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习题七7.2(1)分别用节点法和箭线法绘制表7-16的项目网络图，并填写表中的紧前工序。
(2) 用箭线法绘制表7-17的项目网络图，并填写表中的紧后工序表7-16工序 A B C D E F G紧前工序－－－ A C A F、D、B、E紧后工序D,E G E G G G－表7-17工序 A B C D E F G H I J K L M紧前工序- - - B B A,BBD,GC,E,F,HD,GC,E IJ,K,L紧后工序F E,D,F,GI,KH,JI,KIH,JI L M MM－【解】（1）箭线图：节点图：（2）箭线图：7.3根据项目工序明细表7-18：（1）画出网络图。
（2）计算工序的最早开始、最迟开始时间和总时差。
（3）找出关键路线和关键工序。
表7-18工序 A B C D E F G紧前工序- A A B,C C D,E D,E工序时间（周）9 6 12 19 6 7 8【解】(1)网络图(2)网络参数工序 A B C D E F G最早开始0 9 9 21 21 40 40最迟开始0 15 9 21 34 41 40总时差0 6 0 0 13 1 0(3)关键路线：①→②→③→④→⑤→⑥→⑦；关键工序：A、C、D、G；完工期：48周。
7.4 表7-19给出了项目的工序明细表。
表7-19工序 A B C D E F G H I J K L M N 紧前工序- - - A,B B B,C E D,G E E H F,J I,K,L F,J,L 工序时间(天) 8 5 7 12 8 17 16 8 14 5 10 23 15 12（2）在网络图上求工序的最早开始、最迟开始时间。
（3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差。
（4）找出所有关键路线及对应的关键工序。
（5）求项目的完工期。
【解】(1)网络图（2）工序最早开始、最迟开始时间（3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差工序t T ES T EF T LS T LF 总时差S 自由时差FA 8 0 89 1790B 5 0 50 500C 7 0 77 700D 12 8 2017 2999E 8 5 13 5 1300F 17 7 247 2400G 16 13 2913 2900H 8 29 3729 3700I 14 13 2733 472020J 5 13 1819 246 6K 10 37 4737 4700L 23 24 4724 4700M 15 47 6247 6200N 12 47 5950 623 3(4)关键路线及对应的关键工序关键路线有两条，第一条：①→②→⑤→⑥→⑦→○11→○12；关键工序：B,E,G,H,K,M 第二条：①→④→⑧→⑨→○11→○12；关键工序：C,F,L,M（5）项目的完工期为62天。
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题a）12121212min z=23466 ..424,0x xx xs t x xx x++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为min 3z=23032⨯+⨯= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题a）12121212max z=10x5x349 ..528,0x xs t x xx x++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即112122134935282xx xx x x=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，即最优解为*31,2Tx⎛⎫= ⎪⎝⎭这时的最优值为max335z=101522⨯+⨯=单纯形法： 原问题化成标准型为121231241234max z=10x 5x 349..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ j c →10 5B CB Xb 1x2x3x4x0 3x 9 3 4 1 0 04x8[5] 2 0 1 j j C Z -105 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 101x8/51 2/5 0 1/5 j j C Z -1 0 -2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 101x11 0 -1/72/7j j C Z --5/14 -25/14所以有*max 33351,,1015222Tx z ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭P78 2.4 已知线性规划问题：1234124122341231234max24382669,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
《运筹学》课后答案《运筹学》是一门研究如何在有限资源下做出最佳决策的学科，它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识。
掌握运筹学的方法和技巧对于解决实际问题具有重要意义。
下面是《运筹学》课后习题的答案：1. 什么是线性规划问题？线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。
线性规划问题具有优化的特点，即找到一组满足约束条件的解，使得目标函数取得最大（最小）值。
2. 线性规划问题的标准形式是什么？线性规划问题的标准形式是指将目标函数和约束条件都写成标准形式，即目标函数为最大化（最小化）一个线性函数，约束条件为一组线性不等式和线性等式。
3. 线性规划问题的解的存在性和唯一性是什么？线性规划问题的解的存在性和唯一性是由线性规划问题的特殊结构决定的。
如果线性规划问题有有界解（即目标函数有最大（最小）值），则存在解；如果线性规划问题的目标函数有最大（最小）值，且该最大（最小）值只有一个解，则解是唯一的。
4. 什么是单纯形法？单纯形法是一种解线性规划问题的常用方法，它通过迭代计算来逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是从一个初始可行解出发，通过一系列变换（包括基变换、基可行解的改进等）来逐步接近最优解。
5. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划问题的一个重要理论基础，它通过将原问题转化为对应的对偶问题来研究线性规划问题。
对偶理论可以帮助我们理解线性规划问题的性质和结构，并且可以通过对偶问题的解来得到原问题的解。
6. 什么是整数规划问题？整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，将决策变量的取值限制为整数的问题。
整数规划问题具有更为复杂的性质，其解的搜索空间更大，求解难度更大。
7. 什么是分支定界法？分支定界法是解整数规划问题的一种常用方法，它通过将整数规划问题分解为一系列线性规划子问题，通过不断分支和约束来逐步缩小解的搜索空间，最终找到最优解。
8. 什么是动态规划？动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它通过将问题分解为一系列子问题，并且利用子问题的解来构建整体问题的解。
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题min z=2x1 3x2a4x1 6x2 6 ）2x2 4 st.. 4x1x1, x2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集 MABCN，且可知线段 BA上的点都为最优解，即该问题有无量多最优解，这时的最优值为3z min =23 0 3 2P47 1.3 用图解法和纯真形法求解线性规划问题max z=10x1 5x 2a ）3x1 4x2 95x1 2x2 8st..x1, x2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知 B 点为最优值点，3x1 4x2x1 1 T 9 3，即最优解为x*1,3即2x2 8x2 2 5x1 2这时的最优值为 z max =10 1 5 3 35 2 2纯真形法：原问题化成标准型为max z=10x15x23x1 4 x2x39st.. 5x12x2x48x1 , x2 , x3 ,x4 010 5 0 0c jC B X B b x1 x2 x3 x49 3 4 1 0x38 [5] 2 0 1x410 5 0 0C j Z j21/5 0 [14/5] 1 -3/5 x38/5 1 2/5 0 1/5 10x10 1 0 -2C j Z j53/2 0 1 5/14 -3/14 x21 1 0 -1/7 2/7 10x10 0 -5/14 -25/14C j Z j1,3 T1015335因此有 x*, zmax2 2 2P78 2.4 已知线性规划问题：max z 2 x1 4x2 x3 x4x1 3x2 x4 82x1 x2 6x2 x3 x4 6x1 x2 x3 9x1 , x2 , x3,x4 0求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X* (2,2,4,0) ，试依据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：min w 8 y1 6 y2 6 y3 9 y4y1 2 y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4y3 y4 1y1 y3 1y1, y2 , y3 ,y4 0（2）由原问题最优解为X* ( 2,2,4,0) ，依据互补废弛性得：y1 2 y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4y3 y4 1把 X * (2,2,4,0) 代入原线性规划问题的拘束中得第四个拘束取严格不等号，即 2 2 4 8 9 y4 0y1 2 y2 2进而有3y1 y2 y3 4y3 1得 y 4 , y2 3, y31, y 01 5 5 4( 4,3,1,0)T，最优值为w min16因此对偶问题的最优解为y*5 5P79 2.7考虑以下线性规划问题：min z 60x140x280x33x12x2x3 24x1x23x3 42x12x22x3 3x1, x2 , x30（ 1）写出其对偶问题；（ 2）用对偶纯真形法求解原问题；解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：max w 2y1 4 y23y33y1 4 y2 2 y3602 y1 y22y340y13y22y380y1, y2 , y30（2）在原问题加入三个废弛变量x4 , x5 , x6把该线性规划问题化为标准型：max z 60x1 40x2 80x33x1 2x2 x3 x4 24x1 x2 3x3 x5 42 x1 2x2 2x3 x6 3x j 0, j 1, ,6c j-60 -40 -80 0 0 0 C B X B b x1 x2 x3 x4 x5 x6x4-2 -3 -2 -1 1 0 0x5-4 [-4] -1 -3 0 1 0x6-3 -2 -2 -2 0 0 1 C j Z j-60 -40 -80 0 0 0x41 0 -5/4 5/4 1 -1/12 080x11 1 1/4 3/4 0 -1/4 0x6-1 0 [-3/2] -1/2 0 -1/2 1C j Zj0 -25 -35 0 -15 0x411/6 0 0 5/3 1 1/3 -5/680x15/6 1 0 2/3 0 -1/3 1/640x22/3 0 1 1/3 0 1/3 -2/3C j Zj0 0 -80/3 0 -20/3 -50/3x* ( 5 , 2 ,0) T , z max 60 5 40 2 80 0 2306 3 6 3 3P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、资料等相关数据见下表。
西南财经大学出版社主编董君成 《运筹学》 课后题解参考答案第一章 线性规划及单纯形法1.（1）3. 解：（ 1）z25,x 1 15,x 2 5,x3 0 （2）有无穷多个最优解 ，例如 x 1 4,x 2 0, x3（3） z *5.4 , x 1 0.2,x 2 0, x 3 1.6（5） z 15 .x 1 2.5,x 2 2.5,x 3 2.5,x 4（7） 无可行解。
（ 8） z0 .x 1 0,x 2 0（9） z 7.08 .x 1 0,x 2 0, x 3 1.35 , x 4（11）z 35.6 .x 1 9.8, x 2 4.2,x 3 0, x 4； 或x 1 （4） 0,x 2*z * 0,x 3 8等 ，此时 z *8. .5 ,x 11,x 2 1,x 3 0.5（6） z 260 . x 1 6,x 2 2,x 3 0.x34,x 4.0.21 （10） z 70 . x 1 16,x 2 0,x 3 10 3.4 （12） z46 . x 1 14, x 2 0,x 3 44. 解：设决策变量 x11 , x12分别表示第一年投资到项目Ⅰ、Ⅱ的资金额；x21, x23分别表示第二年投资到项目Ⅰ、Ⅲ的资金额； x31, x34 分别表示第三年投资到项目Ⅰ、Ⅳ的资金额。
则得线性规划模型如下：maxZ 0.2x 11 0.2x 210.2x 31 0.5x 12 0.6x 230.4x 34x11 x123000000.2x 11x 21 x 12x 233000000.2x 11 0.2x 21x 31 0.5x 12x23 x 34300000x 12200000x23150000x34100000x 11 ,x 21 ,x 31 ,x 12 ,x 23 ,x 34 02x 1 5x 2 3x 3 5x 4 5x 4 x 6 3 x 1 x 2 3x 3 x 4 x 4 x 5 14 2x 4x 4x 5x 5x 18 1 2 3 4 4 2x 1 3x 2 x 3 2x 4 2x 4 x 6 2x 0,x 0,x 0,x 0,x 0 1 2 3 4 4x 1,x 2,x 3,x 4, x 4 , x 5, x 6*2. （ 1） 有唯一最优解， z9 2 ,x 1 3 2,x 2 12 ； （ 2 ）无可行解； （3）有无穷多个最优解， z *66；（ 4）有唯一最优解， z 15,x1maxz 3x 1 2x 2 4x 3 8x 4 8x 4 min z3x 1 4x 2 2x 3 5x 4 5x 4x 1 2x 2 5x 3 6x 4 6x 4 x 5 8 4x 1 x 2 2x 3 x 4 x 425,x 2 10 5. 解： (1)d 0,c10, c 2 0 ；(2) d0,c 1 0, c 2, 但c 1 ,c 2中至少有一个为零 ；3） d 0 ，或 d 0 ，而 c 1 0 ，且d 43 a2 ；( 4 ) c10，d 4 3 a 2；(5)c 2 0, a 16） x 5为人工变量，且 c 1 0,c 2.；6. 解：（ 1）解得 z440000 ,x 1 40, x 2 602)解得z 380000 , x 1 40, x 2 60(2)7.设 x ij 为生产 i 种糖果所使用的 j种原材料数，i1,2,3分别代表甲、乙、丙， j 1,2,3 分别代表 A 、B 、C其数学模型为max z (3.4 0. 5)( x 11 x 12x 13 ) (2.85 0 .4)( x 21 x 22 x 23 (2.25 0.3)( x 31 x 32x 33) 2.0(x 11 x 21 x 31) 1.5(x 12x 221.0(x 13 x 23 x 33 )x32 )578第二章 对偶理论与灵敏度分析min w 10y 1 17y 2 12y 3 25y 4min w 10y 1 17y 2 12y 3 25y 4 3y 5y 1 y 2 6y 3 12y 4 1y 2y y 21. (1)y 1 y 2 7y 3 9y 4 2 21 2 33y 2 3y 3 y 4 y 5 3 y 1 y 2 3y 3 9y 4 3 y 1 y 2 4y 3 7 3y 1 3y 2 5y 3 9y 4 4 2y 1 2y 2 83y 1 3y 2 5y 3 9y 4 4y 1，无约束 ， y 2,y 3, y 4,y 5 0y 1，y 2,y 3,y 4 02 原 问 题 的 最 优 解 为 ： （0,0,4,4）Tx 11x21x312000x12x22x322500x13 x23x33 1200x110.6x210.15x 11x12x13x21 x22x23x130.2x230.6x11 x12 x13 x21x22x23x330.5xx31 x32x33ij8. 解：设x i (i1，2，3，4，5， 6）为第 i 班开始上班的服务员人数。
运筹学课后习题答案运筹学课后习题答案运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。
它涉及到数学、统计学和计算机科学等多个领域，旨在解决实际问题中的优化和决策难题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是巩固知识和理解概念的重要方式。
下面将为大家提供一些运筹学课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中最基本的问题之一。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的决策变量的取值。
以下是一个线性规划问题的示例及其答案：问题：某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元。
产品A每单位需要2个工时，产品B每单位需要3个工时。
公司总共有40个工时可用。
如果公司希望最大化利润，应该生产多少单位的产品A和产品B？答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y。
根据题目中的约束条件可得到以下线性规划模型：目标函数：Maximize 3x + 4y约束条件：2x + 3y ≤ 40x ≥ 0, y ≥ 0通过求解这个线性规划模型，可以得到最优解为x = 10，y = 10。
也就是说，公司应该生产10个单位的产品A和10个单位的产品B，以最大化利润。
2. 项目管理问题项目管理是运筹学的一个重要应用领域。
它涉及到如何合理安排资源、控制进度和降低风险等问题。
以下是一个项目管理问题的示例及其答案：问题：某公司需要完成一个项目，该项目包含5个任务。
每个任务的完成时间和前置任务如下表所示。
为了尽快完成项目，应该如何安排任务的执行顺序？任务完成时间（天）前置任务A 4 无B 6 无C 5 AD 3 BE 7 C, D答案：为了确定任务的执行顺序，可以使用关键路径方法。
首先，计算每个任务的最早开始时间和最晚开始时间。
然后，找到所有任务的最长路径，即关键路径。
关键路径上的任务不能延迟，否则会延误整个项目的完成时间。
根据上表中的信息，可以得到以下关键路径：A → C → E，最长时间为4 + 5 + 7 = 16天因此，任务的执行顺序应为A → C → E。
运筹学（第2版）习题答案2第1章 线性规划 P36~40第2章 线性规划的对偶理论 P68~69 第3章 整数规划 P82~84 第4章 目标规划 P98~100 第5章 运输与指派问题 P134~136 第6章 网络模型 P164~165 第7章 网络计划 P185~187 第8章 动态规划 P208~210 第9章 排队论 P239~240 第10章 存储论 P269~270 第11章 决策论 Pp297－298 第12章 博弈论 P325~326 全书360页由于大小限制，此文档只显示第6章到第12章，第1章至第5章见《运筹学课后答案1》习题六6.1如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
【解】边[i ，j ]的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最小部分树内边0],[1j i x ij数学模型为：,12132323243434364635365612132434343546562324463612132446362335244656121324354656m in 52,22,233344,510ij ijij i j ij Z c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==++≤++≤++≤++≤+++≤+++≤+++≤++++≤++++≤+++++≤=∑或,[,]i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩所有边6.2如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
图6－42【解】弧(i ，j )的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最短路径中弧0),(1j i x ij数学模型为：,1213122324251323343524344546253545564656m in 100,00110,(,)ijiji jij Z cx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =⎧+=⎪---=⎪⎪+--=⎪⎪+--=⎨⎪++-=⎪⎪+=⎪=⎪⎩∑或所有弧 6.3如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最大流问题的线性规划数学模型。
运筹学课后习题及答案运筹学是一门应用数学的学科，旨在通过数学模型和方法来解决实际问题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是非常重要的一部分，它不仅可以帮助我们巩固所学的知识，还可以提升我们的解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些运筹学课后习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它旨在寻找线性目标函数下的最优解。
以下是一个线性规划问题的例子：Max Z = 3x + 4ySubject to:2x + 3y ≤ 10x + y ≥ 5x, y ≥ 0解答：首先，我们可以画出约束条件的图形，如下所示：```y^|5 | /| /| /| /|/+-----------------10 x```通过观察图形，我们可以发现最优解点是(3, 2)，此时目标函数取得最大值为Z = 3(3) + 4(2) = 17。
2. 整数规划问题整数规划是线性规划的一种扩展，它要求变量的取值必须是整数。
以下是一个整数规划问题的例子：Max Z = 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 52x + y ≤ 8x, y ≥ 0x, y为整数解答：通过计算，我们可以得到以下整数解之一：x = 2, y = 3此时，目标函数取得最大值为Z = 2(2) + 3(3) = 13。
3. 网络流问题网络流问题是运筹学中的另一个重要分支，它研究的是在网络中物体的流动问题。
以下是一个网络流问题的例子：有一个有向图，其中有三个节点S、A、B和一个汇点T。
边的容量和费用如下所示：S -> A: 容量为2，费用为1S -> B: 容量为3，费用为2A -> T: 容量为1，费用为1B -> T: 容量为2，费用为3A -> B: 容量为1，费用为1解答：通过使用最小费用最大流算法，我们可以找到从源点S到汇点T的最小费用流量。
在该例中，最小费用为5，最大流量为3。
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章 线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？ 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。
基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,86238321321321x x x x x x x x x解：标准化 32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++0,,,,862385432153214321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表故最优解为T X )6,0,2,0,0(*=，即2,0,0321===x x x ，此时最优值为4*)(=X Z ． 6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。
一、思考题1. 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？2. 线性规划问题的一般形式有何特征？3. 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4. 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5. 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6. 什么是线性规划的标准型，如何把一个耳非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7. 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9. 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10 .大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11. 什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？二、判断下列说法是否正确。
1. 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2. 线性规划的可行解集是凸集。
3. 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
4. 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
5. 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
CT i A 07. 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与J对应的变量都可以被选作换入变量。
8 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9.单纯形法计算中，选取最大正检验数 k 对应的变量 x k 作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。
10 . 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
1、一洛+4x2兰24% +x2工85兰捲＜10X2 一0解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4第一章线性规划由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划：Min z=2x i +X22为一x 2色2 « -2x 1 +3x 2 兰 2 x i , x 2 > 0解:2XI -X 2=O由图可得：最优解 Max z=5x 1+6x 2, Max z= +::Max z=5x1+6x2Z =5X ：+6X 2-XI +3X 2=2Maxz = 2x 1 +X2'5x1 兰15』6x i + 2x2 2 <24X\+x2 <5x ,x2>0X"i + x2 = 5 X"i = 3 由图可得：最大值」1 2, 所以」1a = 3 、x2=2 max Z = 8.5. maxZ = 2\ 3x 2 % +2x 2 兰 8 4x ^16 4x 2 胡2 X j _0,j =1,2X j +x 2 +x 3 兰7 』X i -X 2 +X 3 3 2_3片 +x 2 +2x 3 = -5 x^ 0, X 20, X 3无约束解：令 Z' =-Z,引进松弛变量 X 4 _ 0，弓I 入剩余变量 X 5 _ 0,并令 X 3=X 3 ' -x 3'X 3' _0,x 3''- 0Max z ' =-x i +2x 2-3x 3' +3x 3''捲 +x 2 +x 3'—x 3'' +& =7 』X 1 _X 2 +X 3'—X 3''_X s =2 一3为 +X 2 +2x 3 = -5* Z0,x 2 »0,x 3它0,x 3'它0,x 4 AO, x 5 王0i-2x 2+3x 3,其中2.6将线性规划模型化成标准形式:Min z=x-2% + x 2 + x 3 兰 9 』—3为 +x 2 +2x 3 K4 4X i —2x ? —3X 3 = —6 X i <0, X 2 KO, X 3无约束-解：令Z ' = -z ，引进松弛变量X 4亠0,引进剩余变量X 5亠0,得到一下等价的标准形式。
《管理运筹学》第四版课后习题解析(上)《管理运筹学》第四版课后习题解析（上）第2章 线性规划的图解法1．解：（1）可行域为OABC 。
（2）等值线为图中虚线部分。
（3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解1x =127，2157x =；最优目标函数值697。
图2-12．解：（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解120.20.6x x =⎧⎨=⎩，函数值为3.6。
图2-2（2）无可行解。
（3）无界解。
（4）无可行解。
（5）无穷多解。
（6）有唯一解 1220383x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，函数值为923。
3．解：（1）标准形式12123max 32000f x x s s s =++++1211221231212392303213229,,,,0x x s x x s x x s x x s s s ++=++=++=≥（2）标准形式1212min 4600f x x s s =+++12112212121236210764,,,0x x s x x s x x x x s s --=++=-=≥（3）标准形式12212min 2200f x x x s s ''''=-+++ 1221122122212212355702555032230,,,,0x x x s x x x x x x s x x x s s '''-+-+=''''-+=''''+--=''''≥4．解：标准形式1212max 10500z x x s s =+++1211221212349528,,,0x x s x x s x x s s ++=++=≥松弛变量（0，0）最优解为 1x =1，x 2=3/2。
5．解：标准形式12123min 118000f x x s s s =++++121122123121231022033184936,,,,0x x s x x s x x s x x s s s +-=+-=+-=≥剩余变量（0, 0, 13）最优解为 x 1=1，x 2=5。
西南财经大学出版社主编董君成《运筹学》课后题解参考答案第一章 线性规划及单纯形法1.（1） (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥''≥'≥≥≥=''+'-++=+''+'-++-=-''-'+++''+'-++=0,0,0,0,018554423553528665288423max 443214432164432154432144321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'''=-''-'+-+-=+''+'-++-=''+'-+-''-'+-+-=0,,,,,,2223214322455243min 65443216443215443214432144321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z2. （1）有唯一最优解，1,23,921*===x x z ；（2）无可行解；（3）有无穷多个最优解，66*=z ；（4）有唯一最优解，10,5,1521*===x x z .3. 解：（1）0,5,15,25321*====x x x z（2）有无穷多个最优解 ，例如0,0,4321===x x x ；或 8,0,0321===x x x 等 ，此时8*=z .（3）6.1,0,2.0,4.5321*====x x x z （4）5.0,1,1,5.6321*====x x x z（5） 0,5.2,5.2,5.2.154321=====*x x x x z （6） 0,2,6.260321====*x x x z . （7） 无可行解。
（8） 0,4,0,0.04321=====*x x x x z .（9） 21.0,35.1,0,0.08.74321=====*x x x x z （10） 10,0,16.70321-====*x x x z . （11）4.3,0,2.4,8.9.6.354321=====*x x x x z （12） 4,0,14.46321-====*x x x z4. 解：设决策变量1211,x x 分别表示第一年投资到项目Ⅰ、Ⅱ的资金额；2321,x x 分别表示第二年投资到项目Ⅰ、Ⅲ的资金额；3431,x x 分别表示第三年投资到项目Ⅰ、Ⅳ的资金额。
则得线性规划模型如下：3423123121114.06.05.02.02.02.0max x x x x x x Z +++++=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤≤++-+--≤+++-≤+0,,,,,1000001500002000003000005.02.02.03000002.0300000342312312111342312342312312111231221111211x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x5. 解：(1) 0,0,021<<≥c c d ；(2) 0,0,021≤≤≥c c d , 但 21,c c 中至少有一个为零 ；（3）0=d ，或 0>d ，而01>c ，且234a d =；（4）01>c ，234a d >； （5）0,012≤>a c ；（6）5x 为人工变量，且0,021≤≤c c .6. 解：（1）解得 60,40,44000021===*x x z ；（2）解得 60,40,38000021===*x x z7.设ij x 为生产i 种糖果所使用的j 种原材料数，3,2,1=i 分别代表甲、乙、丙，3,2,1=j 分别代表A 、B 、C 。
其数学模型为)(0.1)(5.1)(0.2))(3.025.2()(4.085.2())(5.04.3(max 332313322212312111333231232221131211x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ++-+++-++-++-+++-+++-=578⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤++≥++≥++≤++≤++≤++05.06.02.015.06.01200250020003332313323222123131211132322212113121111332313322212312111ij x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x8. 解：设=i x i (1，2，3，4，5，6）为第i 班开始上班的服务员人数。
则数学模型：654321min x x x x x x Z +++++=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥+)6,,1(0304070809080655443322116 j x x x xx x x x x xx x x j9. 解：设)4,3,2,1(=j x j 为第j 种产品的生产数量，则有43214321256.295.325.2752385549max x x x x x x x x Z ----+++=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≤++≤++0,,,701510120101020150202010432132431421x x x x x x xx x x x x其中：49=65-16 ；27.5=200/20 + 150/10 ，依次类推。
10. 解：设j i x )3,2,1;4,3,2,1(==j i 为第j 台制衣机生产第i 种服装的天数，则有：∑∑∑===++=41413241115010080min i i i i i i x x x Z⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≥≤++≤++≤++≤++)3,2,1;4,3,2,1(080004504101507000680350200900070045028010000800600300434241333231232221131211j i x x x x x x x x x x x x x j i第二章 对偶理论与灵敏度分析1.(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+++--≥++-≥---≥+-+-+-+=0,,4953349533393297112625121710min 4321432143214321432143214321y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y w ， (2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+-≥++-≥-+-≥++-+-+=0,,,8227433322325121710min 5432121321543232154321y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y w ，，无约束2. 原问题的最优解为： T）（4,4,0,05793. (1)对偶问题是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥++≥+≥++≥++++=0,,32221434223804060min 32132143321321321y y y y y y y y y y y y y y y y y w（对偶即原问题，因此（2）、（3）的计算结果完全相同。
4. （1）对偶问题最优解为：321=x ，382=x ，10min =w（2）对偶问题的最优解为：（)0,7,6,0,0,0,3）9min =z5.（1） )0,3,9,0,0(=*X ；117max =z （2）)0,0,5,5,0(=*X ；90max =z（3）此时3x 的检验数为07)]2(035[83<-=-⨯+⨯-='σ，所以线性规划问题的最优解不变。
（4）此时1x 的检验数为05501401)0,5(51<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---='σ，所以线性规划问题的最优解不变。
（5）)0,15,0,25,225,0(=*X ；95max =z （6）线性规划的最优解不发生变化。
6.（1）分别用1x 、2x 、3x 代表原稿纸、日记本和练习本的每月生产量。
建立线性规划模（2）临时工影子价格高于市场价格，故应招收。
用参数规划计算确定招200人为最适宜。
7.（1）)0,0,0,322,116,15833(=*X ；152029max =z （2）设备B 的影子价格为154（千元/台时），而借用设备的租金为6018（千元/台时）>154（千元/台时），所以借用B 设备不合算。
（3）0300378>=σ，所以生产产品Ⅴ合算 （4）030025341291507,154,10035.41>=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-='σ，所以改进技术后能够带来更多的经济效益。
8.（1）当380≤≤t 时，最优解为220)(max );0,10,10,0(==*t z X当538≤<t 时，最优解为t t z X 15180)(max );5,0,15,0(+==* 当5>t 时，最优解为t t z X 30105)(max );5,0,0,15(+==*580（2）当50≤≤t 时，最优解为)50(306)(max );0,5,210,0,210(≤≤+=-++=*t t t z t t t X当5>t 时，最优解为)255(355)(max );5,0,0,15,210(≤<+=-++=*t t t z t t t X第三章 运输问题复习思考题答案1～8 答案略9. 1）×；2）×；3）√；4）√；5）√；6）×；7）√；8）√；9）√；10）√；11）×； 习 题 答 案1.（2）2. （1（2）2,2,1413513≥≥≥c c c3.4.581最大赢利为：720002800)500025002500(10max =-++⨯=z （元） 5. 总运费为：473024036201500260015401500max =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=z （元） 保持最优解不变的33c 值应满足01433≥-c ，01033≥-c ，01633≥-c161433≤≤c5828. （1）能，（2），（3）不能10. 解：（1）制定最优生产计划单位运价表中的数字表示成本，其计算：当季生产当季销售，总成本＝生产成本；前季生产后季销售，总成本＝生产成本+储存成本；后季生产前季销售不可能，总成本为M ,于是得单位运价表和产销平衡表如下：产销平衡表与单位运价表 最优生产计划 1 234生产量1234生产量1 56 7 8 14 1 10 4 14 2 M56 7 15 2 14 1 15 3 M M67 15 3 15 15 4 M MM6 13 4 8 8 需求量1014208需求量1014208总成本：292万元 （2）加班生产计划产销平衡表与单位运价表 最优生产计划1234生产量1234生产量1季正常生产5678141季正常生产10 3 12需求季度 生产 季度需求 季度 生产 季度需求 季度生产 季度 需求季度 生产 季度5831季加班生产 6 7 8 9 2 1季加班生产 2季正常生产 M 5 6 7 15 2季正常生产 12 3 15 2季加班生产 M 67 8 2 2季加班生产 2 2 3季正常生产 MM6 7 15 3季正常生产 15 15 3季加班生产 M M 7.28.2 2 3季加班生产 4季正常生产 M M M 6 13 4季正常生产 8 8 4季加班生产 MMM7.2 2 4季加班生产 需求量1014208需求量1014208第四章 整数规划复习思考题答案1～5 答案略6. 1）×；2）√；3）×；4）×；5）√；6）√；7）√；8) √ ；9) √ ；10) √ ；11) × ；12) √ ；习 题 答 案1.(1) 340,)2,4(==**Z X T(2) 58,)4,2(==**Z X T（3）14,)2,4(==**Z X T(4) 5)0,5(,)1,4(21===***Z X X TT2. （1） 7);7,0(),1,3()2()1(===z x x （2）最优解16);2,5(==z x （3）4,3,121===Z x x （4）5,1,421===Z x x3.从而得最优解)1,0,1(),,(*3*2*1=x x x ，最优值8*=z 。
