【省会检测】2018年福建省福州市高考数学一模试卷(文科)

福州市高考数学一模试卷（文科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·长安期末) 设函数的定义域，函数的定义域为 ,则=（）A .B .C .D .2. （2分）(2014·安徽理) “x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）复数（其中i为虚数单位）的虚部等于（）A . -iB . -1C . 1D . 04. （2分）设函数，，则（）A . 0B . 38C . 56D . 1125. （2分）(2013·江西理) 阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（）A . S=2*i﹣2B . S=2*i﹣1C . S=2*ID . S=2*i+46. （2分） (2018高一上·西宁期末) 已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）A . 函数的最小正周期为B . 函数的值域为C . 函数的图象关于直线对称D . 函数的图象向左平移个单位得到函数的图象7. （2分）已知函数f（x）= ，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤2m2﹣ m恒成立，则实数m的取值范围是（）A .B .C . [1，+∞）D .8. （2分）已知tanα=2（α∈（0，π）），则cos（+2α）=（）A .B .C . -D . -9. （2分）△ABC中，• =2 ，∠BAC=30°，M为其内部一点，且△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则 + 的最小值为（）A . 20B . 19C . 16D . 1810. （2分）(2014·广东理) 若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m 和n，则m﹣n=（）A . 5B . 6C . 7D . 811. （2分）(2017·太原模拟) 函数f（x）= 的图象大致为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数f（x）=（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1）B . （﹣∞，0）C . （﹣1，0）D . [﹣1，0）二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=________14. （1分） (2017高二下·临沭开学考) 曲线y=ex+2在P（0，3）处的切线方程是________．15. （1分）函数在区间上的最小值是________．16. （1分） (2017高二下·武汉期中) 已知函数f（x）的导函数f′（x）=3+cosx，x∈（﹣1，1），且f（0）=0，如果f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0，则实数x的取值范围为________．三、解答题： (共8题；共60分)17. （5分）(2017·东城模拟) 在△ABC中，．（Ⅰ）若c2=5a2+ab，求；（Ⅱ）求sinA•sinB的最大值．18. （10分） (2016高二上·方城开学考) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），a3=5，S10=100．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2 +2n求数列{bn}的前n项和Tn．19. （5分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）2327表中的数据显示，与y之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算y关于的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 = ， = ﹣．20. （15分） (2018高一上·杭州期中) 已知定a∈R，f（x）=log2（1+ax）．（1）求f（x2）的值域；（2）若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0的解集恰有一个元素，求实数a的取值范围；（3）当a＞0时，对任意的t∈（，+∞），f（x2）在[t，t+1]的最大值与最小值的差不超过4，求a的取值范围．21. （5分）(2017·辽宁模拟) 已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=e﹣3处的切线方程；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）恒成立，求实数λ的取值范围．（Ⅲ）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1 ， x2 ，求证：|x1﹣x2|＜ a+1+ ．22. （5分）如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．23. （10分） (2018高二下·深圳月考) 已知圆的参数方程为（为参数），若是圆与轴正半轴的交点，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，设过点的圆的切线为 .（1）求直线的极坐标方程；（2）求圆上到直线的距离最大的点的直角坐标.24. （5分）已知f（x）=ax2+bx+1．（1）若f（x）＞0的解集是（﹣1，2），求实数a，b的值．（2）若A={x|f（x）＞0}，且﹣1∈A，2∈A，求3a﹣b的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共8题；共60分)17-1、18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、20-1、20-2、20-3、22-1、23-1、23-2、24-1、。

福建省福州市市第八中学2018年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设,是两条不同的直线, ,,是三个不同的平面．有下列四个命题：①若，，，则；②若，，则；③ 若，，，则；④ 若，，，则．其中错误命题的序号是（）A.①④B.①③C.②③④D.②③参考答案：A2. 函数的反函数是（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：A解析：对于x>1，函数>0，解得，=，∴原函数的反函数是，选A.3. 设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，则{}，[],A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列参考答案：B解析：可分别求得，.则等比数列性质易得三者构成等比数列.4. 函数的图像大致是()参考答案：D5. 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．参考答案：D考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的前n项和公式求解．解答：解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．故选：D．点评：本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．6. 已知函数,若则实数的取值范围是（）A B C D参考答案：C因为函数为奇函数，且当时，为增函数，所以为增函数，所以由得，即，解得，选C.7. 已知函数是R上的奇函数，在区间上具有单调性，且图象的一条对称轴是直线，若锐角△ABC满足，,则的值为A. B. C. D.参考答案：A∵函数是上的奇函数∴又∵∴，则∵图象的一条对称轴是直线∴∴∵函数在区间上具有单调性又∵函数包含原点的单调区间为∴，则∵∴，则∵，∴，∵是锐角三角形∴，∴，∴，∴，则故选A8. 在平面直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，设(m,n∈R)，则的最大值为（）A．-1 B．1 C. 2 D．3参考答案：B9. 设等比数列{a n}的前n项为S n，若a1=2，=21，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．或D．或参考答案：C【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列前n项和公式得q4+q2﹣20=0，从而q=±2．由此能求出数列{}的前5项和．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项为S n，a1=2，=21，∴===21，整理，得q4+q2﹣20=0，解得q=±2．当q=2时，，数列{}的前5项和为当q=﹣2时，a n=2×（﹣2）n﹣1，数列{}的前5项和为=．∴数列{}的前5项和为或．故选：C．【点评】本题考查等比数列的前5项和的求法，是中档题，解题时认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．10. 在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且，则是-------------------------------------------------------（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知x＞0，y＞0且x+y=2，则++的最小值为．参考答案：3考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式．分析：由基本不等式可得，然后对已知式子进行求解即可解答：解：∵x＞0，y＞0且x+y=2∴=1（当且仅当x=y=1时取等号）则++==3（当且仅当x=y时取等号）即++的最小值3故答案为：3点评：本题主要考查基本不等式在求解最值中的应用，解题时要注意等号成立条件的检验12. 已知，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为___________．参考答案：解：由对称性点在平面内的射影必在的平分线上作于，连结则由三垂线定理，设，又,所以，因此直线与平面所成角的正弦值13. 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_____参考答案：(－1,0)【分析】将有两个不同的零点转化为直线与图象有两个不同的交点；利用导数得到图象，结合直线过定点，利用数形结合可知当与相切时，只需即可；利用过一点曲线切线斜率的求解方法求出切线斜率，从而得到的范围.【详解】由题意得：的定义域为：由有两个不同的零点可知：方程有两个不同的解令直线与图象有两个不同的交点又则当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减又时，；时，可得图象如下图所示：恒过点如图所示，当与相切时，只需即可使得直线与图象有两个不同的交点设切点，解得：，即当时，直线与图象有两个不同的交点即时，有两个不同的零点本题正确结果：【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，常用方法是将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过数形结合的方式来进行求解；关键是能够通过直线恒过定点，确定临界状态，进而利用过某点切线斜率的求解方法求得临界值.14. 设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A 的一个“孤立元”，给定A={1,2,3,4,5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有个。

2018年福建省福州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，B＝{x|﹣1＜x…≤4}，则集合A∩B 中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）已知复数z＝，则z的虚部是（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为（）A．﹣6B．0C．2D．64．（5分）已知单位向量，的夹角为，则•（+2）＝（）A．B．1+C．2D．1+5．（5分）已知等差数列{a n}的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，则a n＝（）A．2n+1B．2n+2C．n+1D．n+26．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．+3B．+6C．+3D．+67．（5分）“b∈（﹣1，3）”是“对于任意实数k，直线l：y＝kx+b与圆C：x2+（y﹣1）2＝4 恒有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）如图程序框图是为了求出满足1+++……+＜1000的最大正整数n的值，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．“S＜1000”和“输出i﹣1”B．“S＜1000”和“输出i﹣2”C．“S≥1000”和“输出i﹣1”D．“S≥1000”和“输出i﹣2”9．（5分）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交C于A，B两点，若|AF|＝3|BF|＝3，则p＝（）A．3B．2C．D．110．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．已知四面体ABCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB＝BD＝CD＝2，且该鳖臑的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．3πB．2πC．4πD．12π11．（5分）设函数f（x）＝，则满足f（x2﹣2）＞f（x）的x 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）12．（5分）在首项都为3的数列{a n}，{b n} 中，a n+1﹣a n＝3，b2＝9，b n+1﹣b n ＜2×3n+，b n+2﹣b n＞8×3n﹣1，且b n∈Z，则数列{a n+b n} 的前50项的和为（）A．B．350+3825C．D．351+3825二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）函数f（x）＝cos（x+）+cos（x﹣）的最大值为．14．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1．若在菱形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率是15．（5分）已知函数f（x）对任意的x∈R都满足f（x）+f（﹣x）＝0，f（x+）为偶函数，当0＜x…≤时，f（x）＝﹣x，则f（2017）+f（2018）＝．16．（5分）已知F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A是C的虚轴的一个端点．若C的左支上存在一点P，使得|P A|+|PF|≤ 4a，则C 的离心率的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c（sin C﹣sin B）＝（a﹣b）（sin A+sin B）．（1）求A；（2）若BC边上的高h＝，b＝，求△ABC的面积．18．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为正三角形，AB＝AA1，点D在棱BC上，且CD＝3BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点．（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；（2）若AB＝4，求点C1与平面DEF的距离．19．（12分）某技术公司新开发一种产品，分别由A，B两条生产线生产．为了检测该产品的某项质量指标值（记为Z），现随机抽取这两条生产线的产品各100件，由检测结果得到如下频率分布直方图：（1）该公司规定：当Z≥76时，产品为正品；当Z＜76时，产品为次品．试估计A，B两条生产线生产的产品正品率分别是多少？（2）分别估计A，B两条生产线的产品质量指标值的平均数（同一组数据中的数据用该组区间的中点值作代表），从平均数结果看，哪条生产线的质量指标值更好？（3）根据（2）的结果，能否认为该公司生产的产品符合“质量指标值不低于84的产品至少要占全部产品40%”的规定？20．（12分）在三角形MAB中，点A（﹣1，0），B（1，0），且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）设点D（﹣2，0），过B的直线与E交于P，Q两点，求证：∠PDQ不可能为直角．21．（12分）已知函数f（x）＝（e x﹣1）（x﹣a）+ax．（1）当a＝1时，求f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝2．已知点Q为曲线C1的动点，点P在线段OQ上，且满足|OQ|•|OP|＝4，动点P的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△AOB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）＝x2﹣|x|+1．（1）求不等式f（x）≥2x的解集；（2）若关于x的不等式f（x）在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．2018年福建省福州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，B＝{x|﹣1＜x…≤4}，则集合A∩B 中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，B＝{﹣1＜x…≤4}，∴A∩B＝{1，3}．集合A∩B中元素的个数为2．故选：B．2．（5分）已知复数z＝，则z的虚部是（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵z＝＝，z的虚部是．故选：B．3．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为（）A．﹣6B．0C．2D．6【解答】解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图：联立，解得O（0，0），化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z．由图可知，当直线y＝2x﹣z．过O时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为0．故选：B．4．（5分）已知单位向量，的夹角为，则•（+2）＝（）A．B．1+C．2D．1+【解答】解：单位向量，的夹角为，∴||＝||＝1，＝||•||•cos＝∴•（+2）＝+2＝1+2×＝2，故选：C．5．（5分）已知等差数列{a n}的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，则a n＝（）A．2n+1B．2n+2C．n+1D．n+2【解答】解：等差数列{a n}的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，∴＝（a1+1）（a1+6），化为：a1＝3．∴a n＝3+（n﹣1）＝n+2．故选：D．6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．+3B．+6C．+3D．+6【解答】解：由题意，几何体如图：由特征数据得到体积为：＝3+；故选：A．7．（5分）“b∈（﹣1，3）”是“对于任意实数k，直线l：y＝kx+b与圆C：x2+（y﹣1）2＝4 恒有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线l：y＝kx+b与圆C：x2+（y﹣1）2＝4 恒有公共点”⇔≤2，化为：4（1+k2）≥（b﹣1）2，即（b﹣1）2≤4解得﹣1≤b≤3，b∈（﹣1，3）”是“对于任意实数k，直线l：y＝kx+b与圆C：x2+（y﹣1）2＝4 恒有公共点”的充分不必要条件．故选：A．8．（5分）如图程序框图是为了求出满足1+++……+＜1000的最大正整数n的值，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．“S＜1000”和“输出i﹣1”B．“S＜1000”和“输出i﹣2”C．“S≥1000”和“输出i﹣1”D．“S≥1000”和“输出i﹣2”【解答】解：由于程序框图是为了求出满足1+++…+＜1000 的最大正整数n的值，故退出循环的条件应为S≥1000，由于满足1+++…+≥1000 后，（此时i值比程序要求的i值多一），又执行了一次i＝i+1，故输出的应为i﹣2的值．故选：D．9．（5分）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交C于A，B两点，若|AF|＝3|BF|＝3，则p＝（）A．3B．2C．D．1【解答】解：设抛物线的准线于x轴交点为P，过A，B作准线的垂线AM，BN，则AM＝AF＝3，BN＝BF＝1，FP＝p，设直线AB交准线于Q，设BQ＝a，由△QBN∽△QFP∽△QAM可得：，，解得p＝．故选：C．10．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．已知四面体ABCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB＝BD＝CD＝2，且该鳖臑的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．3πB．2πC．4πD．12π【解答】解：由题意，四面体有四个面都为直角三角形，四面体放到长方体中，AB⊥平面BCD，AB＝BD＝CD＝2，可得长方体的对角线为．∴球O的半径R＝＝．球O的表面积S＝4πR2＝12π．故选：D．11．（5分）设函数f（x）＝，则满足f（x2﹣2）＞f（x）的x 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，当x＞0时，f（x）＝e x﹣e﹣x，其导数f′（x）＝e x+e﹣x＞0，则函数在（0，+∞）上为增函数，若f（x2﹣2）＞f（x），则有，解可得：x＜﹣或x＞2，则x的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；故选：C．12．（5分）在首项都为3的数列{a n}，{b n} 中，a n+1﹣a n＝3，b2＝9，b n+1﹣b n ＜2×3n+，b n+2﹣b n＞8×3n﹣1，且b n∈Z，则数列{a n+b n} 的前50项的和为（）A．B．350+3825C．D．351+3825【解答】解：首项都为3的数列{a n}，{b n} 中，a n+1﹣a n＝3，∴a n＝3+3（n﹣1）＝3n，∵b n+1﹣b n＜2×3n+，①∴b n+2﹣b n+1＜2×3n+1+，②由①+②可得b n+2﹣b n＜8×3n+，又b n+2﹣b n＞8×3n﹣1，∴8×3n﹣1＜b n+2﹣b n＜8×3n+，∵b n∈Z，∴b n+2﹣b n＝8×3n，当n为奇数时，∴b3﹣b1＝8×31，b5﹣b3＝8×33，…b 2k +1﹣b 2k ﹣1＝8×32k ﹣1，∴b 2k +1﹣b 1＝8（3+33+35+…+32k ﹣1）＝8×＝3×（9k ﹣1）．可得：b 2k +1＝3×9k ＝3n +2．b 2k ﹣1＝b n ＝3n ． 同理可得：当n 为偶数时，b 2k ＝32k ＝b n ＝3n ． ∴数列{b n }为等比数列，首项为3，公比为3． ∴数列{a n +b n } 的前50项的和＝+＝．故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）函数f （x ）＝cos （x +）+cos （x ﹣）的最大值为 ．【解答】解：f （x ）＝cos （x +）+cos （x ﹣）＝cos x cos ﹣sin x sin +cos x cos +sin x sin＝2cos x cos＝．∴函数f （x ）＝cos （x +）+cos （x ﹣）的最大值为．故答案为：．14．（5分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1．若在菱形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率是【解答】解：在菱形ABCD 中，∵AB ＝2，∠ABC ＝60°， ∴，以A 和C 为圆心的扇形面积和为，以B 和D 为圆心的扇形面积和为2×＝，∴菱形内空白部分的面积为，则在菱形内随机取一点，该点取自黑色部分的概率是．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）对任意的x∈R都满足f（x）+f（﹣x）＝0，f（x+）为偶函数，当0＜x…≤时，f（x）＝﹣x，则f（2017）+f（2018）＝﹣2．【解答】解：f（x）+f（﹣x）＝0；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；为偶函数，则：；∴；∴；∴f（x）＝﹣f（x+3）＝f（x+6）；即f（x）＝f（x+6）；∴f（x）的周期为6；又时，f（x）＝﹣x，则：f（2017）+f（2018）＝f（1+336×6）+f（2+336×6）＝f（1）+f（2）＝f（1）﹣f（5）＝f（1）﹣f（5﹣6）＝2f（1）＝﹣2．故答案为：﹣2．16．（5分）已知F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A是C 的虚轴的一个端点．若C的左支上存在一点P，使得|P A|+|PF|≤ 4a，则C 的离心率的取值范围为（1，]．【解答】解：A（0，b），设双曲线的左焦点为F′，则|FP|﹣|PF′|＝2a，故而|P A|+|PF|＝2a+|PF′|+|P A|≥2a+|F′A|，∴|P A|+|PF|的最小值为2a+|F′A|＝2a+，∵C的左支上存在一点P，使得|P A|+|PF|≤ 4a，∴2a+≤4a，即≤2a，∴2c2﹣a2≤4a2，即≤，∴e≤，又e＞1，∴离心率的取值范围是（1，]．故答案为：（1，]．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c（sin C﹣sin B）＝（a﹣b）（sin A+sin B）．（1）求A；（2）若BC边上的高h＝，b＝，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c（sin C﹣sin B）＝（a﹣b）（sin A+sin B）．利用正弦定理：，整理得：，由于：0＜A＜π，则：．（2）由于：BC边上的高h＝，b＝，则：，解得：2，即：①．由（1）得到：，故：②．由①②得：．故：．18．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为正三角形，AB＝AA1，点D 在棱BC上，且CD＝3BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点．（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；（2）若AB＝4，求点C1与平面DEF的距离．【解答】证明：（1）取BC中点G，连结AG，∵E是AB的中点，点D在棱BC上，且CD＝3BD，∴AG∥ED，∵△ABC为正三角形，∴AG⊥BC，∴ED⊥BC，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，又DE⊂平面ABC，∴B1B⊥DE，∵BC∩BB1＝B，BC⊂平面BB1C1C，∴DE⊥平面BB1C1C．解：（2）∵AB＝4，∴四边形BCC1B1是以4为边长的正方形，∴＝﹣（）＝＝5，由（1）知，DE⊥平面BCC1B1，∴三棱锥E﹣C 1DF的体积＝＝＝，＝＝＝，在Rt△DEF中，S△DEF设点C1与平面DEF的距离为h，∵＝，∴＝，解得h＝2，∴点C1与平面DEF的距离2．19．（12分）某技术公司新开发一种产品，分别由A，B两条生产线生产．为了检测该产品的某项质量指标值（记为Z），现随机抽取这两条生产线的产品各100件，由检测结果得到如下频率分布直方图：（1）该公司规定：当Z≥76时，产品为正品；当Z＜76时，产品为次品．试估计A，B两条生产线生产的产品正品率分别是多少？（2）分别估计A，B两条生产线的产品质量指标值的平均数（同一组数据中的数据用该组区间的中点值作代表），从平均数结果看，哪条生产线的质量指标值更好？（3）根据（2）的结果，能否认为该公司生产的产品符合“质量指标值不低于84的产品至少要占全部产品40%”的规定？【解答】解：（1）由频率估计概率，A生产线的产品为正品的概率为：（0.05375+0.035+0.01125）×8＝0.8，B生产线的产品为正品的概率为：（0.0625+0.03375+0.0025）×8＝0.79．（2）设A生产线的产品质量指标值的平均数为，B生产线的产品质量指标值的平均数为，由频率分布直方图得：＝64×0.05+72×0.15+80×0.43+88×0.28+96×0.09＝81.68＝64×0.05+72×0.16+80×0.5+88×0.27+96×0.02＝80.4，∵＞，∴A生产线的产品质量指标更好．（3）由（2）知，A生产线的产品质量指标更高，它不低于84的产品所占比例的估计值为（0.035+0.01125）×8＝0.37＜0.4，∴B生产线的产品质量指标值的估计值也小于0.4，故不能认为该公司生产的产品质量符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品40%”的规定．20．（12分）在三角形MAB中，点A（﹣1，0），B（1，0），且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）设点D（﹣2，0），过B的直线与E交于P，Q两点，求证：∠PDQ不可能为直角．【解答】（1）解：由题意得，|MA|+|MB|+|AB|＝6，∴|MA|+|MB|＝4＞|AB|，则M的轨迹E是以A（﹣1，0），B（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，又由M，A，B三点不共线，∴y≠0．∴E的方程为（y≠0）；（2）证明：设直线PQ的方程为x＝my+1，代入3x2+4y2＝12，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．∴＝（my1+1）（my2+1）+2（my1+1+my2+1）+4+y1y2＝（m2+1）y1y2+3m（y1+y2）+9＝＝＞0．∴∠PDQ不可能为直角．21．（12分）已知函数f（x）＝（e x﹣1）（x﹣a）+ax．（1）当a＝1时，求f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝（e x﹣1）（x﹣1）+x＝xe x﹣e x+1，∴f′（x）＝xe x，∴k＝f′（1）＝e，∵f（1）＝1，∴f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣1＝e（x﹣1），即ex﹣y﹣e+1＝0；（2）∵f′（x）＝（1+x﹣a）e x+（a﹣1），令g（x）＝（1+x﹣a）e x+（a﹣1），∴g′（x）＝（2+x﹣a）e x，①当a≤2时，g′（x）＞0，在（0，+∞）上恒成立，∴g（x）在（0，+∞）上为增函数，∴g（x）＞g（0）＝1﹣a+a﹣1＝0∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）＝0，②当a＞2时，当x∈（0，a﹣2）时，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，∵g（0）＝（1﹣a）+（a﹣1）＝0，∴当x∈（0，a﹣2）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，函数f（x）在（0，a﹣2）为减函数，∵f（0）＝0，∴当x∈（0，a﹣2）时，f（x）＜0，即f（x）＞0不是对一切x＞0都成立，综上所述，a≤2，即a的取值范围为是（﹣∞，2]．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝2．已知点Q为曲线C1的动点，点P在线段OQ上，且满足|OQ|•|OP|＝4，动点P的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）设P的极坐标为（ρ，θ），（ρ＞0），Q的极坐标方程为（ρ1，θ），（ρ1＞θ），由题设知|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝，由题设知|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝，由|OQ|•|OP|＝4，得C2的极坐标方程为，（ρ＞0），∴C2的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝1，但不包含（0，0）．（2）设点B的极坐标为（ρB，α），（ρB＞0），由题设知|OA|＝2，ρB＝2cos（），∴△AOB的面积S＝|OA|•ρB•sin∠AOB＝2cos（）•|sin（）|＝2|sin2α﹣|．当α＝0时，S取得最大值为．∴△AOB面积的最大值为．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）＝x2﹣|x|+1．（1）求不等式f（x）≥2x的解集；（2）若关于x的不等式f（x）在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）x≥0时，f（x）＝x2﹣x+1≥2x，解得：0≤x≤或x≥，x＜0时，f（x）＝x2+x+1≥2x，解得：x＜0，综上，x∈（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）f（x）≥|+a|，x∈[0，+∞），故x2﹣x+1≥|+a|，故，解得：﹣≤a≤．。

福州八中2018届高三上学期第一次质量检查数学（文）试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是A ．15i B ．15C ．15i -D ．15-2.已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，则=N MA. ),1[+∞-B. ]2,1[- C . ),2[+∞D.φ3．已知函数2()f x x bx c =++，则“0c <”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=A.2524-B.2512- C.2512D.25245.若x ，y 满足约束条件 02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩ ，则y x z -=的最小值是A.-3B.0C. 32D.36.若sin 601233,log cos 60,log tan 30a b c ===，则A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>7.下列函数中，满足“且”的是A. B.C.D.8.将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移3π个单位，则所得函数图象对应的解析式为 A.1sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.1sin 2y x =D.1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9.已知函数()()()f x 2sin x 0,0=ω+ϕωϕπ><<， 且函数的图象如图所示，则点()ϕω,的坐标是 A.2,3π⎛⎫⎪⎝⎭B.4,3π⎛⎫⎪⎝⎭C.22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D.24,3π⎛⎫⎪⎝⎭10. 若直线k x =与曲线)2(log log 22+==x y x y 及分别相交，且交点之间的距离大于1，则k 的取值范围是 A ．（0，1） B ．（0，2） C ．（1，2）D ．（2，+∞）11．设x ，y ∈R ，且满足33(2)2sin(2)2,(2)2sin(2)6,x x x y y y ⎧-++-=⎪⎨-++-=⎪⎩则x y += A ．1 B.2 C.3 D.412. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ①[]20133∈； ②[]22-∈； ③[][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中，正确结论的个数为A ． 1B. 2C. 3D. 4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题纸上。

2018年福建省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|0}A x x =>，{ln(1)}B x y x ==-，则AB =（ ）A ．[1,)+∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞ 2.已知复数z 满足(12)5i z +=，则复数z 的虚部等于（ ） A ．1 B ．-1 C ． 2 D ．-23.在等差数列{}n a 中，已知37,a a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点，则{}n a 的前9项和等于（ ）A ．-18B ．9C ．18D ．36 4.下列关于命题的说法错误的是（ ） A ．函数1y x x=+的最小值为2 B ．命题“2,13x R x x ∀∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”； C ．“2x >”是“112x <”的充要条件； D ． 1311(0,),()log 32x x x ∀∈<，23x x <5.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．12-B ．12C ．23D ．3 6.已知 f （x ）是R 上的偶函数,且满足(2)()f x f x +=,当3[,0]2x ∈-时, f （x ）=-2x ,则f （-5）=A ．-2B ．2C ．-4D ．4 7.在区间[0,]π上随机取一个x,则y=sinx 在0到12之间的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．2π8.中国古代数学著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为13.5（立方寸），则图中的x 为（ ）A ．2.4B ．1.8C ．1.6D ．1.29.设不等式组104x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，表示的平面区域为M ，若直线2y kx =-上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[1,3]B ．(,1][3,)-∞+∞C ．[2,5]D ．(,2][5,)-∞+∞ 10.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC，2PA AB == ）A ．8πB ．16πC ．32πD ．36π11.2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，M是双曲线C 的一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥，O 为坐标原点，若216OMF S ∆=，则双曲线C 的实轴长是（ ）A ．32B ．16C ．8D ．412.已知21()[(3)](2)2x f x x a x b =----，当x<0时，f ≤（x ）0，则a 的取值范围为 A ．2a ≥ B ．2a ≤ C ．2a < D ．02a <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．设复数z 满足z•i=2+3i ，则z= ．14．若x，y满足约束条件，则的最大值为．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，若a=2，则△ABC面积的最大值为．16．在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BC=2AD，△ABD面积为1，若=，BE⊥CD，则•=．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}的前n项和，其中k为常数，a6=13．（1）求k的值及数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．为了响应我市“创建宜居港城，建设美丽莆田”，某环保部门开展以“关爱木兰溪，保护母亲河”为主题的环保宣传活动，经木兰溪流经河段分成10段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如表：南岸77928486747681718587北岸72877883838575899095（1）记评分在80以上（包括80）为优良，从中任取一段，求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率；（2）根据表中的数据完成茎叶图：（3）分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好？19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形为ABCD矩形，E为SA的中点，SA=SB，AB=2，BC=3．（1）证明：SC∥平面BDE；（2）若BC⊥SB，求三棱锥C﹣BDE的体积．20．已知点P（0，﹣2），点A，B分别为椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且=．（1）求E的方程；（2）设过点的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于MN以为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．21．已知函数f（x）=2x3﹣3x+1，g（x）=kx+1﹣lnx．（1）设函数，当k＜0时，讨论h（x）零点的个数；（2）若过点P（a，﹣4）恰有三条直线与曲线y=f（x）相切，求a的取值范围．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）设点P为圆C上的任一点，求点P到直线l距离的取值范围．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）设f（x）的最小值为M，若2x+a≥M的解集包含[0，1]，求a的取值范围．2018年福建省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．设复数z满足z•i=2+3i，则z=3﹣2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z•i=2+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 得答案．【解答】解：由z•i=2+3i，得=．故答案为：3﹣2i．14．若x，y满足约束条件，则的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，则的最大值为．故答案为：3．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，若a=2，则△ABC面积的最大值为．【考点】余弦定理．【分析】由已知化简可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可求cosA=，结合范围A ∈（0，π），可求A=，由余弦定理，基本不等式可求bc≤4，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴A=，∵a=2，∴由余弦定理可得：4=b2+c2﹣bc，∴4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，即：bc≤4，当且仅当b=c等号成立，=bcsinA≤=，当且仅当b=c等号成立，则△ABC面积的最∴S△ABC大值为．故答案为：．16．在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BC=2AD，△ABD面积为1，若=，BE⊥CD，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，设出D，求解相关的坐标，利用向量的数量积求解D的坐标，然后求解即可．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，设D（0，a），△ABD面积为1，可得B（，0），则C（，2a），=，则E（.），BE⊥CD，可得：（，a）（，）=0，解得a2=，=（0，﹣a），=（，a），•=﹣a2=﹣．给答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}的前n项和，其中k为常数，a6=13．（1）求k的值及数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1），n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．n=6时，a6=13，解得k．进而得出．（2）===，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+kn﹣[（n﹣1）2+k（n ﹣1）]=2n﹣1+k．∴n=6时，a6=11+k=13，解得k=2．∴n≥2时，a n=2n﹣1+2=2n+1．当n=1时，a1=S1=1+2=3，上式也成立．∴a n=2n+1．（2）===，数列{b n}的前n项和T n=+…+=1﹣=．18．为了响应我市“创建宜居港城，建设美丽莆田”，某环保部门开展以“关爱木兰溪，保护母亲河”为主题的环保宣传活动，经木兰溪流经河段分成10段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如表：南岸77928486747681718587北岸72877883838575899095（1）记评分在80以上（包括80）为优良，从中任取一段，求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率；（2）根据表中的数据完成茎叶图：（3）分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好？【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【分析】（1）利用列举法求出从10段中任取一段的基本事件有10个，用A表示“在同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，利用列法求出A包含的基本事件个数，由此能求出在同一段中两岸环保评分均为优良的概率．（2）根据表中数据，能完成茎叶图．（3）分别求出南岸10段的分值数据的中位数、平均数和北岸10段分值数据的中位数、平均数，由此看出北岸保护更好．【解答】解：（1）从10段中任取一段的基本事件有10个，分别为：（77，72），（92，87），（84，78），（86，83），（74，83），（76，85），（81，75），（71，89），（85，90），（87，95），这些基本事件是等可能的，用A表示“在同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，则A包含的基本事件为：（92，87），（86，83），（85，90），（87，95），共4个，∴P（A）=．（2）根据表中数据，完成下列茎叶图：（3）南岸10段的分值数据的中位数为：z1==82.5，南岸10段分值数据的平均数为：=81.3，北岸10段分值数据的中位数为：z2=，北岸10段分值数据的平均数：==83.7，由z1＜z2，，可以看出北岸保护更好．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形为ABCD矩形，E为SA的中点，SA=SB，AB=2，BC=3．（1）证明：SC∥平面BDE；（2）若BC⊥SB，求三棱锥C﹣BDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，设AC∩BD=O，由题意可得O为AC的中点，又E为AS 的中点，由三角形中位线定理可得SC∥OE，再由线面平行的判定可得SC∥平面BDE；（2）过E作EH⊥AB，垂足为H，由线面垂直的判定可得BC⊥平面SAB，则EH ⊥BC，又EF⊥AB，得到EH⊥平面ABCD，在△SAB中，取AB中点M，连接SM，则SM⊥AB，求得SM=1．进一步可得EH=．再求出三角形BCD的面积利用等体积法求得三棱锥C﹣BDE的体积．【解答】（1）证明：连接AC，设AC∩BD=O，∵四边形ABCD为矩形，则O为AC的中点，在△ASC中，E为AS的中点，∴SC∥OE，又OE⊂平面BDE，SC⊄平面BDE，∴SC∥平面BDE；（2）解：过E作EH⊥AB，垂足为H，∵BC⊥AB，且BC⊥SB，AB∩SB=B，∴BC⊥平面SAB，∵EH⊂平面ABS，∴EH⊥BC，又EF⊥AB，AB∩BC=B，∴EH⊥平面ABCD，在△SAB中，取AB中点M，连接SM，则SM⊥AB，∴SM=1．∵EH∥SM，EH=．∴．∴V C﹣BDE =V E﹣BCD=．∴三棱锥C﹣BDE的体积为．20．已知点P（0，﹣2），点A，B分别为椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且=．（1）求E的方程；（2）设过点的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于MN以为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由向量共线定理求得Q点坐标，由a=2，将Q代入椭圆方程，即可求得b，求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及△＞0，向量数量积的坐标运算•＞0，即可求得k的取值范围．【解答】解：（1）由题意题意△ABP是等腰直角三角形，a=2，B（2，0），设Q（x0，y0），由，则，代入椭圆方程，解得b2=1，∴椭圆方程为；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），则，整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由直线l与E有两个不同的交点，则△＞0，即（﹣16k）2﹣4×12×（1+4k2）＞0，解得：k2＞，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，由坐标原点O位于MN为直径的圆外，则•＞0，即x1x2+y1y2＞0，则x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）=（1+k2）x1x2﹣2k×（x1+x2）+4=（1+k2）﹣2k×+4＞0，解得：k2＜4，综上可知：＜k2＜4，解得：＜k＜2或﹣2＜k＜﹣，直线l斜率的取值范围（﹣2，﹣）∪（，2）．21．已知函数f（x）=2x3﹣3x+1，g（x）=kx+1﹣lnx．（1）设函数，当k＜0时，讨论h（x）零点的个数；（2）若过点P（a，﹣4）恰有三条直线与曲线y=f（x）相切，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）分类讨论，求导数，切点函数的单调性，即可讨论h（x）零点的个数；（2）设出切点，由切线方程，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=（2x+1）（x﹣1）2=0，x=﹣或1，∴x=﹣是h（x）的零点；∵g′（x）=k﹣，k＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）上单调递减，g（x）的最大值为g（1）=k+1．k＜﹣1，g（1）＜0，g（x）在[1，+∞）上无零点；k=﹣1，g（1）=0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；﹣1＜k＜0，g（1）＞0，g（e1﹣k）=ke1﹣k+k＜0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；综上所述，k＜﹣1时，h（x）有1个零点；﹣1≤k＜0时，h（x）有两个零点；（2）设切点（t，f（t）），f′（x）=6x2﹣6x，∴切线斜率f′（t）=6t2﹣6t，∴切线方程为y﹣f（t）=（6t2﹣6t）（x﹣t），∵切线过P（a，﹣4），∴﹣4﹣f（t）=（6t2﹣6t）（a﹣t），∴4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5=0①由题意，方程①有3个不同的解．令H（t）=4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5，则H′（t）=12t2﹣6t﹣12at+6a=0．t=或a．a=时，H′（t）≥0，H（t）在定义域内单调递增，H（t）不可能有两个零点，方程①不可能有两个解，不满足题意；a时，在（﹣），（a，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（，a）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（），极小值为H（a）；a时，在（﹣∞，a），（，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（a，）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（a），极小值为H（）；要使方程①有三个不同解，则H（）H（a）＜0，即（2a﹣7）（a+1）（2a2﹣5a+5）＞0，∴a＞或a＜﹣1．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）设点P为圆C上的任一点，求点P到直线l距离的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由题意求出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）由题意设P（，），由点到直线的距离公式表示出点P到直线l距离，利用两角和的正弦公式化简后，由正弦函数的值域求出答案．【解答】解：（1）∵圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，∴圆C的参数方程为（α为参数），∵直线l的极坐标方程为，∴，即ρsinθ+ρcosθ﹣4=0，∴直线l的普通方程是x+y﹣4=0；（2）由题意设P（，），∴点P到直线l距离d===，∵，∴，即，∴点P到直线l距离的取值范围是[0，]．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）设f（x）的最小值为M，若2x+a≥M的解集包含[0，1]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=．分x≤2时，；2＜x＜4，x≥4，解f（x）＞2．（2））由|x﹣4|+|x﹣2|≥2，得M=2，由2x+a≥M的解集包含[0，1]，得20+a ≥2，21+a≥2【解答】解：（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=．∴当x≤2时，f（x）＞2，6﹣2x＞2，解得x＜2；当2＜x＜4时，f（x）＞2得2＞2，无解；当x≥4时，f（x）＞2得2x﹣6＞2，解得＞4．所以不等式f（x）＞2的解集为（﹣∞，2）∪（4，+∞）．（2））∵|x﹣4|+|x﹣2|≥2，∴M=2，∵2x+a≥M的解集包含[0，1]，∴20+a≥2，21+a≥2，∴a≥1．故a的取值范围为：[1，+∞）2017年3月23日。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学试题（文史类）
第I 卷（选择题 共60分）
一．选择题
1．复数i z 21--=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．设点),(y x P ，则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ，则B A 的子集个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．16
4．双曲线12
2=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．2
1 B ．2
2 C ．1 D ．2 5．函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ，则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）
A ．4和3
B ．4和2
C ．3和2
D ．2和0
7．若122=+y x ，则y x +的取值范围是（ ）
A ．]2,0[
B ．]0,2[-
C ．),2[+∞-
D ．]2,(--∞
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的)20,10(∈S ，那么n 的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--,则A B =I A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{2,1,0,1,2}--2．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆22214x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．2D ．35．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．B ．12πC ．D ．10π6．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u ru u u r u u u r u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u r D ．1344AB AC +u u ur u u u r 8．已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．25C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为A ．8B ．62C ．82D ．8311．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||a b -=A ．15B ．5 C ．25D ．112．设函数2,0,()1,0,x x f x x -⎧=⎨>⎩≤ 则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试福建高考文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的九名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =（ ）A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．设121iz i i-=++，则z =（ ）A ．0B ．12C ．1 D3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则3a =（ ） A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ）A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱 侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．B ．C ．3D ．28．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()f x f x x a =++（ ），若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[)10-，B ．[)+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ）A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（ ） A ．32B ．3 C． D ．412．设函数()2010x x f x y -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB = ________．16．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．三、解答题（共70分。

2018年福州市高考模拟试卷（一）数学试题（文科）( 完卷时间：120 分钟 满分：150 分 )参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=- 球的表面积公式 S ＝24R π,其中R 表示球的半径 球的体积公式 V ＝343R π,其中R 表示球的半径注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．lg164lg5+的值为A ．2B ．4C ．－2D ．－42．已知()1{|10},{|(),1},2xM x x x N y y x =-<==>则 M N =A ．φB ．MC ．ND ．（1,12）3．等比数列}{n a 中，23a =，49a =，则8a =A ．81B ．81-C ． 2187D ． 2187-4．直线y =与圆22()12x a y -+=相切，则实数a 的值是 A ． 2 B ． 4C ．2或－2D ．4或- 45．设0,0x y >>, 则命题P ：1xy >是命题Q ：2x y +>的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6． 函数()22cos 14f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数7．若球内接正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，则球的表面积为A ．π3B ．π34C ． 12πD ． π48 8．已知函数()2f x ax bx =+的导函数图象如图所示，则A ．0,0a b <>B ． 0,0a b <<C ． 0,0a b >>D ． 0,0a b >< 9．已知函数)(x f y =的反函数112()log (1)fx x -=+，则方程1)(=x fA ．{}1B ．{}2 Ｃ．{}1- D ．{}2-10．从某校5名学生干部中选出4人参加福州市“环保”、“生态”、“资源”三个夏令营， 要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，则不同方法 的种数为A ． 3445A C ⨯B ． 2445C C ⨯ C ． 331335A C C ⨯⨯D ． 332445A C C ⨯⨯ 11．在平面四边形ABCD 中，AB BC BC CD CD DA DA AB =⋅=⋅⋅=⋅,则四边形ABCD是A ．等腰梯形B ．菱形C ．矩形D ． 正方形 12．如图，已知F 1、F 2是双曲线222(0)x y a a -=>的两焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过焦点F 2作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，若1OA =，则双曲线的焦距等于A ．1BC ．D ． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，满分 16 分．请把答案填在下面横线上． 13．8)2(-x 的展开式中，7x 的系数为_______________________；（用数字作答）14．直角坐标平面内，不等式组⎩⎨⎧≤-≥31||2y x y 所表示的平面区域的面积为 ；15．一个工厂生产了某种产品n 件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，其中乙生产线生产了80件产品．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则此产品件数n= ． 16．对于函数1()13xf x x+=-，设1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x +=，则2006(0)f = .三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边的长，且32)4tan(--=+πB ．（1）求角B 的大小； （2）若b =c =ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）某宾馆有16间客房，可分为四类：A 类客房有n 间且2n ≥,B 类客房有4间，C 类客房有6间，余下的是D 类客房．现有3位旅游者要入住宾馆，他们每人住一间客房，且入住各房间是等可能的．若3位旅游者入住同一类客房但不是D 类客房的概率是370，试求： （1）n 的值；（2）3位旅游者中至少有一人入住A 类客房的概率． 19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，AC BD O ⋂=,PA ＝2．（1）求证BD ⊥平面PAC ；（2）求PC 与平面PBD 所成角的大小（用反三角函数表示）；（3）求点C 到平面PBD 的距离．BP20．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10,a ≠公差0d ≠，且211S S =，242S S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设11,1n n b S +=-求证：数列{}n b 的前n 项和n T 34<．21．(本小题满分12分)1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆221182x y +=上的两点，且1212,,033x x y y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， O 为坐标原点．（1）若点A 坐标为(3,1),求点B 的坐标；（2）在(1)的条件下,若点P 、Q 为椭圆上的两点，且PQ ∥OB,试问：线段PQ 能否被直线OA 平分? 若平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由.22．（本小题满分14分）已知函数3()y f x x ax ==-在x ∈[)∞+,1是一个单调函数， （1） 函数y=f(x)在x ∈[)∞+,1上能否是单调递减函数？请说明理由； （2） 若 f(x)在区间[)∞+,1上是单调递增函数，试求出实数a 的取值范围； （3） 设01x ≥，()01f x ≥且()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，求证：()00f x x =.2018年福州市高考数学（文科）模拟试卷（一）参考答案一、选择题13．-16 ； 14．8； 15．240； 16．－1. 三、解答题 17．（本小题满分12分） 【解】（1）∵32)4tan(--=+πB ，∴32tan 11tan --=-+BB ，解得3tan =B ，（4分） ∵),0(π∈B ，∴3B π=． （6分）（2）由正弦定理有,sin sin b c B A =又sin B =， ∴sin 2C ==，（8分）∵b c >，∴ B C >，∴4C π=，（9分）∴ABC ∆的面积()11sin sin 22S bc A bc B C ==+ ()1sin cos cos sin 21122bc B C B C =+⎫=⨯+⎪⎪⎝⎭=(134+ （12分）18．（本小题满分12分）【解】设（1） “3位旅游者入住A 类客房”为事件A ，“3位旅游者入住B 类客房”为事件B ，“3位旅游者入住C 类客房”为事件C ．由于3位旅游者入住客房的种数为316A ， （1分） 3364331616420(),()560560A A PB PC A A ====， （3分） 又 ∵A 、B 、C 为互斥事件，∴)()()()(C P B P A P C B A P ++=++， （5分）即3420()()070560560P A P A =++∴= （7分） ∴入住A 类客房旅游者不足3个，即3n <，∵2≥n ，∴2=n ． （8分） （2）记“3位旅游者入住的客房中至少有一间是A 类客房”为事件M ，则M 为“3位旅游者入住的客房中没有一间是A 类客房”．则3143167()1()120A P M P M A =-=-=（12分） 或()P M 12321321432143316720C C A C C A A ⋅+⋅== 注：若只考虑旅游者入住的房间的类型，用组合数求解概率也正确. 19．（本小题满分12分）【解】法一：(1) ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴PA ⊥BD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∵A AC PA =⋂,∴BD ⊥平面PAC ． （3分） （2）∵BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC ，∴PC 在平面PBD 的射影是PO ，即PC 与平面PBD 所成角是CPO ∠， （5分） 由已知显然有CO=在Rt △P AC 中，PC=== 在Rt △P AO 中，PO==∴cos CPO ∠＝2222PO PC CO PO PC +-⋅=3=， ∵20π≤∠≤CPQ ，∴CPO∠=即PC 与平面PBD 的成角为CPO∠=（8分）（3）过C 作CE ⊥PO ，垂足为E ，∵平面PBD ⊥平面PAC ，且两平面相交于直线PO ，CE PBD ∴⊥平面. （10分） 在Rt PCE ∆中，cos CPE∠= ∴sin CPE∠==13=．∴C 到平面的距离CE sin PC CPE =⋅∠=（12分）【解】法二：（１）显然AP 、AB 、AD 两两垂直，故可分别以AP 、AB 、AD 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵(2,0,0),AP = (0,2,2)BD =-，∴0AP BD ⋅= ，∴AP BD ⊥ ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥，∵AC 与AP 相交于点A ，∴BD ⊥平面PAC ． （3分）（２）由(0,2,2)C 知(2,2,2)PC =- ，设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，∵(2,2,0)PB =- ，(2,0,2)PD =-，n PB ⊥ ，n PD ⊥ ，∴220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，解得x yx z =⎧⎨=⎩，取1x =，(1,1,1)n = ． （6分）设PC 与n 所成角为θ，则cos n PC n PCθ⋅=⋅13=， ∴θ1arccos 3=，∴PC 与平面PBD 所成角为1arccos 23π-． （8分）（３）由（２）知平面PBD 的法向量为(1,1,1)n = ，而(2,2,2)PC =-，∴点C 到平面PBD的距离3PC n d n⋅===． （12分）20．（本小题满分12分）【解】（１）依题意有 211242,,S S S S ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=.)2122(2344,211211d a d a a a （3分）由①得10a =或11a =．∵10a ≠．∴ 11a =， ∵公差0d ≠，将11a =代入②式得2d =．∴数列{}n a 的通项公式1(1)21n a a n d n =+-=-; （6分） （2）∵21n a n =-，∴2135(21)n S n n =++++-= ，∴n b =111n S +-21(1)1n =+-1111()(2)22n n n n ==-++, （9分） ∴n T 111111111111[(1)()()()()()]23243546112n n n n =-+-+-+-++-+--++ 1111(1)2212n n =+--++3111()4212n n =-+++34<． （12分） ① ②21.(本小题满分12分) 【解】（1）∵1212,,033x x y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴121209x x y y += ，∵A (3,1) , ∴22309x y +=，即223x y =-， （2分） 又∵22221182x y +=， ∴ 222291182y y +=， 解得22y =1, ∴ 2y =±1 ,∴当2y =1时23x =-，当2y =-1时23x =，∴点B 的坐标为()3,1-或()3,1-; （5分）（ 2 ）由(1)13OB k =-, ∵PQ ∥OB ∴13PQ OB k k ==-. （6分）假设直线PQ 方程为13y x m =-+,点P 、Q 的坐标分别为()33,x y 、()44,x y ,由方程组221,18213x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ,得22269180x mx m -+-=,∴∆0,≥ 且343x x m +=. （9分）设PQ 的中点坐标为M ()00,x y 则340322x x mx +==, ∴ 0013y x m =-+=12m ， 又直线OA 的方程为13y x =,∴M 31,22m m ⎛⎫⎪⎝⎭在直线OA 上， （12分） 故线段PQ 能否被直线OA 平分.法二：设点()()1122,,,P m n Q m n ,则()2121,PQ m m n n =--,且22111182m n +=，22221182m n +=, ∴()()()()121212120182m m m m n n n n -+-++=,∴ ()1212,m m n n --⋅1212,09m m n n +⎛⎫+=⎪⎝⎭. (7分)∵PQ ∥OB而OB =(3,1)-或(1,3)-∴ (3,1)-⋅1212,09m m n n +⎛⎫+=⎪⎝⎭（9分）∴ 12123()m m n n +=+ （10分） ∴1212,22m m n n ++⎛⎫=⎪⎝⎭()123,12n n +, 故 线段PQ 被直线OA 平分. (12分) 22．（本小题满分14分）【解】（解：(1) a x x f y -==23)(''，若)(x f 在),1[+∞上是单调递减函数，则须0'＜y ，即23x a ＞，这样的实数a 不存在，故)(x f 在),1[+∞上不可能是单调递减函数. ……… 4分. (2) 若)(x f 在),1[+∞上是单调递增函数，则a ≤23x ，由于),1[+∞∈x ，故23x ≥3.从而3a ≤ ……….8分 (3) 由（1）、（2）可知)(x f 在),1[+∞上只能为单调增函数，若)(100x f x ＜≤，则000))(()(x x f f x f =＜矛盾， ………..10分 若00)(1x x f ＜≤，则)())((00x f x f f ＜，即)(00x f x ＜矛盾， 12分 故只有00)(x x f =成立. ………..14分证法二：设u x f =)(0，则0)(x u f =，∴u ax x =-030， 03x au u =-， 两式相减得00330)()(x u u x a u x -=--- ∴0)1)((20200=-+++-a u u x x u x ，∵110≥≥u x ，∴2020u u x x ++≥3，又a ≤3，∴012020＞a u u x x -+++∴00=-u x ，即0x u =，亦即00)(x x f =，证毕.。