数学选修2-1北师大版：第一章 常用逻辑用语 §4 4.1~4.2

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§4 逻辑联结词“且”“或”“非”

4．1 逻辑联结词“且”

4．2 逻辑联结词“或”

学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假．

知识点一 “且”

思考 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？

答案 命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题．

梳理 (1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p且q”．

(2)当p，q都是真命题时，p且q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q是假命题．

将命题p和命题q以及p且q的真假情况绘制为命题“p且q”的真值表如下：

p q p且q

真 真 真

真 假 假

假 真 假

假 假 假

命题“p且q”的真值表可简单归纳为“同真则真”．

知识点二 “或”

思考 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？

答案 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．

梳理 (1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p或q”．

(2)当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p或q是真命题；当p，q两个命题都是假命题最新中小学教案、试题、试卷

时，p或q是假命题．

将命题p和命题q以及p或q的真假情况绘制为命题“p或q”的真值表如下：

p q p或q

真 真 真

真 假 真

假 真 真

假 假 假

命题“p或q”的真值表可简单归纳为“假假才假”．

1．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．(×)

2．“p且q为假命题”是“p为假命题”的充分条件．(×)

3．当p，q都为假命题时，p且q才为假命题．(×)

4．若p：sinx≥2，q：任意x∈R，x2－x＋1＞0，则p或q为假命题．(×)

类型一 含有“且”“或”命题的构成

命题角度1 简单命题与复合命题的区分

例1 指出下列命题的形式及构成它的命题．

(1)向量既有大小又有方向；

(2)矩形有外接圆或有内切圆；

(3)2≥2.

考点 “且”“或”的概念

题点 把命题写成“p且q”或“p或q”的形式

解 (1)是p且q形式命题．

其中p：向量有大小，q：向量有方向．

(2)是p或q形式命题．

其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．

(3)是p或q形式命题．

其中p：2>2，q：2＝2.

反思与感悟 不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题． 最新中小学教案、试题、试卷

判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题．

跟踪训练1 命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题．

考点 “且”的概念

题点 把命题写成“p且q”的形式

答案 p且q

命题角度2 用逻辑联结词构造新命题

例2 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．

(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；

(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

考点 “且”“或”的概念

题点 把命题写成“p且q”或“p或q”的形式

解 (1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．

p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．

(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

p且q：－1和－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

反思与感悟 用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．

跟踪训练2 指出下列命题的形式及构成它的简单命题．

(1)96是48与16的倍数；

(2)不等式x2－x－2＞0的解集是{x|x＜－1或x＞2}．

考点 “且”“或”的概念

题点 把命题写成“p且q”或“p或q”的形式

解 (1)p且q：p：96是48的倍数；q：96是16的倍数．

(2)p或q：p：不等式x2－x－2＞0的解集是{x|x＜－1}，

q：不等式x2－x－2＞0的解集是{x|x＞2}．

类型二 “p且q”和“p或q”形式命题的真假判断

例3 分别指出“p或q”“p且q”的真假．

(1)p：函数y＝sinx是奇函数；q：函数y＝sinx在R上单调递增；

(2)p：直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：直线x＝12与圆x2＋y2＝1相交．

考点 “p且q”和“p或q”形式命题真假性判断 最新中小学教案、试题、试卷

题点 判断“p且q”和“p或q”形式命题的真假

解 (1)∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．

(2)∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真．

反思与感悟 形如p或q，p且q命题的真假根据真值表判定．

跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．

(1)p：3是无理数，q：π不是无理数；

(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；

(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．

考点 “p且q”和“p或q”形式命题真假性判断

题点 判断“p且q”和“p或q”形式命题的真假

解 (1)∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．

(2)∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真．

(3)∵p假，q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假．

类型三 已知复合命题的真假求参数范围

例4 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

考点 “p或q”“p且q”形式命题真假性的判断

题点 由“p或q”“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围

解 因为p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，

所以 Δ＝m2－4＞0，m＞0，所以m＞2.

因为q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，

所以Δ＜0，即16(m－2)2－16＜0，

所以16(m2－4m＋3)＜0，所以1＜m＜3.

因为p或q为真，p且q为假，

所以p为真，q为假或者p为假，q为真．

即 m＞2，m≤1或m≥3或 m≤2，1＜m＜3，

解得m≥3或1＜m≤2.

所以m的取值范围为{m|m≥3或1＜m≤2}．

引申探究

本例中若将“p且q为假”改为“p且q为真”，求实数m的取值范围．

解 同例得当p为真命题时，m＞2，当q为真命题时，

1＜m＜3. 最新中小学教案、试题、试卷

因为p或q为真，p且q为真，所以p，q均为真命题，

即 m＞2，1＜m＜3，解得2＜m＜3，所以m的取值范围为(2,3)．

反思与感悟 应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤

(1)分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B；

(2)讨论p，q的真假；

(3)由p，q的真假转化为相应的集合的运算；

(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．

跟踪训练4 已知p：(x＋2)(x－3)≤0，q：|x＋1|≥2，若“p且q”为真，则实数x的取值范围是________．

考点 “p且q”形式命题真假性的判断

题点 由“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围

答案 [1,3]

解析 由(x＋2)(x－3)≤0，解得－2≤x≤3.

由|x＋1|≥2，解得x≥1或x≤－3.

∵“p且q”为真，∴ －2≤x≤3，x≥1或x≤－3，

解得1≤x≤3，则实数x的取值范围是[1,3]．

1．已知p：2＋3＝5，q：5＜4，则下列判断正确的是( )

A．p为假命题 B．q为真命题

C．p或q为真命题 D．p且q为真命题

考点 “p且q”“p或q”形式命题真假性的判断

题点 判断“p且q”“p或q”形式命题的真假

答案 C

解析 由题意，知p为真命题，q为假命题．

2．由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”都为真命题的是( )

A．p：4＋4＝9，q：7＞4

B．p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}

C．p：15是质数，q：8是12的约数

D．p：2是偶数，q：2不是质数

考点 “p且q”“p或q”形式命题真假性的判断 最新中小学教案、试题、试卷

题点 判断“p且q”“p或q”形式命题的真假

答案 B

3．已知命题p，q，若p为真命题，则( )

A．p且q必为真 B．p且q必为假

C．p或q必为真 D．p或q必为假

考点 “p且q”“p或q”形式命题真假性的判断

题点 判断“p且q”“p或q”形式命题的真假

答案 C

解析 p或q，一真则真，故必有p或q为真．

4．已知p：函数y＝sinx的最小正周期为π2，q：函数y＝sin2x的图像关于直线x＝π对称，则p且q是________命题．(填“真”或“假”)

考点 “p且q”形式命题真假性的判断

题点 判断“p且q”形式命题的真假

答案 假

解析 由题意，知命题p为假命题，命题q也是假命题，故p且q是假命题．

5．已知命题p：函数f(x)＝(x＋m)(x＋4)为偶函数；命题q：方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围．

考点 “p且q”“p或q”形式命题真假性的判断

题点 由“p且q”“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围

解 若命题p为真，则由f(x)＝x2＋(m＋4)x＋4m，得m＋4＝0，解得m＝－4.

设g(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，其图像开口向上，

若命题q为真，则g(2)<0，即22＋(2m－1)×2＋4－2m<0，解得m<－3.

由p且q为假，p或q为真，得p假q真或p真q假．

若p假q真，则m<－3且m≠－4；

若p真q假，则m无解．

所以实数m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3)．

1．判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条件、结论．

2．对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假．