苏教版高中数学必修五正弦定理、余弦定理.doc

正弦、余弦定理及应用一．课标要求：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

二．命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。

今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。

题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。

三．要点精讲1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

R C cB b A a 2sin sin sin ===。

（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。

学习目标核心素养１．能将实际问题转化为解三角形问题．（难点）２．能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．（重点）通过利用正、余弦定理求解实际问题中的长度、高度，培养学生的直观想象及数学建模素养.正、余弦定理在物理学中的应用【例１】都是细杆，只受沿杆方向的力．试求杆OA，OB所受的力．思路探究：先借助向量的合成与分解画出图示，然后借助正弦定理求解．[解] 如图，作错误!＝F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，即作▱OCED，则错误!＝错误!＝F１，错误!＝F２.由题设条件可知，|错误!|＝１0，∠OCE＝５0°，∠OEC＝70°，所以∠COE＝１80°—５0°—70°＝60°.在△OCE中，由正弦定理，得错误!＝错误!，错误!＝错误!，因此，|F１|＝错误!≈１１．３N，|F２|＝错误!≈１２．３N.即灯杆OA所受的力为１１．３N，灯杆OB所受的力为１２．３N.在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.１．作用于同一点的三个力F１，F２，F３平衡．已知F１＝３0 N，F２＝５0 N，F１与F２之间的夹角是60°，求F３的大小与方向（精确到0．１°）．[解] F３应和F１，F２的合力F平衡，所以F３和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF１F中，由余弦定理，得F＝错误!＝70（N），再由正弦定理，得sin∠F１OF＝错误!＝错误!，所以∠F１OF≈３8．２°，从而∠F１OF３≈１４１．8°.即F３为70 N，F３和F１间的夹角为１４１．8°.正、余弦定理在几何中的应用【例２】（１）求sin∠BAC的值；（２）设BC的中点为D，求中线AD的长．思路探究：（１）（２）[解] （１）因为cos C＝错误!，且C是三角形的内角，所以sin C＝错误!＝错误!＝错误!.所以sin∠BAC＝sin[π—（B＋C）]＝sin（B＋C）＝sin B cos C＋cos B sin C＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.（２）在△ABC中，由正弦定理得，错误!＝错误!，则BC＝错误!×sin∠BAC＝错误!×错误!＝6，所以CD＝错误!BC＝３．又在△ADC中，AC＝２错误!，cos C＝错误!，所以由余弦定理得，AD＝错误!＝错误!＝错误!.（三角形中几何计算问题的解题思路１正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决.２此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.２．如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB ＝２．（１）求cos∠CBE的值；（２）求AE.[解] （１）因为∠BCD＝90°＋60°＝１５0°，CB＝AC＝CD，所以∠CBE＝１５°.所以cos∠CBE＝cos（４５°—３0°）＝错误!.（２）在△ABE中，AB＝２，由已知和（１）知∠ABE＝∠ABC—∠CBE＝４５°—１５°＝３0°，∠AEB＝∠ACB＋∠EBC＝90°＋１５°＝１0５°，由正弦定理，得错误!＝错误!，∴AE＝错误!＝错误!＝错误!—错误!.正、余弦定理在测量学中的应用[探究问题]１．如图，A，B两点在河的对岸，且不可到达，如何测量其两点间的距离？[提示] 在河岸这边选取点C，D，测得CD＝a，∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，则在△ACB和△ACD中应用正弦定理可求AC，BC的长，进而在△ACB中应用余弦定理求AB.２．如图，如何测量山顶塔AB的高？（测量者的身高忽略不记）[提示] 测量者在山下先选择一基点P，测出此时山顶的仰角α，前进a米后，再测出此时山顶的仰角β，则借助直角三角形的边角关系可求塔顶距地面的高h，进而利用AB＝h—H求解．【例３】如图，A，B是海面上位于东西方向相距５（３＋错误!）海里的两个观测点，现位于A点北偏东４５°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距２0错误!海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为３0海里每小时，该救援船到达D点至少需要几个小时？思路探究：在△ABD中，利用正弦定理求出BD的长，再在△DBC中利用余弦定理求出DC的长，进而求时间．[解] 由题意知AB＝５（３＋错误!），∠DBA＝90°—60°＝３0°，∠DAB＝４５°，所以∠ADB＝１0５°，所以sin １0５°＝sin ４５°cos 60°＋sin 60°cos ４５°＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，在△ABD中，由正弦定理得错误!＝错误!，所以BD＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝１0错误!，又∠DBC＝１80°—60°—60°＝60°，BC＝２0错误!，在△DBC中，由余弦定理得CD２＝BD２＋BC２—２×BD×BC cos 60°＝３00＋１２00—２×１0错误!×２0错误!×错误!＝900，所以CD＝３0（海里），则至少需要的时间t＝错误!＝１（小时）．本例中，A与B的距离改为“５（错误!＋错误!）海里”，点C的位置改为“位于A点南偏西１５°且与A点相距１0错误!海里，如图所示”，其他条件不变，应如何解答？[解] 在△ABD中，由正弦定理得错误!＝错误!，所以AD＝错误!＝错误!＝错误!＝１0．在△ACD中，∠CAD＝90°＋４５°＋１５°＝１５0°，AD＝１0，AC＝１0错误!，由余弦定理得CD２＝AD２＋AC２—２×AD×AC cos １５0°＝１00＋３00—２×１0×１0错误!×错误!＝700，所以CD＝１0错误!（海里），则需要的时间t＝错误!＝错误!（小时）．１．解决测量高度问题的一般步骤（１）画图：根据已知条件画出示意图；（２）分析三角形：分析与问题有关的三角形；（３）求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．２．测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．提醒：解题时要注意题目条件和实际意义中的隐含信息，避免出现增解或漏解．１．本节课要掌握四类问题的解法（１）测量距离问题．（２）测量高度问题．（３）角度问题．（４）与立体几何有关的测量问题．２．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况（１）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．（２）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．１．判断正误（１）已知三角形的三个角，能够求其三条边．（）（２）两个不可到达的点之间的距离无法求得．（）（３）东偏北４５°的方向就是东北方向．（）（４）仰角与俯角所在的平面是铅垂面．（）[答案] （１）×（２）×（３）√（４）√[提示] 已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故（１）错．两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故（２）错．２．身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测２0 m高的旗杆，甲观测的仰角为５0°，乙观测的仰角为４0°，用d１，d２分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有（）Ａ．d１>d２Ｂ．d１<d２Ｃ．d１>２0 m Ｄ．d２<２0 mB[如图，设旗杆高为h，则d１＝错误!，d２＝错误!.因为tan ５0°>tan ４0°，所以d１<d２.]３．一艘船以４km/h的速度沿着与水流方向成１２0°的方向航行，已知河水流速为２km/h，则经过错误!h，该船实际航程为________．6 km [v实＝错误!＝２错误!（km/h）．所以实际航程为２错误!×错误!＝6（km）．]４．某市在“旧城改造”工程中，计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a元/m２，则购买这种草皮需要________元．１５0a[∵S△＝错误!×２0×３0×sin １５0°＝错误!×２0×３0×错误!＝１５0（m２），∴购买这种草皮需要１５0a元．]５．如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），若在河岸选取相距４0 m的C，D两点，测得∠BCA ＝60°，∠ACD＝３0°，∠CDB＝４５°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？[解] 在△ACD中，应用正弦定理得AC＝错误!＝错误!＝错误!＝２0（１＋错误!）（m），在△BCD中，应用正弦定理得BC＝错误!＝错误!＝４0（m）．在△ABC中，由余弦定理得AB＝错误!＝２0错误!（m）．。

必修五：正弦定理和余弦定理一：正弦定理1：定理内容：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 是三角形外接圆半径） 2：公式变形（1）R Aa C B A cb a 2sin sin sin sin ==++++ （2）⎪⎩⎪⎨⎧C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===或R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === （3）⎪⎩⎪⎨⎧B c C b A c C a A b B a sin sin sin sin sin sin ===（4）Rabc A bc B ac C ab S ABC 4sin 21sin 21sin 21====∆ 以下是ABC ∆内的边角关系：熟记（5）B A B A b a >⇔>⇔>sin sin （大边对大角）（6）B A B A cos cos <⇔>（7）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=)sin(sin )sin(sin )sin(sin B A C C A B C B A 思考A cos 与)cos(C B +的关系（8）2cos 2sin C B A += （9）若AD 是ABC ∆的角平分线，则AC DC AB DB = 思考题：1：若B A sin sin =，则B A ,有什么关系？2：若B A 2sin 2sin =，则B A ,有什么关系？3：若B A cos cos =，则B A ,有什么关系？4：若21sin >A ，则角A 的范围是什么？解三角形：已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.例1：已知ABC ∆，根据下列条件，解三角形.（1）10,45,60=︒=∠︒=∠a B A .（2）︒=∠==120,4,3A b a .（3）︒=∠==30,4,6A b a .（4）︒=∠==30,16,8A b a .（5）︒=∠==30,4,3A b a .思考：在已知“边边角”的情况下，如何判断三角形多解的情况判断方法:（1）用正弦定理：比较正弦值与1的关系（2）作图法：用已知角所对的高与已知角所对的边长比较.练习：（1）若︒=∠==45,12,6A b a ，则符合条件的ABC ∆有几个？（2）若︒=∠==30,12,6A b a ，则符合条件的ABC ∆有几个？（3）若︒=∠==45,12,9A b a ，则符合条件的ABC ∆有几个？例2：根据下列条件，判断三角形形状.（1）C B A 222sin sin sin =+.（2）C B A cos sin 2sin =（3）B b A a cos cos =（4）A b B a tan tan 22=二：余弦定理1：定理内容：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即A bc c b a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+= 另一种形式：bca cb A 2cos 222-+=. 请写出另两个：例1：根据下列条件，解三角形.（1）在ABC ∆中，︒=∠==120,4,5C b a ，求边c .（2）在ABC ∆中，︒=∠==60,8,5C b a ，求边c .（3）在ABC ∆中，8,7,5===c b a ，求最大角与最小角的和.（4）在ABC ∆中，13:8:7sin :sin :sin =C B A ，求C cos .（5）在ABC ∆中，8,120,34=+︒=∠=b a C c ，求ABC ∆的面积.（6）在ABC ∆中，34,60,4=︒=∠=∆ABC S C c ，求ABC ∆的周长.（7）在ABC ∆中，1)(22=--bcc b a ，求A ∠. （8）在ABC ∆中，4,3,2===c b a ，判断ABC ∆的形状.（9）求证：在ABC ∆中，)cos cos cos (2222C ab B ac A bc c b a ++=++.（10）求证：平行四边形两对角线的平方和等于它各边的平方和.。

教案：高中数学——正弦定理、余弦定理及应用教案编写者：教学目标：1. 理解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 掌握正弦定理、余弦定理的应用方法；3. 能够运用正弦定理、余弦定理解决实际问题。

教学重点：1. 正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 正弦定理、余弦定理的应用方法。

教学难点：1. 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教师准备PPT、教案、例题及练习题；2. 学生准备笔记本、文具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生回顾正弦、余弦函数的定义及图像；2. 提问：如何利用三角函数解决几何问题？引出正弦定理、余弦定理的学习。

二、正弦定理（15分钟）1. 讲解正弦定理的定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；2. 解释正弦定理的几何意义：三角形任意一边的长度等于这一边所对角的正弦值乘以对边的长度；3. 举例说明正弦定理的应用方法，如已知三角形两边和一边的对角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握正弦定理的应用。

三、余弦定理（15分钟）1. 讲解余弦定理的定义：在一个三角形中，各边的平方和等于两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍；2. 解释余弦定理的几何意义：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍；3. 举例说明余弦定理的应用方法，如已知三角形两边和它们的夹角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握余弦定理的应用。

四、应用练习（15分钟）1. 给学生发放练习题，要求学生在纸上完成；2. 学生在纸上完成练习题，教师巡回指导；3. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。

1. 回顾本节课学习的正弦定理、余弦定理的定义及应用；2. 强调正弦定理、余弦定理在解决几何问题中的重要性；3. 提醒学生课后复习巩固，做好预习准备。

教学反思：本节课通过讲解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义，让学生掌握了这两个重要定理的应用方法。

高中苏教数学⑤1.1～1.2正弦定理、余弦定理要点解读一、正弦定理1．正弦定理及其证明在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C==． 课本利用三角形中的正弦函数的定义和向量的数量积两种方法证明了正弦定理，同学们可以思考一下有没有别的方法呢？答案是肯定的．证明如下：当ABC △为锐角三角形时（如图所示），过点A 作单位向量i 垂直于AB ，因为AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，所以()AC AB BC AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ····i i i i ，cos(90)0cos(90)b A a B -=+-°°，即sin sin b A a B =，得sin sin a b A B=． 当ABC △为钝角或直角三角形时也可类似证明．2．正弦定理常见变形公式 （1）sin sin sin sin b A c A a B C ==，sin sin sin sin c B a B b C A ==，sin sin sin sin a C b C c A B==； （2）::sin :sin :sin a b c A B C =；（3）2sin 2sin a R A b R B ==，，2sin c R C =（R 为ABC △外接圆的半径）； （4）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =； （5）sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C++===++． 注：这些常见的变形公式应熟练掌握，在具体解题时，可根据不同的题设条件选择不同的变形公式．3．正弦定理的运用利用正弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．二、余弦定理1．余弦定理及表达式三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-；2222cos c a b ab C =+-． 注：余弦定理反映了a b c A B C ，，，，，元素间的动态结构，揭示了任意三角形的边、角关系．2．余弦定理的另一种表达形式222cos 2b c a A bc+-=； 222cos 2c a b B ac+-=；222cos 2a b c C ab+-=； 注：若已知三边求角时，应用余弦定理的此表达形式简单易行．3．余弦定理的运用利用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．注：这两类问题在有解时都只有一个解．4．勾股定理和余弦定理的区别与联系勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．由余弦定理及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．因此，勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情况，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．三角形形状的判定根据条件判断三角形的形状，是一类常见的解斜三角形问题．本文介绍几种常用解法，以供参考．一、利用向量的模，或利用向量的夹角来判定例1 在ABC △中，设BC CA AB ===u u u r u u u r u u u r ，，a b c ，若==ab bc ca ，判断ABC △的形状． 解：∵++=0a b c ，∴ +=-a b c ，22()()+=-a b c ，即2222++=a b a b c ·，同理有：2222++=b c b c a ·，两式相减有：22222()-+-=-a c ab bc c a ··， ∵=a b b c ··，∴22=a c ．即=a c ，同理：=a b ，即==a b c ，故ABC △为等边三角形．注：我们还可以利用向量的夹角来判断．提示：以BA BC ，为平行四边形的两邻边，作ABCD Y ，由=a b b c ··知()0-=ba c ·，即0CA BD =u u u r u u u r ·，即CA BD ⊥，所以ABCD Y 为菱形，故BA BC =，同理可得AB AC =．二、利用正、余弦定理来判断边或角的关系一般地，对于给出的边、角关系混合在一起的问题，利用正、余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么统一为角的关系，再利用三角形的有关知识及三角恒等变形等来解决． 例2 在ABC △中，若2cos sin sin C A B =，则ABC △的形状一定是（ ）（A ）等腰直角三角形 （B ）直角三角形（C ）等腰三角形 （D ）等边三角形解析：∵2cos sin sin C A B =，∴ cos 2b C a =． 又由余弦定理，知222cos 2a b c C ab +-=．∴a c =，故选（C ）．三、利用三角变换例3 在ABC △中，若sin sin cos cos A B A B <，则此三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形（C ）钝角三角形 （D ）等腰三角形解析：由条件知cos cos sin sin 0A B A B ->， 即cos()0A B +>，所以π02A B <+<，所以ππ2C <<，故选（C ）． 那么可不可以利用三角变换来解决例2呢？ 提示：∵π()B A C =-+，∴sin sin()B A C =+． ∴2cos sin sin cos cos sin C A A C A C =+． 故sin()0A C -=，即A C =．例4 在ABC △中，若sin sin sin cos cos sin cos cos 2A B A B A B A B +++=，则ABC △是（）．（A ）等边三角形 （B ）钝角三角形（C ）等腰直角三角形 （D ）直角三角形 解析：由已知，得cos()sin()2A B A B -++=， 又cos()1A B -≤，sin()1A B +≤， 故cos()1A B -=且sin()1A B +=， 即A B =且90A B +=°，故选（C ）．评注：本题是利用了正、余弦函数的有界性来解决．。

学习目标核心素养１．掌握余弦定理及其推论．（重点）２．掌握正、余弦定理的综合应用．（重点）３．能应用余弦定理判断三角形的形状．（易错点）１．借助余弦定理的推导过程，提升学生的逻辑推理素养.２．通过余弦定理的应用，提升学生的数学运算素养.１．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a２＝b２＋c２—２bc cos_A，b２＝c２＋a２—２ca cos_B，c２＝a２＋b２—２ab cos_C.思考１：根据勾股定理，若△ABC中，C＝90°，则c２＝a２＋b２＝a２＋b２—２ab cos C．１试验证１式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？[提示] 当a＝b＝c时，C＝60°，a２＋b２—２ab cos C＝c２＋c２—２c·c cos 60°＝c２，即１式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c２＝a２＋b２—２ab cos C.思考２：在c２＝a２＋b２—２ab cos C中，ab cos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考１的猜想吗？[提示] ab cos C＝|错误!|·|错误!|cos〈错误!，错误!〉＝错误!·错误!.∴a２＋b２—２ab cos C＝错误!＋错误!—２错误!·错误!＝（错误!—错误!）２＝错误!＝c２.猜想得证．２．余弦定理的变形（１）余弦定理的变形cos A＝错误!，cos B＝错误!，cos C＝错误!.（２）余弦定理与勾股定理的关系在△ABC中，c２＝a２＋b２⇔C为直角；c２>a２＋b２⇔C为钝角；c２<a２＋b２⇔C为锐角．思考３：勾股定理和余弦定理有何联系与区别？[提示] 二者都反映了三角形三边之间的平方关系；其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例．１．在△ABC中，若b＝１，c＝错误!，A＝错误!，则a＝________.１[a＝错误!＝１．]２．在△ABC中，若a＝５，c＝４，cos A＝错误!，则b＝________.6[由余弦定理可知２５＝b２＋１6—２×４b cos A，即b２—错误!b—9＝0，解得b＝6．]３．在△ABC中，a＝３，b＝错误!，c＝２，则B＝________.60°[cos B＝错误!＝错误!＝错误!，∴B＝60°.]４．在△ABC中，若b２＋c２—a２<0，则△ABC必为________三角形．钝角[∵cos A＝错误!<0，∴A∈（90°，１80°）．∴△ABC必为钝角三角形．]已知两边与一角解三角形【例１】在△a.[解] 法一：由余弦定理b２＝a２＋c２—２ac cos B，得３２＝a２＋（３错误!）２—２a×３错误!×cos ３0°，∴a２—9a＋１8＝0，解得a＝３或6．当a＝３时，A＝３0°，∴C＝１２0°.当a＝6时，由正弦定理sin A＝错误!＝错误!＝１．∴A＝90°，∴C＝60°.法二：由b<c，B＝３0°，b>c sin ３0°＝３错误!×错误!＝错误!知本题有两解．由正弦定理sin C＝错误!＝错误!＝错误!，∴C＝60°或１２0°，当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝错误!＝错误!＝6，当C＝１２0°时，A＝３0°，△ABC为等腰三角形，∴a＝３．已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理已知两边和一边的对角求解.若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题在0，π上，余弦值所对角的值是唯一的，故用余弦定理求解较好.１．在△ABC中，a＝２错误!，c＝错误!＋错误!，B＝４５°，解这个三角形．[解] 根据余弦定理得，b２＝a２＋c２—２ac cos B＝（２错误!）２＋（错误!＋错误!）２—２×２错误!×（错误!＋错误!）×cos ４５°＝8，∴b＝２错误!.又∵cos A＝错误!＝错误!＝错误!，∴A＝60°，C＝１80°—（A＋B）＝7５°.已知三边解三角形【例２】已知△ABC中，a∶b∶c＝２∶错误!∶（错误!＋１），求△ABC的各角的大小．思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解．[解] 设a＝２k，b＝错误!k，c＝（错误!＋１）k（k>0），利用余弦定理，有cos A＝错误!＝错误!＝错误!，∴A＝４５°.同理可得cos B＝错误!，B＝60°.∴C＝１80°—A—B＝7５°.１．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．２．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．２．在△ABC中，已知a＝7，b＝３，c＝５，求最大角和sin C.[解] ∵a>c>b，∴A为最大角，由余弦定理的推论，得：cos A＝错误!＝错误!＝—错误!，∴A＝１２0°，∴sin A＝sin １２0°＝错误!.由正弦定理错误!＝错误!，得：sin C＝错误!＝错误!＝错误!，∴最大角A为１２0°，sin C＝错误!.正、余弦定理的综合应用[探究问题]１．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a２＝b２＋c２，则sin２A＝sin２B＋sin２C 成立吗？反之说法正确吗？为什么？[提示] 设△ABC的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a＝２R sin A，b＝２R sin B，c＝２R sin C，代入a２＝b２＋c２可得sin２A＝sin２B＋sin２C.反之将sin A＝错误!，sin B＝错误!，sin C＝错误!代入sin２A＝sin２B＋sin２C可得a２＝b２＋c２.因此，这两种说法均正确．２．在△ABC中，若c２＝a２＋b２，则C＝错误!成立吗？反之若C＝错误!，则c２＝a２＋b２成立吗？为什么？[提示] 因为c２＝a２＋b２，所以a２＋b２—c２＝0，由余弦定理的变形cos C＝错误!＝0，即cos C ＝0，所以C＝错误!，反之若C＝错误!，则cos C＝0，即错误!＝0，所以a２＋b２—c２＝0，即c２＝a ２＋b２.【例３】在△ABC中，若（a—c·cos B）·sin B＝（b—c·cos A）·sin A，判断△ABC的形状．思路探究：[解] 法一：（角化边）∵（a—c·cos B）·sin B＝（b—c·cos A）·sin A，∴由正、余弦定理可得：错误!·b＝错误!·a，整理得：（a２＋b２—c２）b２＝（a２＋b２—c２）a２，即（a２—b２）（a２＋b２—c２）＝0，∴a２＋b２—c２＝0或a２＝b２.∴a２＋b２＝c２或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．法二：（边化角）根据正弦定理，原等式可化为：（sin A—sin C cos B）sin B＝（sin B—sin C cos A）sin A，即sin C cos B sin B＝sin C cos A sin A.∵sin C≠0，∴sin B cos B＝sin A cos A.∴sin ２B＝sin ２A.∴２B＝２A或２B＋２A＝π，即A＝B或A＋B＝错误!.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．１．（变条件）将例题中的条件“（a—c cos B）·sin B＝（b—c cos A）·sin A”换为“a cos A＋b cos B＝c cos C”其它条件不变，试判断三角形的形状．[解] 由余弦定理知cos A＝错误!，cos B＝错误!，cos C＝错误!，代入已知条件得a·错误!＋b·错误!＋c·错误!＝0，通分得a２（b２＋c２—a２）＋b２（a２＋c２—b２）＋c２（c２—a２—b２）＝0，展开整理得（a２—b２）２＝c４.∴a２—b２＝±c２，即a２＝b２＋c２或b２＝a２＋c２.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．２．（变条件）将例题中的条件“（a—c cos B）·sin B＝（b—c cos A）·sin A”换为“lg a—lg c＝lg sin B＝—lg 错误!且B为锐角”，判断△ABC的形状．[解] 由lg sin B＝—lg 错误!＝lg 错误!，可得sin B＝错误!，又B为锐角，∴B＝４５°.由lg a—lg c＝—lg 错误!，得错误!＝错误!，∴c＝错误!a.又∵b２＝a２＋c２—２ac cos B，∴b２＝a２＋２a２—２错误!a２×错误!＝a２，∴a＝b，即A＝B.又B＝４５°，∴△ABC为等腰直角三角形．判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.１．本节课要掌握的解题方法（１）已知三角形的两边与一角，解三角形．（２）已知三边解三角形．（３）利用余弦定理判断三角形的形状．２．本节课的易错点有两处（１）正弦定理和余弦定理的选择已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．（２）利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．１．判断正误（１）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．（）（２）在△ABC中，若a２>b２＋c２，则△ABC一定为钝角三角形．（）（３）在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．（）[答案] （１）√（２）√（３）×[提示] 由余弦定理可知，已知△ABC的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC是唯一的，（３）错误．２．在△ABC中，a＝7，b＝４错误!，c＝错误!，则△ABC的最小角为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cos C＝错误!＝错误!＝错误!，所以C＝错误!，故选Ｂ．]３．（２0１9·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A—b sin B＝４c sin C，cos A＝—错误!，则错误!＝（）Ａ．6 Ｂ．５C．４Ｄ．３A[∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A—b sin B＝４c sin C，cos A＝—错误!，∴错误!解得３c２＝错误!bc，∴错误!＝6．故选Ａ．]４．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,２b＝错误!a，则cos A＝________.错误![由B＝C,２b＝错误!a，可得b＝c＝错误!a，所以cos A＝错误!＝错误!＝错误!.]５．在△ABC中，A＋C＝２B，a＋c＝8，ac＝１５，求b.[解] 在△ABC中，∵A＋C＝２B，A＋B＋C＝１80°，∴B＝60°.由余弦定理，得b２＝a２＋c２—２ac cos B＝（a＋c）２—２ac—２ac cos B＝8２—２×１５—２×１５×错误!＝１9．∴b＝错误!.。

1.3 正弦定理、余弦定理的应用【三维目标】：一、知识与技能1.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题。

2.体会数学建模的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意做出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。

3.了解常用的测量相关术语（如：仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义）；综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题。

4．能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力。

5．规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰。

二、过程与方法通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，熟练运用。

三、情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

【教学重点与难点】：重点：（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤。

难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。

【学法与教学用具】：1. 学法：让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。

生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。

解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。

【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题总结解斜三角形的要求和常用方法（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：①已知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角。