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北师大版初二数学下册第一章三角形的证明1【课题】《线段垂直平分线》【教材来源】义务教育教科书/ 北京师范大学出版社2021年版【学习内容】八年级数学下册第22--24页【授课对象】八年级学生【设计者】【目标确定的依据】1.基于课程标准《数学课程标准（2021年版）》有关本课的要求是：明白得线段垂直平分线的概念，探究并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
2.对教材的明白得本节课是北师大版八年级数学下册第一章第三节的内容，基于学习等腰三角形之后的一节，通过本节课的学习使学生能对等腰三角形有更深刻的认识，对等腰三角形的性质有更深刻的明白得和应用。
让学生通过对定理的证明体会证明的严谨性和必要性。
3、学情分析学生在七年级学习轴对称时，差不多明白了线段垂直平分线的概念，并通过折纸的方法明白得了线段的垂直平分线的性质定理。
在此基础上，通过本节课的学习让学生经历证明的过程体会明白得证明的步骤，进一步熟悉几何（数学）符号语言的运用，为以后证明的学习打下坚实的基础。
【学习目标】1.经历探究、猜想、证明的过程，会证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理，体会证明的必要性.2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定明白得决问题.【学习重点】能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定明白得决问题.【学习难点】探究并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理的过程.【评判任务】1.能够正确找出线段垂直平分线的性质定理和判定定理的条件和结论，并会结合图形写出已知、求证和证明过程.2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理进行运算和推理.教学方法：导学法教学预备：导学稿课件三角板矩形纸教学过程：一、设情激趣导入新课教师用多媒体演示：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建筑一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?问题设置1.所建码头满足什么条件？2.满足那个条件的点在什么地点？什么缘故？3.你是如何明白那个结论的？4.你能证明那个结论吗？这确实是我们本节课要学习的内容《线段垂直平分线》的证明板书：线段垂直平分线【设计意图】通过问题情形，引导学生回忆七年级学习的线段的垂直平分线，从而引入本节课的主题——线段的垂直平分线.【评判要点】会找到码头的位置，并会说出依照“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”二、自主研讨，尝试证明教师鼓舞学生摸索，想方法来解决此问题。
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧记方法：点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直平分底边。
方法之二：1、连接这两个交点。
原理：两点成一线。
等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。
)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。
)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2．如图，已知：在△AB C中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。
1.3线段的垂直平分线一、知识点梳理1.线段垂直平分线性质定理：①线段垂直平分线垂直平分某条线段②线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2.线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3.作图要求：掌握尺规作图做已知线段的垂直平分线4.三角形外心：三角形三条边垂直平分线的交点二、经典题型总结题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用三、解题技巧点睛1.若题目中出现“求一点到某几个点的距离相等”则可以想到运用垂直平分线的性质画出中垂线2.三角形外心也是三角形外接圆的圆心，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在三角形的斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部3.求两条线短的最短距离，通常是想到过一个已知点做已知直线的对称点，连接对称点与另一个已知点的连线即为最短距离。
4.灵活运用垂直平分线逆定理解决题目四、易错点分析在运用线段垂直平分线计算周长的时候容易出现错误五、典型例题分析题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长例题：在△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线DE交AB、AC于点E、D.（1）若△BCD的周长为8,求BC之长. （2）若BC=4,求△BCD的周长.题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度例题：如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°,则∠DBC=___∘.题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题例题：如图,在直角中,∠BAC=90∘,AB=8 ,AC=6 ,DE 是AB 边的垂直平分线,垂足为D ,交BC 于点E ,连接AE ,则△ACE 的周长为________.题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题例题：如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C 之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：点D在AB的垂直平分线上．六、中考真题再现（2019.长沙.9题）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是A．20° B．30° C．45° D．60°（2019.江苏.15题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD 平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长．七、习题巩固训练1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC的度数是（）A．15°B．20°C．65°D．100°2.如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（）A．45°B．60°C．50°D．55°3.如图，在等腰中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则的度数是A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是______.5.如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC=10cm，则B点到P点的距离为______.6.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=__________．7.如图，AD和EF分别是△ABC中BC与AB垂直平分线，且BE+CE＝20cm，则AB＝．8.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝．9.在Rt△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,AC的垂直平分线MN分别与AB,AC交于点D,E,则∠BCD的度数为10.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则的周长的最小值为______．11.如图，某校两个班的学生分别在C，D两处参加植树活动，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个茶水供应点M，使点M到两条路的距离相等，且MD=MC，这个茶水供应点应建在何处?12.如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）根据要求用尺规作图：作斜边AB边上的高CD，垂足为D；（2）求CD的长．13.如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE（垂足为D）交BC的延长线于点E，求线段CE的长．14.如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD,BC的交点,E是AB的中点.求证:OE 是线段AB的垂直平分线.15.如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F，若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．16.两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）17.尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．18.铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.19.已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：（1）到两村的距离相等；（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？20.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在AB上，且AF垂直平分CD，BG垂直平分CE（1）求∠ECD的度数；（2）若∠ACB为α，则∠ECD的度数能否用含α的式子来表示．22.已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．①求证：BE=CF；②若AF=6，BC=7，求△ABC的周长．23.如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC、∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．。
第2课时线段垂直平分线的性质路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
屈原《离骚》原创不容易，【关注】，不迷路！【知识与技能】1.探索并了解线段垂直平分线的有关性质.2.尺规作图.3.应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题.【过程与方法】从生活实践中探索轴对称现象的共同特征，进一步发展空间观念.【情感态度】培养学生的抽象思维和空间观念，结合教学进行审美教育，让学生充分感知数学美，激发学生热爱数学的情感.【教学重点】线段的垂直平分线的性质及作法、应用.【教学难点】用尺规作线段的垂直平分线.一、情景导入，初步认知1.什么是轴对称图形及轴对称图形的性质？2.下列图形哪些是轴对称图形？【教学说明】使学生对小学学过的生活中的轴对称图形进一步加深印象,熟悉轴对称图形及对称轴,为本节课学习做铺垫.二、思考探究，获取新知探究1：线段的对称性1.线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？2.做一做：按下面步骤做：①用准备的线段AB，对折AB，使得点A、B重合，折痕与AB的交点为O.②把纸展开.3.观察自己手中的图形，回答下列问题：①折痕与AB有什么样的位置关系？②AO与OB相等吗？能说明你的理由吗？【归纳结论】①线段是轴对称图形.它的对称轴有两条：一条是线段AB本身所在的直线；另一条是折痕.②它的对称轴垂直于这条线段并且平分它.③垂直于一条线段且平分这条线段的直线叫这条线段的垂直平分线（简称中垂线）.探究2：垂直平分线的性质动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，再换别的点试试，你能发现什么？PA=PBP1A=P1B 由此你能得到什么规律？【归纳结论】线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.【教学说明】可以运用全等来说明.教师适时的引导，学生的动手操作，有利于培养学生的观察和概括能力；充分体现了教师为主导，学生为主体的教学思想.探究3：作线段的垂直平分线1.已知线段AB，请画出它的垂直平分线.作法：第一步:分别以A、B为圆心,以大于AB一半的长度为半径画弧,两弧在AB 的两侧分别相交于点M和点N;第二步:过点M和点N画直线;直线MN就是线段AB的垂直平分线.2.各小组讨论：为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线？【教学说明】尺规作图能培养学生严谨的学习习惯，严密的逻辑思维和空间想象能力.尺规作图既能展现数学美，又能培养学生的学习兴趣.三、运用新知，深化理解1.见教材P124例12.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（B）A.6B.5C.4D.33.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°.线段AB的垂直平分交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（C）A.80°B.70°C.60°D.50°4.如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，求线段DE 的长.解：∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BE=CE.∵△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴EDDC+EC=24，①BE+BD-DE=12.②①-②得，DE=6.5.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=3°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长.解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=A+∠ECD=72°∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5.答：（1）∠ECD的度数是36°；（2）BC长是5.6.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连结BE.试判断EF与DE的数量关系并说明理由.解：（1）直线l即为所求.（2）EF=2DE.理由：在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∴∠ABC=60°，又∵l为线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠EBA=∠A=30°，∠AED=∠BED=60°∴∠EBC=30°=∠EBA，∠FEC=60°又∵ED⊥AB，EC⊥BC∴ED=EC.在Rt△ECF中，∠FEC=60°，∴∠EFC=30°，∴EF=2EC，∴EF=2ED.【教学说明】通过对不同题型的练习来对本节知识进行巩固.四、师生互动,课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.五、教学板书1.布置作业:教材“习题5.4”中第1、2、3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流的方式去获取数学知识.本节的教学主要是通过学生的动手实验来获取中垂线的有关知识，用纸张进行折叠活动使学生真正的经历了数学知识的形成过程，使课堂气氛变得生动而活泼.在得出实验结论后，提供典型的练习题和实际应用题，让学生经历数学知识的应用过程，同时培养他们解决实际问题的能力.【素材积累】从诞生的那一刻起，我们就像一支离弦的箭，嗖嗖地直向着生命的终点射去。
