浙教版初中数学八年级下册 5.3 正方形2 (新版)课件

∴ 四边形
是正方形.
图2-60
练习
1. 已知正方形的一条对角线长为4cm， 求它的边长和面积.
答：边长为 面积为 8 cm2.
2. 如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个 矩形一定是正方形吗？为什么？
答：一定是. 由两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得 此矩形的四条边都相等，即为正方形.
在Rt△ECN中，
由勾股定理得EN2=CN2+CE2，
即(8-x)2=x2+42，
解得x=3，故选A.
x
中考 试题
例2 如图，ABCD是正方形，点G是BC上
的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE， 交AG于F. 求证：AF=BF+EF.
解析 ∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°. ∵ DE⊥AG，∴ ∠DEG=∠AED=90°. ∴ ∠ADE+∠DAE=90°. 又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°， ∴ ∠ADE=∠BAF. ∵BF∥DE， ∴ ∠AFB=∠DEG=∠AED.
举 例
例2 如图2-60， 已知点A′，B′， C′， D′分别是正方形
ABCD 四条边上的点， 并且AA′= BB′= CC′= DD′.
求证：四边形
是正方形.
图2-60
证明 ∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ AB = BC = CD = DA.
又∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′， ∴ D′A = A′B = B′C = C′D.
平行四边形一ຫໍສະໝຸດ 邻边相等有一个角是直角菱形
正方形
矩形
有一个角是直角
一组邻边相等
图2-58
结论
可以知道：
正方形的四条边都相等，四个角都是直角. 正方形的对角线相等，且互相垂直平分.
结论
由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的 对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线， 以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
中考 试题
例1 如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，
使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕
为MN，则线段CN的长是
（
）A
A. 3cm
B.4cm
C.5cm
D.6cm
解析 因为四边形MFEN是由四边形AMND翻折得到， 故DN=EN.
又因为E是BC的中点，
所以
设CN=x，
则DN=EN=8-x.
本节内容
5.3 正 方 形（2）
观察
装修房子铺地板的砖（如下图）大都是正方形 的形状，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、 矩形、菱形有什么关系？矩形呢？
图2-57
正方形既是矩形又是菱形.
正方形的四条边都 相等，四个角都是直角.
我们把有一组邻边相等并且有一个角是直 角的平行四边形叫做正方形.
又∵ ∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， ∴ △AA′D′≌△BB′A′ ≌△CC′B′≌△DD′C′.
图2-60
∴ A′D′= B′A′= C′B′= D′C′.
∴ 四边形
是菱形.
又∵ ∠1 =∠3， ∠1 +∠2 = 90°，
∴ ∠2 +∠3 = 90°.
∴ ∠D′A′B′= 90°.
在△ABF和△DAE中，
∴ △ABF≌△DAE(AAS). ∴ BF=AE. ∵ AF=AE+EF， ∴ AF=BF+EF.
又 ∵ ∠2 +∠3 = 90°， ∴ ∠1 =∠2. ∴ △AED≌△CFD （ASA）. ∴ DE = DF.
图2-59
说一说
观察示意图2-58，说一说如何判断一个四边 形是正方形？
也可以先判定四边形是 菱形，再判定这个菱形有一 个角是直角.
可以先判定四边形 是矩形，再判定这个矩 形有一组邻边相等.
举 例
例1 如图2-59，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点， 过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F. 求证：DE = DF.
证明 ∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD = CD， ∠A =∠DCF = 90°.
∵ DF⊥DE，
图2-59
∴ ∠EDF = 90°， 即∠1 +∠3 = 90°，