浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(六)及答案

浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(六)

一．选择题（共8小题，5*8=40）

1．若x2﹣4x﹣1=0，则=（ ）

A． B．﹣1 C． D．﹣

2．方程的实数根的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．某款服装进价80元/件，标价x元/件，商店对这款服装推出“买两件，第一件原价，第二件打六折”的促销活动．按促销方式销售两件该款服装，商店仍获利32元，则x的值为（ ）

A．125 B．120 C．115 D．110

4．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（ ）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

5．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）

A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸

6．已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．3

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（ ）

A． B． C．1 D．2

8．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b=2a﹣b，如果x△（1△3）=2，那么x等于（ ）

A．1 B． C． D．2

二．填空题（共6小题，5*6=30）

9．把40，44，45，63，65，78，99，105平均分成两组，并且使这两组数的乘积相等，直接写出分组情况： ．

10．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=BD=5，CD=3，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是 ．

11．如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；…；则从第（n）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是 ．

12．如图，⊙O的直径BC=4，弦DE的两个端点（不与B，C重合）在半圆BC上滑动，BE、CD的延长线交于点A，DE=2，连接BD、CE．

以下四个结论： ①∠A=60°；

②若DE=DC，则△ABC是等边三角形；

③△ADE∽△ABC；

④△ADE面积的最大值为2．

其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）

13．如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是 ．

14．写出图象经过点（1，0）、（0，1）的三个不同的函数解析式： ．

三．解答题（共4小题，50分）

15．（10分）当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．

16．（10分）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．

（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；

（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．

17．（15分）如图，在△ABC中，∠BAC=135°，AD⊥BC，BD=4，DC=6，则△ABC的面积等于多少？

18．（15分）如图，已知反比例函数y=过点P，P点的坐标为（3﹣m，2m），m是分式方程的解，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．

（1）试判断四边形PAOB的形状，并说明理由；

（2）连接AB，E为AB上的一点，EF⊥BP于点F，G为AE的中点，连接OG、FG，试问FG和OG有何数量关系？请写出你的结论并证明；

（3）若M为反比例函数y=在第三象限内的一动点，过M作MN⊥x轴于交AB的延长线于点N，是否存在一点M使得四边形OMNB为等腰梯形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．解：∵x2﹣4x﹣1=0，x≠0，

∴x﹣4﹣=0，即x﹣=4，

∴x2﹣2+=16，即x2+=18，

∴===，

故选：A．

2．解：①当x＞0时，原式变为：x﹣=3，

方程的两边同乘x，得：x2﹣4=3x，

即x2﹣3x﹣4=0，

∴（x+1）（x﹣4）=0，

解得：x=﹣1（舍去），x=4．

检验：把x=4代入x=4≠0，即x=4是原分式方程的解；

②当x＜0时，原式变为：﹣x+=﹣3，

方程的两边同乘x，得：x2﹣3x﹣4=0，

∴（x+1）（x﹣4）=0，

解得：x=﹣1，x=4（舍去）．

检验：把x=﹣1代入x=﹣1≠0，即x=﹣1是原分式方程的解；

∴方程的实数根的个数为2个．

故选：B．

3．解：依题意有

x+0.6x﹣80×2=32，

解得x=120．

故选：B．

4．解：根据题意得出最短路程如图所示，

最短路程长为+1=2+1，

则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，

故选：C．

5．解：设⊙O的半径为r．

在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，

则有r2=52+（r﹣1）2，

解得r=13，

∴⊙O的直径为26寸，

故选：C．

6．解：由0＜2a＜b，得x0=﹣＜﹣1，

由题意，如图，过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1，

连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB﹣yC，CD=1，

过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），

则∠FAA1=∠CBD．

于是Rt△AFA1∽Rt△BCD，

所以=，即=，

过点E作EG⊥AA1于点G，

易得△AEG∽△BCD．

有=，即=，

∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，

得yA=a+b+c，yB=c，yC=a﹣b+c，yE=ax12+bx1+c，

∴==1﹣x1，

化简，得x12+x1﹣2=0，解得x1=﹣2（x1=1舍去），

∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜﹣1，

则1﹣x2≥1﹣x1，即1﹣x2≥3．

∴≥3， ∴的最小值为3．

故选：D．

7．解：∵∠ACB=90°，CA=CB，

∴∠A=∠B=45°，

∵CD⊥AB，

∴AD=BD=AB=1，∠CDB=90°，

∴CD=BD=1．

故选：C．

8．∵x△（1△3）=2，

x△（1×2﹣3）=2，

x△（﹣1）=2，

2x﹣（﹣1）=2，

2x+1=2，

∴x=．

9．解：偶数组：40=2×2×2×5，44=2×2×11，78=2×3×13；

奇数组：45=3×3×5，63=3×3×7，65=5×13，99=3×3×11，105=3×5×7，

（1）先看偶数组，40第一组，44和78第二组（因为40分解出3个2；44有2个2，78有1个2）；

（2）44中含有11，则99为第一组；78中含有13，则65为第一组；另外两个分解出含有5的数是45，105，其中105为第二组，

答：第一组有40，99，65，63；第二组为44，78，45，105．

故答案为：40，99，65，63；44，78，45，105．

10．解：①点Q在AB边上时，

∵AD⊥BC，垂足为D，AD=BD=5，CD=3， ∴S△ABD=BD•AD=×5×5=，∠B=45°

∵PQ⊥BC，

∴BP=PQ，

设BP=x，则PQ=x，

∵CD=3，

∴S△DCQ=×3x=x，

S△AQD=S△ABD﹣S△BQD=﹣×5×x=﹣x，

∵△ADQ与△CDQ的面积相等，

∴x=﹣x，

解得：x=，

②如图，

当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC，

∵AD⊥BC，垂足为D，

∴Q'P'∥AD

∵△ADQ与△CDQ的面积相等，

∴AQ'=CQ'

∴DP'=CP'=CD=1.5

∵AD=BD=5，

∴BP'=BD+DP'=6.5，

综上所述，线段BP的长度是或6.5．

故答案为或6.5．

11．解：根据图示规律，第n个图中，黑球有n个，球的总数有1+2+3+4+5+…+n=，

则从第（n）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是=．