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测量平差 第三章

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第三章监测网平差及基准点稳定性分析

第三章监测网平差及基准点稳定性分析

剔除动点后，其余点构成统计量
F1
ˆF 2 ˆ02
ˆF
2
=
dFT
PFF fF
dF
当F1<F分析值，分析即结束，反之，继续 剔除动点，继续检验，直到原假设不再拒绝，
最后剩下的都是稳定的点。
• 当网中存在固定点时，采用这些固定点作 基准，应用经典平差；
• 当网中某些点具有相对的稳定性，它们相 互变动是随机的情况下，则用这些点作拟 稳点，用拟稳平差对成果进行分析；
• 当监测网所有网点具有微小的随机变动时, 自由网平差是一种有效的分析方法.
因此，要合理地确定监测网的参考系，首先要 确定哪些点是稳定的或相对稳定的点，哪些点是 不稳定的点。从20世纪70年代起，人们相继提出 了多种关于监测点稳定性分析方法，其中平均间 隙法是一种比较典型的方法。
m i=1
xi =0
xm
x
1 m
m i 1
xi
0, x为水准网的高程重心.
x =0说明水准网的自由网平差参考系是网的高程重心.
以测边网为例：自由网平差
x1
1
G
T
X=
0
- y10
0 1 x10
1 0 - y20
0 1 x20
…1 …0 … ym0
0 1 xm0
y1 xm
所以：对监测网进行稳定性分析，并 根据稳定性分析结果选择平差方法，确立 一个对变形分析比较有利的参考系，是变 形观测数据处理的一项重要任务。
§3—2 监测网的参考系及其平差
起算数据称为平差问题的基准：基准给出了控制网的位 置。
尺度和方位的定义 即控制网的参考系.
• 经典平差：采用选择固定基准的办法确定参考 系. （满足待估参数的求取要求） • 监测网平差：满足有多期复测的观测值估计的 位移 是一种“绝对的”或接近绝对的位移

误差理论与测量平差基础第三章 协方差传播律及权

误差理论与测量平差基础第三章 协方差传播律及权

X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
也可写为：
dZ
f X1
dX1 0
f X
2
dX2 0
f X
n
0 dX n
KdX
因此只要对非线性函数求全微分，获得系数矩阵即 可应用协方差传播率
12
第三章 协方差传播率及权
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项，
为第l2ilj i组E观(li测 值E(l的i ))方(l j 差 E；(l j ))
为第i组观测值关于第j组观测值的协方差，协方差用 来描述第i个观测值与第j个观测值之间的相关程度。
3
第三章 协方差传播率及权
§3-2 协方差传播率
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评 定观测向量函数的精度。
20
第三章 协方差传播率及权
对上式求全微分，得
dZ1
f1 X 1
dX 1
f1 X 2
dX 2
f1 X n
dX n
dZ 2
f 2 X 1
dX 1
f 2 X 2
dX 2
f 2 X n
dX n
dZt
f t X 1
dX 1
f t X 2
dX 2
f t X n
dX n
21
第三章 协方差传播率及权
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE(X ), E(X Y ) E(X ) E(Y )
E(X1 X 2 X n ) E(X1) E(X 2) E(X n )

测量平差[3]

测量平差[3]

第七章
间接平差
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 线性化（变量代换法） v xi = x0 + mxi′ cosα − myi′ sin α − xi ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v yi = y0 + myi′ cosα + mxi′ sin α − yi
X
0 2
X
0 T 3
] = [100.078
100.099 101.266] ( m)
T
第七章
⎡− 1 1 ⎢ 0 −1 ⎢ ⎢− 1 0 V =⎢ 6,1 ⎢1 0 ⎢0 1 ⎢ ⎢0 0 ⎣ 0⎤ ⎡3⎤ ⎢3⎥ 1⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢11⎥ 1⎥ ˆ− ⎢ ⎥ ⎥x 0⎥ 3,1 ⎢ 0 ⎥ ⎢0⎥ 0⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎥ ⎢0⎥ ⎦ ⎣ ⎦
n×1
ˆ L = L +V
第七章
间接平差
例：选择独立、足够的参数
C = 2km P = diag [2 2 2 1 1 1]
T
1 0.023 1
2 1.114 1
3 1.142 1
4 0.079 2
5 0.099 2
6 1.210 2 h(m) S(km)
n=6, t=3, r=3
X = X
0
[
0 1
ΔZ BC 3 6 BC
ˆ v ΔX AB = X 1 − X A − ΔX AB ˆ v = X − Y − ΔY
ΔY AB 2 A AB
ˆ v ΔZ AB = X 3 − Z A − ΔZ AB ˆ v ΔX AC = X 4 − X A − ΔX AC ˆ v = X − Y − ΔY
ΔY AC 5 A AC
第七章
间接平差
在三角网平差中，通常选m个待定点的坐标平差值作为 待估参数，即t=2m 。 h 这样选，既足数，又独立， 而且容易写出参数与观测 值之间的函数关系。一般 地，角度观测值可由右图 表示，于是有：

测量平差第三章习题与答案

测量平差第三章习题与答案

测量平差第三章思考题3.1 下列各式中的()1,2,3i L i =均为等精度独立观测值，其中误差为s ，试求X 的中误差： （1）()12312X LL L =++；（2）123L L X L =3.2 已知观测值1L ，2L 的中误差12s s s ==，120s =，设11225,2X L Y L L =+=-，12Z L L =，t X Y =+，试求X ，Y ，Z 和t 的中误差。

的中误差。

3.3 设有观测向量[]12331TL L L L =，其协方差阵为，其协方差阵为40003002L LD éùêú=êúêúëû分别求下列函数的的方差：分别求下列函数的的方差： （1）1133F L L =-； （2）2233F L L =3.4 设有同精度独立观测值向量[]12331TL LLL=的函数为113s i n s i n A BL Y S L =，22A B Y L a =-，式中A B a 和A B S 为无误差的已知值，测角误差1"s =，试求函数的方差12y s 、22y s及其协方差12y y s3.5 在图中△ABC 中测得A A s б，边长b b s ±，c c s ±，试求三角形面积的中误差ss 。

3.6 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1mm ，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm ，问可以设多少站？，问可以设多少站？ 3.7 有一角度测4个测回，得中误差为0.42〃，问再增加多少个测回其中误差为0.28〃？〃？ 3.8 在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点A ，B ，C 之间的高差，设三角形的边长分别为S 1=10km ，S 2=8km ，S 3=4km ，令40km 的高差观测值权威单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。

《测量平差》学习辅导

《测量平差》学习辅导

《测量平差》学习辅导第一章测量平差及其传播定律一、学习要点（一）内容：测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其传播规律。

（二）基本要求：1．了解测量平差研究的对象和内容；2．掌握偶然误差的四个概率特性；3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律；4．了解权的定义与常用的定权方法；5．掌握协方差传播率。

（三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。

（四）难点：协方差、协因数传播率二、复习题（一）名词解释1．偶然误差2．系统误差3．精度4．单位权中误差（二）问答题1．偶然误差有哪几个概率特性?2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些?（三）计算题σ的量测中误差1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，dσ。

σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s三、复习题参考答案 （一）名词解释1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。

2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。

3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。

4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。

（二）问答题1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。

2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，则定义：22ip σσ=，称为观测值L i 的权。

第三章条件平差

第三章条件平差

独立三角网
自由三角网
自由测角网
附合三角网（测角）
• 例：
∆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α ∆
当n=35、n=22、n=35+22时，其条件式个数各为多 少？有哪些类型？
图形条件（内角和条件）:
B
b1
a2
c1 D c2 a1 b3 c3 a3 b2 C
A
圆周条件（水平条件）:
b1
a2
c1 a1 a3 c3
c2 b2 b3
5.1.06、 5.1.07
上节内容回顾：
改正数条件式 观测值的协方差阵 法方程
AV W 0
D P Q
2 0 1 2 0
r n n n
Naa K W 0 N aa AQ AT
r r n r
改正数方程
V P A K QA K
T
1 T
wr
T
• 则条件方程可写成：
ˆA 0 AL 0
• 以及改正数条件式：
W AL A0
AV W 0
这样一来，对于一个平差问题，我们能够得到 其数学模型：
AV W 0 D P Q
2 0 1 2 0
下面要解决的问题是： 由上述的数学模型来求改正数V。
不难发现，不能求得V的唯一解！！！ 解决不唯一解的办法就是附加一个约束条件---“最小二乘估计” 即满足：
极条件（边长条件）:
b1 a2
c1
a1 b3 c3
c2 b2 a3
极条件（边长条件）就是指由不同路线推算得到 的同一边长的长度应相等。
三角网的基本图形 1） 单三角形 2）大地四边形
3）中点多边形。

测量平差课后习题答案 张书毕


P点坐标的中误差为： x 0.17m, y 0.06m 将各点值代入函数得： X P 2462.66m,Y P 5842.59m p点坐标为x=2462.66 0.17m,y=5842.59 0.06m
10
.解答：
千米 =
AB
1 1 站 站 0.0075 3m s 0.08
向量 X 1 Y1 X 1
（1） 试求坐标差函数 X X 2 X 1 与 Y Y 2 Y1 的方差—协方差阵； （2） 求两点间边长 S X 2 Y 2 与坐标方位角T arctan(Y / X )的方差 —协方差阵。 解答： （1） 向量 X 1 Y1 X 1 Y 2 T 的协方差阵得
6
d x
.解答： 由题意可知:
S AB cos 1 cos TAB 3
S AB sin 1 sin TAB 3
'' sin 2
d 1
S AB sin 1 cos 2 cos TAB 3
'' sin 2 2
d 2
'' sin 2
1 1 f h H A h1 h2 H B 2 2
P
LL
5 8 1 1 协因数阵Q P LL LL 4 1 8 2 32 Q 0 5 Q D LL 0
2
1 8 5 2 1 1 1 2 4 2 4 8 1 2 5 5 8
2
4
.解答：
第 1 页/共 44 页
《测量平差》参考答案 Ch1---Ch4
2 1 0 P LL 1 3 1 0 1 2 Q P LL Q Q

《测量平差》课程教案

附件3
交通职业学院
课程教案
学年第学期
开课单位交通职业学院道桥系测量教研室
授课教师
职称
课程名称测量平差
课程性质职业能力课
教材名称《测量平差》
适用专业（方向）工程测量与监理
交通职业学院制
年9月8日
《课程教案》填写说明
一、用宋体、5号字填写，每项页面大小可按照规定格式自行添减。

二、一次课为一份教案（不包括封面）。

三、“课程性质”填基本素质课、职业能力课、素质拓展课；素质拓展课的“适用专业（方向）”填写“全校各专业”。

四、“开课单位”填学院、学系和教研室（无教研室只填学院和学系）。

五、授课类型指理论课、讨论课、实验、社会实践、实习或见习课、其他等。

六、“教学内容”应具体，而不应只填写教材章节名称或讲授主题的题目。

测量平差复习题汇总

《测量平差》复习题第一章：绪论1、什么是观测量的真值？任何观测量，客观上总存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值。

2、什么是观测误差？观测量的真值与观测值的差称为观测误差。

3、什么是观测条件？仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件。

4、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为哪几类？根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。

5、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。

6、观测条件与观测质量之间的关系是什么？观测条件好，观测质量就高，观测条件差，观测质量就低。

7、怎样消除或削弱系统误差的影响？一是在观测过程中采取一定的措施；二是在观测结果中加入改正数。

8、测量平差的任务是什么？⑴求观测值的最或是值（平差值）；⑵评定观测值及平差值的精度。

第二章：误差理论与平差原则1、描述偶然误差分布常用的三种方法是什么？⑴列表法；⑵绘图法；⑶密度函数法。

2、偶然误差具有哪些统计特性？(1) 有界性：在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。

(2) 聚中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。

(3) 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等。

(4) 抵偿性：偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0。

3、由偶然误差特性引出的两个测量依据是什么？⑴制定测量限差的依据；⑵判断系统误差(粗差)的依据。

4、什么叫精度？精度指的是误差分布的密集或离散的程度。

5、观测量的精度指标有哪些？(1) 方差与中误差；(2) 极限误差；(3) 相对误差。

6、极限误差是怎样定义的？在一定条件下，偶然误差不会超过一个界值，这个界值就是极限误差。

通常取三倍中误差为极限误差。

当观测要求较严时，也可取两倍中误差为极限误差。

7、误差传播律是用来解决什么问题的？ 误差传播律是用来求观测值函数的中误差。

8、应用误差传播律的实际步骤是什么？ (1) 根据具体测量问题，分析写出函数表达式),,,(21n x x x f z =；(2) 根据函数表达式写出真误差关系式n nx x f x x f x x f z ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆ 2211； (3) 将真误差关系式转换成中误差关系式。

第三章-间接平差2009


⎞ ⎛ n ⎜ ∑ aij b ji ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ j =1
61
所以（B6）式得征。
−1 T −1 −1 T −1 −1 = N bb B PQPBN bb = N bb B PBN b b = N bb
−1 T −1 T Q VV = (BN bb B P − I )Q(BN bb B P − I) T −1 T −1 T = (BN bb B P − I )Q(PBN bb B − I)
2 2 D =σ0 Q =σ0 P −1 ，且 rk(Q) = n
n×n
n× n
平差准则为最小二乘原理
V T PV = min ˆ ，进而求得 V 值，在数学中就是 间接平差就是在最小二乘原理要求下求出误差方程的待定参数 x
求多元函数的极值问题。
§3.1 间接平差原理
在间接平差的函数模型中，有 n = t + r 个误差方程，即
【 ∗ 】二次型对向量的导数
T
T
在二次型 V PV 中，矩阵 P 中的各元素为常数，向量 V 的各元素作为自变量，则该二次型的 导数为
T
d (V T PV ) = dV T ( PV ) + (V T P ) dV
T
上式右端每一项的值在转置后是不变的，因此得
T T T dV T ( PV ) = ⎡ ⎣ dV ( P V ) ⎤ ⎦ = V P dV
−1 T −1 T = (BN bb B − Q)(PBN bb B − I)
−1 T −1 T −1 T −1 T = BN bb B PBN bb B − BN bb B − QPBN bb B +Q
−1 T −1 T −1 T = BN bb B − BN bb B − BN bb B +Q
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例2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已 知每公里观测中误差等于±5.0mm,欲使平差后 线路中点高程中误差不大于±10mm,问该路线长 度最多可达几公里?
例3：设在测站A上（如图），已 知∠ABC=α，设无误差，而观 测角β1和β2的中误差为σ1＝σ2＝ 1.4秒，协方差σ1２＝－1秒，就 角x的中误差σx
k10 k 20 K0 t1 k t0
2 DZZ Z K DXX K T tt tn nn nt
若有X的r个函数：
y1 y2 Y FX F0 r1 y r
可得：
2 DYY Y F DXX F T rr rn nn nr
应用协方差传播公式得
N x N

2 x

2
例题
已知某台经纬仪一测回的测角中误差为±6'',如 果要使各测回的平均值的中误差不超过±2'',则至少 应测多少测回？ 解：由公式
2 x
2
N
可得
2 62 N 2 2 9 x 2
答：至少应测9测回
三、若干独立误差的联合影响
t ,1 t , n n ,1 t , r r ,1
DYY
DXY
求 DZZ
DZX
DZY
三、非线性函数的情况 设有观测值X的非线性函数：
Z f ( X ) f ( X 1 , X 2 , X n )
已知：
X [ X 1 , X 2 ,... X n ]T , DXX
n ,1 0 X 0 [ X 10 , X 2 ,... X n0 ]T n ,1
求：DZZ
将Z按台劳级数在X0处展开：
0 0 Z f ( X 10 , X 2 , X n )
f f f 0 0 0 ( )0 ( X 1 X 1 ) ( )0 ( X 2 X 2 ) ( )0 ( X n X n ) X 1 X 2 X n (二次以上项）
2 C
2 s

S2

2

2

0.84cm
2
§3-４权与定权的常用方法
一、权的定义
设Li (i 1,2,..., n), 它们的方差为 ,
2 i
如选定任一常数 0，则定义 :
2 0 pi 2 i
称为观测值Li的权。权与方差成反比。
1 2
D XX
2 X X 2 X X
1 n 2 n
2 X
nX2
2 Xn

若有X的t个函数：
z1 z2 Z KX K 0 t1 z t
1n
k2n ktn
k11 k12 k 21 k 22 K tn k t1 kt 2
解 法 一
（1）、列函数式, 由图知: X C X A S cos 0 , YC YA S sin 0 （2）、线性化
dX C cos dYC sin

dS 0
S

sin


2
dS 0
S
（3）、应用协方差传播公式可得坐标方差计算式
C
L2
α0
L1 B
s AC
s in L1 s0 s in L2
A
AC 0 (180 L1 L2 ) xC x A s AC cos AC yC y A s AC s in AC
XC,YC的中误差与L1,L2的中误差之间的关系是什么？
二．本章将要阐述的问题
hAB h1 h2 ＋hn
设水准测量中每一测站观测高差hi的精度相同, 其 方差均为 , 则具有N个测站的水准路线的总高差为

h h1 h2 ... hN
2 h2 h21 h22 h2n N 站
h
N 站
在平坦地区的水准测量中, 每公里的测站数大致相 2 等, 因此, 每公里观测高差的方差相等, 设其均为 km , 则S公里观测高差的方差和中误差分别为
（4）.计算点位方差


2 C

S2
2
X Y sin cos
2

2
cos2
2

c
c
sin 2 0
2

0

2 s
2
0
0


2
s
2
2
S2
6000 .00 *10 0 .5
206265 2
2 2 h S km
h S km
ˆ ˆ h S km
其估值公式为
2 ˆ h S km ˆ2
例题
水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过 10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm, 则该 水准路线长度不应超过多少公里？ 解：由公式
S
第三章 协方差传播律与权
在实际工作中，经常间接测量某些量，待求量通过间接测量 的方程式 y f ( x1 , x2 ,, xn ) 获得。通过测量获得量 x1 , x2 ,, xn 的数值后，即可由上面的函数关系计算出待 求量y 的数值。 本章将要讨论的问题是：测量数据的误差怎样作用于间接量 y，即给定测量数据的测量误差，现在提出这样一个问题： 观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存 在怎样的关系？如何从后者得到前者？阐述这种关系的公式 称为协方差传播律。
2 h
2 km
可得
2 h 60 2 S 2 2 36 km 10
答：该水准路线长度不应超过36公里。
二、同精度独立观测算数平均值的精度
设L1,L2,…,Ln为一组等精度的独立观测值(方差均
为σ2) , 其算术平均值为
x

1 L1 L2 ... LN N
1 1 1 L1 L2 ... LN N N N
差的关系。
一、观测值线性函数的方差
设有n维观测向量X，其数学期望μ和协方差阵分别为：
设有n维观测向量X的函数Z为：Z=KX+K0,求DZZ＝？ 式中K为系数阵，K0为常数。 根据方差的定义得：
2 DZZ Z E Z EZ Z EZ

T

DZZ KDXX K
S2 2 cos 0 s 2 sin 2 0 Xc S2 2 2 2 2 sin 0 s 2 cos2 0 Yc
2 2

cos

d 0 d 0
2 Z
T
上式的纯量形式为：
2 2 2 2 2 DZZ Z k12 12 k 2 2 k n n 2k1k 2 12
2k1k3 13 2k1k n 1n 2k n -1k n n -1,n
当向量中的各分量两两独立时，它们之间的互协m
2
解 法 二
由C点纵、横向方差求点位方差 如图AC边上边长方差称为 s2 , 而在它的垂直方 纵向方差 向的方差称为横向方差 。 横向方差是由AC边的坐标 方位角α的方差引起的, 由图知
S S
2 2 u 2
2

2

2
2
点位方差为

f k0 f ( X 1 , X 2 , X ) ( ) 0 X i0 i 1 X i
n 0 0 0 n
Z [k 1 , k 2 , kn ] X k0 KX k0
n ,1
DZZ KDXX K
T
例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知 点无误差，测角中误差为m，边长中误差ms， 试推导P点的点位中误差。
设若干独立误差的联合影响下观测结果的真误差为
z 1 2 n
由协方差传播律可得：
2 2 2 Z 12 2 n
2 Z 即, 观测结果的方差 ，等于各独立误差所对应的方
差之和
。
四、平面控制点的点位精度
如下图所示导线, A为已知点, α0为AB方向的方位 角 , β 为观测角 , 其方差为 ±4.0(″)2, 观测边长 S为 600.00 m, 其方差为0.5cm2, 试求C点的点位方差。





xe
dx
数学期望的传播规律：
常数c的数学期望为E（c）=c 随机变量X乘以常数c，则有 E CX CE X 随机变量X 1 , X 2 ,, X n 之和的数学期望为
E X 1 X 2 X n E X1 E X 2 E X n
一．常见问题举例
1．如图，观测了一个 三角形的三个内角 L1,L2,L3.将其闭合差 ω平均分配后的各角的 平差值为：
C L2
L3 A
L1 B
ˆ i Li 1 L 3
即：平差值是对过观测值计算得到的，如果已知观测 值的中误差，怎么求平差值中误差？
2．如图，在侧方交会中，已知A，B 两点的坐标(XA,YA)和(XB,YB)，它们之 间的距离为S0，坐标方位角为α0，由 交会的观测角L1,L2求交会点的坐标：
二、多个观测值线性函数的协方差阵
设有观测向量n维X，其数学期望和协方差阵已知：
1 E ( X 1 ) 2 E ( X 2 ) X E( X ) n n
2 X1 2 X 2 X1 2 X X n 1 2 X X 2 X2