区域如图当直线z a b=+经过点1(,2)2P-时，z a b=+取最小值32.22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((122x y -++=，∴圆心直角坐标为22-. （2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥， ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5=，∴直线l 上的点向圆C=23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+， 所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤， 解集为(,1][3,)-∞+∞U .（2）3,(),x a x a f x x a x a -≥⎧=⎨+<⎩，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立，又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可， 所以2a ≥.。

2020年兰州一中高三数学模拟试卷（二）文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()RA B =（ ）A. ()1,3B. (]1,3C. [)3,+∞ D. ()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R的范围,最后根据交集的含义计算()RA B ⋂的结果.【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,RA =-∞-⋃+∞,又因为()1,B =+∞,所以()[)3,RA B =+∞.故选C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解. 2. 设复数z 满足(2)34z i i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先根据(2)34z i i i +=-计算出复数z ，写出其共轭复数z ，即可根据复数的坐标表示选出答案．【详解】设复数z a bi =+，(2)(2)3423z i i ai b i b ∴+=-+=-⇒+=-，4a =-；4a ∴=-，5b =-；∴复数45z i =--，∴45z i =-+，复数z 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选B ．【点睛】本题考查共轭复数与复数的坐标表示，属于基础题． 3. 若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A. b a > B. b a < C. b a < D. b a >【答案】C 【解析】 【分析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得．【详解】令23abt ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3tb t ==， ()lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，a b >. 故选：C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 4. 已知α为锐角，3cos 5α=，则tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.13B.12C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得tan2α，再根据两角和正切公式求结果.【详解】∵α为锐角，3cos5α=，∴4sin5α，则2sin2sin cos222tan2cos2cos22αααααα==4sin1531cos215αα===++，∴1tan tan1422tan31421tan tan1422παπαπα++⎛⎫+===⎪⎝⎭--.故选：D【点睛】本题考查半角公式以及两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.5. 已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（）A. s＞3？B. s＞5？C. s＞10？D. s＞15？【答案】C【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得：k＝1，s＝1，s＝1，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝2，s＝4，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝3，s＝6，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝4，s＝11，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出k的值为4.因此判断框内的条件可填：s ＞10？ 故选：C .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力. 6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M满足MA MO= ，则·OM ON 的取值范围是（ ）A. []0,2B. 0,⎡⎣C. []22-,D. -⎡⎣【答案】D 【解析】 【分析】设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=，写出点M 的参数方程，则·22os OM ON θ=，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON 结果.【详解】设(,)M x y ，则∵MA MO=，()0,2A -=∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M的参数方程为2x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）则由向量的坐标表达式有：·22os OM ON θ=又∵cos [1,1]θ∈-∴2·2cos [22,22]OM ON θ=∈- 故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法7. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】D 【解析】 【分析】6根算筹可分为1、5,2、4，3、3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案．【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2714⨯=个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示212⨯=个两位数； 则一共可以表示14216+=个两位数； 故选D ．【点睛】本题结合算筹计数法，考查排列与组合，属于基础题，本题的关键在于读懂题意． 8. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（ ） A. (3,7)-B. ()4,5-C. (7,3)-D. ()2,6-【答案】C 【解析】 【分析】首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解.【详解】当0x ≥时,2()45f x x x =-<的解为05x <≤；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<， 所以不等式()5f x <的解集为{}55x x -<<，所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}52573x x x x -<+<=-<<. 故选：C【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.9. 已知双曲线C ：22221x y a b-=，O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线交于A ，B 两点，若OAB ∆是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）A. 2213x y -=B. 2213y x -=C. 221124x y -= D.221412x y -= 【答案】A 【解析】 【分析】先根据双曲线性质得3a =，再根据渐近线求得1b =，即得双曲线C 的方程.【详解】由图可知，3a =且一条渐近线的倾斜角为30，所以3b a =，解得1b =，所以双曲线C的方程为2213x y -=.故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.10. 甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m ，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n ，且m ，{}1,2,3n ∈，若1m n -≤，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A.16B.13C.23D.79【答案】D 【解析】 【分析】由m ，{}1,2,3n ∈，分别作分类讨论，可写出9组数据，再结合古典概型公式计算即可 【详解】当1m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()1,1,1,2,1,3； 当2m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()2,1,2,2,2,3； 当3m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()3,1,3,2,3,3；其中符合1m n -≤的组合为： ()()()()()()()1,1,1,2,2,1,2,2,2,3,3,2,3,37种情况， 故两人心有灵犀的概率为：79P = 故选：D【点睛】本题考查古典概型的基本求法，列举法、树状图法常用来求解此种题型，属于基础题11. 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A.35B. 45-C. 3-D. 【答案】B 【解析】【分析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定()12sin x x -的值. 【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=， 结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且120x x π<<<，故12712312x x πππ<<<<， 2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 已知函数21(),()2ln 2,()f x kx g x x e x e e==+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ） A. 224[,]e e-- B. 2[,2]e e-C. 24[,2]e e-D.24[,)e -+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -,推导出2k lnx x=-，由此利用导数性质能求出实数k 的取值范围.【详解】因为函数()()21,2ln 2,f x kx g x x e x e e ⎛⎫==+≤≤⎪⎝⎭的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，所以设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -, 所以22ln 2e kx x e -=+，所以2k lnx x =-，222lnx k x+='-，由0k '=得x e =， 因为21x e e ≤≤，所以1,)x e e⎡∈⎢⎣时，0k '<，2k lnx x =-是减函数； 当2(,x e e ⎤∈⎦时，0k '>，2k lnx x=-是增函数， 所以x e =时，22k lne e e =-=-；当2x e =时，22224k lne e e =-=-， 当1x e=时，2121k ln ee e =-=；所以2min k e=-，2max k e =，所以实数的取值范围是22e e，⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, 所以选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要构造函数，由导函数确定研究构造的函数的单调性，从而可求出结果.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 已知多项式5432()254367f x x x x x x =--+-+，则(5)f =________． 【答案】2677 【解析】 【分析】结合秦九韶算法，将5432()254367f x x x x x x =--+-+转化为()()()()5432()254367254367f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+，然后由内至外逐步计算即可求出答案【详解】()()()()5432()254367254367f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+令125,t x =- 当5x =时，12555t =⨯-=；则令214t t x =-，当15,5t x ==时，255421t =⨯-=； 则令323t t x =+，当221,5t x ==时，32153108t =⨯+=；则令436t t x =-，当3108,5t x ==时，410856534t =⨯-=； 则令547t t x =+，当4534,5t x ==时，5534572677t =⨯+=； 故(5)2677f = 故答案为：2677【点睛】本题考查秦九韶算法，将多项式转化为()()()()()254367f x x x x x x =--+-+至关重要，属于中档题14. 设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为__________. 【答案】95【解析】 【分析】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，1312n m n ++++可化为111a b++，利用基本不等式可求11a b+的最小值，从而可得所求的最小值. 【详解】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，且13a <<，24b <<， 又1311112n m n a b++=++++， 而()()114222551151115b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎛⎫+=⨯+⎝⨯ ⎪⎝⎭⎭， 当且仅当52a b ==时等号成立， 故1312n m n ++++的最小值为95. 故答案为：95.【点睛】本题考查多变量代数式的最值问题，一般可用基本不等式来求最值，但需要对原代数式化简变形以便出现和为定值或积为定值的形式，注意利用基本不等式求最值时要验证等号是否成立.15. 设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'fx ，若()()'1f x f x +>，()02020f =，则不等式()2019xxe f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为__________.【答案】()0,∞+ 【解析】 【分析】构造函数()()2019xxg x e f x e =--，由题意，只需解()0>g x 即可，利用导数研究()g x 的单调性即可得到答案.【详解】设()()2019x xg x e f x e =--，不等式()2019x xe f x e >+的解等价于不等式()0>g x 的解，因为''()(()()1)0xg x e f x f x =+->，所以()g x 在R 上单调递增，又(0)(0)120190g f =--=， 所以()0(0)g x g >=，所以0x >，所以原不等式的解集为()0,∞+ 故答案为：()0,∞+【点睛】本题主要考查构造函数利用函数的单调性解不等式，考查学生转化与化归思想，是一道中档题.16. 已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，BC ＝3，PB ＝，PC =P ﹣ABC 外接球的表面积为______．【答案】10π 【解析】 【分析】由O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，可得球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心， 在△PBC 中，由余弦定理、正弦定理可得R .【详解】因为O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，根据球的性质，球心一定在垂线l 上，∵球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心，在△PBC 中，由余弦定理得cos B 222222PB BC PC BP BC +-==⋅，⇒sin B 22=， 由正弦定理得：2PC R sinB =，解得R 10=， ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为s ＝4πR 2＝10π， 故答案为10π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 如图，在四棱锥E ABCD -中，ADE 是等边三角形，侧面ADE ⊥底面ABCD ，其中//AB DC ，24BD DC ==，3AD =，5AB =.（Ⅰ）F 是EC 上一点，求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（Ⅱ）求三棱锥C BDE -的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）35. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由勾股定理得BD AD ⊥，再由平面ADE ⊥平面ABCD ， 得BD ⊥平面ADE ，得证； （Ⅱ）由13C BDE E BCD BCD V V S EH --==⋅△，得112336335C BDE V -=⨯= 【详解】（Ⅰ）在ABD △中，4BD =，3AD =，5AB =222AB AD BD ∴+=，BD AD ∴⊥又平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，BD ∴⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF∴平面⊥BDF 平面ADE（Ⅱ）取AD 中点H ，由ADE 为等边三角形得EH AD ∴⊥ 平面ADE ⊥平面ABCD ，EH ∴⊥平面ABCD ，1·3C BDE E BCD BCD V V S EH --∴==△又因为ADE 中，332EH =， 在ABD △中，AB 边上的高341255⨯==112112(25)342525BCD ABCD ABD S S S ∆∴=-=⨯+⨯-⨯⨯=△ 112336335C BDE V -∴=⨯⨯=∴三棱锥C BDE -的体积为63.考点：空间中的位置关系、体积计算． 18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =，()1310n n n S nS ++-=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若*112,n n n n a b n S S ++=∈N ，求证：123n b b b +++<.【答案】（1）()3*423,n n a n n -=+⋅∈N ；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）题设中的递推关系可转化为131n n S S n n +=+，利用等比数列的通项公式可求n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，从而求出n S 后可求{}n a 的通项公式.（2）利用裂项相消法可求{}n b 的前n 项和，从而可证不等式成立. 【详解】（1）∵()1310n n n S nS ++-=，∴131n n S S n n+=+，又12013S =≠，所以113n n S n S n++=， ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以23为首项，3为公比的等比数列，∴1223233n n n S n --=⨯=⨯，223n n S n -=⋅. 当2n ≥时，()()2331=23213423n n n n n n a S S n n n -----=⋅--⋅=+⋅；当1n =时，123a =符合上式，∴()3*423,n n a n n -=+⋅∈N . （2）证明：()1111122112n n n n n n n n nn S S a b S S S S S S +++++-⎛⎫===- ⎪⎝⎭，∴12122311111112n nn b b b S S S S S S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111223n S S S +⎛⎫=⨯-<⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查数列通项的求法以及裂项相消法求和，后者应该根据通项的特征选择合适的求和方法.19. 根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．()1已知[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；()2该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和为200元的概率． 【答案】(1)0.035a =，0.025b =.(2)35【解析】【详解】试题分析：(1)根据频率直方图中结论：所有频率之和为1，则有：(0.0150.0100.015)101a b ++++⨯=，即有：0.060a b +=，又由条件：[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，则有：20.015b a =+，解方程组得：0.035a =，0.025b =；(2) 根据(1)中：0.060a b +=，可得高消费人群所占比例为60100，有利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. 由古典概率模型的求法：令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，例举总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 这10种情况，其中,,,ABa ABb ACa ,,ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况，运用概率公式可求出三人获得代金券总和为200元的概率.试题解析：(1) 根据频率直方图中结论：所有频率之和为1，则有：(0.0150.0100.015)101a b ++++⨯=，即有：0.060a b +=，又由条件：[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，则有：20.015b a =+，解方程组得：0.035a =，0.025b =根据(1)中：0.060a b +=，可得高消费人群所占比例为60100，有利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. 令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 10种情况， 其中,,,,,ABa ABb ACa ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况，因此，三人获得代金券总和为200元的概率为35. 考点：考查统计与概率的相关知识20. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(2,2)A ，点B 在抛物线C 上，且满足2OF FB FA =-（O 为坐标原点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l D '，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l D '与抛物线C 交于M ，N 两点，OPQ △的面积记为1S ，OMN 的面积记为2S ，求证：221211S S +为定值. 【答案】（1）24y x =（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据条件解得B 点坐标，代入抛物线方程解得p ，即得结果；（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得1S 与2S ，最后代入化简221211S S +得结果. 【详解】（1）设11(,)B x y 11(,0),2(,0)(4,4)222p p pF OF FB FA x p y ∴=-⇒=--+- 11114,404,422p px p y x y =--+-=∴== 因为点B 在抛物线C 上，2242424p p y x ∴=⋅∴=∴=（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设:1lx my =+，代入24y x =得2440y my --=，所以1212124,4||y y m y y y y +==-∴-==因此1211||1S 2y y =-⨯=2S =因此22222212211111114(1)4(1)4(1)44(1)m S S m m m m+=+=+=++++ 【点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.21. 已知函数()2ln f x x x x =-+（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明当2a ≥时，关于x 的不等式()2(1)12a f x x ax <-+-恒成立；【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证出结论即可； 解析：（1）()()2121'210x x f x x x x x-++=-+=＞，由f'（x ）＜0，得2x 2﹣x ﹣1＞0．又x ＞0，所以x ＞1，所以f （x ）的单调递减区间为（1，+∞），函数f （x ）的单增区间为（0，1）． （2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()()2111'1ax a x g x ax a x x-+-+=-+-=，因为a≥2，所以()()11'a x x a g x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令g'（x ）=0，得1x a =，所以当()10'0x g x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，＞，当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，g'（x ）＜0， 因此函数g （x ）在10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，是增函数，在1x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，是减函数， 故函数g （x ）的最大值为()2111111()1122g ln a a lna a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()12h a lna a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为()12204h ln =-＜，又因为h （a ）在a∈（0，+∞）是减函数， 所以当a≥2时，h （a ）＜0，即对于任意正数x 总有g （x ）＜0， 所以关于x 的不等式恒成立．点睛：这个题目考查的是利用导数研究函数的单调性和最值问题；证明不等式的恒成立问题；证明不等式恒成立问题一般采用以下方法：其一可以转化为函数最值问题，使得函数最值大于或者小于0；其二可以转化为两个函数的不等式关系，使得一个函数的最小值大于另一个函数的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，A 、B 均异于原点O，且AB =α的值. 【答案】（1）(223x y +=，()2211x y -+=；（2）512π或1112π. 【解析】 【分析】（1）由题意消去参数即可得曲线1C 的普通方程，由极坐标方程、直角坐标方程转化公式可得2C 的直角坐标方程；（2）由题意结合极坐标方程、直角坐标方程转化公式可得曲线1C 的极坐标方程，设()1,A ρα，()2,B ρα，由ρ的几何意义可得4sin 6AB πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由特殊角的三角函数值即可得解.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程消参可得曲线1C的普通方程为(223x y +=；曲线2C 极坐标方程可变为22cos ρρθ=，∴2C 的直角坐标方程为222x y x +=即()2211x y -+=；（2）曲线1C 化极坐标方程为ρθ=，设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρα=，22cos ρα=，∴122cos 4sin 6AB πρρααα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，由AB =sin 62πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭， ∵0απ<<，∴5666πππα-<-<，∴64ππα-=或364ππα-=， ∴512πα=或1112πα=. 【点睛】本题考查了直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的转化，考查了ρ的几何意义的应用及运算求解能力，属于中档题.23. 已知函数()2f x x m x =--+（m R ∈），不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值. 【答案】（1）6m =（2）32 【解析】 【分析】()1利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于m 的方程,求出m 的值即可;()2由()1知6m =可得,212a b c ++=，利用三个正数的基本不等式a b c ++≥,构造和是定值即可求出()()()113a b c ++-的最大值. 【详解】（1）∵()2f x x m x =--+，()2222f x x m x ∴-=----+，所以不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，, 即为不等式20x m x ---≥的解集为(] 4-∞，，- 21 - ∴2x m x --≥的解集为(] 4-∞，, 即不等式()222x m x --≥的解集为(] 4-∞，， 化简可得,不等式()()2220m m x ++-≥的解集为(] 4-∞，， 所以242m +=,即6m =. （2）∵6m =，∴212a b c ++=.又∵0a >，0b >，3c >，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-= ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-,212a b c ++=等号成立,即3a =，1b =，7c =时，等号成立，∴()()()113a b c ++-的最大值为32.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式a b c ++≥的灵活运用;其中利用212a b c ++=构造出和为定值即()()()1223a b c ++-+-为定值是求解本题的关键;基本不等式a b +≥取最值的条件:一正二定三相等是本题的易错点;属于中档题.。

2020年甘肃省第二次高考诊断考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}21≤≤-=x x A ，{}1,1-=B ，则B A I =A ．{}1,1-B ．{}1,0C ．{}1,0,1-D ．{}11≤≤-x x2．若)1)(1(i i iz +-=，则zA ．i 2B ．0C ．i -D ．i 2-3．已知向量)3,2()1,1(-=-=b a ，b a =A ．5B ．1C ．5D ．254．定义在R 上的奇函数)(x f ，当0>x 时，x x f lg )(=，则函数)(x f 的零点个数为A ．4B ．3C ．2D ．15．命题“0cos 2020),0[2>-+∞∈∀x x x ，”的否定为A ．0cos 2020),0[0200≤-+∞∈∃x x x ，B ．0cos 2020),0[0200≤-+∞∈∀x x x ，C ．0cos 2020),0[0200≤-+∞∉∃x x x ，D ．0cos 2020),0[0200<-+∞∉∀x x x ， 6．2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga ）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是A ．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B ．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C ．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D ．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2410442==+S a a ，，则1a 的值为A ．9B ．1C ．9-D ．2-8．在棱长均相等的四面体OABC 中，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点，则异面直线MN 与AB 所成角的大小为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为1000cm 3的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2×100cm 的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（单位：cm ．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）A ．π31102B ．π1652C ．31102D ． π852 10．已知21F 、F 分别是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，)0,2(1-F ，若双曲线的左支上有一点P ，满足221-=-PF PF ，则该双曲线的渐近线方程为A ．x y 3±=B ．x y 33±=C ．x y 3±=D ．x y 31±= 11．定义在R 上的函数)(x f y =在]1,(-∞上单调递减，且)1(+x f 是偶函数，则使)3()12(f x f >-成立的x 的取值范围是A ．),1(+∞B ．),2()0,(+∞-∞YC ．)1,0(D ．)0,(-∞12．在“家校连心，立德树人——重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成.已知该微信群众男学生人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数.若把这5类人群的人数作为一组数据，当该微信群总人数取最小值时，这组数据的中位数是A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。