1.定积分的应用(面积)

- 1 - 定积分求平面图形面积在实际生活中的应用

定积分是数学中重要的概念，定积分可以用来计算函数在一定范围（定义域）内的积分值。它是一种可以用来计算面积或计算曲线积分问题的一种技术。在实际生活中，定积分用于求解平面图形面积的问题，广泛应用于水利、建筑、航空航天等各个领域。

首先，定积分可以用于求解椭圆面积的问题。椭圆面积可以用定积分来计算，其计算公式为：S=[π/2*(a2-b2)]，其中a是椭圆的长轴，b是椭圆的短轴。这个公式能够准确地计算出椭圆的面积，在水利等领域中，椭圆管道的运用非常广泛，可以用定积分计算出椭圆管道的面积，从而帮助水利设计者准确地计算水利结构的尺寸。

其次，定积分可以用于求解三角形面积的问题。三角形的面积也可以通过定积分进行计算，其计算公式为：S=*a*b*sin（C），其中a和b是三角形的底边，C是三角形的内角。这个公式可以准确的计算出三角形的面积，在建筑设计等领域中，三角形结构的运用非常广泛，可以用定积分计算出三角形结构的面积，从而帮助设计者准确地计算建筑结构的尺寸。

此外，定积分还可以用于求解复杂图形的面积。复杂图形的面积可以用定积分来计算，例如可以用定积分计算圆柱体的表面积、圆柱管的表面积以及球的表面积等。在航空航天等领域中，复杂图形的运用也非常广泛，例如飞机机身的设计、航天器的设计等，可以用定积分计算出复杂图形的面积，从而帮助设计者准确地计算机构的尺寸。

综上所述，定积分在实际生活中极具价值，它可以用于求解椭圆 - 2 - 面积、三角形面积以及复杂图形的面积等问题，在水利、建筑、航空航天等各个领域都有很广泛的应用，其准确的计算方法可以为实际生活中的设计者提供帮助。

第六讲 定积分的应用

一、基础知识

几何应用

（一）平面图形的面积

1．直角坐标情形

由曲线)0)(()(xfxfy 及直线 xa与 xb ( ab ) 与 x轴所围成的曲边梯形面积A。

()baAfxdx 其中：fxdx()为面积元素。

由曲线yfx()与ygx()及直线xa，xb(ab)且fxgx()()所围成的图形面积A。

()()[()()]bbbaaaAfxdxgxdxfxgxdx

2．极坐标情形

设平面图形是由曲线 )(r及射线，所围成的曲边扇形。

取极角为积分变量，则 ,在平面图形中任意截取一典型的面积元素A，它是极角变化区间为],[d的窄曲边扇形。

曲边梯形的面积元素 ddA2])([21 dA)(212 （二）旋转体的体积

计算由曲线yfx()直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而生成的立体的体积。

取x为积分变量，则],[bax，对于区间],[ba上的任一区间],[dxxx，它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以)(xf为底半径，dx为高的圆柱体体积。即：体积元素为 dxxfdV2)(

所求的旋转体的体积为 dxxfVba2)(

（三）平面曲线的弧长

1.直角坐标情形

设函数)(xf在区间],[ba上具有一阶连续的导数，计算曲线)(xfy的长度s。

取x为积分变量，则],[bax,在],[ba上任取一小区间],[dxxx，弧长元素为

dxxfds2)(1 弧长为 badxxfs2)(1

2.参数方程的情形

若曲线由参数方程)()()(ttytx给出，弧微分

1 用定积分求面积的两个常用公式

求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用．

一、两个常用公式

公式一：由连续曲线y＝f，直线＝a，＝b与y＝0所围成的曲边梯形的面积A为

A＝|()|bafxdx．

特别地，（1）当f≥0时如图1，A＝()bafxdx；

（2）当f≤0时如图2，A＝－()bafxdx；

⑶当f有正有负时如图3，A＝()cafxdx－()bcfxdx．

公式二：由连续曲线y＝f，y＝g，f≥g及直线＝a，＝b所围成的图形如图4的面积A为

A＝[()()]bafxgxdx．

二、应用举例

例1由y＝3，＝0，＝2，y＝xyoxyo()yfx()yfxaabbcxyoab()yfx1图2图3图xyoab()yfx()ygx4图xyo21图0围成的图形面积．

分析：先画出图象，利用公式1转化为定积分问题即可解决．

解：（1）如图1，由公式1，得

S＝230xdx＝42440111|204444x．

评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别．定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积，然后将它们加在一起．

例2（1）由曲线y＝2，y2＝所围成图形的面积．

（2）由y＝142－1，y＝12，y＝34x在第一象限所围成图形的面积．

分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分．

解：（1）如图2，所求面积为阴影部分．

解方程组22yxyx，得交点0，0，1，1，由公式2，得

S＝120()xxdx＝331202211()|33333xx． （2）如图3，解方程组211412yxyx和211434yxyx，

得＝0，＝1＋5负的舍去，＝4．

第六章 定积分的应用

一、内容提要

（一）主要定义

【定义】 定积分的元素法

如果

（1）所求量U是与一个变量x的变化区间ba,有关的一个整体量；

（2）U对区间ba,具有可加性；

（3）部分量iU可表示为iiiUfx.

则可按以下步骤计算定积分

（1）选取一个变量x或y，并确定它的变化区间ba,;

（2）把区间ba,分成n个小区间, 求任一小区间,xxdx的部分量U的近似

dU.

UdUfxdx;

（3）计算U=bafxdx.

（二）主要定理与公式

根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式.

1．平面图形面积

（1）直角坐标情形

①由,(0),,yfxfxxaxb所围图形的面积

basfxdx.

②由12,,,yfxyfxxaxb所围图形的面积

12 basfxfxdx.

③由12,,,xyxyycyd所围图形的面积

12dcsyydy

（2）参数方程情形

由曲线l：xtyt，12ttt，x轴及,xaxb所围图形的面积

21 ttsttdt

（3）极坐标情形

① 由,,所围图形的面积

212sd

② 由12,,,所围图形的面积

222112sd

2.体积

（1）旋转体的体积

① 由0,,,yyfxxaxb所围图形绕x轴旋转所得旋转体体积：

2baVfxdx.

当0ab时，上述曲边梯形绕y轴旋转所得旋转体的体积：

22bbaaVxydxxfxdx.