2019 级高二年上学期同步周练测评试卷(一)数学(空间向量的运算问题卷 1)

高二数学 空间向量与立体几何测试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．//B ．⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ） A.627 B. 637 C. 647 D. 6575．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ）A.+-a b cB. -+a b cC. -++a b cD. -+-a b c6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><b a ,为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对7．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．已知的数量积等于与则35,2,23+-=-+=（ ）EM GDCBA10．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅ 取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)333第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．若A(m ＋1，n －1,3)，B(2m ,n ,m －2n )，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n = ．12．12、若向量 ()()1,,2,2,1,2a b λ==-，,a b 夹角的余弦值为89，则λ等于__________.13．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m,n 的夹角为 。

高二数学上学期同步课堂习题测试 （人教A 版2019选择性必修第一册）1.1空间向量及其运算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++ B ．1122++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 【答案】A 【分析】利用向量运算的三角形法则､平行四边形法则表示出BM 即可. 【详解】11BM BB B M =+， 12c BD =+，()12c BA BC =++， 1122a b c =-++，()12c a b =+-+ 故选：A.2．与向量()1,3,2a =-平行的一个向量的坐标是( )A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(-1,-3,2)C ．13-,,-122⎛⎫⎪⎝⎭ D ．-3,-)【答案】C 【分析】根据向量共线定理判定即可． 【详解】对于A ，由于()11,1,11,3,333⎛⎫=⎪⎝⎭，所以与向量a 不共线，故A 不正确． 对于B ，由题意得向量()1,3,2--与向量a 不共线，故B 不正确．对于C ，由于()131,,11,3,2222⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，所以与向量a 共线，故C 正确．对于D ，由题意得向量,-3,-与向量a 不共线，故D 不正确． 故选C ．3．如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c -- B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +- D ．111442a b c -++ 【答案】D 【分析】利用空间向量的加减运算以及数乘运算求解即可. 【详解】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点， 且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++.故选：D.4．设向量a ，b ，c 是空间基底，x y z R ∈，， ，有下面四个命题： 1p ：若0xa yb zc ++= ，那么0x y z === ；2p ：若0a l ⋅= ，0b l ⋅= ，则a b ；3p ：a b c +- ，a b c -+，a b c ++也是空间基底；4p ：若1111n x a y b z c =++，2222n x a y b z c =++，则121212120n n x x y y z z ⊥⇔++= .其中真命题为A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p【答案】A 【详解】由题意得，1:p 若0xa yb zc ++=，根据向量相等可得0x y z ===是正确的；2:p 若0,0a l b l ⋅=⋅=，当0l =时，a 与b 不一定是共线向量，所以不正确；3:p 中，由三个不共面的向量，可以作为一个孔家基底，而向量,,a b c a b c a b c +--+++ 是三个不共面的向量，所以可以作为一个空间的基底，所以是正确的；4:p 中，只有当向量,,a b c 是三个两两垂直的单位向量时，才能使得12n n ⊥⇔1212120x x y y z z ++=成立，所以不正确，故选A ．5．如图所示，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ==＝，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN （ ）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．221332a b c -+- 【答案】B 【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可． 【详解】12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++故选：B6．在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ） A ．38B ．14C ．34D ．18【答案】B 【分析】由向量的加法运算结合数量积运算得出11AB BC ⋅，进而由数量积公式得出AB1与BC1所成角的余弦值. 【详解】令底面边长为1，则高也为1，1111,AB AB BB BC BC CC =+=+()()1111112111cos12012AB BC AB BB BC CC AB BC BB CC ∴⋅=+⋅+=⋅+⋅=⨯⨯︒+=又112AB BC ==1111cos ,4AB BC ∴==故选：B ．7．已知向量AB ，AC ，BC 满足=AB AC BC +，则（ ）A ．AB ＝AC ＋BCB ．AB ＝－AC －BCC ．AC 与BC 同向D ．AC 与CB 同向【答案】D 【分析】利用向量加法的意义，判断AC 与CB 同向.【详解】由向量加法的定义AB ＝AC ＋CB ，故A 、B 错误由=AB AC BC AC CB +=+，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC 与CB 同向．故D 正确，C 错误. 故选：D.8．若a b ，均为非零向量，则“··a b a b =”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量数量积和向量共线的定义可得选项． 【详解】解：··cos 1a b a b a b ⇒=＝〈，〉，所以a 与b 的夹角为0， 所以a 与b 共线，反之不成立，因为当a 与b 共线反向时，··a b a b =-． 所以“··a b a b =”是“a 与b 共线”的充分不必要条件， 故选：A ．9．已知非零向量,a b 不平行，且a b =，则a b +与a b -之间的关系是（ ）A ．垂直B ．同向共线C ．反向共线D ．以上都可能 【答案】A 【分析】作a b +与a b -的数量积即可. 【详解】因为()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以a b +与a b -垂直． 故选: A10．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量(),,0n a b R λμλμλμ=+∈≠，则（ ）A ． //m nB ．m n ⊥C ．,m n 既不平行也不垂直D ．以上三种情况都可能 【答案】B 【分析】由条件可以得到0m n ⋅=，即可选出答案. 【详解】因为()0m n m a b m a m b λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅=，所以m n ⊥ 故选：B 二、多选题11．(多选)下列命题中，真命题是（ ） A ．向量AB 与BA 的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 【答案】ABC 【分析】根据向量的概念逐一判断即可. 【详解】共线的单位向量方向相同或相反，只有D 错误． 故选：ABC12．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ） A ．AB CB AC -=B ．AC AB B C CC ''''=++C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=【答案】ABC 【分析】利用空间向量的加法和减法法则运算即可．【详解】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图，可得AB CB AB BC AC -=+=，则A 正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=，则B 正确；C 显然正确；AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=，则D 不正确.综上，正确的有ABC故选：ABC13．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是（ ） A ．()()2211111113A A A D A B A B ++=B ．()11110AC A B A A ⋅-=C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是120° D ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为1AB AA AD ⋅⋅【答案】ABC 【分析】由向量的加法运算判断A ；利用向量的减法运算以及向量垂直的性质判断B ；利用1ACD △是等边三角形以及向量夹角的定义判断C ；先判断10AB AA ⋅=再判断D ． 【详解】由向量的加法得到：111111A A D A AC A B ++=，221113AC A B =，∴()()2211111113A A A D A B A B ++=，所以A 正确；1111A B A A AB -=，11AB AC ⊥，∴110AC AB ⋅=，即()11110AC A B A A ⋅-=，故B 正确； 1ACD 是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120︒，故C 正确；1AB AA ⊥，∴10AB AA ⋅=，故1||0AB AA AD ⋅⋅=，因此D 不正确．故选：ABC ．14．已知正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，则下列结论中正确的有（ ）A ．OA OD +与11OB OC +是一对相反向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量C ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量 D ．1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量 【答案】ACD 【分析】利用向量加法、减法的几何意义即可求解. 【详解】∵O 为正方体的中心，∵1OA OC =-，1OD OB =-，故()11OA OD OB OC +=-+， 同理可得()11OB OC OA OD +=-+，故()1111OA OB OC OD OA OB OC OD +++=-+++，∵A 、C 正确；∵OB OC CB -=，1111OA O A D D =-，∵OB OC -与11OA OD -是两个相等的向量，∵B 不正确； ∵11OA OA AA =-，111OC OC C C AA -==-， ∵()11OA OA OC OC -=--，∵D 正确. 故选：ACD 三、填空题15．已知点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ），若A ，B ，C 三点共线，则λ=__． 【答案】1 【分析】利用坐标表示向量，由向量共线列方程求出λ的值． 【详解】由题意，点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ）， 所以(1,1,1),(1,1,2)AB BC λ=---=---,若A ，B ，C 三点共线，则//AB BC ，即112111λ---==---，解得1λ=. 故答案为：1． 16．给出下列命题：∵若||||a b =，则a b =或a ＝－b ；∵若向量a 是向量b 的相反向量，则||||a b =；∵在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，11AC AC =； ∵若空间向量,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =．其中正确命题的序号是________． 【答案】∵∵∵ 【分析】根据向量模长、相反向量、相等向量的定义判断即可. 【详解】对于∵，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故∵错；对于∵，根据相反向量的定义知||||a b =，故∵正确；对于∵，根据相等向量的定义知，11AC AC =，故∵正确； 对于∵，根据相等向量的定义知∵正确． 故答案为：∵∵∵17．设1e →，2e →是空间两个不共线的向量，已知122AB e k e →→→=+，123CB e e →→→=+，122CD e e →→→=-，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【答案】－8 【分析】根据向量共线定理求解即可. 【详解】121212(3)(2)4BD BC CD e e e e e e →→→→→→→→→=+=--+-=-又A ，B ，D 三点共线，所以AB BD λ→→=，即121224e k e e e λ→→→→⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以：24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得8k =-. 故答案为：－818．已知2360a b a b ===︒，，， ，则|23|a b -=____________．【分析】根据2222||()23234129a b a b a a b b -=-=-⋅+和向量数量积运算可得答案． 【详解】解：222222232341294912cos ||1(606)a b a b a a b b a b a b -=-=-⋅+=⨯+⨯-⨯⋅⋅︒= ，所以|23|a b -=．19．如图所示，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA '相等的向量有______；与向量A B ''相反的向量有______.(要求写出所有适合条件的向量)【答案】BB '，CC '，DD ' B A ''，BA ，CD ，C D '' 【分析】根据平行六面体的定义和向量的概念进行求解【详解】解：因为多面体ABCD­A′B′C′D′为平行六面体，所以与向量AA'相等的向量有BB'，CC'，DD'，与向量A B''相反的向量有B A''，BA，CD，C D''故答案为：BB'，CC'，DD'；B A''，BA，CD，C D''20．在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC、AB的中点，设AB a=，AC b=，AD c=，用a，b，c表示向量DM=______，异面直线DM与CN所成角的余弦值为______.【答案】1(2)2a b c+-16【分析】画出对应的正四面体，设棱长均为1,由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案;(2) 设异面直线DM与CN所成角为θ,将,DM CN用基底a，b，c表示,代入公式计算得出答案.【详解】画出对应的正四面体，设棱长均为1,则(1) 11()(2)22DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-. (2)由(1) 1(2)2DM a b c =+-，又11(2)22CN AN AC a b a b =-=-=-. 又12a b a c b c ⋅=⋅=⋅=.设异面直线DM 与CN 所成角为θ,则|22|cos |2||2|DM CN DM CN θ⋅==⋅2111212222412336a ab a b b ac b c-+--+-⋅+⋅--⋅+⋅===. 故答案为:1(2)2a b c +-;1621．如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160BAD DAA ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=．若BD AN ⊥，则λ的值为__；若M 为棱1DD 的中点，//BM平面1AB N ，则λ的值为__．1 23【分析】∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，利用111()()0BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλ=-+=+--=，即可得出λ．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，可得//BM EF ．根据E 点为1A B 的中点，可得F 点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．利用平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，∴11111()()cos60cos30cos60022BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλλλλ=-+=+--=︒+-︒-︒==．1λ∴=．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，//BM EF ∴．E 点为1A B 的中点，F ∴点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．11//AA DD ，1A F FM =．112AA MP D P ∴==．∴11112A N AA ND D P==， ∴11123A N A D =．则23λ=．1，23．22．已知直线l 的一个方向向量(2,3,5)d =，平面α的一个法向量(4,,)u m n =-，若l α⊥，则m =______ ，n =______．【答案】-6 -10【分析】根据直线与平面垂直的条件为直线的方向向量与平面的法向量平行，再结合两个向量平行的条件，求得结果. 【详解】l α⊥，//d u ，且(2,3,5)d =，(4,,)u m n =-，4235m n-∴==，解得6m =-，10n =-. 故答案为：∵6-；∵10-. 四、解答题23．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，AC =90ACD ∠=︒，沿着它的对角线AC 将ACD△折起，使AB 与CD 成60︒角，求此时B ，D 之间的距离．【分析】根据AB 与CD 成60︒角，得到,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>，然后由BD BA AC CD =++，两边平方求解. 【详解】因为90ACD ∠=︒，所以0AC CD ⋅=，0AC BA ⋅=． 因为AB 与CD 成60︒角，所以,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>．因为BD BA AC CD =++，所以2222||||||||222BD BA AC CD BA AC BA CD AC CD =+++⋅+⋅+⋅，所以2222||2(2)20222cos ,0108cos ,BD BA CD BA CD =++++⨯⨯⨯+=+<><>．当,60BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos 6014BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||14BD =；当,120BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos1206BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||6BD =综上，可知B ，D ．24．已知正四棱锥P ­ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值． （1）OQ PQ yPC zPA =++；（2）PA xPO yPQ PD =++【答案】（1）12y z ==-；（2）x ＝2，y ＝－2． 【分析】（1）由平行四边形法则以及三角形法则得出1122OQ PQ PC PA =--，从而得出,y z ； （2）由平行四边形法则得出2,2PA PO PC PC PQ PD =-=-，进而得出22PA PO PQ PD =-+，从而得出,x y 的值. 【详解】（1）如图，()111222OQ PQ PO PQ PA PC PQ PC PA =-=-+=⋅--12y z ∴==-（2）∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点2,2PA PC PO PC PD PQ ∴+=+=2,2PA PO PC PC PQ PD ∴=-=-22PA PO PQ PD ∴=-+2,2x y ∴==-25．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且,,OE kOA OF kOB OH kOD ===， ,,0,0AC AD mAB EG EH mEF k m =+=+≠≠，求证：（1）,,,A B C D 四点共面，,,,E F G H 四点共面；（2）AC EG ∥；（3）OG kOC =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）利用共面向量定理证明四点共面；（2）利用向量加减及数运算找到AC EG 、的关系，证明AC EG ∥；（3）利用向量加减及数运算可得.【详解】证明：（1）,0AC AD mAB m =+≠，∵A 、B 、C 、D 四点共面．,0EG EH mEF m =+≠，∵E 、F 、G 、H 四点共面．（2）()()()EF OH OE OF OE OD OA OB OA EG EH m m k km =+=-+-=-+-(),//k AD kmAB k AD mAB k AC AC EG =+=+=∴.（3）()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=.26．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法证明：（1）E ，F ，G ，H 四点共面;（2）BD //平面EFGH ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由共面向量定理得证.（2）用线面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图所示，连接BG，则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．（2）因为EH=AH-AE=12AD-12AB=12(AD-AB)=12BD，且E，H，B，D四点不共线，所以EH∵BD．又EH∵平面EFGH，BD∵平面EFGH，所以BD∵平面EFGH．。

高二数学上学期同步课堂习题测试（人教A 版2019选择性必修第一册）1.3空间向量及其运算的坐标表示一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若向量(1,,1)a λ=，(2,1,2),b =--且a 与b ，则λ等于（ ）A ．BC ．D ．2【答案】A【分析】由向量的数量积求得夹角的余弦值，可得参数值．【详解】解：∵向量(1,,1),(2,1,2),a b λ==--，∵cos ,6||||2a b a b a b λ⋅<>===⋅+，解得λ=故选：A ．2．已知(2,1,3),(1,4,2),(3,2,)a b c λ=-=--=，若,,a b c 三向量共面，则实数λ等于() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】利用平面向量基本定理列出,,a b c 三向量共面的向量等式，列出方程组解出即可.【详解】∵a 与b 不共线，则取a ，b 作为平面的一组基向量，又,,a b c 三向量共面，则存在实数12,λλ使得12c a b λλ=+，∵121212322432λλλλλλλ=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，解得12214λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.故选：C3．已知向量(1,1,0),(1,0,2)a b ==-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ．15C ．35D ．75【答案】D【分析】由向量垂直得()(2)0ka b a b +⋅-=，结合向量的点坐标求出22||,||,a b a b ⋅，即可求k 的值.【详解】依题意得：()(2)0ka b a b +⋅-=，即222||2||0k a ka b a b b -⋅+⋅-=，而22||2,||5,1a b a b ==⋅=-， ∵4k ＋k －2－5＝0，解得75k =. 故选：D 4．若ABC 的三个顶点坐标分别为()1,2,1A -，()4,2,3B ，()6,1,4C -，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形【答案】A【分析】利用向量数量积的符号判断三个内角是锐角、直角、或是钝角，即可求解.【详解】()()()4,2,31,2,13,4,2AB =--=，()3,4,2BA =---()()()6,1,41,2,15,1,3AC =---=，()()()6,1,44,2,32,3,1BC =--=-，因为354123250AB AC ⋅=⨯+⨯+⨯=> ，所以A 是锐角，因为253113100AC BC ⋅=⨯-⨯+⨯=>，所以C 是锐角，因为()()32432140BA BC ⋅=-⨯+-⨯--⨯=>，所以所以B 是锐角，所以ABC 为锐角三角形．故选：A.5．已知(2,3,1)a =-，则下列向量中与a 平行的是（ ）A ．(1,1,1)B ．(－4,6,－2)C ．(2,－3,5)D ．(－2,－3,5)【答案】B【分析】根据向量共线的条件有b a λ=，结合已知空间向量的坐标，即可判断各选项的向量是否与a 平行.【详解】若(4,6,2)b =--，则2(2,3,1)2b a =-⋅-=-，所以//a b ；而b 为(1,1,1)、(2,－3,5)、(－2,－3,5)时，不存在b a λ=的关系.故选：B6．已知(2,1,2)a →=-，(4,2,)b x →=-，且//a b →→，则x =（ ）A ．5B ．4C ．-4D ．-2 【答案】C【分析】根据空间向量的共线定理求解即可.【详解】因为(2,1,2)a →=-，(4,2,)b x →=-，且//a b →→，所以存在实数λ，使得b a λ→→=， 即4222x λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪=⎩解得24x λ=-⎧⎨=-⎩. 故选：C7．设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则+=a b （ ） A．BC ．3D ．4【答案】C【分析】 根据//b c 可求得2y =-，根据a c ⊥可求得1x =，再根据空间向量的加法运算和模长公式可求得结果.【详解】因为//b c ，所以存在R λ∈使得b c λ=，所以12412y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，解得122y λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以(1,2,1)b =-，因为a c ⊥，所以210x -+=，得1x =，所以(1,1,1)a =，所以(2,1,2)a b +=-， 所以||413a b +=++=.故选：C8．设平面α的法向量为()1,2,λ-，平面β的法向量为()2,,4μ，若//αβ，则λμ+=（）A ．2B ．4C ．2-D ．4-【答案】C【分析】由两平面平行，得法向量平行，由此求得,λμ后可得结论．【详解】∵//αβ，∵(1,2,)//(2,,4)λμ-，∵1224λμ-==，解得2λ=，4μ=-，∵2λμ+=-．故选：C ． 9．已知向量(1,2,3)a =，(1,0,1)b =-，则2a b +=（ ）A ．(1,2,5)-B ．(1,4,5)-C ．(1,2,5)D ．(1,4,5)【答案】A【分析】 利用空间向量线性运算的坐标表示运算即可得解．【详解】因为(1,2,3)a =，(1,0,1)b =-，则()()()1,2,3221,0,11,2,5a b ++=-=-.故选：A.10．已知点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，则A ，B 两点的距离的最小值为A B C D ．35【答案】C【分析】由两点之间的距离公式求得AB 之间的距离用t 表示出来，建立关于t 的函数，转化为求函数的最小值.【详解】因为点()1,1,A t t t --，()2,,B t t 所以22222(1)(21)()522AB t t t t t t =++-+-=-+ 有二次函数易知，当15t =时，取得最小值为95AB ∴故选：C.二、多选题11．若()1,,2a λ=--，()2,1,1b =-，a 与b 的夹角为120︒，则λ可以取的值为（ ）A ．17-B ．17C ．1-D ．1【答案】BC【分析】 利用模长公式代入计算表示,a b ，然后利用数量积的定义与坐标表示公式代入列等式，求解关于λ的一元二次方程. 【详解】 由题意，5λ=+a ，6=b ，所以1cos1202242λλ⋅==-=---=--a b a b ，即216170λλ--=，得17λ=或1λ=-.故选：BC.12．已知向量()4,2,4a =--，()6,3,2b =--，则下列结论正确的是（ ） A ．()10,5,6a b +=-- B ．()2,1,6a b -=--C ．10a b ⋅=D ．6a = 【答案】AD【分析】利用向量坐标运算法则直接求解．【详解】解：因为),4(4,2a =--，6),(,32b =--，所以)10,,6(5a b +=--，()2,1,2a b -=--，()()()()46234238a b ⋅=⨯+-⨯-+-⨯-=， (246a =+=.故选: AD.13．（多选）设几何体1111ABCD A BC D -是棱长为a 的正方体，1AC 与1B D 相交于点O ，则（ ）A ．211AB AC a ⋅= B ．212AB AC a ⋅= C ．21CD AB a ⋅=-D ．112AB A O a ⋅= 【答案】AC【分析】 建立空间直角坐标系，找出各坐标，根据向量数量积的坐标求法逐项判断即可．【详解】如图，建立空间直角坐标系，则(,0,0)A a ，(,,0)B a a ，(0,,0)C a ，(0,0,0)D ，1(,0,)A a a ，1(,,)Ba a a ，,,222a a a O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵11(0,,0)A B a →=，(,,0)AC a a →=-，(0,,0)AB a →=，1(,,)AC a a a →=--，(0,,0)CD a →=-，1(0,,)AB a a →=，1,,222a a a AO→⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．∵211A B AC a →→⋅=，A 对；21AB AC a →→⋅=，B 错；12C a AB D →→⋅=-，C 对；2112AB AO a →→⋅=，D 错． 故选：AC 14．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把ABD △和ACD △折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（ ）A ．AB AC ⊥B ．AB DC ⊥ C ．BD AC ⊥D ．平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直【答案】BC【分析】 以D 为坐标原点，,,DB DC DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量的数量积为0，分别判断A ，B ，C 选项；求出平面ABC 的法向量n ，由1BD n ⋅=-得出D 错误．【详解】以D 为坐标原点，,,DB DC DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系设折叠前的等腰直角三角形ABC 的斜边2BC =，则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)D B C A ，则(1,0,1)AB =-，(0,1,1)AC =-，(0,1,0)DC =，(1,0,0)BD =-.从而有0011AB AC ⋅=++=，故A 错误；0AB DC ⋅=，故B 正确；0BD AC ⋅=，故C 正确；易知平面ADC 的一个法向量为(1,0,0)BD =-，设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,AB n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x z y z -=⎧⎨-=⎩令1y =， 则1,1x z ==，故(1,1,1)n =，1BD n ⋅=-，故D 错误.故选：BC三、填空题15．点P (－3，2，－1)关于平面xOz 的对称点是________，关于z 轴的对称点是________，关于M (1，2，1)的对称点是________．【答案】(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5，2，3)【分析】根据关于平面xOz 的对称、关于z 轴的对称点的坐标变换特征，结合中点坐标公式进行求解即可.【详解】点P(－3，2，－1)关于平面xOz 的对称点是(－3，－2，－1)，关于z 轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P(－3，2，－1)关于M(1，2，1)的对称点为(x ，y ，z)． 则312222112x y z -⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪-⎪=⎪⎩解得523.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故点P(－3，2，－1)关于点M(1，2，1)的对称点为(5，2，3)．故答案为： (－3，－2，－1)； (3，－2，－1)；(5，2，3)16．已知11()a t t t =--，，，()2b t t =，，，则||b a -的最小值是________．【答案】5【分析】根据向量的坐标运算求得b a -，再由向量的模的计算求得||b a -，再根据二次函数的性质求得||b a -的模的最小值.【详解】解：由已知，得b a -＝(2，t ，t)－(1－t ，1－t ，t)＝(1＋t ，2t －1，0)． 所以(1)||b a t -=+所以当t ＝15时，||b a -的最小值为5．17．若AB ＝(－4，6，－1)，AC ＝(4，3，－2)，1a =，且a ∵AB ，a ∵AC ，则a ＝________．【答案】3412(,,)131313或3412(,,)131313--- 【分析】设a ＝(x ，y ，z)，由已知条件可得24604320||1a AB x y z a AC x y z a x y ⎧⋅=-+-=⎪⎪⋅=+-=⎨⎪=+=⎪⎩，然后解方程组可出向量a 的坐标【详解】解：设a ＝(x ，y ，z)， 由题意有24604320||1a AB x y z a AC x y z a x y ⎧⋅=-+-=⎪⎪⋅=+-=⎨⎪=+=⎪⎩，解得3,134121313x y x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩或3134,1312.13x y x ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩ 故答案为：3412(,,)131313或3412(,,)131313--- 18．已知空间向量(2a =-，1，5)，(1b =，3，4)-，则·a b =___________.【答案】19-【分析】 根据空间向量数量积的坐标运算，计算即可.【详解】空间向量(2a =-，1，5)，(1b =，3，4)-，所以·21135(4)19a b =-⨯+⨯+⨯-=-.故答案为：19-.19．在直三棱柱111ABO A B O -中，14242AOB AO BO AA π∠====，，，，D 为11A B 的中点，则在空间直角坐标系中（O 为坐标原点），DO 的坐标是_________，1A B 的坐标是_________．【答案】()2,1,4--- (4,2,4)--【分析】以O 为原点，1,,OA OB OO 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标即可求解.【详解】如图建系，则11(0,0,0),(4,0,4),(0,2,4),(0,2,0)O A B B ，∵1(4,2,4)A B =--．∵D 为11A B 的中点， ∵(2,1,4)D ，∵(2,1,4)DO =---．故答案为：()2,1,4---；(4,2,4)--20．已知A (2，-5，1)，B (2，-2，4)，C (1，-4，1)，则AB AC =___，向量AB 与AC 的夹角为___.【答案】3 3π 【分析】根据空间向量的数量积坐标公式以及向量夹角公式即可求出．【详解】∵AB =(0，3，3)，AC =(-1，1，0)，∵|AB|AC|=AB AC =0×(-1)+3×1+3×0=3，∵cos<AB AC ，>=·12||||AB AC AB AC =　.又∵<AB AC ，>∵[0，π]，∵<AB AC ，>=3π. 故答案为：3；3π．21．已知ABC 三个顶点的坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,5-B ，()3,2,5-C ．则ABC 的面积为______，ABC 中AB 边上的高为___.【答案】 【分析】 首先根据题意得到14=AB，217=AC 27sin ,=AB AC ，从而得到1sin ,32△=⋅⋅=ABCS AB AC AB AC AB 边上的高为CD ，利用2∆=ABC S CD AB 即可得到答案. 【详解】由已知得()1,3,2=-AB ，()2,0,8=-AC. 所以1=+=AB 4=+=AC()()12302814⋅=⨯+-⨯+⨯-=-AB AC，cos ,14⋅===⋅AB ACAB AC AB ACsin ,1==AB AC所以1sin ,2△=⋅⋅ABC S AB AC AB AC 12==设AB 边上的高为CD ，则23∆==ABC S CD AB故答案为：22．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，设11AD AA ==，2AB =，则11CC BD -=__________，11CC CA ⋅=__________.1【分析】建立空间直角坐标系，利用向量减法、模和数量积的坐标运算，求得所求的结果.【详解】以D 为原点建立空间直角坐标系如下图所示，则()()()()()1110,2,0,0,2,1,1,2,0,0,0,1,2,0,1C C B D A .所以()()()1110,0,1,1,2,1,2,2,1CC BD CA ==--=-，所以()111,2,0CC BD -==，()()110,0,12,2,11CC CA ⋅=⋅-=.故答案为：（1（2）1四、解答题23．如图所示，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∵BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．（1）求BN 的长； （2）求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值；【答案】（1（2）10. 【分析】(1) 建立空间直角坐标系，写出,B N 的坐标，从而可求出BN 的长.(2)写出11,A B B C 的坐标，结合向量的数量积公式即可求出所成角的余弦值.【详解】（1）如图所示，建立空间直角坐标系C­xyz.依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∵|BN |∵线段BN（2）依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∵1BA ＝(1，－1，2)，1CB ＝(0，1，2)，∵1BA ·1CB ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|1BA |，|1CB |∵cos 〈11,BA CB 〉＝11BA CB BA CB ⋅＝10.故A1B 与B1C 所成角的余弦值为10. 24．已知(2,1,2)a =--，(0,1,4)b =-，求a b +，a b -，a b ⋅，(2)()a b ⋅-，()()a b a b +-． 【答案】(2,2,2)a b +=-；(2,0,6)a b -=-；7a b ⋅=-；(2)()14a b ⋅-=；()()8a b a b +-=-.【分析】根据空间向量运算的坐标表示公式进行求解即可.【详解】(20,11,24)(2,2,2)a b +=+---+=-；(20,11,24)(2,0,6)a b -=--+--=-；20(1)(1)(2)47a b ⋅=⨯+-⨯-+-⨯=-；(2)()2()2(7)14a b a b ⋅-=-⋅=-⨯-=；()()(2,2,2)(2,0,6)22(2)02(6)8a b a b +-=-⋅-=⨯+-⨯+⨯-=-.25．在空间直角坐标系中，点P (－2，1，4)．（1）求点P 关于x 轴的对称点的坐标；（2）求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标；（3）求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标【答案】（1）(－2，－1，－4)；（2）(－2，1，－4)；（3）(6，－3，－12)．【分析】(1)由点关于x 轴对称点的特点即可求出点的坐标.(2) 由点关于xOy 平面对称点的特点即可求出点的坐标.(3) 设对称点为P3(x ，y ，z)，由M 为线段PP3的中点，结合中点坐标公式即可求出对称点的坐标.【详解】（1）由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．（2）由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4)．（3）设对称点为P3(x ，y ，z)，则点M 为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．26．已知(1,1,2),(6,21,2)a b m λλ=+=-.（1）若//a b ，分别求λ与m 的值；（2）若||5a =，且与(2,2,)c λλ=--垂直，求a .【答案】（1）λ=15，m=3；（2）(0,1,2)a =-. 【分析】（1）由//a b ，得a kb =，即可得到方程组，解得即可； （2）由||5a =，且a c ⊥，得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）由//a b ，得(1,1,2)(6,21,2)k m λλ+=- 161(21)22k k m k λλ+=⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩，解得153k m λ⎧==⎪⎨⎪=⎩1,35m λ∴== （2）||5a =，且a c ⊥()222(1)1(2)5(212120λλλλλλ⎧+++=⎪∴⎨+-⨯-⨯=⎪⎩化简得22523220λλλ⎧+=⎨-=⎩，解得1λ=-. 因此(0,1,2)a =-。

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量11是( ) (A )有相同起点的向量 (B )等长的向量 (C )共面向量(D )不共面向量2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1中点，平面A 1EC 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为( )(A )22(B )23 (C )36 (D )33第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题3．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为4．已知(2,2,1),(4,5,3),AB AC ==则平面ABC 的单位法向量为_____________________ 5．已知空间向量(1,,1)a λλλ=---，(,1,1)b λλλ=---的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是_____________6．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是______．7．已知3(2，－3，1)－3x ＝(－1，2，3)，则向量x ＝______．8．已知α ∥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m ，n ，且m ＝(1，－2，5)，n ＝(－3，6，z )，则z ＝______．9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 是DC 的中点，点N 在CC 1上，且D 1M ⊥AN ，则NC 的长度为______．10．若直线l 1∥l 2，且它们的方向向量分别为a ＝(2，y ，－6)，b ＝(－3，6，z )，则实数y ＋z ＝______11．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简=-+1AA AD AB ______.三、解答题12．如图，四棱锥S ABCD -中，AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====.（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥;（Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小. (2011年高考全国卷理科19)13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长均为1，M 为棱11A B 上的点，N 为棱1BB 的中点，异面直线AM 与CN 所成角的大小为2arccos 5，求11A M MB 的值.14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AB ，A 1D 1的中点，求证：MN ∥平面BB 1D 1D ．15．已知向量a ＝(2，－1，0)，b ＝(1，2，－1)， (1)求满足m ⊥a 且m ⊥b 的所有向量m ． (2)若302|| m ，求向量m ．16．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为AD ，AB 的中点，求BC 1与平面A 1EF 所成角的大小．ABD C1A1B1C 1D17．1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为AB 中点，求二面角A 1－EC －B 的余弦值．18．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。

高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。

高二数学测试题—空间向量〔5〕一、选择题：〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕1．A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，以下条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是〔〕A．OM OA OB OC B．OM2OA OBOCC．OM OA1OB1OC D．OM1OA1OB1OC233332．直三棱柱ABC—A1B1C1中，假设CA a,CBb,CC1C,那么A1B〔〕A．a b c B．ab cC．a bc D．a b c3．假设向量m垂直向量a和b,向量n a b(,R且、0)那么〔〕A．m//n B．m nC．m不平行于n,m也不垂直于n D．以上三种情况都可能4．设向量{a,b,c}是空间一个基底，那么一定可以与向量p a b,qa b构成空间的另一个基底的向量是〔〕A．a B．b C．c D．a或b5．对空间任意两个向量a,b(b o),a//b的重要条件是〔〕A．ab B．a b C．b a D．a b6．向量a (0,2,1),b(1,1,2),那么a与b的夹角为〔〕A．0°B．45°C．90°D．180°7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足ABAC0,ABAD0,ACAD0那么△BCD是〔〕A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定8．a(1,0,2),b(6,21,2),假设a//b,那么与的值分别为〔〕．C．1 1,5 21 1,5 2B．5，2D．-5，-29．a3i 2j k,b i j 2k,那么5a与3b的数量积等于〔〕A．-15B．-5C．-3D．-110．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是〔〕22A．B．55310C．D．510二、填空题〔本大题共4小题，每题6分，共24分〕11．假设A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，那么m+n=.12．A〔0，2，3〕，B〔-2，1，6〕，C〔1，-1，5〕，假设|a|3,且a AB,a AC,那么向量a的坐标为.13．a,b是空间二向量，假设|a|3,|b| 2,|a b| 7,那么a与b的夹角为.14．点G是△ABC的重心，O是空间任一点，假设OA OB OC OG,那么的值为.三、解答题〔本大题共6题，共76分〕15．如图，M、N、E、F、G、H分别是四面体ABCD中各棱的中点，假设此四面体的对棱相等，求(1)EF与GH的夹角;(2)EF(NH MG)〔12分〕16．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：MN⊥平面PCD.(12分)17．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C求证：AB1=A1C〔12分〕30°，求这条线段18．一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是与这个二面角的棱所成的角。

高二数学单元试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一．选择题（本大题共12小题 ：每小题5分 ：共60分）1．已知向量a ＝（1 ：1 ：0） ：b ＝（－1 ：0 ：2） ：且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直 ：则k 的值是（ ）A ． 1B ．51 C ． 53 D ． 57 2．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+=（ ）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－13．已知A 、B 、C 三点不共线 ：对平面ABC 外的任一点O ：下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++= 4．已知向量a ＝（0 ：2 ：1） ：b ＝（－1 ：1 ：－2） ：则a 与b 的夹角为 （ ）A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180°5．已知△ABC 的三个顶点为A （3 ：3 ：2） ：B （4 ：－3 ：7） ：C （0 ：5 ：1） ：则BC 边上的中线长为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．在下列命题中：①若a 、b 共线 ：则a 、b 所在的直线平行 ：②若a 、b 所在的直线是异面直线 ：则a 、b 一定不共面 ：③若a 、b 、c 三向量两两共面 ：则a 、b 、c 三向量一定也共面 ：④已知三向量a 、b 、c ：则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ．37．已知空间四边形ABCD ：M 、G 分别是BC 、CD 的中点 ：连结AM 、AG 、MG ：则−→−AB +1()2BD BC +等于（ ）A ．−→−AG B ． −→−CG C ． −→−BC D ．21−→−BC8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中 ：若CA =a ：CB =b ：1CC =c ： 则1A B = （ ）A ． +-a b cB ．-+a b cC ． -++a b cD ． -+-a b c 9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中 ：向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量10．已知点A （4 ：1 ：3） ：B （2 ：－5 ：1） ：C 为线段AB 上一点 ：且3||||AC AB = ：则点的坐标是 ( )A ．715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 107(,1,)33-D ．573(,,)222-11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点 ：且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB ：则△BCD 是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定12．（文科）在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中 ：M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点 ：那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53D ．1010（理科）已知正方形ABCD 的边长为4 ：E 、F 分别是AB 、AD 的中点 ：GC ⊥平面ABCD ：且GC ＝2 ：则点B 到平面EFG 的距离为（ ） A ．1010 B ． 11112 C ． 53 D ． 1二．填空题（本大题4小题 ：每小题4分 ：共16分）13．已知向量a =(λ+1 ：0 ：2λ) ：b =(6 ：2μ-1 ：2) ：若a ∥b ：则λ与μ的值分别是 ．14．已知a ：b ：c 是空间两两垂直且长度相等的基底 ：m=a+b ：n=b -c ：则m ：n 的夹角为 ．15．已知向量a 和c 不共线 ：向量b ≠0 ：且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ：d ＝a ＋c ：则,〈〉d b ＝ ．16．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体 ：其中 ：以顶点A 为端点的三条棱长都等于1 ：且它们彼此的夹角都是︒60 ：那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为 。

高二数学测试题—空间向量（5）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++=2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A C CC b CB a CA 11,,,则 （ ）A ．c b a -+B ．c b a +-C ．c b a ++-D ．c b a -+-3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ）A ．n m //B ． n m ⊥C ．n m n m 也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能4．设向量},,{c b a 是空间一个基底，则一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另一个基底的向量是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．b a 或 5．对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的重要条件是（ ）A ．b a =B ．b a -=C ．a b λ=D ．b a λ= 6．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 （ ） A ．0° B ．45°C ．90°D ．180°7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 则△BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定8．已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+=（ ）A ．21,51 B ．5，2C ．21,51--D ．-5，-29．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+= （ ）A ．-15B ．-5C ．-3D ．-110．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53 D ．1010 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= . 12．已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若aAC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 .13．已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 .14．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为.三、解答题（本大题共6题，共76分）15．如图，M 、N 、E 、F 、G 、H 分别是四面体ABCD 中各棱的中点，若此四面体的对棱相等，求)()2(;)1(MG NH EF GH EF +⋅的夹角与（12分）16．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：MN⊥平面PCD.(12分)17．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C求证：AB1=A1C（12分）18．一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。

高二数学同步测试—空间向量与立体几何（附答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与MB 1相等的向量是（ ） A ．++-2121 B ．++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OC OB OA OM --=2 B ．213151++=C ．=++D ．=+++OM3．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ）A ．85BC．D ．50 4．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，，，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN = （ ）A ．213221+- B ．212132++-C ．c b a 212121-+ D ．c b a 213232-+ 7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=∙=∙=∙，，，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，∠AOB=∠AOC=600，则= （ ）A ．21B ．22 C ．-21 D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为 （ ）A ．3B ．32C ．6D ．2610． 已知),,2(),,1,1(t t t t t =--=，则||-的最小值为（ ）A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ． 12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量，有=x z y ++，则x 、y 、z 的值分别为 ．13．已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则∆ABC 的形状是 ． 14．已知向量)0,3,2(-=，)3,0,(k =，若,成1200的角，则k= ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．220），点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量和的夹角为θ，求cos θ的值 17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形， ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}.（1）求证：P A ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积；（3）对于向量={x 1，y 1，z 1}，={x 2，y 2，z 2}，={x 3，y 3，z 3}，定义一种运算： （×）·=x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P —ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×AD ）·AP 的绝对值的几何意义.．19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.（1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值； （3）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.参考答案一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+==c +21（－b a +）=－21+21+．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A C A '++='，运用向量的内即运算即可，||C A ='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即λ=⇔≠//,．5．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ，计算结果为－1．6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 8．D ；解析：建立一组基向量,,，再来处理⋅的值． 9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=S ,sin ||||21． 10．C ；二、11．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<，可得结果．12．OC OB OA 313161++； 解析：OA OC OB OA 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=． 14．39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅>=<k k b a ，得39±=k ．三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）． 由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）． 根据空间两点距离公式，可得||MN ==．16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23. OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ，所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=. 17． 证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得：223123212132)2()2()2(rr r r r r r r r -+=-+=-+ 展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0，∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ． 同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18． （1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABV =31||·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB 30101||||1111=⋅CB BA . （3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =，CD =，1CC =，则| |=||，∵CB CD BD-==－，∴BD ·1CC =（－）·=·－·=||·||cos60°－||·||cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD.（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角.∵21)(21=+=CD BC CO （+），2111=-=CC CO O C （+）－∴CO ·211=OC （a +b ）·［21（a +b ）－c ］ =41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c =41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23. 则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC 3311=（3）解：设1CC CD=x ，CD =2， 则CC 1=x 2.∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=，AD =，DC =， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=xx 242+－6， 令6－242x x -=0，得x =1或x =－32（舍去）. 评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。

高二数学 空间向量与立体几何测试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c,x,y,z ∈R ． 其中正确命题的个数为 （ ）A.0B.1C.2D.32．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ）Ａ．1Ｂ．1-Ｃ．12Ｄ．2- 3．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4-Ｂ．9Ｃ．9-Ｄ．6494．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A.627 B. 637 C. 647 D. 6575．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，， 的中点，则2a 等于（ ） Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD ·Ｃ．2FGCA ·Ｄ．2EFCB ·6．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.已知点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA ·OB =OB ·OC =OC ·OA ,则点O 是△ABC 的（ ） A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点 8．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅ 取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)33310．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···；②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面；③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 12．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与AB C ，，共面，那么λ= ． 13.已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m,n 的夹角为 .14．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点， BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．15.在平行四边形ABCD 中，AB=AC=1，∠ACD=900,将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成600角，则B,D 两点间的距离为16．如图,二面角α-ι-β的棱上有A,B 两点，直线AC,BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=68， 二面角α-ι-β的大小 ．三、解答题（本大题共5小题,满分70分），17．（10分）设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试问是否存在实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在，请写出证明．18．（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F. （1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ； （3）求二面角D -PB -C 的大小．EM GDCBAιβα AD CBE z y xC 1B 1A 1D GC BA19．（12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°．侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ． （1）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小． （2）求A 1到平面ABD 的距离．20.(12分)如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,顶点A 1在底面ABC 上的射影恰为点B,且AB=AC=A 1B=2. (1) 求棱AA 1与BC 所成角的大小；(2) 在棱B 1C 1上确定一点P,使AP=14，并求出二面角P-AB-A 1的平面角的余弦值.21.（12分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1.（Ⅰ）证明：AB =AC（Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小ABCC B 1A 1ACBA 1B 1C 1DE22.（12分）P 是平面ABCD 外的点，四边形ABCD 是平行四边形，()2,1,4,AB =--()4,2,0,AD =()1,2,1AP =--.（1）求证：PA ⊥平面ABCD.（2）对于向量111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，定义一种运算：()a b c ⨯⋅=123231312132213321x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++---，试计算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值;说明其与几何体P-ABCD 的体积关系，并由此猜想向量这种运算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的几何意义（几何体P-ABCD 叫四棱锥，锥体体积公式：V=13⨯⨯底面积高）.空间向量与立体几何(2)参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDDABCACCB二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．（0，15，25） 12．0 13． 1,-3 14．90° 15。

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知A (0，0，0)，B (1，1，1)，C (1．2，－1)，下列四个点中在平面ABC 内的点是( ) (A )(2，3，1) (B )(1，－1，2)(C )(1，2，1)(D )(1，0，3)2．ABCD 为正方形，E 是AB 中点，将△DAE 和△CBE 折起，使得AE 与BE 重合，记A ，B 重合后的点为P ，则二面角D －PE －C 的大小为( )(A )6π (B )4π (C )3π (D )2π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题3．空间直角坐标系中，点(1,2,2)P 到原点O 的距离为__________．4．（理科）如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是→a =（1，0，1），→b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 .5． 已知直线12l l ，的方向向量分别为(1,2,2)(2,3,)a b k =-=-，，若12l l ⊥，则实数k = ▲ ．6．已知点)1,2,1(A ，B )4,3,1(-，且PB AP 2=，则P 点的坐标是 。

7．空间直角坐标系中，点4sin ,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．8．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1，D 是BC 的中点，(1)求直线BB 1与平面AC 1D 所成的角余弦值； (2)求二面角C －AC 1－D 的大小．9．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为1，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，AB ⊥AD ，则AC 1的长度为______.10．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为______．11．已知空间三点A (0,2,3),B (－2,1,6),C (1,－1,5).(I) 若向量 a ＝(,,1x y )分别与向量AC AB ,垂直，求向量a 的坐标.(II) 求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S 的值. （理）12．已知空间中两点P 1（x ，2，3）和P 2（5，x +3，7）间的距离为6，则x= ．三、解答题13．已知向量a ＝(2，－1，0)，b ＝(1，2，－1)， (1)求满足m ⊥a 且m ⊥b 的所有向量m ． (2)若302||=m ，求向量m ．14．已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥。

人教版高二上学期数学(选择性必修一)《1.1空间向量及其运算》同步测试题带答案一、单选题1．在四面体O ABC -中，空间的一点M 满足311446=++OM MA OB OC λ，若M 、A 、B 、C 四点共面，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．512 D ．7122．如下图所示，三棱柱111ABC A B C -中，N 是1A B 的中点，若CA a = CB b = 1CC c =则CN =（）A ．1()2a b c +- B ．1()2a b c ++C ．12a b c ++ D ．1()2a b c ++3．已知向量(1,2,1),(2,0,1)a b =-=，则向量a 在向量b 上的投影向量为（ ）A ．15bB ．5C 5D ．15b -4．已知向量()()2,1,4,4,2,a b t =-=-，且向量,a b 的夹角为锐角则t 的取值范围是（ ）A ．52⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭B ．()5,88,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．()5,88,2⎫⎛+∞ ⎪⎝⎭5．对于任意空间向量a b c 下列说法正确的是（ ）．A ．若a b ⊥，b c ⊥ 则a c ⊥B ．()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅C ．若0a b ⋅<，则a ，b 的夹角是钝角D ．()()a b c a b c ⋅=⋅6．直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1A B =（ ）A ．a b c +-B ．a b c -+C ．a b c -++D ．a b c -+-二、多选题 7．已知四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD 13AA = π3DAB ∠=点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ μ []0,1t ∈则（ ）A ．当P 为底面1111D CB A 的中心时，53t λμ++=B ．当1t λμ++=时，AP 33C ．当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D ．当221t λμλμ++==时，1A P 为定值8．下面四个结论正确的是（ ）A ．已知向量(1,1,)a x =，(3,,9)b x =-若310x <，则,a b 〈〉为钝角 B ．已知(2,0,1)a =-，(3,2,5)b =-则向量b 在向量a 上的投影向量是1(2,0,1)5- C ．若直线0ax by c 经过第三象限，则0ab > 0bc <D ．已知A ，B ，C 三点不共线，对于空间任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面三、填空题9．已知空间向量,,a b c 两两夹角均为60，其模均为1，则2a b c +-= .10．已知EF 是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M 满足40,ME MF AB ⋅=-是正方体的一条棱，则AM AB ⋅的最小值为 .四、解答题11．图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿,OB OC 折起使得A 与1A 重合，如图①，其中,,,D E F G 分别为,,,AB OB OC AC 的中点．(1)用,,OA OB OC 表示,DE DF ；(2)证明：,,,D E F G 四点共面．12．111ππ1,2,,23AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=∠=．(1)用向量1,,AB AD AA 表示向量1BD ，并求1BD ；(2)求1cos ,BD AC ．参考答案1．D【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.【详解】在四面体O ABC -中，,,OA OB OC 不共面 而1146OM OA OB OC λ=++ 则11146λ++= 所以712λ= 故选：D2．B【分析】由题意可得1111()()22C CA CB CA B N CC C =+=++，即可得答案. 【详解】解：因为N 是1A B 的中点 所以1111())(21)2(2C b CA CB CA N a c CC CB =+=++=++. 故选：B.3．A【分析】求出a b 以及||b ，根据投影向量的含义即可求得答案.【详解】由题意向量(1,2,1),(2,0,1)a b =-=故1220(1)11a b =⨯+⨯+-⨯= 222||2015b =++则向量a 在向量b 上的投影向量为22115||(5)a b b b b ==. 故选：A.4．B【分析】夹角为锐角，则0a b ⋅>，排除平行的情况即可.【详解】因为向量,a b 的夹角为锐角则8240a b t ⋅=++>，得52t >- 当//a b 时，21442t-==-，得8t = ①t 的取值范围为()5,88,2∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭． 故选：B.5．B【分析】由空间向量的位置关系可得A 错误；由数量积的运算律可得B 正确，D 错误；当两向量的夹角为π时，0a b ⋅<也成立可得D 错误； 【详解】对于A ，若a b ⊥，b c ⊥则a c ⊥或//a c ，故A 错误；对于B ，由数量积的运算律可知()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅，故B 正确； 对于C ，若0a b ⋅<，则a ，b 的夹角是钝角或反向共线，故C 错误；对于D ，由数量积的运算律可知，等号左面与c 共线，等号右面与a ，两边不一定相等，故D 错误； 故选：B.【分析】由空间向量线性运算法则即可求解．【详解】()11111A A B B a b B A B c CC C CB =+=-+=-+--+.故选：D ．7．BCD【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断. 【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++，则11,,122t λμ=== 故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时 ()22222222112?AP AB AD t AA AB AD t AA AB AD λμλμλμ=++=+++ ()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++- 22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 当且仅当13,84t λμ===32B 正确; 对于C ，当1t λμ++=时 1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部而AP 是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分 当=1=0t λμ=，时=6AP ，当=0=10t λμ=，，时=6AP ，可得1A P 最大值为6，故C 正确； 对于D ，221t λμλμ++== ()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= 而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2?=+2AP A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯=，则16A P =为定值，故D 正确. 故答案选：BCD.【分析】取3x =-可得3b a =-，进而得到A 错误；由投影向量的计算可得B 正确；令1,1,0a b c ==-=可得C 错误；由空间向量共面定理可得D 正确；【详解】对于A ，当3x =-时(1,1,3)a =- (3,3,9)=--b 3b a =-此时,a b 〈〉为π，故A 错误；对于B ，向量b 在向量a 上的投影向量为()2,0,1651cos ,2,0,1555a ab a b a b a a a -⋅-⋅=⋅=⨯=-，故B 正确； 对于C ，令1,1,0a bc ==-=，则直线0ax by c 为0x y -=，且经过第三象限但此时00ab bc <=，，故C 错误；对于D ，因为212555OP OA OB OC =++ 2121555++= 所以由向量共面定理的推论可得P ，A ，B ，C 四点共面，故D 正确；故选：BD.93【分析】根据向量数量积公式，计算出2(2)a b c +-，进而求出模长. 【详解】22222(2)4244a b c a b c a b c a b a c b c +-=+-=+++⋅-⋅-⋅ 22242cos 604cos 604cos 60a b c a b a c b c =+++⋅︒-⋅︒-⋅︒ 1111142114114112232=+++⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯ 310．32162-【分析】作图相应图形，利用空间向量的线性运算与数量积的运算法则求得MO ，进而得到点M 的轨迹，再利用空间向量数量积的定义即可得解.【详解】依题意，取EF 的中点O ，则183,432EF OE OF EF ====则()()2222(43)40ME MF MO OE MO OE MO OE MO ⋅=+⋅-=-=-=- 所以22MO =M 在以O 为球心，22可知AM 在AB 上的投影数量最小值为422AN AH r =-=-所以AM AB ⋅的最小值为(422832162-⨯=- 故答案为：32162- 11．(1)12DE OA =- ()12DF OA OB OC =--+． (2)证明见解析【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可；（2）根据空间向量的基本运算，证明DF DG DE =+即可.【详解】（1）因为,,,D E F G 分别为,,,AB OB OC AC 的中点 所以1122DE AO OA ==- ()()1111122222DF DG GF BC AO OC OB OA OA OB OC =+=+=--=--+． （2）因为()()1111,,2222DF OA OB OC DG BC OC OB DE OA =--+==-=- ()()111222DG DE OC OB OA OA OB OC +=--=--+ 所以DF DG DE =+，故,,,D E F G 四点共面．12．(1)11BD AD AA AB =+-63【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；（2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.【详解】（1）111A BD D AB AD AA AB =-=+- 则2222211111()222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AB AA =+-=+++⋅-⋅-⋅111412*********=+++⨯⨯⨯--⨯⨯⨯= 所以16BD =（2）由空间向量的运算法则，可得AC AB AD =+ 因为11,2AB AD AA ===且11ππ,23BAD BAA DAA ∠=∠=∠= 所以2222cos 2AC AB AD AB AB AD AD π=+=+⋅+ 1012=++11()()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+2211AD AB AD AA AB AA AD AB AD AB =⋅++⋅+⋅--⋅22ππππ11cos 121cos 21cos 111cos 22332=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯= 则1113cos ,62BD ACBD AC BD AC ⋅===⨯⋅.。

高二数学测试题—空间向量一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．++=B ．--=2C ．OM 3121++= D ．OM 313131++=2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====A CC 11,,,则 （ ）A ．c b a -+B ．c b a +-C ．c b a ++-D ．c b a -+-3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ）A ．//B ． ⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能4．设向量},,{是空间一个基底，则一定可以与向量-=+=,构成空间的另一个基底的向量是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．b a 或 5．对空间任意两个向量//),(,≠的重要条件是（ ）A ．=B ．-=C ．λ=D ．λ= 6．已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 （ ） A ．0° B ．45°C ．90°D ．180°7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB则△BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定8．已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(-=+= （ ）A ．21,51 B ．5，2C ．21,51--D ．-5，-29．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+= （ ）A ．-15B ．-5C ．-3D ．-110．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53 D ．1010 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= . 12．已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 .13．已知,是空间二向量，若与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 . 14．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,=++为.三、解答题（本大题共6题，共76分）15．如图，M 、N 、E 、F 、G 、H 分别是四面体ABCD 中各棱的中点，若此四面体的对棱相等，求)()2(;)1(MG NH EF GH EF +⋅的夹角与（12分）16．如图：ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，M 、N 分别是PC 、AB 中点， 求证：MN ⊥平面PCD.(12分)17．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC 1⊥AB 1，BC 1⊥A 1C 求证：AB 1=A 1C （12分）18．一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。

高二数学同步测试—空间向量一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．平行六面体 1111D C B A ABCD -中，E,F,G ,H,P,Q 是111111,,,,,A D D C CC BC AB A A 的中点，则A（ ）A ．=++B ．=--C ．=-+D ．=+-2．已知空间三点O(0，0, 0), A(-1, 1, 0), B(0, 1, 1), 在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为 （ ）A ．(-2, 2, 0)B ．(2, -2, 0)C ．)0,,(2121- D ．)0,,(2121- 3．若()(),,,,,,321321b b b a a a == 则332211b a b a b a ==是//的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E, F 分别是 BC, AD 的中点，则=⋅（ ）A ． 0B ．21C ．43-D ．21-5．O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(),[0,).|||AB ACOP OA AB ACλλ=++∈+∞u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r 则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0≠⋅； ②ο60=∠BAC ；③三棱锥D —ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．CNMB A 1B 1C 1A 其中正确的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7． 若()1,3,2-=, (),3,0,2= ()2,2,0=, 则()+⋅=（ ）A ． 4B ． 15C ． 7D ． 38． 三棱柱111C B A ABC -中，M 、N 分别是1BB 、AC 的中点，设a AB =，b AC =，=1，则NM 等于（ ）A ．)(21++B ．)(21-+ C ．)(21c a + D ．)(21b c a -+9．设a ρ={1,2,0}, b ρ={1,0,1}，则：“c ρ={32，－31，－32}”是“c ρ⊥a ρ,c ρ⊥b ρ且c ρ为单位向量”的（ ）A ． 充要条件B ． 充分不必要条件C ． 必要不充分条件D ． 既非充分条件也非必要条件 10．下列结论恒成立的是（ ）①若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β②过直线外一点能作一条直线与已知直线平行③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么，这两个角相等 AC BC AB =+，则A,B,C 三点共线。