北航自动控制原理第二章

c(t ) = L−1 [C ( s ) ] = L−1 [G ( s ) R ( s ) ] = L−1 [G ( s ) ]
传递函数是在零初始条件下建立的，因此， 传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只 是系统的零状态模型，有一定的局限性， 是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现 实意义，而且容易实现。 实意义，而且容易实现。
在零初始条件下对上式进行拉氏变换
( s n + an−1s n−1 + L + a1s + a0 )C( s)
= (sm + bm−1sm−1 +L+ b1s + b0 )R(s)
则有
C ( s) s + bm−1s + L + b1s + b0 = G( s) = n R( s ) s + an −1s n −1 + La1s + a0
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解：分析质量块m受力，有 外力F 弹簧恢复力 Ky（t） 阻尼力 fdy (t ) / dt 惯性力 md 2 y / dt 2 由于m受力平衡，所以
∑F
i
=0
式中：Fi是作用于质量块上 的主动力，约束力以及惯性 力。 将各力代入上等式，则得
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d 2 y (t ) dy (t ) m +f + Ky (t ) = F (t ) 2 dt dt
， 则式
k = 1/ K
(2 − 4) 可写成
(2 − 1 − 5)
d 2 y (t ) dy (t ) 2 T + 2ζ T + y (t ) = kF (t ) 2 dt dt
T 称为时间常数，ζ 为阻尼比。显然，上式描述了 m－K－f 系统的动态关系，它是一个二阶线性定常
微分方程。
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2－2 非线性微分方程的线性化
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三、典型元器件的传递函数
1. 电位器
1 θ max 2
θ
U
Θ(s )
U (s )
K
K =
E
E
θ max
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2. 电位器电桥
θ1
θ2
K 1 pθ 2
E
K 1 pθ 1
∆Θ
U
Θ (s ) 1
K1 p
U (s )
Θ2 (s )
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3.齿轮
N2 传动比 = i = N1 1 N 2θ L = N1θ m , θ L = θ m i 1 ω L = ωm i
m
m −1
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二、关于传递函数的几点说明
•
传递函数仅适用于线性定常系统， 传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用 拉氏变换导出； 拉氏变换导出； • 传递函数完全取决于系统内部的结构、参数， 传递函数完全取决于系统内部的结构、参数， 而与输入、输出无关； 而与输入、输出无关； • 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系， 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系， 对于多输入、 对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递 函数（可定义传递函数矩阵，见第九章）； 函数（可定义传递函数矩阵，见第九章）； 有理真分式，它的分子， 传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子， n ≥。 m 分母的阶次满足： 分母的阶次满足：
Ur (s)
G(s)
Uo (s)
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设任一系统或元件的微分方程如下： 设任一系统或元件的微分方程如下
d n c (t dtn
)+
a
d
n −1
n −1
dt
n −1
c (t
)+
L + a1
d c (t dt
)+
a 0 c (t
)
d m r (t ) d m −1 r ( t ) L + b 0 r (t ) = + b m −1 m m −1 dt dt
式中：y——质量块m的位移（m）； f——阻尼系数（N·s/m)； K ——弹簧刚度（N/m)。
将式(2-4)的微分方程标准化
(2 − 1 − 4)
m d 2 y (t ) f dy (t ) 1 ⋅ + ⋅ + y (t ) = F (t ) 2 K dt K dt K
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令 T =
m / K ，2ζ T = f / K 即ζ = f / 2 mK
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总结： 解析方法适用于简单、典型、常 总结： 解析方法适用于简单、典型、 见的系统，而实验方法适用于复杂、 见的系统，而实验方法适用于复杂、非常 见的系统。 见的系统。实际上常常是把这两种方法结 合起来建立数学模型更为有效。 合起来建立数学模型更为有效。
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2-1 控制系统微分方程的建立
基本步骤： 基本步骤： 1. 分析各元件的工作原理，明确输入、输出量 分析各元件的工作原理，明确输入、 2. 建立输入、输出量的动态联系 建立输入、 3. 消去中间变量 4. 标准化微分方程
例2-3： 设线性微分方程式为
d 2 c(t ) dc(t ) + + c(t ) = r (t ) 2 dt dt
若 r (t ) = r1 (t ) 时，方程有解 c1 (t ) ，而 r (t ) = r2 (t )时， c2 (t ) 方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则显 r (t ) = r1 (t ) + r2时，必存在解为 (t ) 然，当
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6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方 法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用 梅森公式求传递函数的方法。 8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数， 对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误 差传递函数的概念。
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• 分析和设计任何一个控制系统，首要任 务是建立系统的数学模型。 • 系统的数学模型是描述系统输入、输出 变量以及内部各变量之间关系的数学表 达式。 – 建立数学模型的方法分为解析法和实 验法
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4. 电枢控制的直流电动机
R
a
La
i a (t )
U a (t )
U b (t )
ω ,θ
J：电机转动惯量 f：粘性系数
if
U a ( s ) = ( R a + La s ) I a ( s ) + U b ( s ) U b ( s ) = K bω ( s ) = K b s θ ( s )
T L ( s ) = Js 2θ ( s ) + bs θ ( s )
设 T (s) =0 d
(4)
Km G (s) = = U a ( s ) s[( R a + La s )( Js + b ) + K b K m ]
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θ (s)
四、典型环节
• 一个传递函数可以分解为若干个基本因 子的乘积，每个基本因子就称为典型环 典型环 节。常见的形式有：
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2－3 传递函数
传递函数的定义： 传递函数的定义：
线性定常系统在零初始条件下，输出 零初始条件
的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。 的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。
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这里，“初始条件为零”有两方面含义： 一指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入 0− 时的值为零。 量及其各阶导数，在t= 二指输入信号作用于系统之前系统是静止的， 即t= 0− 时 ，系统的输出量及各阶导数为零。
c(t ) = c1 (t ) + c2 (t ) ，这就是可叠加性。
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a 若 r ( t ) = ar1 ( t ) 时， 为实数，则方程解 为 c ( t ) = ac1 ( t ) ，这就是齐次性。
上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生 的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响 应之和，而且外作用增加若干倍，系统响应也增 加若干倍，这就是叠加原理。
U a ( s ) − K bω ( s ) I a (s) = ( Ra + La s )
(1)
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4. 电枢控制的直流电动机
驱动力矩
Tm ( s ) = K m I a ( s )
Tm ( s ) = T L ( s ) + Td ( s )
T L ( s ) :负载力矩
(3)
(2)
T d ( s ) :干扰力矩
第二章 自动控制系统的数学模型
主要内容 2-1 控制系统微分方程的建立 2-2 非线性微分方程的线性化 2-3 传递函数 2-4 动态结构图 2-5 系统的脉冲响应函数 2-6 典型反馈系统传递函数
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基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
τ
，T
为时间常数。
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⑥二阶振荡环节，传递函数为 二阶振荡环节
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。
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一、传递函数的概念
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
U c( s ) G( s )= U r( s )
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一、传递函数的概念
例2-4 求RC 网 络的传递函数
U o (s) 1 / Cs 1 = = U r (s) R + 1 / Cs 1 + RCs
• 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的 非线性，如下图所示。
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于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其 求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处 理确有必要。
对弱非线性关系的线性化