山东省泰安市2013届高三第一轮复习总结质量检测(3月模拟)数学(理)试题(含答案)

试卷类型高三年级质量检测数学试题（理科）2012.11一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.sin 585︒的值为B. D. 【答案】B【解析】sin 585sin 225sin(18045)sin 452==+=-=-，选B. 2.全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,3,4,4,5U M N ===，则()U C M N ⋃等于 A.{}1,3,5B.{}2,4,6C.{}1,5D.{}1,6【答案】D【解析】{2,3,4,5}M N = ,所以(){1,6}U M N = ð,选D. 3.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为 A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数 【答案】D【解析】全称命题的否定式特称命题，所以“所有实数的平方都是正数”的否定为“至少有一个实数的平方不是正数”选D.4.已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b + 等于D.4【答案】C【解析】因为2223323a b a b a b +=++，所以231923cos 133a b π+=++⨯= ，所以3a b +=C.5.如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，045,105ACB CAB ∠=∠= ，则A 、B 两点的距离为A.B.C.D.2【答案】B【解析】因为045,105ACB CAB ∠=∠= ，所以30ABC ∠=，所以根据正弦定理可知，sin sin AC AB ABC ACB =，即50sin 30sin 45AB=，解得AB =，选B.6.已知()sin cos 0,αααπ-=∈，则tan α等于A.1-B.2-C.2D.1【答案】A【解析】由sin cos αα-=1αα=，即sin()14πα-=，所以2,42x k k Zπππ-=+∈，所以32,4x k k Z ππ=+∈，所以33tan tan(2)tan 144k ππαπ=+==-，选A. 7.在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和S 11等于A.24B.48C.66D.132【答案】D 【解析】由912162a a =+得912212a a =+，即6121212a a a +=+，所以612a =.又11111611()112a a S a +==，所以11611132S a ==，选D.8.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：()()()()()()()2122232422log 1,log 2,log ,log 2f x x f x x f x x f x x =+=+==，则“同形”函数是A.()2f x 与()4f xB.()1f x 与()3f xC.()1f x 与()4f xD.()3f x 与()4f x【答案】A【解析】因为422()log (2)1log f x x x ==+,所以22()log (2)f x x =+,沿着x 轴先向右平移两个单位得到2log y x =的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到422()log (2)1log f x x x ==+，根据“同形”的定义可知选A.9.如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6下列向量的数量积中最大的是A.1213PP PP ⋅B.1214PP PP ⋅C.1215PP PP ⋅D.1216PP PP ⋅【答案】A 【解析】设正六边形的边长为1，则1213133cos302PP PP PP PP ===,121412141cos 60212PP PP PP PP ==⨯=,12151215cos900PP PP PP PP ==,121612161cos1202PPPP PP PP ==- ,所以数量积最大的选A.10.若函数()x xf x ka a -=-（a >0且1a ≠）在（,-∞+∞）上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图象是【答案】C【解析】1()xxx x f x ka aka a-=-=-是奇函数，所以(0)0f =，即10k -=，所以1k =，即1()x x f x a a =-，又函数1,xx y a y a==-在定义域上单调性相同，由函数是增函数可知1a >，所以函数()log ()log (1)a a g x x k x =+=+，选C.11.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像 A.关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.关于直线12x π=对称C.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.关于直线512x π=对称 【答案】D【解析】函数的最小周期是π，所以2T ππω==，所以2ω=，所以函数()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移3π得到函数2()sin[2()]sin(2)33f x x x ππϕϕ=-+=+-，此时函数为奇函数，所以有2,3k k Z πϕπ-=∈，所以23k πϕπ=+，因为2πϕ<，所以当1k =-时，233k ππϕπ=+=-，所以()sin(2)3f x x π=-.由2232x k πππ-=+，得对称轴为512x k ππ=+，当0k =时，对称轴为512x π=，选D. 12.已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当()()0,0x f x xf x '>+>（其中()f x '是()f x 的导函数），设1122log 4log 4,,a f b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1lg 5c ⎛⎫= ⎪⎝⎭115f g ⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是 A.c a b >> B.c b a >>C.a b c >>D.a c b >>【答案】C【解析】令函数()()F x xf x =，则函数()()F x x f x =为偶函数.当0x >时，'()()'()0F x f x xf x =+>，此时函数递增，则122(log 4)(log 4)(2)(2)a F F F F ==-=-=,b F =,1(lg )(lg 5)(lg 5)5c F F F ==-=，因为0lg512<<，所以a b c >>，选C.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上. 13.2(2)x x e dx -⎰=___.___.【答案】25e - 【解析】2222200(2)()415x x x e dx x e e e -=-=-+=-⎰.14.设数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且()111,31,2,n n a a S n +===⋅⋅⋅，则24log S 等于__._. 【答案】6【解析】因为113n n n n a S S S ++=-=，所以14n n S S +=，所以数列{}n S 是以111,4S a q ===为公比的等比数列，所以344S =，所以3242log log 46S ==.15.已知函数()11sin cos 244f x x x x =--的图像在点()00,A x y 处的切线斜率为1，则0tan x =___.___.【答案】【解析】函数的导数11'()cos 24f x x x =-+，由0011'()cos 1244f x x x =-+=得001cos 122x x -+=，即0sin()16x π-=，所以02,62x k k Zπππ-=+∈,即022,3x k k Z ππ=+∈.所以022tan tan(2)tan 33x k πππ=+==. 16.已知实数a ，b 满足等式23ab=，给出下列五个关系式中：①0;b a <<②0;a b <<③0;a b <<④0;b a <<⑤.a b =则所有可能．．成立的关系式的序号为___.___.【答案】①②⑤【解析】在同一坐标系下做出函数()2,()3x x f x g x ==的图象如图，由图象可知，①，②，⑤正确.三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1,S 22,S 33S 成等差数列，且44027S =求数列{}n a 的通项公式.18.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，()(),cos ,1m A n A ==，且m n ⊥ .（1）求角A 的大小；（II ）若2,a ABC =∆b ，c.19.（本小题满分12分）已知集合A 为函数()()()l g 1l g 1f x x x =+--的定义域，集合{}22120B x a ax x =---≥.（I ）若112A B xx ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，求a 的值； （II ）求证2a ≥是A B φ⋂=的充分不必要条件.20.（本小题满分12分）已知函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=->，直线12,x x x x ==是函数()y f x =的图像的任意两条对称轴，且12x x -的最小值为2π. （I ）求ω的值；（II ）求函数()f x 的单调增区间； （III ）若()23f α=，求5sin 46πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.21.（本小题满分13分）如图，在M 城周边已有两条公路12,l l 在O 点处交汇，现规划在公路12,l l 上分别选择P ，Q两处为交汇点（异于点O ）直接修建一条公路通过M 城，已知3,45OM km POM =∠=︒∠MOQ=30°，设,.OP xkm OQ ykm ==（I ）求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； （II ）试确定点P 、Q 的位置，使POQ ∆的面积蛤小. 22.（本小题满分13分） 已知函数()()()ln ,10af x x xg x x a x=+=-->. （I ）求函数()()()F x f x g x =+在(]0,e 上的最小值；（II ）对于正实数m ，方程()22mf x x =有唯一实数根，求m 的值.。

山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测（一模）数学（理科）试题2013.3一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}{}1,1,124x A B x =-=≤<，则A B ⋂等于 A.{}1,0,1- B.{}1C.{}1,1-D.{}0,1【答案】B{}124{02}x B x x x =≤<=≤<，所以{1}A B ⋂=，选B.2.复数311i i-+（i 为虚数单位）的模是B.C.5D.8【答案】A31(31)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i ---+===+++-，所以31121i i i -=+=+ A. 3.如果椭机变量()()21,,310.4N P ζσζ---≤≤-=且，则()1P ζ≥等于 A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1【答案】D 因为()()31110.4P P ζζ-≤≤-=-≤≤=，所以()()()1311110.40.410.122P P P ζζζ--≤≤---≤≤--≥===，选D.4.下列结论错误．．的是 A.命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则”B.“4x =”是“2340x x --=”的充分条件C.命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题D.命题“若220m n +=，则00m n ==且”的否命题是“若220.00m n m n +≠≠≠则或”【答案】C命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为“若方程20x x m +-=有实根，则0m >”。

若方程20x x m +-=有实根，则140m ∆=+≥，解得14m ≥-。

所以14m ≥-时，不一定有0m >，所以C 错误。

5.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是A.4B.5C.6D.7【答案】B第一次35116,1n k =⨯+==；第二次168,22n k ===；第三次84,32n k ===；第四次42,42n k ===；第五次21,52n k ===此时满足条件输出5k =，选B. 6.当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是 A.奇函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B.偶函数且图像关于点(),0π对称 C.奇函数且图像关于直线2x π=对称D.偶函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，即2,42k k Z ππϕπ+=-+∈，即32,4k k Zπϕπ=-+∈，所以()()3sin()04f x A x A π=->，所以333()sin()sin 444y f x A x A x πππ=-=--=-，所以函数为奇函数且图像关于直线2x π=对称，选C.7.在,2ABC AB ∆∠=中,A=60，且ABC ∆的面积为2，则BC 的长为B.3D.7【答案】A11sin 60222S AB AC AC =⨯⋅=⨯=，所以1AC =，所以2222cos603BC AB AC AB AC =+-⋅=,，所以BC =,选A.8.已知()1,6,2a b a b a ==⋅-=则向量a b 与的夹角为 A.2π B.3πC.4π D.6π 【答案】B2()2a b a a b a ⋅-=⋅-=，所以3a b ⋅=，所以31cos ,162a b a b a b⋅<>===⨯，所以,3a b π<>=，选B.9.若,,0,a b R ab ∈>且则下列不等式中，恒成立的是A.a b +≥B.11a b +> C.2b a a b +≥ D.222a b ab +> 【答案】C因为0ab >，所以0,0b aa b>>，即2b a a b +≥=，所以选C. 10.设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、x 2、x 3，且123,x x x <<则下列结论正确的是 A.11x >-B.20x <C.32x >D.201x <<【答案】D∵函数()()3402f x x x a a =-+<<，∴f ′（x ）=3x 2﹣4．令f ′（x ）=0，得 x=±．∵当233x <-时，'()0f x >；在2323(,)33-上，'()0f x <；在23(,)3+∞上，'()0f x >．故函数在23(,)3-∞-）上是增函数，在2323(,)33-上是减函数，在23(,)3+∞上是增函数．故23()f -是极大值，23()f 是极小值．再由f （x ）的三个零点为x 1，x 2，x 3，且123,x x x <<得 x 1＜﹣，﹣＜x 2，x 3＞． 根据f （0）=a ＞0，且f （）=a ﹣＜0，得＞x 2＞0．∴0＜x 2＜1．选D.11.直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是 A.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.3[,)4ππ C.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D.3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B直线的斜截式方程为221111y x a a =--++，所以斜率为211k a =-+，即21tan 1a α=-+，所以1tan 0α-≤<，解得34παπ≤<，即倾斜角的取值范围是3[,)4ππ，选B. 12.设奇函数()[]1,1f x -在上是增函数，且()11f -=-，若函数，()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立，则当[]1,1a ∈-时t 的取值范围是A.22t -≤≤B.1122t -≤≤ C.202t t t ≤-=≥或或D.11022t t t ≤-=≥或或【答案】C因为奇函数()[]1,1f x -在上是增函数，且()11f -=-，所以最大值为(1)1f =，要使()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立，则2121t at ≤-+，即220t at -≥，即(2)0t t a -≥，当0t =时，不等式成立。

2013学年第一学期泰安中学高三年级第三次月考数学试卷赵玉苗整理 2013.5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，卷面共150分，考试时间120分钟 答卷5至高8页，只交答卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）若集合{|2},{|x M y y N y y ====，则M N ⋂= （ ）()A }1|{≥y y ()B }1|{>y y ()C }0|{>y y ()D }0|{≥y y（2）复数2(2)(1)12i i i+--的值是 （ ）()A 2 ()B 2- ()C 2i ()D 2i -（3）设函数2423 (1)()111 (1)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪-≤⎩在点1x =处连续，则a ＝ （ ）()A 12 ()B 23 ()C 43 ()D 32（4）已知32()21f x x x ax =+-+在区间[1,2]上递增，则实数a 的取值范围是（ ） ()A (,7)-∞ ()B (,7]-∞ ()C (7,20) ()D [20,)+∞（5）000(3)()lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '等于 （ ）()A 1 ()B 0 ()C 3 ()D 13（6） 设函数)(x f 在区间),(b a 内连续，且),(0b a x ∈，则在点0x 处（A ）．)(x f 的极限存在，但不一定可导 （B ）．)(x f 的极限存在，且可导（C ）．)(x f 的极限不存在，但可导 （D ）．)(x f 的极限不存在，也不可导 （7） 设函数5()ln(23)f x x =-，则f ′1()3=（ ）()A 1 ()B 0 ()C 15- ()D 15（8）用数学归纳法证明:“)1(111212≠--=++++++a aa a a a n n ”在验证1=n 时，左端计算所得的项为（ ）（A ） 1 （B ）． a +1 （C ）． 21a a ++ （D ） 321a a a +++（9）设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图像 如右图所示，则y =f (x )的图像最有可能的是 ( )(A) (B) (C) (D)（10） 给出函数)32(log )(22+--=x x x f 下面几条性质（1）函数)(x f 的定义域为)1,3(-； （2）函数)(x f 的值域为]2,(-∞； （3）函数)(x f 在),1(+∞-上有反函数； （4）函数)(x f 在)1,1[-上是增函数则其中正确的命题为（ ）()A ①④ ()B ①② ()C ①②③ ()D ①②④第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（11） 一离散型随机变量ξ ，且Eξ=1 5，则a －b=（12） 国家准备出台调整个人收入所得税方面的政策，各地举行各行业收入的入户调查 某住宅小区约有公务员120，公司职员200人，教师80人，现采用分层抽样的方法抽取容量为20人的样本进行调查，则公务员 公司职员 教师各抽取的人数为（13）设函数()f x x x bx c =++ 给出下列四个命题：①0c =时，()y f x =是奇函数；②0,0b c =>时，方程()0f x =只有一个实根；③()y f x =的图象关于(0,)c 对称; ④方程()0f x =至多有两个实根其中正确的命题是_________________________(14)()f x 为多项式,且 8)(lim ,33)(lim 023==+→∞→x x f x x x f x x , 则()f x =____________三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （15）．（本小题满分12分）已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝22{|(1)x ax x a -<-+（1）当a ＝2时，求A B ； （2）求使B ⊆A 的实数a（16）．（本题满分14分）假设从汽车东站驾车至汽车西站有两条路，路线长短可视为无差别 第一条路的途中要经过5个交通岗，并且遇红灯的概率都是31；第二条路的途中只有4个交通岗，但前二岗遇红灯的概率都是32，后二岗遇红灯的概率都是3设某辆汽车在各交通岗遇到红灯的事件是独立的 （1）求这辆汽车在第一条路途中遇到红灯数ξ的期望和方差； （2（17 （本小题13分）已知函数6)2()1(2131)(23++-++=x a x a ax x f 的极大值是(3)f -=（1）()f x 是否存在极小值？若存在则求出极小值；若不存在请说明理由； （2）求函数f (x )的单调区间（18）．(本题满分13分)已知数列{}n a 满足112a =,且前n 项和2n n S n a =（1）求234,,a a a ；（2）猜测n a（19） （本小题14分）某集团公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每投入广告费t (百万元 可增加销售额约为25t t -+ (百万元)(0≤t ≤5)(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费才能使该公司由此获得的收益最大?(2)现该公司准备投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x （百万元），可增加的销售额约为32133x x x -++（百万元）．请你设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？（收益＝销售额－投入）（20）．（本题满分14分）已知函数32()f x ax bx c =++的图象过点(0,1)，且在1x =处的切线方程为21y x =-（1）求()f x 的解析式； （2）若()f x 在[0,]m 上有最小值1927，求实数m 的取值范围泰安中学高三年级第三次月考数学试卷（答案）二．填空题： （11） 0； （12）6，10，4（13）①②③ （14）－3x 3+3x 2+8x三．解答题：（15） （本小题满分12分） 解：（1）当a ＝2时，A ＝（2，7），B ＝（4，5）∴ A B ＝（4，5） ………4分（2）∵ B ＝（2a ，a 2＋1）， 当a ＜13时，A ＝（3a ＋1，2） ………………………………5分 要使B ⊆A ，必须223112a a a ≥+⎧⎨+≤⎩，此时a ＝－1；………………………………………7分当a ＝13时，A ＝Φ，使B ⊆A 的a 不存在；……………………………………9分 当a ＞13时，A ＝（2，3a ＋1）要使B ⊆A ，必须222131a a a ≥⎧⎨+≤+⎩，此时1≤a ≤3 ……………………………………11分综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1，3]∪{－1}……………………………12分（16）．(本小题满分14分) 解：（Ⅰ）依题意知ξ～B(5，31) …………………………2分 ∴ξ= np==35， …………………………4分 Dξ= np （1－p ）=5×31×32=910…………………………6分（Ⅱ）设第二条路途中遇到红灯数为η，则η=0，1，2，3，4 …………7分P （η=0）=31×31×32×32=814 P （η=1）=12C ×32×31×2)32(+2)31(×12C ×31×32=8120 P （η=2）=2)32(×2)32(+（12C ×31×32）（12C ×32×31）+2)31(×2)31(=8133P （η=3）=2)32(（12C ×31×32）+（12C ×31×32）2)31(=8120P （η=4）=2)32(2)31(=814…………………………11分Eη=0×814+1×8120+2×8133+3×8120+4×814=2 ……………………13分∵ Eξ=35＜Eη，∴ 应走第一条路较好 …………………………14分（17）．（本小题满分13分）解：（1）由6)2()1(2131)(23++-++=x a x a ax x f 的极大值是f (－3)=15 得a =1 ………… 3分 因此y =6331)(23+-+=x x x x f ， y′=x 2+2x －3， ………… 4分 令y′=0，得x =－3或x =1, ………… 6分 当x ∈ (－∞,－3)时，y′＞0 当x ∈ (－3,1)时，y′＜0 当x ∈ (1, +∞)时，y′＞0 ………… 9分 ∴当x=1时，y 取极小值，且,313)1(==f y 极小值 ………… 10分 （2）由（1）可知，(－∞,－3) 和(1, +∞)是函数的增区间，(－3,1) 是函数的减区间 …………13分212341:(1),121, (16)11, (31220)1....................5(1)n n a s n a n a a a n n =======+ n (18)本题13分.解由令得分同理得分(2)猜想a 分下面用数学归纳法证明:12111(1),, (6122)1(2)......7(1)(1)k a k k k a +==⨯=+=+1k k+1当a =1时公式显然成立分假设当n=k 时公式成立,即a 分那么当n=k+1时,s 221122112211(1)(1)1(1)(1)k kk k k k k k k k s k a s a k a k a a k a k a k a k k ++++++=∴+=++=++=++ []111(1)(2)(1)(1)1.................................12..........13k a k k k k N +*∴==+++++∴∈当n=k+1时公式成立分根据(1)、(2)可知,对一切n 公式成立分（19） （本小题14分） 解：（1）设该公司投入广告费t 百万元（t ＜3），获得的收益为y 百万元 1分 ∴ y ＝－t 2+5t －t ＝－t 2+4t ………… 3分当t ＝2时，y 有最大值4 ………… 5分故该公司投入广告费2百万元时，获得的收益最大，为4百万元 …6分（2）设该公司投入技术改造费x 百万元，获得的收益为y 百万元，则投入广告费为3－x百万元 …………… 7分y ＝－31x 3+x 2+3x ＋－（3－x ）2+5（3－x ）－3＝－31x 3+4x ＋3 ……… 9分 42+-='x y令42+-='x y ＝0 得 x ＝2或x ＝－2（舍去） …… 12分即当x ＝2时，y 取极大值325这也是y 的最大值 …… 13分 故该公司投入技术改造费2百万元，投入广告费为1百万元时，获得的收益最大，为325百万元 ………………14分 20．（本小题满分14分）解：∵2()32f x ax bx '=+， ………………… 1分∴(1)322f a b '=+= …………………2分 又(0)1,(1)1f f ==， ∴1c =，1a b c ++=，∴2,2,1a b c ==-= ∴32()221f x x x =-+ …………………… 7分（2）∵22()646()3f x x x x x '=-=-，∴当2[0,]3x ∈时，()0f x '≤，2[,)3x ∈+∞时，()0f x '≥，∴()f x 在2[0,]3上单调减，在2[,)3+∞上单调增 ……… 10分又∵3222219()2()2()133327f =⨯-⨯+= …………11分①当203m <<时，()f x 在[0,]m 上单调减，故 min ()()f x f m =219()327f >=即得203m <<不合题意 ………12分②当23m ≥时，32min 22219()()2()2()133327f x f ==⨯-⨯+=，适合题意 ……13分综上可得，实数m 的取值范围为：23m ≥ … 14分。

泰安市高三第一轮复习质量检测数学试题（理科）2013.3一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}{}1,1,124x A B x =-=≤<，则A B ⋂等于A.{}1,0,1-B.{}1C.{}1,1-D.{}0,12.复数311i i -+（i 为虚数单位）的模是B. C.5 D.83.如果椭机变量()()21,,310.4N P ζσζ---≤≤-=且，则()1P ζ≥等于A.0.4B.0.3C.0.2D.0.14.下列结论错误．．的是A.命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则”B.“4x =”j “2340x x --=”的充分条件C.命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题D.命题“若220m n +=，则00m n ==且”的否命题是“若220.00m n m n +≠≠≠则或”5.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是A.4B.5C.6D.76.当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是A.奇函数且图像关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称B.偶函数且图像关于点(),0π对称C.奇函数且图像关于直线2x π=对称D.偶函数且图像关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称7.在2ABC AB ∆∠=中,A=60，且ABC ∆BC 的长为B.3 D.78.已知()1,6,2a b a b a ==⋅-=则向量a b 与的夹角为A.2πB.3πC.4πD. 6π 9.若,,0,a b R ab ∈>且则下列不等式中，恒成立的是A.a b +≥B.11a b +> C.2b a a b +≥ D.222a b ab +> 10.设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、x 2、x 3，且123,x x x <<则下列结论正确的是A.11x >-B.20x <C.32x >D.201x <<11.直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是 A.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ D.3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭12.设奇函数()[]1,1f x -在上是增函数，且()11f -=-，若函数，()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立，则当[]1,1a ∈-时t 的取值范围是A.22t -≤≤B.1122t -≤≤ C.202t t t ≤-=≥或或 D.11022t t t ≤-=≥或或 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置.13.从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数，这个数可以构成等差数列的概率为 ▲ .14.二项式6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于 ▲ （用数字作答）.15.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上，且8,AB BC ==O ABCD -的体积为 ▲ .16.设双曲线221x y m n+=的离心率为2，且一个焦点与抛物线28x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为 ▲ .三、解答题：17.（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为,415349,,,n S a a a a a =-成等差数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）证明：对任意21,,,k k k R N S S S +++∈成等差数列.18.（本小题满分12分）已知()sin ,,3,cos ,,334x x m A A n f x m n f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭且 （1）求A 的值；（II ）设α、()()30780,,3,3,cos 21725f f πβαπβπαβ⎡⎤⎛⎫∈+=-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭求的值.19.（本小题满分12分）如图在多面体ABCDEF 中，ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB//ED ，且AD=DE=2BF=2.（I ）求证：AC EF ⊥；（II ）求二面角C —EF —D 的大小；（III ）设G 为CD 上一动点，试确定G 的位置使得BG//平面CEF ，并证明你的结论.20.（本小题满分12分） 某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1，2，3，4，5，6，按行业规定产品的等级系数5ξ≥的为一等品，35ξ≤<的为二等品，3ξ<的为三等品.若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下；（I ）以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率；（II ）已知该厂生产一件产品的利润y （单位：元）与产品的等级系数ζ的关系式为1,32,354,5y ξξξ<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z ，求Z 的分布列和数学期望.21.（本小题满分13分） 已知椭圆221:1164y x C +=，椭圆C 2以C 1的短轴为长轴，且与C 1有相同的离心率. （I ）求椭圆C 2的方程；（II ）设直线l 与椭圆C 2相交于不同的两点A 、B ，已知A 点的坐标为()2,0-，点()00,Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅=，求直线l 的方程.22.（本小题满分13分）已知函数()()()()201,10.x f x ax bx c e f f =++==且（I ）若()f x 在区间[]0,1上单调递减，求实数a 的取值范围；（II ）当a=0时，是否存在实数m 使不等式()224141x f x xe mx x x +≥+≥-++对任意x R ∈恒成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.。

泰安市年高三第一轮复习质量检测数学（理）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上. 3.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S=4πR 2如果事件A 、B 相互，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率 V=34πR 3是P ，那么n 次重复试验中恰好发 其中R 表示球的半径生k 次的概率P n (k)=C ()1n kk kn p P --一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若p 、q 为简单命题，则“p 且q 为假”是“p 或q 为假”的 A.充分不必要的条件 B.必要不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件2.已知复数z 1=2-3i,z 2=i i ++223,则21z z等于A.1+2iB.1-2iC.-1-2iD.-1+2i3.设{a n }是正项等比数列，且a 5a 6=10，则lga 1+lga 2+…+lga 9+lga 10等于 A.5 B.l+lg5 C.2D.10 4.若实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤,y x ,y ,x 222则x +2y 的最小值与最大值分别是A.2，6B.2，5C.3，6D.3，55.已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列四个命题： ①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m; ③若m⊥α,m∥β,则α⊥β;④若m∥n,m∥α,则n∥α.其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2D.36.设函数f(x)=2242311233x x x x ax +⎧-⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩()()11≤>x x 在点x=1处连续，则a 等于A.-21B.21 C.-31D. 317.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+1)(x 3,x -1),(x ,1x 则不等式f(x)≥1的解集是A.(]2][12，， -∞-B.(-∞，-2)∪(0,2)C. (]2][02，， -∞-D.[-2，0]∪[2，+∞)8.给出下列四个函数 f(x)=-;x 31-g(x)=1-||x|-1|;φ(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>;x ,,x ,,x ,010001h(x)=()⎪⎩⎪⎨⎧--x log ,,x log 2201111-≤<<-≥x ,x ,x 及它们的图象 则图象①，②，③，④分别对应的函数为A.φ(x),h(x),g(x),f(x)B.φ(x),g(x),h(x),f(x). B.φ(x),h(x),f(x),g(x) D.φ(x),g(x),f(x),h(x). 9.如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角等于 x A.arcsin 63 B.arccos63C.arcsin33 D.arccos 33 10.已知F 1和F 2是两个定点，椭圆C 1与等轴双曲线C 2都以F 1、F 2为焦点，点P 是C 1与C 2的一个交点，且∠F 1PF 2=90°，则椭圆C 1的离心率是 A.63 B.23 C.22D.322 11.已知函数y=sin(ωx+φ)与直线y=21的交点中，距离最近的两点间的距离为3π,那么此函数的最小正周期是 A.3πB.πC.2πD.4π12.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令P(n)表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记P(0)=0,则下列结论中错误的是 A.P(3)=3 B.P(5)=1 C. P ()>P() D.P()<P()第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项： 1.第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔答在试卷中(除题目有特殊规定外). 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，请把答案填在题中横线上. 13.在△ABC 中，∠B=30°，AC=3，BC=3，则∠C 的大小为___________.14.为了了解商场某日旅游鞋的销售情况，抽取了 部分顾客购鞋的尺寸，将所得的数据整理后，画出 频率分布直方图如图.已知中从左至右前3个小组 的频率之比为1∶2∶3，第4小组与第5小组的频率分别为0.175和0.075，第二小组的频数为10，则抽取的顾客人数是________.15.如果直线l 将圆x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________.16.将一个四棱锥V-ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为__________.(用数字作答)三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答应写出必要的交字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知向量0).2(-n ,m ,1),(sin n ,1,32cos ，π为共线向量，且ααα∈=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=m (Ⅰ)求sinα-cosα的值； (Ⅱ)求αααtan 12cos 2sin 1+++的值.18.(本小题满分12分)甲袋中装有2个白球1个黑球，乙袋中装有3个白球1个红球，现从甲袋中连续三次有放回地摸出一球，从乙袋中连续两次有放回地摸出一球.(Ⅰ)求从甲袋中恰有一次摸出白球同时在乙袋中恰有一次摸出红球的概率；(Ⅱ)求从甲袋中摸出白球的次数与从乙袋中摸出白球的次数之和为2的概率； (Ⅲ)设从甲袋中摸出白球的次数为随机变量ζ，求Eζ.19.(本小题满分12分)如图所示，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC=BC=AA 1=2，∠ACB=90°，E 为BB 1的中点，点D 在AB 上且DE=3.(Ⅰ)求证：CD⊥面A 1ABB 1； (Ⅱ)求二面角C-AE-D 的大小； (Ⅲ)求点A 1到平面CDE 的距离.20.(本小题满分12分)已知a<2，f(x)=(x 2+ax+a)e -x(Ⅰ)当a=1时，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)是否存在实数a ，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.21.(本小题满分12分)在直角坐标平面内，△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为A(-1，0)，B(1，0)平面内两点G ，M 同时满足以下条件：①GA GB GC 0++=MC MB MA =；③AB GM ∥ (Ⅰ)求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；(Ⅱ)过点P(2，0)的直线l 与△ABC 的顶点C 的轨迹交于E ，F 两点，求PE PF ⋅的取值范围.22.(本小题满分14分)设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n∈N *都有a 31+a 32+a 2n 3n 33S a =+⋯+,其中S n 为数列{an}的前n 项和. (Ⅰ)求证：a n n 2n a S 2-=;(Ⅱ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅲ)设b n =3n +(-1)n-1λ·2a n (λ为非零整数，n∈N *)，试确定λ的值，使得对任意n∈N *,都有b n+1>b n 成立.泰安市年高三第一轮复习质量检测 数学试题参考答案及评分标准(理科)一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B A A C D C C D A B D 二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分. 13.62ππ, 14.40 15.[0，2] 16.72三、解答题：本题共6个小题，共74分. 17.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∴n ,cos m 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132α=(sinα,1)共线 t ∴sinα+cosα=32……………………………………………………………… 2分 故sin2α=-97从而(sinα-cosα)2=1-sin2α=169……………………………………………… 4分 x ∴α∈(-02,π)∴sinα<0，cosα>0 ∴sinα-cosα=-34…………………………………………………………………6分 (Ⅱ)∵()22cos 2cos sin 1sin 2cos 1tan sin cos αααααααα+++=++=2cos 2α=1+cos2α……9分又cos2α=cos 2α-sin 2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=9243432=⨯ ∴原式=1+924…………………………………………………………………… 12分 18.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由题意知，从甲袋中摸出白球和从乙袋中摸出红球是相互的，则P=C 13·32·(31)2·C 12·43·41=121………………………………………………3分 (Ⅱ)由题意知，事件A ：从甲袋中摸出白球2次，从乙袋中摸出白球0次；事件B ：从甲、乙袋中摸出白球各1次，事件C:从甲袋中摸出白球0次，从乙袋中摸出白球2次，则P(A)=C 23·(32)2·31·C 02·(43)0·(41)2=361……………………………………… 5分 P(B)=C 13·32·(31)2·C 12·43·41=121…………………………………………… 7分 P(C)=C 03·(32)0(31)3·C 22(43)2(41)0=481…………………………………………9分 又事件A 、B 、C 互斥 ∴所求事件的概率为： P(A)+P(B)+P(C)=14419481121361=++ ………………………………………………10分 (Ⅲ)由题意知，随机变量ζ服从二项分布ζ~B(3，32) ∴Eζ=3×32=2…………………………………………………………………… 12分 19.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱∴B 1B⊥AB，又BE=1，DE=3 ∴BD=21322=-=-BE DE又AB=2222=+BC AC ……………………………………………………………2分 ∴D 为AB 中点，由于AC=BC ∴CD⊥AB.由已知，面ABB 1A 1⊥面ABC∴CD⊥面A 1ABB 1……………………………………………………………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知CD⊥面A 1ABB 1，过D 作DF⊥AE 于F,连FC ，则FC⊥AE，故∠DFC 为二面角C —AE —D 的平面角………………………………………… 6分 ∵BE=1，AB=22，AE=381=+ 在Rt△ABE 中 ,sin∠DAE=31在Rt△ADF 1223= 在Rt△CDF 中，tan∠DFC=332221===DFABDF CD∴∠DFC=arctan3即二面角C-AE-D 大小为arctan3. …………………………………………………9分 (Ⅲ)连接A 1D 、A 1E ，∵A 1B 1=22，AA 1=2，AD=2，B 1E=1 ∴A 1E=3，A 1D=6， 又DE=3，∴A 1D⊥DE.又∵CD⊥平面A 1ABB 1，∴CD⊥A 1D.故A 1D⊥平面CDE ，即A 1D 为点A 1到平面CDE 的距离∴点A 1到平面CDE 的距离为6.………………………………………………… 12分20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)当a=1时，f′(x)=e -x (-x 2+x) 当f′(x)>0时，0<x<1 当f′(x)0<时，x>1或x<0所以，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(-∞,0),(1,+∞) ……4分(Ⅱ)f′(x)=(2x+a)e -x -e -x (x 2+ax+a)=e -x [-x 2+(2-a)x]令f′(x)=0,得x=0或x=2-a…………………………………………………………6分 x (-∞,0) 0 (0，2-a)2-a (2-a,+∞)f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小 ↗ 极大 ↘由表可知f 极大(x)=f(2-a)=(4-a)e …………………………………………………8分设g(a)=(4-a)e a-2g′(a)=-e a-2+e a-2(4-a)=(3-a)·e a-2>0 ∴g(a)在(-∞，2]上是增函数…………………………………………………… 10分 ∴g(a)<g(2)=2<3∴(4-a)e a-2≠3∴不存在实数a ，使得f(x)的极大值为3. ……………………………………… 12分 21.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)设点C ，G 的坐标分别为(x,y)，(x 0,y 0),GC GB GA ++=(-1-x 0,-y 0)+(1-x 0,-y 0)+(x-x 0,y-y 0)=(x-3x 0,y-3y 0)=0∴⎩⎨⎧==,y y ,x x 0033……………………………………………………………2分 MB MA 和GM ∥AB ,知点M 的坐标为(0，y 0)，MC MA 可得()202201y y x y -+=+,∴1+222949y x y +=,即x 2+132=y ,故点C 的轨迹方程是x 2+213y =(y≠0). ………………………………………… 5分 (Ⅱ)直线l 的斜率为k(k≠0),则它的方程为y=k(x-2), 由()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=,y x ,x k y 033222可得(3+k 2)x 2-4k 2x+4k 2-3=0, 其中△=16k 2-4(3+k 2)(4k 2-3)=36(1-k 2)>0,∴-1<k<1且k≠0……………………………………………………………………7分 设两交点E ，F 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，由韦达定理得x 1+x 2=3422+k k ,x 1·x 2=33422+-k k ……………………………………………………… 8分又因为y 1=k(x 1-2),y 2=k(x 2-2),从而PE PF ⋅=(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=(1+k 2)(x 1-2)(x 2-2)=(1+k 2)(43423342222++⨯-+-k k k k )=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++3219319222k k k (10)分又0<k 2<1,所以3<k 2+3<4,得PE PF ⋅∈(3，29). ∴PE PF ⋅的取值范围是(3，29).…………………………………………………12分 22.(本小题满分14分)解：(Ⅰ)由已知，当n=1时，a 2131a =,∵a 1>0,∴a 1=1. ………………………… 1分 当n≥2时，++3231a a …+2331n n n S a a =+- ①++3231a a …+2131--=n n S a ②由①—②得，a ()n a n n a S a +=-132……………………………………………………3分∵a n >0, ∴a 2n =2S n-1+a n ，即a 2n =2S n -a n ，当n=1时，∴a 1=1适合上式，∴a ().*N n a S n n n ∈-=22………………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a n n n a S +=-122,即a 2n =2S n -a n (n∈*N )③当n≥2时，a 21-n =2S n-1-a n-1 ④由③—④得，a 212--n n a =2(S n -S n-1)-a n +a n-1=2a n -a n +a n-1=a n +a n-1…………………………………… 8分∵a n +a n-1>0,∴a n -a n-1=1,数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为1，可得a n =n. …………………………………………………………………………10分(Ⅲ)∵a n =n,∴b n =3n +(-1)n-1λ·2a n =3n +(-1)n-1λ·2n, …………………………11分 要使b n+1> b n 恒成立，b n+1-b n =3n+1+(-1)n λ·2n+1-[3n +(-1)n-1λ·2n]=2·3n -3λ(-1)n-1·2n>0恒成立 则（-1）n-1·λ<(23)n-1恒成立……………………………………………………12分 当n 为奇数时，即为λ<(23)n-1恒成立 又(23)n-1的最小值为1， ∴λ<1当n 为偶数时，即为λ>-(23)n-1恒成立 又-(23)n-1最大值为-23 ∴λ>-23…………………………………………………………………………… 13分 ∴-23<λ<1，又λ≠0，∴λ=-1 ∴λ=-1，使得对任意n∈*N ，都有b n+1>b n …………………………………… 14分。

山东省泰安市高三3月统一质量检测〔一模〕数学试题一、单项选择题1．集合{}22{|60},|4A x x x B x x =--≤=> ，那么AB =〔 〕A ．(2,3)B ．[2,3]C ．(]2,3 D ．[2,3]{2}⋃-【答案】C【分析】求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】[2,3],(,2)(2,),(2,3]A B A B =-=-∞-⋃+∞⋂= 应选：C2．i 是虚数，假设复数543z i=+，那么z 的共轭复数z =〔 〕 A ．4355i + B ．4355i - C ．4355i -+ D ．4355i -- 【答案】A【分析】利用复数的四那么运算以及共轭复数的概念即可求解.【详解】()()()()5435435434343432555i i z i i i i --====-++-， 所以z =4355i +. 应选：Ap ：x R ∀∈，210ax ax ++>q ：函数()1x y a =-+p 成立是q 成立的〔 〕A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】p 、q 的关系.【详解】p ：x R ∀∈，210ax ax ++>有240a a a >⎧⎨∆=-<⎩或0a =，即04a ≤<，q ：函数()1x y a =-+是减函数有11a +>，即0a >，∴p ⇏q ，q ⇏p ，p 成立是q 成立的既不充分也不必要条件.应选：DA ．36种B ．48种C ．72种D ．144种【答案】C【分析】根据题意，分3步进行分析：①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访〞区域采访，②在剩下的外2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区〞采访，③将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区〞采访，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访〞区域采访，有214318C C =种情况，②在剩下的外2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区〞采访，有11224C C =种情况，③将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区〞采访，有1种情况， 那么有18472⨯=种不同的安排方案， 应选：.C5．直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=有公共点,那么实数a 的取值范围为〔 〕 A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．[)0,2D ．(),2-∞【答案】A【分析】依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出．【详解】依题意可知，直线与圆相交或相切．22220x y x y a ++-+=即为()()22112x y a ++-=-．由11222a -++≤-，解得0a ≤．应选：A ．【点睛】此题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于根底题． 6．定义在R 上的偶函数()f x 在(),0-∞上单调递增，那么〔 〕A ．3414412log 6log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．3441412log log 65f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．341441log 62log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．341441(log 6)(log )(2)5f f f -<<【答案】D【分析】比较341441|log 6|,2,|log |5-的大小，再根据单调性，即可得答案； 【详解】偶函数()f x 在(),0-∞上单调递增，∴函数()f x 在(0)+∞上单调递减，11444411(log 6)(|log 6|),(log )(|log |)55f f f f ==，又144441|log 6|log 6,|log |log 55==，∴1441|log 6||log |15>>，3421-< ∴341441(|log 6|)(|log |)(2)5f f f -<<，∴341441(log 6)(log )(2)5f f f -<<，应选：D.【点睛】根据偶函数的性质(||)()f x f x =，结合函数的单调性是求解的关键. 7．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为〔 〕 A ．5π B ．πC ．113π D ．73π【答案】D【分析】易知此三棱柱为正三棱柱，上下底面中心连线的中点为球心，求出底面三角形外接圆半径，利用勾股定理即可得解.【详解】由三棱柱所有棱的长1a =，可知底面为正三角形，底面三角形的外接圆直径122sin 603r ==，所以3r = 设外接球的半径为R ，那么有222117()23412aR r =+=+=， 所以该球的外表积2743S R ππ==， 应选：D.8．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，假设0n a >，112a =，2n S <，那么等比数列{}n a 的公比的取值范围是〔 〕 A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据等比数列前n 项和公式，结合题意和指数幂的性质进行求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为0n a >，112a =，2n S <，所以01q <<， 1(1)144342200111n n n n q q q q q S q q q---+--+=<⇒<⇒<---，因为01q <<， 所以有34034n q q q -+<⇒-+<， 因为01q <<，所以01n q <<，因此要想34n q q -+<对于n *∈N 恒成立，只需33404q q -+≤⇒≤，而01q <<， 所以304q <≤. 应选：A二、多项选择题9．设正实数a ，b 满足1a b +=，那么〔 〕 A ．22log log 2a b +≥- B ．1174ab ab +≥ C．213a b+≤+D ．122a b-> 【答案】BD【分析】根据根本不等式，结合对数的运算性质、对钩函数的单调性、指数函数的单调性进行判断即可.【详解】因为正实数a ，b 满足1a b +=，所以210()24a b ab +<≤=，当且仅当12a b ==时，取等号. A ：因为22221log log log log 24a b ab +=≤=-，所以本选项不正确； B ：设1=,(0,]4ab x x ∈，函数1y x x=+在1(0,]4x ∈时，单调递减，因此当1=4x 时，函数有最小值，最小值为1117=1444y =+，因此有174y ≥，即1174ab ab +≥，所以本选项正确；C ：因为正实数a ，b 满足1a b +=， 所以212222332322a b a b b a b a a b a b a b a b+++=+=++≥+⋅=+，当且仅当2b aa b=时，取等号，即22,21a b =-=-时，取等号，所以本选项不正确； D ：因为正实数a ，b 满足1a b +=，所以21112222a b a ---=>=，因此本选项正确. 应选：BD10．如下列图，在长方体1111ABCD A BC D -，假设AB BC =，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，那么以下结论中成立的是〔 〕A ．EF 与1BB 垂直B ．EF ⊥平面11BDD BC ．EF 与1CD 所成的角为45︒ D ．//EF 平面1111D C B A【答案】ABD【分析】证明出11//EF AC ，111BB AC ⊥，可判断A 选项的正误；证明出11AC ⊥平面11BB D D ，结合11//EF AC 可判断B 选项的正误；计算出11AC D ∠的值，结合11//EF AC 以及异面直线所成角的定义可判断C 选项的正误；利用线面平行的判定定理可判断D 选项的正误.【详解】连接1A B 、11AC 、1A D ，那么E 为1AB 的中点，对于A 选项，1BB ⊥平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，111BBAC ∴⊥， E 、F 分别为1A B 、1BC 的中点，那么11//EF AC ，1EF BB ∴⊥，A 选项正确；对于B 选项，四边形1111D C B A 为正方形，那么1111AC B D ⊥， 又111AC BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，11AC ∴⊥平面11BDD B ， 11//EF AC ，EF ∴⊥平面11BDD B ，B 选项正确；对于C 选项，易知11AC D 为等边三角形，那么1160AC D ∠=，11//EF AC ，那么EF 与1C D 所成的角为1160AC D ∠=，C 选项错误；对于D 选项，11//EF AC ，EF ⊄平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，//EF ∴平面1111D C B A ，D 选项正确. 应选：ABD.【点睛】此题考查线线垂直、线面垂直、线面平行以及异面直线所成角的判断，属于中等题.11．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ＞时，()1xx f x e -=.那么以下结论正确的选项是〔 〕. A ．当0x <时，()()1xf x ex =-+B ．函数()f x 在R 上有且仅有三个零点C ．假设关于x 的方程()f x m =有解，那么实数m 的取值范围是()()22f m f -≤≤D ．12,x x ∀∈R ，()()212f x f x -< 【答案】BD【分析】根据函数的性质结合图象，逐项判断，即可得到此题答案.【详解】令0x <，那么0x ->，所以1()(1)()xxx f x e x f x e----==-+=-，得()(1)x f x e x =+，所以选项A 错误；观察在0x <时的图象，令()(1)(2)0x x x f x e x e e x '=++=+=，得2x =-， 可知()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上递增，且在(,1)-∞-上，()0f x <，在(1,0)-上，()0f x >，由此可判断在(,0)-∞仅有一个零点，由函数的对称性可知()f x 在(0,)+∞上也有一个零点，又因为(0)0f =，故该函数有三个零点，所以选项B 正确； 由图可知，假设关于x 的方程()f x m =有解，那么11m -<<，所以选项C 错误； 由图可知，()f x 的值域为(1,1)-，所以对12,x x ∀∈R ，()()212f x f x -<恒成立，所以选项D 正确. 应选：BD【点睛】此题主要考查函数的性质和导数在研究函数中的应用，表达了数形结合的数学思想，综合性较强.12．函数()sin y x ωϕ=+与()cos 0,||2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在520,2x ⎡∈⎢⎣⎦的图象恰有三个不同的交点P ，M ，N .假设PMN 为直角三角形，那么〔 〕 A ．22ω=B ．PMN 的面积S π=C ．,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ D ．两函数图象必在944x πϕω-=处有交点【答案】ACD【分析】根据正余弦函数的性质，结合PMN 2为2222.【详解】由()()sin cos x x ωϕωϕ+=+，得,4x k k Z πωϕπ+=+∈，而)cos 44i 2s n k k k Z ππππ⎛⎫+=+=±∈ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭， 因为函数()sin y x ωϕ=+与()cos y x ωϕ=+的图象恰有三个不同的交点P ，M ，N ，且PMN 为直角三角形，所以PMN 的高为22⎛--= ⎝⎭所以斜边为所以22T πω==,故A 正确；122PMNS=⨯=，故B 错误；因为0,2x ⎡∈⎢⎣⎦，那么5,2x πωϕϕϕ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 由正余弦函数的性质得344ππϕ-<≤，且9513424πππϕ≤+<， 因为||2ϕπ<，那么,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故C 正确； 因为134x πωϕ+<，解得1344x πϕω-<，故D 正确； 应选：ACD【点睛】易错点睛：由 0,2x ⎡∈⎢⎣⎦，得到5,2x πωϕϕϕ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，容易无视确定344ππϕ-<≤，且9513424πππϕ≤+<.三、填空题13．1tan 2α=-，那么1sin 2α-=___________.【答案】95【分析】根据同角三角函数根本关系式，二倍角正弦公式即可化简求值得解.【详解】因为 1tan 2α=-所以221sin 2=sin cos 2sin cos ααααα-+-2222sin cos 2sin cos sin cos αααααα+-=+ 22111tan 12tan 941tan 1514ααα+++-===++故答案为：95.【点睛】此题注意“1〞的替换，即22sin cos 1αα+=和齐次化正切的技巧. 14．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49 26 3954根据上表可得回归方程ˆy bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为______万元. 【答案】65.5【分析】利用表格可得x ，y ，求出回归直线方程，将6x =代入可得此模型预报广告费用为6万元时销售额． 【详解】由表可计算4235742x +++==，49263954424y +++==，因为点7(,42)2在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,且ˆ9.4b =，所以7429.4ˆ2a =⨯+, 解得ˆ9.1a =,故回归方程为ˆ9.49.1yx =+，令6x =得ˆy = 故答案为：65.515．如图，在平面四边形ABCD 中，AD =3，4BC =，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，那么PQ EF ⋅的值为________.【答案】74-【分析】可连接FP ，FQ ，EP ，EQ ，根据题意即可得出四边形EPFQ 为平行四边形，从而可得出11(),()22PQ AD BC EF AD BC =-=+，然后进行数量积的运算即可．【详解】如图，连接FP ，FQ ，EP ，EQ ，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，∴四边形EPFQ 为平行四边形，∴1()2PQ EQ EP AD BC =-=-，1()2EF EP EQ AD BC =+=+，且3AD =，4BC =， ∴2217()44PQ EF AD BC =-=-．故答案为：74-．【点睛】此题考查了三角形中位线的性质、向量加法的平行四边形法那么、向量减法和数乘的几何意义，考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于根底题． 16．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线C 的准线于点A ，与抛物线C 的一个交点为B ，且(2AB k BF k =≥.假设l 与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线垂直，那么该双曲线离心率的取值范围是___________. 【答案】12e <≤【分析】不妨设直线l 的斜率为正数，过B 作BC 与抛物线的准线垂直，垂足为C ，根据抛物线的定义可知||||BF BC =，结合(2AB k BF k =≥可得直线l 的斜率的取值范围，利用两直线垂直可求出结果.【详解】依题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 不妨设直线l 的斜率为正数，如图：过B 作BC 与抛物线的准线垂直，垂足为C ， 根据抛物线的定义可知||||BF BC =， 因为(2AB k BF k =≥，所以||||||AB k BF k BC ==，所以1||||BC k AB =cos ABC =∠， 因为2k ≥122k ∈，所以2cos (0,2ABC ∠∈，所以[,)42ABC ππ∠∈，所以tan [1,)ABC ∠∈+∞，即直线l 的斜率的取值范围为[1,)+∞，又l 与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线b y x a =-垂直，所以1a b ≥，所以双曲线的离心率22221112c a b b e a a a +⎛⎫===++= ⎪⎝⎭1e >， 所以12e <≤12e <≤故答案为：12e <≤【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率的取值范围，解题关键是找到关于,,a b c 的不等关系．此题中利用抛物线的定义，结合向量关系求出直线l 的斜率的取值范围，再利用两直线垂直可得所要求的不等关系.四、解答题17．在①4821a a =+，②4是13 ,a a 的等比中项，③125 4S a a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，361S a a =-，且 .〔1〕求n a ；〔2〕设数列1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，试比较n T 与1n n a a +的大小，并说明理由.【答案】〔1〕*31,n a n n N =-∈〔2〕1nn n a T a +>，理由见解析 【分析】〔1〕设等差数列{a n }的公差为d ，根据所选条件求出数列{a n }的首项和公差，进一步求出{a n }的通项公式； 〔2〕求得1n S n +，运用数列的裂项相消求和求得n T ，将n T 与1n n a a +作差，通分化简可得大小．【详解】设等差数列{} n a 的公差为()0d d >，那么132352a d d ⨯+=， 132a d ∴=.方案一：选条件①()1由1843221a d a a =⎧⎨=+⎩，解得12a =，3d =，()*23131,n a n n n ∴=+-=-∈N .()2()21323222n n n nS n n -=+=+ ()()231322n n n S n n n +∴+=+= ()1212113131n S n n n n n ⎛⎫∴==- ⎪+++⎝⎭211111132231n T n n ⎛⎫∴=-+-++- ⎪+⎝⎭21131n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 233nn =+ 又13132n n a n a n +-=+()()2131323322 333233n n n n a n n n T a n n n n +-+-∴-=-=++++ *n N ∈232332320n n ∴+-≥+-=>10nn n a T a +∴-> 1nn n a T a +∴> 方案二：选条件② 由1133216a da a =⎧⎨=⎩解得12a =，3d = ()*23131,n a n n n N ∴=+-=-∈()2同方案一()2方案三：选条件③由1512324a dS a a =⎧⎨=⎩ 解得12a =，3d = ()23131,n a n n n N *∴=+-=-∈()2同方案一()2【点睛】规律方法点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保存了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点． 18．函数()2sin cos cos 6f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 〔1〕求()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最值；〔2〕在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，12A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，a =ABCsin sin B C +的值.【答案】〔1〕()minf x =()max f x =；〔2【分析】〔1〕利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简()f x ，进而由x 的取值范围得出函数的最值；〔2〕利用面积公式，余弦定理和正弦定理求解即可．【详解】〔1〕()21sin sin cos 2f x x x x x ⎫=-+⎪⎪⎝⎭221cos sin cos 22x x x x =-+1cos 21cos 22442x xx -+=-+312cos 244x x =++1234x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52336x πππ∴≤+≤1sin 2123x π⎛⎫∴≤+≤ ⎪⎝⎭ ∴当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()14min f x =，()14maxf x =.〔2〕112234A f A π⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 3A π⎛⎫∴+=⎪⎝⎭ ()0,A π∈4,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭3A π∴=13sin 324ABCSbc A bc === 4bc ∴=又23a =222cos 2b c a A bc +-∴=22128b c +-=()2208b c +-=12= ()224b c ∴+=26b c ∴+=又4sin sin sin a b cA B C=== ()16sin sin 42B C b c ∴+=+= 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22AB AD ==，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.〔1〕假设1PA =，求证：AE ⊥平面PCD ；〔2〕当直线PC 与平面ACE 所成角最大时，求三棱锥E ABC -的体积. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕26.【分析】〔1〕分别证明AE CD ⊥和AE PD ⊥，再由线面垂直的判定定理即证明； 〔2〕设()0AP a a =>，建立空间直角坐标系，找出平面ACE 的法向量，把直线PC 与平面ACE 所成角的正弦表示成a 的函数，再用均值不等式，即可算出a ，从而求得三棱锥E ABC -的体积.【详解】〔1〕证明：PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCDPA CD ∴⊥四边形ABCD 为矩形AD CD ∴⊥又AD PA A ⋂=，,AD PA ⊂平面PADCD 平面PADAE ⊂平面PADCD AE ∴⊥在PAD △中，1PA AD ==，E 为PD 中点AE PD ∴⊥又PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCDAE ∴⊥平面PCD〔2〕以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如下列图的空间直角坐标系.设()0AP a a =>，那么()2,1,0C ，()0,0,P a ，10,,22a E ⎛⎫⎪⎝⎭， ()2,1,0AC ∴=，10,,22a AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2,1,PC a =-，设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =，那么AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩201022x y ay z +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩ 令y a =-，解得21a x z ⎧=⎪⎨⎪=⎩,,12a n a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭设直线PC 与平面ACE 所成角为θ，那么||sin cos ,||||n PC n PC n PC θα⋅=<>=225154aa a =++ 2222720295aa=≤++ 当且仅当2a =时，等号成立∴三棱锥E ABC -的体积1122213226E ABC V -=⨯⨯⨯⨯=【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．某市为了了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下列图的频率分布直方图.〔1〕按照分层抽样，从[)40,50和[)80,90中随机抽取了99名学生中随机推荐33名学生来自[)40,50的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；〔2〕由频率分布直方图可认为：周末运动时间t 服从正态分布()2,N μσ，其中，μ为周末运动时间的平均数t ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得14.6s ≈.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在(]43.9,87.7之外的人数为Y ，求()3P Y =(精确到0.001). 参考数据1：当()2,tN μσ时，()0.6826P t μσμσ-<≤+=，()220.9544P t μσμσ-<≤+=，()330.9974P t μσμσ-<≤+=.参考数据2：90.81850.16490= 30.18150.0060=. 【答案】〔1〕分布列见解析，2；〔2〕0.218.【分析】〔1〕根据频率分布直方图求出在[)40,50上抽取的人数为6人，在[)80,90上抽取的人数为3人，随机变量 X 的所有可能取值为0，1，2，3，利用组合数得出各随机变量的概率，进而得出分布列，即可求出数学期望.〔2〕利用频率分布直方图求出平均数，得出μ，利用正态分布的性质得出()~12,0.1815Y B ，再根据二项分布的概率计算公式即可求解.【详解】解：()1运动时间在[)40,50的人数为30000.0210600⨯⨯=人. 运动时间在[) 80,90的人数为30000.0110300⨯⨯=人.按照分层抽样共抽取 9人，那么在[)40,50上抽取的人数为 6人， 在[)80,90上抽取的人数为3人. ∴随机变量 X 的所有可能取值为0，1，2，3.()3633901084C C P X C === ()1263393114C C P X C ===()21633315228C C P X C ===()3036395321C C P X C ===所以随机变量 X 的分布列为()0123284142821E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= ()2350.1450.2550.3650.15750.1585.158.5tμ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=14.6σ= 43.958.514.6μσ-∴==-，87.758.514.622μσ=+⨯=+()()0.68260.954443.987.720.81852P t P t μσμσ+<≤=-<≤==∴+P ∴〔t μσ≤-或2t μσ>+〕10.81850.1815=-=()~12,0.1815Y B ∴()5391230.18150.8185P Y C ∴==⨯⨯2200.00600.16490.218=⨯⨯≈【点睛】关键点点睛：此题考查了离散型随机变量的分布列、频率分布直方图以及正态分布，二项分布求概率，解题的关键是根据频率分布直方图求均值以及利用正态分布的性质求出p ，考查了计算能力.21．椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，短轴长为〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕A ，B 是椭圆C 上的两个不同的动点，以线段AB 为直径的圆经过坐标原点O .是否存在以O 为圆心的定圆恒与直线AB 相切？假设存在，求出定圆方程；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕22162x y +=；〔2〕存在，2232x y +=.【分析】〔1〕由题意可得b =c e a ==26a =，即可求解.〔2〕设()11,A x y ，()22,B x y ，分情况讨论，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，将直线方程与椭圆联立，利用韦达定理，求出12120OA OB x x y y ⋅=+=，从而可得()22231m k =+，再利用点到直线的距离公式即可求出半径，再求出直线AB 的斜率不存在时圆的半径，从而得出圆的方程. 【详解】解：()1由题意知，b =又3c e a a ===26a ∴=∴ 椭圆C 的方程为22162x y +=()2设()11,A x y ，()22,B x y当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y kx m =+，由22162y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222316360k x kmx m +++-=122631km x x k -∴+=+，21223631m x x k -=+ ()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++以线段AB 为直径的圆过坐标原点O1212OA OB x x y y ∴⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()222222236613131m k m k m k k -=+-+++222466031m k k --==+ ()22231m k ∴=+，且()()222612246910h m k ∆=-+=+>∴坐标原点O 到直线AB 的距离2d===当直线AB的斜率不存在时，由题知，11x y=2211162x x∴+=2132x∴=∴坐标原点O到直线AB的距离1||2d x==综上所述，存在以O为圆心的定圆恒与直线AB相切，定圆的方程为2232x y+=. 【点睛】关键点点睛：此题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是根据0OA OB⋅=，得出()22231m k=+，考查了运算求解能力、分析能力.22．函数()()()21ln212f x x x x a x a R=-+-∈.〔1〕讨论函数()f x的极值点的个数；〔2〕函数()()xeg x f xx'=-有两个不同的零点12,x x，且12x x<.证明：22142121a ax xa---<-.【答案】〔1〕当12a≤时，()f x无极值点；当12a>时，()f x有2个极值点；〔2〕证明见解析.【分析】〔1〕易知函数()f x的定义域为()0,∞+，求导可得()2f x lnx x a'=-+，令()2h x lnx x a=-+，那么()111xh xx x-'=-=，由()h x的单调性可得()()121maxh x h a==-，再分12a≤和12a>讨论即可得解；〔2〕由题意知()2xeg x lnx x ax=-+-，()()()()221111xx x e xe xg xx x x-+-'=-+=，由()g x的单调性可得()()112ming x g e a==+-，假设要函数()g x有两个不同零点那么有()10g<，即120e a+-<，再根据()222222222a ae e g a ln a a a ln a a a=-+-=-， 令()()xe x lnx x e xϕ=-≥，可得22x a <，令()()10n x lnx x x =-+>，可得1121x a >-，作差即可得解. 【详解】〔1〕函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2f x lnx x a '=-+，令()2h x lnx x a =-+，那么()111x h x x x-'=-= 当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减()()121max h x h a ∴==- 当12a ≤时，()1210h a =-≤， ()0f x '∴≤()f x ∴在()0,∞+上单调递减，此时，()f x 无极值点； 当12a >时，()1210h a =-> 201a e -<<，()222220a a a h e a e a e ---=--+=-<()h x ∴在()0,1上有且只有一个零点.()f x ∴在()0,1上有且只有一个极值点.又521a e e >>，()()()55442527770a a a a h e a e a a e a a e a e =-+<-=-<-< ()h x ∴在()1,+∞上有且只有一个零点.()f x ∴在()1,+∞上有且只有一个极值点. 综上所述，当12a ≤时，()f x 无极值点； 当12a >时，()f x 有2个极值点；〔2〕()2xe g x lnx x a x=-+-，那么 ()()()()221111x x x e x e x g x x x x -+-'=-+= 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减.当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增. ()()112min g x g e a ∴==+-函数()g x 有两个不同零点12,x x ，且12x x <()10g ∴<，即120e a +-<21a e ∴>+又()222222222a ae e g a ln a a a ln a a a=-+-=- 令()()xe x lnx x e xϕ=-≥， 那么()()21x e x x x xϕ--'= 令()()()1x m x e x x x e =--≥，那么()1110x e m x xe e +'=-≥->()m x ∴单调递增()()()10e m x m e e e e ∴≥=-->()0x ϕ'∴>()x ϕ∴单调递增.()()()12110e a e e e ϕϕϕ-∴>+>=->()20g a ∴>，22x a ∴<令()()10n x lnx x x =-+>，那么()111x n x x x-'=-= 当()0,1x ∈时，()0n x '>，()n x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0n x '<，()n x 单调递减()()10max n x n ∴==()0n x ∴≤即1lnx x ≤-112121111212112121212121a a e g ln a a a a a a a e --⎛⎫⎛⎫=-+-≥+- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭--∴ 令10,121P a e ⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，那么()10p e g p p p>-> 1121x a ∴>- 221142122121a a x x a a a --∴-<-=--. 【点睛】此题考查了利用导数研究函数的性质，考查了分类讨论思想和证明推理能力，在高考中考查压轴题，要求较高的计算能力和逻辑思维能力，属于难题.此题的关键点有：〔1〕分类讨论思想的应用，分类讨论的关键是找到讨论点；〔2〕反复的构造函数，并用导数研究相关构造的函数.。

一、选择题 1 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设zx y =+,其中实数x,y 满足200,0x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩若z 的最大值为6,则z 的最小值为 （ ）A ．—3B ．—2C ．—1D ．0【答案】A由z x y =+得y x z =-+,作出20,0x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的区域BCD,平移直线y x z =-+,由图象可知当直线经过C 时,直线的截距最大,此时6z =,由6y x y x =⎧⎨=-+⎩解得33x y =⎧⎨=⎩,所以3k =,解得(6,3)B -代入z x y =+的最小值为633z =-+=-,选（ ）A ．2 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）若实数x y 、满足2400x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则21y z x +=-的取值范围为 （ ）A ．2(,4][,)3-∞-⋃+∞B ．2(,2][,)3-∞-⋃+∞C ．2[2,]3- D ．[【答案】A【解析】做出不等式组对应的平面区域OBC .因为21y z x +=-,所以z 的几何意义是区域内任意一点(,)x y 与点(1,2)P -两点直线的斜率.所以由图象可知当直线经过点时,斜率最小,经过点,P B 时,直线斜率最大.由题意知(0,2),(4,0)B C ,所以22410PB k --==--,202143PC k --==-,所以21y z x +=-的取值范围为23z ≥或4z ≤-,即2(,4][,)3-∞-⋃+∞,选 （ ）A ．由40x y x y +=⎧⎨-=⎩,得22x y =⎧⎨=⎩,即(2,2)A ,此时321523AM k -==-,所以35n z m -=-的最小值是13,选 D ．3 ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）设x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ,若目标函数z ax by =+(a .>0,b >0),最大值为12,则b a 32+ 的最小值为 （ ）A ．724 B ．625 C ．5 D ．4【答案】B【解析】做出可行域,由z ax by =+得a zy x b b=-+,因为0,0a b >>,所以直线斜率0a b -<,直线截距越大,z 越大,做出直线a zy x b b=-+,,由图象可知当直线a zy x b b =-+经过点B 时,截距做大,此时12z =,由36020x y x y --=⎧⎨-+=⎩得46x y =⎧⎨=⎩,代入直线z ax by =+得4612a b +=,即132a b+=.所以2323232325()()23232326a b a b a b a b b a +=++=+++≥++=,当且仅当a bb a=,即a b =时取等号,所以选B ．4 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）若不等式231x x k -+->-对任意的x R ∈恒成恒成立,则实数k 的取值范围 （ ）A ．(-2,4)B ．(0,2)C ．[2,4]D ．[0,2]【答案】B 因为23x x -+-的最小值是1,所以要使不等式231x x k -+->-对任意的x R ∈恒成恒成立,则有11k >-,即111k -<-<,所以02k <<,即实数k 的取值范围(0,2),选 B ．5 ．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知不等式2x x ++≤a 的解集不是空集,则实数a 的取值范围是（ ）A ．a <2B ．a ≤2C ．a >2D ．a ≥2【答案】D 因为2x x ++的最小值为2,所以要使不等式的解集不是空集,则有2a ≥,选 D ．6 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z x y =+（ ）A ．有最小值2,最大值3B ．有最小值2,无最大值C ．有最大值3,无最大值D ．既无最小值,也无最大值【答案】B【解析】做出可行域如图(阴影部分).由z x y =+得y x z =-+,做直线y x =-,平移直线y x =-由图可知当直线经过点C(2,0)时,直线y x z =-+的截距最小,此时z 最小为2,没有最大值,选 B ．7 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知()(2)(3),()22x f x a x a x a g x -=+--=-,同时满足以下两个条件:①,()0()0x R f x g x ∀∈<<或; ②(1,)()()0x f x g x ∃∈+∞⋅<，成立,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．1(4,)2-B ．1(,4)(,0)2-∞--C ．(4,1)(1,0)---D ．11(4,2)(,)22---【答案】C 解:由()0g x <⇒1x >-,要使对于任意x ∈R ,()0f x <或()0g x <成立,则1x ≤-时,()(2)(3)0f x a x a x a =+--<恒成立,故0a <,且两根2a -与3a +均比1-大,得40a -<<①.因为(1,)x ∈+∞)时,()0g x <,故应存在0(1,)x ∈+∞,使f (x 0)>0, 只要12a >-或13a >+即可,所以12a >-或2a <-②,由①、②求交,得14202a a -<<--<<或,即实数a 的取值范围是1(4,2)(,0)2--- ,选C ． 8 ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知变量x 、y,满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则41(24)z og x y =++的最大值为 （ ）A ．23B ．1C ．32D ．2【答案】C【解析】设2t x y =+,则2y x t =-+.做出不等式组对应的可行域如图为三角形OBC 内.做直线2y x =-,平移直线2y x =-,当直线2y x t =-+经过点C 时,直线2y x t =-+的截距最大,此时t 最大,对应的z 也最大,由20230x y x y -=⎧⎨-+=⎩,得1,2x y ==.即(1,2)C 代入2t x y =+得4t =,所以41(24)z og x y =++的最大值为44431(24)(44)82z og x y log log =++=+==,选 C ．9 ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））如果不等式57|1|x x ->+和不等式220ax bx +->有相同的解集,则 （ ）A ．8,10a b =-=-B ．1,9a b =-=C ．4,9a b =-=-D ．1,2a b =-=【答案】C【解析】由不等式57|1|x x ->+可知50x ->,两边平方得22(5)49(1)x x ->+,整理得24920x x ++<,即24920x x --->.又两不等式的解集相同,所以可得4,9a b =-=-,选 C ．10．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）设实数,x y 满足不等式组1103300x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩,则 2z x y =+的最大值为 （ ）A ．13B ．19C ．24D ．29【答案】A【 解析】由2z x y =+,得2y x z =-+.做出不等式组对应的平面区域BC D ．A ．11．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）设0.533,log 2,cos 2a b c ===,则（ ）A ．c <b a <B ．c a b <<C ．a <b c <D ．b <c a <【答案】A【解析】0.531=>,,30log 21<<,,cos 20<,所以c b a <<,选（ ）A ．12．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）不等式3≤l5 - 2xl<9的解集是（ ）A ．(一∞,-2)U(7,+co)B ．[1,4]C ．[-2,1】U 【4,7】D ．(2,1][4,7)-【答案】D【解析】由3|52|9x ≤-<得3259x ≤-<,或9253x -<-≤-,即47x ≤<或21x -<≤,所以不等式的解集为(2,1][4,7)- ,选D ．13．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩,则目标函数y x z -=的最小值为 （ ）A ．2-B ．5C ．6D ．7【答案】A由z x y =-得y x z =-.作出不等式对应的平面区域BCD,平移直线y x z =-,由平移可知,当直线y x z =-经过点C 时,直线的截距最大,此时z 最小.由218y x x y =-⎧⎨+=⎩,解得35x y =⎧⎨=⎩,即(3,5)C ,代入z x y =-得最小值为352z =-=-,选 （ ）A ．14．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）设x ,y 满足约束条件231+1x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,若目标函数=+(>0,>0)z ax by a b 的最小值为2,则ab 的最大值为 （ ）A ．1B ．12C ．14D ．16【答案】D【解析】由=+(>0,>0)z ax by a b 得a z y x b b =-+,可知斜率为0ab-<,作出可行域如图,由图象可知当直线a zy x b b=-+经过点D 时,直线a zy x b b =-+的截距最小,此时z 最小为2.由 21x y x =⎧⎨=+⎩得23x y =⎧⎨=⎩,即(2,3)D ,代入直线+2ax by =得232a b +=,又223a b =+≥,所以16ab ≤,当且仅当231a b ==,即11,23a b ==时取等号,所以ab 的最大值为16,选D ．15．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知第一象限的点(a,b)在直线2x+3y -1=0上,则代数式23a b+的最小值为 （ ）A ．24B ．25C ．26D ．27【答案】B【解析】因为第一象限的点(a,b)在直线2x+3y -1=0上,所以有2310,0,0a b a b +-=>>,即231a b +=,所以232366()(23)491325b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=,当且仅当66b a a b =,即15a b ==取等号,所以23a b+的最小值为25,选 B ． 16．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知x,y 满足条件020x y xx y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩(k 为常数),若目标函数3z x y =+的最大值为8,则k= （ ）A ．16-B ．6-C ．83-D ．6【答案】 B 由3z x y =+得133zy x =-+.先作出0x y x ≥⎧⎨≤⎩的图象,,因为目标函数3z x y =+的最大值为8,所以38x y +=与直线y x =的交点为C,解得(2,2)C ,代入直线20x y k ++=,得6k =-,选B ．17．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知不等式组210y x y kx y ≤-+⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于14的三角形,则实数k 的值为 （ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】D【解析】由图象知0k >.当0y =时,1B x k =.2C x =.,所以12k <,即12k >由21y x y kx =-+⎧⎨=-⎩,得211A k y k -=+,所以11211(2)214ABC k S k k ∆-=-⨯=+,解得1k =或2172k =<(舍去),所以1k =,选 D ．18．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）定义区间(, )a b ,[, )a b ,(, ]a b ,[, ]a b 的长度均为d b a =-,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如, (1, 2)[3, 5) 的长度(21)(53)3d =-+-=. 用[]x 表示不超过x 的最大整数,记{}[]x x x =-,其中R x ∈.设()[]{}f x x x =⋅,()1gx x =-,当0x k ≤≤时,不等式()()f x gx <解集区间的长度为5,则k 的值为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．9网【答案】B2()[]{}[]([])[][]f x x x x x x x x x =⋅=⋅-=-,由()()f x g x <,得2[][]1x x x x -<-,即2([]1)[]1x x x -<-.当[0,1)x ∈,[]0x =,不等式的解为1x >,不合题意.当[1,2)x ∈,[]1x =,不等式为00<,无解,不合题意.当2x ≥时,[]1x >,所以不等式2([]1)[]1x x x -<-等价为[]1x x <+,此时恒成立,所以此时不等式的解为2x k ≤≤,因为不等式()()f x gx <解集区间的长度为5,所以2=5k -,即7k =,选 B ．19．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x ,则目标函数y x z 34-=的最小值和最大值分别为 （ ）A ．-6,11B ．2,11C ．-11,6D ．-11,2【答案】A【 解析】由y x z 34-=得433zy x =-.做出可行域如图阴影部分,平移直线433z y x =-,由图象可知当直线433z y x =-经过点C 时,直线433zy x =-的截距最小,此时z 最大,当433z y x =-经过点B 时,直线433zy x =-的截距最大,此时z 最小.由510080x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得53x y =⎧⎨=⎩,即(5,3)C ,又(0,2)B ,把(5,3)C 代入y x z 34-=得43209=11z x y =-=-,把(0,2)B 代入y x z 34-=得4332=6z x y =-=-⨯-,所以函数y x z 34-=的最小值和最大值分别为6,11-,选 （ ）A ．20．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）设奇函数()[]1,1f x -在上是增函数,且()11f -=-,若函数,()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立,则当[]1,1a ∈-时t 的取值范围是 （ ）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤ C ．202t t t ≤-=≥或或D ．11022t t t ≤-=≥或或【答案】C因为奇函数()[]1,1f x -在上是增函数,且()11f -=-,所以最大值为(1)1f =,要使()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立,则2121t at ≤-+,即220t at -≥,即(2)0t t a -≥,当0t =时,不等式成立.当01a ≤≤时,不等式的解为22t a ≥≥.当10a -≤≤时,不等式的解为22t a ≤≤-.综上选C ．。

山东省2013届高三高考模拟卷（三）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义},|),{(*Q b P a b a Q P ∈∈=，则Q P *的子集个数为A ．7B ．12C ．32D ．642．已知20<<a ，复数z 的实部为a ，虚部为1，则||z 的取值范围是 A ．(1，5) B ．(1，3) C ．)5,1( D ．)3,1( 3．若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 同真同假4．已知数阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211aa aa a aa a a中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若822=a ，则这9个数的和为A ．16B ．32C ．36D ．725．某几何体的三视图如右图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为A ．63π B ．33π C ．23π D ．π3 6．执行如右图所示的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p的值是 A．8 B ．5 C ．3 D ．2 7．函数()cos(2)f x x x π=-的图象大致为8．连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别为72、34，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ；②弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为1．其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．49．在直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤≥1)1(,2,0x k y x y y 表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是A ．)1,(--∞B ．),0(+∞C ．),2()2,0(+∞D ．),2()2,0()1,(+∞--∞ 10．将“你能HOlD 住吗”8个汉字及英文字母填人5×4的方格内，其中“你”字填入左上角，“吗”字填入右下角，将其余6个汉字及英文字母依次填入方格，要求只能横读或竖读成一句原语，如图所示为一种填法，则共有不同的填法种数是A.35B.15C.20D.7011．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，斜率为34的直线交抛物线于A ，B 两点，若)1(>=λλFB AF ，则λ的值为A ．5B ．4C ．34 D ．25 12．对任意实数y x ,，定义运算cxy by ax y x ++=*，其中c b a ,,为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知1*2=4，2*3=6，且有一个非零实数m ，使得对任意实数x ，都有x m x =*，则=mA ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．若非零向量,满足||||=，0)2(=⋅+，则a 与b 的夹角为______． 14．已知26()k x x+（k 是正整数）的展开式中，常数项小于120，则=k _______． 15．若关于x 的不等式3|||1|>++-m x x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______． 16．过双曲线的一个焦点的直线垂直于一条渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的取值范围是_________．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．(本小题满分12分)已知函数1)sin (cos cos 2)(+-=x x x x f ，R x ∈． (1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求函数)(x f 在区间]43,8[ππ上的最小值与最大值．18．(本小题满分12分)某学校的一间功能室统一使用某种节能灯管，已知这种灯管的使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布),(2σμN ，且使用寿命不少于12个月的概率为0．8，使用寿命不少于24个月的概率为0．2．(1)求这种灯管的平均使用寿命μ；(2)假设一间功能室一次性换上2支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，设需要更换的灯管数为η，求η的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图甲，△ABC 是边长为6的等边三角形，E ，D 分别为AB ，AC 靠近B ，C 的三等分点，点G 为BC 边的中点，线段AG 交线段ED 于点F ．将△AED 沿ED 翻折，使平面AED ⊥平面BCDE ，连接AB ，AC ，AG ，形成如图乙所示的几何体．(1)求证：BC ⊥平面AFG ；(2)求二面角D AE B --的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知常数0>p 且1=/p ，数列}{n a 的前n 项和)1(1n n a ppS --=，数列}{n b 满足121l o g -+=-n p n n a b b 且11=b ．(1)求证：数列}{n a 是等比数列；(2)若对于在区间[0，1]上的任意实数λ，总存在不小于2的自然数k ，当k n ≥时，)23)(1(--≥n b n λ恒成立，求k 的最小值．21．（本小题满分13分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为4，离心率22=e(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：3=x 分别交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的最小值．22．（本小题满分13分）已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=)1(ln )1()(23x x a x c bx x x x f ，的图象过点)2,1(-，且在点))1(,1(--f 处的切线与直线-x 015=+y 垂直．(1)求实数c b ,的值；(2)求)(x f 在e e ](,1[-为自然对数的底数）上的最大值；(3)对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y 轴上？山东省2013届高三高考模拟卷（三）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 【解析】集合Q P *中的元素为(3，6)，(3，7)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)共6个，故Q P *的子集个数为6426=．2．C 【解析】由于复数z 的实部为a ，虚部为1，且20<<a ，故由21||a z +=得5||1<<z ． 3．B 【解析】由题可知“非p ”是真命题，所以p 是假命题，又因为“p 或q ”是真命题，所以q 是真命题．故选B ．4．D 【解析】依题意得+++++++31232221131211a a a a a a a 3332a a +72933322322212==++=a a a a ．5．B 【解析】由三视图可知该几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形（如图）．圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高=h 31222=-．易知该几何体的体积就是整个圆锥体的体积，即3331313122πππ=⨯⨯=h r ． 6．C 【解析】由题知，第一次进入循环，满足1<4，循环后1=p ，1=s ，1=t ，2=k ；第二次进入循环，满足2<4，循环后2=p ，=s 1，2=t ，3=k ；第三次进入循环，满足3<4，循环后3=p ，2=s ，3=t ，4=k ，因为4=4，不满足题意，所以循环结束．输出p 的值为3，选C ．7．A 【解析】因为()cos(2)cos f x x x x x π=-=，)(cos )cos()()(x f x x x x x f -=-=--=-，所以函数x x x f cos )(=为奇函数，排除B ，C ；又因为当20π<<x 时，=)(x f 0cos >x x ，故选择A ．8．C 【解析】设球的球心O 到直线AB 、CD 的距离分别为d d 、'，利用勾股定理可求出3='d ，2=d ，所以CD 可以经过M ，而AB 不会经过N ，所以①正确，②不正确；又5='+d d ，1=-'d d ，所以③④正确．故选C ．9．A 【解析】 由题意可知，直线1)1(--=x k y 过定点)1,1(-．当这条直线的斜率为负值时，如图1所示，若不等式组表示一个三角形区域，则该直线的斜率)1,(--∞∈k ；当这条直线的斜率为正值时，如图2所示，1)1(--≤x k y 所表示的区域是直线1)1(--=x k y 及其右下方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域，不能构成三角形．因此k 的取值范围是)1,(--∞．10．A 【解析】要把6个汉字及英文字母依次填入6个方格中，按照规则分为两类：一类是4个字横向2个字纵向，有26C 种填法；另一类是3个字横向3个字纵向，有36C 种填法：所以共有3520153626=+=+C C 种填法．11．B 【解析】 根据题意设),(11y x A ，),(22y x B ．由FB AF λ=得),2(),2(2211y p x y x p -=--λ，故21y y λ=-，即=λ21y y -．设直线AB 的方程为)2(34p x y -=，联立直线与抛物线方程，消元得02322=--p py y ．故p y y 2321=+，=21y y 2p -，492)(122121221-=++=+y y y y y y y y ，即=+--21λλ49-．又1>λ，故4=λ．12．D 【解析】由定义可知，⎩⎨⎧=++==++=66323*24222*1c b a c b a ，解得⎩⎨⎧+=-=226c b ca ，又对任意实数x ，都有x m x =*，即++-=+++-=c x c cm cxm m c cx m x 2()6()22(6*x m =)2恒成立，则⎩⎨⎧=+=-0)22(16m c c cm ，解得⎩⎨⎧=-=51m c 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=061m c （舍）． 第Ⅱ卷13．︒120【解析】由题意得⋅=+⋅=⋅+22||22)2(a b b a b b a 0,cos 2=+><a b a ，所以21,cos ->=<b a ，所以,的夹角为︒120． 14．1【解析】二项展开式的通项为r rrr xk x C T )()(6261-+=rr r x k C 3126-=，令0312=-r ，得4=r ，故常数项为446k C ，由常数项小于120，即<446k C 120，得84<k ．又k 是正整数，故1=k ．15．),2()4,(+∞--∞ 【解析】由题意知，不等式+-|1|x 3||>+m x 恒成立，即函数|||1|)(m x x x f ++-=的最小值大于3，根据不等式的性质可得--≥++-)1(||||1|x m x x |1||)(+=+m m x ，故只要3|1|>+m 即可，所以31>+m 或31-<+m ，即得m 的取值范围是),2()4,(+∞--∞ ．16． ),2(+∞【解析】不妨设双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，焦点,(c F 0)，渐近线x ab y =，则过点F 的直线方程为)(c x b ay --=，与双曲线联立，消去y 得02)(42244244=--+-b a c a a x a b α，由⎪⎩⎪⎨⎧<-->∆020444ab c a 得44a b >，即a b >，故2>e ． 三、17．【解析】(1)1)sin (cos cos 2)(+-=x x x x f 1sin cos 2cos 22+-=x x x)432sin(2222sin 2cos π++=+-=x x x ．（4分） 因此，函数)(x f 的最小正周期为π．（6分） (2)由题易知)432sin(22)(π++=x x f 在区间]83,8[ππ上是减函数， 在区间]43,83(ππ上是增函数，（8分） 又2)8(=πf ，22)83(-=πf ，3)43(=πf ，（10分）所以，函数)(x f 在区间]43,8[ππ上的最大值为3，最小值为22-．（12分） 18．【解析】(1)因为),(~2σμξN ，8.0)12(=≥ξP ，2.0)24(=≥ξP ， 所以2.0)12(=<ξP ，显然)24()12(≥=<ξξP P ．（3分） 由正态分布密度曲线的对称性可知，1822412=+=μ， 即这种灯管的平均使用寿命是18个月．（6分）(2)这种灯管的使用寿命少于12个月的概率为2.08.01=-． 由题意知，η的可能取值为0，1，2，（8分） 则64.08.02.0)0(22=⨯==C P η，⨯==1122.0)1(C P η32.08.01=，04.08.02.0)2(0222=⨯==C P η．（10分） 所以η的分布列为所以4.004.0232.0164.00=⨯+⨯+⨯=ηE ．（12分）19．【解析】(1)在图甲中，由△ABC 是等边三角形，E ，D 分别为AB ，AC 的三等分点，点G为BC 边的中点，易知DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，DE//BC ．（2分）在图乙中，因为DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，AF FG=F ，所以DE ⊥平面AFG ． 又DE//BC ，所以BC ⊥平面AFG ．（4分）(2)因为平面AED ⊥平面BCDE ，平面AED 平面BCDE=DE ，DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，所以FA ，FD ，FG 两两垂直．以点F 为坐标原点，分别以FG ，FD ，FA 所在的直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz F -．则)32,0,0(A ，)0,3,3(-B ，)0,2,0(-E ，所以)32,3,3(--=AB ，,1,3(-=BE 0)．（6分） 设平面ABE 的一个法向量为),,(z y x n =．则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BE n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--0303233y x z y x ，取1=x ，则3=y ，1-=z ，则)1,3,1(-=n ．（8分） 显然)0,0,1(=m 为平面ADE 的一个法向量， 所以55||||,cos =⋅>=<n m n m ．（10分） 又由图知二面角D AE B --为钝角，所以二面角D AE B --的余弦值为55-．（12分） 20．【解析】(1)当2≥n 时，-----=-=-1(1)1(11ppa p p S S a n n n n )1-n a ，整理得1-=n n pa a ．（3分） 由)1(1111a p p S a --==，得=1a 0>p ，则恒有0>=n n p a ，从而p a an n =-1．所以数列}{n a 为等比数列．（6分）(2)由(1)知nn p a =，则12log 121-==--+n a b b n P n n ，所以=+-++-+-=---112211)()()(b b b b b b b b n n n n n 222+-n n ，（8分）所以)23)(1(222--≥+-n n n λ，则+-+-n n n 5)23(2λ04≥在]1,0[∈λ时恒成立．记45)23()(2+-+-=n n n f λλ，由题意知，⎩⎨⎧≥≥0)1(0)0(f f ，解得4≥n 或1≤n ．（11分）又2≥n ，所以4≥n ．综上可知，k 的最小值为4．（12分） 21．【解析】(1)由题意得42=a ，故2=a ，（1分） 因为22==a c e ，所以2=c ，2)2(2222=-=b ，（3分） 所以所求的椭圆方程为12422=+y x ．（4分） (2)依题意，直线AS 的斜率k 存在，且0>k ，故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，从而)5,3(k M ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=124)2(22y x x k y 得+1(0488)22222=-++k x k x k ．（6分）设),(11y x S ，则2212148)2(k k x +-=⨯-，得2212142k k x +-=，从而21214k ky +=， 即)214,2142(222k kk k S ++-，（8分）又由B(2，0)可得直线SB 的方程为22142202140222-+--=-+-k k x k k y ， 化简得)2(21--=x ky ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=3)2(21x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 213，所以)21,3(k N -， 故|215|||kk MN +=，（11分） 又因为0>k ，所以102152215||=∙≥+=kk k k MN ， 当且仅当k k 215=，即1010=k 时等号成立， 所以1010=k 时，线段MN 的长度取最小值10．（13分） 22．【解析】(1)当1<x 时，b x x x f ++-='23)(2，（2分）由题意，得⎩⎨⎧-=-'=-,5)1(,2)1(f f 即⎩⎨⎧-=+--=+-,523,22b c b 解得0==c b ．（4分）(2)由(1)，知⎩⎨⎧≥<+-=),1(ln ),1()(23x x a x x x x f （5分）①当11<≤-x 时，)23()(--='x x x f ，由0)(>'x f ，得320<<x ；由0)(<'x f ，得01<≤-x 或132<<x ．所以)(x f 在)0,1[-和)1,32(上单调递减，在)32,0(上单调递增． 因为2)1(=-f ，274)32(=f ，0)0(=f ，所以)(x f 在)1,1[-上的最大值为2．②当e x ≤≤1时，x a x f ln )(=，当0≤a 时，0)(≤x f ；当0>a 时，)(x f 在],1[e 上单调递增．（7分）所以)(x f 在],1[e 上的最大值为a ．所以当2≥a 时，)(x f 在],1[e -上的最大值为a ； 当2<a 时，)(x f 在],1[e -上的最大值为2．（8分）(3)假设曲线)(x f y =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧， 因为△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，所以0=∙OQ OP ，不妨设)0))((,(>t t f t P ，则由△POQ 斜边的中点在y 轴上知,(t Q -)23t t +，且 1≠t ．所以0))((232=++-t t t f t ．（*） 是否存在两点P ，Q 满足题意等价于方程(*)是否有解．若10<<t ，则23)(t t t f +-=，代入方程(*)，得++-+-3232)((t t t t 0)2=t ， 即0124=+-t t ，而此方程无实数解；当1>t 时，则t a t f ln )(=，代入方程(*)，得0)(ln 232=+∙+-t t t a t ，即t t aln )1(1+=。

山东省泰安市高三第一轮复习质量检测（一模）数学（理科）试题2013.3一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}{}1,1,124x A B x =-=≤<，则A B ⋂等于 A.{}1,0,1- B.{}1C.{}1,1-D.{}0,1【答案】B{}124{02}x B x x x =≤<=≤<，所以{1}A B ⋂=，选B.2.复数311i i-+（i 为虚数单位）的模是B.C.5D.8【答案】A31(31)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i ---+===+++-，所以31121i i i -=+=+ A. 3.如果椭机变量()()21,,310.4N P ζσζ---≤≤-=且，则()1P ζ≥等于 A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1【答案】D 因为()()31110.P P ζζ-≤≤-=-≤≤=，所以()()()1311110.40.410.122P P P ζζζ--≤≤---≤≤--≥===，选D.4.下列结论错误．．的是 A.命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则”B.“4x =”是“2340x x --=”的充分条件C.命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题D.命题“若220m n +=，则00m n ==且”的否命题是“若220.00m n m n +≠≠≠则或”【答案】C命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为“若方程20x x m +-=有实根，则0m >”。

若方程20x x m +-=有实根，则140m ∆=+≥，解得14m ≥-。

所以14m ≥-时，不一定有0m >，所以C 错误。

5.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是A.4B.5C.6D.7【答案】B第一次35116,1n k =⨯+==；第二次168,22n k ===；第三次84,32n k ===；第四次42,42n k ===；第五次21,52n k ===此时满足条件输出5k =，选B. 6.当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是 A.奇函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B.偶函数且图像关于点(),0π对称C.奇函数且图像关于直线2x π=对称D.偶函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，即2,42k k Z ππϕπ+=-+∈，即32,4k k Z πϕπ=-+∈，所以()()3s i n ()04f x A x A π=->，所以333()s i n ()s i n 444y f x A x A x πππ=-=--=-，所以函数为奇函数且图像关于直线2x π=对称，选C.7.在,2ABC AB ∆∠=中,A=60，且ABC ∆BC 的长为B.3D.7【答案】A11sin 6022222S AB AC AC =⨯⋅=⨯⨯=，所以1AC =，所以2222c o s 63BCA BA C AB A C=+-⋅,，所以BC =,选A. 8.已知()1,6,2a b a b a ==⋅-=则向量a b 与的夹角为 A.2π B.3πC.4π D.6π 【答案】B2()2a b a a b a ⋅-=⋅-=，所以3a b ⋅=，所以31cos ,162a b a b a b⋅<>===⨯，所以,3a b π<>=，选B.9.若,,0,a b R ab ∈>且则下列不等式中，恒成立的是A.a b +≥B.11a b +> C.2b a a b +≥ D.222a b ab +> 【答案】C因为0ab >，所以0,0b aa b>>，即2b a a b +≥=，所以选C. 10.设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、x 2、x 3，且123,x x x <<则下列结论正确的是 A.11x >-B.20x <C.32x >D.201x <<【答案】D∵函数()()3402f x x x a a =-+<<，∴f ′（x ）=3x 2﹣4．令f ′（x ）=0，得 x=±．∵当x <'()0f x >；在(上，'()0f x <；在)+∞上，'()0f x >．故函数在(,-∞）上是增函数，在(上是减函数，在)+∞上是增函数．故(3f -是极大值，(3f 是极小值．再由f （x ）的三个零点为x 1，x 2，x 3，且123,x x x <<得 x 1＜﹣，﹣＜x 2，x 3＞． 根据f （0）=a ＞0，且f （）=a ﹣＜0，得＞x 2＞0．∴0＜x 2＜1．选D.11.直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是 A.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.3[,)4ππ C.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D.3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B直线的斜截式方程为221111y x a a =--++，所以斜率为211k a =-+，即21tan 1a α=-+，所以1tan 0α-≤<，解得34παπ≤<，即倾斜角的取值范围是3[,)4ππ，选B. 12.设奇函数()[]1,1f x -在上是增函数，且()11f -=-，若函数，()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立，则当[]1,1a ∈-时t 的取值范围是A.22t -≤≤B.1122t -≤≤ C.202t t t ≤-=≥或或D.11022t t t ≤-=≥或或【答案】C因为奇函数()[]1,1f x -在上是增函数，且()11f -=-，所以最大值为(1)1f =，要使()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立，则2121t a t ≤-+，即220t at -≥，即(2)0t t a -≥，当0t =时，不等式成立。

绝密★启用前试卷类型：A高三年级考试理科数学2017.1.18本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知R 为实数集，=ln(1)0Q x x ｛＋＞｝，21222S y y x x x ｛－＋－＜=,｝=≤，{}1 1 32x T x x ＋－=≤，则“(x Q ∈∁)T R ”是“x S ∈”的（）A （）充分非必要条件B （）非充分必要条件C （）充分必要条件D （）非充分非必要条件2.设i 为虚数单位，a ∈R ，则复数2(1i)21a a ＋＋－－为纯虚数，则在复平面内20172016i 2i a a ＋＋所对应的点位于（）A （）第一象限B （）第二象限C （）第三象限D （）第四象限3.已知命题:p 已知数列n a ｛｝为等比数列，⋅36a a x =∫，则45log log ππa a ＋；命题:q 已知函数55log 1log x x x a ＝＋＋－（）（）（）f ，a ∈R ，∃R a ∈，使的x （）f 为偶函数，则四个命题：¬∨¬∧¬∧¬∨¬, , , p q p q p q p q 中正确的命题个数为（）A （）1B （）2C （）3D （）44.“三角学”，英文Trigonometry 。