福建省泉州市晋江市安海片区2018-2019学年九年级上学期数学期中考试试卷及参考答案

泉州市18-19学年度第一学期期中考试九年级数学(满分150分，考试时间：120分钟)考生注意：1. 本试卷设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求。

所有答题必须做在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2.本卷共30题，1—25题为单选题，由机器阅卷，答案必须全部涂写在答题卡上，26—30题为综合题，全部做在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

一．选择题（每小题4分，共40分）1有意义，则x 的取值范围是（ ）．A ．2x ≥B ．2x >C ．2x <D ．2x ≤ 2是同类二次根式的是（ ）． A ．B ．CD3．方程220x x -=的根是（ ）．A ．2x =B ．0x =C ．2x =±D ．122,0x x == 4．一元二次方程2x 2-3x +1=0根的情况是（ ）．A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 5．顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是（ ）．A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．直角梯形 6．下列各组线段单位：cm中，成比例的是． A ．1，2，3，4 B ．6，5，10，15 C ．3，2，6，4 D ．15，3，4，10 7．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形 （阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）．AB ．CD 8．△ABC 与△DEF 的相似比为1：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ）． A ． 1：2 B ． 1：3 C ． 1：4D ． 1：169．关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ）．A ．1B ．1-C ．1±D ．1210．如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，DE 垂直平分AC ，垂足为O ，AD ∥BC ，且AB =3，CBABC =4，则AD 的长为（ ）．A ．425 B ．825C ．415D ．815二．填空题 (每题4分，共24分)11．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，则高楼的高度是_________米． 12．若34a b =，则a b b+=______． 13_____=． 14．如图，已知点G 是△ABC 的重心，AD 是△ABC 的一条中线，若DG =2，则AD =_______． 15．在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7125平方米，问道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为___________________．16．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别是PB ，PC 的中点．△PEF 、△PDC 、△P AB 的面积分别为S 、S 1、S 2，若S =2，则S 1＋S 2= ．三．解答题（共86分）17．（818．（8分）解方程：2420x x --=19．（8分）已知：如图，△ABC ∽△ADE ，AB =15，AC =9，BD =5．求AE ．第14题C20．（3分+5分）如图，△ABC 在坐标平面内三个顶点的 坐标分别为A （1，2）、B （3，3）、C （3，1）． （1）根据题意，请你在图中画出△ABC ；（2）在原图中，以B 为位似中心，画出△A ′BC ′使它与 △ABC 位似且位似比是3：1，并写出顶点A ′和C ′的坐标．21．（8分）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE =20米．当她与镜子的距离CE =2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ．已知她的眼睛距地面高度DC =1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度（注：入射角=反射角）．FE DCBA22．（4分+5分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存．．．．．．．．，商场决定采取适当降价的措施．经调查发现：每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．（1）商场日销售量为_____________件，每件商品盈利_______________元（用含x 的代数式表示）（2）根据上述条件，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元． 23．（5分+5分）已知：如图Rt △ABC ∽Rt △BDC ，若AB =3，AC =4． （1）求BD 、CD 的长；（2）过B 作BE ⊥DC 于E ，求BE 的长．24．（3分+4分+6分）已知直线l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2，当l 1⊥l 2时，有k 1•k 2=﹣1． （1）应用：已知y =2x +1与y =kx ﹣1垂直，则k =______； （2）一直线经过点（2，3），且与直线133y x =-+垂直，求该直线的解析式． （3）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt △AOB 的两边OA 、OB 分别在x 轴，y轴的正半轴上，且OA =6，OB =8，求线段AB 的垂直平分线CD 的解析式．25．（14分）如图①，先把一矩形ABCD 纸片上下对折，设折痕为MN ；如图②，再把点B叠在折痕线MN 上，得到Rt ABE ∆，过B 点作MN PQ ⊥，分别交EC 、AD 于点P 、Q ；（1）求证：PBE ∆∽QAB ∆；（2）在图②中，如果沿直线EB 再次折叠纸片，点A 能否叠在直线EC 上？请说明理由； （3）在（2）的条件下，若4AE =，求AB 的长度．参考答案 一、选择题１、A 2、B 3、D 4、D 5、A 6、C 7、D8、C9、B10、B二、填空题11、36 12、741314、615、()()100807125x x --=16、8三、解答题17、4+18、122,2x x == 19、12 20、（1）图略；（2）图略 21、12.8米 22、（1）（30+2x ）；（2）（50 - x ）图②图①23、（1）154BD=；254CD=；（2）BE=324、（1）12-；（2）33y x=-；（3）3744y x=+25、（1）证明略；（2）能；证明略；（3）AB=。

2018-2019学年福建省泉州市安溪县九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥0C．x＞1D．x＞02．（4分）已知一元二次方程x2+kx﹣3=0有一个根为1，则k的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．43．（4分）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm4．（4分）下列计算正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）一元二次方程x（x﹣3）=3﹣x的根是（）A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和26．（4分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2+6x+9=0B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0 7．（4分）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE的是（）A．B．C．∠B=∠D D．∠C=∠AED 8．（4分）在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（）A．x（x+1）=253B．x（x﹣1）=253C．D．9．（4分）如图，四边形ABCD中，AC=BD，顺次连结四边形各边中点得到一个四边形，再顺次连结所得四边形的中点得到的图形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．以上都不对10．（4分）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分.11．（4分）计算：=．12．（4分）若，则=．13．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=4，BD=2，则=．14．（4分）如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，那么△MON与△AOC的面积的比是．15．（4分）设a，b是方程x2+x﹣2019=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为；16．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，则BD的长为．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（8分）计算：18．（8分）解方程：x2﹣4x+2=0．19．（8分）已知平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，﹣1），C（3，0）．（1）在图1中，画出以点O为位似中心，放大△ABC到原来的2倍的△A1B1C1；（2）若P（a，b）是AB边上一点，平移△ABC之后，点P的对应点P'的坐标是（a+3，b﹣2），在图2中画出平移后的△A2B2C2．20．（8分）某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，经调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，市场规定此台灯售价不得超过60元，为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？这时售出台灯多少个？21．（8分）求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．22．（10分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．23．（10分）关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）若原方程的一根大于3，另一根小于3，求k的最大整数值．24．（13分）如图1，某校有一块菱形空地ABCD，∠A=60°，AB=40m，现计划在内部修建一个四个顶点分别落在菱形四条边上的矩形鱼池EFGH，其余部分种花草，园林公司修建鱼池，草坪的造价为y（元）与修建面积s（m2）之间的函数关系如图2所示，设AE为x米．（1）填空：ED=m，EH=m，（用含x的代数式表示）；（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）（2）若矩形鱼池EFGH的面积是300m2，求EF的长度；（3）EF的长度为多少时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价为多少元？25．（13分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=5cm，点P从点C出发沿线段CA以每秒2cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段BC 以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）填空：AB=cm；（2）t为何值时，△PCQ与△ACB相似；（3）如图2，以PQ为斜边在异于点C的一侧作Rt△PEQ，且，连结CE，求CE．（用t的代数式表示）．2018-2019学年福建省泉州市安溪县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥0C．x＞1D．x＞0【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由题意，得x﹣1≥0，解得x≥1，故选：A．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．2．（4分）已知一元二次方程x2+kx﹣3=0有一个根为1，则k的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x=1代入方程得1+k﹣3=0，解得k=2．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．（4分）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：=，解得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．4．（4分）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的乘法法则（根指数不变，被开方数相乘）判断A；二次根式的加减就是合并同类二次根式即可判断B、D；根据=|a|即可判断C．【解答】解：A、因为•==，故本选项正确；B、因为+，不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；C、因为=2，故本选项错误；D、因为+=2，故本选项错误；故选：A．【点评】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式的乘法，二次根式的加减等知识点，解此题的关键是理解二次根式的有关性质和法则．5．（4分）一元二次方程x（x﹣3）=3﹣x的根是（）A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和2【分析】移项得x（x﹣3）+（x﹣3）=0，分解因式得到（x﹣3）（x+1）=0，一元二次方程转化为两个一元一次方程x﹣3=0或x+1=0，然后解这两个一元一次方程即可．【解答】解：∵x（x﹣3）=3﹣x，∴x（x﹣3）+（x﹣3）=0，∴（x﹣3）（x+1）=0，∴x﹣3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把一元二次方程转化为两个一元一次方程，解一元一方程得到原方程的解．6．（4分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2+6x+9=0B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【解答】解：A、x2+6x+9=0△=62﹣4×9=36﹣36=0，方程有两个相等实数根；B、x2=xx2﹣x=0△=（﹣1）2﹣4×1×0=1＞0两个不相等实数根；C、x2+3=2xx2﹣2x+3=0△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，方程无实根；D、（x﹣1）2+1=0（x﹣1）2=﹣1，则方程无实根；故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．7．（4分）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE的是（）A．B．C．∠B=∠D D．∠C=∠AED 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解答】解：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．8．（4分）在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（）A．x（x+1）=253B．x（x﹣1）=253C．D．【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：×学生数×（学生数﹣1）=总握手次数，把相关数值代入即可求解．【解答】解：参加此会的学生为x名，每个学生都要握手（x﹣1）次，∴可列方程为x（x﹣1）=253，故选：D．【点评】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．9．（4分）如图，四边形ABCD中，AC=BD，顺次连结四边形各边中点得到一个四边形，再顺次连结所得四边形的中点得到的图形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．以上都不对【分析】根据三角形中位线定理和菱形的判定定理解答．【解答】解：∵E，F分别是DC，AD的中点，∴EF=AC，EF∥AC，同理，GH=AC，GH∥AC，GF=BD，∴EF=GH，EF∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC=BD，∴EF=GF，∴平行四边形EFGH为菱形，故选：A．【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理，菱形的判定定理是解题的关键．10．（4分）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A．B．C．D．【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=a，CF=a+1，CE=（a+1），进而得出点B的横坐标．【解答】解：∵点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．点B的对应点B′的横坐标是a，∴FO=a，CF=a+1，∴CE=（a+1），∴点B的横坐标是：﹣（a+1）﹣1=﹣（a+3）．故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出FO=a，CF=a+1，CE=（a+1），是解决问题的关键．二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分.11．（4分）计算：=4．【分析】根据平方差公式和二次根式的乘法法则来计算．【解答】解：原式=（）2﹣12，=5﹣1，=4．故答案为：4．【点评】本题考查了二次根式的乘法，应用平方差公式可以简化计算．12．（4分）若，则=．【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值．【解答】解：∵，∴==．故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是熟练掌握比例的性质与比例变形．13．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=4，BD=2，则=．【分析】由DE∥BC判定△ADE∽△ABC，得出比例式，进一步求得答案即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵AD=4，DB=2，∴=，∴=．故答案为：．【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定方法是解决问题的关键．14．（4分）如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，那么△MON与△AOC的面积的比是．【分析】根据三角形的重心的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵O是△ABC的重心，∴MN∥AC，ON=AO，∴△MON∽△AOC，∴==．故答案为：．【点评】此题主要考查学生对三角形的重心和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方．15．（4分）设a，b是方程x2+x﹣2019=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为2018；【分析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b=﹣1，a2+a﹣2019=0，变形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵设a，b是方程x2+x﹣2019=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，a2+a﹣2019=0，∴a2+a=2019，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2019+（﹣1）=2018，故答案为：2018．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能求出a+b=﹣1和a2+a=2019是解此题的关键．16．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，则BD的长为2．【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=2AB=6，DM=2BC=8，得出BM=BC+CM=10，再由勾股定理求出BD即可．【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：则∠M=90°，∴∠DCM+∠CDM=90°，∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC2=AB2+BC2=25，∵CD=10，AD=5，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，∴∠ACB+∠DCM=90°，∴∠ACB=∠CDM，∵∠ABC=∠M=90°，∴△ABC∽△CMD，∴=，∴CM=2AB=6，DM=2BC=8，∴BM=BC+CM=10，∴BD===2，故答案为：2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（8分）计算：【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=1+2﹣2+2﹣=5﹣3．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．18．（8分）解方程：x2﹣4x+2=0．【分析】直接利用配方法解方程的步骤分析得出答案．【解答】解：x2﹣4x+2=0x2﹣4x=﹣2x2﹣4x+4=﹣2+4（x﹣2）2=2，则x﹣2=±，解得：x1=2+，x2=2﹣．【点评】此题主要考查了配方法解方程，正确配平方是解题关键．19．（8分）已知平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，﹣1），C（3，0）．（1）在图1中，画出以点O为位似中心，放大△ABC到原来的2倍的△A1B1C1；（2）若P（a，b）是AB边上一点，平移△ABC之后，点P的对应点P'的坐标是（a+3，b﹣2），在图2中画出平移后的△A2B2C2．【分析】（1）将各点的横纵坐标分别扩大2倍，找到对应点后顺次连接即可．（2）先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移两个单位即可得出图形．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1就是所求作的三角形（2）如图所示：如图△A2B2C2就是所求作的三角形【点评】本题考查位似及平移作图的知识，难度不大，关键是掌握两种变换对应点的寻找办法．20．（8分）某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，经调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，市场规定此台灯售价不得超过60元，为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？这时售出台灯多少个？【分析】设售价上涨x元，则销量减少10x个，根据“某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，经调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润”，列出关于x的一元二次方程，解之，集合“市场规定此台灯售价不得超过60元”，求出售价上涨的钱数，从而得到答案．【解答】解：设售价上涨x元，则销量减少10x个，根据题意得：（600﹣10x）（40﹣30+x）=10000，整理，得：x2﹣50x+400=0，解得x1=10，x2=40，当x=10时，40+x=50符合题意，当x=40时，40+x=80＞60不合题意舍去．售价应定为50元，600﹣10×10=500（个），这时售出台灯500个，答：每个台灯售价应定为50元，这时售出台灯500个．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．21．（8分）求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．【分析】延长DE至F，使EF=DE，连接CF，通过证明△ADE≌△CFE和证明四边形BCFD是平行四边形即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．【解答】已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的中点．证明：延长DE至F，使EF=DE，连接CF∵E是AC中点，∴AE=CE，在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD=CF，∠ADE=∠F∴BD∥CF，∵AD=BD，∴BD=CF∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC，DF=BC，∴DE∥CB，DE=BC．【点评】本题考查了三角形的中位线定理的证明，用到的知识点有全等三角形的判定和全等三角形的性质以及平行四边形的判定和性质．22．（10分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．23．（10分）关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）若原方程的一根大于3，另一根小于3，求k的最大整数值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（k﹣3）2+12＞0，由此可证出：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）由方程两根的范围可得出抛物线y=x2+（k﹣5）x+1﹣k与x轴的两交点位于（3，0）的两侧，结合抛物线的开口方程可得出当x=3时y＜0，进而可得出关于k的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）∵a=1，b=k﹣5，c=1﹣k，∴△=b2﹣4ac=（k﹣5）2﹣4×1×（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12．∵（k﹣3）2≥0，∴（k﹣3）2+12＞0，即△＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）∵方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0的一根大于3，另一根小于3，∴抛物线y=x2+（k﹣5）x+1﹣k与x轴的两交点位于（3，0）的两侧．∵a=1＞0，∴当x=3时，y＜0，即9+3（k﹣5）+1﹣k＜0，∴2k﹣5＜0，解得：k＜，∴k的最大整数值为2．【点评】本题考查了根的判别式、抛物线与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征找出关于k的一元一次不等式．24．（13分）如图1，某校有一块菱形空地ABCD，∠A=60°，AB=40m，现计划在内部修建一个四个顶点分别落在菱形四条边上的矩形鱼池EFGH，其余部分种花草，园林公司修建鱼池，草坪的造价为y（元）与修建面积s（m2）之间的函数关系如图2所示，设AE为x米．（1）填空：ED=（40﹣x）m，EH=（40﹣x）m，（用含x的代数式表示）；（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）（2）若矩形鱼池EFGH的面积是300m2，求EF的长度；（3）EF的长度为多少时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价为多少元？【分析】（1）根据菱形的性质及锐角三角函数的应用求解可得；（2）连接DB，知EF∥DB，由知AF=AE=x，证△AEF是等边三角形得EF=AE=x，由解之可得；（3）根据题意和函数图象、菱形的面积计算公式即可解答本题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且AB=40，∴AD=AB=40，∵AE=x，则DE=40﹣x，如图1，过点D作DP⊥EH于点P，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°，则∠DEH=∠DHE=30°，∴EH=2EP=2DEcos30°=2×（40﹣x）×=（40﹣x），故答案为：（40﹣x），；（2）如图2，连接DB，则EF∥DB，∴，∵AD=AB，∴AF=AE=x，又∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴EF=AE=x，由（1）可知，∴，整理，得：x2﹣40x+300=0，解得x1=10，x2=30经检验均符合题意，答：EF的长度10m或30m．（3）依题意得草坪单价为：4800÷80=60元/米2，鱼池单价为：4800÷96=50元/米2，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=40m，∴BD=40，AC=，∴菱形ABCD的面积是：m2，∵矩形EFGH的面积是：，∴草坪的面积是：，总造价为：==，∵，∴当x=20时，总造价最小，最小值为元．答：EF的长度为20m时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价元．【点评】本题考查二次函数的综合问题，主要考查二次函数的应用、菱形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．25．（13分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=5cm，点P从点C出发沿线段CA以每秒2cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段BC 以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）填空：AB=5cm；（2）t为何值时，△PCQ与△ACB相似；（3）如图2，以PQ为斜边在异于点C的一侧作Rt△PEQ，且，连结CE，求CE．（用t的代数式表示）．【分析】（1）根据勾股定理计算即可；（2）分=或=两种情况，列出比例式计算即可；（3）作HE⊥CE交AC于H，证明△PEH∽△QEC，根据相似三角形的性质和勾股定理计算．【解答】解：（1）由勾股定理得，AB===5（cm），故答案为：5；（2）由题意可知：PC=2t，QB=t，则CQ=5﹣t，∵∠ACB=∠PCQ=90°，∴当=或=时，△PCQ与△ACB相似，当=时，=，解得，t=2.5，当=时，=，解得，t=1，∴当t=1或2.5秒时，△PCQ与△ACB相似；（3）如图，过点E作HE⊥CE交AC于H，则∠QEC=∠PEH，∵∠EHP+∠ECP=∠QCE+∠ECP=90°，∴∠EHP=∠ECQ，∴△PEH∽△QEC，∴∴，∴，在Rt△HEC中，EC2+EH2=HC2，即∴，∴CE=3+t．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

福建省泉州市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分）(2019·抚顺模拟) 如图，已知在边长为4的菱形ABCD中，∠C＝60°，E是BC边上一动点（与点B，C不重合）.连接DE，作∠DEF＝60°，交AB于点F，设CE＝x，△FBE的面积为y.下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（）A .B .C .D .2. （1分）小明从图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＞0；②a﹣b+c ＞0；③4a+2b+c＜0；④2a﹣3b=0；⑤c﹣4b＞0，其中正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3. （1分）如果抛物线y=-x2+bx+c经过A（0，-2），B（-1，1）两点，那么此抛物线经过（）A . 第一、二、三、四象限B . 第一、二、三象限C . 第一、二、四象限D . 第二、三、四象限4. （1分）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠4＝90º；④∠4+∠5＝180º其中正确的个数有（）A . 1 个B . 2个C . 3个D . 4个5. （1分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为（）A . 10B . 8C . 6D . 46. （1分）如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）A . 12B . 24C . 8D . 67. （1分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列各式一定成立的是（）A . -=0B . a+b+c＞0C . a-b+c＞0D . b2-4ac＜08. （1分） (2016九上·石景山期末) 如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s 的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A .B .C .D .9. （1分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列四个结论：①b＜0；②c＞0；③b2-4ac ＞0；④a-b+c＜0，其中正确的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个10. （1分）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，3为半径的圆，一定（）A . 与x轴相切，与y轴相切B . 与x轴相切，与y轴相交C . 与x轴相交，与y轴相切D . 与x轴相交，与y轴相交二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是________．12. （1分） (2016九上·仙游期末) 如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B（0，4），C（0，16），则该圆的直径为________。

福建省泉州一中2018-2019学年九年级上册期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共30分）1．下列二次根式中，最简二次根式为（）A．B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；C、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故C错误；D、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式，规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据等式的性质，可得答案．解：A、两边都除以2y，得＝，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得＝，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．3．下列事件中，是必然事件的是（）A．将油滴入水中，油会浮在水面上B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．如果a2＝b2，那么a＝bD．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A符合题意；B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；C、如果a2＝b2，那么a＝b是随机事件，D、掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上是随机事件，故选：A．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．解：根据勾股定理，AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝，所以△ABC的三边之比为：2：＝1：2：，A、三角形的三边分别为2，＝，＝3，三边之比为2：：3＝：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，＝2，三边之比为2：4：2＝1：2：，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，＝，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为＝，＝，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．5．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】首先求出一元二次方程x2﹣4x+5＝0根的判别式，然后结合选项进行判断即可．解：∵一元二次方程x2﹣4x+5＝0，∴△＝（﹣4）2﹣4×5＝16﹣20＝﹣4＜0，即△＜0，∴一元二次方程x2﹣4x+5＝0无实数根，故选：A．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，此题难度不大．6．用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x+1）2＝9B．（x+1）2＝7C．（x﹣1）2＝9D．（x﹣1）2＝7【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．解：x2﹣2x＝8，x2﹣2x+1＝9，（x﹣1）2＝9．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．7．如果代数式+有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知a、b的取值范围，再根据直角坐标系内各象限点的特征确定所在象限．解：∵代数式+有意义，∴a≥0且ab＞0，解得a＞0且b＞0．∴直角坐标系中点A（a，b）的位置在第一象限．故选：A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．同时考查了直角坐标系内各象限点的特征．8．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝13，sin B＝，则边BC的长为（）A．7B．8C．12D．17【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，利用锐角三角函数求出AD的长，利用勾股定理再分别求出BD和CD的长即得结果．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．∵sin B＝，即＝，∴AD＝12．在Rt△ABD中，BD＝＝12．在Rt△ACD中，CD＝＝＝5．∴BC＝BD+CD＝12+5＝17．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大．构造直角三角形，充分利用∠B的正弦、AB、AC的长是解决本题的关键．9．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF＝2：3，则下列结论不正确的是（）A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B．AD与AE的比是2：3C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9【分析】本题主要考查了位似变换的定义及作图，位似变换就是特殊的相似，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，因而周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．解：∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形；A、四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确；B、AD与AG是对应边，故AD：AE＝2：3；故错误；C、四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确；D、则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确．故选：B．【点评】本题主要考查了位似的定义及性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．10．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y ＝的图象上，且OA ⊥OB ，cos A ＝，则k 的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣4C ．﹣D ．﹣2【分析】过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，由OA 与OB 垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF 中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF 与三角形OEA 相似，在直角三角形AOB 中，由锐角三角函数定义，根据cos ∠BAO 的值，设出AB 与OA ，利用勾股定理表示出OB ，求出OB 与OA 的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A 在反比例函数y ＝上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE 的面积，进而确定出BOF 的面积，再利用k 的集合意义即可求出k 的值．解：过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOF +∠EOA ＝90°，∵∠BOF +∠FBO ＝90°，∴∠EOA ＝∠FBO ，∵∠BFO ＝∠OEA ＝90°，∴△BFO ∽△OEA ，在Rt △AOB 中，cos ∠BAO ＝＝，设AB ＝，则OA ＝1，根据勾股定理得：BO ＝，∴OB ：OA ＝：1， ∴S △BFO ：S △OEA ＝2：1，∵A 在反比例函数y ＝上，∴S △OEA ＝1，∴S＝2，△BFO则k＝﹣4．故选：B．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）11．在Rt△ABC中，sin A＝，则∠A等于30°．【分析】根据sin30°＝解答．解：在Rt△ABC中，sin A＝，∴∠A＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．12．某服装原价为100元，连续两次涨价a%，售价为121元，则a的值为10．【分析】根据该服装的原价及经两次涨价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：根据题意得：100（1+a%）2＝121，解得：a1＝10，a2＝﹣210（舍去）．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是红球．【分析】根据已知条件即可得到结论．解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，∴这三种颜色的球的个数相等，∴添加的球是红球，故答案为：红球．【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键．14．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则OD：OB＝1：2．【分析】依据BD，CE分别是边AC，AB上的中线，可得DE是△ABC的中位线，即可得到DE∥BC，DE＝BC，再根据△DOE∽△BOC，即可得到OD：OB的值．解：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DOE∽△BOC，∴＝＝，故答案为：1：2．【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形中位线定理以及相似三角形的性质的运用，解题时注意：相似三角形的对应边成比例．15．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是0．【分析】由于方程的一个根是0，把x＝0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，解得，k1＝1，k2＝0当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：0【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．16．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB ＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则①CD＝10；②图中阴影部分面积为．【分析】①利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；②设AG与CF、BF分别相交于点M、N，根据等边对等角求出∠CAG＝∠CGA，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGA＝30°，然后求出AG⊥GD，再根据相似三角形对应边成比例求出CM，从而得到MF，然后求出MN，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．①解：∵△ABE、△CDG都是等边三角形，∴△ABE∽△CDG，∴＝，即＝，解得CD＝10；②解：如图，设AG与CF、BF分别相交于点M、N，∵AC＝AB+BC＝4+6＝10，∴AC＝CG，∴∠CAG＝∠CGA，又∵∠CAG+∠CGA＝∠DCG＝60°，∴∠CGA＝30°，∴∠AGD＝∠CGA+∠CGD＝30°+60°＝90°，∴AG⊥GD，∵∠BCF＝∠D＝60°，∴CF∥DG，∴△ACM∽△ADG，∴MN⊥CF，＝，即＝，解得CM＝5，所以，MF＝CF﹣CM＝6﹣5＝1，∵∠F＝60°，∴MN＝MF＝，＝MF•MN＝×1×＝，∴S△MNF即阴影部分面积为．故答案为：10；．【点评】本题考查了相似三角线的判定与性质等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于②判断出直角三角形．三、解答题（共86分）17．（8分）计算：÷+×﹣tan60°【分析】先利用二次根式的乘除法则和特殊角的三角函数值进行计算，然后合并即可．解：原式＝+﹣×＝4+﹣ ＝4． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（8分）（1）（x ﹣3）2﹣49＝0（2）5x 2+2x ﹣1＝0【分析】（1）先变形为（x ﹣3）2＝49，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用求根公式法解方程．解：（1）（x ﹣3）2＝49，x ﹣3＝±7，所以x 1＝10，x 2＝﹣4；（2）△＝22﹣5×5×（﹣1）＝29，x ＝所以x 1＝，x 2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．19．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O 和△ABC 的顶点均为格点．（1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′与△ABC 位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）若点C 坐标为（2，4），则点A '的坐标为（ ﹣1 ， 0 ），点C ′的坐标为 （ 1 ，2 ），周长比C △A ′B ′C ′：C △ABC ＝ 1：2 ．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标．解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；（2）若点C坐标为（2，4），则点A'的坐标为（﹣1，0），点C′的坐标为（1，2），周长比C△A′B′C′：C△ABC＝1：2．故答案为：（﹣1，0），（1，2），1：2．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．20．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）第二个孩子是女孩的概率＝；故答案为；（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21．（9分）如图，小王在长江边某瞭望台D处测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE ＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为多少米？（结果精确到0.1，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【分析】延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP，可得CE＝PQ＝2、CQ＝PE，由i＝，可设CQ＝4x、BQ＝3x，根据BQ2+CQ2＝BC2求得x的值，即可知DP＝11，由AP＝，结合AB＝AP﹣BQ﹣PQ可得答案．解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE＝PQ＝2（米），CQ＝PE，∵i＝，∴设CQ＝4x、BQ＝3x，由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），则CQ＝PE＝8（米），BQ＝6（米），∴DP＝DE+PE＝11（米），在Rt△ADP中，∵AP＝≈13.1（米），∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝13.1﹣6﹣2＝5.1（米）．【点评】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．22．（10分）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE 与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；＝5，BC＝10，求DE的长．（2）若S△FCD【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC＝∠ECB，而由AD＝AC 可以得到∠ADC＝∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；（2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．（1）证明：∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD．∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB．∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴＝．∵S＝5，△FCD＝20．∴S△ABC＝×BC×AM，BC＝10，又∵S△ABC∴AM＝4．又DM＝CM＝CD，DE∥AM，∴DE：AM＝BD：BM＝，∴DE＝．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了三角形的面积公式求线段的长．23．（9分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等实根，且3c＝a+3b（1）试判断△ABC的形状；（2）求sin A+sin B的值．【分析】（1）先把方程整理为一般式，再根据判别式的意义得到△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，则a2+b2＝c2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形形状；（2）由于a2+b2＝c2，3c＝a+3b，消去a得（3c﹣3b）2+b2＝c2，变形为（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，则b＝c，a＝c，根据正弦的定义得sin A＝，sin B＝，所以sin A+sin B＝，然后把b＝c，a＝c代入计算即可．解：（1）方程整理为（c﹣a）x2+2bx+a+c＝0，根据题意得△＝4b 2﹣4（c ﹣a ）（a +c ）＝0，∴a 2+b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形；（2）∵a 2+b 2＝c 2，3c ＝a +3b∴（3c ﹣3b ）2+b 2＝c 2，∴（4c ﹣5b ）（c ﹣b ）＝0，∴4c ＝5b ，即b ＝c ，∴a ＝3c ﹣3b ＝c∵sin A ＝，sin B ＝，∴sin A +sin B ＝＝＝．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义．24．（12分）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为1），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长．（1）如图1，已知等腰直角三角形纸片△ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长，则AB ＝ ；（2）如图2，已知直角三角形纸片△DEF ，∠DEF ＝90°，EF ＝2DE ，求出DF 的长；（3）在（2）的条件下，若橫格纸上过点E 的横线与DF 相交于点G ，直接写出EG 的长．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出AD ＝CE ＝3，BE ＝DC ＝2，进而利用勾股定理解答即可；（2）过点E作横线的垂线，交l1，l2于点M，N，根据相似三角形的判定和性质解答即可；（3）利用梯形的面积公式解答即可．解：（1）如图1，∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ECB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC与△BCE中，，∴△ADC≌△BCE，∴AD＝CE＝3，BE＝DC＝2，∴，∴AB＝＝；故答案为：（2）过点E作横线的垂线，交l1，l2于点M，N，∴∠DME＝∠EDF＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，∴△DME∽△ENF，∴，∵EF＝2DE，∴，∵ME＝2，EN＝3，∴NF＝4，DM＝1.5，根据勾股定理得DE＝2.5，EF＝5，，（3）根据（2）可得：，即，解得：EG＝2.5．【点评】此题考查三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质进行解答．25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：＝；②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．先推出∠ACO＝30°，∠ACD＝60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∠DCE＝∠EDC＝30°，推出∠DBC＝∠BCD＝60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC＝BC＝2，由此即可解决问题；（3）①先表示出DN，BM，再判断出△BMD∽△DNE，即可得出结论；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：∵OA＝2，OC＝2，∵tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∴∠DCE＝∠EDC＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2．∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①如图1，过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，∵A（0，2）和C（2，0），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设D（a，﹣a+2），∴DN＝﹣a+2，BM＝2﹣a∵∠BDE＝90°，∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，∴△BMD∽△DNE，∴＝＝．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，∴DH＝AD＝x，AH＝＝x，∴BH＝2﹣x，在Rt△BDH中，BD＝＝，∴DE＝BD＝•，∴矩形BDEF的面积为y＝[]2＝（x2﹣6x+12），即y＝x2﹣2x+4，∴y＝（x﹣3）2+，∵＞0，∴x＝3时，y有最小值．【点评】本题考查相似形综合题、四点共圆、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．。

2018-2019学年福建省泉州市晋江市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共16小题，每小题2分，满分42分）1．（3分）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16 2．（3分）已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定3．（3分）如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A．87°B．60°C．75°D．120°4．（3分）二次函数y=（x﹣5）2+7的最小值是（）A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．5 5．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（）A．7sin35°B．7cos35°C．7tan35° D．6．（3分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：8 D．1：97．（3分）如图四边形ABCD内接于⊙O，如果∠A=64°，那么∠BOD=（）A．128°B．116°C．64°D．32°8．（3分）如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为（）A．2B．2C．D．2 9．（3分）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（3分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，E、F 在AD上，BE与CF相交于点G，若AB=7，BC=10，则△EFG与△BCG 的面积之比为（）A．4：25 B．49：100 C．7：10 D．2：5 11．（3分）如图，AB是半圆的直径，D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°12．（3分）如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（）A．1 B．C．3 D．13．（2分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C．D．14．（2分）如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（）A．πB．πC．D．15．（2分）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）A．3m B．5m C．7m D．9m16．（2分）如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→OC．O→C→D→O D．O→B→D→O二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）17．（3分）已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，则该方程的另一个根是．18．（3分）二次函数的顶点为（﹣2，1），且过点（2，7），则二次函数的解析式为．19．（3分）如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为．20．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P 从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为cm2．三、解答题（共6小题，满分66分）21．（10分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1=0（2）x2﹣3x=（2﹣x）（x﹣3）22．（9分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90度．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．23．（9分）如图，二次函数图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式及顶点坐标．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．24．（12分）某农户准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用30米长的篱笆围成，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若垂直于墙的一边为多少米时，苗圃园的面积最大值？最大面积是多少？（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．25．（13分）在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，点A绕点O按顺时针方向旋转到A′，旋转角为α（0°＜α＜∠AOD），连接A′C．（1）如图①，则△AA′C的形状是；（2）如图②，当∠α=60°，求A′C长度；（3）如图③，当∠α=∠AOB时，求证：A′D∥AC．26．（13分）如图①，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标：A ；B ；C ；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，时△APC的周长最小，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上的一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．2018-2019学年福建省泉州市晋江市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16小题，每小题2分，满分42分）1．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．2．【解答】解：∵OP=3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．故选：A．3．【解答】解：∵两个四边形相似，∴∠1=138°，∵四边形的内角和等于360°，∴∠α=360°﹣60°﹣75°﹣138°=87°，故选：A．4．【解答】解：∵y=（x﹣5）2+7∴当x=5时，y有最小值7．故选：B．5．【解答】解：在Rt△ABC中，cosB=，∴BC=AB•cosB=7cos35°，故选：B．6．【解答】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴==，∴==，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为1：3，∴△A'B'C'与△ABC的面积的比1：9，故选：D．7．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BOD=2∠A=128°．故选：A．8．【解答】解：连接OA，作OC⊥AB于C，则AC=BC，∵OP=4，∠P=30°，∴OC=2，∴AC==，∴AB=2AC=2，故选：A．9．【解答】解：设圆心角是n度，根据题意得=，解得：n=60．故选：C．10．【解答】解：∵在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴AD∥BC，AB=DC，AD=BC，∠CABE=∠CBE，∠DCF=∠BCF，∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，∴∠ABE=∠AEB，∠DFC=∠DCF，∴AB=AE，DF=DC，又∵AB=7，BC=10，∴AE=DE=7，AD=10，∴AF=DE=3，∴FE=4，∵FE∥BC，∴△FGE∽△CGB，∴，∴，故选：A．11．【解答】解：连接OD，OC，∵∠ABC=50°，∴∠AOC=2∠ABC=100°，∴AC弧=100°，∵D是弧AC的中点，∴AD弧=50°，∴BD弧=130°，∴∠DOB=130°，∴∠DAB=∠DOB=65°故选：C．12．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵cos∠ACD=，∴cos∠B=，∴tan∠B=，∵BC=4，∴tan∠B=，∴=，∴AC=．故选：D．13．【解答】解：连接OB．∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，在直角△OAB中，OB=AB•tanA=2×=2，则OA=2OB=4，∴AC=4+2=6．故选：B．14．【解答】解：设底面圆的半径为r，则：2πr==π．∴r=，∴圆锥的底面周长为，故选：B．15．【解答】解：连接OA，交半圆O于E点，在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，所以OA==10；又OE=OB=6，所以AE=OA﹣OE=4．因此选用的绳子应该不大于4m，故选：A．16．【解答】解：当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，y由45°逐渐增加到90°．故点P的运动路线可能为O→C→D→O．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）17．（3分）已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，则该方程的另一个根是﹣6 ．【解答】解：∵2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，∴2+x1=﹣4，∴x1=﹣6，∴该方程的另一个根是﹣6．18．（3分）二次函数的顶点为（﹣2，1），且过点（2，7），则二次函数的解析式为y=．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+2）2+1，把（2，7）代入得a•（2+2）2+1=7，解得a=，所以抛物线解析式为y=（x+2）2+1；故答案为：y=．19．（3分）如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：如图，设B′C′与AB交点为D，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到，∴∠CAC′=15°，AC′=AC=1，∴∠C′AD=∠BAC﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，∵AD=2C′D，∴AD2=AC′2+C′D2，即（2C′D）2=12+C′D2，解得C′D=，故阴影部分的面积=×1×=．故答案为：．20．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P 从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为15 cm2．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8c m，∴AC==6cm．设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，∴S四边形PABQ=S△AB C﹣S△CPQ=AC•BC﹣PC•CQ=×6×8﹣（6﹣t）×2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．故答案为15．三、解答题（共6小题，满分66分）21．（10分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1=0（2）x2﹣3x=（2﹣x）（x﹣3）【解答】解：（1）∵x2﹣4x=1，∴x2﹣4x+4=1+4，即（x﹣2）2=5，则x﹣2=±，∴x=2±；[来源:学.科.网]（2）∵x（x﹣3）+（x﹣2）（x﹣3）=0，∴（x﹣3）（x+x﹣2）=0，即（x﹣3）（2x﹣2）=0，则x﹣3=0或2x﹣2=0，解得：x=3或x=1．22．（9分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90度．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．【解答】解：（1）点A关于y轴对称的点的坐标是（2，3）；（2）图形如右，点B的对应点的坐标是（0，﹣6）；（3）以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）或（3，3）．23．（9分）如图，二次函数图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式及顶点坐标．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴点C（0，3）关于对称轴的对称点D的坐标为（﹣2，3）；（2）由抛物线与x轴的交点坐标（﹣3，0）和（1，0）可设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），将点C（0，3）代入，得：﹣3a=3，解得：a=﹣1，则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（3）由函数图象知一次函数图象在二次函数图象上方时，x＜﹣2或x＞1，则一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为x＜﹣2或x＞1．24．（12分）某农户准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用30米长的篱笆围成，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若垂直于墙的一边为多少米时，苗圃园的面积最大值？最大面积是多少？（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得：（30﹣2x）x=72，解得：x=3，x=12，∵30﹣2x≤18，∴x=12；（2）依题意得30﹣2x≤18所以，x≥6，∵S=﹣2（x﹣）2+，由二次函数的性质可得：当时，S最大=112.5（3）令x（30﹣2x）=100，x2﹣15x+50=0，解得x=5或10，因为S=x（30﹣2x）的图象开口向下，且x≥6，所以当这个苗圃的面积不小于100平方米时，x的取值范围是6≤x≤10．25．（13分）在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，点A绕点O按顺时针方向旋转到A′，旋转角为α（0°＜α＜∠AOD），连接A′C．（1）如图①，则△AA′C的形状是直角三角形；（2）如图②，当∠α=60°，求A′C长度；（3）如图③，当∠α=∠AOB时，求证：A′D∥AC．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∵OA=OA′，∴OA′=OC，∴∠OAA′=∠OA′A，∠OA′C=∠OCA′，∴∠OA′C+∠OA′A=∠OCA′+∠OAA′，∴∠CA′A=90°，∴△AA′C是直角三角形，故答案为：直角三角形；（2）∵AB=1，BC=2，∴AC==，∴OA=OA′=，∵∠α=60°，∴△AA′O是等边三角形，∴∠OAA′=60°，∴A′C=AC=×=；（3）∵∠α=∠AOB，OA=OB=OA′，∴AA′=AB，∠OAA′=∠OBA，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBA=∠OCD，AB=CD，∴∠OAA′=∠OCD，AA′=CD，∴四边形A′ACD是等腰梯形，∴A′D∥AC．26．（13分）如图①，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标：A （1，0）；B （﹣3，0）；C （0，3）；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，时△APC的周长最小，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上的一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．【解答】解：（1）令x=0得：y=3，∴C（0，3）．令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，解得：x=﹣3或x=1，∴A（1，0），B（﹣3，0）．故答案为：A（1，0）；B（﹣3，0）；C（0，3）．（2）存在．如图①所示：连接BC，交抛物线的对称轴与点P，连接PA．由题意可知，A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称∴PB=PA．∴PC+PA=PC+PB．由两点之间线段最短可知：PC+PA有最小值．∴此时△APC周长最小．设直线BC的解析式为y=kx+b．将点B和点C的坐标代入得：，解得k=1，b=3．∴直线BC的解析式为y=x+3．把x=﹣1代入y=x+3得y=2∴P（﹣1，2）（3）如图②所示：连接OE．设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）．S四边形BOCE=OB•|y E|+OC•|x E|=×3×（﹣a）+×3×（﹣a2﹣2a+3）=﹣a2﹣a+=﹣（a+）2+．∴当a=﹣时，四边形BOCE面积最大，且最大面积为．此时，点E坐标为（）．。

2018-2019学年福建省泉州市晋江市安海片区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确的选项）1．（4分）一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，1，3B．2，1，﹣3C．2，﹣1，3D．2，﹣1，﹣3 2．（4分）二次根式：①；②；③；④中，能与合并的是（）A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④3．（4分）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（）A．5B．6C．7D．84．（4分）若，则=（）A．2B．C．D．5．（4分）下列计算正确的是（）A．+=B．3﹣=2C．×=2D．÷=3 6．（4分）如图，△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则cosB等于（）A．B．C．D．7．（4分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，电梯坡面BC的坡度i=1：，则电梯坡面BC 的坡角α为（）A．15°B．30°C．45°D．60°8．（4分）一元二次方程（x+1）2=4的根是（）A．x1=2，x2=﹣2B．x=﹣3C．x1=1，x2=﹣3D．x=19．（4分）正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则=（）A．B．C．D．10．（4分）在Rt△ABC中，直角边为a、b，斜边为c．若把关于x的方程ax2+cx+b=0称为“勾系一元二次方程”，则这类“勾系一元二次方程”的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．一定有实数根二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）二次根式有意义，则x的取值范围是．12．（4分）已知三角形的各边长分别是8cm、10cm和12cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长为cm．13．（4分）已知锐角α满足cosα=，则锐角α的度数是度．14．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是0，则另一个根是．15．（4分）将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，BE、CF为折痕，折叠后点A和点D都落在点O处，若△EOF是等边三角形，则的值为．16．（4分）如图△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，DF交BC于点H．（1）PH=cm．（2）△ABC与△DEF重叠部分的面积为cm2．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：﹣﹣×．18．（8分）解方程：x2﹣2x﹣1=0．19．（8分）如图，在△ABC中，∠A=90°，BC边上的高为AD．（1）用尺规作图画出AD（保留作图痕迹，不写作法，画完后用黑色签字笔描黑）；（2）求证：AD2=BD•CD．20．（8分）如图，从高楼C点测得水平地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时高楼C点的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离．21．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）若点C的坐标为（2，4），则点A′的坐标为（，），点C′的坐标为（，），S△A′B′C′：S△ABC=．22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m=0．（1）求证：无论m取什么实数值，该方程总有两个实数根．（2）若该方程的两实根x1和x2是一个矩形两邻边的长且该矩形的对角线长为，求m的值．23．（10分）如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．（1）在第n个图中，第一横行共块瓷砖，第一竖列共有块瓷砖；（均用含n的代数式表示）（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数；（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；（4）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，问题（3）中，共花多少元购买瓷砖；（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形请通过计算说明理由．24．（12分）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，动点Q在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从点A向终点B运动，过点Q作AB的垂线交x轴于点P，设点Q的运动时间为t秒．（1）求证：△AQP∽△AOB；（2）是否存在t值，使△POQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．25．（14分）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD 与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，分别交m、n于点A、B，当点B与点D重合时（如图1），连结PA，请直接写出线段PA与PB的数量关系：．（2）猜想证明：在图1的情况下，把直线l向右平移到如图2的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图2的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图3），若两平行线m、n之间的距离为2k，求证：PA•PB=k•AB．2018-2019学年福建省泉州市晋江市安海片区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确的选项）1．【解答】解：一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣1，﹣3，故选：D．2．【解答】解：①=2；②=3；③=；④=3，所以，能与合并的是①和④．故选：C．3．【解答】解：∵＜＜，∴8＜＜9，∵n＜＜n+1，∴n=8，故选：D．4．【解答】解：∵=，∴设a=3k，b=4k，∴==，故选：B．5．【解答】解：A、和不能合并，故本选项错误；B、3﹣=2，原式计算错误，故本选项错误；C、×=2，计算正确，故本选项正确；D、÷=，原式计算错误，故本选项错误．故选：C．6．【解答】解：由勾股定理，得AB==5，cosB==，故选：A．7．【解答】解：tana=i==，则∠α=30°．故选：B．8．【解答】解：（x+1）2=4，x+1=±2，所以x1=1，x2=﹣3．故选：C．9．【解答】解：根据题意，AE=BF，AD=AB，∠EAD=∠B=90°，∴△ADE≌△BAF．∴∠ADE=∠BAF，∠AED=∠BFA．∵∠DAO+∠FAB=90°，∠FAB+∠BFA=90°，∴∠DAO=∠BFA，∴∠DAO=∠AED．∴△AOD∽△EAD．所以==．故选：D．10．【解答】解：∵在Rt△ABC中，直角边为a、b，斜边为c，∴c2=a2+b2．在方程ax2+cx+b=0中，△=（c）2﹣4ab=2（a2+b2﹣2ab）=2（a﹣b）2．∵（a﹣b）2≥0，∴2（a﹣b）2≥0，即△≥0，∴这类“勾系一元二次方程”一定有实数根．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．【解答】解：根据题意，得x﹣3≥0，解得，x≥3；故答案为：x≥3．12．【解答】解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，则DE=AC，DF=BC，EF=AB，∴△DEF的周长=DE+DF+EF=（AC+BC+AB）=×（8+10+12）cm=15cm．故答案为15．13．【解答】解：由锐角α满足cosα=，则锐角α的度数是60度，故答案为：60．14．【解答】解：设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的两个根，∵关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是0，∴由韦达定理，得x1+x2=1，即x2=1，即方程的另一个根是1．故答案为1．15．【解答】解：∵△EOF是等边三角形，∴EF=OE=OF，∠OEF=60°，由折叠的性质可得：OE=AE，OF=DF，∠AEB=∠OEB，∴AD=3AE，∠AEB==60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴tan∠AEB==，∴AB=AE，∴=．故答案为：．16．【解答】解：设AC与DF和EF的交点分别为M，N，如下图所示：（1）∵∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，点P为斜面中点，∴FD=6cm，DE=6cm，FP=6cm，根据旋转前后对应角相等可知：△FHP∽△FED，∴，即，解得：PH=2，FH=4；（2）∵∠C是公共角，∠CPN=∠A=90°，∴△PNC∽△ABC得，==，即，其中CP=6，解得NP=2，NC=4．FN=FP﹣NP=6﹣2，由△FMN∽△CPN，可知=，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可知S四边形MNPH=S△FHP﹣S△FMN=S△CNP﹣（1﹣）S△CNP=6×××=9．△ABC与△DEF重叠部分的面积为9cm2．故答案为：2，9．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．【解答】解：原式=3﹣2﹣=3﹣2﹣=0．18．【解答】解：解法一：∵a=1，b=﹣2，c=﹣1∴b2﹣4ac=4﹣4×1×（﹣1）=8＞0∴∴，；解法二：（x﹣1）2=2∴∴，．19．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠2+∠1=90°，∠2+∠C=90°，∴∠1=∠C，∴△ADB∽△CDA，∴=，∴AD2=BD•CD．20．【解答】解：∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，∴∠BCD=90°﹣45°=45°，∠ACD=90°﹣30°=60°，∵CD⊥AB，CD=100米，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD=100米，在Rt△ACD中，∵CD=100米，∠ACD=60°，∴AD=CD•tan60°=100×=100（米），∴AB=AD+BD=100+100=100（+1）米．答：AB两点的距离是100（+1）米．21．【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；（2）A′（﹣1，0），C′（1，2），S△A′B′C′：S△ABC=1：4．故答案为：﹣1，0；1，2；1：4．22．【解答】（1）证明：△=[﹣（m+3）]2﹣4×3m=m2﹣6m+9=（m﹣3）2，因为不论m为何值，（m﹣3）2≥0，所以△≥0，所以无论m取什么实数值，该方程总有两个实数根；（2）解：根据根与系数的关系得：x1+x2=m+3，x1•x2=3m，∵该方程的两实根x1和x2是一个矩形两邻边的长且该矩形的对角线长为，∴x12+x22=10，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2•x1•x2=（m+3）2﹣2•3m=10，即m2=1，解得：m1=1，m2=﹣1（舍去），即m的值为1．23．【解答】解：（1）每﹣横行有（n+3）块，每﹣竖列有（n+2）块．（2）y=（n+3）（n+2），（3）由题意，得（n+3）（n+2）=506，解之n1=20，n2=﹣25（舍去）．（4）观察图形可知，每﹣横行有白砖（n+1）块，每﹣竖列有白砖n块，因而白砖总数是n（n+1）块，n=20时，白砖为20×21=420（块），黑砖数为506﹣420=86（块）．故总钱数为420×3+86×4=1260+344=1604（元）．（5）当黑白砖块数相等时，有方程n（n+1）=（n2+5n+6）﹣n（n+1）．整理得n2﹣3n﹣6=0．解之得n1=，．由于n1的值不是整数，n2的值是负数，故不存在黑砖白块数相等的情形．24．【解答】解：（1）∵PQ⊥AB，∴∠AQP=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AQP=∠AOB=90°．∵∠QAP为公共角，∴△AQP∽△AOB；（2）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，AB==5，∵△AQP∽△AOB，∴==，即==，∴AP=，QP=，当QP=OP时，=3﹣，解得t=1；∵点Q在直线y=x+4上，AQ=t，∴Q（3﹣，），∴OQ=，∴当OQ=QP时，=，解得t1=（舍去），t2=﹣（舍去）；当OQ=OP时，=3﹣，解得t3=．综上所述，t的值为1或．25．【解答】解：（1）如图1中，∵l⊥m，∴∠BAC=90°又∵点P为线段CD的中点，∴PA=CD=PB．故答案为PA=PB．（2）这时PA与PB的关系式仍然成立，证明如下：如图2，延长AP交直线n于点E．∵m∥n，∴∠ACP=∠PDE，∠CAP=∠PED，又∵PC=PD，∴△PAC≌△PED（AAS）∴PA=PE，即点P是AE的中点，又∵∠ABE=90°，∴PA=PB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．解法二：如图2﹣1，把直线l向左平移到经过点P的位置，易得AF=BE．∵m∥n，∴=，∵PC=PD，∴PF=PE．∵∠AFP=∠BE=90°，∴△PAF≌△PBE（SAS），∴PA=PB．解法三：如图2﹣2，把直线l向右平移到经过点C的位置，易得AC=BE．∵∠CED=90°，PC=PD，∴PC=PE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴∠PCE=∠PEC，∴90°﹣∠PCE=90°﹣∠PEC，即∠ACP=∠BEP，∴△PAC≌△PBE（SAS），∴PA=PB．（3）解法一：如图3，延长AP交直线n于点E，作AF⊥直线n于点F．由（2）得PA=PE，又∵∠APB=90°，∴BP是线段AE的垂直平分，∴AB=BE，∵∠AFE=∠BPE=90°，∠AEF=∠BEP，∴△AEF∽△BEP，∴=，∴AE•BP=AF•BE，∵AF=2k，AE=2PA，BE=AB，∴2PA•PB=2k•AB，∴PA•PB=•AB．解法二：如图3﹣1中，延长AP交直线n于点E，作PH⊥m于点H，交直线n 于点F．∴∠PHA=90°．∵m∥n，∴=，∵PC=PD，HF=k，∴PH=PF=k，由（2）得PA=PE．∵∠APB=90°，即BP⊥AE．∴BP是线段AE的垂直平分，∴AB=BE，∴∠AEB=∠BAP．∵m∥n，∴∠AEB=∠HAP，∴∠BAP=∠HAP，∵∠PHA=∠APB=90°，∴△AHP∽△APB，∴=，∴PA•PB=PH•AB，即PA•PB=k•AB．解法三：如图3﹣2中，延长AP交直线n于点E，作PH⊥m于点H，交直线n 于点F．∴∠PHA=90°．∵m ∥n ， ∴==，∵PC=PD ，HF=2k ，∴PA=PE ，PH=PF=k ， 由（2）得PA=PE ．∵∠APB=90°，即BP ⊥AE ． ∴BP 是线段AE 的垂直平分， ∴AB=BE ，∵PA=PE ，∴S △PAB =S △PEB ，即•PA•PB=BE•PF ， ∴PA•PB=kAB ．。

2018-2019学年福建省泉州市南安市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（）2＝（）A．﹣3 B．3 C．D．9【分析】根据二次根式的乘法法则进行运算即可．【解答】解：原式＝3．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题．2．下面说法正确的是（）A．是最简二次根式B．与是同类二次根式C．形如的式子是二次根式D．若＝a，则a＞0【分析】根据最简二次根式的定义以及同类二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：（B）＝2，故2与不是同类二次根式，故B错误；（C）形如（a≥0）的式子是二次根式，故C错误；（D）若＝a，则a≥0，故D错误；故选：A．【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的相关概念，本题属于基础题型．3．下列方程是一元二次方程的是（）A．x﹣2＝0 B．x2＝0 C．x2﹣2x+1 D．x2+3x﹣5＝0【分析】根据一元二次方程的定义，依次分析各个选项，选出是一元二次方程的选项即可．【解答】解：A．属于一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，A项错误，B．属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，B项错误，C．不是等式，不符合一元二次方程的定义，C项错误，D．符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，D项正确，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．4．一元二次方程x2﹣3x+3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【分析】求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案．【解答】解：一元二次方程x2﹣3x+3＝0中，△＝9﹣4×1×3＜0，则原方程没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．5．将方程x2﹣6x+2＝0配方后，原方程变形为（）A．（x+3）2＝﹣2 B．（x﹣3）2＝﹣2 C．（x﹣3）2＝7 D．（x+3）2＝7【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形后，即可得到结果．【解答】解：方程x2﹣6x+2＝0，变形得：x2﹣6x＝﹣2，配方得：x2﹣6x+9＝7，即（x﹣3）2＝7，故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E＝2∠KB．BC＝2HIC．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL【分析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E＝∠K，故本选项错误；B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴BC＝2HI，故本选项正确；C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长×2，故本选项错误；D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴S六边形ABCDEF＝4S六边形GHIJKL，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即两个相似多边形的对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．7．下列四条线段中，不能成比例的是（）A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10 B．a＝2，b＝2，c＝，d＝5C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A、4×10＝5×8，能成比例；B、2×5＝2×，能成比例；C、1×4≠2×3，不能成比例；D、1×4＝2×2，能成比例．故选：C．【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（）A．（2，5）B．（，5）C．（3，5）D．（3，6）【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），∴＝，∵A（1，2），∴C（，5）．故选：B．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点的关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．9．如图，DE是△ABC的中位线，已知△ABC的面积为12，则四边形BCED的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．10【分析】由DE为中位线，可得DE∥BC，DE＝BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得S△ADE：S△ABC＝1：4，又由△ABC的面积为12，即可求得四边形BCED的面积．【解答】解：∵DE为中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：4，∴S四边形BCED：S△ABC＝3：4，∵S△ABC＝12，∴S四边形BCED＝9．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．10．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1……，则i2018＝（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【分析】直接利用已知得出变化规律，进而得出答案．【解答】解：∵i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1……，∴每4个一循环，∵2018÷4＝504…2，∴i2018＝i2＝﹣1，故选：A．【点评】此题主要考查了实数运算，正确得出数字变化规律是解题关键．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．若+（y﹣3）2＝0，则x+y的值为 1 ．【分析】根据非负数的性质可得x+2＝0，y﹣3＝0，解出x、y的值，进而可得答案．【解答】解：由题意得：x+2＝0，y﹣3＝0，解得：x＝﹣2，y＝3，则x+y＝﹣2+3＝1，故答案为：1．【点评】此题主要考查了非负数的性质，关键是掌握偶次幂和绝对值都具有非负性．12．已知5a＝6b（a≠0），那么＝．【分析】由等式可用a表示出b，进而解答即可．【解答】解：∵5a＝6b（a≠0），∴b＝a，可得：，故答案为：．【点评】本题主要考查比例的性质，由已知等式用a表示出b是解题的关键．13．如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，AE＝5，DF＝3.6，那么BD＝ 2.4 ．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC＝2，AE＝5，∴CE＝3，AB∥CD∥EF，∴，即，∴BD＝2.4，故答案为：2.4【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．14．一元二次方程x2＝9的解是x1＝3，x2＝﹣3 ．【分析】直接利用开平方法解方程得出答案．【解答】解：x2＝9解得：x1＝3，x2＝﹣3．故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．15．一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个根分别是x1，x2，则x1+x2＝﹣4 ．【分析】直接根据根与系数的关系求解即可．【解答】解：根据题意知x1+x2＝﹣＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．16．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP 长 2.8或1或6 ．【分析】根据相似三角形的性质分情况讨论得出AP的长．【解答】解：分两种情况：①如果△PAD∽△PBC，则PA：PB＝AD：BC＝2：3，又PA+PB＝AB＝7，∴AP＝7×2÷5＝2.8；②如果△PAD∽△CBP，则PA：BC＝AD：BP，即PA•PB＝2×3＝6，又∵PA+PB＝AB＝7，∴PA、PB是一元二次方程x2﹣7x+6＝0的两根，解得x1＝1，x2＝6，∴AP＝1或6．综上，可知AP＝2.8或1或6．故答案为2.8或1或6．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）计算： +﹣【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：原式＝3+4﹣＝．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．18．（8分）解方程：x（x﹣1）＝2（x﹣1）．【分析】先移项得到x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，再把方程左边分解得到（x﹣1）（x﹣2）＝0，则方程转化为x﹣1＝0，x﹣2＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：x（x﹣1）＝2（x﹣1）．x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0．（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0，x﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝2，【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把一元二次方程化为一般式，然后把方程左边分解为两个一次式的积，从而可把一元二次方程化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，得到一元二次方程的解．19．（8分）在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．【分析】根据三边对应成比例的三角形相似进行解答即可．【解答】证明：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，∴＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键．20．（8分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．【分析】（1）利用因式分解法求出方程的两根，再根据倍根方程的定义判断即可；（2）根据倍根方程的定义，倍根方程x2+bx+c＝0有一个根为2时，另外一个根为4或1，再利用根与系数的关系求出b、c的值．【解答】解：（1）该方程是倍根方程，理由如下：x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∴x2＝2x1，∴一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程．（2）∵方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，∴方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，﹣b＝1+2，解得b＝﹣3，c＝1×2＝2；当方程根为2，4时﹣b＝2+4，解得b＝﹣6，c＝2×4＝8．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力．21．（8分）当k是为何值时，关于x的方程x2+（2k﹣3）x+k2+1＝0有实数根？【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝﹣12k+5≥0，解之即可得出k的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2+（2k﹣3）x+k2+1＝0有实数根，∴△＝（2k﹣3）2﹣4（k2+1）＝﹣12k+5≥0，解得：k≤，∴当k≤时，方程x2+（2k﹣3）x+k2+1＝0有实数根．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．22．（10分）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．（要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程）【分析】依据D是AB的中点，D'是A'B'的中点，即可得到，根据△ABC∽△A'B'C'，即可得到，∠A'＝∠A，进而得出△A'C'D'∽△ACD，可得＝k．【解答】已知，如图，△ABC∽△A'B'C'，＝k，D是AB的中点，D'是A'B'的中点，求证：＝k．证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，∴AD＝AB，A'D'＝A'B'，∴，∵△ABC∽△A'B'C'，∴，∠A'＝∠A，∵，∠A'＝∠A，∴△A'C'D'∽△ACD，∴＝k．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述性命题的证明格式．23．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，CD＝4cm，P为CD的中点．（1）在AC上找一点Q，使DQ+PQ的值最小（保留画图痕迹，不写画法，不必说理）；（2）求出（1）中DQ+PQ的长．【分析】（1）如图，连接PB交AC于点Q，点Q是所求作的；（2）连接PA．证明△PAB是直角三角形，利用勾股定理求出PB即可；【解答】解：（1）如图，连接PB交AC于点Q，点Q是所求作的；（2）连结AP，在菱形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4cm，又∵∠ADC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∵P为CD的中点，∴AP⊥CD，DP＝CD＝2cm，在Rt△ADP中，AP＝＝＝6（cm），∵AP⊥CD，AB∥CD，∴AP⊥AB，在Rt△ABP中，BP＝＝＝2（cm），在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝OD∴DQ＝BQ∴DQ+PQ＝BQ+PQ＝BP＝2（cm）答：DQ+PQ的长为2cm．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的性质，轴对称，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．24．（13分）南安某汽车销售公司11月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为19万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家再根据销售量返利给销售公司：销售量在5部以内（含5部），每部返利0.1万元；销售量在5部以上，每部返利0.4万元．（1）若该公司当月售出5部汽车，则每部汽车的进价为18.6 万元；（2）若汽车的售价为19.8万元/部，该公司计划当月盈利18万元，则需售出多少部汽车？（盈利＝销售利润+返利）【分析】（1）由进价＝19﹣0.1×（售出数量﹣1），即可求出结论；（2）设需售出x部汽车，则每部汽车的销售利润为19.8﹣[19﹣0.1（x﹣1）]＝（0.1x+0.7）万元，分1≤x≤5及x ＞5两种情况考虑：①当1≤x≤5时，根据当月盈利＝每部汽车的销售利润×销售数量+返利，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，由该值大于5可将其舍去；②当x＞5时，根据当月盈利＝每部汽车的销售利润×销售数量+返利，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．综上，此题得解．【解答】解：（1）19﹣0.1×（5﹣1）＝18.6（万元）．故答案为：18.6．（2）设需售出x部汽车，则每部汽车的销售利润为19.8﹣[19﹣0.1（x﹣1）]＝（0.1x+0.7）万元．①当1≤x≤5时，根据题意得：（0.1x+0.7）x+0.1x＝18，整理得：x2+8x﹣180＝0，解得：x1＝﹣18（舍去），x2＝10，∵10＞5，∴x2＝10舍去；②当x＞5时，根据题意得：（0.1x+0.7）x+0.4x＝18，整理得：x2+11x﹣180＝0，解得：x1＝﹣20（舍去），x2＝9．答：需售出9部汽车．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）分1≤x≤5及x＞5两种情况，列出关于x的一元二次方程．25．（13分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点E从点A出发沿着线段AB向终点B运动，速度为每秒3个单位长度，过点E作EF⊥AB交直线AC于点F，连结CE．设点E的运动时间为t秒．（1）当点F在线段AC上（不含端点）时，①求证：△ABC∽△AFE；②当t为何值时，△CEF的面积为1.2；（2）在运动过程中，是否存在某时刻t，使△CEF为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①根据相似三角形的判定解答即可；②过点C作CH⊥AB于H，利用相似三角形的性质和三角形面积公式解答即可；（2）根据等腰三角形的判定分两种情况解答．【解答】解：（1）当点F在线段AC上时，①证明如下：∵EF⊥AB，∴∠AEF＝90°在△ABC中，∠ACB＝90°∴∠ACB＝∠AEF又∵∠A＝∠A∴△ABC∽△AFE②当t秒时，AE＝3t，由①得△ABC∽△AFE∴，即，∴FE＝4t在Rt△ABC中，AB＝，过点C作CH⊥AB于H，如图1：由面积法可得：∴∴S△CEF＝S△ACE﹣S△AEF＝＝令解得：，经检验，符合题意．答：当t为秒或1秒时，△CEF的面积为1.2．（2）存在，理由如下：i）当点F在线段AC上时（0＜t＜），∵∠CFE＝∠AEF+∠A＞90°，∴当△CEF为等腰三角形时，只能是FC＝FE由②可知：FE＝4t∴AF＝5t，FC＝4t∴5t+4t＝6，∴t＝ii）当点F在线段AC的延长线上时（＜t），如图2，∵∠FCE＝∠FCB+∠ECB＞90°，∴当△CEF为等腰三角形时，只能是FC＝EC此时∠F＝∠CEF∵EF⊥AB∴∠AEF＝90°即∠CEA+∠CEF＝90°又∠F+∠A＝90°∴∠CEA＝∠A∴CE＝AC＝6∴FC＝6∴AF＝12 即5t＝12∴综上所述，t的值为秒或秒时，△CEF为等腰三角形．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、相似三角形等相关知识，关键是根据相似三角形的判定和性质解答，综合性强，是一道难度较大的压轴题．。

福建省泉州2021 届九年级上期中考试数学试题含答案年秋季期中考试初三年数学科试卷〔时间： 120 分钟总分：150分〕一、选择题〔每题 3 分，共 21 分〕1．与 2 是同类二次根式的是( )A．3B． 2C． 3 2D．2．一元二次方程x 2 4 0 的根是()A．x2B．x2C．x4D．x 43．a2 ，那么 ab的值为 ( )b 3 bA．5B ．3C．4D．53 5 3 24．以下计算正确的选项是( )A． 2 3 6 B． 2 3 5 C．8 4 D ． 4 2 25．用配方法解方程x 2 4x 2 0 ，以下配方结果正确的选项是( )A．x - 22 6 B．x 22 2 C ．x - 22 -2D．x 2 2 26．如下图，每个小正方形的边长均为1，那么以下 A、 B、 C、 D 四个图中的三角形〔阴影局部〕与△ EFG相似的是〔〕EF G〔第 6 题〕A B C DE7、某钢铁厂一月份生产钢铁560 吨，从二月份起，由于改良操作技术，使得第一季度共生产钢铁 1850 吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？假设设二、三月份平均每月的增长率为 x，那么可得方程〔〕A．560 1 x 2 1850 B ． 560 560 1 x 2 1850 C．560 1 x 560 1 x 2 1850 D．560 560 1 x 560 1 x 2 1850 二、填空题〔每小题 4 分，共40 分〕8．计算：3 6_________．9．假设二次根式 x 2 有意义，那么x 的取值范围是 __________ ．10．假设x2 2 y 10 ，那么 xy____ _____ ．11 ． 已 知x 1 是 方 程 x 2mx n 0 的 一 个 实 数 根 ， 那么 m n 的 值 是__________． 〔第 12 题〕12．如下图，DE 是△ ABC 的中位线， DE=3，那么 BC=__________．13．地图上两点间的距离为2 厘米，比例尺是1： 15000000，那么两地的实际距离是__千米．14．△ ABC 的中线 BD 、 CE 相交于点 O ，如果 BD=6，那么 OD=___ _______ ．15． a 、 b 是方程 x 22x 5 0 的两个根，那么 a b _______ ； ab =________ ．16．把一个矩形剪去一个正方形，所余的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长与宽的比是 _______.17．如图，△ ABC 是一张直角三角形彩色纸，∠ ACB=90° ,AC=30cm ， BC=40cm, CD ⊥ AB 于点D.①CD=；②将斜边上的高 CD 进行五等分，然后裁出 4 张宽度相等的长方形纸条．那么这 4 张纸条的面积和是cm 2．三、解答题〔共 89 分〕18．计算：〔 12 分〕〔1〕27 122 2 ；1 01〔2〕12771．5 2〔第 17题〕19．解方程：〔 12 分〕（ 1〕 x 2 2x 0〔2〕 2x 2x 3 020．〔 8 分〕如图，在△ ABC 中，点D， E 分别在边 AB， AC上，假设DE∥BC， AD=4， BD=2，求DE的值．BC21．〔 8 分〕如图，△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A( 1， 2) 、 B(3， 3) 、 C(3， 1). （1〕根据题意，请你在图中画出△ABC；（2〕以 B 为位似中心，画出与△ABC相似且相似比是 3： 1 的△ BA’C’并分别写出顶点A’和 C’的坐标 .22、〔 8 分〕：如图，△ABC中，∠ ABC=2∠C，BD平分∠ ABC．（1〕求证： BD=CD（2〕试说明 AB ?BC=AC ?CD ．23．〔 8 分〕关于x的方程x2 m 2 x 2m 1 0 ．（1〕求证：此方程恒有两个不相等的实数根；（2〕假设此方程的一个根是 1 ，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．24．〔 8 分〕端午节期间，某食品店平均每天可卖出300 只粽子，卖出 1 只粽子的利润是 1 元．经调查发现，零售单价每降0.1 元，每天可多卖出100 只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m〔 0＜ m＜ 1〕元．〔1〕零售单价下降0.2 元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．〔 2〕在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420 元并且卖出的粽子更多？25．〔 12 分〕如图，直线 l： y=﹣ 2x+12 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 C 在线段 OB 上运动〔不与 O、 B 重合〕，连接 AC，作 CD⊥ AC，交线段 AB 于点 D．（1〕求 A、 B 两点的坐标；（2〕当点 D 的纵坐标为 8 时，求点 C 的坐标；（3〕过点 B 作直线 BP⊥ y 轴，交 CD 的延长线于点 P，设 OC=m，BP=n，试求 n 与 m 的函数关系式，并直接写出 m、n 的取值范围．26、〔 13 分〕如图，△ABC 中， AB=AC=a， BC=10，动点 P 沿 CA 方向从点 C 向点 A 运动，同时，动点 Q 沿 CB 方向从点 C 向点 B 运动，速度都为每秒 1 个单位长度， P、 Q 中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动。